Problem 1 (Seminar, 5.1.2013) Tri kure znesejo v treh dneh tri jajca

Problem 1 (Seminar, 5.1.2013)
Tri kure znesejo v treh dneh tri jajca. Koliko jajc znese ˇsest kur v ˇsestih
dneh?
Problem 2 (Seminar, 5.1.2013)
Tri kure so skupaj znesle dvajset jajc. Vsaka izmed kur je znesla sodo
ˇstevilo jajc. Koliko jajc je znesla vsaka kura? Zapiˇsite vse moˇznosti.
(Delavni zvezek za ˇcetrtoˇsolce)
Problem 3 (Seminar, 5.1.2013)
Razmislite in komentirajte spodnji ’problemsko naravnan delovni list’ za
sedmoˇsolce.
Poiˇ
sˇ
ci praˇ
stevila od 1 do 110 z Eratostenovim reˇ
setom:
1. korak: Preˇcrtaj ˇstevilo 1.
2. korak: Obkroˇzi ˇstevilo 2. Preˇcrtaj vse ostale veˇckratnike ˇstevila 2.
3. korak: Obkroˇzi ˇstevilo 3. Preˇcrtaj vse ostale veˇckratnike ˇstevila 3
(nekateri so ˇze preˇcrtani).
4. korak: Obkroˇzi ˇstevilo 5. Preˇcrtaj vse ostale veˇckratnike ˇstevila 5.
5. korak: Obkroˇzi ˇstevilo 7. Preˇcrtaj vse ostale veˇckratnike ˇstevila 7.
6. korak: Obkroˇzi ˇstevilo 11. Preˇcrtaj vse ostale veˇckratnike ˇstevila 11.
Postopek nadaljuj. Na ta naˇcin obkroˇziˇs vsa praˇstevila med 1 in 110.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Problem 4 (Seminar, 5.1.2013)
ˇ
Sahovsko
desko brez diagonalnih vogalov (kot kaˇze slika) ˇzelimo prekriti z
”dominami” (velikosti dveh polj). Razmislite, razloˇzite, formulirajte
problem in reˇsitev!
Problem 5 (Seminar, 5.1.2013)
Parabola y = −x2 + kx seˇce abscisno os v toˇcki A. Kolikˇsen naj bo
parameter k, da bosta na loku parabole OT A (T je teme) obstajali toˇcki B
in C tako, da bosta trikotnika 4OBA in 4OCA pravokotna? Znate
navesti primer in toˇcki B in C izraˇcunati?
Problem 6 (Seminar, 5.1.2013)
Na otok, kjer sta le dve palmi se pripeljemo s ˇcolnom. Od ˇcolna gremo do
prve palme in se zasukamo za 90 stopinj proti drugi palmi ter prehodimo
enako razdaljo kot od ˇcolna do palme ter v pesku naredimo kriˇz. Vrnemo se
do ˇcolna in enako naredimo ˇse v smeri druge palme. Toˇcno na sredino med
oba znaka v pesku zakopljemo zaklad. Ali je mogoˇce najti zaklad, ˇce
poznamo ta naˇcrt?
Problem 7 (Seminar, 5.1.2013)
Kakˇsna je enaˇcba priloˇzene funkcije? Izrazite ˇcasovno konstanto pri znani
temperaturi.
(Tabelo/graf so dejansko uporabljali inˇzenirji elektrotehnike pri meritvah
transformatorjev. Razmislite, kako bi ”tabelo” kot (analitiˇcno) funkcijo
vnesli v raˇcunalnik/kalkulator, ki bi za vsak ”input temperature” vrnil
ustrezno ”ˇcasovno konstanto”.)
Problem 8 (Seminar, 5.1.2013)
• Za ˇstevili, katerih vsota je 1, kvadrirajte veˇcjega in priˇstejte manjˇsega.
Zatem pa ˇse kvadrirajte manjˇsega in priˇstejte veˇcjega. Katero izmed
dobljenih ˇstevil je veˇcje?
• Kaj lahko povemo o dveh ˇstevilih, ˇce je vsota manjˇsega in kvadrata
veˇcjega enaka vsoti veˇcjega in kvadrata manjˇsega?
• Katero izmed ˇstevil je veˇcje, ˇce za dani dve ˇstevili primerjamo vsoto
veˇcjega in kvadrata manjˇsega z vsoto manjˇsega in kvadrata veˇcjega?
Problem 9 (Seminar, 5.1.2013)
Izraˇcunajte
√
12345678987654321.
Problem 10 (Seminar, 5.1.2013)
Doloˇcite zadnjo cifro ˇstevila 132012 !
Problem 11 (Seminar, 5.1.2013)
Dokaˇzite, da imata naravni ˇstevili n in n5 vselej enako zadnjo cifro. Poiˇsˇcite
vsaj dve vsebinsko razliˇcni reˇsitvi.
Problem 12 (Seminar, 5.1.2013)
Dva kvadrata z robom a sta postavljena tako, da je ogliˇsˇce enega v srediˇsˇcu
drugega. Kolikˇsna je lahko ploˇsˇcina preseka? Lepo in natanˇcno opiˇsite
funkcijo, ki opisuje ploˇsˇcino preseka obeh kvadratov. Ugotovitve na ˇcim
lepˇsi naˇcin utemeljite.
Problem 13 (Seminar, 5.1.2013)
1. Na spodnji sliki so oznaˇcene dolˇzine a, b, c. Izrazite c z a in b, oziroma
c
b
dokaˇzite,
√ da je b = a , oziroma, da je b geometrijska sredina ˇstevil a in
c (b = ac).
2. Na spodnji sliki sta narisana kvadrata z robovoma 1 in a. Doloˇcite
dolˇzino odseka x.
3. Bi znali poiskati geometrijski pomen formule za vsoto geometrijske
vrste? Bi znali formulo za vsoto geometrijske vrste dokazati
geometrijsko?
(a) Nasvet 1.
(b) Nasvet 2.
(c) Nasvet 3. Opazujte podobne trikotnike na sliki ’nasveta 2’.
Problem 14 (Seminar, 5.1.2013)
Obravnavajte trditev: Premica skozi teˇziˇsˇce (ravninskega) lika razdeli lik na
dva ploˇsˇcinsko enaka dela.
Problem 15 (Seminar, 5.1.2013)
Oglejte si skico. Razmislite. Postavite domnevo. Dokaˇzite.
Problem 16 (Seminar, 5.1.2013)
V revolver, ki ima bobenˇcek za ˇsest nabojev rabelj vstavi dva naboja v
zaporedna prekata in zavrti bobenˇcek. Potem zaporedoma ’ustreli’ dve
potencialni ˇzrtvi. Kateri ’obsojenec’ ima veˇcjo moˇznost preˇzivetja? Kako
naj reagira drugi ’obsojenec’, ˇce lahko po prvem ’strelu’ izbira, ali se
bobenˇcek ponovno zavrti ali ne? Kaj pa ˇce lahko ˇze pred prvim ’stelom’
izbira, ali se bo bobenˇcek po prvem ’strelu’ zavrtel ali ne? Razmislite o
dodatnih vpraˇsanjih... (veˇc nabojev, ki so lahko razliˇcno razporejeni, veˇc
obsojencev, ...)
Problem 17 (Seminar, 5.1.2013)
Na mizo postavimo n kovancev, vse obrnjene s ˇstevilom navzgor. Potem v
prvi potezi obrnemo vse kovance. V drugi potezi obrnemo vsak drugi
kovanec (torej 2,4,6,...). V tretji potezi obrnemo vsak tretji kovanec (torej
3,6,9,...) in tako naprej do n-te poteze. Ugotovite in razloˇzite, kateri kovanci
so na koncu obrnjeni s ˇstevilom navzdol in kateri s ˇstevilom navzgor.
Problem 18 (Seminar, 5.1.2013)
Tetraeder postavimo na ravnino. Poteza pomeni, da tetraeder ’prevalimo’
preko poljubnega roba. (Tetraeder po potezi leˇzi na drugi ploskvi.)
Kolikˇsna je verjetnost, da bo po n potezah tetraeder leˇzal na isti ploskvi
kot na zaˇcetku?
Problem 19 (Seminar, 5.1.2013)
Naj bodo a, b, c pozitivna realna ˇstevila. Ploskev R v R3 je mnoˇzica toˇck
(x, y, z) za katere velja |x| ≤ a, |y| ≤ b in z = c. Toˇckasto svetilo P se giblje
2
2
po krivulji xa2 + yb2 = 1, z = c + 1. Skicirajte in izraˇcunajte ploˇsˇcino lika, ki
ga na ploskvi xy opiˇse senca ploskve R.
Problem 20 (Seminar, 5.1.2013)
ˇ ima enaˇcba eno samo realno
Za p ∈ R imamo enaˇcbo x3 − 3x − p = 0. Ce
reˇsitev, naj bo f (p) kvadrat te reˇsitve. Sicer naj bo f (p) produkt najmanjˇse
in najveˇcje reˇsitve te enaˇcbe.
1. Poiˇsˇcite minimum funkcije f (p).
2. Pribliˇzno skicirajte funkcijo f (p).
Problem 21 (Seminar, 5.1.2013)
Pokaˇzite, da za naravna ˇstevila n = 1, 2, . . . obstajajo polinomi pn (x), qn (x),
za katere
a) Velja
sin(nϕ) = pn (tan ϕ) cosn ϕ
cos(nϕ) = qn (tan ϕ) cosn ϕ
b) Za n > 1 veljajo identitete
p0n (x) = nqn−1 (x)
qn0 (x) = −npn−1 (x)
Problem 22 (Seminar, 5.1.2013)
Kolikˇsen najmanj je lahko R, da bo vsaka premica s smernim koeficientom
2
sekala (ali se dotikala) vsaj katerega izmed krogov z radijem R in
5
srediˇsˇcem v celoˇstevilskih toˇckah ravnine.
Problem 23 (Seminar, 5.1.2013)
Naj bo f (x) zvezna funkcija definirana za x > 0 in taka, da velja
f (x1 ) > f (x2 ) > 0, kadarkoli je 0 < x1 < x2 . Naj bo
Z2x
S(x) =
f (t)dt
x
in S(1) = 1. Za vsak a > 0 je ploˇsˇcina obmoˇcja omejenega
• s premico, ki povezuje izhodiˇsˇce in toˇcko (a, f (a)),
• s premico, ki povezuje izhodiˇsˇce in toˇcko (2a, f (2a)) in
• s krivuljo y = f (x)
enaka 3S(a).
1. Izrazite S(x) in f (x) − 2f (2x) kot funkciji x-a.
2. Za x > 0, naj bo
g(x) = lim 2n f (2n x).
n→∞
Doloˇcite vrednost integrala
Z2x
g(t)dt
x
3. Doloˇcite funkcijo f (x).
Problem 24 (Seminar, 5.1.2013)
Barbara ima na zalogi 15 kg brazilske in 24 kg kolumbijske kave. Ti dve
kavi meˇsa in prodaja v zavojˇckih po 200 g. Pri zavojˇckih “Caff´e normal”, v
katere zmeˇsa po 50 g brazilske in 150 g kolumbijske kave, ima po 0.25 e
dobiˇcka na zavojˇcek. Nekoliko bolj imenitni zavojˇcki “Caff´e extra”, v katere
zmeˇsa po 100 g brazilske in 100 g kolumbijske kave, pa ji prinaˇsajo po 0.45
e dobiˇcka na zavojˇcek. Kako naj premeˇsa in zapakira svojo zalogo kave, da
bo njen dobiˇcek ˇcim veˇcji? (Kaj pa ˇce zavojˇcek “Caff´e normal” namesto
0.25 prinaˇsa le 0.20 ali celo 0.70e dobiˇcka?)
Problem 25 (Seminar, 5.1.2013)
Na voljo imamo dve vrsti hrane za naˇsega psa. V prvi, ki stane 5 e, je 200
enot vitaminov, 100 enot mineralov in 400 kalorij, v drugi, ki stane 3 e, pa
je 100 enot vitaminov, 200 enot mineralov in 400 kalorij. Psu bi radi dali
vsaj 400 enot vitaminov, 500 enot mineralov in 1400 kalorij. S kakˇsno
kombinacijo obeh vrst hrane lahko to doseˇzemo najceneje?
Problem 26 (Seminar, 5.1.2013)
V ravnini sta dani toˇcki A(1, 0), B(2, 0) in premica L : y = mx (m 6= 0).
a) Izrazite x in y toˇcke P (x, y) na L z m-jem tako, da bo AP + BP
minimalno.
b) Doloˇcite enaˇcbo, ki opisuje mesta takih toˇck P za vse m-je.
Problem 27 (Seminar, 5.1.2013)
√
Toˇcka P (t, t2 ) je toˇcka na paraboli y = x2 . Krog z radijem 1 + 4t2 se v
toˇcki P dotika parabole. Doloˇcite enaˇcbo, ki opisuje srediˇsˇca krogov za vse
vrednosti t. Nariˇsite.
Problem 28 (Seminar, 5.1.2013)
Za vsako realno ˇstevilo x je bxc celi del ˇstevila x, oziroma bxc je najveˇcje
celo ˇstevilo, ki ni veˇcje od x.
√
Trditev C: Za vsaki realni ˇstevili x, y ≥ 0 velja bx + yc + a > 2 x · y.
a) Dokaˇzite, da za vsako realno ˇstevilo a ≥ 1 velja trditev C.
b) Dokaˇzite, da je najmanjˇsi a za katerega velja trditev C, enak 1.
Problem 29 (Seminar, 5.1.2013)
Imamo dve posodi. Prva drˇzi 5 in druga 3 litre. Kako bi ob vodnjaku
izmerili natanko 4 litre vode? Razmislite tudi:
a) Kako bi izmerili 2 litra s pomoˇcjo 3 in 7 literske posode?
b) Kako bi izmerili 6 litrov s pomoˇcjo 12 in 16 literske posode?
c) Kako bi izmerili 12 litrov s pomoˇcjo 18 in 24 literske posode?
Problem 30 (Seminar, 5.1.2013)
Predpostavimo da je f (x) > 0 in f (x1 + x2 ) = f (x1 ) · f (x2 ) za vse x, x1 in
x2 .
a) Izrazite f (−x) z f (x).
b) Izraˇcunajte f (x), ˇce je f (1) = a.
Problem 31 (Seminar, 5.1.2013)
Na obodu kroga je n toˇck. Nariˇsemo vse moˇzne tetive med temi toˇckami.
Na koliko delov razpade krog, ˇce se nobene tri tetive ne sekajo v isti toˇcki?
Problem 32 (Seminar, 5.1.2013)
Meˇcemo m kock naenkrat, in poskus ponovimo n krat. Ugotovite
verjetnosti:
a) Da dobimo vsaj eno enko‘ v vsakem poskusu.
’
b) Da dobimo m enk‘ vsaj v enem poskusu.
’