Moč množice in neskončne množice

Uvod v teorijo mnoˇzic,
moˇc mnoˇzice,
konˇcne in neskonˇcne mnoˇzice,
ˇstevne mnoˇzive ℵ0 in neˇstevne mnoˇzice
Walter Auber
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
Trst, februarja 2010
Povzetek
Opredelili bomo pojem mnoˇzice in izpostavili protislovje, ki ga dobimo, ko gledamo preveˇc naivno na skupine neskonˇcno mnogih predmetov. Opredelili bomo tudi kardinalnost oziroma moˇc mnoˇzice, ki
meri velikost mnoˇzic; definicija je ˇse posebej zanimiva za neskonˇcne
mnoˇzice. Govorili bomo o ˇstevnih in neˇstevnih mnoˇzicah. Nazadnje
bomo opredelili ˇse Cantorjevo mnoˇzico, ki je fraktal.
1
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
Kazalo
1 Mnoˇ
zice
1.1 Opredelitev in lastnosti mnoˇzic . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Russeljeva antinomija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
2 Konˇ
cne in neskonˇ
cne mnoˇ
zice
2.1 Kardinalnost oziroma moˇc mnoˇzice
2.2 Moˇc potenˇcne mnoˇzice . . . . . . .
ˇ
2.3 Stevne
mnoˇzice ℵ0 . . . . . . . . .
2.4 Q je ˇstevna mnoˇzica . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
7
8
3 Pojem zveznosti
3.1 Mnoˇzica realnih ˇstevil . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ
3.1.1 Stevilo
π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Neperjevo ˇctevilo e . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Kantorjeva diagonalna argumentacija in kardinalnost
3.3 Cantor-Bernstein-Schroederjev izrek . . . . . . . . .
3.4 Hipoteza o zveznosti @A : ℵ0 < |A| < c . . . . . . . .
3.5 Mnoˇzice s kardinalnostjo c . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ
3.6 Stevila
beth i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
c
.
.
.
.
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9
9
10
12
14
17
18
18
19
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Cantorjeva mnoˇ
zica
19
4.1 Cantorjeva mnoˇzica je neˇstevna . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Dimenzija samopodobnih geometrijskih predmetov . . . . . . 21
1
1.1
Mnoˇ
zice
Opredelitev in lastnosti mnoˇ
zic
Teorija mnoˇzic je osnovna matematiˇcna panoga, ki definira in preuˇcuje
ˇ
lastnosti mnoˇzic in na kateri je zgrajena veˇcina sodobne matematike. Stevilne
matematiˇcne discipline kot so algebra, analiza, teorija mere, stohastika ali
topologija, so zgrajene na teoriji mnoˇzic. Vrh tega je teorija mnoˇzic bistveno
povezana tudi s predikatno logiko. Opredelitev mnoˇzice ni tako enostavna
in neoporeˇcna zadeva, kot se na prvi pogled zdi. Podobno kot pri definiciji
ˇstevila, tako tudi pri definiciji mnoˇzice so doloˇcene teˇzave, ki so jih skuˇsali
matematiki v stoletjih preuˇcevanja reˇsiti.
Za utemeljitelja teorije mnoˇzic velja Georg Ferdinand Cantor (18451918). Po njegovi definiciji iz leta 1877 je mnoˇzica ”zdruˇzitev doloˇcenih, po
videzu ali razmisleku dobro razloˇcljivih, objektov ki jim pravimo elementi
mnoˇzice v eno celoto”. Teorijo mnoˇzic na podlagi te definicije so pozneje
oznaˇcili za naivno, saj vodi v protislovja; ˇse posebej tam, kjer so uvedli
KAZALO
2
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
mnoˇzice, ki bi kot element morale vsebovati same sebe. Najbolj znana je
Russlova antinomija. Poglejmo sedaj sledeˇco definicijo.
Definicija 1.1. Mnoˇzica je skupek elementov, ki imajo neko toˇcno doloˇceno
lastnost, oziroma za katere je toˇcno in neoporeˇcno doloˇceno, ˇce so del skupka
ali pa ne.
1.2
Russeljeva antinomija
Filozof in matematik Bertrand Arthur William Russel (18721970) je izpostavil sledeˇci paradoks, ki zavrˇze naivno definicijo mnoˇzice. Obstajajo
mnoˇzice dveh vrst: tiste, ki imajo same sebe kot element in tiste, ki nimajo same sebe kot element. Na primer mnoˇzica vseh zajcev ni zajec, zato
ne vsebuje same sebe kot element; nasprotno mnoˇzica vseh ne-zajcev pa je
ne-zajec zato je tudi sama svoj element.
Argument ni bil nov, saj je ˇze nastopil v obliki nekoliko razliˇcni obliki.
Obstajata dve vrsti knjig: tiste, ki se avto-citirajo in tiste, ki se ne avtocitirajo. Nedvomno lahko poskusimo napisati knjigo, ki ima seznam vseh
knjig, ki se avto-citirajo. Poskusimo pa napisati knjigo, ki vsebuje seznam
vseh knjig, ki se ne avto-citirajo: tu nastopi teˇzava. Ali bomo v novo knjigo
vnesli naslov nove knjige: ˇce ga vnesemo, se knjiga avto-citira in zato v njo
ne spada; ˇce ga ne vnesemo, pa se knjiga ne avto-citira in zato v samo knjigo
spada. Priˇsli smo do nereˇsljivega paradoksa.
Pomislimo sedaj na mnoˇzico vseh mnoˇzic, ki nimajo same sebe kot element. Podobno kot s knjigami lahko zakljuˇcimo s paradoksom, saj ˇce ta
mnoˇzica nima same sebe kot elementa, potem ima samo sebe kot element
in obratno. Takih skupin elementov, ki so preobˇsirni in neoporeˇcno opredeljeni ne imenujemo mnoˇzica. Russell je leta 1903 skupaj z Whiteheadom
reˇsil protislovja naivne definicija mnoˇzice s tako imenovano teorijo tipov. Po
njej mora imeti mnoˇzica vedno viˇsji tip kot njeni elementi. Izjav, kot je ”ta
mnoˇzica vsebuje sebe kot element”, se v tej teoriji sploh ne da izraziti.
Teorija tipov je bila pozneje nadgrajena v aksiomatiˇcno teorijo mnoˇzic.
Za to teorijo se da dokazati, da je neprotislovna, a ˇzal njen jezikovni besednjak ni dovolj moˇcan, da bi z njim lahko zgradili vso matematiko.
Matematik ne opredeli nov pojem direktno, kot se ponavadi dogaja filozofu, ampak definira raje lastnosti novega predmeta; to
pomeni da pove, kdaj sta dva pojma med sabo enaka, kako se
seˇstevata, mnoˇzita, delita in podobno. Skupek lastnosti opredeli, oziroma ustvari nov pojem. Lahko razmiˇsljamo ˇse bolj abstraktno in formalno: matematik izbere mnoˇzico novih znakov in
pove, katera so pravila, ki urejajo interakcijo med znaki; matematik torej samovoljno ustvari novo matematiˇcno bitje in pri tem
delu mu je edina spona doslednost edina spona.”
L.Couturat, Dell’Infinito Matematico, 1896
Russeljeva antinomija
3
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
Zgornji citat ni zadnja beseda, ki zadeva osnove matematiˇcnih pojmov,
saj obstajajo zelo razliˇcne pozicije glede tega kaj je matematika in kaj so
matematiˇcni predmeti.
2
2.1
Konˇ
cne in neskonˇ
cne mnoˇ
zice
Kardinalnost oziroma moˇ
c mnoˇ
zice
Kardinalnost mnoˇzice Konˇcne mnoˇzice lahko opredelimo z naˇstevanjem,
za neskonˇcne pa moramo uporabljati neko lastnost, ki je znaˇcilna za elemente
mnoˇzice, oziroma trditev, ki je resniˇcna za elemente mnoˇzice in je laˇzna za
vse ostale.
x ∈ M ⇔ P (x) je resniˇcna
Poglejmo sedaj, kako lahko primerjamo velikosti mnoˇzic. Pomemben je pojem ekvipotenˇcnosti.
Definicija 2.1. Mnoˇzici A in B sta ekvipotenˇcni, ˇce in samo ˇce obstaja
bijektivna preslikava f med njima, oziroma f : A −→ B
Ekvipotenˇcnost je relacija med mnoˇzicami, ki zadoˇsˇca refleksivni, simetriˇcni
in tranzitivni lastnosti, zato opredeli particijo mnoˇzic, to pomeni, da razdeli
vse mnoˇzice na skupine, tako da so v vsaki skupini le mnoˇzice, ki so med
sabo ekvipotenˇcne. Vsaki skupini particije pravimo moˇc ali kardinalnost.
Kardinalnost konˇcnih mnoˇzic predstavlja cela ˇstevila, kaj pa predstavlja
kardinalnost neskonˇcnih mnoˇzic?
Definicija 2.2. Pravimo, da je mnoˇzica A neskonˇcna, ˇce in samo ˇce obstaja prava podmnoˇzica B mnoˇzice A, to pomeni B ⊂ A in B 6= A, ki je
ekvipotenˇcna mnoˇzici A.
Na primer mnoˇzica naravnih ˇstevil N je ekvipotenˇcna mnoˇzici vseh sodih
ˇstevil S saj je sledeˇca preslikava med njima bijektivna:
f : N −−−−−→ S
n −−−→ 2n
Ker je S ⊂ N, je mnoˇzica naravnih ˇstevil neskonˇcna.
2.2
Moˇ
c potenˇ
cne mnoˇ
zice
Potenˇcna mnoˇzica P(A) neke mnoˇzice A je mnoˇzica vseh podmnoˇzic
mnoˇzice A, torej
x ∈ P(A) ⇔ x ⊆ A
Na primer, ˇce je A = {1, 2, 3} potem
P(A) = {∅, {1}, {2}, {2}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}
ˇne in neskonc
ˇne mnoˇ
Konc
zice
4
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
n!
ˇ vemo, da predstavljajo kombinacije C k = n =
Ze
stevilo podmnoˇzic
n
k
(n−k)!k! ˇ
1
ˇ
s k elementi v mnoˇzici z n elementi. Ce v binomski izrek vstavimo a = b =
1, dobimo da
n
n
n
n
n
n
2 = (1 + 1) = (a + b) =
+
+ ··· +
0
1
n
kar pomeni, da ima mnoˇzica vseh podmnoˇzic mnoˇzice z n elementi natanko
2n elementov. Ugotovitev lahko strnimo v izrek
ˇ je A konˇcna mnoˇzica, potem
Izrek 2.3. Ce
|P(A)| = 2|A|
2.3
ˇ
Stevne
mnoˇ
zice ℵ0
Definicija 2.4. Pravimo, da je neka mnoˇzica A ˇstevna, ˇce in samo ˇce je
ekvipotenˇcna mnoˇzici naravnih ˇstevil.
ˇ
Stevne
so vse mnoˇzice, katerih elemente lahko postavimo v zaporedje. Z
lahkoto dokaˇzemo, da je Z ˇstevna. Moˇc ˇstevnih mnoˇzic oznaˇcimo s ˇcrko ℵ0
in napiˇsemo m(Z) = |Z| = ℵ0 .
2.4
Q je ˇ
stevna mnoˇ
zica
Tudi mnoˇzica racionalnih ˇstevil je ˇstevna. Dokaz je zanimiv in pravi, da
lahko elemente mnoˇzice racionalnih ˇstevil uredimo v neko zaporedje. Vsako
racionalno ˇstevilo sestavljata dve naravni ˇstevili. Vsa racionalna ˇstevila
lahko napiˇsemo s pomoˇcjo tabele
1
2
3
4
..
.
1
(a + b)n =
n
0
a n b0 +
ˇ
Stevne
mnoˇ
zice ℵ0
n
1
1
2
3
1
1
2
1
3
1
4
1
1
2
2
2
3
2
4
2
1
3
2
3
3
3
4
3
..
.
..
.
an−1 b1 + · · · +
..
.
n
n
4 ...
1
4 ...
2
4 ...
3
4 ...
4
4 ...
.. . .
.
.
a 0 bn
5
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
(1/1)
(1/2)
(1/3)
(1/4)
(1/5)
...
(2/1)
(2/2)
(2/3)
(2/4)
(2/5)
...
(3/1)
(3/2)
(3/3)
(3/4)
(3/5)
...
(4/1)
(4/2)
(4/3)
(4/4)
(4/5)
...
Elemente tabele, ki predstavljajo vsa racionalna ˇstevila lahko postavimo
v zaporedje s tako imenovano diagonalno metodo 11 , 12 , 12 , 31 , 22 , 13 , 14 , . . . Smo
nedvomno dokazali, da obstaja surijektivna preslikava f : N −→ Q, zato je
moˇc mnoˇzice naravnih ˇstevil veˇcja ali enaka moˇci mnoˇzice racionalnih ˇstevil,
ampak ker velja nedvomno tudi obratno, saj je mnoˇzica naravnih ˇstevil
podmnoˇzica mnoˇzice racionalnih, zakljuˇcimo, da sta mnoˇzici ekvipotenˇcni.
Smo ugotovili, da so vse neskonˇcne mnoˇzice mnoˇzice racionalnih ˇstevil
ˇstevne, oziroma, da |N| = |Z| = |Q| = ℵ0 .
3
3.1
Pojem zveznosti
Mnoˇ
zica realnih ˇ
stevil
ˇ vemo, kako se aksiomatsko opredelijo mnoˇzica naravnih ˇstevil N,
Ze
mnoˇzica celih ˇstevil Z in mnoˇzica racionalnih ˇstevil Q. Vemo tudi, da so
te mnoˇzice med seboj ekvipotenˇcne oziroma enako velike. Mnoˇzica realnih ˇstevil R pa se bistveno razlikuje od zgornjih mnoˇzic. Zelo preprosto bi
lahko opredelili realna ˇstevila kot limite vseh zaporedij, katerih elementi so
racionalna ˇstevila, oziroma
(
a ∈ R ⇔ ∃(an ) zaporedje, kjer an ∈ Q, tako, da
lim an = a
n→∞
Nekoliko drugaˇce, a povsem ekvivalentno, lahko opredelimo realna ˇstevila
s pomoˇcjo zaporedja odprtih intervalov racionalnih ˇstevil In = (an , bn ),
kjer an , bn ∈ Q in za katere velja, da je vsak sledeˇci interval podmnoˇzica
prejˇsnjega intervala, oziroma In+1 ⊆ In za vsak n ∈ N in da je limita ˇsirine
intervala niˇc, torej
(
In+1 ⊆ In ∀n ∈ N
lim (bn − an ) = 0
n→∞
Z razmiˇsljanjem po absurdu lahko takoj pokaˇzemo, da obstajat ena in samo
ena toˇcka, ki pripada vsem intervalom. Tej toˇcki pravimo realno ˇstevilo.
Pojem zveznosti
6
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
ˇ
Stevilo
π
3.1.1
Se lahko dokaˇze, da je π 2 ,razmerje med obsegom kroˇznice in njenim
premerom iracionalno in transcendentno ˇstevilo, to pomeni, da ne spada v
mnoˇzico racionalnih ˇstevil, ga je torej nemogoˇce napisati kot ulomek dveh
naravnih ˇstevil, in ni niˇcla nobenega polinoma z racionalnimi koeficienti. Ker
je π realno ˇstevilo, ga lahko opredelimo kot limito nekega zaporedja. Prvi, ki
je razmiˇsljal o aproksimaciji ˇstevila π je bil Arhimed (287-212 p.n.ˇs.), ki se je
dolˇzini polkroga s polmerom ena pribliˇzal s pomoˇcjo vˇcrtane enakostraniˇcne
poligonale.
a4
a2
a4
a2
Slika 1: Poligonala kot aproksimacija polkroga
Naj bo an dolˇzina stranice enakostraniˇcne poligonale ob n − tem koraku√in
ln = n an√skupna dolˇzina poligonale. Za n = 2 dobimo seveda a2 = 2
in l2 = 2 2. Ob vsakem koraku podvojimo ˇstevilo stranic poligonale in
odkrijemo, da velja sledeˇca rekurzivna enakost:
p
a22n = 2 − 4 − a2n
in
l2n = 2n a2n = 2n
q
2−
p
4 − a2n
Sedaj lahko dobimo ˇclene rekurzivno definiranega zaporedja l2 , l4 , l8 , . . . , l2n , . . . ;
na primer
r
r
q
q
q
√
√
2
2
l4 = 4a4 = 4 2 − 4 − a2 = 4 2 − 4 − ( 2) = 4 2 − 2
S pomoˇcjo Taylorjeve neskonˇcne vrste lahko dobimo tudi druga zaporedja
ˇstevilo, ki se pribliˇzujejo ˇstevilu π. Vzemimo funkcijo f (x) = arctan x.
Vemo, da je arctan 1 = π4 in da velja sledeˇca Taylorjeva vrsta n-te stoplje:
1
1
1
1
arctan(x) = x − x3 + x5 − x7 + ... + (−1)n xn
3
5
7
n
2
πρ`
ιµτ ρoς iz Grˇsˇcine peri-metros, kar pomeni okrog in dolˇzina, oziroma obseg kroga
Mnoˇ
zica realnih ˇ
stevil
7
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
Vrsta je konvergentna, zato
π
1 1 1
n1
=
lim 1 − + − + ... + (−1)
n→∞
3 5 7
n
4
Poznamo zelo veliko zaporedij in vrst, ki imajo limito π. Na primer Leibnizova formula iz leta, katero smo ˇze dokazali,
4
=1+
π
3+
1
4
5+
7+
9+
9
16
25
36
11+ 13+...
oziroma Vietova formula iz leta 1593:
2
2
2√ p
√ q
2 2+ 2
2
... = π
p
√
2+ 2+ 2
Vredno omembe je delo slovenskega matematika Jurij Vega, ki je leta 1789
izraˇcunal 140 decimalk ˇstevila π izmed katerih je bilo 137 pravilnih; Vega
je obdrˇzal rekord do leta 1841, ko je fizik William Rutherford doloˇcil 208
decimalk izmed katerih je bilo 152 pravilnih.
3.1.2
Neperjevo ˇ
ctevilo e
ˇ
Tudi Neperjevo oziroma Eulerjevo Stevilo
e je iracionalno in transcendentno. Dokaz ni banalen. Neperjevo ˇstevilo lahko napiˇsemo kot limito
ˇ vemo da je e
zaporedij oziroma limito neskonˇcnih vrst na veˇc naˇcinov. Ze
limita sledeˇcega zaporedja
1 n
e = lim 1 +
n→∞
n
Ker poznamo Taylerjevo vrsto za funkcijo f (x) = ex , lahko napiˇsemo tudi
sledeˇce
1 2
1 3
1 n
x
e = lim 1 + x + x + x + ... + x
n→∞
2!
3!
n!
oziroma za x = 1 postane zgornja neskonˇcna vrsta
1
1
1
1
.
e = e = lim 1 + 1 + + + ... +
n→∞
2! 3!
n!
Mnoˇ
zica realnih ˇ
stevil
8
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
3.2
prof. Walter Auber
Kantorjeva diagonalna argumentacija in kardinalnost c
Cantorjev diagonalni dokaz je matematiˇci dokaz, s katerim je Georg Ferdinand Cantor leta 1877 pokazal, da realnih ˇstevil ni ˇstevno neskonˇcno.
To pomeni, da je realnih ˇstevil veˇc kot naravnih, ˇceprav sta obe mnoˇzici
neskonˇcni.
ˇ
Ceprav
je najbolj znan, to ni bil prvi Cantorjev dokaz o neˇstevnosti
realnih ˇstevil. Njegov tri leta starejˇsi prvi dokaz ni omenjal desetiˇskega
zapisa niti drugih ˇstevilskih sistemov. Cantorjev diagonalni dokaz uporablja
isti koncept kot diagonalizacija s katero je dokazal, da je racionalnih in
naravnih ˇstevil enako mnogo. Zaˇcnimo najprej s kardinalnostjo intervala
[0, 1] ⊂ R
Izrek 3.1. |[0, 1]| ℵ0
Dokaz: Trditev bomo dokazali po absurdu. Postavimo torej hipotezo, ki
zanika trditev izreka in poglejmo, ˇce nas bo to privedlo do laˇzne trditve, to
pomeni do protislovja.
ˆ Privzemimo torej, da je interval [0, 1] ˇstevno neskonˇcen. Potem lahko
oˇstevilˇcimo vsa ˇstevila na tem intervalu v zaporedje (r1 , r2 , r3 , . . . )
ˆ Vemo, da vsako od teh ˇstevil lahko predstavimo v desetiˇskem zapisu
0, 3456 . . .
ˆ Vsa ta ˇstevila zberemo v seznam, ni treba, da so v kakˇsnem posebnem
vrstnem redu. V primeru ˇstevil, ki imajo po dva desetiˇska zapisa, kot
0, 499 · · · = 0, 500 . . . , vzamemo zapis, ki se konˇcuje z deveticami.
ˆ Vzemimo, na primer, da so desetiˇski zapisi na zaˇcetku zaporedja takˇsni:
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
= 0, 5105110 . . .
= 0, 4132043 . . .
= 0, 8245026 . . .
= 0, 2330126 . . . . . .
= 0, 4107246 . . .
= 0, 9937838 . . .
= 0, 0105135 . . .
ˆ Zdaj bomo skonstruirali realno ˇstevilo x z intervala [0,1] tako, da bomo
pogledali k-to ˇstevko za desetiˇsko vejico v desetiˇskem zapisu ˇstevila kˇ
tega ˇstevila, rk . Stevke,
ki jih bomo gledali, so krepke, da nakazujejo
Kantorjeva diagonalna argumentacija in kardinalnost c
9
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
zakaj se temu reˇce diagonalni dokaz.
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
= 0, 5 105110 . . .
= 0, 4 1 32043 . . .
= 0, 82 4 5026 . . .
= 0, 233 0 126 . . .
= 0, 4107 2 46 . . .
= 0, 99378 3 8 . . .
= 0, 010513 5 . . .
ˆ Iz teh ˇstevk definirajmo ˇstevke desetiˇskega zapisa novega ˇstevila x kot
sledi:
x = 0, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4 . . .
ˇce je k-ta ˇstevka ˇstevila rk enaka 5, potem naj bo k-ta ˇstevka ˇstevila
x enaka 4,
ˇce k-ta ˇstevka ˇstevila rk ni enaka 5, potem naj bo k-ta ˇstevka ˇstevila
x enaka 5.
ˇ
ˆ Stevilo
x je oˇcitno realno ˇstevilo saj vsak desetiˇski zapis predstavlja
neko realno ˇstevilo na intervalu [0,1].
ˆ Hipoteza trdi, da je vsako realno ˇstevilo v intervalu [0, 1] element zaporedja (r1 , r2 , r3 , . . . ) Torej mora za neki n veljati rn = x.
ˆ . Toda, ker smo 4-ke in 5-ke izbrali na posebno ”zloben” naˇcin, se x
od vsakega rn razlikuje vsaj na n-tem mestu, za vsak n. To pomeni,
da ˇstevila x v zaporedju (r1 , r2 , r3 , . . . ) ni.
ˆ To zaporedje torej ni oˇstevilˇcenje mnoˇzice vseh realnih ˇstevil z intervala
[0, 1]. To je protislovje.
ˆ Hipoteza, ki smo jo sprejeli po absurdu, je torej laˇzna, torej je njena
negacija resniˇcna.
Zakljuˇcimo lahko, da interval [0, 1] ⊂ R ni ˇstevna mnoˇzica in da |[0, 1]| ℵ0 .
Q.E.D.
Ker je |[0, 1]| ⊂ R velja, da je tudi |R| ℵ0 . Moˇc kateregakoli intervala
realnih ˇstevil, je enaka moˇci realnih ˇstevil. Dokaz za odprti interval (0, 1) je
nekoliko laˇzji.
Izrek 3.2. |(0, 1)| = |R|
Dokaz: Treba je pokazati, da obstaja bijektivna preslikava med mnoˇzico
(0, 1) in mnoˇzico R. Izmed vseh moˇznih preslikav lahko izberemo
f : (0, 1) −−−−−→ R
x −−−→ f (x) = tg π x − 21
Kantorjeva diagonalna argumentacija in kardinalnost c
10
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
Funkcija f strogo naraˇsˇca, zato je inijektivna; ima lim f (x) = +∞ in
x→1−
f (x)
4
3
2
1
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x
−1
−2
−3
f (x) = tan π(x − 21 )
−4
−5
Slika 2: Graf funkcije
lim f (x) = −∞, zato je surijektivna.
x→0+
Q.E.D.
Izrek 3.3. Za katerikoli par realnih ˇstevil a b velja, da |(0, 1)| = |(a, b)|
in tudi da |[0, 1]| = |[a, b]|
Dokaz: Brez teˇzav lahko napiˇsemo linearno funkcijo
f : (0, 1) −−−−−→ (a, b)
x −−−→ f (x) = mx + n
ki je bijektivna.
Q.E.D.
Dokazati, da sta odprti in zaprti interval realnih ˇstevil ekvipotenˇcna je
nekoliko bolj zamudno. Krdinalnosti mnoˇzice realnih ˇstevil pravimo zveznost
in napiˇsemo |R| = c. Z diagonalno metodo smo pokazali, da ℵ0 c.
3.3
Cantor-Bernstein-Schroederjev izrek
Velja sledeˇci izrek, ki trdi, da je kardinalnost mnoˇzice realnih ˇstevil enaka
prav kardinalnosti potenˇcne mnoˇzice mnoˇzice naravnih ˇstevil.
Cantor-Bernstein-Schroederjev izrek
11
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
Izrek 3.4. c = |P(N)| = 2N .
Dokaz: Pokazati je treba, da obstaja bijektivna preslikava, ki vsakemu
realnemu ˇstevilu dodeli podmnoˇzico mnoˇzice naravnih ˇstevil, to pomeni element mnoˇzice P(N).
3.4
Hipoteza o zveznosti @A : ℵ0 < |A| < c
Do sedaj poznamo mnoˇzice s konˇcno kardinalnostjo, prvo neskonˇcno kardinalnost ℵ0 in kardinalnost realnih ˇstevil c. Ker je ℵ0 strogo manjˇsi od c, se
lahko vpraˇsamo, ˇce obstaja kaka neskonˇcna mnoˇzica A, tako da ℵ0 < |A| < c
ali pa ˇce taka mnoˇzica ne obstaja, oziroma, da so realno ˇstevila prva mnoˇzica,
ki je bolj ˇstevilna od mnoˇzice naravnih ˇstevil. Trditev Z
@A : ℵ0 < |A| < c
imenujemo hipoteza o zveznosti. Do sedaj smo se ukvarjali samo z matematiˇcnimi
trditvami P, ki so ali resniˇcne3 ali laˇzne; ˇce je P laˇzna, potem je pP resniˇcna
in obratno. Trditev Z pa ni ne resniˇcna ne laˇzna, ampak neodvisna od aksiomov teorije mnoˇzic4 . Torej teorija mnoˇzic ostane dosledna bodisi ˇce velja
Z, kot ˇce velja pZ.
3.5
Mnoˇ
zice s kardinalnostjo c
Se dokaˇze, da |C| = c in da |E | = c. Primer mnoˇzice, ki ima strogo
veˇcjo moˇc od mnoˇzice realnih ˇstevil je mnoˇzica vseh funkcij med mnoˇzicama
realnih ˇstevil f : R −→ R; nasprotno je mnoˇzica vseh zveznih funkcij med
realnimi ˇstevili zvezna.
3.6
ˇ
Stevila
beth i
Poznamo ˇze dve neskonˇcni kardinalni ˇstevili in sicer ℵ0 in c. Cantor
je predlagal zaporedje neskonˇcnih kardinalnih ˇstevil, ki jih je imenoval i
ˇstevila. In sicer
ℵ0 < i1 < i2 < i3 < i4 . . .
kjer i1 = |R| = |P(N)| in i2 = P(R)| = P(P(N)). Mnoˇzicam neskonˇcnih
ˇstevil ℵ0 , i1 , i2 , i3 , i4 , . . . lahko dodamo ˇse pravila algebre in jih tako seˇstevamo,
mnoˇzimo, potenciramo.
3
4
jih imenujemo izreki
podobno kot aksiom o vzporednicah v Evklidovi ravnini
Hipoteza o zveznosti @A : ℵ0 < |A| < c
12
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
4
prof. Walter Auber
Cantorjeva mnoˇ
zica
Cantorjeva mnoˇzica je v matematiki fraktal, v katerem se pojavljajo
le realna ˇstevila med 0 in 1. Mnoˇzico je uvedel nemˇski matematik Georg
Ferdinand Cantor. Cantorjeva mnoˇzica je doloˇcena z neprestanim odstranjevanjem srednje tretjine daljice. Zaˇcnemo z enotskim intervalom [0, 1] in
odstranimo njegovo srednjo tretjino. Ostane [0, 1/3]∪[2/3, 1]. V neskonˇcnem
koraku odstranimo vse ”srednje tretjine” preostalih odsekov. Cantorjeva
mnoˇzica vsebuje vse toˇcke v intervalu [0, 1], ki jih nismo odstranili v tem
neskonˇcnem procesu.
Slika 3: Generacija Cantorjeve mnoˇzice
ˇ seˇstejemo vse dolˇzine
Vpraˇsanje je, kaj ostane, ko je proces konˇcan? Ce
odstranjenih odsekov, dobimo:
!
∞
X
1
4
8
2n
1
1 2
=1
+ +
+
+ ... =
=
3 9 27 81
3n+1
3 1 − 23
n=0
Na podlagi rana smo lahko preseneˇceni, ˇce na koncu ˇse kaj ostane. Navsezadnje je vsota dolˇzin odstranjenih odsekov enaka dolˇzini izvirnega intervala.
ˇce pogledamo podrobneje, vidimo, da nekaj ostane, ker z odstranjevanjem
”srednjih tretjin” intervala odstranjujemo odprte mnoˇzice (mnoˇzice, ki ne
vsebujejo krajnih toˇck). Pri odstranitvi odseka (1/3, 2/3) iz izvornega intervala [0, 1] ostaneta toˇcki 1/3 in 2/3. Toˇcki bosta vedno v mnoˇzici, in
ˇse naprej bodo v njej tudi vse takˇsne toˇcke. Torej Cantorjeva mnoˇzica ni
prazna.
Cantorjeva mnoˇzica je prototip fraktala. Mnoˇzica je samopodobna, ker
je enaka dvema kopijama same sebe, ˇce vsako kopijo skrˇcimo za faktor 1/3
in prestavimo
4.1
Cantorjeva mnoˇ
zica je neˇ
stevna
Lahko se pokaˇze, da v mnoˇzici ostane enako ˇstevilo toc(k kot ˇstevilo
odstranjenih toc(k. Pri tem naj si toc(ke v intervalu [0, 1] mislimo zapisane
v trojiˇskem sistemu z osnovo 3. Na ta nac(in lahko 1/3 zapiˇsemo kot 0,1
in 2/3 kot 0,2. C(e odstranimo vse med 1/3 in 2/3, je to isto kot c(e bi v
trojiˇskem sistemu odstranili vse med 0,1 in 0,2. To pomeni, da vsako trojiˇska
Cantorjeva mnoˇ
zica
13
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
decimalko, oblike 0,1xxxxxx, odstranimo iz mnoˇzice, razen tiste, kjer je vsak
x enak 0 ali vsak x 2 - to sta krajni toˇcki.
Ker je trojiˇsko 0,1 = 0,02222222..., lahko ˇstevilo predstavimo brez ˇstevila
1 na kateremkoli mestu. Glej Cantorjev diagonalni dokaz.
V naslednjem koraku v intervalih [0, 0.1] in [0.2, 1] odstranimo njuni srednji tretjini. V tem primeru odstranimo vse med 0,01 in 0,02 v prvem, in
vse med 0,21 in 0,22 v drugem. Ali z drugimi besedami, vse z 1 na drugem
mestu takoj za toˇcko. Ko konˇcamo, so ˇstevila, ki preostanejo tista, ki jih
trojiˇsko lahko zapiˇsemo brez ’1’ na poljubnem mestu.
ˇ povemo ˇse drugaˇce, Cantorjeva mnoˇzica vsebuje vsa ˇstevila med 0
Ce
in 1, ki jih trojiˇsko lahko zapiˇsemo s ˇstevilkami 0 in 2. Zato lahko ˇstevila
v Cantorjevi mnoˇzici preslikamo v ˇstevila v [0, 1], kjer v trojiˇskem zapisu
zamenjamo vsako 2 z 1, in rezultat obravnavamo dvojiˇsko. Zato je v Cantorjevi mnoˇzici toliko toˇck, kolikor jih je v [0, 1] in Cantorjeva mnoˇzica je
neˇstevna. Ker je mnoˇzica krajnih toˇck odstranjenih odsekov ˇstevna, mora
v Cantorjevi mnoˇzici obstajati ˇstevno mnogo ˇstevil, ki niso krajne toˇcke
odsekov. Kakor je zapisano zgoraj, je en primer ˇstevilo 1/4, ki ga lahko
trojiˇsko zapiˇsemo kot 0,02020202020. . . .
4.2
Dimenzija samopodobnih geometrijskih predmetov
Fraktali so neˇstevne podmnoˇzice Evklidove ravnine, za katere je klasiˇcna
definicija mere neprimerna. Poskusimo definirati novo mero, ki deluje v
primeru fraktalov.
Definicija 4.1. Pravimo, da je podmnoˇzica Evklidove ravnine F ⊂ E
(n, k)−samopodobna ˇce in samo ˇce je F zgrajen iz n kopij, ki so zmanjˇsane
za faktor k, oziroma ˇce in samo ˇce
F = ϕ1 (F 0 ) ∪ ϕ2 (F 0 ) ∪ · · · ∪ ϕn (F 0 )
kjer so ϕk izometrije, kompozicije vrteˇza in vzporednega premika in F 0 =
hk (F ), kjer je hk homotetija za faktor k.
Sedaj lahko opredelimo tako imenovano dimenzijo samopodobnosti.
ˇ je F (n, k) − samopodoben fraktal, potem definiramo
Definicija 4.2. Ce
njegovo dimenzijo kot realno ˇstevilo D
D=
log(n)
log( a1 )
Tako definirana dimenzija ni vedno celo ˇstevilo in meri zmoˇznost geometrijskega predmeta, da napolni prostor. Na primer Cantorjeva mnoˇzica
je enaka dvema kopijama same sebe, ˇce vsako kopijo skrˇcimo za faktor a = 13
log(2)
zato je (2, 3) − samopodoben fraktal in je njegova dimenzija log(3)
= ln(2)
ln(3) =
0.631.
Dimenzija samopodobnih geometrijskih predmetov
14
Znanstveni licej ”France Preˇseren”
prof. Walter Auber
Tudi daljica je samopodoben predmet, saj jo dobimo, ˇce daljico skrˇcimo
za faktor a = n1 in ga ponovimo n krat; dimenzija daljice je torej ln(n)
ln(n) = 1.
2
Kvadrat dobimo kot unijo n kvadratov, ki so skrˇcena kopija originala za
2)
faktor a = n1 , zato je njegova dimenzija ln(n
ln(n) = 2. Prav tako dobimo,
da je dimenzija kocke tri. Fraktali so predmeti, katerih dimenzija ni celo
ˇstevilo: niso ne prazne mnoˇzice ne daljice (Cantorjeva mnoˇzica); ne daljice,
ne trikotniki (Sierpinskijev trikotnik); ne kvadrat, ne kocka.
Literatura
[1] Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Ristampato da Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN
0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
[2] Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
[3] Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence
Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
[4] http://it.wikipedia.org/wiki/Numerocardinale
LITERATURA
15