OPPGAVE 1 Temperaturen i et punkt (x, y, z) i rommet er gitt ved T(x
Transcription
OPPGAVE 1 Temperaturen i et punkt (x, y, z) i rommet er gitt ved T(x
OPPGAVE 1 Temperaturen i et punkt (x, y, z) i rommet er gitt ved T (x, y, z) = z + xy. 1. Hvor mye endres temperaturen i retningen [1, 1, 2] fra punktet (0, 1, 3)? 2. Finn tangentplanet til nivåflaten T (x, y, z) = 2 i punktet (1, 1, 0). 3. Finn de kritiske punktene til f (x, y) = T (x, y, 1), og avgjør om de er lokale maksimum eller minimum. OPPGAVE 2 En partikkel følger en kurve C der posisjonen ved tiden t ∈ [0, 2π] er gitt ved → r (t) = [cos t, 1, 1]. → 1. Finn hastigheten v (t) til partikkelen ved tiden t. 2. Hva er vinkelen mellom akselerasjonen og hastigheten ved t = π? 3. Beregn kurveintegralet Z cos(t)ds. C OPPGAVE 3 1. Beregn dobbeltintegralet Z 1Z x 0 ey dydx 0 ved å bytte integrasjonsrekkefølgen. 2. Beregn dobbeltintegralet Z Z dA, D der D er disken i xy-planet med radius 4 og sentrum i origo. 1 OPPGAVE 4 → Gitt kraftfeltet F (x, y, z) = [0, y, 2z]. → 1. Finn en potensialfunksjon f til F . → 2. Bestem arbeidet W som F utfører langs en kurve fra punktet (0, 1, 0) til (1, 0, 0). 3. Finn volumet V av området T avgrenset av planet z = 4 og flaten z = x2 + y 2 . 4. Bruk divergensteoremet til å beregne fluksen → Z Z S → F · n dS → til F ut av T gjennom overflaten S til T . 5. La D være lokket til S, og la C være randen til D med retning mot klokken sett ovenifra. Finn Z C → der G (x, y, z) = [3y, 2x, 0]. 2 → → G · T ds, Løsningsforslag til eksamen 2014 i MaIIIB. OPPGAVE 1. 1. Har ∇T = [y, x, 1]. Den retningsderiverte T (0, 1, 3) = √ D→ u 1 3 √ , [1, 0, 1] · [1, 1, 2] = 12 + 12 + 22 6 dvs. at temperaturen øker med √3 6 (grader). 2. Har 0 = ∇T (1, 1, 0) · [x − 1, y − 1, z − 0] = [1, 1, 1] · [x − 1, y − 1, z] = x + y + z − 2, så tangentplanet er x + y + z = 2. 3. Har f (x, y) = 1 + xy, og fx = y = 0 og fy = x = 0 gir origo som eneste kritiske punkt. Dette er et sadelpunkt ved 2-deriverttesten fordi 2 = 2 · 0 − 12 = −1 < 0. fxx fyy − fxy OPPGAVE 2. → 1. v (t) = [− sin t, 0, 0]. → → → 2. Har a (t) = [− cos t, 0, 0], så v (π)· a (π) = 0 fra 1., så de står vinkelrett på hverandre. 3. Z cos(t)ds = = → cos(t)| v (t)|dt 0 C Z 2π Z 2π 2 1/2 cos(t)(sin (t)) dt = Z 0√ u2 du = 0. 0 0 OPPGAVE 3. 1. Vi har 01 0x ey dydx = 01 y1 ey dxdy = ved delvis integrasjon blir e − 2. R R R R R1 0 [xey ]1y dy = 2. Dobbeltintegralet blir Z 2π Z 4 0 0 3 rdrdθ = 16π. R1 0 (1 − y)ey dy som OPPGAVE 4. → 1. f (x, y, z) = y 2 /2 + z 2 har ∇f =F . 2. W = f (1, 0, 0) − f (0, 1, 0) = −1/2, så kraftfeltet tar energi. 3. V = Z 2π Z 2 Z 4 0 0 r2 rdzdrdθ = 2π[2r2 − r4 2 ] = 8π. 4 0 → 4. Har ∇· F = 3, så → Z Z S → F · n dS = Z Z Z T → ∇· F dV = 3V = 24π. 5. Z C → → G · T ds = Z Z Z Z ∂G2 ∂G1 (2 − 3)dA = −π22 = −4π. − )dA = ( ∂y D D ∂x 4