Mat 4 zapiski
Transcription
Mat 4 zapiski
Matematika 4 Zapiski s predavanj prof. Petra Legiˇse ˇ cula Miha Canˇ 9. julij 2010 Kazalo 1 Variacijski raˇ cun 1.1 Osnovni variacijski problem 1.2 Parametriˇcna reˇsitev . . . . 1.3 Viˇsji odvodi . . . . . . . . . 1.4 Veˇc spremenljivk . . . . . . 1.5 Izoperimetriˇcni problem . . 1.6 Vezani ekstrem . . . . . . . 1.7 Geodetke . . . . . . . . . . 1.8 Integrali s spremenljivo mejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 3 . 6 . 6 . 7 . 7 . 10 . 11 . 11 2 Holomorfne funkcije 2.1 Potenˇcne vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Integrali v C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Logaritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Sploˇsna Cauchyjeva formula . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Niˇcle analitiˇcne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Laurentova vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Konformne preslikave . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Stereografska projekcija . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Linearne lomljene (M¨obiusove) transformacije 2.9 Zveze s harmoniˇcnimi funkcijami . . . . . . . . . . . 2.10 Dirichletov problem za krog . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Funkcija Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 15 26 27 27 30 33 40 41 42 45 47 47 3 Diferencialne enaˇ cbe 3.1 Frobeniusova metoda . . . . . . . . . . 3.2 Besselova enaˇcba . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Integralska reprezentacija za Jn 3.2.2 Neumannova funkcija . . . . . . 3.2.3 Hanklovi funkciji . . . . . . . . 3.3 Enaˇcba za neskonˇcno struno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 51 54 56 57 58 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Linearni diferencialni operatorji drugega reda 4.1 Lastne vrednosti in lastne funkcije simetriˇcnega operatorja 4.2 Besselov diferencialni operator . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Enaˇcba za lastne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Nihanje proˇzne opne . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Hermitov diferencialni operator . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Specialne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Linearno neodvisna zaporedja polinomov 5.1 Sploˇsna teorija ortogonalnih polinomov . . 5.2 Legendrovi polinomi . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Rodriguova formula . . . . . . . . . 5.2.2 Rodovna funkcija . . . . . . . . . . 5.3 Hermitovi polinomi . . . . . . . . . . . . . 5.4 Prirejene Legendrove funkcije . . . . . . . 5.5 Sferne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 61 62 62 63 65 65 . . . . . . . 65 66 67 67 71 73 73 74 6 Linearne PDE drugega reda za funkcijo 2 spremenljivk 78 6.1 Klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2 1 Variacijski raˇ cun Motivacija: Problem brahistohrone Imamo dve toˇcki v navpiˇcni ravnini, ki ne leˇzita ena nad drugo. Po kakˇsni krivulji v tej ravnini se mora gibati toˇckasta masa, da bo pod vplivom teˇze za prehod od zgornje do spodnje toˇcke potrebovala najmanj ˇcasa? ] p p 1 + (y 0 )2 dx mv 2 ds = mgy ⇒ v(y) = 2gy = = 2 dt dt p 1 + (y 0 )2 √ dx ⇒ dt = 2gy ˆ x1 s 1 1 + (y 0 )2 t= √ dx y 2g 0 Naloga je poiskati y = y(x), definirano na [0, x] z y(x1 ) = 0, y(0) = y2 , da bo ˆ x1 s 1 + (y 0 )2 dx y 0 minimalen. 1.1 Osnovni variacijski problem ´b Imamo predpis: y 7→ Φ(y) = a f (x, y, y 0 ) dx. Φ je funkcional (funkciji f priredi ˇstevilo). Tu mora biti y definiran na [a, b]. Pogosto so predpisane vrednosti y(a) = y1 in y(b) = y2 . Iˇsˇcemo ekstrem funkcionala Φ (tiste y(x),qza katere je integral minimalen ali maksimalen). 0 )2 . V primeru brahistohrone je f (x, y, y 0 ) = 1+(y y Razmislek • Denimo, da je ekstrem doseˇzen pri y, vzemimo da je maksimum. ˇ y spremenim (malo) v y + δy (variiram), je Φ(y + δy) ≤ Φ(y). • Ce Naj bo h funkcija na [a, b] in δy = t · h, t blizu 0. Φ(y + th) = gh (t) ≤ Φ(y) = gh (0). ⇒ gh ima v 0 ekstrem za vsak h. ⇒ ˇce je gh odvedljiva, je gh0 (0) = 0 ∀h. Ekstrem funkcionala smo prevedli na ekstrem funkcije. ˇ so vrednosti za y na robu predpisane (y(a) = y1 ), je (y + th)(a) = y(a) + th(a) = y1 za t Ce blizu 0, torej je h(a) = 0. Enako velja za vsako toˇcko, kjer je y predpisan. ˆ b ˆ b 0 gh (t) = Φ(y + th) = f (x, y + th, (y + th) ) dx = f (x, y + th, y 0 + th0 ) dx d d gh (t) = dt dt ˆ a ˆ b f (x, y + th, y 0 + th0 ) dx = a a 3 a b ∂ f (x, y + th, y 0 + th0 ) dx = ∂t ˆ b [fy · h + fy0 · h0 ] dx = ˆ a ˆ b b ∂ fy0 dx ∂x a a ˆ b ∂ b 0 fy − ⇒ gh (t) = fy0 h|a + fy0 h dx ∂x a 2.del : 0 fy0 h dx = fy0 · h|ba − h ˇ ima y predpisane vrednosti v a, b, je h(a) = h(b) = 0 ⇒ fy0 h = 0 Ce gh0 (0) ˆ b ∂ = fy − fy0 h dx = 0 ∂x a je ekstrem, velja za vse h, pri katerih je h(a) = h(b) = 0. Videli bomo, da je Za y, v∂ katerem fy − ∂x fy0 = 0. Eulerjeva enaˇ cba fy − d fy 0 = 0 dx Eulerjeva ali Euler-Lagrangeva enaˇcba, je DE 2. reda. Tudi ˇce y nima predpisanih vrednosti v a in b, ta enaˇcba ˇse vedno velja (ekstrem v sploˇsnem ˇ vedno bo moralo drˇzati fy0 · h|b = 0∀h. Denimo, da je tudi ekstrem pri fiksnih koncih). Se a y ni predpisan v a. Vzamem h s h(b) = 0, h(a) poljuben. Dobim dinamiˇ cni robni pogoj fy0 (a) = 0. Podobno, ˇce y ni predpisan v b, velja fy0 (b) = 0. Lema: Osnovna lema VR ´ ˇ je b G(x)h(x) dx = 0 za vsako funkcijo h ∈ C 1 [a, b] s Naj bo G zvezna na [a, b]. Ce a h(a) = h0 (a) = h(b) = h0 (b) = 0, je G ≡ 0 na [a, b] oz. G(x) = 0∀x ∈ [a, b]. Dokaz Denimo G(z) 6= 0, z ∈ [a, b], privzemimo G(z) > 0. Zaradi zveznosti obstaja > 0, da je G(x) > 0 na [z − , z + ] ∩ [a, b]. Obstajata x1 in x2 , da je x1 < x2 in [x1 , x2 ] ⊂ [z − , z + ] ∩ [a, b] in z ∈ [x1 , x2 ]. Tako je G na [x1 , x2 ] pozitivna. Vzamemo (x − x1 )2 (x − x2 )2 ; x1 ≤ x ≤ x2 h(x) = 0; sicer h(x) > 0 na (x1 , x2 ), zadoˇsˇca naˇsim pogojem. ˆ ˆ b x2 G(x)h(x) dx = a G(x)h(x) dx > 0 x1 Protislovje s pogojem, da je integral enak 0 za vsak h. 4 Trditev ˇ Ce je f = f (y, y 0 ), iz Eulerjeve DE sledi f − y 0 fy 0 = C Torej enaˇcba prvega reda. Dokaz d d d d (f − y 0 fy0 ) = f − y 00 fy0 − y 0 fy0 = fy y 0 + yy0 y 00 − yy0 y 00 − y 0 fy0 = dx dx dx dx d 0 0 d 0 = fy y − y fy 0 = y fy − fy 0 dx dx Izraz v [. . . ] je 0 po Eulerjevi enaˇcbi. Tak primer je brahistohrona. s 1 + (y 0 )2 f (y, y 0 ) = y 1 1 y0 fy = √ p 2y 0 = √ p y 2 1 + (y 0 )2 y 1 + (y 0 )2 s (y 0 )2 1 + (y 0 )2 − (y 0 )2 1 1 + (y 0 )2 −√ p = √ p =√ p =C y y 1 + (y 0 )2 y 1 + (y 0 )2 y 1 + (y 0 )2 y 1 + (y 0 )2 = D ≥ 0 Reˇsimo DE. Reˇsitve so le za 0 ≤ y ≤ D, torej lahko zapiˇsemo y = D sin2 ϕ(t). 1 + (y 0 )2 = D 1 = = 1 + cot2 ϕ 2 y sin ϕ y 0 = ± cot ϕ, vzemimo y 0 = cot ϕ cos ϕ dx 2D sin ϕ cos ϕ dϕ y0 = = = sin ϕ dy dx dx = 2D sin2 ϕ dϕ = 2y dϕ = D(1 − cos 2ϕ) dϕ sin 2ϕ D x = D(ϕ − ) + E = (2ϕ − sin 2ϕ) + E 2 2 D y = (1 − cos 2ϕ) 2 u = 2ϕ ⇒ x = A(u − sin u) + E; y = A(u − cos u) cikloida ˇ robni pogoji: Se x(0) = E = x1 ; y(0) = 0 A izraˇcunamo iz drugega pogoja, je teˇzje. 5 1.2 Parametriˇ cna reˇ sitev x = x(t), y = y(t), y 0 = xy˙˙ y˙ 0 f (x, y, y ) = f x(t), y(t), x˙ y˙ x(t) ˙ F (t) = f x(t), y(t), x˙ ˆ β Φ(y) = F (t) dt α V ekstremu velja: Fx − d d Fx˙ = Fy − Fy˙ = 0 dt dt Dovolj je ˇze ena izmed teh enaˇcb. Problem Najdi ekstrem za Φ(y) = ´ π/4 0 (y 2 + (y 0 )2 ) dx, y(0) = 1 Reˇ sitev En dinamiˇcni robni pogoj: fy0 (π/4) = 0. fy0 = −2y 0 ⇒ y 0 (π/4) = 0 d 0 d fy = −2 y 0 = −2y 00 dx dt 00 y = y ⇒ y = A cos x + B sin x 2y = fy = Upoˇstevamo robna pogoja: y(0) = A = 1 √ 2 =0 ⇒ B=A=1 2 ⇒ Ekstremala je y = cos x + sin x 0 y (π/4)(−A + B) 1.3 ˇ imamo viˇ Ce sje odvode ˆ b f (x, y, y 0 , y 00 ) dx Φ(y) = a Podobno kot za 1 odvod izpeljujemo do Euler-Poissonove enaˇ cbe : fy − d d2 fy0 + 2 fy00 = 0 dx dx 6 1.4 Veˇ c spremenljivk ¨ Φ(z) = f (x, y, z, D p= ∂z ∂z , ) dx dy; D ⊂ R2 ∂x ∂y ∂z ∂z ; q= ∂x ∂y Uporabimo Greenovo formulo, dobimo fz = 1.5 ∂ ∂ fp + fq ∂x ∂y Izoperimetriˇ cni problem Problem Iˇsˇcemo y :[a,b]→ R, ki zadoˇsˇca Ψ(y) = ´b a g(x, y, y 0 ) dx = l, l je podan, za katero funkcional ˆ b f (x, y, y 0 ) dx Φ(y) = a doseˇze ekstrem. y ∈ C 1 , f, g ∈ C 2 , y(a) = c, y(b) = d. 7 Reˇ sitev Denimo, da je ekstrem pri nekem u. δy = th + sk; t, s blizu 0; h, k : [a, b] → R. h(a) = h(b) = k(a) = k(b) = 0 ˆ b g(x, u + th + sk, u0 + th0 + sk 0 ) dx = G(t, s) = l Ψ(u + δy) = a ˆ b f (x, u + th + sk, u0 + th0 + sk 0 ) dx = F (t, s) Φ(u + δy) = a F (t, s) ima ekstrem v t = s = 0 ⇒ F ima ekstrem v (0, 0) pri pogoju G(t, s) − l = 0, to je navaden vezani ekstrem ⇒ grad(F − λG)(0, 0) = 0. ˆ b Ft = a ˆ ∂ f (x, u + th + sk, u0 + th0 + sk 0 ) dx = ∂t b Gt = ˆ a ∂ g(x, u + th + sk, u0 + th0 + sk 0 ) dx = ∂t b ((fy − λgy )h + (fy0 − λgy0 )h0 ) = 0 ⇒ a Drugi del integriramo per partes: ˆ b d ⇒ (fy − λgy ) + (fy0 − λgy0 ) = 0 dx a Po OLVR sledi (f − λg)y + d (f − λg)y0 = 0 dx Dobili smo Eulerjevo enaˇcbo za f − λg oz. Φ − λΨ 8 ˆ b (fy h + fy0 h0 ) dx a ˆ b (gy h + gy0 h0 ) dx a Problem: Didonin problem Dana je dolˇzina l > 2a. Iˇsˇcemo y(x), da bo ploˇsˇcina maksimalna. Reˇ sitev Reˇsujemo v parametriˇcni obliki: x = x(t), y = y(t), t ∈ [0, 1]. x(0) = −a, x(1) = a, y(0) = y(1) = 0. ˆ 1p l= x˙ 2 + y˙ 2 dt = Ψ(x, ˙ y) ˙ konstanten 0 ˆ ˆ a 1 y x˙ dt = Φ(y, x) ˙ maknimalen y dx = S= −a 0 ˆ (Φ − λΨ)(y, x, ˙ y) ˙ = 1 ˆ p 2 2 y x˙ − λ x˙ + y˙ dt = 0 1 w(y, x, ˙ y) ˙ dt 0 Eulerjevi enaˇcbi: 0 = wx = d d wx˙ ; wy = wx˙ dt dt 2x˙ d wx˙ = y − λ p = C; x˙ = wy˙ ⇒ x − wy˙ = D dt 2 x˙ 2 + y˙ 2 ˆ y y˙ + xx˙ = C y˙ + Dx˙ /2 y 2 + x2 = 2Cy + 2Dx + E Reˇsitev je kroˇzni lok, srediˇsce ima na osi y ⇒ D = 0. x2 + (y − q)2 = r2 q in r doloˇcimo iz a in l. 9 Problem Krivulja, ki veˇze toˇcki T1 in T2 in ima pri dani dolˇzini najniˇzje teˇziˇsˇce. Reˇ sitev p ´ myT = K y dm, dm = σds = σ 1 + (y 0 )2 dx, m = σl. ˆ ˆ 1 b p 1 b p 0 2 yT = σy 1 + (y ) dx = y 1 + (y 0 )2 dx σl a l a ˆ bp 1 + (y 0 )2 dx = Ψ(y) l= a ´b p Minimiziramo funkcional lyT = a σy 1 + (y 0 )2 dx = Φ(y). Minimum za Φ pri pogoju Ψ = l ⇒ Eulerjeva enaˇcba za (Φ − λΨ): ˆ b p (y − λ) 1 + (y 0 )2 dx (Φ − λΨ)(y) = a Nova spremenljivka z = y − λ, z 0 = y 0 ⇒ ˆ b−λ p (Φ − λΨ)(y) = z 1 + (z 0 )2 dx = ∆(z) a−λ Iˇsˇcemo ekstrem za ∆: 2π∆(z) je povrˇ sina rotacijske ploskve, ko graf zavrtimo okrog osi x. x−A x−A ⇒ y = λ + C cosh C To pa poznamo: z = C cosh C 1.6 Vezani ekstrem Imamo ekstrem funkcionala ˆ b f (t, ~r(t)) dt Φ(~r) = a na razredu vseh funkcij, ki zadoˇsˇcajo g1 (t, ~r(t)) = 0 .. . gm (t, ~r(t)) = 0 (1) Za ekstremalo ~r(t) veljajo Eulerjeve enaˇcbe za funkcijo: h=f+ m X λj (t)gj j=1 Torej: d ∂h ∂h = ∂xi dt ∂ x˙i 10 za i = 1, 2, . . . 1.7 Geodetke Krivulje na dani ploskvi z najmanjˇso dolˇzino. Ploskev podana implicitno: g(x, y, z) = g(~r) = 0 ´b ⇒ vez g(~r(t)) = 0, minimiziramo K(~r) = p h = x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 + λ(t)g(x, y, z) a |~r(t)| Eulerjeva enaˇcba: ∂h d ∂h = ∂x dt ∂ x˙ # " d x˙ ∂g d x˙ d x˙ p = λ(t) = = ∂x dt dt s˙ dt |r(t)| ˙ x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ∂g y˙ ∂g d z˙ Enako za y in z, λ(t) ∂y = dtd |r(t)| = in λ(t) . ˙ ∂z dt |r(t)| ˙ λ(t) ∂g ∂g ∂g , , ∂x ∂y ∂z d = dt (x, ˙ y, ˙ z) ˙ |r(t)| ˙ = d ~r˙ d = ξ~ ˙ dt |~r| dt d~ d ds ξ = ξ~ = ξ 0 s˙ dt ds dt Gradient g, ki leˇzi na normali ploskve, je vzporeden glavni normali geodetke. λ(t)∇g = Primer Ploskev je sfera. Normala kaˇze vedno iz srediˇsˇca ⇒ pritisnjena ravnina geodetke vsebuje srediˇsˇce sfere ⇒ najkrajˇsa pot je lok s srediˇsˇcem v srediˇsˇcu sfere (lok na glavni kroˇznici). 1.8 Integrali s spremenljivo mejo Imamo funkcional ˆ z Φ(y, z) = f (x, y, y 0 ) dx a Tu je y(a) = c fiksiran, z in y(z) pa se spreminjata. Naredili bomo malo bolj po domaˇce. Recimo, da je ekstrem pri y. Φ(y + δy, z + δz) − Φ(y, z) = δΦ = ˆ z+δz ˆ 0 0 = f (x, y + δy, y + δy ) dx − a z f (x, y, y 0 ) dx = a 11 ˆ ˆ z 0 z+δz 0 [f (x, y + δy, y + δy ) − f (x, y, y )] dx + ≈ a z ˆ z 0 [fy δy + fy0 δy 0 ] dx ≈ f (x, y, y )δz + a ˆ z ˆ z ˆ z d 0 d z 0 0 0 0 [fy δy ] dx = fy δy|a − fy δy dx = fy (z)δy(z) − (fy0 δy) dx a dx a a dx ˆ z d 0 fy − fy0 δy dx + fy0 (z)δy(z) ⇒ δΦ ≈ f (x, y, y )δz + dx a = ˇ ima Φ ekstrem pri y, z, ga ima tudi pri konstantnem z. ⇒ EE Ce d fy − fy 0 = 0 dx δw = δy(z) + y 0 (z)δz δΦ ≈ f (x, y, y 0 )δz + fy0 (z)(δw − y 0 (z)δz) ≈ [f − y 0 fy0 ] δz + fy0 δw ˇ je y ekstremala, ima δΦ konstanten predznak. Ce ˇ ni dodatnega pogoja, vzamemo δz = 0 ⇒ fy0 = r, δw je lahko poljuben. Da bo vse • Ce konstantnega predznaka, je tudi f − y 0 fy0 = 0 • Vzemimo, da toˇcka (z, w) leˇzi na krivulji w = ϕ(z), δw = ϕ0 (z)δz. ⇒ δΦ = [f − y 0 fy0 + fy0 ϕ0 ] δz = [f − fy0 (y 0 + ϕ0 )] δz To je konstantnega predznaka ⇒ [. . . ] = 0. f + (ϕ0 − y 0 )fy0 = 0 To je transverzalnostni pogoj . Vsi ti pogoji veljajo za konˇcno toˇcko. Primer p ´z Naj bo Φ(y, z) = a u(x, y) 1 + (y 0 )2 dx in y(z) = ϕ(z) v konˇcni toˇcki, ϕ, u dani. 0 Transverzalnostni pogoj: fy0 = u √ y 0 2 . 1+(y ) p y0 0 = f + (ϕ0 − y 0 )fy0 = u 1 + (y 0 )2 + (ϕ0 − y 0 )u p = 1 + (y 0 )2 u =p 1 + (y 0 )2 + ϕ0 y 0 − (y 0 )2 1 + (y 0 )2 ⇒ 1 + ϕ0 y 0 = 0 ⇒ ϕ0 (z)y 0 (z) = −1 Tangenti na ϕ in y sta pravokotni ⇒ y seka krivuljo ϕ pravokotno. Primer Poseben primer: u(x, y) ≡ 1, Φ je dolˇzina krivulje. ⇒ Najkrajˇsa pot do krivulje je pravokotna na konˇcno krivuljo. 12 2 Holomorfne funkcije Definicija odp Naj bo D ⊂ C in f : D → C. Pravimo, da je f v z0 odvedljiva v smislu C (ima kompleksni odvod), ˇce obstaja limita lim z→z0 f (z) − f (z0 ) = f 0 (z0 ) z − z0 Definicija ˇ je f odvedljiva v vsaki toˇcki obmoˇcja D, je f holomorfna na D. Ce ˇ Ce je f holomorfna na C, je cela (entire) Primer Konstanta je cela. f (z) = z je cela (f’(z) = 1). Vsak polinom je cela funkcija. Za odvajanje veljajo obiˇcajna pravila 2.1 Potenˇ cne vrste P∞ an (z − z0 )n ima konvergenˇcni polmer R ∈ [0, ∞). Vrsta konvergira za |z − z0 | < R in divergira za |z − z0 | > R. ⇒ Konvergenˇcno obmoˇcje je vedno krog. n=0 13 Primer P 1 n • 1 + z + z2 + · · · = ∞ n=0 z = 1−z konvergira za |z| < 1 ⇒ R = 1. divergira za |z| ≥ 1. P∞ z n • n=1 n2 zn+1 n2 n2 Kvocientni kriterij: (n+1)2 zn = |z| (n+1) 2 → |z| ⇒ Vrsta konvergira za |z| < 1 ⇒ R = 1, divergira za |z| > 1 Kaj pa rob? P 1 π2 |z| = 1 ⇒ majoranta je ∞ n=1 n2 = 6 Konvergira za |z| ≤ 1. P zn • ez = 1 + z + z 2 + · · · = ∞ n=0 n! ima R = ∞. Konvergira za vse z. Enako velja za sin z in cos z. P∞ n • n=1 z · n! konvergira le za z= 0. z n+1 Kvocientni kriterij: (n+1)! = |z|(n + 1) n! zn Za |z| > 0 to ni omejeno, za |z| = 0 pa je to 0 ⇒ R = 0. Izrek P n cni polmer R > 0. Naj bo f (z) = ∞ n=0 an (z − z0 ) , kjer ima vrsta na desni konvergenˇ Znotraj konvergenˇcnega kroga je f zvezna in odvedljiva in velja 0 f (z) = ∞ X nan (z − z0 )n−1 n=0 za |z − z0 | < R. Konv. polmer za f 0 (z) je tudi R. ˇ je w ∈ C, w 6= 0, obstaja limita Naj bo f v z0 odvedljiva, f : D → C. Ce f (z0 + tw) − f (z0 ) = f 0 (z0 ) t→0, t∈R tw lim (2) f (z) = f˜(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) v (2) vzamem w = 1: f (z0 + t) − f (z0 ) ∂ f˜ = = ux + ivx t→0 t ∂x f 0 (z0 ) = lim v (2) vzamem w = i: f 0 (z0 ) = 1 ∂ f˜ = −i[uy + ivy ] = vy − iuy i ∂y 14 ⇒ ux + ivy = vy − iuy ⇒ ux = vy , vx = −uy Izrek: Cauchy-Riemannov sistem ˇ je f = u + iv odvedljiva v z, tam velja Ce ux = vy in uy = −vx Trditev ˇ sta u, v diferenciabilni in velja CRS, je u + iv holomorfna Ce 2.2 Integrali v C Naj bo f : D → C zvezna in K orientirana gladka pot v D. z = ϕ(t), t ∈ [α, β], ϕ ∈ C 1 . Definicija ˆ def ˆ β f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt f (z) dz = K α Ima obiˇcajne lastnosti. Primer Kroˇznica: ϕ(t) = z0 + ρeit , t ∈ [0, 2π] 0 it ϕ ⇒ ´ (t) = ´ρie 2π f = 0 f (z0 + ρeit )ρieit dt K Pomemben: ˆ ˆ 2π ˆ 2π dz ρieit = dt = i dt = 2πi ρeit K z − z0 0 0 Obmoˇcje = odprta, SPP mnoˇzica. Definicija F je nedoloˇ ceni ´integral za f na obmoˇcju D, ˇce je F 0 = f . V tem primeru je K f (z)dz = F (b) − F (a), kjer sta a in b zaˇcetna in konˇcna toˇcka K. ˇ je K sklenjena, je Ce ´ K F 0 (x) dx = 0. 15 ˇ je K sklenjena in ne gre skozi z0 , je za m 6= −1 ⇒ Ce ˆ (z − z0 )m dz = 0 K ker ima (z − z0 )m nedoloˇceni integral. Trditev ˇ Ce je f omejena na K, |f (z)| ≤ M ∀z ∈ K, je ˆ f (z)dz ≤ M · l K kjer je l dolˇzina K. Trditev Naj bo f holomorfna na D in ∆ trikotnik v D. Potem je ˆ f (z) dz = 0 ∂∆ ∆1 ∆ ∆3 ∆2 16 Dokaz ´ Oznaˇcimo A = ∂∆ f (z) dz, trikotniku razpolovim stranice in dobim 4 skladne trikotnike. ˇ trikotnike orientiram enako kot Ti trikotniki so podobni ∆. Oznaˇcimo jih ∆1 do ∆4 . Ce ∆, je ˆ ˆ A= f (z) dz + · · · + f (z) dz ∂∆1 ∂∆4 Za vsaj enega velja: ˆ A ≥ f (z) dz 4 ∂∆i Tega oznaˇcim ∆1 in ga spet razdelim na 4 dele. ˆ A f (z) dz ≥ 4 ∂∆1 Spet obstaja en ∆1i = ∆2 , da je ˆ A f (z) dz ≥ 16 ∂∆2 Dobim zaporedje vloˇzenih trikotnikov ∆∆1 ∆2 . . . . Obstaja natanko ena toˇcka z0 , ki je i v preseku vseh teh trikotnikov (z0 ∈ ∩∞ i=0 ∆ ). Po predpostavki je f odvedljiva v z0 ⇒ f (z)−f (z−z0 ) − f 0 (z0 ) = η(z) → 0. z−z0 f (z) = f (z0 ) + f 0 (z0 )(z − z0 ) + η(z)(z − z0 ) ˆ ˆ ˆ ˆ 0 f (z0 )(z − z0 ) dz + f (z0 )dz + f (z) dz = ∂∆n ∂∆n ∂∆n η(z)(z − z0 ) dz = ∂∆n Prva dva ˇclena imata nedoloˇceni integral ⇒ sta enaka 0. ˆ ≤ max |η(z)| · max |(z − z0 )|∆n · obseg(∆n ) ≤ η(z)(z − z ) dz 0 n ∂∆ max |(z − z0 )|∆ obseg(∆) ≤ max |η(z)| · · 2n 2n ˆ max η(z)o(∆)r(∆) |A| ≤ ≤ f (z) dz 4n 4n ∂∆2 |A| ≤ o(∆)r(∆)| max(η(z)|) max(η(z)) ≥ |A| =C≥0 o(∆)r(∆) n→∞ max(η(z)) −−−→ 0 ⇒ |A| = 0 17 Definicija Mnoˇzica D ⊂ C je zvezdasta , ˇce obstaja toˇcka z0 ∈ D, da za vsako toˇcko z ∈ D daljica od z0 do z leˇzi v D. Torej: Obstaja taka toˇcka, da ˇce vanjo postavim luˇc, bo cela mnoˇzica osvetljena. Primer • Vsaka konveksna mnoˇzica je zvezdasta. Trditev Naj bo D zvezdasto obmoˇcje, f : D → C zvezna in za vsak trikotnik ∆ ⊂ D naj bo ˆ f (z) dz = 0 ∂∆ Tedaj ima f nedoloˇceni integral na D. Dokaz Lz je daljica od´ z do z0 . Ideja: F (z) = Lz f (t) dt, F (z0 ) = 0. ∃ krog s polmerom ε > 0 okrog z, vsebovan v D, h < . Kh je daljica od z do z + h. Imamo trikotnik z0 , z, z + h. ˆ ˆ ˆ f (z) dz + f (z) dz − f (z) dz = 0 Lz Kh z+h ˆ F (z + h) − F (z) = f (v) dv Kh Naj bo η > 0 Ker je f zvezna, obstaja 0 < 0 < , da je f (w) − f (v) < 0 za |w − v| < η ˆ ˆ ˆ f (z)dw + (f (z) − f (w)) dw = f (z)h + o f (w) dw = Kh Kh Kh Vzemimo |h| < 0 ⇒ ho < η F (z + h) − F (z) o = f (z) + → f (z) h h 18 Posledica Naj bo D odprta zvezdasta mnoˇzica in f holomorfna na D. Za vsako sklenjeno krivuljo K v D je ˆ f (z) dz = 0 K Dokaz Kombinacija prejˇsnjih dveh trditev, f ima nedoloˇceni integral. Trditev: Cauchyjeva formula Naj bo f holomorfna na obmoˇcju D in ∆ = {z; |z − z0 | ≤ ρ} ∈ D zaprt krog. Potem je za vsak a v notranjosti ∆ ˆ f (z) dz 1 f (a) = 2πi ∂∆ z − a ˇ poznam vrednosti holomorfne funkcije na robu, jo Tu je ∂∆ orientiran pozitivno. Ce poznam na celem krogu. Dokaz D je odprt ⇒ obstaja ε1 > 0, da je tudi krog |z − z0 | ≤ ρ + ε1 vsebovan v D. Nariˇsem majhen krog K okrog toˇcke a, da je K ∈ ∆. Zveˇzem z0 in a, podaljsam in naredim pravokotnico v a. Dobim 4 sklenjene krivulje, ki gredo od roba kroga K do roba ∆ in po obeh robovih, integral po vseh 4 je 0. Po vsaki zveznici integriram po enkrat v vsako smer, zato so tudi ti integrali 0. ⇒ integral po ∂∆ = integral po ∂K. K je poljubno majhen, f je zvezna v a ∀ε > 0 ∃δ > 0, da iz |z−a| < δ sledi |f (z)−f (a)| < ε. ⇒ ˆ ˆ dz f (z) dz → f (a) = f (a) · 2πi ∂K z − a ∂K z − a Posledica Naj bo f holomorfna na odprti mnoˇzici D in a ∈ D. Potem lahko f razvijemo v potenˇcno vrsto okrog a in ta vrsta konvergira v vsakem krogu s srediˇsˇcem v a, vsebovanem v D. 19 Dokaz K = {|w − a| = ρ}. ˆ 1 f (w) dw f (z) = 2πi K w − z ∞ 1 1 1 1 1 1 X (z − a)n = = = = z−a w−z (w − a) − (z − a) w−a1−q w − a n=0 (w − a)n (w − a) 1 − w−a ˆ ∞ 1 X (z − a)n f (w) 1 dw f (z) = 2πi K w − a n=0 (w − a)n P∞ (z−a)n f (w) f je zvezna na K, zato je omejena, |f (z)| ≤ M . ima za enakomerno n=0 (w−a)n P∞ M n majoranto ρ ⇒ lahko zamenjam integral in vsoto. n=0 |q| f (z) = ∞ X (z − a) n=0 n 1 2πi ˆ K f (w) dw (w − a)n+1 = ∞ X cn (z − a)n n=0 Notranji integral ni odvisen od z ⇒ je konstanta cn . To velja za vse z z notranjosti kroga. To vrsto lahko odvajam neskonˇcnokrat, pa se konvergenca ne spremeni. Posledica ˇ je f holomorfna na D, je neskonˇcnokrat odvedljiva na D. Ce Definicija Naj bo D ⊂ C. Funkcija f : D → C je analitiˇ cna , ˇce je odp 1. D ⊂ C 2. za vsako toˇcko z0 ∈ D obstaja potenˇcna vrsta na neki okolici toˇcke z0 P∞ n=0 an (z − z0 )n , ki konvergira k f odp f analitiˇcna na D ⊂ C ⇔ f se da na neki okolici vsake toˇcke razviti v konvergetno potenˇcno ˇ je f holomorfna, je analitiˇcna. Ce ˇ je f analitiˇcna, je holomorfna. vrsto. Ce ⇒ f je holomorfna ⇔ je analitiˇcna ⇔ je neskonˇcnokrat odvedljiva. Posledica • Vsota, produkt analitiˇcnih funkcij sta analitiˇcni. • Kvocient analitiˇcnih funkcij je analitiˇcen povsod, kjer je imenovalec od 0 razliˇcen. • Cela funkcija je analitiˇcna na vsej ravnini. 20 Posledica Naj bo f = u + iv analitiˇcna. Potem sta u in v harmoniˇ cni funkciji, se pravi v C 2 in ∆u = ∆v = 0. Dokaz u, v ∈ C ∞ , ker je f neskonˇcnokrat odvedljiva. Velja CRS: ux = vy , uy = −vx . uxx = vyx ; uyy = −vxy ⇒ uxx + uyy = vyx − vxy = 0 uxy = vyy ; uyx = −vxx ⇒ vxx + vyy = uxy − uyx = 0 Primer 1 Razvijmo f (z) = 2+z v potenˇcno vrsto okrog z = 0. f je holomorfna povsod razen v z = −2 ⇒ R = 2. ∞ f (z) = ∞ 1 1 X z n X (−1)n n = − z = n+1 2 n=0 2 2 2 1 + z2 n=0 Primer z−1 . Analitiˇcna je povsod razen v z = −1, razvijam Razvijmo okrog z = 1 funkcijo f (z) = 1+z okrog 1P⇒ R = 2, vrsta konvergira za |z − 1| < 2. n f (z) = ∞ n=0 cn (z − 1) , uvedemo substitucijo z − 1 = w ∞ ∞ X w 1 (−1)n wn X (−1)n f (z) = =w =w = (z − 1)n+1 n+1 n+1 w+2 2+w 2 2 n=0 n=0 Izrek odp ˇ fn enakomerno konvergira k Naj bo D ⊂ C in fn zaporedje analitiˇcnih funkcij na D. Ce f na vsaki omejeni kroˇzni ploˇsˇci K ∈ D, je f analitiˇcna. 21 Dokaz Naj bo K krog, K ⊂ D. Za z v notranjosti K je po Cauchyjevi formuli ˆ 1 fn (w) dw fn (z) = 2πi ∂K w − z 1 w−z je omejeno na robu K ⇒ limito in integral. ˆ f (w) dw 1 f (z) = 2πi ∂K w − z fn (w) w−z konvergira enakomerno k f (w) , w−z zato lahko zamenjamo Izrek: Morerov izrek odp Naj bo D ⊂ C in f : D → C zvezna. Za vsak trikotnik ∆ ∈ C naj bo ˆ f (z) dz = 0 ∂∆ Potem je f analitiˇcna na D Dokaz Za vsak z0 ∈ D obstaja odprt krog O okrog z0 , vsebovan v D. Dovolj je videti, da je f analitiˇcna na O. Ker je O zvezdasto obmoˇcje, smo dokazali, da ima f nedoloˇceni integral F , F 0 = f . Torej je F holomorfna, zato je neskonˇcnokrat odvedljiva, zato je tudi f holomorfna. Definicija Obmoˇcje D je enostavno povezano (simply connected), ˇce vsako sklenjeno pot v D lahko zvezno deformiramo v toˇcko v D. Primer • Konveksna mnoˇzica je enostavno povezana. • Zvezdasta mnoˇzica je enostavno povezana. • Kolobar v C ali v R2 ni enostavno povezan. • R2 r {~a} ni enostavno povezan. • R3 r {~a} je enostavno povezan. • Torus ni enostavno povezan. 22 Posledica ~ vektorsko polje razreda C 1 in rot A ~ = 0. Naj bo D EP obmoˇcje v R3 , A ~ Potem je A na D potencialno Dokaz ˇ je rot A ~ = 0, se Naj bo K sklenjena pot v D. K lahko zvezno stisnemo v toˇcko v D. Ce integral po K pri tem ne spremeni. Dobimo integral po toˇcki, ki je enak 0. ⇒ Integral ~ je potencialno. po vsaki sklenjeni krivulji je 0 ⇒ A Primer ~ okrog ˇzice p. Magnetno polje B ~ = 0, ampak R3 p ni EP. V tem primeru polje ni potencialno. Zunaj ˇzice je rot B Posledica Naj bo f holomorfna na EP obmoˇcju D. Potem je za vsako sklenjeno pot K ⊂ D ˆ f (z)dz = 0 K in f ima nedoloˇcen integral na D Dokaz f = u + iv, obravnavamo vektorsko polje (u, −v, 0). To polje je brezvrtinˇcno (rot = 0). rot (u, −v, 0) = (0, 0, −vx − uy ) = (0, 0, 0) Zadnja enakost je po CRS. ⇒ (u, −v, 0) ima potencial U = U (x, y), ker je Uz = 0. Enako je polje (v, u, 0) je brezvrtinˇcno in ima potencial V = V (x, y). Ux = u = Vy , Uy = −v = −Vy ⇒ CRS za F = U + iV . F 0 = Ux + iVx = u + iv = f ⇒ f ima nedoloˇcen integral. 23 Primer Za b > 0 izracunajmo ˆ ∞ 2 e−x cos(2bx) dx 0 ´ 2 2 Naredimo sklenjeno zanko Γ s toˇckami 0, n, n + ib, ib in raˇcunamo integral Γ e−z dz. e−z ´ 2 je cela, R2 je EP, zato ima nedoloˇcen integral ⇒ Γ e−z dz = 0. Razbijemo na 4 dele: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 −z 2 e dz = + + + e−z dz Γ Γ1 ˆ ˆ e −z 2 Γ2 n Γ3 Γ4 2 e−x dx = 0 Γ1 ˆ ˆ e −z 2 ˆ b −(n+it)2 =i Γ2 e dt = ie −n2 0 ˆ ˆ − e −z 2 = Γ3 dx = e ˆ ˆ e −z 2 Γ4 n b 0 ˆ − e −(x2 +2ib−b2 ) 2 et e−2nit dt 0 n b [cos(2bx) − i sin(2bx)] dx 0 b 2 et dt =i 0 ´ ´ ´ ´ Skupni integral je 0 ⇒ Γ1 + Γ2 = − Γ3 − Γ4 . Poˇsljemo n → ∞ in gledamo samo realni del: ˆ ∞ ˆ ∞ 2 −x2 b2 e dx = e e−x cos(2bx) dx 0 0 Za prvi integral substitucija t = x2 , dx = 1 Γ( 12 ) 2 √ = ˆ dt 2x = dt √ 2 t ⇒ ´∞ 0 2 e−x dx = ´∞ 0 e−t t−1/2 dt = π . 2 √ ∞ e −x2 cos(2bx) dx = 0 π −b2 e 2 Izrek ˇ lahko Γ v obmoˇcju D zvezno Naj bo f analitiˇcna na obmoˇcju D, Γ sklenjena pot v D. Ce deformiramo v sklenjeno pot K, je ˆ ˆ f (z) dz = f (z) dz Γ K 24 Dokaz ˆ ˆ f (z) dz = ˆ (u dx − v dy) + (u + iv)(dx + idy) = Γ Γ Γ ˆ ˆ (u, −v) d~r + i = ˆ Γ ˆ ˆ (u, −v) d~r + i (v, u) d~r = Γ (v dx + u dy) = Γ Γ ˆ (v, u) d~r = Γ f (z) dz K To je res, ker sta (u, −v) in (v, u) brezvrtinˇcni. Definicija Naj bo X metriˇcni prostor, A ⊂ X. Druˇzina {Oi ; i ∈ I} odprtih mnoˇzic je odprto pokritje za A, ˇce je A ⊂ ∪i Oi . Mnoˇzice Oi1 , . . . , Oin so konˇ cno podpokritje , ˇce je A ⊂ Oi1 ∪ · · · ∪ Oin Izrek V metriˇcnem prostoru X imamo mnoˇzico A. Te trditve so ekvivalantne: 1. Vsako odprto pokritje mnoˇzice A ima konˇcno podpokritje. 2. Vsaka neskonˇcna podmnoˇzica v A ima stekaliˇsˇce v A. 3. Vsako zaporedje v A ima podzaporedje, ki konvergira k toˇcki v A. Definicija ˇ Ce veljajo lastnosti v izreku, je A kompaktna Primer Premica ni kompaktna • Pokrijemo jo z intervali (n − 1, n + 1) za vse n ∈ Z. To je odprto pokritje, nima konˇcnega podpokritja. • Zaporedje 1, 2, 3 . . . nima stekaliˇsˇca. • Zaporedje 1, 2, 3 . . . nima konvergetnega podzaporedja. ˇ ima f na D nedoloˇcen integral F , je za vsako pot Γ od a do b Ce ˆ b ˆ f (z) dz = f (z) dz = F (b) − F (a) a Γ 25 Primer ˆ i cos z dz = sin z|iπ = sin i − sin π 2 2.3 2 π = i sinh 1 − 1 = −1 + i sinh 1 2 Logaritem ´z Funkcija f (z) = z1 je analitiˇcna na C r {0}, to ni EP obmoˇcje. Integral 1 dζζ je odvisen od poti (z 6= 0). ˆ z ˆ |z| ˆ ϕ dζ dx |z|eit i dt = + = ln |z| + iϕ ζ x |z|eit 1 1 0 ´ Izraˇcunajmo Γ dζζ , kjer je Γ sklenjena pot okrog 0, ki ne gre skozi 0. Lahko jo deformiram v ´ ˇ gre veckrat, je integral 2nπi. Ce ˇ gre v kroˇznico ⇒ Γ dζζ = 2πi, ˇce gre enkrat okrog 0. Ce negativni smeri, je integral −2πi. Definicija Naj bo a ∈ C in Γ sklenjena pot, ki ne gre skozi a. ˆ 1 dz = I(Γ, a) 2πi Γ z − a je indeks ali ovojno ˇ stevilo poti Γ glede na toˇcko a. To je celo ˇstevilo in nam pove, kolikokrat Γ obkroˇzi a (obhodi v negativno smer se ˇstejejo negativno). ˆ z 1 dζ = ln |z| + i arg z ζ Definicija log z = ln |z| + i arg z + n · 2πi n = I(Γ, 0). Vidimo, da to ni prava funkcija, ker ni enoliˇcno doloˇcena. ˇ reˇsujemo enaˇcbo ez = w: z = x + iy, w = |w|eiα . Ce ez = ex eix = |w|eiα Vzamem absolutno vrednost: ex = |w| ⇒ x = ln |w|. Pa kotni del: eiy = eiα ⇒ y = α + 2nπ, n ∈ Z. Enaˇcba ez = w, kjer je w = |w|eiα 6= 0 ima neskonˇcno reˇsitev z = ln |z| + iα + 2nπi = log z. V C vzamemo enostavno povezano obmoˇcje D, ki ne vsebuje 0. Potem ima funkcija z1 na D nedoloˇcen integral F. Najveˇckrat iz C izvzamemo negativni del realne osi in toˇcko 0. Na ta naˇcin dobimo EPO. 26 Definicija ˆ F (z) = 1 z dζ = ln |z| + i arg z; −π < arg z < π ζ To je glavna vrednost (glavna veja) logaritma. To je analitiˇcna funkcija na tej prerezani ravnini. 2.4 Sploˇ sna Cauchyjeva formula Izrek ˇ je Γ sklenjena pot pa D in a ∈ Naj bo f analitiˇcna na EPO D. Ce / Γ, je ˆ 1 f (z) dz I(Γ, a)f (a) = 2πi Γ z − a Dokaz Poglejmo si g(z) = f (z)−f (a) . z−a f analitiˇcna ⇒ lahko jo razvijemo v potenˇcno vrsto okrog a. f (z) = c0 + c1 (z − a) + c2 (z − a)2 + . . . ; f (a) = c0 f (z) − f (a) = c1 (z − a) + c2 (z − a)2 + · · · = (z − a) [c1 + c2 (z − a) + . . . ] = (z − a)h(z) (a) h(a) = c1 , h je analitiˇcna, h(z) = f (z)−f = g(z) za z 6= a. z−a ˇ Ce definiram dodatno g(a) = c1 , je´ g analitiˇcna na D (ker je h analitiˇcna). Ker je D EPO, ima g nedoloˇcen integral, zato je Γ g(z) dz = 0. ˆ ˆ f (a) dz =0 Γ Γ z −a ˆ ˆ f (z) dz dz = f (a) = f (a)2πiI(Γ, a) Γ z −a Γ z −a 2.5 f (z) dz − z−a Niˇ cle analitiˇ cne funkcije Naj bo f analitiˇcna na odprti mnoˇzici D, a ∈ D. 27 Definicija Toˇcka a je niˇ cla stopnje n za f , ˇce je f (a) = f 0 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, f (n) (a) 6= 0 V tem primeru razvijemo f okrog a. Dobim f (z) = c0 + c1 (z − a) + c2 (z − a)2 + · · · + cn−1 (z − a)n−1 + cn (z − a)n + . . . Vemo pa: f (a) = c0 = 0, f 0 (a) = c1 = 0, . . . , f n−1 (a) = (n − 1)!cn−1 = 0. Ostanejo le ˇcleni od n naprej. f (z) = cn (z − a)n + cn+1 (z − a)n+1 + · · · = (z − a)n [cn + cn+1 (z − a) + . . . ] To konvergira na neki okolici toˇcke a, isti kot vrsta za f . (a) Definiram g(z) = f (z)−f za z 6= a in g(a) = cn , g je analitiˇcna na D. z−a Posledica Toˇcka a je niˇcla stopnje n za analitiˇcno funkcijo f ≡ f (z) = (z − a)n g(z), kjer je g(a) 6= 0 in g analitiˇcna tam, kjer je analitiˇcna f . Ali ima f lahko niˇclo neskonˇcne stopnje? f (n) = 0 ∀n ∈ N. f razvijemo v vrsto, vsi cleni morajo biti enaki 0 ⇒ f (z) = 0 na vsakem krogu v D s srediˇsˇcem v a. Privzemimo, da je D obmoˇcje. Potem je f = 0. Vzamem poljubno toˇcko b v D, obstaja pot od a do b. f = 0 na delu poti, ki lezi v krogu. Tudi na robu kroga je f = 0, jo tam razvijem v vrsto, ki konvergira no nekem novem krogu. Po tej poti pridem v b ali poljubno toˇcko v D. Povzetek • Naj bo f analitiˇcna in ne identiˇ cno enaka 0 . Potem so niˇcle funkcije f izolirane toˇ cke , se pravi da za vsako niˇclo obstaja okolica, na kateri je f 6= 0 razen v toˇcki a. ˇ je a niˇcla stopnje n, je f (z) = (z − a)n g(z), • Vsaka niˇcla ima konˇcno stopnjo n. Ce kjer je g analitiˇcna na D in g(a) 6= 0. g je zvezna, ni enaka 0 v a ⇒ f 6= 0 na neki okolici a, tam pa tudi (z − a) 6= 0 ⇒ niˇcla a je izolirana. Primer f (z) = ez − 1, f (0) = e0 − 1 = 0. Stopnja te niˇcle? f 0 (z) = ez , f 0 (0) = 1 ⇒ 0 je niˇcla prve stopnje. f (z) = ez − 1 = zq(z), q cela, q(0) 6= 0. Primer g(z) = 1 − cos z, g(0) = 1 − cos 0 = 0 g 0 (z) = sin z, g 0 (0) = 0 g 00 (z) = cos z, g 00 (0) = 1 ⇒ 0 je niˇcla druge stopnje. g(z) = 1 − cos z = z 2 h(z), kjer je h cela, h(0) 6= 0. 28 Posledica ˇ Ce sta f, g analitiˇcni na obmoˇcju D in se ujemata na mnoˇzici toˇck, ki ima vsaj eno stekaliˇsˇce v D, sta enaki (f = g). Dokaz h = f − g, a stekaliˇsˇce mnoˇzice toˇck A, na katerih se f in g ujemata. Vzamem ε-okolico a, v tej okolici je neskonˇcno toˇck iz A. V vsaki okolici a obstaja niˇcla za h ⇒ h(a) = 0. a je niˇcla, ampak ni izolirana, torej je h ≡ 0 oz. f ≡ g na D. ˇ poznamo vrednost analitiˇcne funkcije na konvergentem zaporedju, je doloˇcena povsod. Ce Primer f (z) = sin(z + w), g(z) = sin z cos w + cos z sin w. f in g se ujemata za z, w ∈ R. Obe sta celi funkciji, R ima stekaliˇsˇce (vsaka toˇcka je stekaliˇsˇce) ⇒ ujemata se za z ∈ C, w ∈ R. Zdaj pa ju obravnavamo kot funkciji w: Ujemata se na z ∈ C, w ∈ R ⇒ Ujemata se na z, w ∈ C. Adicijski izrek velja na celi C ravnini, enako za cos(z + w). Izrek: Liouvillov izrek Cela omejena funkcija je konstanta. Dokaz Naj bo f analitiˇcna na vsej ravnini, |f (z)| ≤ M za vse z ∈ C. Razvijem f v potenˇcno vrsto okrog 0, ta vrsta bo imela neskonˇcen konvergenˇcni polmer R = ∞. f (z) = c0 + c1 z + c2 z 2 + . . . ˇ f ni konstanta, je vsaj en koeficient razen c0 razliˇcen od 0. Cleni ˇ Ce z neniˇcelnim koeficientom pa niso omejeni ⇒ f ni omejena. (Pri tem in naslednjem dokazu imam le idejo in ne raˇcunov) Posledica: Osnovni izrek algebre Naj bo p(z) = an z n + · · · + a0 polinom stopnje n > 1, an , . . . , a0 ∈ C. Potem ima p v C vsaj eno niˇclo. Dokaz 1 ˇ p nima niˇcle, je f definirana povsod in cela (ker je p cela). Ker Vzemimo f (z) = p(z) . Ce 1 je p polinom, gre ob z → ∞ tudi |p(z)| → ∞, zato gre |f (z)| = |p(z)| → 0. Torej je f omejena in cela ⇒ je konstanta. To pa je protislovje, ker je p polinom stopnje vsaj 1 in ni konstanten. 29 2.6 Laurentova vrsta V obmoˇcju D imamo otok, na katerem f ni analitiˇcna. Vzamemo toˇcko a, okoli nje nariˇsemo 2 koncentriˇcna kroga (K1 in K2 , K1 je zunanji, robova sta orientirana enako), tako da je f analitiˇcna na kolobarju med njima. Toˇcka z je v kolobarju. L1 in L2 sta poti, vsaka po polovici vsakega kroga in po obeh zveznicah med njima. L1 gre okrog z, L2 pa ne. Po sploˇsni Cauchyjevi formuli je ˆ 1 f (ζ) dζ = I(L1 , z)f (z) = f (z) 2πi L1 ζ − z ˆ 1 f (ζ) dζ = I(L2 , z)f (z) = 0 2πi L2 ζ − z ´ ´ ´ ´ Seˇstejem, velja L1 + L2 = K1 + K2 1 f (z) = 2πi ˆ K1 f (ζ) dζ − ζ −z ˆ K2 f (ζ) dζ ζ −z Za ζ ∈ K1 piˇsem 1 1 1 = = ζ −z ζ − a − (z − a) (ζ − a) 1 − 1 2πi ˆ ∞ K1 f (ζ) dζ 1 X = (z − a)n ζ −z 2πi n=0 ˆ K1 ∞ X (z − a)n = z−a (ζ − a)n+1 n=0 ζ−a ∞ X f (z) dζ = cn (z − a)n (ζ − a)n+1 n=0 Drugega integral se lotimo podobno, za ζ ∈ K2 , tokrat izpostavimo drugi ˇclen. 1 1 −1 = = ζ −z (z − a) − (ζ − a) (z − a) 1 − 1 − 2πi ˆ f (z) = ∞ ∞ X X (ζ − a)n (ζ − a)n−1 = = ζ−a (z − a)n+1 (z − a)n z−a n=0 n=1 ∞ K2 f (ζ) dζ X c−n = ζ −z (z − a)n n=1 ∞ X n=0 cn (z − a)n + c−n (z − a)−n = ∞ X cn (z − a)n n=−∞ To velja za vse z v notranjosti kolobarja. Prva vrsta je potenˇcna, torej je njeno konvergenˇcno obmoˇcje vedno krog. Konvergenˇcni polmer je vsaj polmerPK1 , zato konvergira povsod znotraj K1 . cn 1 Druga vrsta, ∞ n=1 (z−a)n pa konvergira zunaj nekega kroga. Pisemo ζ = z−a , ta vrsta postane P∞ 1 n cni polmer je vsaj n=1 cn ζ , konvergira kjer je |ζ| < R , torej kjer je |z − a| > R. Konverginˇ polmer K2 ⇒ konvergira povsod zunaj K2 . Obe vrsti pa konvergirata znotraj kolobarja. 30 Trditev P n ˇ Ce je vrsta ∞ ckah odprtega kolobarja s srediˇsˇcem v n=−∞ cn (z − a) konvergira v vseh toˇ a in njeno vsoto oznaˇcimo z f (z), je to enoliˇcno doloˇceni razvoj f v Laurentovo vrsto v tem kolobarju Primer 1 , razvijamo okrog 0. Analitiˇcna je povsod, razen v 1 in 2. Iˇsˇcem ˇcim veˇcje f (z) = (z−1)(z−2) kolobarje, na katerem bo f analitiˇcna. • r1 = 0, r2 = 1, potenˇcna vrsta okrog 0, R = 1. Razstavimo na parcialne ulomke, znamo razviti. 1 − • r1 = 1, r2 = 2. f (z) = − z−1 1 . 2−z ∞ X zn 1 1 = = 2−z 2n+1 2 1 − z2 n=0 ∞ X 1 1 1 = = z−1 z n+1 z 1 − z1 n=0 ∞ ∞ X −1 X 1 f (z) = + − n+1 2zn n=0 z n=0 To velja za 1 < |z| < 2. • r1 = 2, r2 = ∞ oz. |z| > 2. 1 z−1 je enako kot prej. ∞ X 2n 1 1 = = z−2 z(1 − z2 ) n=0 z n+1 V tem primeru dobimo vsoto dveh asimptoskih vrst. f (z) = ∞ X k=1 1 2k−1 − 1 k za |z| > 2 z Dobili smo tri razliˇcne vrste za tri razliˇcne kolobarje. Definicija Toˇcka a je za f izoliana singularna toˇ cka , ˇce obstaja okolica U toˇcke a, da je f na U \ a analitiˇcna, ni pa definirana ali analitiˇcna v a. Razvijmo f v Laurentovo vrsto okrog a. Ta vrsta konvergira na tej punktirani okolici U \ a. Mali krog lahko skrˇcimo v toˇcko a ⇒ asimptotska vrsta (drugi del) konvergira povsod razen morda v a. Temu delu reˇcem glavni del (G( z1 ))razvoja okrog a, prvi del (potenˇcni) pa je regularni del in je analitiˇcen na tem krogu s toˇcko a vred. Imamo tri moˇznosti: 31 1. Glavni del ≡ 0. ˇ je c−n = 0 za n ≥ 1, je glavni del enak niˇc in je vrsta potenˇcna. Pravimo: Toˇcka a je Ce odpravljiva singularnost za funkcijo f . ˇ dodatno definiramo f (a) = c0 , je f analitiˇcna na U . Ce Primer f (z) = sinz z je definirana povsod, razen v 0 ⇒ 0 je izoliana (celo edina) singularnost za f . 3 5 Vemo sin z = z − z3! + z5! − . . . za z 6= 0. sin z z2 z4 =1− + − . . . za z 6= 0 z 3! 5! ˇ To je Laurentova vrsta, ima samo regularni del ⇒ toˇcka 0 je odpravljiva singularnost. Ce dodatno definiramo f (0) = 1, je f cela. 2. c−n 6= 0 in c−m = 0 za m > n ∞ X c−n c−1 cn (z − a)n f (z) = + · · · + + n (z − a) (z − a) n=0 V tem primeru je a pol stopnje n za f . Primer f (z) = − z15 ima v 0 edino singularnost. Vrsta za f je kar − z15 ⇒ 0 je pol stopnje 5 za f . g(z) = − z15 + z2 − sin z ima tudi v 0 pol stopnje 5. Sinus se razvije v regularni del, glavni del pa sta ostala dva ˇclena. g(z) }| { z g(z) n 1 f (z) = (z−a) [c + c (z − a) + . . . + c (z − a) + . . .] = (z−a) −n −n+1 0 n n , pri tem je g anaˇ ima f pol stopnje n v litiˇcna povsod, kjer je f , in v toˇcki a in velja g(a) = c−n 6= 0. Ce g(z) ˇ se bliˇzamo polu, gre |f (z)| → ∞. Lahko a, lahko zapiˇsemo f (z) = (z−a)n , g(a) 6= 0. Ce piˇsemo f (pol) = ∞. lim |f (z)| = ∞ z→a 3. Neskonˇcno mnogo c−n je od 0 razliˇcnih Potem je a bistvena singularnost (essential singularity) za f . V tem primeru je glavni del neskonˇcna vrsta. Primer P wn f (z) = exp( z12 ). ew = ∞ n=0 n! . f (z) = ∞ X n=0 1 w2n n! =1+ 1 1 1 + 4 + 6 2 z z 2! z 3! Ima le glavni del, ki pa je neskonˇcen (vsak sodi ˇclen je neniˇcelen) singularnost za f . 32 ⇒ 0 je bistvena Izrek: Veliki Picardov izrek ˇ je U r a punktirana okolica za a, f na U r a Naj bo a bistvena singularna toˇcka za f . Ce zavzame vse vrednosti neskonˇcnokrat, s kveˇcjemu eno izjemo. Primer f (z) = exp( z12 ) ne more biti 0. ˇ je ε > 0 poljuben, ima enaˇcba f (z) = w, w 6= 0 neskonˇcno mnogo reˇsitev z, da je Ce |z| < ε. Dokaz Le za ta konkreten primer: exp( 1 )=w z2 1 = ln |w| + i arg w + 2kπi z2 1 z2 = ln |w| + i arg w + 2kπi 1 z = ±p ln |w| + i arg w + 2kπi Moramo najti take w, da bo |z| < ε ⇒ | ln |w| + i arg w + 2kπi| > 1 ε2 Za velike k bo to poljubno veliko, celo za neskonˇcno k-jev je to poljubno veliko. ⇒ Obstaja neskonˇcno k-jev, za katere je to res. 2.7 Residuum Naj bo a izolirana singularna toˇcka za analitiˇcno funkcijo f . Razvijmo f v Laurentovo vrsto okrog a. f (z) = ∞ X n=0 n cn (z − a) + ∞ X n=1 c−n (z − a)n Koeficient c−1 je residuum funkcije f v a. Piˇsemo c−1 = Resf (z). z=a 33 Pravilo ˇ je f (z) = Ce g(z) , h(z) g, h analitiˇcni, kjer ima h enostavno niˇclo (prve stopnje) v a, je g(a) g(z) = 0 z=a h(z) h (a) Res Dokaz Enostavna niˇcla ⇒ h(a) = 0, h0 (a) 6= 0 in h(z) = (z − a)k(z), k(a) 6= 0. g(z) f (z) = (z−a)k(z) , k(z) = 6 0 na neki okolici toˇcke a, kjer je tudi g analitiˇcna. Na tej okolici je g(z) k(z) analitiˇcna. g(z) = d0 + d1 (z − a) + d2 (z − a)2 + . . . k(z) f (z) = d0 + d1 + d2 (z − a) + . . . z−a d0 je residuum, d0 = g(a) . k(a) h0 (z) = k(z) + (z − a)k 0 (z), h0 (a) = k(a) ⇒ d0 = g(a) h0 (a) Primer f (z) = 1 1 = 2 1+z (z − i)(z + i) 1 z+i Singularnosti v i in −i, sta izolirani. V i: f (z) = z−i = prve stopnje. Podobno za −i, je tudi prve stopnje. g(z) , z−i g(i) = 1 2i = − 2i . ⇒ i je pol Primer f (z) = z− eiz π 2 4 + a2 , a>0 2 Singularnosti: z − π4 + a2 = 0, z − stopnje. Residuum v π4 + ai? π 4 = ±ai. z = π 4 ± ai, sta oˇcitno oba pola prve √ √ π iπ ei( 4 +ai) 1 1 2 2 −a −a Res f (z) = = (−i)e 4 e = (−i) (1 + i)e = (1 − i)e−a π (z= 4 +ai) 2ai 2a 2a 2 4a 34 Primer f (z) = 1 1 c−2 c−1 + c0 + . . . = = + 2 2 2 2 2 (1 + z ) (z + i) (z − i) (z − i) z−i Singularnosti v ±i, sta pola druge stopnje ⇒ ne moremo uporabiti prejˇsnjega pravila. 1 = c−2 + c−1 (z − i) + c0 (z − i)2 + . . . 2 (z + i) ˇ Clen c−1 dobimo z odvajanjem: −2 = c−1 + 2c0 (z − i) + . . . (z + i)3 Postavimo z = i ⇒ Resf (z) = − z=i −2 (2i)3 = c−1 = − 14 i−3 = − 4i . i 4 Podobno za z = −i: 1 = c−2 + c−1 (z + i) + c0 (z + i)2 + . . . (z − i)2 −2 = c−1 + 2c0 (z + i) + . . . (z − i)3 i −2 = c−1 = = Res f (z) 3 (−2i) 4 z=−i Izrek: Izrek o residuih Naj bo D EPO in f analitiˇcna povsod na D razen v konˇcno mnogo izoliranih singularnih ˇ je Γ sklenjena pot v D, ki ne gre skozi nobeno singularno toˇcko, toˇckah a1 , . . . , am ∈ D. Ce je ! ˆ m X f (z) dz = 2πi I(Γ, ak )Resf (z) Γ k=1 ak 35 Dokaz 1 ) glavni del Laurentove vrste za f , razvite okrog ak . Naj bo G( z−a k g(z) = f (z) − m X G k=1 1 z − ak g je analitiˇcna na D r {ak }. V ak ima Laurentov razvoj za g samo regularni del, saj se glavna dela odstejeta ⇒ ak so odpravljive singularnosti za g. Torej lahko g popravimo (definiramo g(ak )) tako, da bo analitiˇcna. ⇒ # ˆ ˆ " m X 1 dz g(z) dz = 0 = f (z) − G z − a k Γ Γ k=1 ˆ f (z) dz = m ˆ X Γ k=1 G 1 z − ak = Γ G 1 z − ak dz c−2 c−1 + + ... z − ak (z − ak )2 Vsi ˇcleni razen c−1 imajo nedoloˇceni integral, zato se po sklenjeni krivulji (ki ne gre skozi noben ak ) integrirajo v 0, ˇclen z c−1 pa v 2πiI(Γ, ak )c−1 = 2πiI(Γ, ak )Resf (z) ⇒ ak ˆ G Γ 1 z − ak = 2πiI(Γ, ak )Resf (z) ak Primer Naj bo K kroˇznica s polmerom 2 okrog 0, orientirana pozitivno. Izraˇcunajmo ˆ 1 dz 2 2 K (1 + z ) z = 2eit , t ∈ [0, 2π]. ˆ ˆ 2π 1 2ieit dt dz = 2 2 (1 + 4eit )2 K (1 + z ) 0 Lahko pa uporabimo izrek o residuih. Singularnosti sta ±i, oba indeksa sta 1, residua pa poznamo iz prejˇsnjega primera. ˆ 1 −i i dz = 2πi I(K, i)Resf (z) + I(K, −i)Res f (z) = 2πi + =0 2 2 z=i z=−i 4 4 K (1 + z ) 36 Primer ˆ ∞ −∞ dx = lim (1 + x2 )2 R→∞ ˆ R −R dx (1 + x2 )2 37 Primer Za a > 0 izraˇcunaj ˆ ∞ ˆ ˆ R ˆ R x sin x x sin x xeix 1 ∞ x sin x 1 1 lim lim = dx = dx = dx = dx 2 2 x 2 + a2 2 −∞ x2 + a2 2 R→∞ −R x2 + a2 2 R→∞ 0 −R x + a K ai 0 −ai −R R Je analitiˇcna povsod razen v x = ±ai, integriramo po K. je: ˆ f (z)dz = 2πi 1 · Resf (z) + 0 · Res f (z) z=ai K z=−ai Residuum pa lahko izraˇcunamo: Resf (z) = z=ai ˆ ˆ ˆ R π f (x) dx + f (z) dz = −R K |0 2 = e−a . 2 it Reit eiRe Rieit dt R2 e2it + a2 {z } QR Drugi del lahko omejimo: ˆ ˆ π Re−R sin t R dt ≤ 2 |QR | ≤ R2 0 aiei·ai 2ai π e−R sin t dt 0 2 sin t ≥ π2 t ⇒ −R sin t ≤ −R π2 t ⇒ e−R sin t ≤ e−R π t ˆ |QR | ≤ 2 π e 0 − 2R t π 0 2R π e− π t →0 dt = 2 2R ≤ π R π 2 ˆ R ˆ ∞ e−a x sin x x sin x a 2πi = πie = dx → dx 2 2 2 2 2 −R x + a −∞ x + a ˆ ∞ x sin x 1 πe−a −a dx = =πie = x 2 + a2 2 2 0 38 Po izreku o residuih Primer ˆ ∞ 0 sin x π dx = x 2 Primer ˆ |z|=2 (z 4 dz + 1)2 Ta funkcija je analitiˇcna povsod razen v z 4 = −1, torej ak = exp(i π+2kπ ), k ∈ {0, 1, 2, 3} 4 1 k √ oz. ak = 2 (1 + i)i . Vse singularnosti so poli druge stopnje. K a0 a1 0 a2 ˆ |z|=2 a3 X dz = 2πi Res f (z) z=ak (z 4 + 1)2 Ne ljubi se nam raˇcunati vseh 4 residuov, upostevamo da je to enako za vsako kroˇznico s srediˇsˇcem v 0 in z radijem R > 1, saj zaobjame iste singularnosti. ⇒ vzamemo R → ∞. ˆ ˆ 2π ˆ 2π Rieit dt dz Rieit dt = ≤ (R4 e4it + 1)2 4 + 1)2 4 e4it + 1)2 (z (R |z|=R 0 0 Ocena: |R4 e4it + 1| ≥ R4 − 1 ≥ ˆ 0 2π ˆ Rieit dt (R4 e4it + 1)2 ≤ R4 2 2π 0 za dovolj velike R. ˆ 2π 4Rieit dt 4R dt →0 R8 ≤ R8 0 z n = en log z = en ln |z|+ni arg z+2knπi 1 1 1 i arg z 2kπi z n = e n log z = · · · = |z| n e n e n ˇ je m ∈ Q, ima z m konˇcno vej. Ce ˇ je m ∈ To ima n vej ⇒ Ce / Q, m ∈ R, ima z m neskonˇcno vej. 1 Te veje so enakomerno razporejene po kroˇznici z radijem R = z n . Glavna veja je preslikana prerezana ravnina (C ravnina brez negativnega dela R osi), skrˇcena na kot 2π . n 39 2.8 Konformne preslikave Naj bo D obmoˇcje v C, f : D → C analitiˇcna, z0 ∈ D, f 0 (z0 ) 6= 0. Naj bo w = ϕ(t) gladka krivulja v D, z0 = ϕ(t0 ). t 7→ f (ϕ(t)) je gladka krivulja v D. Vektor na tangenti na preslikano krivuljo: d f (ϕ(t)) = f 0 (ϕ(t))ϕ0 (t) dt Pri t = t0 je to enako f 0 (z0 )ϕ0 (t0 ). |f 0 (z0 )ϕ0 (t0 )| = |f 0 (z0 )| · |ϕ0 (t0 )| Vemo, da je na krivulji ds = |ϕ0 (t)| dt, ds je na originalni krivulji, dˇ s pa na preslikani. dˇ s= d (f (ϕ(t))) dt = |f 0 (z0 )| ds dt ⇒ velikost vektorja na tangenti se pomnoˇzi s |f 0 (z0 )|, torej neodvisno od krivulje ⇒ vse razdalje v bliˇzini (v limiti) z0 pomnoˇzi z istim faktorjem. Velja tudi: arg dtd f (ϕ(t))t=t0 = arg f 0 (z0 ) + arg ϕ0 (t0 ) + 2kπ. ⇒ Vsem smerem na krivulji pri preslikavi priˇstejemo arg f 0 (z0 ), zato se koti med krivuljami ohranjajo ⇒ ohranja se orientacija . Izrek Naj bo f : D → C analitiˇcna. V toˇckah, kjer je f 0 (z) 6= 0, je preslikava f lokalno bijektivna in lokalno konformna , se pravi ohranja kote, orientacijo in upodovitveno razmerje. Dokaz f = u + iv = (u, v), f 0 = ux + ivx , |f 0 (z)|2 = ux · ux + vx · vx . Velja CRS: ux uy 0 2 = J(x, y) 6= 0 |f (z)| = ux · vy − vx · uy = vx vy Po izreku o inverzni funkciji je f lokalno bijektivna ⇒ lokalno obstaja f −1 , je odvedljiva v kompleksnem smislu in zato analitiˇcna. Funkcija f infinitezimalno majhen trikotnik (ali drug lik) okrog toˇcke z preslika na podoben infinitezimalno majhen lik. Primer f (z) = z 2 , f 0 (z) = 2z je razliˇcno od 0 razen v toˇcki 0: f 0 (0) = 0 ⇒ v toˇcki 0 f ni konformna, ne ohranja kotov. f pozitivni poltrak realne osi preslika nase, pozitivni del imaginarne os pa na negativni del realne. Torej se kot med njima v toˇcki 0 ne ohranja. Definicija ˇ Ce je analitiˇcna funkcija f : D → f (D) ⊂ C bijektivna in je f 0 (z) 6= 0 za vse z ∈ D pravimo, da f preslika D konformno na f (D). 40 Primer D naj bo {x + iy; x, y > 0}, f (z) = z 2 . f je na D injektivna, torej preslika D na zgornjo (odprto) polravnino {x + iy; y > 0} konformno. Kako najdemo f (D): z = aeiϕ , 0 < ϕ < π2 ⇒ z 2 = a2 e2iϕ ; 0 < 2ϕ < π Primer f (z) = z n , D = {z; z 6= 0; | arg z| < πn }. Raˇcunamo kot prej, f (D) je prerezana ravnina (brez negativne realne osi in 0). Primer D = {z; |=z| < π}, f (z) = ez . f 0 (z) = ez 6= 0, torej je lokalno konformna. Na celi ravnini f ni bijektivna, na tem pasu pa je, torej pas D preslika konformno na isto prerezano ravnino. Torej obstaja inverz, ki je tudi bijektivna preslikava, v tem primeru je to glavna veja logaritma. 2.8.1 Stereografska projekcija Filmˇcek: http://www.youtube.com/watch?v=6JgGKViQzbc Vzemimo sfero, ki se dotika kompleksne ravnine v izhodiˇsˇcu. Dotikaliˇsˇce naj bo juˇzni pol S sfere, diametralna toˇcka pa severni pol N . Vzamem toˇcko z ∈ C, jo poveˇzem z N in drugo preseˇciˇsˇce zveznice s sfero je stereografska projekcija toˇcke z na dano sfero. Tako lahko celo ravnino projeciram na omejeno sfero, le severni pol ni pokrit. Projekcija C preslika bijektivno na sfero brez N . Tej sferi reˇcemo Riemannova sfera . V bliˇzini juˇznega pola se ploskev malo deformira, stran od izhodiˇsˇca pa dosti bolj. Po dogovoru N odgovarja toˇcki ∞ na razˇsirjeni kompleksi ravnini C = C ∪ {∞}, torej imamo bijekcijo iz C na Riemannovo sfero. V smislu te bijekcije lahko vpeljem metriko in topologijo na C. • Mala kroˇznica na sferi okrog severnega pola (s srediˇsˇcem v N ) je slika velike kroˇznice s srediˇsˇcem v 0, notranjost male kroˇznice pa slike zunanjosti velike ⇒ okolice toˇcke ∞ so kroˇznice s srediˇsˇcem v 0 v C • Premica p na ravnini se preslika na kroˇznico na sferi, ki gre skozi N . • Kroˇznica v C se preslika na kroˇznico, ki pa ne gre skozi N ⇒ premica je kroˇznica skozi toˇcko ∞. Izrek Preslikava z analitiˇcno nekonstantno funkcijo je odprta , se pravi vsako odprto mnoˇzico preslika na odprto mnoˇzico. 41 Posledica ˇ Ce je D obmoˇcje v C in f analitiˇcna nekonstantna, je f (D) obmoˇcje. Dokaz Odprta je po prejˇsnjem izreku, s potmi povezana pa je, ker je f zvezna. Izrek: Princip maksimuma Absolutna vrednost nekonstantne analitiˇcne funkcije v notranjosti definicijskega obmoˇcja nima lokalnega maksimuma. (Prav tako tam nima lokalnega minimuma, razen v 0.) Dokaz f : D → C Denimo, da ima |f | lokalni maksimum v notranji toˇcki z0 . Tedaj obstaja odp U ⊂ D, z0 ∈ U , da je |f (z)| ≤ |f (z0 )|. f (U ) leˇzi v zaprtem krogu okoli 0 z radijem |f (z0 )|, torej f (U ) ⊂ {w; |w| ≤ |f (z0 )|}. Po izreku pa je f (U ) odprta okolica za f (z0 ), torej vsebuje majhen odprt krog okrog f (z0 ). Vsak tak majhen krog pa deloma leˇzi izven {w; |w| ≤ |f (z0 )|} ⇒ protislovje. 2.8.2 Linearne lomljene (M¨ obiusove) transformacije Filmˇcek: http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY f (z) = az+b , cz+d a, b, c, d konstante, f nekonstantna. f 0 (z) = a(cz + d) − (az + b)c ad − bc = 2 (cz + d) (cz + d)2 Ker f ni konstantna, privzamemo ad 6= bc. Vsaka taka funkcija f je konformna. Odvod je oˇcitno povsod razliˇcen od 0, videti moramo ˇse, ˇce je bijektivna. dw−b ⇒ az + b = cwz + dw ⇒ z = a−cw . Reˇsitev je najveˇc ena, Reˇsimo enaˇcbo f (z) = w = az+b cz+d torej je f injektivna. Definicijsko obmoˇcje za f : 1. c = 0, a 6= 0: f (z) = ad z + bijektivna, preslika C na C b d je linearna transformacija , definirana je povsod. Je 2. c 6= 0: definirana je povsod, razen tam, kjer je cz + d = 0 oz. z∞ = − dc . Definirana je na C r {z∞ }. Zaloga vrednosti je C r { ac } z→z z∞ je pol prve stopnje za f ⇒ |f (z)| →∞ ∞ oz f (z∞ ) = ∞. Ravno tako je ac pol prve stopnje za f −1 ⇒ f −1 ( ac ) = ∞, torej je f (∞) = ac . ˇ je c 6= 0, f konformno preslika C na C in C r {z∞ } na C r { a }. Tudi f −1 je M¨obiusova Ce c transformacija. 42 Izrek Kompozitum M¨obiusovih transformacij je M¨obiusova transformacija Dokaz z+b1 , f2 (z) = f1 (z) = ac11z+d 1 a2 z+b2 , c2 z+d2 a1 d1 6= b1 c1 in a2 d2 6= b2 c2 . f (z) = (f1 ◦ f2 )(z) = f1 (f2 (z)) = z+b2 a1 ac22z+d + b1 2 z+b2 c1 ac22z+d 2 + d1 = a1 a2 z + a1 b2 + b1 c2 z + b1 d2 az + b = c 1 a2 z + c 1 b 2 + d 1 c 2 z + d 1 d 2 cz + d Funkcija f1 ◦ f2 je prave oblike za Mobiusovo, s konstantami a = a1 a2 + b 1 c 2 ; b = a1 b 2 + b 1 d 2 ; c = c 1 a2 + d 1 c 2 ; d = c 1 b 2 + d 1 d 2 Preveriti moramo se nekonstantnost oz ad − bc 6= 0: ad − bc = (a1 a2 + b1 c2 )(c1 b2 + d1 d2 ) − (a1 b2 + b1 d2 )(c1 a2 + d1 c2 ) = a1 c1 (a2 b2 − b2 a2 ) + a1 d1 (a2 d2 − b2 c2 ) + b1 c1 (c2 b2 − a2 d2 ) + b1 d1 (c2 d2 − d2 c2 ) = 0 + (a1 d1 − b1 c1 )(a2 d2 − b2 c2 ) + 0 = 6 0 Primer • f (z) = z + b, b ∈ C je vzporedni premik (translacija) za b. • f (z) = zeiϕ , ϕ ∈ R je zasuk (rotacija) okrog izhodiˇsˇca za kot ϕ. • f (z) = az, a > 0 je razteg (homotetija) okrog izhodiˇsˇca za faktor a. • z 7→ az + b = |a|eiϕ z + b je podobnostna transformacija , ki vse razdalje pomnoˇzi z |a|, lik preslika na podoben lik. Transformacija f (z) = z1 , f (0) = ∞. Kroˇznice in premice v C lahko opiˇsemo z enaˇcbo Azz + Bz + Bz + C = 0; A, C ∈ R (3) A(x2 + y 2 ) + 2b1 x + 2b2 y + C = 0 ˇ je A = 0 in B 6= 0, je to premica. Naj bo L kroˇznica ali premica v C z enaˇcbo Azz + Bz + Ce Bz + C = 0. z ∈ L, w = f (z) = z1 ∈ f (L). Potem je f −1 (w) = w1 = z ∈ L ⇒ w1 zadoˇsˇca enaˇcbi (3). A + Bw + Bw + Cww = 0 Enaka enaˇcba, f (L) je spet kroˇznica (ˇce C 6= 0) ali premica. ˇ L vsebuje 0, je C = 0 in je f (L) premica. To se sklada s tem, da je premica kroˇznica skozi Ce ∞. ˇ imamo poljubno LLT f (z) = az+b , c 6= 0: Ce cz+d a (cz+d)+b− ad c cz+d f (z) = c f3 ◦ f2 ◦ f1 . = a c + b− ad c , cz+d f1 (z) = cz + d, f2 (z) = z1 , f3 (z) = 43 a c + (b − ad )z c ⇒ f = Izrek LLT je konformna preslikava na C r z∞ , ki ohranja unijo kroˇznic in premic. Primer f (z) = 1−z 1+z f (−1) = ∞, f (∞) = −1 i 0 = f (1) 1 −i = f (i) K Naj bo K enotska kroˇznica. f (K) je premica, saj gre K skozi z∞ . 2 2 f (1) = 0, f (i) = 1−i = (1−i) = 1−2i+i = −i ⇒ f (K) gre skozi 0 in −i, torej je f (K) 1+i 2 2 imaginarna os. Kaj pa notranjost? ∆ = {z; |z| < 1}, f (0) = 1. Po izreku od odprti preslikavi je f (∆) odprta, s potmi povezana mnoˇzica, ki vsebuje 1. U = {z; |z| > 1}, tudi f (U ) je odprta in SPP. Vemo, da je f (C r {−1}) = C r {−1}, torej f (U ), imaginarna os in f (∆) sestavljajo C r {−1} in se ne sekajo. Torej mora biti f (∆) desna polravnina, in f (U ) leva polravnina brez −1. Torej f preslika notranjost enotskaga kroga konformno na desno polravnino. Ker je f = f −1 , preslika imaginarno os na enotsko kroˇznico, desno polravnino pa na njeno notranjost. 1−z Kako bi jo pa konformno preslikali na zgornjo polravnino? Zavrtimo: g(z) = if (z) = i 1+z . 44 Izrek Naj bo |a| < 1. Transformacija f (z) = eiα z−a 1 − az ohranja enotski krog (in enotsko kroˇznico) in f (a) = 0. Dokaz Naj bo |z| = 1 ⇒ |1 − az| = |z||1 − az| = |z − azz| = |z − a| = |z − a|, torej je |z−a| |f (z)| = |z−a| =1 ⇒ enotska kroˇznica se preslika na enotsko kroˇznico. Ker je notranjost povezana, f bijektivna, a v notranjosti (|a| < 1) in f (a) = 0, se notranjost preslika v notranjost, zunanjost pa v zunanjost brez ene toˇcke. 2.9 Zveze s harmoniˇ cnimi funkcijami Izrek Naj bo D EPO v C, u ∈ C 2 (C) in u harmoniˇcna (∆u = 0). Potem obstaja analitiˇcna funkcija f na D, da je <f = u. Dokaz Konstruiramo tako funkcijo v, da je f = u + iv analitiˇcna, reˇcemo v je konjugirana harmoniˇ cna funkcija k u. CRS: ux = vy , uy = −vx ⇒ grad v = (vx , vx ) = (−uy , ux ) ⇒ v je potencial za (−uy , ux , 0). Potreben pogoj za eksistenco polja v: rot (−uy , ux , 0) = 0. rot (−uy , ux , 0) = (0, 0, uxx + uyy ) = (0, 0, ∆u) = 0 Ker je D EPO, je to zadosten pogoj. Posledica Harmoniˇcna funkcija je neskonˇcnokrat odvedljiva Izrek ˇ je u harmoniˇcna na Analitiˇcna funkcija f naj obmoˇcje D preslika konformno na D0 . Ce D, je u ◦ f −1 harmoniˇcna na D0 . 45 Izrek Vrednost harmoniˇcne funkcije v srediˇsˇcu kroga je povpreˇcje vrednosti na robu kroga. (Ves krog mora leˇzati v obmoˇcju, na katerem je funkcija harmoniˇcna) Dokaz Naj bo to krog K s srediˇsˇcem v a, harmoniˇcna funkcija je u. Harmoniˇcna je tudi na malo veˇcjem odprtem krogu, ki je EPO, zato je u = <f , f analitiˇcna. Za f pa velja Cauchyjeva formula: ˆ 1 f (z) dz f (a) = 2πi K z − a Krog lahko parametriziram: z = a + Reit ⇒ ˆ 2π ˆ 2π 1 f (a + Reit )Rieit dt 1 f (a) = f (a + Reit ) dt = it 2πi 0 Re 2π 0 ˆ 2π 1 u(a) = u(a + Reit ) dt 2π 0 Izrek Nekonstantna harmoniˇcna funkcija na D v notranjosti mnoˇzice D nima lokalnih ektremov. Dokaz ˇ bi bil v a lokalni maksimum, bi obstajala taka okolica U , da je f (a) ≥ f (z) za z ∈ U . Ce Nariˇsem kroˇznico v U , po prejˇsnjem izreku je f (a) povpreˇcje f (z) na tej kroˇznici ⇒ f (a) je hkrati maksimum in povpreˇcje ⇒ f je konstantna na tej kroˇznici. Posledica Naj bo f harmoniˇcna na obmoˇcju D in zvezna na D, D kompaktna. Potem f na D zavzame maksimum in minimum, ki sta oba na robu mnoˇzice D. V tem primeru je f povsem doloˇcena z vrednostmi na robu mnoˇzice D. Dokaz Recimo, da je u|∂D = u1 |∂D . Tedaj je u − u1 harmoniˇcna in zvezna, (u − u1 )|∂D = 0. Ker zavzame maksimum in minimum na robu, je povsod 0 ⇒ u = u1 . 46 2.10 Dirichletov problem za krog Naj bo u harmoniˇcna na enotskem krogu. g(z) = w+a z−a , g −1 (w) = 1 − az 1 + aw Vemo, da je u ◦ g −1 = U harmoniˇcna. ˆ 2π ˆ 2π ˆ 2π 1 1 1 eit + a it −1 −1 it ) dt U (0) = U (e )dt = u(g (0)) = u(a) = u(g (e ))dt = u( it 2πi 0 2π 0 2π 0 1 − ae | {z } eiϑ eiϑ = g −1 (eit ) ⇒ eit = g(eiϑ ) = ieit dt = eiϑ − a 1 − aeiϑ ieiϑ (1 − aeiϑ ) − (eiϑ − a)(−iaeiϑ ) ieiϑ − iaaeiϑ i(1 − aa) dϑ dϑ = dϑ = −iϑ iϑ 2 iϑ 2 (1 − ae ) (1 − ae ) (e − a)(1 − aeiϑ ) a = reiϕ ⇒ a = re−iϕ , aa = r2 ⇒ dt = (1 − r2 ) dϑ (1 − r2 ) dϑ = 1 − reiϕ e−iϑ − re−iϕ eiϑ + r2 1 − r cos(ϕ − ϑ) + r2 Formula: Poissonova formula za enotski krog 1 u(re ) = 2π ˆ 2π iϕ u(eiϑ ) 0 1 − r2 dϑ 1 − r cos(ϕ − ϑ) + r2 Podobno lahko izpeljujemo tudi za krog s poljubnim polmerom in srediˇsˇcem v 0, tako da ga najprej preslikamo na enotskega s preslikavo h(z) = Rz , in je Φ = (u ◦ h−1 ) harmoniˇcna na enotski kroˇznici. Formula: Poissonova formula za krog s polmerom R 1 u(re ) = 2π ˆ iϕ 2.11 2π u(Reiϑ ) 0 R2 − r 2 1 − Rr cos(ϕ − ϑ) + r2 R2 dϑ Funkcija Γ Za <z > 0 definiramo: Definicija ˆ ∞ tz−1 e−t dt Γ(z) = 0 tz−1 = e(z−1) ln t ⇒ |tz−1 | = |e(z−1) ln t | = e<(z−1) ln t = t<z−1 . Ker 47 ´∞ 0 t<z−1 e−t dt konvergira, ´∞ konvergira tudi 0 tz−1 e−t dt, torej je definicija v redu. Lahko dokaˇzemo, da obstaja Γ0 , torej je Γ analitiˇcna na polravnini <z > 0. Lahko jo ˇse razˇsirimo: ˆ ∞ ˆ 1 z−1 −t tz−1 e−t dt t e dt + Γ(z) = 0 |1 {z } cela funkcija Drugi del je cela funkcija, prvega pa lahko izraˇcunamo: ˆ 1 ˆ 1 t2 t3 z−1 −t z−1 1 − t + − + . . . dt = t e dt = t 2! 3! 0 0 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 1 z+1 z z−1 t dt + t dt − t dt − . . . = 2! 0 0 0 1 1 1 1 z 1 z+1 1 1 z+2 = t − t + t z 0 z+1 2! z + 2 0 0 1 1 1 1 = − + − + ... z z + 1 2!(z + 2) 3!(z + 3) Izvzamem iz C 0 in negativna cela ˇstevila. Na D = C r {0, −1, −2, . . . } nam ˆ ∞ 1 1 1 1 tz−1 e−t dt − + − + ··· + z z + 1 2!(z + 2) 3!(z + 3) 1 definira analitiˇcno funkcijo Γ(z). Naj bo K zaprta kroˇzna ploˇsˇca v D. Na tej ploˇsˇci vrsta konvergira, enako vrsta odvajanih ˇclenov ⇒ Γ je analitiˇcna na D. (−1)n Vsaka toˇcka −n, n ∈ N ∪ {0}, je pol prve stopnje za Γ, glavni del LV v −n je n!(z+n) ⇒ Res Γ(z) = z=−n (−1)n . n! Oglejmo si Γ(z + 1) in zΓ(z). Sta identiˇcni na D, ujemata se na mnoˇzici s stekaliˇsˇcem ⇒ sta enaki. Γ(z)Γ(1 − z) = π sin(πz) Primer 3 3 1 − Γ − =Γ − 2 2 2 √ 1 1 1 − Γ − =Γ = π 2 2 2 3 4√ Γ − = π 2 3 48 3 3.1 Diferencialne enaˇ cbe Frobeniusova metoda Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda. Homogena LDE: Ly = P (z)y” + Q(z)y 0 + R(z)y = 0 Tu je y(z) funkcija kompleksne spremenljivke, ki zadoˇsˇca zaˇcetnim pogojem y(a) = c0 , y 0 (a) = c1 . Izrek Naj bosta funkciji Q in PR analitiˇcni na krogu s srediˇsˇcem v a in s polmerom r. Potem P obstaja reˇsitev enaˇcbe in je analitiˇcna v tem krogu. 49 Primer z(2 − z)y 00 − 6(z − 1)y 0 − 4y = 0 y(1) = 1; y 0 (1) = 0 y 00 − 4 6(z − 1) 0 y − y=0 z(2 − z) z(2 − z) Analitiˇcna sta povsod, razen v 0 in 2, razvijamo pa okrog 1. Reˇsitev zapiˇsemo kot potenˇcno vrsto, razvito okrog a. V naˇsem primeru je a = 1, zapiˇsemo z − 1 = w, z − 1 = w, z = w + 1, 2 − z = 1 − w. y(z) = ∞ X 0 n cn (z − 1) ; y (z) = ∞ X n=0 00 y (z) = ncn (z − 1) n−1 = n=1 ∞ X n(n − 1)cn (z − 1) n−2 = n=2 ∞ X ncn (w)n−1 n=1 ∞ X n(n − 1)cn (w)n−2 n=2 y(1) = c0 = 1, y 0 (1) = 1c1 = 0 ⇒ dva koeficienta ˇze imamo. 2 (1 − w ) ∞ X n(n − 1)cn w n−2 + 6w n−1 ncn (z − 1) −4 n(n − 1)cn w n−2 − n=2 ∞ X ∞ X n(n − 1)cn (z − 1)n−2 = 0 n=2 n=1 n=2 ∞ X ∞ X n n(n − 1)cn w + 6 n=2 ∞ X n ncn (w) − 4 ∞ X n=1 cn w n = 0 n=0 n Spremenimo vse vsote, da bodo ˇcleni w : ∞ X n (n + 2)(n + 1)cn+2 w − ∞ X n n(n − 1)cn w + 6 n ncn w − 4 n=1 n=2 n=0 ∞ X ∞ X cn w n = 0 n=0 ˇ Clene z w in konstantne poberem ven, dobim 2c2 − 4c0 + w(6c3 − 10c1 ) + ∞ X wn [(n + 1)(n + 2)cn+2 − n(n − 1)cn − 6ncn − 4cn ] = 0 n=2 Potenˇcna vrsta, ki je identiˇcno enaka 0 ⇒ vsi koeficienti so 0, lahko iz tega izraˇcunamo cn : n+4 n+2 ∞ X = (n + 1)(z − 1)2n c2 = 2, c3 = 0, cn+2 = cn y(z) = ∞ X c2n (z − 1)2n n=0 n=0 2 Se da ˇse polepˇsati: (z − 1) = ω, y(z) = z 2 (z P∞ n=0 (n + 1)ω n = 1 − 2)2 50 d dω P∞ 0=0 ωn = d 1 . dω 1−ω Izrek Imamo enako enaˇcbo kot prej. Funkciji Q in PR naj imata izolirano singularnost v toˇcki a, P in (z − a)2 PR odpravljivo singularnost v a. Torej lahko ti in sicer tako, da imata (z − a) Q P dve funkciji razvijemo v konvergentno potenˇcno vrsto s srediˇsˇcem v a in s polmerom R. Enaˇcba ima vsaj eno reˇsitev: r y(z) = (z − a) ∞ X dn (z − a)n n=0 kjer je d0 6= 0. 3.2 Besselova enaˇ cba Za ν > 0 je z 2 y 00 + zy 0 + (z 2 − ν 2 )y = 0 ν2 1 y 00 + y 0 + (1 − 2 )y z z Oba pogoja prejˇsnjega izreka sta izpolnjena ⇒ Obstaja reˇsitev oblike y=z y0 = r ∞ X n cn z = n=0 ∞ X ∞ X cn z n+r n=0 (n + r)cn z n+r−1 n=0 y 00 = ∞ X (n + r)(n + r − 1)cn z n+r−2 n=0 z 2 y 00 = zy 0 = ∞ X n=0 ∞ X (n + r)(n + r − 1)cn z n+r (n + r)cn z n+r n=0 2 2 (z − ν )y = ∞ X cn z n+r+2 − n=0 ∞ X 2 ν cn z n+r = n=0 ∞ X n=2 cn−2 z n+r − ∞ X ν 2 cn z n+r n=0 To seˇstejem, raˇcunam po ˇclenih: r(r − 1)c0 z r + rc0 z r − ν 2 c0 z r + (r + 1)rc1 z r+1 + (r + 1)c1 z r+1 − ν 2 c1 z r+1 + + ∞ X (n + r)(n + r − 1)cn + (n + r)cn + cn−2 − ν 2 cn z n+r = 0 n=2 51 z r izpostavim, to mora biti res za vsak z ⇒ vsi koeficienti so enaki 0. (r2 − ν 2 )c0 = 0 [(r + 1)2 − ν 2 ]c1 = 0 [(n + r)2 − ν 2 ]cn + cn−2 = 0 Privzamemo c0 6= 0 ⇒ r = ±ν. Potem (r + 1)2 − ν 2 6= 0 in je c1 = 0. (n + r)2 − ν 2 = (n + r)2 − r2 = n2 + 2nr = n(n + 2r), n(n + 2r)cn = −cn−2 . Torej je cn = 0 za lihe n, za sode pa lahko rekurzivno izraˇcunamo. Ostanejo le sodi n, zato lahko piˇsemo n = 2m, vzamemo ˇse r = ν. 2m(2m + 2r)c2m = −c2m−2 4m(m + ν)c2m = −c2(m−1) c2m = − 1 22 m(m + ν) c2m−2 Besselova enaˇcba je homogena in linearna. Vzamem c0 = 1 1 , c6 = − 2ν+6 3!Γ(ν+4) . Z indukcijo pokaˇzemo 2ν+4 2Γ(ν+3) c2m = (−1)m 1 , Γ(ν+1)2ν c2 = − 2ν+21Γν+2 , c4 = 1 2ν+2m m!Γ(ν + m + 1) Ena reˇsitev Besselove enaˇcbe je Jν (z) = z ν ∞ X c2m z 2m =z m=0 = ∞ z ν X 2 ν ∞ X (−1)m m=0 (−1)m m=0 1 2ν+2m m!Γ(ν + m + 1) z 2m = z 2m 1 m!Γ(ν + m + 1) 2 To je Besselova funkcija prve vrste. Definirana je na C brez negativnega dela realne osi in niˇcle ν ˇ je ν ∈ N ∪ {0}, pa je funkcija cela. (vrsta je cela, problem je z2 ). Ce Jν ima neskonˇcno niˇcel, razdalja med zaporednima niˇclama gre proti π, ko so oddaljujemo od izhodiˇsˇca. Za cele n je Jn (z) = ∞ z n X 2 (−1)m m=0 z 2m 1 m!(m + n)! 2 ˇ pa ν ∈ Ce / Z, imamo ˇse funkcijo za r = −ν: J−ν = ∞ z −ν X 2 (−1)m m=0 z 2m 1 m!Γ(−ν | +{zm + 1}) 2 ∈Z / V tem primeru sta Jν in J−ν linearno neodvisni in je sploˇsna reˇsitev BE y = AJν (z) + BJ−ν (z) 52 Za negativna cela ˇstevila: v formulo postavim ν = −n, so vsi ˇcleni do cn enaki 0. J−n (z) = ∞ z −n X (−1)m z 2m m!(m − n)! 2 m=n 2 Razvijmo: e 1 zt 2 − 21 e n X ∞ ∞ X zn n 1 zt = t = n k! n! 2 2 n=0 n=0 z t = ∞ X (−1)n z n 2n k! n=0 t−n Obe sta enakomerno konvergentni, lahko ju mnoˇzim in seˇstevam. z 1 f (t) = e 2 (t− t ) = ∞ X cn (z)tn n=−∞ To je produkt zgornjih dveh vrst. Za n ≥ 0 je ∞ X k k z n+k n+k (−1) z −k t t n+k (n + k)! k k! 2 2 k=0 ∞ z n X (−1)k z 2k = Jn (z) cn (z) = 2 k=0 k!(k + m)! 2 cn (z)tn = Podobno je za n > 0 c−n (z) = J−n (z) f (t) = e z (t− 1t ) 2 = ∞ X Jn (z)tn n=−∞ To je rodovna funkcija za Besselove funkcije Jn . 1 f (− ) = f (t) t ∞ ∞ X X (−1)n Jn (z)t−n = Jn (z)tn n=−∞ n=−∞ n J−n (z) = (−1) Jn (z) 53 3.2.1 Integralska reprezentacija za Jn Vzamem x ∈ R+ , t = eiϑ , 1 t = e−iϑ , t − x ∞ X 1 e 2 (t− t ) = eix sin ϑ = 1 t n=−∞ ∞ X = 2i sin ϑ Jn (x)tn Jn (x)einϑ n=−∞ cos(x sin ϑ) + i sin(x sin ϑ) = J0 (x) + ∞ X [Jn (x)einϑ + (−1)n Jn e−inϑ ] n=1 = J0 (x) + ∞ X Jn (x)[einϑ + (−1)n e−inϑ ] n=1 Desni del je enak (ˇce je n = 2m): J2m (x)[2 cos(2mϑ)] ˇ pa je n = 2m + 1, pa je desni del: Ce J2m+1 (x)[2i sin((2m + 1)ϑ)] Izenaˇcim realne in imaginarne dele: cos(x sin ϑ) = J0 (x) + 2 ∞ X J2m (x) cos(2mϑ) m=1 sin(x sin ϑ) = 2 ∞ X J2m+1 (x) sin((2m + 1)ϑ) m=0 To sta Foureirova razvoja na intervalu [−π, π]. ˆ 2 π 2J2m (x) = cos(x sin ϑ) cos(2mϑ) dϑ π 0 ˆ 2 π 2J2m+1 (x) = sin(x sin ϑ) sin((2m + 1)ϑ) dϑ π 0 ˆ 2 π 0= sin(x sin ϑ) sin(2mϑ) dϑ π 0 ˆ π 2 0= cos(x sin ϑ) cos((2m + 1)ϑ) dϑ π 0 Za sode ˇclene sestejem enaˇcbi (4) in (6), za lihe pa (5) in (7). Upoˇstevamo, da je cos(nϑ − x sin ϑ) = cos(nϑ) cos(x sin ϑ) + sin(nϑ) sin(x sin ϑ). ˆ 1 π Jn (x) = cos(nϑ − x sin ϑ) dϑ; n = 0, 1, 2, . . . π 0 54 (4) (5) (6) (7) Rekurzivni formuli d ν (z Jν (z)) = z ν Jν−1 (z) dz d −ν (z Jν (z)) = −z −ν Jν+1 (z) dz (8) (9) Dokaz Dokaˇzimo (9), za (8) je podobno. z −ν Jν (z) = z −ν ∞ z n X 2 k=0 (−1)k z 2k = k!(k + m)! 2 n X ∞ (−1)k z 2k 1 2 k!(k + m)! 2 k=0 To odvajamo po ˇclenih, vstavimo v formulo, in vidimo da so vsi koeficienti enaki. Iz rekurzivnih formul sledi Formule 2ν Jν (z) z Jν−1 − Jν+1 = 2Jν0 (z) J00 (z) = −J1 (z) Jν−1 + Jν+1 = J1/2 (z) = ∞ z 1/2 X 2 z 2m (−1)m m!Γ( 12 + m + 1) 2 m=0 √ π z }| { 1 1 1 1 1 1 1 Γ( + m + 1) = ( + m)Γ( + m) = · · · = ( + m)( + m − 1) · · · Γ( ) = 2 2 2 2 2 √ 2 2 (2m + 1) (2m − 1) 1√ (2m + 1)! π = ··· π= 2 2 2 22m+1 m! r ∞ z 1 X (−1)m 22m+1 m! z 2m+1 √ = J1/2 (z) = 2 2 z m=0 m!(2m + 1)! π 22m+1 r r ∞ 2 X (−1)m 2m+1 2 = z = sin z πz m=0 (2m + 1)! πz 55 Po rekurzivni formuli je √ d √ ( zJ1/2 (z)) = zJ−1/2 (z) dz r √ d 2 ( sin z) = zJ−1/2 (z) dz π r √ 2 cos z = zJ−1/2 (z) π ˇ ν∈ Ce / Z, je sploˇsna reˇsitev Besselove enaˇcbe y = AJν (z) + BJ−ν (z) 3.2.2 Neumannova funkcija Definicija Nν (z) = Yν (z) = Jν cos νπ − J−ν za ν ∈ /Z sin νπ Za n ∈ Z pa definiramo Nn (z) = lim Nν (z) ν→n Izkaˇze se, da ta limita vedno obstaja. Lahko jo izraˇcunamo po L’Hospitalu: ∂ J (z) cos νπ ∂ν ν − Jν (z)π sin νπ − ν→n π cos(νπ) 1 ∂ n ∂ = lim Jν (z) + (−1) J−ν (z) π ν→n ∂ν ∂ν Nn (z) = lim ∂ J (z) ∂ν −ν = Trditev Nn zadoˇsˇca Besselovi enaˇcbi Ly = z 2 y 00 + zy 0 + (z 2 − ν 2 )y = 0 (10) 56 Dokaz Vemo, da je LJν = 0 in LJ−ν = 0. Naj bo y enak Jν ali J−ν , odvajamo parcialno na ν. ∂y ∂ν = u. Enaˇcbo (10) z 2 u00 + zu − 2νy + (z 2 − ν 2 )u = 0 Lu − 2νy = 0 ∂y L = 2νy ∀ν ∂ν ∂ 1 1 ∂ n+1 Jν (z) + (−1) J−ν (z) Nn (z) = π ∂ν π ∂ν ν=n ν=n 2n 2n [Jn (z) + (−1)n+1 J−n (z)] = [Jn (z) + (−1)n+1 (−1)n Jn (z)] = 0 LNn = π π " # ∞ X 2 z (−1)m−1 hm 2m N0 (z) = z J0 (z)(ln ) + γ + 2m (m!)2 π 2 2 m=1 γ = −Γ0 (1) ≈ 0.5772167 . . . je Euler-Mascheronijeva konstanta, hm = 1 + 12 + 13 + · · · + imajo singularnost v 0 in v bliˇ zini niˇ cle niso omejene . Sploˇ sna reˇ sitev Besselove enaˇ cbe 1 . m Nn y = AJν (z) + BNν (z) je sploˇsna reˇsitev za vse ν, tudi cele. 3.2.3 Hanklovi funkciji Definicija Hν(1) (z) = Jν (z) + iNν (z) (11) Hν(2) (z) (12) = Jν (z) − iNν (z) 57 Asimptotski formuli r 1 2 i(z−αν ) e [1 + O( )] πz z r 2 −i(z−αν ) 1 Hν(2) (z) = e [1 + O( )] πz z Hν(1) (z) = Pri tem je αν = (2ν + 1) π4 , O( z1 ) 1 z (13) (14) je omejeno, ko gre z → ∞. Domaˇ ca Naloga Preverite asimptotski formuli za ν = 12 . V vseh rekurzivnih formulah lahko ν zamenjamo z −ν, J pa N = Y ali s H. Primer d −ν (z J−ν (z)) = z −ν J−ν−1 (z) dz 2n Nn+1 (z) + Nn−1 (z) = Nn (z) z 3.3 (15) (16) Enaˇ cba za neskonˇ cno struno utt = c2 uxx Vpeljemo spremenljivke ξ = x − ct, η = x + ct. u(x, t) = U (ξ, η) ∂ξ ∂η ut = Uξ + Uη = −cUξ + cUη ∂t ∂t utt = (−c)2 Uξξ − 2c2 Uξη + c2 Uηη ∂ξ ∂η ux = Uξ + Uη = Uξ + Uη ∂x ∂x uxx = Uξξ + 2Uξη + Uηη Zaˇcetna enaˇcba tako postane (−c)2 Uξξ − 2c2 Uξη + c2 Uηη = c2 (Uξξ + 2Uξη + Uηη ) 4c2 Uξη = 0 ⇒ Uξη = U= ∂Uξ ∂η ˆ = 0 ⇒ Uξ = h(ξ). h(ξ)dξ +g(η) | {z } f (ξ) 58 U (ξ, η) = f (ξ) + g(η) u(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct) To je d’Alambertova reˇsitev. Zaˇcetna pogoja: u(x, 0) = ϕ0 (x), ´ux (x, 0) = ϕ1 (x). ϕ0 (x) = f (x) + g(x). ut = f 0 (x) ∗ (−c) + g 0 (x)c = ϕ1 (x) −cf (x) + cg(x) = ϕ1 (x)dx + K ˆ 1 (ϕ1 )dx + K −f (x) + g(x) = c ˆ ϕ0 (x) 1 x + ϕ1 (x)dx + 2 2c 0 ˆ 1 x ϕ0 (x) − ϕ1 (x)dx + 2 2c 0 f (x − ct) = = f (x − ct) = u(x, t) = 4 K = g(x) 2 K = f (x) 2 ˆ K ϕ0 (x − ct) 1 x−ct ϕ1 (s)ds − − 2 2c 0 2 ˆ 0 ϕ0 (x − ct) K 1 ϕ1 (s)ds − + 2 2c x−ct 2 ˆ x+ct K ϕ0 (x + ct) 1 ϕ1 (s)ds + + 2 2c 0 2 ˆ x+ct 1 1 ϕ1 (s) ds (ϕ0 (x − ct) + ϕ0 (x + ct)) + 2 2c x−ct Linearni diferencialni operatorji drugega reda 2 2 Ly = −y 00 = λy, y(0) = y(l) = 0. Netrivialne reˇsitve so: λn = n l2π so lastne vrednosti, yn = sin( nπx ) so lastne funkcije operatorja L. Gledamo L kot operator na podprostoru v l C 2 [0, l] takih funkcij, da je y(0) = y(l) = 0. To je linearen podprostor. Vzamemo prostor C 2 [a, b] dvakrat zvezno odvedljivih funkcij na [a, b] in ga jemljemo kot linearen podprostor v L2 [a, b]. Oglejmo si linearni operator L: C 2 [a, b] → C 2 [a, b], definiran z: Ly = P (x)y 00 + Q(x)y 0 + R(x)y Tu so P, Q, R zvezne realne funkcije. Definicijsko obmoˇcje: 1. Ves C 2 [a, b] 2. Vse funkcije y ∈ C 2 [a, b], za katere je αy(a)+βy 0 (a) = 0 in γy(b)+δy 0 (b) = 0, |α|+|β| = 6 0, |γ| + |δ| = 6 0, α, β, γ, δ konstante. Take funkcije sestavljajo linearen podprostor. (Sturm-Liouvilleov problem) ˇ Zelimo zadosten pogoj za to, da je operator L simetriˇcen: hLy, zi = hy, Lzi za vse y, z iz definicijskega obmoˇcja za L. y, z ∈ R. 59 ˆ b [P y 00 z + Qy 0 z + Ryz] dx hLy, zi = a ˆ ˆ b 00 hy, Lzi = 0 ˆ b 00 ˆ b b 0 [yP z + yQz + yRz] dx = yP z dx + yQz dx + yRz dx a a a a ˆ b ˆ b ˆ b 0 0 b zyQ0 dx zy Q dx − yQz dx = yQz|a − a a a ˆ b ˆ b ˆ b 0 b 0 0 0 b 00 0 b z(P y)00 dx = z (P y) dx = yP z |a − z(P y) |a + yP z dx = yP z |a − a a a ˆ b z[P 00 y + P 0 y 0 + P y 00 ] d = P (yz 0 − zy 0 )|ba − P 0 zy|ba + a ˆ b 0 b b [(P 00 − Q0 + R)yz + (2P 0 − Q)zy 0 + P y 00 z] dx = hy, Lzi = [P W [y, z]]a + [(Q − P )yz]a + a ˆ b = [P y 00 z + Qy 0 z + Ryz] dx a To bo res enako, ˇce vzamem 2P 0 −Q = Q oz P 0 = Q in [P W [yz]]ba = 0 za vse y, z iz definicijskega obmoˇcja za L, je L simetriˇcna. Drugi pogoj je avtomatiˇcno izpolnjen, ˇce je bodisi: • P(a) = P(b) = 0 • Veljajo robni pogoji kot prej: αy(a) + βy 0 (a) = 0 in γy(b) + δy 0 (b) = 0, |α| + |β| 6= 0, |γ| + |δ| 6= 0, α, β, γ, δ konstante. Sistem αy(a) + βy 0 (a) = 0, αz(a) + βz 0 (a) = 0 ima reˇsitev (α, β), torej je njegova determinanta W [y, z]|a = 0, enako za W [y, z]|b = 0. Izrek ˇ je bodisi Imamo diferencialni operator Ly = P y 00 + P 0 y 0 + Ry = (P y 0 )0 + Ry. Ce • P (a) = P (b) = 0 • Definicijsko obmoˇcje za L omejimo na funkcije y ∈ C 2 [a, b], ki zadoˇsˇcajo pogojem αy(a) + βy 0 (a) = 0 in γy(b) + δy 0 (b) = 0, |α| + |β| = 6 0, |γ| + |δ| = 6 0 je L simetriˇcen. Primer Ly = −y 00 = (−1y 0 )0 Definiran na vseh funkcijah y ∈ C 2 [0, l] z y(0) = y(l) = 0. P = −1, R = 0, L je simetriˇcen. 60 Primer Legendrov diferencialni operator Ly = ((x2 − 1)y 0 )0 Na C 2 [−1, 1] je simetriˇcen, ker je P = x2 − 1 = 0 na konceh intervala. Je avtomatiˇcno simetriˇcen, ne glede na robne pogoje. 4.1 Lastne vrednosti in lastne funkcije simetriˇ cnega operatorja Trditev Lastne vrednosti simetriˇcnega operatorja (nad C prostorom) so realne. Lastne funkcije, ki ustrezajo razliˇcnim lastnim vrednostim, so paroma ortogonolne Dokaz Ly = λy, y 6= 0 hLy, yi = hλy, yi = λ hy, yi hy, Lyi = hy, λyi = λ hy, yi ⇒ λ = λ ⇒ λ ∈ R hLy, zi = λ hy, zi = hy, Lzi = µ hy, zi . λ, µ ∈ R, λ 6= µ ⇒ hy, zi = 0 ˇ je y = y1 +iy2 (y1 , y2 ∈ R) lastna funkcija za f , je Ly = λ(y1 +iy2 ) = λy1 +iλy2 = Ly1 +iLy2 . Ce Ker sta L in λ realna, sta y1 in y2 realni lastni funkciji za lastno vrednost λ. Kaj, ˇce je L oblike L = P y 00 + Qy 0 + Ry, P 0 6= Q? Poskusimo z novim skalarnim produktom v C 2 [a, b]: ˆ b [f, g] = f gρ dx a ρ : [a, b] → [0, ∞) je uteˇz, je skoraj povsod pozitivna. To je tudi skalarni produkt. Radi bi, da bi bilo [Lf, g] = [f, Lg] za vse f, g in definicijskega obmoˇcja D(L). ˆ ˆ b 00 b 0 ρf (P g 00 + Qg 0 + Rg) dx ρ(P f + Qf + Rf )g dx = ˆ a b a ˆ [(ρP )f 00 + (ρq)f 0 + (ρR)f ]g dx = a b f [(ρP )g 00 + (ρQ)g 0 + (ρR)g] dx a D E D E ˜ g = f, Lg ˜ . Da je L ˜ simetriˇcen, zadostuje ˜ = ρP y 00 + ρQy 0 + ρR. Tedaj je Lf, Uvedemo Ly (ρP )0 = ρQ in [ρP W [y, z]]ba = 0 ∀y, z. Iz tega lahko izraˇcunamo ρ. 61 Privzamemo, da je P (x) 6= 0 na intervalu [a, b]. ρ0 P + ρP 0 = ρQ ρ0 Q − P0 = ρ P ˆ Q − P0 ln ρ = dx P V Sturm-Liouvillovem problemu je ta drugi pogoj izpolnjen. 4.2 Besselov diferencialni operator 1 ν2 Ly = −y 00 − y 0 + 2 y x x ν > 0, D(L) so vse funkcije y, ki zadoˇsˇcajo pogojema: 1. y(a) = 0 2. y je omejena na [0, a] Iˇsˇcemo pozitivne lastne vrednosti in ustrezne lastne funkcije. 4.2.1 Enaˇ cba za lastne funkcije Ly = λy 1 0 ν2 00 −y − y + 2 y = λy x x x2 y 00 + xy 0 + (λx2 − ν 2 )y = 0 √ Vzamemo t = x λ, lahko prevedemo na Besselovo enaˇcbo: √ dt = y˙ λ dx 00 y = λ¨ y ⇒ t2 y¨ + ty˙ + (t2 − ν 2 )y = 0 y 0 = y˙ To je Besselova enaˇcba, sploˇsna reˇsitev je Y (t) = AJν (t) + BNν (t). p √ y(x) = AJν (x λ) + BNν (x λ) Nν ni omejena, y pa mora biti ⇒ B = 0. √ y(x) = AJν (x λ) √ Pogoj je ˇse y(a) = AJν (x λ) = 0. Naj bodo ξν1 < ξν2 < . . . vse pozitivne niˇcle za Jν . Vemo, da razlika ξνn − ξν(n−1) → π. ⇒ p a λn = ξνn 62 λn = ξνn a 2 ). Ustrezna lastna funkcija je yn = An Jν (x ξνn a Ali je Besselov operatov simetriˇcen? P 0 = 0, Q = − x1 , to ni enako ⇒ ni simetriˇcen. Ali obstaja uteˇz? ρ ρ0 = x ρ = Cx ˇ vzamemo ρ = x, je ρ > 0 na [0, a] razen v toˇcki 0, to je v redu. L je simetriˇcen na L2 [0, a] Ce z uteˇzjo x. Preveriti moramo ˇse pogoj [ρP W [y, z]]a0 = 0 za vse y, z ∈ D(L). W [y, z]a = 0, ker je y(a) = z(a) = 0, v toˇcki 0 pa je ρ = x = 0. ⇒ L je res simetriˇcen. Lastne funkcije yn = An Jν (x ξνn ) so ortogonalne glede na ta skalarni produkt, torej je a ˆ a ξνn ξνk Jν (x )Jν (x )x dx = 0 za k 6= n a a ˆ0a ξνn ξνn a2 (Jν+1 (ξνn ))2 Jν (x )Jν (x )x dx = a a 2 0 4.2.2 Nihanje proˇ zne opne Imamo okroglo opno s polmerom a, pritrjeno na robu. a a 1 1 utt = c2 ∆u = c2 (uxx + uyy ) = c2 (urr + ur + 2 uϕϕ ) r r Vzamemo, da sta zaˇcetna pogoja neodvisna od ϕ, iˇsˇcemu tudi reˇsitve neodvisno od ϕ, piˇsemo u = u(r, t). Robni pogoj: u(a, t), zaˇcetna pogoja: u(r, 0) = f (r) in ut (r, 0) = g(r). Tako enaˇcba postane 1 utt = c2 ∆u = c2 (urr + ur ) r 63 Lotimo se s Fourierovo metodo: u(r, t) = H(r)T (t), pozabimo na zaˇcetno pogoje, upoˇstevamo robnega: H(a)T (t) = 0 ⇒ H(a) = 0. 1 0 00 00 2 H(r)T (t) = c H (r)T (t) + H (r)T (t) r T 00 (t) H 00 (r) 1 H 0 (r) = + = −λ c2 T (t) H(r) r H(r) T 00 (t) = −λc2 T (t) Iˇsˇcem reˇsitve, periodiˇcne na t ⇒ λ > 0. 1 LH = −H 00 (r) − H 0 (r) = λH(r) r To je Besselov operator za ν = 0. To smo ˇze reˇsili: λn = ξ0,n a , ξ0,n je n-ta pozitivna niˇcla J0 . H(r) = J0 ( ξ0,n r) je ustrezna lastna funkcija. a Tn00 (t) 2 = −c | 2 ξ0,n T (t) a {z } ω2 cξ0,n cξ0,n t) + Bn sin( t) a a Dobim zaporedje reˇsitev Tn (t) = An cos( ξ0,n cξ0,n cξ0,n r)(An cos( t) + Bn sin( t)) a a a ∞ X ξ0,n cξ0,n cξ0,n u(r, t) = J0 ( r) An cos( t) + Bn sin( t) a a a n=1 un (r, t) = J0 ( Koeficiente An , Bn doloˇcim iz zaˇcetnih pogojev: u(r, 0) = ∞ X n=1 An J0 ( ξ0,n r) a Upoˇstevam, da so ˇcleni vsote ortogonalni glede na skalarni produkt z uteˇzjo r, torej je tudi to Fourierov razvoj. ξ0,n ξ0,k ξ0,n a2 ξ0,k 2 f, J0 ( r) + Ak J0 ( r), J0 ( r) = Ak (J1 ( )) a a a 2 a ˆ a 2 ξ0,k Ak = f (r)J0 ( r)r dr ξ 0,k a a2 (J1 ( a ))2 0 Za drugi zaˇcetni pogoj vrsto odvajam po ˇclenih in izenaˇcim ut (r, t)|t=0 = g(r), spet dobim podoben razvoj. 64 4.3 Hermitov diferencialni operator Ly = −y 00 + 2xy 0 P = −1, Q = 2x. Uteˇz: (ρP )0 = ρQ (−ρ)0 = ρ2x ρ0 = −2x ρ ln ρ = −x2 + ln C 2 2 ρ = Ce−x = e−x > 0 h ib 2 ˇ vzamemo za interval (−∞, ∞). L je simetriˇcen e−x (−1)W [y, z] = 0 za vsak y, z ∈ D(L). Ce a 2 glede na L2 (R, e−x ). Lastne vrednosti za L so 2n, n = 0, 1, . . . , ustrezne lastne funkcije so Hermitovi polinomi. 2 (n) 2 Hn (x) = (−1)n ex e−x 2 to je polinom stopnje n. Te funkcije so ortogonalne v L2 (R, e−x ): ˆ ∞ 2 Hn (x)Hk (x)e−x dx = 0; za n 6= k −∞ 2 x ˇ jih normiramo, sestavljajo ONB za Piˇsem un (x) = Hn (x)e− 2 , un so ortogonalne v L2 (R). Ce 2 L (R). Vse te u(x) so lastne funkcije Fourierove transformacije. 4.4 Specialne funkcije Digital library of Mathematical functions: http://dlmf.nist.gov 5 Linearno neodvisna zaporedja polinomov Naj bo Qn (x) polinom n-te stopnje spremenljivke x ∈ R, C, n = 0, 1, . . . . Q0 (x) je konstanta (6= 0), Q1 (x) = a11 x + a10 , a11 6= 0, in tako naprej. Trditev 1. Polinomi Q0 , Q1 , . . . so linearno neodvisni. 2. Za vsak n ∈ N polinomi Q0 , Q1 , Q2 , . . . , Qn sestavljajo bazo prostora vseh polinomov stopnje ≤ n. Vsak polinom stopnje ≤ n lahko zapiˇsemo kot linearno kombinacijo P (x) = c0 Q0 (x) + c1 Q1 (x) + · · · + cn Qn (x) 3. {Q0 , Q1 , . . . } sestavljajo bazo prostora vseh polinomov. 65 Dokaz 1. cn Qn (x) + · · · + c0 Q0 (x) ≡ 0. Vsi koeficienti so 0, xn nastopa le v Qn ⇒ cn = 0, tako sklepam za vse koeficiente. 2. Ta prostor ima razseˇznost n + 1, mi pa imamo n + 1 linearno neodvisnih polinimov (po prejˇsnji toˇcki), torej so baza. 3. Oˇcitno. 5.1 Sploˇ sna teorija ortogonalnih polinomov Naj bo Qn (x), x ∈ R, polinom z realnimi koeficienti stopnje n. Velja naj ˇse: [Qn , Qm ] = 0 za n 6= m kjer je ρ > 0 na (a, b) in ˆ b [f, g] = f (x)g(x)ρ(x) dx a Potem je to zaporedje ortogonalnih polinomov v L2 [a, b; ρ]. Piˇsimo: Qn (x) = kn xn + ˇcleni niˇzjega reda, Qn+1 (x) = kn+1 xn+1 + monomi stopnje ≤ n. Izraˇcunajmo: kn+1 xQn (x) = kn+1 xn+1 + . . . kn | {z } αn Qn+1 (x) − αn xQn (x) = n X aj Qj (x) j=0 To skalarno mnoˇzim z Qm : [Qn+1 , Qm ] − αn [xQn , Qm ] = am [Qm , Qm ] ˇ je m ≤ n − 2, je Ce ˆ b ˆ b [xQn , Qm ] = xQn (x)Qm (x)ρ(x) dx = Qn (x)[xQm (x)]ρ(x) dx = [Qn , xQm ] a a xQm je stopnje ≤ n − 1 ⇒ xQm = cn−1 Qn−1 + · · · + c0 Q0 . Potem je [Qn , xQm ] = [Qn , cn−1 Qn−1 + · · · + c0 Q0 ] = 0 ker so vsi med sabo ortogonalni. Tudi [Qn+1 , Qm ] = 0, ker n + 1 < m. Za m ≤ n − 2 je: [Qn+1 , Qm ] −αn [xQn , Qm ] = am [Qm , Qm ] | {z } | {z } | {z } =0 =0 6=0 66 Torej je am = 0 za m ≤ n − 2. Qn+1 (x) − αn xQn (x) = n X j=0 aj Qj (x) = an Qn (x) + an−1 Qn−1 (x) |{z} |{z} βn γn Qn+1 (x) = (αn x + βn )Qn (x) + γn Qn−1 (x) Med tremi zaporednimi ortogonalnimi polinomi velja rekurzivna vez. Trditev Polinom Qn ima n enkratnih niˇcel, ki vse leˇze v (a, b). Dokaz ˇ Qn nima realnih niˇcel lihe stopnje, naj bo p(x) ≡ 1. Ce ˇ pa Smiselno le za n ≥ 1. Ce so x1 , . . . , xr realne niˇcle lihe stopnje v (a, b), x1 , . . . , xr paroma razliˇcni, naj bo p(x) = (x − x1 ) . . . (x − xr ). Oglejmo si produkt pQn . Ta na intervalu (a, b) ne menja predznaka, saj nima niˇcel lihe ˇ je r ≤ n (v prvem primeru je r = 0), je p polinom stopnje ≤ n, torej je stopnje. Ce pravokoten na Qn : ˆ b pQn ρ dx = 0 [Qn , p] = a pQn ρ je konstantnega predznaka na (a, b), ρ > 0 na (a, b) ⇒ pQn je v (a, b) skoraj povsod enaka 0. Ker je zvezna, je povsod enaka 0. To pa je nemogoˇce, saj je pQn stopnje vsaj n ≥ 1. Protislovje je, ker smo privzeli r ≤ n, torej mora biti r = n. p(x) = (x − x1 ) . . . (x − xn ), torej ima res n niˇcel. 5.2 Legendrovi polinomi Legendrov diferencialni operator na C 2 [−1, 1]: Ly = ((x2 − 1)y 0 )0 = (x2 − 1)y 00 + 2xy 0 je simetriˇcen na C 2 [−1, 1], ker je P (x) = (x2 − 1) na robovih intervala 0. Lastne vrednosti so realne, lastne funkcije, ki pripadajo razliˇcnim lastnim vrednostim paroma ortogonalne. 5.2.1 Rodriguova formula Naj bo y(x) = (x2 − 1)n = x2n + . . . . y 0 (x) = n(x2 − 1)n−1 2x (x2 − 1)y 0 (x) = n(x2 − 1)n 2x = 2nxy(x) 67 Odvajam (n + 1)-krat po Leibnitzovi formuli: n+1 n+1 n+1 2 (n+2) 2 0 (n+1) (x − 1)y (x) + (x − 1) y (x) + (x2 − 1)00 y (n) (x) 0 1 2 n+1 n+1 (n+1) = 2nxy (x) + 2ny (n) (x) 0 1 (x2 − 1)y (n+2) (x) + 2(n + 1)xy (n+1) (x) + n(n + 1)y (n) = 2nxy (n+1) + 2n(n + 1)y (n) (x) (x2 − 1)(y (n) (x))00 + 2x(y (n) (x))0 = n(n + 1)(y (n) (x)) Oznaˇcim Qn (x) = [(x2 − 1)n ](n) , vodilni ˇclen je (x2n )(n) = (2n)! n x . n! LQn = (x2 − 1)Q00n + 2xQ0n = n(n + 1)Qn = λQn Polinomi Qn so lastne funkcije Legendrovega operatorja. Ustrezna lastna vrednost je n(n + 1). Izraˇcunajmo Qn (1): Qn (x) = [(x − 1)n (x + 1)n ](n) . Spet odvajamo po Leibnitzovi formuli, dobimo Qn (1) = n!2n . Definicija N -ti Legendrov polinom: Pn (x) = 1 2n n! Qn (x) = 1 2n n! [(x2 − 1)n ](n) Definirani so tako, da je Pn (1) = 1, Pk in Pn imata razliˇcni lastni vrednosti ⇒ Pk ⊥ Pn . LPn = n(n + 1)Pn Primer • P0 (x) = 1 • P1 (x) = x • P2 (x) = 18 (x4 − 2x2 + 1)00 = 32 x2 − 12 . Za sode n je Pn sod, za lihe n pa je Pn lih: Pn (−x) = (−1)n Pn (x). r ||Pn ||2 = 2 2n + 1 { ||PPnn||2 } je ONS v L2 [−1, 1]. Trdimo, da je to ONB: Trditev { ||PPnn||2 } je ONB za L2 [−1, 1]. 68 Dokaz Naj bo f ∈ L2 [−1, 1], f ⊥ Pn za vsak n ⇒ f je pravokoten na vsak polinom. Dokazati moramo, da je f = 0. Razˇsirimo f na R: f (x); x ∈ [−1, 1] h(x) = 0; sicer ˆ ˆ ∞ 1 h ∈ L (R]); 1 |h| = |f | < ∞ −∞ −1 f (x) = |f (x)|eiα(x) , α(x) ∈ R. ˆ 1 ˆ 1 f (x)e−iα(x) dx = f, eiα(x) < ∞ |f | = −1 −1 Torej je h res v L1 (R). Izraˇcunajmo Fourierovo transformiranko za h: ˆ ˆ ∞ ˆ h(λ) = −iλx h(x)e −iλx dx = −∞ ˆ 1 f (x)e −1 n X (−iλ)k xk 1 dx = f (x) lim −1 n→∞ k=0 k! = = lim hf, polinomi = 0 n→∞ ⇒ h(x) = 0 skoraj povsod ⇒ f (x) = 0 skoraj povsod ⇒ f ≡ 0 v L2 . * + (2n)! n (2n)! Qn , x + |{z} ... = hQn , xn i n! n! hQn , Qn i = ⊥Qn ˆ 1 ((x− 1)n )(n) xn dx n hQn , x i = −1 ˇ to naredim n-krat, dobim: Integriram per partes, upoˇstevam da je [x2 − 1]1−1 = 0. Ce ˆ n ˆ 1 − n hQn , x i = (−1) n! 2 n −1 69 1 (1 − x2 )n dx (1 − x ) dx = 2n! (x 1) dx = n! −1 ˆ 1 n 0 √ : = 2du Vpeljemo u = x2 , dx = du 2x u ˆ 1 Γ(n + 1)Γ( 12 ) 1 1 (1 − u)n u 2 dx = n!β(n + 1, ) = n! hQn , xn i = n! 2 Γ(n + 32 ) 0 √ 2 (2n)!n! π (2n)!n!22n+1 n! hQn , Qn i = = = (n!2n )2 3 (2n + 1)! 2n + 1 Γ(n + 2 ) r p 2 ||Qn ||2 = hQn , xn i = n!2n = n!2n ||Pn ||2 2n + 1 r 2 1 ||Pn ||2 = n ||Qn ||2 = 2 n! 2n + 1 Vodilni koeficient za Pn je 1 (2n)! 2n n! n! = kn . Iz rekurzive zveze za ortogonalne polinome velja: Pn+1 (x) = (αn x + βn )Pn (x) + γn Pn−1 (x) (2n + 2)(2n + 1) kn+1 2n + 1 = αn = = 2 kn 2(n + 1) n+1 2n + 1 Pn+1 (x) = ( x + βn )Pn (x) + γn Pn−1 (x) n+1 (n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) + Bn Pn (x) + Cn Pn−1 (x) Naj bo n sod, potem je Pn+1 lih, xPn in Cn Pn−1 tudi, Bn Pn je pa sod. Ker ga lahko izrazim kot linearno kombinacijo lihih, je hkrati sod in lih ⇒ Bn = 0. Enako sklepamo za line n. Skalarno mnoˇzimo s Pn−1 : 0 = (2n + 1) hxPn (x), Pn−1 (x)i + Cn hPn−1 , Pn−1 i | {z } 2/(2n−1) Cn = (2n + 1) hxPn (x), Pn−1 (x)i (2n − 1) *2 + hxPn , Pn−1 i = hPn , xPn−1 i = Pn , kn−1 xn + |{z} ... ⊥Pn = kn−1 hPn , xn i = kn−1 hQn , xn i 2n n! (2n + 1)(2n − 1)(2n − 2)! (n!)2 22n+1 n! (2n + 1)(2n − 1)kn−1 n hQ , x i = − n 2n+1 n! 22n n!)(n − 1)!)2 (2n + 1)! 2 2n =− = −n 2n Cn = − (n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x) Primer • P0 (x) = 1 • P1 (x) = x • P2 (x) = 18 (x4 − 2x2 + 1)00 = 32 x2 − 12 . • P3 (x) = 5xP2 (x)−2P1 (x) 3 = 25 x3 − 32 x. 70 Primer x3 kot linearna kombinacija Legendrovih polinomov: x3 = λP3 + µP1 Najprej izenaˇcimo najviˇsje ˇclene, takoj vidimo, da je λ = 25 . 2 5 3 3 3 x = x − x + µx 5 2 2 µ= 5.2.2 3 5 Rodovna funkcija Φ(x, z) ∞ X cn Pn (x)z n n=0 Uporabim Legendrov operator na Φ kot funkciji x: Lx Φ(x, z) = ∞ X cn n(n + 1)Pn (x)z n = z n=0 d2 (zΦ) dz 2 Za desno enakost smo malo po domaˇce odvajali po ˇclenih, ker smo rekli da je to potenˇcna vrsta pri fiksnem x. Za primerne cn je Φ(x, z) = F (1 − 2xz + z 2 ) = F ((z − x)2 + 1 − x2 ). ∂Φ ∂x ∂ 2Φ ∂x2 ∂Φ ∂z ∂ 2Φ ∂z 2 =F 0 · (−2z) =(−2z)F 00 · (−2z) = 4z 2 F 00 =F 0 · 2(z − x) =2F 0 + 2(z − x)F 00 · 2(z − x) ∂ 2Φ ∂Φ + 2x = (x2 − 1)4z 2 F 00 − 4xzF 0 = ∂x ∂x 2 2 ∂2 ∂ Φ ∂Φ ∂Φ 2∂ Φ = z 2 (zΦ) = z z + 2 = z + 2z 2 2 ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z 2 0 2 2 00 0 = 2z F + 4z (z−) F + 4z(z − x)F Lx Φ =(x2 − 1) F 00 · 4z 2 x2 − 4z 2 − 4z 4 + 8z 3 x − 4z 2 x2 = F 0 · 2z 2 − 4z 2 − 4zx + 4zx 2z 2 F 00 · (2z 2 − 4zx − 2) = 2z 2 · 3F 0 2F 00 · (z 2 − 2zx − 1) = 3F 0 71 z 6= 0, vzamem y = F 0 . u = 1 − 2xz + z 2 , F 0 je odvod na u. 2 3y = −(z 2 − 2xz + 1)−1 0 y 2 dy = −u−1 3 u dy 2 dy du =− 3 dy u 3 ln y = − ln u + ln C 2 3 y =Cu− 2 F =C A u−1/2 +D = √ +B −1/2 u Poskusimo z A = 1, B = 0. x ∈ [−1, 1], z blizu 0, vzamemo glavno veja korena: ∞ X 1 cn Pn (x)z n = F (1 − 2xz + z 2 ) = √ 1 − 2xz + z 2 n=0 ∞ X 1 1 cn Pn (1)z n = √ ; Pn (1) = 1 = 1−z 1 − 2z + z 2 n=0 ∞ X ∞ X 1 cn z = cn z n = 1−z n=0 n=0 n Razvoj je enoliˇcen ⇒ cn = 1, ∞ √ X 1 = Pn (x)z n 2 1 − 2xz + z n=0 To je razvoj analitiˇcne funkcije na levi v potenˇcno vrsto okrog toˇcke z = 0 pri fiksnem x ∈ [−1, 1]. Lahko zapiˇsemo x = cos ϑ, ϑ ∈ [0, π]. Razvoj velja v krogu do najbliˇzje singularne toˇcke. Kje pa so singularnosti? z1,2 1 − 2z cos ϑ + z 2 = 0 √ = cos ϑ ± cos2 ϑ − 1 = cos ϑ ± i sin ϑ = e±iϑ |z1 | = |z2 | = 1 Ker sta singularni toˇcki na enotski kroˇznici, razvoj velja za |z| < 1. ∞ X 1 √ = Pn (cos ϑ)z n 1 − 2z cos ϑ + z 2 n=0 72 Primer Imamo naboj e v toˇcki r~0 . Iˇsˇcemo potencial tega naboja v ~r. U= e 4πεε0 ||~r − r~0 || r0 r0 ||~r−~ r0 ||2 = h~r − ~r0 , ~r − ~r0 i = r2 +2 h~r, ~r0 i r02 = r2 +2rr0 cos ϑ+r02 = r2 1 − 2 cos ϑ + ( )2 r r ∞ 1 1 1X r0 = p = Pn (cos ϑ)( )n r r 0 0 2 ||~r − r~0 || r n=0 r r 1 − 2 r cos ϑ + ( r ) To je za r > r0 , za r < r0 pa bi v izrazu za ||~r − r~0 ||2 izpostavili r0 . ∞ 1 1 X 1 r = = q Pn (cos ϑ)( )n ||~r − r~0 || r0 n=0 r0 r0 1 − 2 rr0 cos ϑ + ( rr0 )2 5.3 Hermitovi polinomi Rodovna funkcija za Hermitove polinome je 2xz−z 2 e = ∞ X Hn (x) n=0 5.4 n! zn Prirejene Legendrove funkcije Fiksirajmo naravno m ∈ N ∪ {0}. DE za Legendrov polinom Pn je ((x2 − 1)y 0 )0 = n(n + 1)y (x2 − 1)y 00 + 2xy 0 = n(n + 1)y (m) Odvajamo m-krat in postavimo z = y (m) = Pn : m (m+1) m (m) m (m) (m+2) 2 (m+1) y (x − 1) + y 2x + 2 y + 2xy + y 2 = n(n + 1)y (m) 1 2 1 (x2 − 1)z 00 + (m + 1)2xy 0 + m(m − 1)z = n(n + 1)z Definiram diferencialni operator Km z Kn z = (x2 − 1)z 00 + 2(n + 1)z 0 + n(n + 1)z Km Pn(m) = n(n + 1)Pn(m) 73 Ni simetriˇcen, poskusimo najti tak ρ da bo na intervalu [−1, 1] simetriˇcen: (ρP )0 = ρQ (ρ(x2 − 1))0 = ρ2(m + 1)x ρ0 (x2 − 1) + 2ρx = 2ρ(m + 1)x ρ0 2x =m 2 ρ x −1 2 2 ln ρ = m ln |x − 1| + ln C = m ln(1 − x ) + ln C ρ = C(1 − x2 )m Vzamem C = 1, ρ = (1 − x2 )m > 0 skoraj povsod na [−1, 1]. (m) (m) Pn in Pk , n, k > m, sta ortogonalna v L2 ([−1, 1]; ρ), saj ustrezata raˇzliˇcnima lastnima vrednostma. ˆ 1 (m) ρ(x)Pn(m) (x)Pk (x) dx = 0 −1 ˆ 1 −1 1 1 (m) ρ(x) 2 Pn(m) (x)ρ(x) 2 Pk (x) dx = 0 Uteˇz lahko dodamo funkcijam: Definicija m Pnm = (1 − x2 ) 2 Pn(m) (x) To je prirejena Legendrova funkcija . ˇ je m sod, je to polinom. Funkcije P m so ortogonalne v L2 [−1, 1], uteˇz smo dodali funkcijam. Ce n (m) z = Pn = (1 − x2 )−m/2 Pnm zadoˇsˇca enaˇcbi Kn z = n(n + 1)z. Ugotovimo, da y = Pnm zadoˇsˇca DE m2 Lpm y = ((x − 1)y ) + y = n(n + 1)y 1 − x2 0 0 2 Lpm je prirejen Legendrov operator, n ∈ N ∪ {0}, n ≥ m. Lpm ima lastne vrednosti n(n + 1). ˆ ||Pnm ||22 1 (Pnm (x))2 dx = = −1 5.5 (n + m)! 2 (n − m)! 2n + 1 Sferne funkcije ˇ je f Imamo sfero K s polmerom 1 in srediˇsˇcem v 0. Koordinati: 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π. Ce definirana na sferi, je f = f (ϑ, ϕ). f (0, ϕ) = konst f (π, ϕ) = konst f (ϑ, 0) = f (ϑ, 2π) 74 Za realni funkciji f, g na sferi definiram skalarni produkt Definicija ˆ ¨ hf, gi = 0 2π f (ϑ, ϕ)g(ϑ, ϕ) sin ϑ dϕ dϑ f g dP = K ˆ π 0 Laplace v sfernih koordinatah: ∆u = 1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u (r ) + (sin ϑ ) + r2 ∂r ∂r r2 sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r2 sin2 ϑ ∂ϕ2 Na sferi je r = 1, vzamem diferencialni operator: ∂u 1 ∂ 2u 1 ∂ sin ϑ + Lu = − sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2 Trditev L je simetriˇcen v L2 (K) Dokaz Za u, v ∈ C 2 (K) mora veljati hLu, vi = hu, Lvi ˆ π ˆ 2π ˆ π ˆ 2π ∂ 1 ∂ 2u dϑ hLu, vi = − (sin ϑuϑ ) v dϕ − dϑ v dϕ ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ2 0 0 0 0 ˆ π ˆ π ˆ 2π ˆ 2π ∂ 1 ∂ 2u dϕ dϕ =− (sin ϑuϑ ) v dϑ − v dϑ 2 0 ∂ϑ 0 sin ϑ ∂ϕ 0 0 = ... Kot to integriramo, dobimo izraz, ki je simetriˇcen glede na u in v, torej je tudi operator simetriˇcen. Iz raˇcuna vidimo tudi hLu, ui ≥ 0, torej je L pozitiven in ima same nenegativne lastne vrednosti. Lastne vrednosti in funkcije za L iˇsˇcemo s separacijo spremenljivk. u(ϑ, ϕ) = Θ(ϑ)Φ(ϕ) Lu = λu 1 1 ∂ (sin ϑΘ0 Φ) + ΘΦ00 = −λΘΦ sin ϑ ∂ϑ sin2 ϑ Φ ∂ 1 (sin ϑΘ0 ) + ΘΦ00 = −λΘΦ sin ϑ ∂ϑ sin2 ϑ Φ00 sin ϑ ∂ (sin ϑΘ0 ) + = −λ sin2 ϑ Θ ∂ϑ Φ sin ϑ ∂ Φ00 (sin ϑΘ0 ) + λ sin2 ϑ = − = µ = konst. Θ ∂ϑ Φ 75 Za Φ je enostavno: Φ00 = −µΦ, reˇsitve bodo periodiˇcne, torej lahko piˇsemo µ = ω 2 in Φ = A cos(ωϕ) + B sin(ωϕ). Φ(0) = A = A cos(2πω) + B sin(2πω) Φ0 (0) = Bω = Φ0 (2π) = −A sin(2πω) + B cos(2πω) Enaˇcbi lahko prepiˇsem v sistem za A, B: A(cos(2πω) − 1) + B sin(2πω) = 0 −Aω sin(2πω) + Bω(cos(2πω) − 1) = 0 Netrivialno reˇsitev ima, ˇce je det = 0, torej w[(cos 2πω − 1)2 + (sin 2πω)2 ] = 0. Vsota kvadratov je 0 ⇒ oba sta 0: cos(2πω) = 1, sin(2πω) = 1 ⇒ ω ∈ Z. Vzeli smo, da je ω ≥ 0, torej je ω = m = 0, 1, 2, . . . . Φ(ϕ) = A cos(mϕ) + B sin(mϕ) sin ϑ (sin ϑΘ0 )0 + λ sin2 ϑ = m2 Θ 1 m2 Θ (sin ϑΘ0 )0 + λΘ = sin ϑ sin2 ϑ 2 1 m (sin ϑΘ0 )0 − Θ = −λΘ sin ϑ sin2 ϑ Nova spremenljivka t = cos ϑ, ϑ = arccos t, ϑ ∈ [0, π]. Θ(ϑ(t)) = T (t), Θ(ϑ) = T (cos ϑ). Θ0 (ϑ) = T 0 (t)(− sin ϑ) ⇒ sin ϑΘ0 = −T 0 (t) sin2 ϑ. (sin ϑΘ0 )0 = − dt d T 0 (t) sin2 ϑ dϑ dϑ |{z} − sin ϑ t2 + sin ϑ2 = 1 ⇒ sin2 ϑ = 1 − t2 1 d (sin ϑΘ0 )0 = ((t2 − 1)T 0 (t))(−1) sin ϑ dt m2 d 2 T (t) = λT (t) ((t − 1)T 0 (t)) + 2 dt 1 − t | {z } Lpm T To je prirejeni Legendrov operator, torej je λ = n(n + 1), n ≥ m. Za lastne funkcije lahko vzamemo T (t) = Pnm (t) Θnm (ϑ) = Pnm (cos ϑ) 76 Sedaj lahko zapiˇsemo funkcijo u(ϑ, ϕ) u = Θ(ϑ)Φ(ϕ) Φ0 (ϕ) = A Θn0 (ϑ) = Pn0 (cos ϑ) = Pn (cos ϑ) Ena lastna funkcija za L, ki odgovarja lastni vrednosti λ = n(n + 1) je Yn0 = Pn (cos ϑ) Za m = 1, 2, . . . , n imamo ˇse lastne funkcije Ynm = Pnm (cos ϑ) cos mϕ Yn−m = Pnm (cos ϑ) sin mϕ Za vsak n imamo 2n + 1 linearno neodvisnih funkcij, sestavljajo linearno neodvisno mnoˇzico (v resnici ortogonalno bazo) lastnega podprostora za L, ki pripada lastni vrednosti n(n + 1). Dimenzija tega podprostora je 2n + 1. To so osnovne sferne funkcije in so ortogonalne v L2 (K). P Linearna kombinacija Yn = nm=−n cnm Ynm je sferna funkcija reda n. ˇce je vsaj en koeficient razliˇcen od 0, je to lastna funkcija za L in LYn = n(n + 1)Y . ˆ π ˆ 2π 0 0 = Yn , Yn = sin ϑ dϑ (Pn (cos ϑ))2 dϕ = 0 0 ˆ 1 2 4π = 2π (Pn (cos ϑ))2 d(cos ϑ) = 2π||Pn ||22 = 2π = 2n + 1 2n + 1 −1 ˆ 2π ˆ 2π dϕ (Pnm (cos ϑ))2 sin ϑ dϑ = ||Ynm ||2 = hYnm , Ynm i = 0 ˆ 2π ˆ π 0 = dϕ (Pnm (cos ϑ))2 cos2 (mϕ) sin ϑ dϑ = 0 ˆ0 2π ˆ π ˆ 1 2 m 2 = cos (mϕ)dϕ (Pn (cos ϑ)) sin ϑ dϑ = π (Pnm (t))2 dt ||Yn0 ||2 0 ||Ynm ||2 = ϕ −1 0 (n + m)! 2 (n − m)! 2n + 1 Vsako funkcijo iz L2 (K) lahko razvijem v Fourierovo vrsto po ortogonalnem sistemu osnovnih sfernih funkcij. Velja: Yn ⊥ Yk za k 6= n Yn je lastna funkcija, ki pripada lastni vrednosti n(n + 1), Yk pa pripada lastni vrednosti k(k + 1). Dokazali smo, da je L simetriˇcen, torej so lastne funkcije, ki pripadajo razliˇcnim lastnim vrednostim, ortogonalne. f (ϑ, ϕ) = ∞ X n X cnm Ynm (ϑ, ϕ) n=0 m=−n 77 Koeficiente dobim kot obiˇcajno, tako da skalarno mnoˇzimo z Ykl . ˆ f, Ykl = ˆ 2π 0 π f Pkl (cos ϑ) cos(mϕ) sin ϑ dϑ = ckl ||Ykl ||2 dϕ 0 To je za pozitiven k, za negativne pa je sin(mϕ) namesto cos(mϕ). 6 Linearne PDE drugega reda za funkcijo 2 spremenljivk u = u(x, y) Lu = Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + F u = G(x, y) ˇ so A, B, C, D, F konstantne, je to enaˇcba s konstantnimi koeficienti. Ce ˇ je G(x, y) ≡ 0, je Ce to homogena enaˇ cba . Reˇsitve homogene enaˇcbe sestavljajo jedro linearnega operatorja L in tvorijo vektorski podprostor. 6.1 Klasifikacija Definicija Enaˇcba je • eliptiˇ cna , ˇce je B 2 − 4AC < 0 • hiperboliˇ cna , ˇce je B 2 − 4AC > 0 • paraboliˇ cna , ˇce je B 2 − 4AC = 0 Primer Difuzijska ut = α2 uxx je paraboliˇcna: A = α2 , B = 0, C = 0 ⇒ B 2 − 4AC = 0. Primer Laplaceova enaˇcba uxx + uyy = 0 je eliptiˇcna: A = C = 1, B = 0, C = 0 ⇒ B 2 − 4AC = −4 < 0. Primer Valovna enaˇcba utt − c2 uxx = 0 je hiperboliˇcna: A = c2 , C = −1, B = 0 ⇒ B 2 − 4AC = 4c2 > 0. ˇ koeficienti niso konstantni, se klasifikacija enaˇcbe lahko spreminja. Ce 78