Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse I

Institutt for matematiske fag
Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse I
Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss / Kari Hag (S3) / Per Hag (S7)
Tlf: 46419414
Eksamensdato: 8. oktober 2015
Eksamenstid (fra–til): 8:15–9:45
Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: D: Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt.
Annen informasjon:
Svar på oppgavene skrives på oppgavearkene.
Målform/språk: bokmål
Antall sider: 4
Antall sider vedlegg: 1
Kontrollert av:
Dato
Sign
Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt.
Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
MA1101 Grunnkurs i analyse I: Midtsemesterprøve, 8. oktober 2015 Side 1 av 4
Kandidatnummer: ............................
Del I
Kryss av alle korrekte svar. (Hver boks gir 0 eller 1 poeng.)
Eksempel Hvis x = 5, så er
• x>0 Oppgave 1
•
Hvis x =
√
2+√2
2− 3
√
1+√2
2− 3
•
x−6 < 0 , så er
• x et irrasjonalt tall
• x2 et irrasjonalt tall
n − 7n5
=
n→∞ 1 − 3n5
lim
• 1
• − 7/3
Oppgave 4
x−6 > 0 • x=1/2
• Det fins ingen løsning
• x et rasjonalt tall
• x2 et rasjonalt tall
Oppgave 3
•
Hvis |x − 1|3 = |x + 2|3 , så er x en løsning
• x=–1/2
• x=0
Oppgave 2
x<0 lim n −
n→−∞
• ∞ •
√
• 7/3
• ∞
n2 − n =
−∞ •
1/2 •
0 Side 2 av 4 MA1101 Grunnkurs i analyse I: Midtsemesterprøve, 8. oktober 2015
Oppgave 5

x cos 1 ,
La f (x) = 
x
0,
x>0
x≤0
• f er kontinuerlig når x 6= 0.
• f er kontinuerlig når x = 0.
• f er diskontinuerlig i x = 0.
• limx→∞ f (x) = ∞
Oppgave 6
• A=∞ √
x sin x
Sett A = lim
. Da er
x→∞
x
•
A=0 •
A>0 •
A<0 Del II
Her skal svaret begrunnes og de nødvendige mellomregninger taes med. (Hver
oppgave teller 4 poeng.)
Oppgave 7
Vis ved induksjon at
n
X
(2k − 1) = n2
k=1
for n ∈ N.
MA1101 Grunnkurs i analyse I: Midtsemesterprøve, 8. oktober 2015 Side 3 av 4
Oppgave 8
x i R.
Vis at funksjonen f (x) = x3 +x2 +10x+1 har minst ett nullpunkt
SVAR:
Oppgave 9
Finn
lim x e
x→−∞
SVAR:
−1
x
−1 .
Side 4 av 4 MA1101 Grunnkurs i analyse I: Midtsemesterprøve, 8. oktober 2015
Oppgave 10
Anta at f er kontinuerlig i [a, b], to ganger deriverbar i (a, b).
Anta at f 00 har nøyaktig ett nullpunkt i (a, b). Vis at f kan ha maks 3 nullpunkter
i [a, b].
SVAR:
Formelark for MA1101/MA6101
Eksponentialfunksjoner
Derivasjon:
Identiteter:
(ax )0 = ax ln a
ax ay = ax+y
spesielt
= ax−y
ax
ay
(ex )0 = ex
a−x = a1x
(ax )y = axy
Logaritmefunksjonen
Derivasjon:
Identiteter:
(ln |x|)0 = x1
ln(xy) = ln x + ln y
ln( xy ) = ln x − ln y
ln(xa ) = a ln x for x, y > 0
ln x1 = − ln x
Trigonometriske funksjoner
Derivasjon:
Identiteter:
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
(tan x)0 = cos12 x = 1 + tan2 x
(cot x)0 = − sin12 x
2
2
sin x + cos x = 1
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
cos x = ± √ 1
sin x = ± √ tan x
1+tan2 x
1+tan2 x
Eksakte verdier:
v
sin v
cos v
tan v
0 π/6
π/4
π/3 π/2
√
√
0 √1/2 √2/2
3/2
1
1 √3/2
2/2 1/2
0
√
0
3/3
1
3
−
Arcusfunksjoner
Derivasjon;
1
(arcsin x)0 = √1−x
2
1
(arctan x)0 = 1+x
2
1
(arccos x)0 = − √1−x
2
Annenordens differensligning



xn+2 + bxn+1 + cxn = 0
(r2 + br + c = 0)
Cr1n + Dr2n hvis to reelle røtter r1 6= r2
xn = Crn + Dnrn hvis én reell rot r 6= 0


hvis to komplekse røtter r, r
Crn + Crn