Ja - Geomatikk
Transcription
Ja - Geomatikk
1 INSTITUTT FOR GEOMATIKK NTNU ..\fag\g2\geo-ø4f-00.doc/201100ts SIB6020 GEODESI. Høsten 2002 Eksempeløving (4): GPS-vektorer. Nøyaktighetsmål og vektor-transformasjon Løsningsforslag Oppgave 1. Nøyaktighetsmål på målte GPS-vektorer Beregner bare for den ene vektoren: Ladehammeren-Kuhaugen. Tilsvarende beregninger også for den andre vektoren. Holsens GPS kompendium brukes. (a) Varians/kovariansmatrisa for avstand/retningsvinkel/senitvinkel for den dekomponerte GPSvektor. GPS-vektoren Ladehammeren-Kuhaugen: Av datautskriften finnes korrelasjonsmatrisa K, variansene på ∆X, ∆Y, ∆Z i det geosentriske koordinatsystemet, løsning på vektoren (∆X, ∆Y, ∆Z) eller også ∆Bredde =Delta lat og ∆Lengde=Delta lon. 1,0000000 0,1041172 0,2904743 K = 0,1041172 1,0000000 0,2569390 0,2904743 0,2569390 1,0000000 σ∆X = 0,361 mm σ∆Y = 0,283 mm σ∆Z = 0,829 mm NB: Urealistiske lave verdier (?) (Bruker mm, ikke m, som benevning for å få håndterlige tall i beregningene) Beregner varians/kovariansmatrisa, Σ, etter ligning 1.2 i kompendiet. (1) I det geosentriske koordinatsystemet: Σ CTRS 2 σ XX σ XY σ XZ 0,130321 0,01063693 0,08692995 2 = σ XY σ YY σ YZ = 0,01063693 0,080089 0,0602797 benevning mm2 2 σ 0,687241 XZ σ YZ σ ZZ 0,08692995 0,0602797 Videre til det lokalhorisonterte koordinatsystemet med origo i startpunktet Ladehammeren. Bruker feilforplantningsloven på ligning 1.15 (transformasjonsformelen), får ligning 12 på side 18 i kompendiet 2 Trenger bredde og lengde for Ladehammeren. Transformerer de oppgitte NGO1948-verdiene med Holsenprogrammet BLXY. NB: Ikke bruk navigasjonsløsningen, da den er for unøyaktig ved vektortransformasjoner (men kanskje nøyaktig nok for beregninger av nøyaktighetsmål). Ladehammeren: B = 63,446788294° L = 10,431930414° (NGO1948-ellipsoiden) Transformasjonsmatrisa i ligning 12: TLADE − 0,879733815 − 0,1619682033 0,4470287635 = − 0,1810672526 0,9834707164 0,0000000 0,4396396983 0,0809422700 0,8945195831 (2) I det lokalhorisonterte koordinatsystemet med origo i startpunktet Ladehammeren (x, y, z)LG. Vi ser at det også her blir svært lave verdier på elementene i varians/kovariansmatrisa: Σ LG σ xx2 σ xy σ xz 0,16622 0,01858 0,16397 2 = T ⋅ Σ CTRS ⋅ T T = σ xy σ yy σ yz = 0,01858 0,07795 0,03939 benevning mm2 2 σ xz σ yz σ zz 0,16397 0,03939 0,65348 (3) Til slutt en transformasjon/dekomponering til avstand, senitvinkel og retningsvinkel: Beregner avstand, senitvinkel og retningsvinkel etter formlene i 1.18 side 11. x ∆X − 1723,7639 = 286,4016 y = T ⋅ ∆Y z ∆Z LG CTRS 50,9067 Kontroll av skråavstanden: Pytagoras gir: SLG = 1748,1360 og SCTRS = 1748,1360, ser OK ut. NB: Denne kontrollen er ikke gjennomgripende, for eksempel gir feile verdier på bredde og lengde en OK kontroll, men likevel feile koordinater. Beregner horisontal-avstand, asimut og senitvinkel ved bruk av ligningene 1.18: SHOR = 1747,3946 m α = 170,56654026° z = 88,33127879° Beregner F-matrisa ved ligning 2.13 side 19, benevningen er mm og mgon. I ligning 2.13 gis den matematiske sammenhengen mellom størrelsene i det lokalgeodetiske systemet og de avledede størrelsene horisontal-avstand, asimut og senitvinkel. Transformasjonsmatrisa F er den vi trenger for å bruke feilforplantningsloven (varians/kovariansforplantning): 0 − 0,005971365 − 0,035939822 F = − 0,986477 0,163902 0 0 0 0,036417063 3 Beregner varians/kovariansmatrisa (Σ-matrisa) for retningsvinkel, avstand og senitvinkel ved ligning 2.14. 1,1458 ⋅ 10 −4 1,1604 ⋅ 10 −3 − 8,7217 ⋅ 10 −5 Σα ,S ,Z = F ⋅ Σ LG ⋅ F T = 1,1604 ⋅ 10 −3 − 5,6553 ⋅ 10 −3 0,1578 − 8,7217 ⋅ 10 −5 − 5,6553 ⋅ 10 −3 8,6665 ⋅ 10 −4 Av matrisa får vi blant annet ut standardavvikene på retningsvinkel, avstand og senitvinkel. Fremdeles har vi ganske lave verdier på nøyaktighetsmålene: σα = 0,0107 mgon (b) σS = 0,40 mm σz = 0,0294 mgon Empiriske verdier (1) Beregn variansene for avstand/retningsvinkel/senitvinkel. NB: Bruker (5 mm + 1 mm/km) for horisontalavstand og (10 mm + 1 mm/km) for høyde i stedet for verdiene på side 19. De er mer realistiske verdier i dag. Side 16 i Holsens GPS-kap.III gir en mulig oppskrift: Utgangspunkt er standardavvik for horisontalavstand og høydeforskjell. Feilforplantningsloven gir formlene for varians for retningsvinkel, avstand og senitvinkel Tallverdier ved å bruke formlene i kapittel 2.4.2. NB: Bruk helst ikke bruksformlene, bruk originalformlene uten innsatte verdier! σS = (52 + (1 ⋅ 1,747)2 )0,5 = 5,30 mm σHØYDE = (102 + (1 ⋅ 1,747)2 )0,5 = 10,15 mm σα = 0,193 mgon σz = 0,370 mgon Vi ser at vi nå får mer realistiske verdier på nøyaktighetsmålene (2) Angi med formler hvordan den fullstendige varians/kovariansmatrisa kan beregnes. Må beregne/simulere ei korrelasjonsmatrise, K, som tar vare på korrelasjonene mellom de tre komponentene. Beregnes av korrelasjonsmatrisa for ∆X, ∆Y, ∆Z i det geosentriske koordinatsystemet, se (a). I Gemini finnes K-matrisa ved å velge Q-filen i Sat.obs-gardina. Ved simulering kan det antas verdier i K-matrisa (for eksempel standardverdier), se mer om dette i GPSprogrammene i Gemini og V/G. Beregner kovariansene, tilsvarende som i (a). (c) Vurdering av resultatene av de to beregningene. Har: Lave beregnede verdier i (a) og realistiske verdier i (b). Ulempen i (b) er at vi der ikke tar hensyn til at forskjellige forhold under målingene (geometri, støy osv) kan gi vektorer av ulik kvalitet. Dette tas det hensyn til i (a). Hvordan ville du ha fastsatt nøyaktighetsmålene på de målte vektorene? 4 En vanlig måte nå, er å skalere opp nøyaktighetsmålene i (a) med en faktor på 8-10, avhengig også av utstyrsmerke. Vi tar da vare på at vektorene kan ha en ulik kvalitet og vi får realistiske nøyaktighetsmål. Se også øving 5b: Omdanning av vektorer (i V/G-Land), det forutsettes at vi gjør et valg om metode for beregning av nøyaktighetsmålene. (d) Frivillig. Sjekk om tallsvarene i løsningsforslaget er OK. (V/G-Land og GeminiNETT/GPS) Er (dessverre) ikke utført enda, hadde vært en grei kontroll på de manuelle beregningene. Oppgave 2. Transformasjoner av satellittvektorer Blir en del av de samme beregningene som i oppgave 1…. Viser framgangsmåten for vektoren Solemsvåttan-Holtermannsveien. Tilsvarende beregninger for Ladehammeren- Holtermannsveien. (a) Lokal geodetiske koordinater for GPS-vektorene fra Solemsvåttan til Holtermannsveien og fra Ladehammeren til Holtermannsveien. (Transformasjon til et lokalhorisontert system.) GPS-vektorene er i WGS-84. Regner om GPS-vektoren Solemsvåttan-Holtermannsveien fra et geosentrisk til et lokalhorisontert koordinatsystem med origo i Solemsvåttan. Problem: Vi har ikke bredde og lengde i WGS-84 for Solemsvåttan. Løsning: Bruker ϕ og λ beregnet av de oppgitte NGO1948-koordinatene. Dette er ca riktig, da både NGO1948- og WGS84-ellipsoidene et orientert på tilnærmet lik måte, se bl.a. landmålingsmanualene om omdanning av vektorer. Bruker programmet BLXY og får for Solemsvåttan (på NGO1948-ellipsoiden) ϕ = B = 63,40876658° λ = L = 10,58841577° (Kunne også ha brukt WSKTRANS, en offisiell transformasjon, men akkurat denne transformasjonen utføres ikke i WSKTRANS.) Transformasjonsformel 1.15 på side 11 (se også oppgave 1) gir koordinatene: x 521,400 Lokale koordinater for Holt. med origo i Sol.: y = − 9255,411 z LG − 358,706 En enkel kontroll kan gjøres for å kontrollere at transformasjonen er blitt riktig, er å beregne vektorens lengde (skråavstand) både fra de lokale koordinatene og fra GPS-vektorens komponenter. NB: Denne kontrollen er ikke gjennomgripende, for eksempel gir feile verdier på bredde og lengde en OK kontroll, men likevel feile koordinater. Disse kårdeavstandene (skråavstandene) skal være helt like: Sskrå = 9277,0234 m. (b) Beregn avstand og retningsvinkel fra Solemsvåttan til Holtermannsveien i kartplanet. Kontroller med verdier beregnet av NGO-koordinatene. Beregn asimut og senitvinkel for retningen Sol-Holt av de lokale koordinatene (LG) i (a): 1.18-formlene:α = invtan (y / x) = 273,224328° = 303,582587 gon 5 zv = invcos (z / Sskrå) = 92,215955° Trenger en god verdi på krumningsradiusen. Program KRRAD (Holsen) gir krumningsradius i retningen Sol-Holt: RS-H = 6394549,7 m Bruker formler i kapittel 2 i kompendiet. (1) Avstand i kartplanet. Se figur 5 side 12 i kompendiet. Beregner først vinkelen γ, der ShB er horisontal avstand i høyde HB for Holtermannsveien, HA er høyden i Solemsvåttan (bruker oppgitt ortometrisk høyde først, se senere om geoidehøyde) og z er koordinat i LG-systemet: S hB 9270,0859 −3 = inv tan γ = inv tan = 1,449669985 ⋅ 10 rad 6394549,7 + 422,630 − 358,706 R + HA + z Får avstand i H = 0 ved formel (3), men i høyde med geoiden, siden ortometriske høyder er brukt: S0G = 9269,9868 m Må korrigere videre ned til ellipsoiden (kunne ha gjort det direkte ved å bruke ellipsoidisk høyde i γ-formelen). Se at for NGO1948 er geoidehøyden ca 10 m i måleområdet (eksakte verdier beregnes i (b). S0ELL = 9269,9723 m (er ellipsoidisk avstand) Bergn kartprojeksjonskorreksjon for avstand ved å bruke formelen 4.60 i Geodesi del 2. Kan sløyfe siste leddet (bruke kuleformel), da kort avstand, altså formel (2.5) kan brukes. Korreksjon fra ellipsoiden til kartplanet: ∆D = +0,0154 m. Avstand i kartplanet: DK = SELL + ∆D = 9269,9723 + 0,0154 = 9269,988 m Avstand beregnet av NGO-koordinatene: DKOO = 9269,901 m , en differanse på 0,085 m …. Tja….er det koordinatene eller målingene som gir en noe stor forskjell? (2) Retningsvinkel i kartplanet Beregn meridiankonvergensen i Solemsvåttan, c, bruker programmet KONVERG av Holsen: c = -0,133638 gon. NB: Husk på at det er lengdeforskjellen mellom Hovedmeridianen og punktets lengdegrad som skal inn i formelen! NGO-akse 3 er nord-aksen. Beregn kartprojeksjonskorreksjon fra ellipsoide til kart, δ, formel i Holsens Geodesi del 2, eller formel (2.8), kuleformel er OK da korte avstander. δ = -0,000 0041 gon. (lav verdi, da siktet er ca øst-vest) Skal ikke korrigere for loddavvik, da beregningsflaten i grunnriss er ellipsoiden og ellipsoidisk avbildning. Retningsvinkel i planet: ϕ = t = α + |δ |+| c| = 303,71623 gon Retningsvinkel beregnet av NGO-koordinatene: ϕ = 303,71567 gon Kontrollen ga en differanse på 0,56 mgon …..OK?….Ja (c) Beregn senitvinkelen fra Solemsvåttan til Holtermannsveien fra gitte høyder og koordinater. Sammenlign med senitvinkelen beregnet av GPS-målingene. Velger å beregne ∆H ortometrisk fra GPS-målingene og deretter sammenlikne ∆H-verdiene fra de oppgitte ortometriske høydene. 6 Beregner ZELL fra de lokalhorisonterte koordinatene i (a), formel 1.18 i kompendiet, er refraksjonsfri. ZELL = 92,215955° = 102,462172 gon Må korrigere for jordkrumning. Velger å korrigere senitvinkelen (kunne også ha beregnet korreksjonen i meter), formel fra boka ”Grunnleggende landmåling”: D ⋅ sin z ∆ZJORD = skrå ⋅ ρ = -0,046144 gon 2R Må korrigere for loddavvik, da ortometriske høyder, formel side 24: ∆ZLODD = ∆ZV = 0,141 + 0,480 =+0,621 mgon Ortometrisk senitvinkel beregnet av GPS-målingene (er du i tvil om fortegnene, så tegn figur!!): ZORT = ZELL + ∆ZJORD - ∆ZLODD = 102,415407 gon Ortometrisk høydeforskjell beregnet av GPS-målingene, formel fra Grunnleggende landmåling, setter DKART = DH=0 da y-verdiene er forholdsvis små.: ∆H = DH=0 ⋅ (1 + HMIDDEL / R) ⋅ (1 / tan ZORT ) = -351,896 m Ortometrisk høydeforskjell beregnet av oppgitte verdier (NN54): ∆H = -351,851 m En differanse på 0,045 m …. Det må da være svært OK….da ortometrisk bestemte høyder bestemt ved klassiske målinger kan være såpass usikre. (d) Beregn geoidehøydene og de ellipsoidiske høydene i Holtermannsveien og Solemsvåttan, ved å bruke den geoidehøydemodellen som er beskrevet. Bruker geoidehøydemodellen på side 28, der det lokale origo (sentralpunktet) er i Ladehammeren som har geoidehøyde N = 10,000 m (ellipsoide-plassering i datum NGO1948). Husk å gjøre om de oppgitte loddavikskomponentene fra mgon til radianer i formelen! N = -ξ ⋅ ∆x - η ⋅ ∆y + NLADEH = -3,93327 ⋅ 10-5 ⋅ ∆x + 7,55553 ⋅ 10-6 ⋅ ∆y + 10,000 Bergner geoidehøydene i Holtermannsveien og Solemsvåttan: NLADEH = -ξ ⋅ 0 - η ⋅ 0 + 10,000 = = NHOLT = -3,93327 ⋅ 10-5 ⋅ (-3722,963) + 7,55553 ⋅ 10-6 ⋅ (-1455,776) + 10,000 = NSOL = -3,93327 ⋅ 10-5 ⋅ (-4263,699) + 7,55553 ⋅ 10-6 ⋅ 7798,340 + 10,000 = Ellipsoidiske høyder: 10,000 m 10,135 m 10,227 m Lade = 79,510 m Holt = 80,914 m Sol = 432,857 m Som kontroll kan det regnes med N-formelen fra Holt til Sol, denne gang med lokalt origo i Holt: => OK NSOL = -3,93327 ⋅ 10-5 ⋅ (540,736) + 7,55553 ⋅ 10-6 ⋅ 9254,116 + 10,135 = 10,226 m