ה-(ABCD)של הבחירה החברתית - אוניברסיטת בר-אילן

‫ה‪ ABC(D)-‬של הבחירה‬
‫החברתית‬
‫‪(Arrow, Borda, Condorcet‬‬
‫)‪and Dodgson‬‬
‫שמואל ניצן‬
‫אוניברסיטת בר אילן‬
‫‪1‬‬
‫‪Kenneth Arrow‬‬
‫‪ -1921‬נולד בארה"ב‬
‫מחשובי התורמים לכלכלה‬
‫הניאו‪-‬קלאסית‬
‫‪ -1972‬פרס נובל בכלכלה‬
‫(מקבל הפרס הצעיר ביותר‬
‫אי פעם)‬
‫‪2‬‬
‫‪Arrow‬‬
‫תרם לתחומים שונים ובעיקר ל‪-‬‬
‫‪‬‬
‫בחירה חברתית‬
‫‪‬‬
‫שיווי משקל כללי‬
‫‪‬‬
‫כלכלת אינפורמציה‬
‫‪‬‬
‫כלכלת אי‪-‬וודאות‬
‫‪3‬‬
‫תרומה לבחירה חברתית‬
‫משפט האי‪-‬אפשרות‬
‫)‪)Arrow’s Impossibility Theorem, 1951‬‬
‫הקטליזטור של התפתחות תחום הבחירה‬
‫החברתית‬
‫)‪(Social Choice Theory‬‬
‫‪4‬‬
‫ז'אן שארל דה בורדה‬
‫‪Jean-Charles de Borda‬‬
‫‪‬‬
‫‪1733-1799‬‬
‫‪‬‬
‫פיסיקאי ניסויי‪ ,‬ספן‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫בורדה‬
‫‪‬‬
‫חוקר בליסטיקה‬
‫‪‬‬
‫מהנדס צבאי בצי הצרפתי‬
‫‪‬‬
‫ממציא מכשיר המיפוי "המעגל החוזר" (תואר בספר‪:‬‬
‫‪ The Measure of All Things, Ken Adler, 2002‬שיצא לאור בעברית‬
‫בהוצאת דביר‪ ,‬הכול לפי מידה‪)2006 ,‬‬
‫‪‬‬
‫יו"ר וועדת המידות והמשקלות בה היו חברים קונדורסה‪ ,‬לבואזיה‪,‬‬
‫לפלאס ולגנדרה (‪)1790‬‬
‫‪‬‬
‫חוקר של שיטות בחירה‬
‫‪6‬‬
‫תרומה לבחירה חברתית‬
‫‪ ‬כלל הנקודות של בורדה (‪)1770‬‬
‫‪7‬‬
‫המרקיז דה קונדורסה‬
‫‪Condorcet‬‬
‫מארי‪-‬ז'אן‪-‬אנטואן‪-‬ניקולא דה קאריטא ‪,‬המרקיז דה‬
‫קונדורסה‪1743 – 1794 ,‬‬
‫פוליטיקאי‪ ,‬פילוסוף‪ ,‬מתמטיקאי וחוקר מדע המדינה‪,‬‬
‫מהנציגים המובהקים של תקופת הנאורות‪ .‬קונדורסה דגל‬
‫בליברליזם כלכלי ‪,‬סובלנות דתית‪ ,‬בחינוך מודרני‬
‫ובעליונות השכל האנושי‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫קונדורסה‬
‫‪ - 1777 ‬מזכיר האקדמיה הצרפתית למדעים‪.‬‬
‫תלמידו של דלאמבר‪ ,‬ממחברי האנציקלופדיה הגדולה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בן אצולה שתמך בהתלהבות במהפכה הצרפתית‪.‬‬
‫‪-1791‬נציג פריז באספה המחוקקת שהיה למזכירה‪.‬‬
‫תכנן את מערך החינוך הממלכתי‪ ,‬ועסק בניסוח החוקה‬
‫החדשה ובקידום רעיון זכות ההצבעה לנשים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חינו סר בעיני המהפכנים בגלל התנגדותו להוצאת המלך‬
‫להורג‪ .‬נאלץ להסתתר‪ ,‬ואז חיבר את ספרו הגדול "רישום‬
‫לתמונה היסטורית של התקדמות רוח האדם" (חזונו‬
‫הנשגב לעתיד המין האנושי)‪ .‬התאבד‪ /‬נרצח ב‪. 1794 -‬‬
‫‪9‬‬
‫תחומי התענינות‬
‫‪‬‬
‫תורת ההסתברות‬
‫‪‬‬
‫חשבון אינטגרלי‬
‫‪‬‬
‫זכויות האדם‬
‫‪‬‬
‫רפורמות פוליטיות‪ ,‬מנהליות וכלכליות‬
‫‪‬‬
‫כללי בחירות‬
‫‪10‬‬
‫תרומה לבחירה חברתית (קולקטיבית)‬
‫‪‬‬
‫כלל הבחירות של קונדורסה (עקביות קונדורסה)‬
‫‪‬‬
‫פרדוקס הבחירות של קונדורסה‬
‫‪‬‬
‫משפט המושבעים של קונדורסה‬
‫‪11‬‬
‫צ'ארלס דודג'סון (לואיס קארול)‬
‫)‪Charles Dodgson (Lewis Carroll‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1832-1898‬‬
‫מרצה באוקספורד‪ ,‬כומר‬
‫סופר‬
‫מתימטיקאי‬
‫לוגיקאן‬
‫צלם‬
‫פילוסוף‬
‫דודג'סון‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪13‬‬
‫"הרפתקאות אליס בארץ הפלאות"‬
‫"מבעד למראה ומה אליס מצאה שם"‬
‫חידות מתמטיות ולוגיות‬
‫חיבורים בגיאומטריה‬
‫לוגיקה סימבולית‬
‫משחקי מילים‪ ,‬איגיון‬
‫חידות מתמטיות ולוגיות‬
‫‪Lewis Carroll's Pillow Problem ‬‬
‫סל מכיל דסקית אחת‪ .‬ידוע כי הדסקית‬
‫לבנה או שחורה‪ .‬דסקית לבנה מוכנסת‬
‫לסל‪ ,‬הסל מנוער ומוצאת ממנו דסקית‪,‬‬
‫שידוע כי היא לבנה‪ .‬מה הסיכוי עתה‬
‫להוציא מהסל דסקית לבנה?‬
‫‪14‬‬
‫"פתרון ‪"1‬‬
‫מאחר ומצב הסל‪ ,‬לאחר השינוי‪ ,‬נשאר‬
‫בהכרח כפי שהיה (נכנסה ויצאה דסקית‬
‫לבנה)‪ ,‬ההסתברות להוצאת דסקית‬
‫לבנה נותרה כפי שהייתה‪.1/2 ,‬‬
‫‪15‬‬
‫פתרון ‪2‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן ב‪ B -‬וב‪ W1 -‬את הדסקית השחורה והדסקית הלבנה שאולי‬
‫נמצאות בסל במצב ההתחלתי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן ב‪ W2 -‬את הדסקית הלבנה המוכנסת לסל‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן מצב אפשרי לאחר ההוצאה של דסקית לבנה מהסל על ידי זוג‬
‫דסקיות‪( :‬הדסקית שהוצאה מהסל‪ ,‬הדסקית שנותרה בסל)‬
‫‪‬‬
‫קיימים אפוא שלושה מצבים אפשריים‪ ,‬בעלי הסתברות שווה‪:‬‬
‫(‪ )W1,W2( ,)W2,W1‬ו‪.)B ,W2( -‬‬
‫בשני מצבים הדסקית שנותרה בסל היא לבנה ולכן ההסתברות להוציא‬
‫דסקית לבנה גדלה מ‪ 1/2-‬ל‪.2/3-‬‬
‫‪16‬‬
Dodgson




A Method of Taking Votes on More Than Two
Issues ;Oxford ; 1876.
The Principles of Parliamentary Representation;
London; Harrison and Sons; 1884.
A Discussion of Various Methods of Procedure
in Conducting Elections; Oxford; 1893.
The Mathematical Pamphlets of Charles L.
Dodgson; edited by Francine F. Abeles;
Charlottesville; University of Virginia; 1995.
17
‫תרומה לבחירה חברתית‬
‫‪‬‬
‫‪18‬‬
‫עקרון הבחירה (הפשרה) של דודג'סון‪:‬‬
‫ההתקרבות לבחירה על פי קונדורסה‬
‫בחירה חברתית‪ :‬אתגר‬
‫להשכלה‪/‬נאורות (‪(Enlightenment‬‬
‫במחצית השנייה של המאה ה‪18-‬‬
‫מהו כלל הבחירה הקבוצתי הראוי?‬
‫‪19‬‬
‫התרומה של ‪Condorcet‬‬
‫‪‬‬
‫משפט המושבעים של קונדורסה (‪:)1785‬‬
‫קבוצה של פרטים זהים עומדת מול שתי אפשרויות שאחת מהן היא‬
‫המועדפת‪ ,‬אך קיימת אי וודאות ביחס לזהותה של אפשרות זו‪.‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שהקבוצה בוחרת באפשרות המועדפת ("האפשרות‬
‫הנכונה") גבוהה יותר כאשר הקבוצה משתמשת בכלל הרוב הפשוט‬
‫ולא מפקידה את ההחלטה הקבוצתית בידי אחד מחבריה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסתברות הבחירה של האפשרות המועדפת שואפת ל‪ 1-‬כאשר‬
‫מספר הפרטים בקבוצה שואף לאין סוף‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫התרומה של ‪Condorcet‬‬
‫‪‬‬
‫כלל הבחירה של קונדורסה‬
‫הגדרה‪ :‬נבחרת האפשרות שהיא "מנצחת קונדורסה" –‬
‫אפשרות הגוברת על כל אפשרות אחרת ברוב פשוט‪.‬‬
‫‪‬‬
‫קריטריון קונדורסה‬
‫הגדרה‪ :‬כלל בחירה מקיים את קריטריון קונדורסה‪ ,‬אם‬
‫הוא בוחר את "מנצחת קונדורסה"‪ ,‬במידה וקיימת‬
‫אפשרות כזו‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫כלל הבחירה של קונדורסה‬
‫יתרונות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫דמוקרטי!‬
‫‪‬‬
‫מממש את עיקרון הרוב!‬
‫‪‬‬
‫פשוט!‬
‫‪22‬‬
‫כלל הבחירה של קונדורסה‬
‫חסרונות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫לא מבטיח בחירה ‪ -‬פרדוקס הבחירות של‬
‫קונדורסה‬
‫‪‬‬
‫לא מתחשב בעצמת ההעדפות‬
‫‪23‬‬
‫פרדוקס הבחירות של קונדורסה‪ :‬לא‬
‫קיימת אפשרות מנצחת ‪ -‬נבחרת‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫פרט ‪ 3‬פרט ‪ 2‬פרט ‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪24‬‬
‫התרומה של ‪Borda‬‬
‫‪‬‬
‫כלל הנקודות של בורדה (‪)1770‬‬
‫‪ ‬הגדרה‪ :‬כל פרט מעניק ל‪ k -‬האפשרויות העומדות‬
‫לבחירה נקודות בהתאם לדירוגן ביחס ההעדפה שלו;‬
‫לאפשרות הטובה ביותר מוענקות ‪ k‬נקודות‪ ,‬לאפשרות‬
‫המדורגת שניה מוענקות )‪ (k-1‬נקודות‪ ,‬וכן הלאה‪ ,‬עד‬
‫לאפשרות הגרועה ביותר לה מוענקת נקודה אחת‪ .‬כלל‬
‫בורדה בוחר באפשרות לה מעניקים הפרטים את מספר‬
‫הנקודות הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫דוגמה‪ :‬בפרופיל ההעדפות הנתון‬
‫נבחרת אפשרות ‪b‬‬
‫ניקוד על פרט ‪3‬‬
‫פי כלל‬
‫בורדה‬
‫‪ 10- b‬נק' ‪b‬‬
‫פרט ‪2‬‬
‫פרט ‪1‬‬
‫ניקוד‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 9 – a‬נק' ‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 6 – d‬נק' ‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5 – c‬נק' ‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪26‬‬
‫כלל בורדה‬
‫משמעות‪:‬‬
‫א‪ .‬האפשרות הנבחרת על ידי כלל בורדה היא‬
‫בעלת הדרוג הממוצע הגבוה ביותר של הפרטים‪.‬‬
‫ב‪ .‬לאפשרות הנבחרת על ידי כלל בורדה יש‬
‫בממוצע את מספר התומכים הגבוה ביותר‬
‫בהשוואות בינאריות מול האפשרויות האחרות‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫כלל בורדה‬
‫יתרונות‪:‬‬
‫‪ ‬מבטיח בחירה!‬
‫‪ ‬דמוקרטי!‬
‫‪ ‬נותן ביטוי לעצמת ההעדפות!‬
‫‪ ‬האפשרות הנבחרת על‪-‬ידי כלל בורדה איננה‬
‫יכולה להיות מנוצחת על פי קונדורסה‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫כלל בורדה‬
‫חסרונות‪:‬‬
‫‪ ‬לא מקיים את קריטריון קונדורסה‪ .‬כלומר‪ ,‬קיימים‬
‫פרופילים של העדפות כך שקיימת אפשרות שהיא‬
‫מנצחת על פי קונדורסה‪ ,‬ובכל זאת כלל בורדה לא‬
‫בוחר בה‪.‬‬
‫‪ ‬הניקוד שרירותי‪.‬‬
‫‪ ‬הניקוד כפוי ואיננו מאפשר ביטוי אישי של עצמת‬
‫העדפות"‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫התרומה של ‪Dodgson‬‬
‫‪‬‬
‫עקרון הבחירה (הפשרה) של דודג'סון‪:‬‬
‫התקרבות לבחירה על פי קונדורסה‪.‬‬
‫מכיר בחשיבות עיקרון הרוב וגם באפשרות שכלל‬
‫הבחירה של קונדורסה לא מבטיח בחירה‪.‬‬
‫מתקרב לבחירה על פי קונדורסה ע"י שימוש במושג‬
‫"מרחק בין העדפות"‪ ,‬תוך התחשבות (בדומה לבורדה)‬
‫בכל סדר ההעדפות‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫עקרון הבחירה (הפשרה) של דודג'סון‪:‬‬
‫ההתקרבות לבחירה על פי קונדורסה‬
‫מן הראוי שכלל הבחירה החברתית יממש את עיקרון הרוב‬
‫הפשוט כך‪:‬‬
‫אם קיימת אפשרות שהיא מנצחת על פי קונדורסה‪ ,‬על‬
‫הכלל לבחור בה‪.‬‬
‫אם לא קיימת אפשרות שהיא זוכה על פי קונדורסה‪ ,‬על‬
‫הכלל לבחור באפשרות הזקוקה למספר הקטן ביותר של‬
‫שינויים בהעדפות הפרטים כדי להפוך לזוכה על פי‬
‫קונדורסה‪ .‬דודג'סון מגדיר שינויים בהעדפות הפרטים‬
‫כשינויים בין אפשרויות סמוכות ביחסי ההעדפה של‬
‫הפרטים‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫התקרבות לבחירה על פי קונדורסה‪ :‬דוגמה‬
‫קיימות ‪ 4‬אפשרויות‪,a,b,c,d ,‬‬
‫ו‪ 13 -‬פרטים שהעדפותיהם‬
‫מוצגות בטבלה‪:‬‬
‫‪c b b b a a a a‬‬
‫‪d d d c c‬‬
‫‪d d d d b b b b‬‬
‫‪b b b a a‬‬
‫‪c c c b b a* c c c c c c c‬‬
‫‪a a a d d b* a a a d d d d‬‬
‫‪32‬‬
‫במקרה זה ההעדפה החברתית המבוססת על כלל הרוב הפשוט‬
‫היא מעגלית‪ a :‬עדיפה מ‪ b ,b -‬עדיפה מ‪ c ,c -‬עדיפה מ‪d ,d-‬‬
‫עדיפה מ‪ .a -‬כלומר‪ ,‬לא קיימת אפשרות זוכה על פי קונדורסה‪.‬‬
‫כל אחת מהאפשרויות ‪ c ,a‬ו‪ d -‬זקוקה לארבעה חילופים על‬
‫מנת הפוך למנצחת קונדורסה‪ .‬אפשרות ‪ b‬זקוקה לחילוף אחד‪,‬‬
‫למשל‪ ,‬ההחלפה בין שתי האפשרויות המסומנות ב‪ ,* -‬ולכן היא‬
‫זו שצריכה להיבחר !‬
‫עקרון הבחירה (הפשרה) של דודג'סון‪:‬‬
‫ההתקרבות לבחירה על פי קונדורסה‬
‫הפשרה הכפולה‪:‬‬
‫הצעת פשרה בין קונדורסה (שימוש בקריטריון‬
‫קונדורסה) ובורדה (ממדד הקרבה משתמעת‬
‫התחשבות בעצמת ההעדפות)‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫ההיבט הנורמטיבי‬
‫‪‬‬
‫השאלה הנורמטיבית המרכזית היא מהו יחס ההעדפה‬
‫החברתית ה"רצוי"‪.‬‬
‫‪‬‬
‫התשובה לשאלה יכולה להתבסס על הסכמה ביחס‬
‫לתכונות הרצויות של יחס ההעדפה החברתית הראוי‪,‬‬
‫מאחר שההסכמה עשויה להוביל לזיהוי חד משמעי של‬
‫יחס זה‪ ,‬וממילא לפונקצית הבחירה החברתית הרצויה‪.‬‬
‫ההצלחה של גישה זו‪ ,‬הגישה האקסיומטית‪ ,‬עשויה אפוא‬
‫לאפשר לחברה להתגבר על הקשי של נקיטת פעולה‬
‫בנסיבות של ניגודי אינטרסים בין חבריה‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫ההיבט הפוזיטיבי‬
‫‪‬‬
‫השאלה הפוזיטיבית המרכזית היא האם אפשר לחקור את‬
‫ההחלטות החברתיות ‪,‬בדומה לבחירה האינדיווידואלית‪,‬‬
‫על בסיס ההנחה שהבחירה החברתית ניתנת‬
‫לרציונאליזציה על ידי יחס העדפה סביר כלשהו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הקיום של יחס העדפה חברתית סביר (ושל פונקצית‬
‫בחירה חברתית‪ ,‬הניתנת לרציונאליזציה על ידו) מבטיח‬
‫התנהגות חברתית רציונאלית‪ .‬התנהגות כזו היא בעלת‬
‫חשיבות רבה מן הבחינה המתודולוגית‪ .‬היא מאפשרת‬
‫מימוש של המטרות הפוזיטיביות ( הסבר וניבוי ) של‬
‫תורת הבחירה החברתית‪ ,‬תוך התבססות על‬
‫המתודולוגיה הפורייה המקובלת בתחום הכלכלה‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫התרומה של ‪Arrow‬‬
‫‪ ‬משפט האי‪-‬אפשרות‬
‫)‪)Arrow’s Impossibility Theorem, 1951‬‬
‫הקטליזטור של התפתחות תחום הבחירה‬
‫החברתית‬
‫)‪(Social Choice Theory‬‬
‫‪36‬‬
‫התכונות הנדרשות במשפט‬
‫האי‪-‬אפשרות של ‪Arrow‬‬
‫‪‬‬
‫תחום בלתי מוגבל (‪:(Unrestricted Domain -UD‬‬
‫הכלל מתאים יחס העדפה חברתית לכל חברה‬
‫שהיא‪ ,‬דהיינו לכל פרופיל אפשרי של העדפות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫טרנסיטיביות )‪:(Transitivity – T‬‬
‫כל יחס העדפה חברתית הכלול בטווח של כלל‬
‫האגרגציה הוא טרנסיטיבי‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫התכונות הנדרשות במשפט‬
‫האי‪-‬אפשרות של ‪Arrow‬‬
‫‪‬‬
‫עיקרון פארטו (‪:) Pareto Principle - P‬‬
‫ההעדפה החברתית בין שתי אפשרויות זהה להעדפה של‬
‫כל פרט‪ ,‬כאשר העדפות הפרטים הן זהות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אי‪-‬דיקטטוריות (‪:(Non-Dictatorship – ND‬‬
‫לא קיים פרט דיקטטורי‪ ,‬פרט שהעדפותיו קובעות באופן‬
‫בלעדי ובכל הנסיבות את ההעדפה החברתית בין כל שתי‬
‫אפשרויות‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫התכונות הנדרשות במשפט‬
‫האי‪-‬אפשרות של ‪Arrow‬‬
‫‪‬‬
‫אי‪-‬תלות באפשרויות לא‪-‬רלוונטיות (‪(IIA‬‬
‫)‪ :)Independence of Irrelevant Alternatives‬ההעדפה‬
‫של כל חברה בין כל שתי אפשרויות תלויה אך ורק‬
‫בהעדפות האינדיווידואליות על תת הקבוצה הכוללת את‬
‫אותן שתי אפשרויות‪.‬‬
‫ניסוח חילופי‪ :‬אם הצמצום של שני פרופילים שונים‬
‫לקבוצה המכילה שתי אפשרויות הוא זהה‪ ,‬אז הצמצום‬
‫של שני יחסי ההעדפה החברתית המתאימים לשני‬
‫הפרופילים לאותה קבוצה אף הוא זהה‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫מה המשמעות של ‪?IIA‬‬
‫‪‬‬
‫ההעדפה החברתית בין כל שתי אפשרויות תלויה אך ורק‬
‫באינפורמציה על ההעדפות (האורדינאליות) של הפרטים‬
‫הנוגעות לאותן שתי האפשרויות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פירוש הדבר הוא שהתנאי ‪ IIA‬מחייב חוסר התחשבות‬
‫של ההעדפה החברתית במידע אודות עצמת ההעדפות‬
‫של הפרטים ביחס לאותן האפשרויות וגם חוסר‬
‫התחשבות במידע אודות ההערכות היחסיות של אותן‬
‫האפשרויות בהשוואה לאפשרויות אחרות‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫משפט האי‪-‬אפשרות של ‪Arrow‬‬
‫לא קיים כלל אגרגציה המקיים את התכונות ‪,UD‬‬
‫‪ ND ,P ,T‬ו‪.IIA -‬‬
‫או‬
‫אם כלל אגרגציה מקיים את התכונות ‪P ,T ,UD‬‬
‫ו‪ ,IIA -‬אז הוא כלל דיקטטורי‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫מה המשמעות של משפט‬
‫האי‪-‬אפשרות של ‪?Arrow‬‬
‫מהו כלל הבחירה הקבוצתי הראוי?‬
‫!!! ???‬
‫‪42‬‬
‫מה המשמעות של משפט‬
‫האי‪-‬אפשרות של ‪ A‬ביחס ל‪?C-‬‬
‫‪‬‬
‫‪43‬‬
‫לרצות את קונדורסה‬
‫בדמוקרטיה לא ניתן ָ‬
‫ולהבטיח בחירה‪:‬‬
‫לא קיים כלל אגרגציה דמוקרטי (‪ ,)ND+P‬לא‬
‫מוגבל בתחולתו (‪ )UD‬ובלתי תלוי באפשרויות לא‬
‫רלוונטיות (‪ ,)IIA‬המבטיח בחירה (‪.)T‬‬
‫האם בעיית חוסר הבחירה היא‬
‫משמעותית?‬
‫הסתברות פרדוקס הבחירות‬
‫מספר הפרטים‬
‫מס ‘ אפשר' ‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪11‬‬
‫‪...‬‬
‫בגבול‬
‫‪3‬‬
‫‪.056‬‬
‫‪.069‬‬
‫‪.075‬‬
‫‪.078‬‬
‫‪.080‬‬
‫…‬
‫‪.088‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.111‬‬
‫‪.139‬‬
‫‪.150‬‬
‫…‬
‫‪.176‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.160‬‬
‫‪.200‬‬
‫‪.215‬‬
‫…‬
‫‪.251‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.202‬‬
‫…‬
‫‪.315‬‬
‫‪7‬‬
‫‪.239‬‬
‫‪.299‬‬
‫‪.343‬‬
‫…‬
‫‪.369‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫בגבול‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫…‬
‫‪1‬‬
‫‪44‬‬
‫‪.255‬‬
‫‪.156‬‬
‫‪.230‬‬
‫‪.258‬‬
‫‪.160‬‬
‫‪.251‬‬
‫‪.284‬‬
‫‪.342‬‬
‫‪.305‬‬
‫‪.294‬‬
‫מה המשמעות של משפט‬
‫האי‪-‬אפשרות של ‪ A‬ביחס ל‪ B-‬או ‪? D‬‬
‫‪‬‬
‫‪45‬‬
‫בדמוקרטיה לא ניתן לרצות את בורדה או את‬
‫דודג'סון ולהבטיח אי תלות באפשרויות לא‬
‫רלוונטיות ‪:‬‬
‫לא קיים כלל אגרגציה דמוקרטי (‪ ,)ND+P‬לא‬
‫מוגבל בתחולתו (‪ )UD‬ומבטיח בחירה (‪ ,)T‬שאיננו‬
‫תלוי באפשרויות לא רלוונטיות (‪.)IIA‬‬
‫האם הכלל של ‪" B‬מכבד" את ‪?C‬‬
‫‪‬‬
‫כלל בורדה לא יכול לבחור באפשרות מנוצחת על‬
‫פי קונדורסה!‬
‫‪‬‬
‫הכלל של בורדה לא יכול להעניק לאפשרות‬
‫מנצחת קונדורסה את הניקוד הנמוך ביותר!‬
‫‪46‬‬
‫האם הכלל של ‪" D‬מכבד" את ‪ C‬ואת ‪?B‬‬
‫‪‬‬
‫הכלל של דודג'סון יכול לבחור באפשרות מנוצחת‬
‫על פי קונדורסה! )‪(Nurmi, 2004‬‬
‫‪‬‬
‫הכלל של דודג'סון יכול לבחור באפשרות הגרועה‬
‫ביותר על פי הניקוד של בורדה! )‪(Ratliff, 2002‬‬
‫‪47‬‬
‫סוף דבר‬
‫שאלת הבחירה החברתית (קבוצתית הראויה) היא‬
‫אכן אתגר להשכלה‪/‬נאורות (‪.(Enlightenment‬‬
‫אתגר ל‪ C+B -‬במאה ה‪.18 -‬‬
‫אתגר ל‪ D-‬במאה ה‪.19 -‬‬
‫אתגר ל‪ A-‬וממשיכיו במאה ה‪.20 -‬‬
‫‪48‬‬