Hjelpeark, FYS2140 1 Fra kompendiet 2 Fra Griffiths

Hjelpeark, FYS2140
Her er
θ
spredningsvinkelen til fotonet. Intensiten får to top-
λ0 ,
per. Den første ved
1 Fra kompendiet
λ0 ,
det spredte fotonets bølgelengde, og
det opprinnelige fotones bølgelengde. Det siste forklares
med at et elektron kan være sterkt bundet til atomet slik
at fotonet ikke har nok energi til å rive det løs. Da kan vi
1.1 Fotoelektrisk eekt
betrakte kollisjonen som en kollisjon mellom et foton og et
atom. Den økte massen til atomet i forhold til elektronet gjør
at
Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Obser-
λC
blir mye mindre. Da blir
∆λ ≈ 0
slik at endringen i
bølgelengde ikke er observerbar.
V > 0: Frigjorte
V : Alle frigjorte
elektroner når anoden; strømmen ater ut. V < 0: Elektronene bremses, dras mot katoden. Stor nok motspenning (−|V0 |):
Ingen elektroner når anoden. Bindingsenergi w for elektronene. Svakest bundede w0 : Arbeidsfunksjonen. Ett elektron absorberer ett foton. Økt lysintensitet: Samme ν gir samme V0 ,
veres med elektrisk krets gitt ved gur 1.
elektroner dratt mot anoden. Store positive
1.4 Materiebølger
Materie har bølgeegenskaper, med bølgelengden gitt ved:
Foton
Fasehastighet:
vf =
Metall
h
p
λ=
men ere frigjorte elektroner som igjen gir større strøm.
Anode
ω
2πν
= 2π = νλ
k
λ
Gruppehastighet:
e−
vg =
dω
dk
Fasehastigheten er materiebølgens hastighet, gruppehastigheten er partikkelens og bølgepakkens hastighet.
1.5 Bohrs atommodell
Bohrradien er denert:
A
a0 =
Figur 1: Figur som illustrerer oppsettet ved observasjon av fotoelektrisk eekt.
4π0 ~2
= 0.529 Å
me2
Bølgelengden ved energioverganger er gitt ved:
1
ke2
=
λ
2a0 hc
1.2 Røntgenstråling
1
1
− 2
n2f
ni
!
2 Fra Griths
Elektroner mot metallplate. Elektronene bremses ned og avgir fotoner. Minimum bølgelengde, maks frekvens, blir avgitt
Alle ubestemte integraler går implisitt fra mins uendelig til
dersom elektronet bremses helt opp:
λmin
uendelig dersom ikke annet står.
hc
=
eVR
2.1 Generell teori
1.3 Comptonspredning
2.1.1 Kvantemekanikk i en dimensjon
Foton kolliderer med fritt elektron (neglisjerbar arbeidsfunk-
Schrödingerligningen:
sjon grunnet store energier). Fotoners bevegelsesmengde fåes
fra følgende formel ved å sette
E=
p
m = 0:
i~
p2 c2 + m2 c4
∂Ψ
~2 ∂ 2 Ψ
=−
+VΨ
∂t
2m ∂x2
Tidsuavhengig Schrödingerligning:
Som gir:
p=
h
λ
−
Ved å bruke bevaring av bevegelsesmengde og energi får man:
~2 ∂ 2 ψ
ˆ = Eψ
+ V ψ = Hψ
2m ∂x2
Tilhørende tidsledd:
h
∆λ =
(1 − cos θ) = λC (1 − cos θ)
me c
φ(t) = e−iEn t/~
1
Normalisering:
Vi har fortsatt kompletthet av stasjonære løsninger:
Z
|Ψ(x, t)| dx = 1
2
Ψ(~r, t) =
X
cnlm ψ(~r)e−iEnlm t/~
Forventningsverdien til possisjonen:
hxi =
Normeringintegralet blir:
Z
x|Ψ(x, t)|2 dx
ZZZ
Forventningsverdien til bevegelsesmengden:
hpi = −i~
Gitt en operator
ˆ p),
Q(x,
Z
Ψ∗
∂Ψ
dx
∂x
Z
|ψ(r, φ, θ)|2 r2 sin θ drdφdθ
0
0
0
er forventningsverdien til den tilhø-
Bevegelsesmengdeoperatoren blir:
rende fysiske størrelsen:
ˆ p)i =
hQ(x,
2πZ ∞
Z πZ
|ψ(x, y, z)|2 dxdydz
~
p~ˆ = −i~∇
~ ∂
ˆ
Ψ Q x,
Ψ dx
i ∂x
∗
V (~r) =
V (r). Separerer så variabler: ψ(r, φ, θ) = R(r)Y (φ, θ) =
R(r)F (φ)P (θ). Det gir:
Konsentrerer oss om sentralsymmetriske potensial:
Heisenbergs uskarphetsrelasjon:
σx σp ≥
~
2
Fm (φ) = eimφ ,
Alle (interessante) løsninger kan skrives på formen:
Ψ(x, t) =
∞
X
Plm
cn ψn (x)φn (t)
n=1
Konstantene
cn
kan bestemmes ved hjelp av Fouriers triks:
cn =
Z
m∈Z
|m|
d
= (1 − x2 )|m|/2
Pl (x),
dx
l
1
d
(x2 − 1)l
= Pl (x) = l
2 l! dx
Dette gir begrensningene
ψn∗ (x)f (x) dx
∞
X
og
|m| ≤ l.
Oppsummert gir
dette at:
Ylm (φ, θ) = Nlm eimφ Plm (cos θ)
s
(2l + 1)(l − |m|)!
Nlm = ε
4π(l + |m|)!
(−1)m , m > 0
ε=
1,
m≤0
Forventningsverdien til energien er gitt ved:
hHi =
l ∈ N0
x = cos θ
|cn |2 En
n=1
En kommutator mellom to operatorer er denert ved:
ˆ B]
ˆ = AˆB
ˆ −B
ˆ Aˆ
[A,
Ylm (φ, θ) kalles sfærisk harmoniske og er ortogo-
Funksjonene
Kommutatoren mellom possisjon og bevegelsesmengde er gitt
nale, det vil si:
ved:
[ˆ
x, pˆ] = i~
Z
Den kinetiske energien er gitt ved operatoren:
hT i =
2πZ π
0
pˆ2
2m
0
Ylm (φ, θ)∗ Ylm
(φ, θ) sin θ dθdφ = δll0 δmm0
0
0
For radialdelen
u(r) = rR(r).
R(r)
innfører man ofte en hjelpefunksjon
Det gir:
~2
~2 d2 u
+ V (r) +
l(l + 1) u = Eu
−
2m dr2
2mr2
2.1.2 Kvantemekanikk i tre dimensjoner
Den tidsavhengige Schrödingerligningen lyder:
Denne har altså samme form som Schrödingerligningen i én
∂Ψ(~r, t)
~ 2
i~
=−
∇ Ψ(~r, t) + V (~r)Ψ(~r, t)
∂t
2m
dimensjon;
u(r)
er en slags pseudobølgefunksjon, eektiv ra-
diell materiebløge. Leddet inne i klammeparantesen kalles det
eektive potensialet der det siste leddet er en sentrifugalterm.
Her er:
Vinkeldelen er allerede normert, så normeringsintegralet re-
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
1 ∂
1
∂
∂
1
∂2
2 ∂
= 2
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
∇2 =
duseres nå til:
Z
0
Den tidsuavhengige Schrödingerligningen lyder:
∞
r |R(r)| dr =
2
2
Z
∞
|u(r)|2 dr = 1
0
Det gjør at vi denerer den radielle sannsynlighetstetteheten:
~2 2
−
∇ + V (~r) ψ(~r) = Eψ(~r)
2m
P (r) = r2 |R(r)|2 = |u(r)|2
2
2.1.3 Spinn
2.1.5 Flerpartikkelsystemer
Alle partikler har et innebygget magnetisk dipolmoment
Felles bølgefunksjon
(spinn). Denne egenspinn er uløselig tilknyttet partikkelen, på
gitt ved
samme måte som dens ladning eller masse. Selv om spinnet
så for to partikler inngår summen av de to partiklers kinetiske
er en rent kvantemekanisk eekt, nnes det mer matematiske
energi:
Ψ(x1 , x2 , t). Sannsynlighetstettheten er
|Ψ(x1 , x2 )|2 . Schrödingerligningen er en energiligning,
analogier til angulærmoment. Noen fakta:
•
Dipolmoment:
µ~s = −ge
ge
•
e ~
S,
2me
virkning mellom partiklene. To muligheter:
•
Bare eksternt potensiale:
•
Vekselvirkning mellom partiklene:
U (x2 ).
U (x1 , x2 ) 6= U (x1 ) +
For to ikkevekselvirkende (ikke identiske) partikler har vi:
s), bosoner har
ψ(x1 , x2 ) = ψa (x1 )ψb (x2 )
s).
E = Ea + Eb
Kvantisering av spinnkomponent:
Sz = ms ~,
U (x1 , x2 ) = U (x1 ) + U (x2 ).
•
s(s + 1)~
Fermioner har halvtallig spinn (halvtallig
heltallig spinn (heltallig
ψ(x1 , x2 )+
Potensiell energi kan være både eksternt potensiale og veksel-
Kvantisering av totalspinn:
p
U (x1 , x2 )ψ(x1 , x2 ) = Eψ(x1 , x2 )
ge ≈ 2
er her den gyromagnetiske faktor.
~ =
S = |S|
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
−
−
2
2m1 ∂x1
2m2 ∂x22
ms = −s, −s + 1, . . . , s − 1, s
I kvantemekanikken kan vi ikke skille mellom identiske partikler, for eksempel to elektroner. Det betyr at vi må ha:
Spinn inkluderes i notasjonen av bølgefunksjonen på følgende
|ψ(x1 , x2 )|2 = |ψ(x2 , x1 )|2 ⇒
måte:
ψnlmms = ψnlm (r, φ, θ)χms
ψ(x1 , x2 ) = αψ(x2 , x1 ),
χ
α ± 1 tillatt. α = +1 gir bosoner med heltalα = −1 gir fermioner med halvtallig spinn. Skal
I 3D er kun
Dette er ikke et vanlig produkt, men symboliserer hva bølgefunksjonen består av.
|α|2 = 1
lig spinn,
oppfyller:
bølgefunksjonen beskrive fermioner må vi derfor konstruere
~ˆ2 χ = s(s + 1)~2 χ
S
Sˆz χ = ms ~χ
en antisymmetrisk bølgefunksjon (det er dette som kalles
α = −1). Da må enten romdelen være symmetrisk og spinndelen være antisymmetrisk, eller romdelen være antisymmetrisk
og spinndelen symmetrisk. Symmetrisk romdel:
Det faktum at elektronet har spinn medfører spinn-banekobling. Elektronets spinn-angulærmoment vekselvirker med
ψS = ψa (x1 )ψb (x2 ) + ψa (x2 )ψb (x1 )
strømsløyfen satt opp av protonet og medfører ytterligere
oppsplitting av energinivåene, men denne korreksjonen er li-
Antisymmetrisk:
ten i atomer:
ψA = ψa (x1 )ψb (x2 ) − ψa (x2 )ψb (x1 )
ˆ LS = −µ~s · B~int = konstant · L
~ ·S
~
H
For spinndelen, se seksjonen om spinn.
2.1.4 Addisjon av angulærmoment
Paulis eksklusjonsprinsipp
Dersom
a = b
blir
ψA = 0.
er svakt koblet. Derfor er de strengt tatt
Det gjør at eneste mulighet for fermioner er symmetrisk rom-
ikke kvantisert/bevart uavhengig av hverandre. Det er der-
del og antisymmetrisk spinndel. Altså kan to identiske fermio-
Har sett at
~
L
imot summen
og
~
S
~ +S
~
J~ = L
ner aldri ha samme sett kvantetall, dvs kan aldri være i samme
(totalt angulærmoment). Reglene
en-partikkeltilstand. Bosoner har ingen slik begrensning.
for å addere er de samme enten vi adderer to spinn, to angulærmoment eller en av hver. Vi har følgende regler:
J=
p
j(j + 1)~,
Jz = mj ~,
Hunds regel
j = |l − s|, |l − s + 1|, . . . , l + s
på
l,
Ved fylling av underskall (dvs en gitt verdi
for eksempel en p-orbital), foretrekker spinnene å være
i en symmetrisk tilstand; fyller opp ulike
mj = −j, −j + 1, . . . , j
ml
først. Dette mi-
nimerer Coulombenergien ved hjelp av exchange.
Vi har tre spinnkombinasjoner som er symmetriske, og utgjør
tripleten for spinn
1/2-partikler:
Exchange-vekselvirkning
En ren kvanteeekt som gjør
{↑, ↑} , {↓, ↓} , {↑, ↓} + {↓, ↑}
at identiske partikler med symmetrisk romlig bølgefunksjon
Den antisymmetriske kombinasjonen kalles singlet, og lyder:
antisymmetrisk romlig bølgefunksjon. Anta at vi har to par-
har en tendens til å være litt nærmere hverandre enn de med
tikler i tilstand
(x1 − x2 )2 .
{↑, ↓} − {↓, ↑}
Dette er summen av spinn for to spinn
1/2-partikler.
ψa
og
ψb .
Denerer så avstanden
Får da:
h(∆x)2 iS = h(∆x)2 iii − 2|hxiab |2
3
(∆x)2 =
3.3 Molekylspektra
h(∆x)2 iA = h(∆x)2 iii + 2|hxiab |2
Z
hxiab = ψa∗ xψb dx
Ikke alle overganger i rot-vib-spekteret er tillat. har følgende
føringer:
ii
indikerer ikke-identiske partikler. Korreksjonen
hxiab
for-
er null, så det
|l1 − l2 | = 1
er ikke nødvendig å ta hensyn til (anti)symmetrisering hvis
|n1 − n2 | = 1
svinner dersom overlappet mellom
ψa
og
ψb
partiklene er langt fra hverandre.
Kan altså ikke ha rene vibrasjons- og rotasjonsoverganger.
3 Molekyler
3.3.1 Nyttige bemerkninger
•
Bindingstyper:
•
Ionebinding (sterkest): Coulombtiltrekning mellom mot-
har samme egenverdi sier vi at tilstanden er degenerert.
•
Kovalent binding: Atomer deler elektroner. Eks: H2 . To
•
Hydrogenbinding: H
ner. Kalles kompatible variable. To operatorer som ikke
kommuterer kan ikke bestemmes skarpt samtidig. Kal-
mellom to negative ioner; for ek-
−
sempel HF2 .
•
To operatorer som kommuterer med hverandre kan bestemmes skarpt samtidig, det vil si ha felles egenfunksjo-
elektroner i singlettilstand i felles s-orbital.
+
til en operator kalles ope-
ratorens spektrum. Dersom to eller ere egenfunksjoner
satt ladde ioner. Eks.: NaCl.
•
{λn }
Et sett av egenverdier
les ikke-kompatible. Det nnes en uskarphetsrelasjon for
hvert par av ikke-kompatible variable. Har nemlig den
Van der Waals-binding: Dipol-dipol-vekselvirkning mel-
nære sammenhengen:
lom molekyler.
Molekylers vibrasjon og rotasjon: Bidrag til molekylers indre energi er elektronisk (orbitalene i enkeltatomer, modisert - er komplisert), rotasjon og vibrasjon. Har da
Eel + Erot + Evib .
2 2
σA
σB
≥
1
2i
h
i 2
ˆ
ˆ
A, B
E =
Vi stiller følgende matematiske krav til
•
3.1 Rotasjon
ψ:
Når man skal skjøte sammen bølgefunksjoner, det vil si
løsninger av Schrödingerligningen for forskjellige potensial, må
•
Ser på et diatomisk molekyl, rotasjon rundt massesenteret.
Klassisk utledning av rotasjonsenergien gir:
Erot
ψ(x)
være kontinuerlig i skjøtepunktet.
Tilsvarende som over må
dψ/dx være kontinuerlig i dette
punktet. Dette kravet gjelder ikke dersom det ene potensialet i skjøten går mot uendelig.
L2
=
2Icm
•
Bølgefunksjonen må være normerbar, det vil si at den
må gå mot
0
i grensene når
x → ±∞.
I kvantemekanikken får vi da:
Erot =
3.4 Løste problemer
~2
l(l + 1)
2Icm
3.4.1 Uendelig brønn
l = 0, 1, . . . kalles rotasjonskvantetallet. For to identiske atomer er l partall eller 0. Et diatomisk molekyl har to (ikke tre)
Har denert potensialet:
uavhengige rotasjonsakser. Rotasjon rundt molekylets akse
bidrar ikke til spekteret fordi atomene har så liten utstreknig
V (x) =
av treghetsmomentet er tilnærmet 0.
3.2 Vibrasjon
0,
∞,
dersom
Dette gir løsningene:
r
ψn (x) =
Eektivt potensiale mellom atomene i molekylet tilnærmes
med harmonisk oscillatorpotensialet. Et gir:
Evib =
n
1
n+
2
En =
kalles rotasjonskvantetallet, og
~ω,
n∈N
∆Evib ∆Erot
nπ 2
sin
x
a
a
n 2 π 2 ~2
,
2ma2
n∈N
De har følgende egenskaper:
E0
kalles nullpunktsenergi-
•
en og denne vibrasjonen er alltid tilstede. Energinivåene øker
lineært, der
0≤x≤a
ellers
typisk. I tillegg er
De er vekslende odde og like med hensyn på senteret av
brønnen:
∆Evib ' kT
•
som gjør at termisk eksitasjon av vibrasjon ikke skjer. Rota-
4
er lik,
ψ2
er odde og så videre.
Når man går opp i energi har hver tilstand en mer node:
ψ1
sjon eksiteres mye lettere.
ψ1
har ingen,
ψ2
har
1
og så videre.
•
De er ortogonale, det vil si:
Her er:
p
Z
l=
∗
ψm
(x)ψn (x) dx = δmn
δmn =
0,
1,
dersom
dersom
2m(V0 − |En |)
~
De odde (antisymmetriske) løsningen gir tilsvarende betingel-
m 6= n
m=n
sen:
l cot(la) = −κ
Dette er trancedentale ligninger og må løses numerisk eller
3.4.2 Harmonisk oscillator
grask. Ut fra disse ligningene kommer de tillatte energinivåene.
Har denert potensialet:
V (x) =
1
mω 2 x2
2
3.4.5 Potensialbarriere (tunnelering)
Grunntilstanden er gitt ved:
ψ0 (x) =
Denerer potensialet:
mω 1/4
π~
e
2
− mω
2~ x
V (x) =
V0 ,
0,
dersom
0≤x≤L
(område I og III)
ellers (område II)
De resterende er gitt ved heve- og senkeoperatorer denert
ved:
a± = √
Slik at:
0 < E < V0 .
Antar så
1
(∓ip + mωx)
2~mω
Schrödingerligningen gir da:
ψI (x) = Aeikx + Be−ikx
ψII (x) = Ceκx + De−κx
1
ψn = √ (a+ )n ψ0
n!
ψIII (x) = F eikx + Ge−ikx
De tilhørende energinivåene er gitt ved:
En =
1
n+
2
√
2mE
p~
2m(V0 − E)
κ=
~
k=
n ∈ N0
~ω,
3.4.3 Fri partikkel
V (x) = 0
skarp k :
Ved innsetting
bølge med
Antar ingen innkommende bølge fra høyre (G
i Schrödingerligningen fåes en plan-
så reeksjonskoesienten
Denne er slik den står ikke normaliserbar. Triks: Putt partikog vi kan la
ψ(0) = ψ(a). Den er da normaliserbar
a → ∞.
3.4.4 Partikkel i endelig boks
Ved kontinuitetskrav får man:
−1
(k 2 − κ2 )2
2
2
T = cosh (κL) +
sinh (κL)
4κ2 k 2
Har nå denert potensialet:
V (x) =
V0
−V0 ,
0,
dersom
dersom
= 0). Denerer
T:
og transmisjonskoesienten
2
B R = A
2
F T = A
ψ(x) = Aeikx + Be−ikx
kelen på en sirkel slik at
R
−a≤x≤a
|x| > a
Det betyr at
T > 0
for
E < V0 ,
som betyr at tunnelering
forekommer.
er her en denert positiv størrelse. Deler så inn området i
3 suksessivt, Det gir:
ψI (x) = Aeκx ,
3.4.6 Hydrogenatomet
x ≤ −a
ψII (x) = C sin(lx) + D cos(lx)
ψIII (x) = Be−κx ,
Her er:
κ=
Har nå Coulombpotensialet:
x≥a
V (r) = −
p
2m|En |
~
Må så ta hensyn til kontinuitetskravene (både at
1 e2
4π0 r
Setter denne inn i radialligningen. Løsningene klassiseres av
ψ(x)
et tredje kvantetall,
og
dψ/dx skal være kontinuerlig). For like (symmetriske) løsninC = 0, D 6= 0. Dette gir ligningen:
N, l < n .
n,
hovedkvantetallet, med føringene
Energispekteret får følgende form:
ger:
En = −
κ = l tan(la)
5
me e4
1
2~2 (4π0 )2 n2
n∈
4
Her er det mange tilstander med samme energi (ulike l og m
for gitt n). Finner sådegenerasjonsgraden: For hver l er det
2l + 1 muligheter for hva kvantetallet m kan være. Det gir:
d(n) =
n−1
X
2l + 1 = 2
n−1
X
l+
n−1
X
Nyttige matematiske relasjoner
Sfæriske koordinater:
x = r sin θ cos φ
1
y = r sin θ sin φ
n(n − 1)
z = r cos θ
+ n = n2
=2
2
dxdydz = r2 sin θ drdφdθ
l = 0 gir kulesymmetrisk elektronsky, l > 0 gir ikke en kulesymmetrisk elektronsky. Vi har ogsåoperatorer for angulær- Naturlige tall:
moment:
N = {1, 2, 3, . . .}
2
∂
1 ∂
1 ∂
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}
ˆ 2 = −~2
= l(l + 1)~2
sin θ
+
L
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
∂
Lˆz = −i~
= m~
∂φ
5 Nyttige fysiske konstanter
ˆ2 = L
ˆ 2x + L
ˆ 2y + L
ˆ 2z
L
l=0
l=0
l=0
Hva kan kvantetallene være?
n ∈ N,
hc = 1240 eVnm
l ∈ {N0 | l < n} ,
−l ≤ m ≤ l
~c = 197.3 eVnm
me = 0.5110 MeV/c2
n er kvantifisering av energi En , l er kvantisering av størrelsen
påangulærmomentet og m er kvantisering av z-komponenten
til angulærmomentet. Videre kan de tre relasjonene for egenfunksjoner være nyttige.
ˆ nm l = Eψ
ˆ nm l
Hψ
l
l
2
2
ˆ
L ψnml l = ~ l(l − 1)ψnml l
ˆ z ψnm l = ~mψnm l
L
l
3.4.7
l
Stern-Gerlach-eksperimentet
~
Et hydrogenatom i et inhomogent B-felt
forventer man avbøyning grunnet hydrogenatomets dipolmoment:
µ
~ =−
e ~ˆ
L
2me
Dette fordi en dipol vil påvirkes av en kraft som er proposjonal
med Lz = m~. Forventer da en linje påskjermen ved l = m =
0. Det ble derimot observert to linjer. Forklaring: Elektronets
egenspinn.
3.4.8
Zeemaneffekt
~
Dersom et hydrogenatom beveger seg i et homogent B-felt
før Hamiltonoperatoren et tilleggsledd grunnet hydrogenets
dipolmoment. Velger B-feltet til åvære i z-retningen. Da blir
den nye Hamiltonoperatoren:
2
~ 2 + V (r) + eB Lz
ˆ =H
ˆ0 − µ
~ =−~ ∇
H
~ ·B
2m
2me
Det gir at energispekteret endres:
Eny = Egammel +
eB
eB
Lz = Egammel +
m~
2me
2me
Den normale Zeemaneffekten er nettopp at energien ikke lenger bare er avhengig av n, men ogsåav m slik at degenerasjonen splittes opp i B-feltet. Dette fører igjen til oppsplitting
av spektrallinjene. Ved l = 0 er m = 0, såher skal det ikke bli
noen oppsplitting av spektrallinjene. I praksis er oppsplittingen enda litt mer komplisert pågrunn av spinn.
6