TFE4130 Bølgeforplantning Noen parametre og enkle relasjoner for

Transcription

TFE4130 Bølgeforplantning Noen parametre og enkle relasjoner for
NTNU
Institutt for elektronikk og telekommunikasjon
TFE4130 Bølgeforplantning
Noen parametre og enkle relasjoner for
(elektromagnetiske) bølger
Tid
Periode: T
Frekvens: f = 1/T
Vinkelfrekvens: ω = 2πf
Rom
Bølgelengde: λ
Bølgetall (romlig vinkelfrekvens): β = 2π/λ
Bølgevektor, k-vektor: ~k
.
Tid og rom
Fasehastighet (hastigheten til f.eks. bølgetoppene):
up = u = ω/β
Gruppehastighet (hastigheten til en bølgepakke, energiforplantningshastighet):
ug = dω/dβ
Dispersjon vil si at bølgetallet β varierer med frekvens på en slik måte at
fasehastigheten blir frevensavhengig. Da blir også fasehastigheten 6= gruppehastigheten. Ulike frekvenskomponenter forplantes med ulik hastighet, slik
at en puls (i tidsdomenet) vil spres utover (pulsforbredning).
Tapsfri bølge
Felt ∼ Re exp[j(ωt − βz)] = cos(ωt − βz) eller
Felt ∼ Re exp[j(ωt − ~k · ~r)] = cos(ωt − ~k · ~r), med |~k| = β og ~r = (x, y, z).
Ofte uttrykker man størrelser og felt som visere. Da er det underforstått
at det skal multipliseres med exp(jωt) og etterpå tas realdelen for å finne
det fysiske, tidsvarierende feltet.
Noen enkle relasjoner
Tilbakelagt strekning = fart · tid, dvs. i løpet av en periode T har bølgen
gått
u
λ=u·T =
(1)
f
Den komplekse eksponentialfunksjonen exp[j(·)] er periodisk med periode
2π. Derfor må vi ha:
ωT = 2π ⇒ ω = 2π/T = 2πf
(2)
βλ = 2π ⇒ β = 2π/λ
(3)
Settes (1) inn i (3) finner vi at
β=
2π
ω
= .
u/f
u
(4)
Sammenhengen β = ω/u kan også sees på som definisjonen av β. Den sørger
for at bølgen gitt ved cos(ωt − βz) får fasehastigheten u. Overbevis deg selv
1
om dette ved å tegne opp bølgen cos(ωt − βz) = cos(βz − ωt) ved forskjellige
tider t, f.eks. t = 0 og t = 1.
Noen parametre i elektromagnetisme
Materialkonstanter:
µ = µ r µ0
(permeabilitet)
= r 0
σ
(permittivitet)
(konduktivitet, ledningsevne)
(5)
(6)
(7)
Ofte bakes σ inn i permittiviteten slik at permittiviteten blir kompleks. Den
komplekse permittivieten blir da
σ
c = − j .
(8)
ω
Her er det ofte ulike konvensjoner – det er ofte at i stedet refererer seg til
den komplekse permittiviteten, og at man skriver
= 0 + j00 ,
(9)
der altså 0 er realdelen og 00 er imaginærdelen. Det at permittiviteten er
kompleks (dvs. at σ 6= 0) betyr at et elektromagnetisk felt opplever tap.
Fra Maxwells ligninger fås dispersjonsrelasjonen, som sier at for en plan
bølge så er
k 2 = c µω 2 .
(10)
Bølgeimpedansen er definert som forholdet mellom E- og H-feltet i en elektromagnetisk bølge, og er
r
µ
η=
.
(11)
c
I vakuum er bølgeimpedansen
r
η0 =
µ0
≈ 377Ω.
0
Hvis vi antar tapsfrihet, så gir dispersjonsrelasjonen at
√
µ √
ω
√
0 µ0 ω = n,
k = µω = √
0 µ0
c
der brytningsindeksen er
n=
c
,
u
(12)
(13)
(14)
og
1
u= √
µ
(15)
er fastehastigheten i et medium, og
c= √
1
0 µ0
(16)
er fasehastigheten i vakuum, dvs. lyshastigheten i vakuum. Brytningsindeksen n er altså definert som forholdet mellom lyshastigheten i vakuum og
fasehastigheten i aktuelle mediet, og blir
c
n= =
u
√1
0 µ0
√1
µ
r
=
2
µ
√
= r µr .
0 µ0
(17)
For et ikke-magnetiserbart materiale
som er vanlig i optikken, er µ = µ0 ,
p slik √
så da er brytningindeksen n = /0 = r .
Bølge med tap
Har her utelatt tidsavhengigheten exp(jωt) og realdel-tegnet (viser):
Felt ∼ exp(−γz) = exp(−αz) exp(−jβz)
(18)
Her er den komplekse forplantningskonstanten γ = α + jβ. Vi ser at bølgen
dempes med faktoren exp(−αz). Realdelen til forplantningkonstanten γ gir
absorpsjonskoeffisienten α, og imaginærdelen gir bølgetallet β.
Noen ganger brukes k i stedet for γ, sammenhengen er da γ = jk, slik at
feltet får den romlige avhengigheten exp(−jkz).
3