FYS2130 Svingninger og bølger, Obligatorisk

FYS2130 Svingninger og bølger, Obligatorisk
oppgave F
Nicolai Kristen Solheim
Ukeoppgave, sett F
FYS2130 Svingninger og bølger
Nicolai Kristen Solheim
Ukeoppgave, sett F
Oppgavetype 1
a) Med utgangspunkt i ligning 6.1 er det i boka utledet to uttrykk for fasehastigheten til
gravitasjonsdrevne overflatebølger på vann. De fysiske forholdene som ligger bak denne
oppdelingen er henholdsvis skillet mellom grunt og dypt vann.
tanh
For grunt vann har vi at
Altså har vi
med et tilnærmet uttrykk
.
.
tanh
For dypt vann har vi
1.25
√
1
hvor
, altså
er måltallet for
uten benevning målt i antall
meter.
b) Videre kan vi angi gruppehastigheten for disse to tilfellene, gitt at
løser først for .
Videre løser vi for
og
. Vi
.
Fra dette har vi at gruppehastigheten for gravitasjonsdrevne overflatebølger på grunt vann er
. Tilsvarende kan vi gjøre for overflatebølger på dypt vann.
gitt ved
, hvor
1
2
1
2
Side 1 av 2 FYS2130 Svingninger og bølger
Ukeoppgave, sett F
Nicolai Kristen Solheim
Over ser vi at gruppehastigheten for gravitasjonsdrevne overflatebølger på dypt vann er
.
c) Det som kjennetegner dispersjon (spredning) er en endring i brytningsindeksen, som vil si at
fasehastigheten er avhengig av bølgelengden.
En dispersjonsrelasjonen er sammenhengen mellom og for et gitt medium. Vi kjenner
er uavhengig av bølgelengden
dette som
for et medium når sammenhengen
(frekvens) slik at vi får et lineært forhold dersom plottes mot . Forskjellige avvik fra dette
lineære forholdet deles inn i anormal og normal dispersjon.
På mange måter er det dispersjon det fenomenet som gjør at bølger ofte kommer inn tilnærmet
parallelt med en sandstrand. Dette kan forklares ved at når bølger kommer inn fra havet, vil
bølgene som beveger seg skrått inn mot en langgrunn strand bevege seg raskest i den delen
hvor dybden er størst. Altså går bølgen som er ”lengst ute” raskere enn bølgen på ”innsiden”
noe som vil gjøre at bølgefrontene etterhvert vil komme inn tilnærmet parallelt med
strandkanten. Dette gjelder uansett hvilken retning bølgene kommer fra, da fasehastigheten
avtar når dybden avtar. Fasehastigheten er videre gitt slik at den er avhengig av bølgelengden,
noe vi kjenner igjen som dispersjon.
d) Vi har i denne oppgaven tatt utgangspunkt i MATLAB-programmet funnet på side 177-178 i
læreboka, og kontrollert at det gir samme resultater som i figur 6.15.
Funksjonene som er brukt i dette programmet er hhv. likning 6.13 og 614 i læreboka, med
1 og gir initialbetingelsene. Likning 6.13 er en generell bølgelikning, mens
tvershastigheten er den deriverte av dette. For verdier for andre har vi en for-løkke som
beregner dette numerisk.
Videre har vi brukt programmet til å gjøre oppgave 6.13. I denne oppgaven ser vi på
endringer, og observerer hva som skjer.
Dersom vi endrer tvershastighetene i startøyeblikket til det negative av hva det skulle ha vært
vil vi se at bølgen beveger seg i motsatt retning av hva den ellers ville gjort.
For en redusert tvershastighet observerer vi at bølgen deler seg i to forskjellige bølger som
beveger seg fra hverandre med forskjellige amplituder. Det ser ut som om de har samme
fasehastighet og at summen av amplitudene tilsvarer den originale amplituden .
Dersom vi nå bruker den dobbelte tvershastigheten vil vi se at bølgen deler seg i to
forskjellige bølger med forskjellige amplituder i hver sin retning. Den ene bølgen som beveger
seg i positiv retning vil ha en amplitude
, mens den reflekterte bølgen som beveger seg i
| |, men 0. Det ser likevel ut som om disse bølgene
negativ retning vil ha en amplitude
har samme fasehastighet i begynnelsen, før bølgen med negativ amplitude rives løs og
fortsetter med negativ fasehastighet (i forhold til den andre bølgen). Videre ser det ut som at
summen av amplitudene tilsammen gir .
For bølger står vi ikke like fritt til å velge fart og posisjon uavhengig av hverandre. Noe av
problemet ligger i utgangspunktet for beregningene – det numeriske start-tidspunkt – som gjør
at vi må ta utgangspunkt i en symmetrisk bølge som står i ro ved .
Side 2 av 2 07.03.11 16:20
C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2...\bolgeanimasjon.m
1 of 1
function bolgeanimasjon
% Genererer posisjonsarray
delta_x = 0.1;
x = -20:delta_x:20;
n = length(x);
% Genererer posisjoner ved t = 0
sigma = 2.0;
y = exp(-(x./(2*sigma)).*(x./(2*sigma)));
% plot(x,y,'r-');
% figure();
% Genererer tvershastigheter ved t = 0
v = 0.3
zp =(v/(2*sigma*sigma)).*x;
z = zp.*y;
%plot(x,z,'b-');
% Lager beskrivelsen for neste tidssteg
delta_t = 0.1;
faktor = (delta_t*v/delta_x)^2;
uforrige = y - (delta_t*1.0).*z;
unaa = y;
for t = 1:300
uny(2:n-1) = (2*(1-faktor)).*unaa(2:n-1) - uforrige(2:n-1) + faktor.*(unaa(3:n)
+unaa(1:n-2));
uny(1) = (2*(1-faktor)).*unaa(1) - uforrige(1) + faktor.*unaa(2);
uny(n) = (2*(1-faktor)).*unaa(n) - uforrige(n) + faktor.*unaa(n-1);
plot(unaa);
axis([0 n+1 -1.2 1.2]);
drawnow;
uforrige = unaa;
unaa = uny;
end
end