TFE4130 Bølgeforplantning Noen parametre og enkle relasjoner for

NTNU
Institutt for elektronikk og telekommunikasjon
TFE4130 Bølgeforplantning
Noen parametre og enkle relasjoner for
(elektromagnetiske) bølger
Tid
Periode: T
Frekvens: f = 1/T
Vinkelfrekvens: ω = 2πf
Rom
Bølgelengde: λ
Bølgetall (romlig vinkelfrekvens): β = 2π/λ
Bølgevektor, k-vektor: ~k
.
Tid og rom
Fasehastighet (hastigheten til f.eks. bølgetoppene):
up = u = ω/β
Gruppehastighet (hastigheten til en bølgepakke, energiforplantningshastighet):
ug = dω/dβ
Dispersjon vil si at bølgetallet β varierer med frekvens på en slik måte at
fasehastigheten blir frevensavhengig. Da blir også fasehastigheten 6= gruppehastigheten. Ulike frekvenskomponenter forplantes med ulik hastighet, slik
at en puls (i tidsdomenet) vil spres utover (pulsforbredning).
Tapsfri bølge
Felt ∼ Re exp[j(ωt − βz)] = cos(ωt − βz) eller
Felt ∼ Re exp[j(ωt − ~k · ~r)] = cos(ωt − ~k · ~r), med |~k| = β og ~r = (x, y, z).
Ofte uttrykker man størrelser og felt som visere. Da er det underforstått
at det skal multipliseres med exp(jωt) og etterpå tas realdelen for å finne
det fysiske, tidsvarierende feltet.
Noen enkle relasjoner
Tilbakelagt strekning = fart · tid, dvs. i løpet av en periode T har bølgen
gått
u
λ=u·T =
(1)
f
Den komplekse eksponentialfunksjonen exp[j(·)] er periodisk med periode
2π. Derfor må vi ha:
ωT = 2π ⇒ ω = 2π/T = 2πf
(2)
βλ = 2π ⇒ β = 2π/λ
(3)
Settes (1) inn i (3) finner vi at
β=
2π
ω
= .
u/f
u
(4)
Sammenhengen β = ω/u kan også sees på som definisjonen av β. Den sørger
for at bølgen gitt ved cos(ωt − βz) får fasehastigheten u. Overbevis deg selv
1
om dette ved å tegne opp bølgen cos(ωt − βz) = cos(βz − ωt) ved forskjellige
tider t, f.eks. t = 0 og t = 1.
Noen parametre i elektromagnetisme
Materialkonstanter:
µ = µ r µ0
(permeabilitet)
= r 0
σ
(permittivitet)
(konduktivitet, ledningsevne)
(5)
(6)
(7)
Ofte bakes σ inn i permittiviteten slik at permittiviteten blir kompleks. Den
komplekse permittivieten blir da
σ
c = − j .
(8)
ω
Her er det ofte ulike konvensjoner – det er ofte at i stedet refererer seg til
den komplekse permittiviteten, og at man skriver
= 0 + j00 ,
(9)
der altså 0 er realdelen og 00 er imaginærdelen. Det at permittiviteten er
kompleks (dvs. at σ 6= 0) betyr at et elektromagnetisk felt opplever tap.
Fra Maxwells ligninger fås dispersjonsrelasjonen, som sier at for en plan
bølge så er
k 2 = c µω 2 .
(10)
Bølgeimpedansen er definert som forholdet mellom E- og H-feltet i en elektromagnetisk bølge, og er
r
µ
η=
.
(11)
c
I vakuum er bølgeimpedansen
r
η0 =
µ0
≈ 377Ω.
0
Hvis vi antar tapsfrihet, så gir dispersjonsrelasjonen at
√
µ √
ω
√
0 µ0 ω = n,
k = µω = √
0 µ0
c
der brytningsindeksen er
n=
c
,
u
(12)
(13)
(14)
og
1
u= √
µ
(15)
er fastehastigheten i et medium, og
c= √
1
0 µ0
(16)
er fasehastigheten i vakuum, dvs. lyshastigheten i vakuum. Brytningsindeksen n er altså definert som forholdet mellom lyshastigheten i vakuum og
fasehastigheten i aktuelle mediet, og blir
c
n= =
u
√1
0 µ0
√1
µ
r
=
2
µ
√
= r µr .
0 µ0
(17)
For et ikke-magnetiserbart materiale
som er vanlig i optikken, er µ = µ0 ,
p slik √
så da er brytningindeksen n = /0 = r .
Bølge med tap
Har her utelatt tidsavhengigheten exp(jωt) og realdel-tegnet (viser):
Felt ∼ exp(−γz) = exp(−αz) exp(−jβz)
(18)
Her er den komplekse forplantningskonstanten γ = α + jβ. Vi ser at bølgen
dempes med faktoren exp(−αz). Realdelen til forplantningkonstanten γ gir
absorpsjonskoeffisienten α, og imaginærdelen gir bølgetallet β.
Noen ganger brukes k i stedet for γ, sammenhengen er da γ = jk, slik at
feltet får den romlige avhengigheten exp(−jkz).
3