Polinomi in racionalne funkcije

Transcription

Vaje
Anja Žnidaršiˇc
FOV, 2012-2013
Anja Žnidaršiˇc (UM FOV)
FOV 2012/13
1 / 104
Uvod
Nekaj uvodnih besed
V sklopu tega e-gradiva za vaje se boste nauˇcili narisati polinom in
racionalno funkcijo.
Pred posamezno nalogo imate zapisana vprašanja na katera je
ˇ
potrebno znati odgovoriti, da lahko rešimo zastavljene naloge. Ce
odgovora ne poznate, ga poišˇcite v zapiskih predavanj oz. v ustrezni
priporoˇceni literaraturi.
ˇ
V tem gradivu je šest nalog rešenih po korakih. Ceprav
je gradivo
objavljeno v pdf obliki, bi radi poudarili, da ni namenjeno, da si ga v
celoti natisnete. S pomoˇcjo postopoma rešenih nalog si ustvarite svoje
zapiske z besedilom naloge in ustrezno rešitvijo.
Na koncu je zapisana še domaˇca naloga, katere rešitve boste objavili v
spletni uˇcilnici.
FOV 2012/13
2 / 104
Kazalo
1
Polinomi
Naloga 1
Naloga 2
Naloga 3
Naloga 4
2
Racionalne funkcije
Naloga 5
Naloga 6
3
Domaˇca naloga
FOV 2012/13
3 / 104
Ali že znam?
ˇ zapiske predavanj in ponovi...
Poišci
...vse o polinomih:
Koliko niˇcel ima polinom?
Kaj pomeni, da je niˇcla lihe oz. sode stopnje? Kako se to vidi na
grafu polinoma?
Kaj nam o grafu polinoma pove vodilni koeficient polinoma?
Kaj je prosti cˇ len polinoma?
FOV 2012/13
4 / 104
Polinomi, naloga 1
Naloga 1
Nariši polinom p(x) = x 3 + x 2 − 6x.
FOV 2012/13
5 / 104
Polinomi, naloga 1
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcišˇca z osjo x) in
zaˇcetno vrednost (preseˇcišˇce z osjo y ).
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
Najprej izpostavimo x:
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
x(x 2 + x − 6) = 0
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
x(x 2 + x − 6) = 0
in razstavimo izraz x 2 + x − 6
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
x(x 2 + x − 6) = 0
x(x + 3)(x − 2) = 0
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
x(x 2 + x − 6) = 0
x(x + 3)(x − 2) = 0
Imamo torej tri niˇcle:
x1 = 0, x2 = −3 in x3 = 2
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
x(x 2 + x − 6) = 0
x(x + 3)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2 = −3 in x3 = 2
Zaˇcetna vrednost:
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
x(x 2 + x − 6) = 0
x(x + 3)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2 = −3 in x3 = 2
Zaˇcetna vrednost:
V predpis polinoma vstavimo
x = 0:
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
x 3 + x 2 − 6x = 0
x(x 2 + x − 6) = 0
x(x + 3)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2 = −3 in x3 = 2
Zaˇcetna vrednost:
x = 0:
p(0) = 03 + 02 − 6 · 0 = 0
FOV 2012/13
6 / 104
Polinomi, naloga 1
Narišemo koordinatni
sistem in:
oznaˇcimo os x in y,
oznaˇcimo enoti 1 na
obeh oseh in
(po potrebi) še
ostale vrednosti na
obeh oseh.
FOV 2012/13
7 / 104
Polinomi, naloga 1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
sistem in:
oznaˇcimo os x in y,
|
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
oznaˇcimo enoti 1 na
obeh oseh in
(po potrebi) še
ostale vrednosti na
obeh oseh.
FOV 2012/13
7 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1 = 0,
x2 = −3 in
x3 = 2.
FOV 2012/13
8 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
|
1
x
Oznaˇcimo zaˇcetno
vrednost (na osi y ):
y =0
FOV 2012/13
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
9 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
Polinom zaˇcnemo risati na
desni strani koordinatnega
sistema.
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Vodilni koeficient polinoma
je enak 1 (= koeficient pred
x 3 ).
Ker je vodilni koeficient
pozitiven je graf polinoma za
velike vrednosti (na desni
strani koordinatnega
sistema) pozitiven, torej nad
x-osjo.
FOV 2012/13
10 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Prva toˇcka, ki je
narisana v
koordinatnem sistemu
(ˇce gledamo od desne
proti levi) je niˇcla
x3 = 2.
Niˇcla x3 je prve
stopnje, zato graf
funkcije p seka os x pri
x3 = 2.
FOV 2012/13
11 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
Naslednja toˇcka je
niˇcla x1 = 0. Graf se
zato med 0 in 2 obrne
navzgor (med 0 in 2
graf doseže lokalni
minimum).
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Kje (pri katerem x) se
obrne in kakšno
vrednost doseže v tej
toˇcki bomo znali
izraˇcunati s pomoˇcjo
ekstremov v poglavju
Odvod funkcije.
FOV 2012/13
12 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Kot smo že povedali, je
naslednja toˇcka na
grafu niˇcla x1 = 0. To
je hkrati tudi zaˇcetna
vrednost funkcije.
Le-ta je spet prve
stopnje, torej graf
x1 = 0.
FOV 2012/13
13 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
niˇcla x2 = −3. Graf se
zato nekje med -3 in 0
obrne navzdol (med -3
in 0 graf doseže lokalni
maksimum).
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Kje (pri katerem x) se
obrne in kakšno
vrednost doseže v tej
toˇcki bomo znali
izraˇcunati s pomoˇcjo
ekstremov v poglavju
Odvod funkcije.
FOV 2012/13
14 / 104
Polinomi, naloga 1
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
|
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
x1
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
f(x) = x3 + x2 − 6x
Kot smo že povedali, je
grafu niˇcla x2 = −3.
|
1
|
2
x3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
x
Tudi ta niˇcla je prve
stopnje, torej graf
x2 = −3.
FOV 2012/13
15 / 104
Polinomi, naloga 2
Naloga 2
Nariši polinom p(x) = −x 4 + 4x 2 .
FOV 2012/13
16 / 104
Polinomi, naloga 2
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle (preseˇcisšˇca z osjo x) in
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
Enaˇcbo pomnožimo z −1
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
x 4 − 4x 2 = 0
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
x 4 − 4x 2 = 0
Najprej izpostavimo x 2 :
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
x 4 − 4x 2 = 0
x 2 (x 2 − 4) = 0
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
x 4 − 4x 2 = 0
x 2 (x 2 − 4) = 0
in razstavimo izraz x 2 − 4
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
x 4 − 4x 2 = 0
x 2 (x 2 − 4) = 0
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
x 4 − 4x 2 = 0
x 2 (x 2 − 4) = 0
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
x1,2 = 0, x3 = −2 in x4 = 2
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
x 4 − 4x 2 = 0
x 2 (x 2 − 4) = 0
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
x1,2 = 0, x3 = −2 in x4 = 2
Zaˇcetna vrednost:
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
x 4 − 4x 2 = 0
x 2 (x 2 − 4) = 0
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
x1,2 = 0, x3 = −2 in x4 = 2
Zaˇcetna vrednost:
x = 0:
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
p(x) = 0 oziroma
−x 4 + 4x 2 = 0
x 4 − 4x 2 = 0
x 2 (x 2 − 4) = 0
x 2 (x + 2)(x − 2) = 0
x1,2 = 0, x3 = −2 in x4 = 2
Zaˇcetna vrednost:
x = 0:
p(0) = −04 + 4 · 02 = 0
FOV 2012/13
17 / 104
Polinomi, naloga 2
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1,2 = 0, x3 = 2 in
x4 = 2.
vrednost (na osi
y ): y = 0
FOV 2012/13
18 / 104
Polinomi, naloga 2
y
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x3
|
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
− −3
vrednost (na osi
y ): y = 0
− −4
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1,2 = 0, x3 = 2 in
x4 = 2.
FOV 2012/13
18 / 104
Polinomi, naloga 2
y
sistema.
−4
−3
−2
je enak -1 (= koeficient pred
x 4 ).
−1
|
−4
|
−3
x
| 3
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
negativen je graf polinoma
za velike vrednosti (na desni
sistema) negativen, torej
pod x-osjo.
− −2
− −3
− −4
FOV 2012/13
19 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x3
|
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
Prva toˇcka, ki je
narisana v
x4 = 2.
− −1
Niˇcla x4 je prve
stopnje, zato graf
x4 = 2.
− −2
− −3
− −4
FOV 2012/13
20 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x
| 3
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
niˇcla x1,2 = 0. Graf se
zato med 0 in 2 obrne
navzdol (med 0 in 2
graf doseže lokalni
maksimum).
− −3
− −4
FOV 2012/13
21 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x3
|
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
dvojna niˇcla (niˇcla sode
stopnje) x1,2 = 0. Graf
se zato pri x = 0
dotakne x osi.
To je hkrati tudi zaˇcetna
vrednost funkcije.
− −3
− −4
FOV 2012/13
22 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
−2
−1
|
−4
|
−3
x
| 3
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
Naslednja toˇcka na
grafu je niˇcla x3 = −2.
Graf se zato med -2 in
0 obrne navzdol (med
-2 in 0 graf doseže
lokalni maksimum).
− −3
− −4
FOV 2012/13
23 / 104
Polinomi, naloga 2
y
−4
−3
Kot smo že povedali je
grafu niˇcla x3 = −2.
f(x) = − x4 + 4x2
−2
−1
|
−4
|
−3
x3
|
−2
|
−1
x12
|
1
|
2
x4
|
3
|
4
x
− −1
− −2
− −3
Le-ta je spet prve
stopnje, torej graf
x3 = −2.
− −4
FOV 2012/13
24 / 104
Polinomi, naloga 3
Naloga 3
Nariši polinom p(x) = x 3 + 2x 2 − 4x − 8.
FOV 2012/13
25 / 104
Polinomi, naloga 3
Pred risanjem polinoma izraˇcunamo niˇcle in zaˇcetno vrednost.
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo p(x) = 0 oziroma
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
Enaˇcba ima na levi strani štiri cˇ lene, posebej izpostavimo najveˇcji skupnji
delitelj prvih dveh cˇ lenov ter nato še najveˇcji skupnji delitelj zadnjih dveh
cˇ lenov.
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
cˇ lenov.
Iz prvih dveh cˇ lenov lahko izpostavimon x 2 in iz zadnjih dveh −4:
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
cˇ lenov.
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
Nato izpostavimo (x + 2):
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
cˇ lenov.
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
cˇ lenov.
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
cˇ lenov.
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
(x + 2)(x − 2)(x + 2) = 0 oziroma
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
cˇ lenov.
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
(x + 2)(x − 2)(x + 2) = 0 oziroma
(x + 2)2 (x − 2) = 0.
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
cˇ lenov.
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
(x + 2)(x − 2)(x + 2) = 0 oziroma
(x + 2)2 (x − 2) = 0.
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Niˇcle:
x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = 0
cˇ lenov.
2
x (x + 2) − 4(x + 2) = 0
(x + 2)(x 2 − 4) = 0
(x + 2)(x − 2)(x + 2) = 0 oziroma
(x + 2)2 (x − 2) = 0.
x1,2 = −2 in x3 = 2
FOV 2012/13
26 / 104
Polinomi, naloga 3
Zaˇcetna vrednost:
FOV 2012/13
27 / 104
Polinomi, naloga 3
Zaˇcetna vrednost:
V predpis polinoma vstavimo x = 0:
FOV 2012/13
27 / 104
Polinomi, naloga 3
Zaˇcetna vrednost:
V predpis polinoma vstavimo x = 0:
p(0) = 03 + 2 · 02 − 4 · 0 − 8 = −8
FOV 2012/13
27 / 104
Polinomi, naloga 3
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1,2 = −2 in
x3 = 2.
vrednost (na osi
y ): y = −8
FOV 2012/13
28 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
−−3
−−4
−−5
vrednost (na osi
y ): y = −8
−−6
−−7
−−8
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1,2 = −2 in
x3 = 2.
FOV 2012/13
28 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
sistema.
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
pozitiven je graf polinoma za
velike vrednosti (na desni
sistema) pozitiven, torej nad
x-osjo.
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
je enak 1 (= koeficient pred
x 3 ).
FOV 2012/13
29 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Prva toˇcka, ki je
narisana v
x3 = 2.
−−2
−−3
Niˇcla x3 je prve
stopnje, zato graf
x3 = 2.
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
FOV 2012/13
30 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
−−3
−−4
−−5
Naslednja toˇcka
narisana na grafu je
zaˇcetna vrednost.
Nekje med 0 in 2 graf
doseže svoj lokalni
minimum in se obrne
navzgor.
−−6
−−7
−−8
FOV 2012/13
31 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
−−3
zaˇcetna vrednost
f (0) = −4. Graf torej
pri -4 seka y -os.
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
FOV 2012/13
32 / 104
Polinomi, naloga 3
y
−8
−7
−6
−5
−4
f(x) = x3 + 2x2 − 4x − 8
−3
−2
|
|
|
|
|
|
x12
| |
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−−1
|
x3
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−−2
−−3
−−4
dvojna niˇcla (niˇcla sode
stopnje) x1,2 = −2.
Graf se zato pri x = −2
dotakne x osi.
−−5
−−6
−−7
−−8
FOV 2012/13
33 / 104
Polinomi, naloga 4
Naloga 4
Nariši polinom p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2.
FOV 2012/13
34 / 104
Polinomi, naloga 4
Najprej izraˇcunamo niˇcle, torej rešimo enaˇcbo
3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 = 0
FOV 2012/13
35 / 104
Polinomi, naloga 4
3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 = 0
Ali lahko v zgornji enaˇcbi kaj izpostavimo?
FOV 2012/13
35 / 104
Polinomi, naloga 4
3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 = 0
Ali znamo polinom razstaviti?
FOV 2012/13
35 / 104
Polinomi, naloga 4
3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 = 0
Ali znamo polinom razstaviti?
Odgovor na zgornji vprašanji je ne. V tem primeru si lahko pri iskanju
niˇcel pomagamo s Hornerjevim algoritmom.
FOV 2012/13
35 / 104
Polinomi, naloga 4
Najprej moramo poiskati kandidate za niˇcle in sicer:
kandidati za niˇcle =
delitelji prostega cˇ lena
delitelji vodilnega koeficienta
=
c
d
FOV 2012/13
36 / 104
Polinomi, naloga 4
=
c
d
Prosti cˇ len polinoma p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 je -2.
Njegovi delitelji so: ±1, ±2.
FOV 2012/13
36 / 104
Polinomi, naloga 4
=
c
d
Prosti cˇ len polinoma p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 je -2.
Vodilni koeficient polinoma p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2 je 3.
FOV 2012/13
36 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
Možne niˇcle poišˇcemo tako, da vsak c delimo z vsemi možnimi d-ji.
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
c
d
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
c
d
Možne niˇcle:
± 13
± 11 = ±1,
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
c
d
Možne niˇcle:
± 13
± 11 = ±1,
± 21 = ±2,
± 23
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Dobili smo torej
c : ±1, ±2 in
d : ±1, ±3.
c
d
Možne niˇcle:
± 13
± 11 = ±1,
± 21 = ±2,
± 23
Kandidate za niˇcle (možne niˇcle) nato vstavljamo v Hornerjevo shemo
in preverimo ali so niˇcle danega polinoma.
FOV 2012/13
37 / 104
Polinomi, naloga 4
Narišemo shemo:
dve vodoravni cˇ rti,
navpiˇcna cˇ rta na levi.
FOV 2012/13
38 / 104
Polinomi, naloga 4
V zgornjo vrstico vpišemo koeficiente polinoma
p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2, torej vrednosti 3, −2, −7, −2.
Na levo vpišemo kandidata za niˇclo polinoma, npr. najprej -1.
FOV 2012/13
39 / 104
Polinomi, naloga 4
V zgornjo vrstico vpišemo koeficiente polinoma
p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2, torej vrednosti 3, −2, −7, −2.
Na levo vpišemo kandidata za niˇclo polinoma, npr. najprej -1.
Pozor: cˇ e polinom kakšnega cˇ lena nima, napišemo na mestu ustreznega
koeficienta 0.
Na primer:
Polinom q(x) = 5x 4 − 3x 3 + x + 1 nima cˇ lena z x 2 , zato so njegovi
koeficienti 5, −3, 0, 1, 1.
FOV 2012/13
39 / 104
Polinomi, naloga 4
Nato najprej prvi koeficient, v našem primeru 3 prepišemo v spodnjo
vrstico.
FOV 2012/13
40 / 104
Polinomi, naloga 4
Število 3 (ki smo ga ravnokar prepisali v spodnjo vrstico)
pomnožimo s kandidatom za niˇclo -1 in dobimo
3 · (−1) = −3.
FOV 2012/13
41 / 104
Polinomi, naloga 4
3 · (−1) = −3.
-3 zapišemo v srednjo vrstico pod -2.
FOV 2012/13
41 / 104
Polinomi, naloga 4
3 · (−1) = −3.
Seštejemo koeficient polinoma -2 z dobljeno -3 in dobimo
−2 + (−3) = −5
FOV 2012/13
41 / 104
Polinomi, naloga 4
3 · (−1) = −3.
Seštejemo koeficient polinoma -2 z dobljeno -3 in dobimo
−2 + (−3) = −5
Vsoto -5 zapišemo pod oba seštevanca.
FOV 2012/13
41 / 104
Polinomi, naloga 4
Ponovimo prejšnji postopek:
FOV 2012/13
42 / 104
Polinomi, naloga 4
pomnožimo (−5) · (−1) = 5 in zapišemo zmnožek v srednjo
vrstico,
FOV 2012/13
42 / 104
Polinomi, naloga 4
vrstico,
seštejemo −7 + 5 = −2 in zapišemo vsoto v spodnjo vrstico
FOV 2012/13
42 / 104
Polinomi, naloga 4
Še enkrat ponovimo prejšnji postopek:
FOV 2012/13
43 / 104
Polinomi, naloga 4
vrstico,
FOV 2012/13
43 / 104
Polinomi, naloga 4
vrstico,
seštejemo −2 + 2 = 0 in zapišemo vsoto v spodnjo vrstico
FOV 2012/13
43 / 104
Polinomi, naloga 4
Ker smo koncu na desni strani spodnje vrstice dobili niˇclo, to pomeni,
da je -1 res niˇcla polinoma.
x1 = −1
FOV 2012/13
44 / 104
Polinomi, naloga 4
V naslednjem koraku lahko spodnjo vrstico (brez zadnje niˇcle)
ˇ nam
prepišemo na vrh nove sheme in celoten postopek ponovimo. Ce
ostanejo samo trije koeficienti, pa lahko izpišemo polinom 2. stopnje
oz kvadratno in poišˇcemo njeno niˇclo.
Izpišemo: p1 (x) = 3x 2 − 5x − 2
FOV 2012/13
45 / 104
Polinomi, naloga 4
Poišˇcemo niˇcle polinoma p1 (x) = 3x 2 − 5x − 2, torej rešimo enaˇcbo
3x 2 − 5x − 2 = 0.
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
3x 2 − 5x − 2 = 0.
Izraˇcunamo diskriminanto
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
3x 2 − 5x − 2 = 0.
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Izraˇcunamo niˇcli po formuli
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
3x 2 − 5x − 2 = 0.
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Izraˇcunamo
niˇcli po formuli
√
√
49
−b± D
=
x2,3 = 2a = −(−5)±
2·3
5±7
6 .
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
3x 2 − 5x − 2 = 0.
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Izraˇcunamo
niˇcli po formuli
√
√
49
−b± D
=
x2,3 = 2a = −(−5)±
2·3
5±7
6 .
Niˇcli sta torej
12
x2 = 5+7
6 = 6 = 2 in
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
3x 2 − 5x − 2 = 0.
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Izraˇcunamo
niˇcli po formuli
√
√
49
−b± D
=
x2,3 = 2a = −(−5)±
2·3
5±7
6 .
Niˇcli sta torej
12
x2 = 5+7
6 = 6 = 2 in
−2
1
x3 = 5−7
6 = 6 = −3.
FOV 2012/13
46 / 104
Polinomi, naloga 4
Pred risanjem izraˇcunamo še zaˇcetno vrednost polinoma:
p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2.
FOV 2012/13
47 / 104
Polinomi, naloga 4
Pred risanjem izraˇcunamo še zaˇcetno vrednost polinoma:
p(x) = 3x 3 − 2x 2 − 7x − 2.
p(0) = 3 · 03 − 2 · 02 − 7 · −2 = −2
FOV 2012/13
47 / 104
Polinomi, naloga 4
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1 = −1, x2 = 2 in
x3 = − 13 .
vrednost (na osi
y ): y = −2
FOV 2012/13
48 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
Narišemo
koordinatni sistem,
oznaˇcimo enote in
obe koordinatni
osi.
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
−−3
−−4
−−5
vrednost (na osi
y ): y = −2
−−6
−−7
Oznaˇcimo niˇcle
(na osi x):
x1 = −1, x2 = 2 in
x3 = − 13 .
FOV 2012/13
48 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
−−3
−−4
Vodilni koeficient
polinoma je 3, torej je
pozitiven, zato je na
desni strani
koordinatnega sistema
graf polinoma p(x) nad
x osjo.
−−5
−−6
−−7
FOV 2012/13
49 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
−−3
−−4
Prva toˇcka na grafu (ˇce
gledamo od desne
x2 = 2. Le-ta je lihe
(prve) stopnje, zato
graf seka os x.
−−5
−−6
−−7
FOV 2012/13
50 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
Nekje med niˇclama x3
in x2 graf doseže
lokalni minimum in se
obrne navzgor.
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
FOV 2012/13
51 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
Polinom gre cˇ ez
zaˇcetno vrednost pri
−2.
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
FOV 2012/13
52 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
Naslednja niˇcla na
grafu je x3 = − 13 . Le-ta
je spet lihe stopnje,
zato graf seka os x.
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
FOV 2012/13
53 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
−−2
−−3
Med niˇclama x1 in x3
graf doseže svoj lokalni
maksimum in se obrne
navzdol.
−−4
−−5
−−6
−−7
FOV 2012/13
54 / 104
Polinomi, naloga 4
y
−7
−6
−5
−4
f(x) = 3x3 − 2x2 − 7x − 2
−3
−2
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
x1 x3
−1
|
1
|
x2
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
x
−−1
Graf seka os x v niˇcli
lihe stopnje x1 = −1.
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
FOV 2012/13
55 / 104
Ali že znam?
ˇ zapiske predavanj in ponovi...
Poišci
...vse o racionalnih funkcijah:
Kako izraˇcunamo niˇcle racionalne funkcije?
Kaj pomeni, da je niˇcla lihe oz. sode stopnje? Kako se to vidi na
grafu racionalne funkcije?
Kako izraˇcunamo pole racionalne funkcije?
Kaj pomeni, da je pol lihe oz. sode stopnje? Kako se to vidi na
grafu racionalne funkcije?
Kaj nam pove asimptota racionalne funkcije? Kako jo
izraˇcunamo?
Kdaj in kje lahko graf racionalne funkcije seka asimptoto?
Kako izraˇcunamo preseˇcišˇca asimptote in racionalne funkcije?
FOV 2012/13
56 / 104
Racionalne funkcije, naloga 5
Naloga 5
Nariši racionalno funkcijo f (x) =
2x 2 −8
.
x 2 −2x+1
FOV 2012/13
57 / 104
Pred risanjem racionalne funkcije izraˇcunamo niˇcle, pole, zaˇcetno
vrednost, asimptoto ter morebitna preseˇcišˇca funkcije z asimptoto.
FOV 2012/13
58 / 104
Niˇcle:
FOV 2012/13
58 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
FOV 2012/13
58 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
FOV 2012/13
58 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
Enaˇcbo delimo z 2:
FOV 2012/13
58 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
FOV 2012/13
58 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
FOV 2012/13
58 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
FOV 2012/13
58 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve niˇcli:
FOV 2012/13
58 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
FOV 2012/13
58 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
FOV 2012/13
58 / 104
Poli:
Rešimo enaˇcbo:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
FOV 2012/13
58 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
FOV 2012/13
58 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
FOV 2012/13
58 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
FOV 2012/13
58 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
Imamo torej pol sode stopnje:
x1,2 = 1
FOV 2012/13
58 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
x1,2 = 1
Zaˇcetna vrednost:
FOV 2012/13
58 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
x1,2 = 1
Zaˇcetna vrednost:
V predpis racionalne funkcije
vstavimo x = 0:
FOV 2012/13
58 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
2x 2 − 8 = 0
x2 − 4 = 0
in razstavimo
(x + 2)(x − 2) = 0
x1 = −2, x2 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x 2 − 2x + 1 = 0
Razstavimo:
(x − 1)(x − 1) = 0
x1,2 = 1
Zaˇcetna vrednost:
vstavimo x = 0:
f (0) =
2·02 −8
02 −2·0+1
=
−8
1
= −8
FOV 2012/13
58 / 104
Asimptota:
Polinom v števcu racionalne funkcije
f (x) =
2x 2 − 8
x 2 − 2x + 1
je druge stopnje (vodilni cˇ len je 2x 2 ), prav tako polinom v imenovalcu
(vodilni cˇ len polinoma je x 2 ).
FOV 2012/13
59 / 104
Asimptota:
f (x) =
2x 2 − 8
x 2 − 2x + 1
Asimptoto torej izraˇcunamo tako, da zdelimo vodilna koeficienta obeh
polinomov:
FOV 2012/13
59 / 104
Asimptota:
f (x) =
2x 2 − 8
x 2 − 2x + 1
Asimptoto torej izraˇcunamo tako, da zdelimo vodilna koeficienta obeh
polinomov:
y=
2
=2
1
FOV 2012/13
59 / 104
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) =
2x 2 −8
x 2 −2x+1
z asimptoto:
FOV 2012/13
60 / 104
2x 2 −8
x 2 −2x+1
z asimptoto:
Zdelimo polinom v števcu s polinomom v imenovalcu in ostanek
enaˇcimo z 0.
FOV 2012/13
60 / 104
2x 2 −8
x 2 −2x+1
z asimptoto:
Zdelimo polinom v števcu s polinomom v imenovalcu in ostanek
enaˇcimo z 0.
FOV 2012/13
60 / 104
Preseˇcišˇca racionalne funkcije f (x) z asimptoto:
FOV 2012/13
61 / 104
Vodilni koeficient prvega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
drugega polinoma in dobimo:
2x 2
=2.
x2
Rezultat napišemo na desno stran enaˇcaja.
2x 2 : x 2 =
FOV 2012/13
61 / 104
2x 2
=2.
x2
2x 2 : x 2 =
FOV 2012/13
61 / 104
Dobljeni kvocient 2 pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 2x + 1 ter
podpišemo pod prvi polinom.
2 · (x 2 − 2x + 1) = 2x 2 − 4x + 2 .
FOV 2012/13
62 / 104
2 · (x 2 − 2x + 1) = 2x 2 − 4x + 2 .
FOV 2012/13
62 / 104
2 · (x 2 − 2x + 1) = 2x 2 − 4x + 2 .
FOV 2012/13
62 / 104
V podpisanemu polinomu spremenimo predznake vseh cˇ lenov:
2x 2 − 4x + 2 −→
−2x 2 + 4x − 2
FOV 2012/13
63 / 104
2x 2 − 4x + 2 −→
−2x 2 + 4x − 2
ter seštejemo z zgornjim polinomom
(2x 2 − 8) + (−2x 2 + 4x − 2) = 4x − 10
FOV 2012/13
63 / 104
2x 2 − 4x + 2 −→
−2x 2 + 4x − 2
(2x 2 − 8) + (−2x 2 + 4x − 2) = 4x − 10
FOV 2012/13
63 / 104
Dobljeni polinom 4x − 10 spet poskušamo deliti z drugim polinomom
x 2 − 2x + 1.
To ni veˇc mogoˇce, ker polinom 4x − 10 prve stopnje, polinom s katerim
želimo deliti (x 2 − 2x + 1) pa druge.
Postopek je tako konˇcan.
Potrdili smo, da je asimptota res enaka y = 2 (rezultat na desni strani
enaˇcaja) in ostanek pri deljenju obeh polinomov je enak 4x − 10.
FOV 2012/13
64 / 104
x 2 − 2x + 1.
To ni veˇc mogoˇce, ker polinom 4x − 10 prve stopnje, polinom s katerim
želimo deliti (x 2 − 2x + 1) pa druge.
Potrdili smo, da je asimptota res enaka y = 2 (rezultat na desni strani
enaˇcaja) in ostanek pri deljenju obeh polinomov je enak 4x − 10.
FOV 2012/13
64 / 104
Preseˇcišˇce funkcije f z asimptoto dobimo tako, da ostanek pri deljenju
polinomov enaˇcimo z 0.
FOV 2012/13
65 / 104
Rešujemo torej enaˇcbo 4x − 10 = 0 .
FOV 2012/13
65 / 104
4x = 10 / : 4
FOV 2012/13
65 / 104
4x = 10 / : 4
x=
5
10
= = 2.5
4
2
FOV 2012/13
65 / 104
4x = 10 / : 4
x=
5
10
= = 2.5
4
2
Funkcija f seka torej asimptoto y = 2 pri x = 2.5.
FOV 2012/13
65 / 104
4x = 10 / : 4
x=
5
10
= = 2.5
4
2
Funkcija f seka torej asimptoto y = 2 pri x = 2.5.
Preseˇcišˇce lahko zapišemo s toˇcko kot T (2.5, 2).
FOV 2012/13
65 / 104
Racionalna funkcija, naloga 5
y
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
x
Narišemo
koordinatni sistem in
oznaˇcimo obe niˇcli:
x1 = −2 in x2 = 2
FOV 2012/13
66 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
x
Narišemo pol
(ˇcrtkano)
x1 = 1
FOV 2012/13
67 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Narišemo
vodoravno
asimptoto (ˇcrtkano)
y =2
FOV 2012/13
68 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Oznaˇcimo
preseˇcišˇce funkcije
f z asimptoto
T (2.5, 2)
FOV 2012/13
69 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
vrednost
f (0) = −8
FOV 2012/13
70 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
koordinatnega
sistema. Za velike
vrednosti se graf
funkcije približuje
asimptoti.
FOV 2012/13
71 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
koordinatnega
sistema. Za velike
vrednosti se graf
asimptoti.
Graf racionalne
funkcije na desni
tako narišemo malo
nad asimptoto.
FOV 2012/13
71 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
koordinatnega
sistema. Za velike
vrednosti se graf
asimptoti.
Graf racionalne
funkcije na desni
tako narišemo malo
nad asimptoto.
Razmisli: Zakaj na
desni strani graf ne
gre pod asimptoto?
FOV 2012/13
71 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Nasledja toˇcka na
grafu (gledamo od
desne proti levi) je
preseˇcišˇce
asimptote in funkcije
f.
Graf torej seka
asimptoto pri
x = 2.5.
FOV 2012/13
72 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Graf funkcije f v niˇcli
x2 = 2 seka
abscisno os, ker je
niˇcla prve stopnje.
FOV 2012/13
73 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Graf funkcije f v niˇcli
x2 = 2 seka
abscisno os, ker je
niˇcla prve stopnje.
Graf se nato približa
polu x1 = 1.
Zapomni si: Graf
racionalne funkcije
nikoli ne seka polov.
FOV 2012/13
73 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
Pol v x1 = 1 je sode
stopnje.
Graf racionalne
funkcije pri prehodu
cˇ ez pol zato ne
spremeni predznaka
in tako nadaljujemo
z risanjem grafa
racionalne funkcije
na levi strani pola.
FOV 2012/13
74 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
grafu je niˇcla x1 = −2.
Le-ta je spet prve
stopnje, torej graf
funkcije seka abscisno
os.
FOV 2012/13
75 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
f(x) = (2x2 − 8) (x2 − 2x + 1)
−−11
Graf racionalne fukcije
se za majhne
vrednosti, torej na levi
sistema, približa
vodoravni asimptoti.
FOV 2012/13
76 / 104
y
−11 x = 1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y=2
T(2.5, 2)
x1 − 1
x2
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
f(x) = (2x2 − 8) (x2 − 2x + 1)
−−11
Graf racionalne fukcije
se za majhne
vrednosti, torej na levi
sistema, približa
vodoravni asimptoti.
Zapomni si: Daleˇc
stran od izhodišˇca graf
racionalne funkcije ne
seka asimptote.
Asimptoto lahko graf
fukcije seka le v
izraˇcunanih
preseˇcišˇcih.
FOV 2012/13
76 / 104
Naloga 6
Nariši racionalno funkcijo f (x) =
x 3 −4x 2 +4x
.
x 2 −9
FOV 2012/13
77 / 104
Niˇcle:
FOV 2012/13
78 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
FOV 2012/13
78 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
FOV 2012/13
78 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
FOV 2012/13
78 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
FOV 2012/13
78 / 104
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
Imamo torej dve razliˇcni niˇcli:
x1 = 0, x2,3 = 2
FOV 2012/13
78 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2,3 = 2
FOV 2012/13
78 / 104
Poli:
Rešimo enaˇcbo:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2,3 = 2
FOV 2012/13
78 / 104
Poli:
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2,3 = 2
FOV 2012/13
78 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2,3 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
FOV 2012/13
78 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2,3 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
Imamo torej dva pola lihe stopnje:
x1 = −3 in x2 = 3
FOV 2012/13
78 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2,3 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
x1 = −3 in x2 = 3
Zaˇcetna vrednost:
FOV 2012/13
78 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2,3 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
x1 = −3 in x2 = 3
Zaˇcetna vrednost:
vstavimo x = 0:
FOV 2012/13
78 / 104
Poli:
Niˇcle:
Rešimo enaˇcbo:
x 3 − 4x 2 + 4x = 0
Izpostavimo x:
x(x 2 − 4x + 4) = 0
in razstavimo
x(x − 2)(x − 2) = 0
x1 = 0, x2,3 = 2
Rešimo enaˇcbo:
x2 − 9 = 0
Razstavimo:
(x + 3)(x − 3) = 0
x1 = −3 in x2 = 3
Zaˇcetna vrednost:
vstavimo x = 0:
f (0) =
03 −4·02 +4·0
02 −9
=
0
−9
=0
FOV 2012/13
78 / 104
Asimptota:
f (x) =
x 3 − 4x 2 + 4x
x2 − 9
je tretje stopnje (vodilni cˇ len je x 3 ), polinom v imenovalcu (vodilni cˇ len
polinoma je x 2 ) pa je druge stopnje.
FOV 2012/13
79 / 104
Asimptota:
f (x) =
x 3 − 4x 2 + 4x
x2 − 9
je tretje stopnje (vodilni cˇ len je x 3 ), polinom v imenovalcu (vodilni cˇ len
polinoma je x 2 ) pa je druge stopnje.
Asimptoto torej izraˇcunamo tako, da zdelimo oba polinoma.
FOV 2012/13
79 / 104
Asimptota
FOV 2012/13
80 / 104
Asimptota
Zdelimo polinom v števcu s polinomom v imenovalcu racionalne
funkcije
x 3 − 4x 2 + 4x
f (x) =
x2 − 9
.
FOV 2012/13
80 / 104
Asimptota
Zdelimo polinom v števcu s polinomom v imenovalcu racionalne
funkcije
x 3 − 4x 2 + 4x
f (x) =
x2 − 9
.
FOV 2012/13
80 / 104
Asimptota
FOV 2012/13
81 / 104
Asimptota
FOV 2012/13
81 / 104
Asimptota
x3
=x .
x2
x3 : x2 =
FOV 2012/13
81 / 104
Asimptota
x3
=x .
x2
x3 : x2 =
FOV 2012/13
81 / 104
Asimptota
Dobljeni kvocient x pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 9 ter
x · (x 2 − 9) = x 3 − 9x .
FOV 2012/13
82 / 104
Asimptota
x · (x 2 − 9) = x 3 − 9x .
FOV 2012/13
82 / 104
Asimptota
x · (x 2 − 9) = x 3 − 9x .
FOV 2012/13
82 / 104
Asimptota
FOV 2012/13
83 / 104
Asimptota
x 3 − 9x −→
−x 3 + 9x
FOV 2012/13
83 / 104
Asimptota
x 3 − 9x −→
−x 3 + 9x
(x 3 − 4x 2 + 4x) + (−x 3 + 9x) = −4x 2 + 13x
FOV 2012/13
83 / 104
Asimptota
x 3 − 9x −→
−x 3 + 9x
(x 3 − 4x 2 + 4x) + (−x 3 + 9x) = −4x 2 + 13x
FOV 2012/13
83 / 104
Asimptota
Vodilni koeficient dobljenega polinoma delimo z vodilnim koeficientom
FOV 2012/13
84 / 104
Asimptota
−4x 2
= −4 .
x2
−4x 2 : x 2 =
FOV 2012/13
84 / 104
Asimptota
−4x 2
= −4 .
x2
−4x 2 : x 2 =
FOV 2012/13
84 / 104
Asimptota
Dobljeni kvocient -4 pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 9 ter
−4 · (x 2 − 9) = −4x 3 + 36 .
FOV 2012/13
85 / 104
Asimptota
Dobljeni kvocient -4 pomnožimo z drugim polinomom x 2 − 9 ter
−4 · (x 2 − 9) = −4x 3 + 36 .
FOV 2012/13
85 / 104
Asimptota
FOV 2012/13
86 / 104
Asimptota
−4x 2 + 36x −→
+4x 2 − 36
FOV 2012/13
86 / 104
Asimptota
−4x 2 + 36x −→
+4x 2 − 36
(−4x 2 + 13x) + (4x 2 − 36) = 13x − 36
FOV 2012/13
86 / 104
Asimptota
−4x 2 + 36x −→
+4x 2 − 36
(−4x 2 + 13x) + (4x 2 − 36) = 13x − 36
FOV 2012/13
86 / 104
Asimptota
x 2 − 9. To ni veˇc mogoˇce, ker polinom 13x − 36 prve stopnje, polinom
s katerim želimo deliti (x 2 − 9) pa druge.
Asimptota je tako enaka y = x − 4 (rezultat na desni strani enaˇcaja) in
ostanek pri deljenju obeh polinomov je enak 13x − 36.
FOV 2012/13
87 / 104
Asimptota
x 2 − 9. To ni veˇc mogoˇce, ker polinom 13x − 36 prve stopnje, polinom
s katerim želimo deliti (x 2 − 9) pa druge.
Asimptota je tako enaka y = x − 4 (rezultat na desni strani enaˇcaja) in
ostanek pri deljenju obeh polinomov je enak 13x − 36.
FOV 2012/13
87 / 104
FOV 2012/13
88 / 104
FOV 2012/13
88 / 104
13x = 36 / : 13
FOV 2012/13
88 / 104
13x = 36 / : 13
x=
36
≈ 2.8
13
FOV 2012/13
88 / 104
13x = 36 / : 13
x=
36
≈ 2.8
13
Torej, funkcija f seka asimptoto y = x − 4 pri x =
36
13 .
FOV 2012/13
88 / 104
13x = 36 / : 13
x=
36
≈ 2.8
13
Torej, funkcija f seka asimptoto y = x − 4 pri x = 36
13 .
y koordinato preseˇcišˇca izraˇcunamo tako, da v enaˇcbo asimptote
36
vstavimo x = 13
.
FOV 2012/13
88 / 104
13x = 36 / : 13
x=
36
≈ 2.8
13
13 .
36
vstavimo x = 13
.
36
36
52
y = 13 − 4 = 13 − 13
= − 16
13 ≈ −1.2
FOV 2012/13
88 / 104
13x = 36 / : 13
x=
36
≈ 2.8
13
13 .
36
vstavimo x = 13
.
36
36
52
y = 13 − 4 = 13 − 13
= − 16
13 ≈ −1.2
16
Preseˇcišˇce lahko zapišemo s toˇcko kot T ( 36
13 , − 13 ).
FOV 2012/13
88 / 104
sistem
in oznaˇcimo niˇcle
x1 = 0 in x2,3 = 2
FOV 2012/13
89 / 104
y
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
x
sistem
in oznaˇcimo niˇcle
x1 = 0 in x2,3 = 2
FOV 2012/13
89 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
x
Narišemo pola
(ˇcrtkano):
x1 = −3 in x2 = 3.
FOV 2012/13
90 / 104
y
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
x = −3
x
FOV 2012/13
91 / 104
y
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
x = −3
x
Zaˇcetna vrednost je
−4, torej premica seka
ordinatno os pri −4.
FOV 2012/13
91 / 104
y
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
x = −3
x
Premica seka x-os pri
4. Kako izraˇcunamo
preseˇcišˇce asimptote z
x-osjo?
FOV 2012/13
91 / 104
y
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
x = −3
x
x-osjo?
Asimptota gre torej
skozi toˇcki (0, −4) in
(4, 0).
FOV 2012/13
91 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Narišemo asimptoto
y = x − 4.
x-osjo?
Asimptota gre torej
skozi toˇcki (0, −4) in
(4, 0).
FOV 2012/13
92 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Oznaˇcimo preseˇcišˇce
racionalne funkcije z
asimptoto
FOV 2012/13
93 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Oznaˇcimo preseˇcišˇce
asimptoto
36
, − 16
T ( 13
13 )
FOV 2012/13
93 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
nad asimptoto.
FOV 2012/13
94 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Racionalno funkcijo
zaˇcnemo risati na
desni strani
nad asimptoto.
Razmisli: Zakaj na
desni strani graf
racionalne funkcije ne
gre pod asimptoto?
FOV 2012/13
94 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Do prvega pola graf
nima nobene niˇcle oz.
preseˇcišˇca, zato se
graf funkcije f obrne
navzgor in približa polu
x = 3.
FOV 2012/13
95 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Pol x = 3 je lihe
stopnje, zato funkcija f
pri prehodu cˇ ez pol
spremeni predznak.
FOV 2012/13
96 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Pol x = 3 je lihe
stopnje, zato funkcija f
pri prehodu cˇ ez pol
spremeni predznak.
Na levi strani pola
x = 3 zavzame funkcija
f negativne vrednosti.
FOV 2012/13
96 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
grafu je preseˇcišˇce
36
, − 16
asimptoto .T ( 13
13 ).
FOV 2012/13
97 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Niˇcla pri x = 2 je sode
stopnje (x2,3 = 2),
FOV 2012/13
98 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Niˇcla pri x = 2 je sode
stopnje (x2,3 = 2),
zato se v tej niˇcli graf
racionalne funkcije
dotakne abscisne osi.
FOV 2012/13
98 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
grau je niˇcla lihe
stopnje x1 = 0
FOV 2012/13
99 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
grau je niˇcla lihe
stopnje x1 = 0
torej graf funkcije seka
os x.
FOV 2012/13
99 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Levo od niˇcle x1 = 0 ni
nobene druge niˇcle,
torej se graf funkcije
približa polu x = −3.
FOV 2012/13
100 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Pol x = −3 je lihe
stopnje, torej graf
racionalne funkcije pri
prehodu cˇ ez pol
spremeni predznak.
FOV 2012/13
101 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Na grafu nimamo
narisane veˇc nobene
toˇcke.
Graf funkcije torej
nekje doseže lokalni
maksimum (kar bomo
znali izraˇcunati s
pomoˇcjo odvodov).
FOV 2012/13
102 / 104
y
x = −3
−11
x=3
−10
−9
−8
−7
−6
y=x−4
−5
−4
−3
−2
−x1 x23
1
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
x
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T(36 13, − 16 13)
−−2
−−3
−−4
−−5
−−6
−−7
−−8
−−9
−−10
f(x) = (x3 − 4x2 + 4x) (x2 − 9)
−−11
−−12
−−13
−−14
−−15
−−16
−−17
−−18
Na levi strani
se graf približa
asimptoti.
FOV 2012/13
103 / 104
Naloge za samostojno reševanje
1
2
V isti koordinatni sistem nariši polinom p(x) = x 3 + 2x 2 − 4x − 8
in kvadratno funkcijo f (x) = x 2 − 4. Doloˇci presecišca grafov
kvadratne funkcije in polinoma.
Nariši funkcije:
1
2
3
4
5
f1 (x) = x 3 − x 2 − 20x
f2 (x) = x 4 + x 3 − 20x 2
f3 (x) = x 3 + 2x 2 − 9x − 18
f4 (x) = 2x 5 − 50x 3
2x 2
f5 (x) = x−4
6
f6 (x) =
7
f7 (x) =
x 2 −4x+3
x 3 −2x
x 3 −2x
x 2 −4x+3
Rešitve nalog lahko oddate na forumu za vaje ’e-vaje: Polinomi in
racionalne funkcije’.
FOV 2012/13
104 / 104

Polinomi in racionalne funkcije

Transcription

Similar documents

Seznam udeležencev

Polinomi, racionalna funkcija Za inštrukcije matematike

ŠTUDIJ JE ZAKON!

Vabilo na uvajalni teden za bruce z aktivnostmi fakultet 2014.pdf

Dragi polinom, kje so tvoje nicle?

WEIERSTRASSOV APROKSIMACIJSKI IZREK

zapisnik-1.

Stroški šolnine FOV - Univerza v Mariboru

INTEGRALI ELEMENTARNIH FUNKCIJ 1. Uvod Za zacetek si