TFE4130 Bølgeforplantning Noen parametre og enkle relasjoner for
Transcription
TFE4130 Bølgeforplantning Noen parametre og enkle relasjoner for
NTNU Institutt for elektronikk og telekommunikasjon TFE4130 Bølgeforplantning Noen parametre og enkle relasjoner for (elektromagnetiske) bølger Tid Periode: T Frekvens: f = 1/T Vinkelfrekvens: ω = 2πf Rom Bølgelengde: λ Bølgetall (romlig vinkelfrekvens): β = 2π/λ Bølgevektor, k-vektor: ~k . Tid og rom Fasehastighet (hastigheten til f.eks. bølgetoppene): up = u = ω/β Gruppehastighet (hastigheten til en bølgepakke, energiforplantningshastighet): ug = dω/dβ Dispersjon vil si at bølgetallet β varierer med frekvens på en slik måte at fasehastigheten blir frevensavhengig. Da blir også fasehastigheten 6= gruppehastigheten. Ulike frekvenskomponenter forplantes med ulik hastighet, slik at en puls (i tidsdomenet) vil spres utover (pulsforbredning). Tapsfri bølge Felt ∼ Re exp[j(ωt − βz)] = cos(ωt − βz) eller Felt ∼ Re exp[j(ωt − ~k · ~r)] = cos(ωt − ~k · ~r), med |~k| = β og ~r = (x, y, z). Ofte uttrykker man størrelser og felt som visere. Da er det underforstått at det skal multipliseres med exp(jωt) og etterpå tas realdelen for å finne det fysiske, tidsvarierende feltet. Noen enkle relasjoner Tilbakelagt strekning = fart · tid, dvs. i løpet av en periode T har bølgen gått u λ=u·T = (1) f Den komplekse eksponentialfunksjonen exp[j(·)] er periodisk med periode 2π. Derfor må vi ha: ωT = 2π ⇒ ω = 2π/T = 2πf (2) βλ = 2π ⇒ β = 2π/λ (3) Settes (1) inn i (3) finner vi at β= 2π ω = . u/f u (4) Sammenhengen β = ω/u kan også sees på som definisjonen av β. Den sørger for at bølgen gitt ved cos(ωt − βz) får fasehastigheten u. Overbevis deg selv 1 om dette ved å tegne opp bølgen cos(ωt − βz) = cos(βz − ωt) ved forskjellige tider t, f.eks. t = 0 og t = 1. Noen parametre i elektromagnetisme Materialkonstanter: µ = µ r µ0 (permeabilitet) = r 0 σ (permittivitet) (konduktivitet, ledningsevne) (5) (6) (7) Ofte bakes σ inn i permittiviteten slik at permittiviteten blir kompleks. Den komplekse permittivieten blir da σ c = − j . (8) ω Her er det ofte ulike konvensjoner – det er ofte at i stedet refererer seg til den komplekse permittiviteten, og at man skriver = 0 + j00 , (9) der altså 0 er realdelen og 00 er imaginærdelen. Det at permittiviteten er kompleks (dvs. at σ 6= 0) betyr at et elektromagnetisk felt opplever tap. Fra Maxwells ligninger fås dispersjonsrelasjonen, som sier at for en plan bølge så er k 2 = c µω 2 . (10) Bølgeimpedansen er definert som forholdet mellom E- og H-feltet i en elektromagnetisk bølge, og er r µ η= . (11) c I vakuum er bølgeimpedansen r η0 = µ0 ≈ 377Ω. 0 Hvis vi antar tapsfrihet, så gir dispersjonsrelasjonen at √ µ √ ω √ 0 µ0 ω = n, k = µω = √ 0 µ0 c der brytningsindeksen er n= c , u (12) (13) (14) og 1 u= √ µ (15) er fastehastigheten i et medium, og c= √ 1 0 µ0 (16) er fasehastigheten i vakuum, dvs. lyshastigheten i vakuum. Brytningsindeksen n er altså definert som forholdet mellom lyshastigheten i vakuum og fasehastigheten i aktuelle mediet, og blir c n= = u √1 0 µ0 √1 µ r = 2 µ √ = r µr . 0 µ0 (17) For et ikke-magnetiserbart materiale som er vanlig i optikken, er µ = µ0 , p slik √ så da er brytningindeksen n = /0 = r . Bølge med tap Har her utelatt tidsavhengigheten exp(jωt) og realdel-tegnet (viser): Felt ∼ exp(−γz) = exp(−αz) exp(−jβz) (18) Her er den komplekse forplantningskonstanten γ = α + jβ. Vi ser at bølgen dempes med faktoren exp(−αz). Realdelen til forplantningkonstanten γ gir absorpsjonskoeffisienten α, og imaginærdelen gir bølgetallet β. Noen ganger brukes k i stedet for γ, sammenhengen er da γ = jk, slik at feltet får den romlige avhengigheten exp(−jkz). 3