Komplexa tal. - Linear Algebra

KAPITEL 5
Komplexa tal.
”Your momma thinks square roots are vegetables”
(f¨orol¨ampning i ett Calvin och Hobbesalbum)
1. Introduktion.
1.1. Bakgrund. Att n˚
agot a¨r ett tal inneb¨ar l¨ost sagt att det ska g˚
a att r¨akna med
det, ungef¨ar som man kan r¨akna med vanliga heltal. Allts˚
a att samma r¨aknelagar - t ex den
distributiva lagen - ska g¨alla. Vi har st¨ott p˚
a flera typer av tal f¨orutom heltal (betecknade
med Z), n¨amligen rationella tal (allts˚
a kvoter mellan heltal, betecknade Q) och reella tal
eller o¨andliga decimalbr˚
ak (betecknade med R). Ytterligare en typ ¨ar komplexa tal.
De komplexa talen har tv˚
a ursprung. Ett ¨ar algebraiskt, och id´ehistoriskt tankev¨ackande:
i 1500-talsformler f¨or r¨otter f¨or tredje och fj¨ardegradsekvationer dyker det upp kvadratr¨otter
ur negativa tal, som ett n¨odv¨andigt mellanled. S˚
adana finns ju inte, enligt de definitioner
vi hittils anv¨ant oss av, och det ans˚
ag man ocks˚
a p˚
a medeltiden. Men det var tekniskt
bekv¨amt att behandla kvadratr¨otterna som ett slags tal, fast ”imagin¨ara”, p˚
a l˚
atsas, till
skillnad mot de verkliga, ”reella” talen. Slutresultaten blev ju ¨and˚
a l¨osningar som var
riktiga reella tal, och det kunde kollas med ins¨attning av r¨otterna att denna utflykt i
fantasin gav korrekta resultat.
Efter n˚
agra hundra ˚
ars komplext slavarbete och i ett mer filosofiskt sofistikerat tankeklimat, best¨amde matematiker sig f¨or att att ge de komplexa talen samma status som
de reella - d v s de existerar. Man utvecklade kring 1800 den teori f¨or dem som vi strax
ska g˚
a igenom. Detta skedde ocks˚
a under p˚
averkan av det andra ursprunget till intresset
f¨or dem - det geometriska. Visst ¨ar det s˚
a att reella tal ¨ar som mest ¨overtygande och dessutom anv¨andbara n¨ar vi utnyttjar dem f¨or att beskriva ett l¨age l¨angs en linje och ser dem
som punkter l¨angs den rella tallinjen. Addition och subtraktion kan dessutom p˚
a linjen
tolkas som geometriska operationer d¨ar vi flyttar punkter. D˚
a uppst˚
ar naturligt fr˚
agan:
kan vi inte g¨ora detsamma i planet? (Eller rummet?) Med syftet st¨allt p˚
a att f¨orenkla en
del geometri, t ex vinkelber¨akningar. Vi ska se att de komplexa talen svarar precis mot
punkter i ett talplan, och multiplikation och addition av dem blir allts˚
a ”multiplikation”
och ”addition” av punkter. (Att detta var praktiskt anv¨andbart, indikeras av att en av
63
64
5. KOMPLEXA TAL.
pionj¨arena f¨or detta geometriska syns¨att var en lantm¨atare - dansken Caspar Wessel ca
1800.)
I en viss mening ¨ar det trots allt mycket enklare att ha att g¨ora med o¨andliga decimalbr˚
ak a¨n med ¨andliga. Om vi inskr¨anker oss till ¨andliga decimalbr˚
ak, s˚
a finns det t
2
ex ingen l¨osning till ekvationen 3x = 1, eller x = 2. Det finns f¨orst˚
as n¨armev¨arden till
l¨osningar, allts˚
a ¨andliga decimalbr˚
ak x f¨or vilka 3x ≈ 1 och x2 ≈ 2, men ska vi arbeta
med dessa i praktiken, tvingas vi hela tiden bokf¨ora hur exaktheten i dessa n¨armev¨arden
f¨or¨andras i olika matematiska r¨akningar, tex n¨ar vi multiplicerar med riktigt stora tal.
Det ¨ar vad man m˚
aste g¨ora i numerisk matematik och ofta i till¨ampningar av matematik.
D¨arf¨or ¨ar det faktiskt mycket enklare att kunna ta till o¨andliga decimalbr˚
ak, veta t ex
2
att det alltid existerar l¨osningar till x = a ≥ 0, och bara bekymra sig om l¨osningarnas
decimaler n¨ar man verkligen m˚
aste, eller det okomplicerade livet i R mist sin oskuldsfulla
tjusning. P˚
a ett liknande s¨att g¨or de komplexa talen livet enklare. Vi ska se n˚
agra exempel
p˚
a detta, t ex hur ekvationer alltid har l¨osningar, men det finns m˚
anga fler. Komplexa tal
a v¨asentliga f¨or m˚
anga till¨ampningar, t ex i teoretisk fysik eller signalbehandling,
¨ar ocks˚
och ¨aven, osannolikt nog, f¨or snabba moderna algoritmer f¨or att multiplicera ihop heltal
p˚
a datorer.
2. Definition.
F¨orst ska vi ge en formell definition, som inte g¨or n˚
agon glad, och sedan ska vi se hur
enkelt det ¨and˚
a ¨ar att r¨akna med komplexa tal i praktiken.
Definition 13. Ett komplext tal z ¨ar ett talpar z = (a, b) av reella tal a, b. Summan
av tv˚
a komplexa tal definieras genom addition komponentvis:
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ),
medan multiplikation definieras av en mer komplicerad formel
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).
M¨angden av de komplexa talen betecknas med C.
Notera att additionen ¨ar enkel och sker koordinatvis. Den ¨ar f¨or ¨ovrigt precis densamma som additionen av vektorer i R2 , s˚
a redan h¨ar har vi en koppling till geometrin i
planet. Multiplikationen verkar d¨aremot uppsatt p˚
a en h¨oft, och visst ser det osannolikt
ut att den ska f¨olja vanliga multiplikationsregler?
H¨ar ¨ar n˚
agra direkta konsekvenser av definitionen.
Exempel 47. (a1 , a2 , b, c, d ∈ R)
1) (1, 1) · (1, 1) = (0, 2)
2) (a1 , 0) + (a2 , 0) = (a1 + a2 , 0)
2. DEFINITION.
3)
4)
5)
6)
7)
65
(a1 , 0) · (a2 , 0) = (a1 a2 , 0)
(a1 , 0) · (c, d) = (a1 c, a1 d).
(a, b) · (1, 0) = (a, b)
(a, b) + (0, 0) = (a, b)
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0).
Definitionen ovan av multiplikation och addition ¨ar f¨orst˚
as l¨att att till¨ampa, men
samtidigt sv˚
ar att f˚
a k¨ansla f¨or. F¨or att f¨orenkla detta ska vi f¨orst se att de reella talen
faktiskt ¨ar inneh˚
allna i de komplexa talen (fast under en pseudonym). Om vi n¨amligen
tittar p˚
a 2)- 3) i exemplet ovan, ser vi att komplexa tal av typen (a, 0) beter sig precis som
vanliga reella tal a under multiplikation och addition. Vi upprepar f¨oljande l¨attverifierade
regler:
Sats 20. (a1 , a2 , c, d ∈ R)
1) (a1 , 0) + (a2 , 0) = (a1 + a2 , 0)
2) (a1 , 0) · (a2 , 0) = (a1 a2 , 0)
3) (a1 , 0) · (c, d) = (a1 c, a1 d).
Den sista regeln s¨ager att multiplikation med (a1 , 0) bara inneb¨ar att varje koordinat
av det komplexa talet (c, d) multipliceras med a1 . Den operationen dyker ocks˚
a upp i R2
som multiplikation av en vektor med en skal¨ar.
Vi kommer nu ¨overens om att det reella talet a och det komplexa talet (a, 0) bara
a beteckningar f¨or samma tal, och har d¨armed att de reella talen ¨ar inneh˚
allna i de
¨ar tv˚
komplexa. Eftersom den algebraiska strukturen ¨ar densamma - multiplikation och addition
beter sig likadant - ger detta inte n˚
agra problem med r¨akningar. (Detta sker med samma
sj¨alvklara moraliska r¨att som vi l˚
ater heltalen vara en del av de rationella talen, genom
att identifiera ett heltal m med br˚
aket m/1). Vi kan d¨armed identifiera det komplexa
talet (a, 0) med det reella a. Nu kommer den avg¨orande f¨orenklingen. Vi kan skriva varje
komplext tal z = (a, b) som
z = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a + b · (0, 1),
d¨ar vi i sista likheten anv¨ander identifikationen mellan a och (a, 0), samt b och (b, 0). Vi
sammanfattar.
Sats 21. Definiera i := (0, 1). Varje komplext tal z = (a, b) kan skrivas som
z = a + bi,
a, b reella tal. Det komplexa talet i kallas den imagin¨ara enheten.
Detta ¨ar det vanliga s¨attet att skriva komplexa tal p˚
a, och det ¨ar den form av talen
med vilken man b¨or l¨ara sig r¨akna med dem. L¨agg m¨arke till att vi har a + 0 · i = a och
0 + bi = bi.
66
5. KOMPLEXA TAL.
3. Att r¨
akna p˚
a riktigt med komplexa tal.
Enligt definitionen p˚
a multiplikation ¨ar
i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0).
Allts˚
a a¨r kvadraten p˚
a det komplexa talet i det reella talet −1:
i · i = i2 = −1,
s˚
a det finns ett komplext tal vars kvadrat ¨ar −1! Varf¨or utropstecknet? Jo, n˚
agot s˚
adant
reellt tal finns f¨orst˚
as inte. (Genom en fiffig nydefinition av multiplikation har vi fixat en
kvadratrot till −1, och om l¨asaren k¨anner att det ligger n˚
agot av bilskojeri ¨over detta, och
v¨agrar bli impad, s˚
a ¨ar det inte helt fel. Men vi ˚
aterkommer till varf¨or detta inte ¨ar ett
fall f¨or allm¨anna reklamationsn¨amnden om ett tag.) Vi ska se att identiteten i2 = −1 ¨ar
s˚
a gott som det enda man beh¨over komma ih˚
ag av multiplikationsformeln i definitionen
av komplexa tal. Ty addition
(a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i,
a i som en slags
¨ar ju bara samma typ av addition som vi haft f¨or polynom - t¨ank p˚
variabel, typ x. Multiplikation beter sig ocks˚
a som multiplikation av polynom. Enligt den
jobbiga definitionen av multiplikation ovan ¨ar
(a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i.
Men det ¨ar samma resultat som vi f˚
ar om vi bara r¨aknar p˚
a och anv¨ander den distributiva
lagen vid multiplikation ev tv˚
a parenteser.
(a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) =a1 a2 + a1 b2 i + a2 b1 i + b1 b2 i2 =
=(a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i.
Mer precist: den f¨orsta likheten h¨ar ¨ar precis vad vi skulle ha f˚
att om vi betraktat a1 + b1 i
som ett polynom i ”variabeln” i och multiplicerat det med ett annat polynom a2 + b2 i,
medan den sista likheten bara anv¨ander sig av den fundamentala likheten i2 = −1, f¨or
att ers¨atta b1 b2 i2 med −b1 b2 . Vi har allts˚
a f¨oljande praktiska tumregel:
R¨akna med komplexa tal som om de vore polynom, med den extra regeln att s˚
a fort
som i2 dyker upp ers¨atts den med −1.
Exempel 48.
1) (1+2i)+(3+4i)+(5+6i) = (1+3+5)+(2+4+6)i = 9+12i.
2) (2 + 3i)(1 − i) = 2 · 1 + 2 · (−i) + (3i) · 1 + 3i · (−i) = 2 − 2i + 3i + 3 = 5 + i.
3) (a + bi)(a − bi) = a2 − abi + bai − b2 i2 = a2 + b2 .
4) Ekvationen z + 2i = 1 + 3i l¨oses p˚
a vanligt s¨att genom att dra bort 2i fr˚
an b¨agge
sidor och har l¨osningen: z = (z + 2i) − 2i = (1 + 3i) − 2i = 1 + i.
Den viktiga intuitionen att vi kan r¨akna med komplexa tal enligt samma regler som
med reella tal och polynom kan preciseras s˚
a h¨ar. Nedanst˚
aende regler ¨ar det som certifierar att de objekt vi definierat verkligen kan kallas ”tal”.
4. KOMPLEXA TALPLANET.
67
Sats 22. . F¨oljande r¨aknelagar g¨aller f¨or r¨akning med komplexa tal:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
0 + z = z,
z + u = u + z,
(z + u) + w = z + (u + w),
om z + u = w + u s˚
a f¨oljer att z = w,
1 · z = z,
z · u = u · z,
(z · u) · w = z · (u · w),
om z · u = 0 och u 6= 0, s˚
a ¨ar z = 0,
z · (u + w) = z · u + z · w.
Bevis. De flesta av dessa lagar ¨ar l¨atta att verifiera genom att man g˚
ar tillbaka till
definitionen av multiplikation och addition. T ex s˚
a f¨oljer 1) direkt ur
(0, 0) + (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
L˚
at oss emellertid bevisa 8), som ¨ar lite klurigare. Antag att z = x + yi och att u = c + di.
D˚
a ¨ar
zu = (xc − yd) + (xd + yc)i,
som ¨ar 0 precis n¨ar b˚
ade
xc − yd = 0
xd + yc = 0
Multiplicera den undre ekvationen med c och den ¨ovre med d och ta skillnaden: c(xd +
yc) − d(xc − yd) = (c2 + d2 )y = 0. Eftersom u = (c, d) 6= 0, s˚
a ¨ar ˚
atminstone en av c, d
2
2
skilda fr˚
an 0 och d¨arf¨or c + d 6= 0, och d¨armed m˚
aste y = 0. D˚
a blir systemet ovan
xc = 0 = xd, och eftersom ˚
atminstone en av c, d var skild fr˚
an 0, m˚
aste ocks˚
a x = 0.
Allts˚
a ¨ar z = x + yi = 0.
4. Komplexa talplanet.
Varje komplext tal a + bi svarar mot talparet (a, b), som i ett r¨atvinkligt koordinatsystem ger en punkt med dessa koordinater i planet. N¨ar man ser planet som best˚
aende
av komplexa tal a + bi = (a, b), s˚
a kallas planet det komplexa talplanet. Den horisontella
koordinataxeln best˚
ar av alla komplexa tal av formen a = (a, 0) = a + 0 · i, d v s av alla
reella tal. Den kallas d¨arf¨or reella axeln. Den vertikala axeln best˚
ar av alla komplexa tal
som har formen (0, b) = bi, de s k rent imagin¨ara talen, och kallas den imagin¨ara axeln.
Om z = a + bi kallas koordinaterna a respektive b f¨or realdelen respektive imagin¨ardelen
av z, och man skriver
Re z = a, Im z = b.
68
5. KOMPLEXA TAL.
Imaginära
2i
axeln
2+2i
2 Reella axeln
Figur 1. Komplexa talplanet
Exempel 49.
1) M¨angden av komplexa tal z = x + iy s˚
adana att Re z = 0 ¨ar
precis den imagin¨ara axeln, medan den reella talaxeln kan beskrivas med ekvationen Im z = 0.
2) Vilka komplexa tal z = a + bi uppfyller Re (1 + i)z = 0? Eftersom (1 + i)z =
(a − b) + (a + b)i ¨ar Re (1 + i)z = a − b. Allts˚
a ¨ar de s¨okta talen precis de som
uppfyller att a−b = 0 ⇐⇒ a = b. Det ¨ar den ekvation som definierar diagonalen
i det komplexa talplanet.
Definition 14. Om z = a + bi, a, b ∈ R ¨ar ett komplext tal kallas z = a − bi dess
(komplexa) konjugat.
Geometriskt svarar konjugering mot spegling i den reella talaxeln. Den absolut viktigaste egenskapen hos konjugatet a¨r att
zz = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 ≥ 0,
d v s produkten ¨ar ett reellt ickenegativt tal som bara ¨ar 0 om z = 0. Genom multiplikation
med konjugatet kan vi allts˚
a f˚
a ett l¨abbigt komplext tal att bli sl¨atslickat reellt.
5. Division av komplexa tal.
Saker blir (ibland) klarare (till en viss gr¨ans) ju mer filosofisk man ¨ar. Vad ¨ar allts˚
a
filosofiskt sett kvoten a/b av tv˚
a reella tal a, b egentligen? Uppenbarligen ¨ar
b(a/b) = a,
s˚
a kvoten ¨ar ett reellt tal med egenskapen att om man multiplicerar den med b f˚
ar man
a. Vi vet ocks˚
a att a/b ¨ar det enda talet med denna egenskap. Allts˚
a skulle vi ha kunnat
definiera x = a/b, som det unika talet med egenskapen bx = a. Detta ¨ar ett elegant s¨att
att definiera talet, som tr¨affar den v¨asentliga egenskapen hos division: att vi anv¨ander det
5. DIVISION AV KOMPLEXA TAL.
69
f¨or att l¨osa ekvationer, men det har f¨orst˚
as nackdelen att vi inte inser hur vi ska ber¨akna
det, eller ens om det finns. Men det kan man l¨osa, om inte annat s˚
a vet n¨armsta lilla
mobiltelefon hur. S˚
alunda, den v¨asentliga egenskapen hos en kvot av reella tal ¨ar:
bx = a ⇐⇒ x = a/b, (a, b reella tal, b 6= 0.)
F¨or att definiera division av komplexa tal, ska vi allts˚
a definiera och sedan l¨osa motsvarigheten till detta. S˚
a vi definierar l¨att
Definition 15. Kvoten z = u/v ¨ar den unika l¨osningen till ekvationen
vz = u (u, v komplexa tal, v 6= 0.)
(13)
Det ser ju bra ut, men ¨ar f¨orst˚
as bara sn¨omos, tills vi har visat i) att det finns en
l¨osning och ii) att det bara finns en enda l¨osning. Det ¨ar r¨att l¨att. Titta p˚
a f¨oljande
komplexa tal som vi p˚
ast˚
ar l¨oser ekvationen och allts˚
a ¨ar kvoten u/v.
z = (vv)−1 uv =
uv
.
vv
Observera f¨orst att vv ¨ar ett reellt tal som ¨ar skilt fr˚
an 0 eftersom v 6= 0 (enligt Sats
22.8)) och d¨arf¨or finns (vv)−1 som en vanlig reell kvot, och kan allts˚
a ocks˚
a betraktas som
ett komplext tal. Allts˚
a ¨ar z, som produkt av tre komplexa tal ett komplext tal. Stoppar
vi in detta z i ekvation (13) ser vi att
vv
vz = v (vv)−1 uv = u = 1 · u = u,
vv
s˚
a z l¨oser ekvationen. Observera att (13) ocks˚
a talar om hur vi ska r¨akna ut kvoten.
Sats 23. . Givet tv˚
a komplexa tal u, v 6= 0. D˚
a finns en och endast en l¨osning till
ekvationen
vz = u,
n¨amligen
z = (vv)−1 uv.
(14)
Bevis. Vi s˚
ag ovan att det finns en l¨osning, som ges av den angivna formeln. Antag
att det fanns fler, s˚
a att vi ocks˚
a hade vz1 = u = vz2 . D˚
a ¨ar 0 = vz1 − vz2 = v(z1 − z2 ).
S¨att w := z1 − z2 , s˚
a att vi har tv˚
a komplexa tal v, w vars produkt ¨ar 0. D˚
a g¨aller, enligt
Sats 22.8) att w = 0. Eftersom 0 = w = z1 − z2 , s˚
a ¨ar d˚
a z1 = z2 , och vi har inte tv˚
a olika
l¨osningar, utan bara en enda! Vilket ju var det vi ville visa.
Det ¨ar dags att se n˚
agra konkreta exempel p˚
a kvoter.
70
5. KOMPLEXA TAL.
Exempel 50. 1) L¨os ekvationen (2+3i)z = 1+i. Ist¨allet f¨or att bara sj¨all¨ost skriva upp
formeln ovan, l¨oser vi denna ekvation s˚
a h¨ar. Multiplicera p˚
a b¨agge sidor med konjugatet
2 − 3i till 2 + 3i. Det ger
(2 − 3i)(2 + 3i)z = (2 − 3i)(1 + i) ⇐⇒ (22 + 32 )z = 5 − i ⇐⇒ z =
5
i
− .
13 13
H¨ar anv¨ande vi att (2 − 3i)(2 + 3i) = 22 + 32 = 13, och att delning med reella tal sker
koordinatvis.
2) Ber¨akna (2 + i)/(1 − i). Vi g¨or samma r¨akning, men presenterar den s˚
a h¨ar:
(2 + i)(1 + i)
1 + 3i
1 3i
2+i
=
=
= + .
1−i
(1 − i)(1 + i)
2
2
2
H¨ar har vi allts˚
a f¨orl¨angt med konjugatet till n¨amnaren, s˚
a att vi f˚
ar ett reellt tal i
n¨amaren, samt r¨aknat ut t¨aljaren med vanlig multiplikation av komplexa tal.
5.1. Mer om konjugat.
Sats 24. L˚
at z = a + bi och w = c + di vara komplexa tal. D˚
a g¨aller f¨oljande.
1)
2)
3)
4)
(z) = z. Vidare ¨ar z = z om och endast om z ¨ar ett reellt tal.
zz = a2 + b2 ≥ 0 ¨ar ett ickenegativt reellt tal. Likhet zz = 0 g¨aller bara om z = 0.
zw = z¯w.
¯
z/w = z/w.
a ¨ar b = 0, d v
Bevis. 1) (a + bi) = a − bi = a + bi = z. Om z = a + bi = z = a − bi, s˚
2
2
s z ¨ar reellt. 2) Vi har redan tidigare r¨aknat ut zz = a + b . Som en summa av kvadrater
¨ar detta tal uppenbarligen positivt och kan bara vara 0 om b¨agge kvadraterna ¨ar noll, d
v s a = b = 0, s˚
a att z = 0.
3) Det ¨ar en enkel kalkyl men f¨or den som vill se den f¨oljer den h¨ar. Produkten
zw = (ac − bd) + (ad + bc)i, s˚
a att (zw) = (ac − bd) − (ad + bc)i och eftersom produkten
z¯w¯ = (a − bi)(c − di) = (ac − bd) − (ad + bc)i
s˚
a ¨ar 3) bevisad.
zw
z
zw
s˚
a ¨ar z =
=
· w = ... enligt likheten 3) ovan ¨ar det ...
4) Eftersom z =
w
w
w
z
z
=
· w. B˚
ada leden i z =
· w dividerar vi med w och f˚
ar ¨onskade likheten.
w
w
F¨oljande samband mellan konjugering och real- respektive imagin¨ardel ¨ar ofta anv¨andbart.
5. DIVISION AV KOMPLEXA TAL.
71
Sats 25. Om z ¨ar ett komplext tal s˚
a ¨ar
z−z
z+z
, Im z =
.
Re z =
2
2i
Bevis. Om z = a + bi, a, b ∈ R, s˚
a ¨ar
z + z = a + bi + a − bi = 2a = Re z,
s˚
a att division med 2 ger den f¨orsta identiteten i satsen. Den andra f¨oljer p˚
a samma s¨att
av
z − z = a + bi − (a − bi) = 2bi = 2i Im z.
5.2. Absolutbelopp av komplexa tal. Som vi kan se i figuren
nedan ¨ar avst˚
andet
√
2
2
fr˚
an z = a +√bi i komplexa talplanet till origo precis lika med a + b . Enligt Sats ¨ar
detta precis zz.
z=a+bi
¤ z¤ =
a2 + b2
z=a-bi
Figur 2. Konjugat och absolutbelopp
Definition 16. Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi ¨ar
√
√
|z| := a2 + b2 = zz.
Sats 26. L˚
at z = a + bi och w = c + di vara komplexa tal. D˚
a g¨aller
1)
2)
3)
4)
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0,
|zw| = |z||w|,
|z/w| = |z|/|w|,
|z|2 = zz.
Bevis. Dessa egenskaper f¨oljer av de algebraiska egenskaperna f¨or konjugatet. Vi n¨ojer
oss med att verifiera 2). Enligt sats 24 ¨ar
zwzw = zwzw = (zz)(ww),
72
5. KOMPLEXA TAL.
vilket ger att
|zw| =
q
(zw)(zw) =
p
(zz)(ww) =
√ √
zz ww = |z||w|.
Vi kan f˚
a ut mer genom geometrin i det komplexa talplanet.
Sats 27. (Triangelolikheten f¨or komplexa tal.) L˚
at z = a + bi och w = c + di vara
komplexa tal. D˚
a g¨aller
|z + w| ≤ |z| + |w|
Bevis. Detta syns l¨att i nedanst˚
aende figur. Eftersom 0, z, w, z + w sp¨anner upp ett
parallellogram har sidorna i triangeln med h¨orn 0, z, z + w l¨angderna |z|, |w|, |z + w|. Men
det r¨ata linjesegmentet fr˚
an 0 till z + w, som har l¨angd |z + w| ¨ar den kortaste v¨agen fr˚
an
0 till z + w, och allts˚
a kortare ¨an summan av de tv˚
a andra sidornas l¨angder |z| + |w|, som
¨ar l¨angden av omv¨agen ¨over w.
z+w
w
¤w¤
¤z+w¤
z
¤z¤
Figur 3. Triangelolikheten f¨or komplexa tal
Exempel 51. Avst˚
andet mellan de komplexa talen u och z ¨ar |u − z|. Argument: S¨att
w = z − u. D˚
a ¨ar u = z + (u − z) = z + w, och ur figuren som vi anv¨ande nyss framg˚
ar
att avst˚
andet ¨ar |w| = |u − z|.
6. ANDRAGRADSEKVATIONER.
73
6. Andragradsekvationer.
Nu ska vi se hur livet (i princip) blir enklare med komplexa tal, i alla fall om man
slipper r¨akna med dem, utan kan h˚
alla sig p˚
a ett teoretiskt plan. Vi har sett att det ibland
kan h¨anda att andragradsekvationer saknar reella r¨otter, t ex s˚
a har z 2 + 1 = 0 inte n˚
agra
reella r¨otter z. D¨aremot s˚
a finns det ju en komplex rot z = i, och t o m tv˚
a stycken,
eftersom −i ocks˚
a ¨ar en rot. Om vi l¨oser ekvationer i komplexa tal, s˚
a finns det f¨orst˚
as
rimligtvis fler l¨osningar, eftersom vi har en st¨orre m¨angd att leta l¨osningar bland. Men
det som ¨ar f¨orv˚
anande, det ¨ar att det alltid finns l¨osningar, och vi ska nu ge en metod att
hitta dem (som alltid fungerar). Vi kan t o m till˚
ata koefficienterna i ekvationen att vara
komplexa tal. Genom att p˚
a halvt taskspelarvis l¨agga till en rot till en enda ekvation, har
vi allts˚
a f˚
att r¨otter till alla ekvationer.
Sats 28. Ekvationen (u, v vilka komplexa tal som helst)
z 2 + uz + v = 0
(15)
har alltid l¨osningar.
Om vi drar oss till minnes hur man hittade eventuella reella l¨osningar till en andragradsekvation, s˚
a inser vi att det var tv˚
a steg. F¨orst kom en algebraisk identitet:
kvadratkomplettering och sedan en rotutdragning. Dessa tv˚
a steg kan vi fortfarande
anv¨anda. Den st¨orsta skillnaden ¨ar att rotutdragningen ¨ar mer komplicerad.
Exempel 52. L¨os z 2 + 4iz − (7 + 4i) = 0. F¨orst g¨or vi kvadratkompletteringen. Den
s¨ager bara att polynomet
z 2 + uz + v = (z + u/2)2 + (v − u2 /4).
I v˚
art fall blir det (efter att ha r¨aknat ut v − u2 /4 = −(3 + 4i)) att
z 2 + 4iz − (7 + 4i) = (z + 2i)2 − (3 + 4i).
Inf¨or vi sedan den nya variabeln w = z + 2i, s˚
a blir ekvationen allts˚
a
w2 = 3 + 4i.
(16)
Notera att precis som i l¨osningen av den reella andragradsekvationen ˚
aterst˚
ar nu bara
en rotutdragning. Emellertid har vi ingen funktion att ta till, utan f˚
ar nu g¨ora detta f¨or
hand. Ans¨att att w = x + yi, och stoppa in detta i (16). D˚
a f˚
ar vi
w2 = x2 − y 2 + 2xyi = 3 + 4i,
s˚
a att vi vet att
x2 − y 2 = 3
2xy = 4.
Vi kan f˚
a en ekvation till genom att ta absolutbeloppen av b¨agge sidor i (16).
x2 + y 2 = |w|2 = |w2 | = |3 + 4i| = 5.
(17)
(18)
74
5. KOMPLEXA TAL.
Nu har vi allts˚
a hela tre ekvationer som ger egenskaper hos futtiga tv˚
a obekanta, och det
vore v¨al skrutt om vi inte kan best¨amma x, y! Hur ska vi d˚
a g¨ora? Observera att om vi
l¨agger ihop ekvation (17) och (18), s˚
a blir vi av med y:na. Tar vi ist¨allet skillnaden s˚
a blir
vi av med x:en.
2x2 = (x2 − y 2 ) + (x2 + y 2 ) = 3 + 5 = 8
2y 2 = −(x2 − y 2 ) + (x2 + y 2 ) = −3 + 5 = 2.
Av detta ser vi att vi f˚
ar x2 = 4 ⇐⇒ x = ±2 och y 2 = 1 ⇐⇒ y = ±1. Detta ger
oss fyra m¨ojliga l¨osningar, men bara w = x + yi = 2 + i och w = x + yi = −2 − i uppfyller
villkoret att 2xy = 4, och ¨ar allts˚
a l¨osningar till (17-18). Utnyttjar vi nu att z = w − 2i,
ser vi att v˚
ar urprungliga ekvation har de enda l¨osningarna z = 2 − i och z = −2 − 3i.
6.1. Kommentar till l¨
osningen. L˚
at oss sammanfatta l¨osningen i exemplet nyss,
i mer abstrakta termer. F¨orst skrev vi, via kvadratkomplettering, om ekvationen som
z 2 + uz + v = (z + u/2)2 + (v − u2 /4) = 0.
Sedan satte vi
u
w = z + u/2 ⇐⇒ z = − + w.
2
V˚
ar ekvation (15) ¨ar allts˚
a ekvivalent med
w2 = u2 /4 − v.
Har vi en l¨osning w till w2 = u2 /4 − v, s˚
a ges en annan av −w, och fler finns inte, som vi
strax ska se. Vi kan allts˚
a formulera den l¨osning vi genomf¨orde till (15) s˚
a h¨ar.
Sats 29. L¨osningarna till z 2 + uz + v = 0 ¨ar
u
z = − ± w,
2
d¨ar w ¨ar en l¨osning till
u2 − 4v
w2 =
.
4
u2 − 4v
. Det enda som ˚
aterst˚
ar att visa ¨ar att de l¨osningar som
4
anges i satsen ¨ar de enda. Det f¨oljer av att om w = a l¨oser w2 = b, s˚
a har ekvationen
w2 = b endast l¨osningarna w = ±a. N¨amligen, ur konjugatregeln f˚
ar vi, eftersom vi vet
att a2 = b,
Bevis. S¨att b =
w2 − b = w2 − a2 = (w − a)(w + a) = 0 ⇐⇒ w − a = 0 eller w + a = 0,
eftersom en produkt av komplexa tal ¨ar 0 om och endast om n˚
agon av faktorerna a¨r 0.
Men w − a = 0 ⇐⇒ w = a och w + a = 0 ⇐⇒ w = −a.
¨
7. OVNINGAR.
75
Satsens formel ¨ar precis den formel som vi anv¨ande f¨or att l¨osa andragradsekvationer
u2 − 4v
, som
med reella koefficienter u och v, utom att d˚
a skrev vi l¨osningarna till w2 =
4
r
u2 − 4v
w=±
.
4
F¨or allm¨anna komplexa koefficienter u och v b¨or vi inte kalla w i satsen ovan f¨or
u2 − 4v
kvadratroten ur
, fast det ¨ar frestande. Det g˚
ar n¨amligen inte att definiera en
4
entydig kvadratrot ur komplexa tal, faktiskt g˚
ar det inte ens att ge en definition av en
entydig kvadratrot ur negativa tal och samtidigt f¨orv¨anta sig att alla de kvadratr¨otter vi
definierat sn¨allt ska uppfylla samma r¨akneregler som vi a¨r vana vid. Det f¨oljer av f¨oljande
argument.√
Antag att vi best¨ammer√oss f¨or att kalla en av de tv˚
a r¨otterna ±i vars kvadrat
a¨r −1 f¨or −1. T ex kan vi testa −1 = i. D˚
a a¨r
−1 =
√
p
√
√
−1 −1 = (−1) · (−1) = 1 = 1,
√
vilket ¨ar om¨ojligt. (Det blir samma fel med
−1
a uppfyller v˚
ara kvadrat¨otter
√ = −i.) Allts˚
√ √
a ¨ar f¨or
inte l¨angre den enkla r¨akneregeln a b = ab, och man kan undra vad det d˚
vits med att
a i litteraturen
√ anv¨anda kvadratrotssymbolen. (Ibland anv¨ander man ¨and˚
symbolen −1 ist¨allet f¨or i, men det kan allts˚
a leda till problem, och d¨arf¨or har vi
undvikit detta h¨ar.) N¨ar vi definierar kvadratroten ur ett reellt positivt tal a 6= 0, s˚
a ¨ar
2
situationen annorlunda. Det finns en positiv och en negativ
l¨
o
sning
till
x
=
a,
och
vi
v¨
a
ljer
√
√
en av dem, n¨amligen den positiva och kallar
a − a,
√ den a. Den andra l¨osningen ¨ar d˚
och b¨agge l¨osningarna kan beskrivas som ± a. Vi anv¨ander allts˚
a i denna definition att
vi har en ordning√p˚
a de reella talen: av tv˚
a reella tal ¨ar alltid ett st¨orst, och s˚
a definierar
vi kvadratroten a som det st¨orsta av de tv˚
a l¨osningarna till x2 = a. F¨or komplexa tal
finns det ingen liknande naturlig ordning, vilket ¨ar ett sk¨al till v˚
ara problem nyss med
kvadratr¨otter.
Vi ska i n¨asta kapitel se hur man kan bevisa att det alltid finns l¨osningar till en
komplex andragradsekvation, med hj¨alp av pol¨ara koordinater.
¨
7. Ovningar.
(1) Best¨am Re z och Im z om z ¨ar f¨oljande tal:
d) 5i, e) −i.
a) 2 + 3i,
b) 2 − 3i,
c) 2,
(2) Best¨am f¨oljande tal p˚
a formen a+bi: a) (2+3i)+(1+2i), b) (2+3i)+(1−2i),
c) (2+3i)−(1−2i), d) (2+3i)·(1+2i), e) (2+3i)2 , f ) (5+i)3 , g) (1−i)4 .
b) 1 − 3i, c) 3i,
(3) Ber¨akna a) 2 + 3i,
f ) | − 3 − 4i|, g) |4i|, h) | − 7i|, i) |i|
d) (2 + 3i)(2 + 3i),
e) |3 + 4i|,
76
5. KOMPLEXA TAL.
(4) Best¨am f¨oljande tal p˚
a formen a + bi:
d)
3 + 4i
,
1 − 5i
e)
1
,
i
a)
1
,
1+i
b)
1
,
2 − 5i
c)
1+i
,
1−i
f ) (1 + i)−2 .
a) (1 + 3i)(4 − 5i)(1 + i),
√
(1 + 2i)(1 + 3i)
(6) Ber¨akna absolutbeloppet av
.
(1 + i)3
(7) L¨os ekvationen z + (1 + i)¯
z = 1 − i.
(5) Ber¨akna absolutbeloppet av
b)
(1 + 3i)(4 − 5i)
.
1 + 2i
(8) L¨os ekvationerna
a) 2z + i¯
z = 3 + 3i,
b) z¯(2z) = 1 + i.
(9) Tolka geometriskt i komplexa talplanet ekvationen Re z + Im z = 2.
(10) Rita i det komplexa talplanet de z som uppfyller
c) Im z ≥ 0, d) z¯ + z = 0, e) z¯ = z.
a) Re z = 2,
b) Im z = 2,
(11) L¨os ekvationerna a) z 2 + (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0,
c) z 2 + (2 − 2i)z + 4 − 2i = 0.
b) z 2 + (1 + 4i)z − 3 + 3i = 0,
KAPITEL 6
Komplexa tal: pol¨
ar form, och binomiska ekvationer.
”Why do it simple when you can do it complex?” Anonym amerikan
Nu ska vi utnyttja att komplexa tal ¨ar punkter i det komplexa talplanet. Punkter
i ett plan kan man beskriva inte bara med r¨atvinkliga koordinatsystem, utan ocks˚
a i
termer av vinklar och avst˚
and till origo, s k pol¨ara koordinater. Vi ska se att detta ¨ar
intimt f¨orknippat med multiplikation av komplexa tal, ett av naturens stora under ...
tillsammans med DNA och SVT ...
1. Pol¨
ar representation.
1.1. Pol¨
ara koordinater i planet. Vi arbetar med ett (x, y)-plan - det som vi
anv¨ande i f¨orra kapitlet f¨or definitionen av de komplexa talen. F¨orst p˚
aminner vi om
definitionen av cosinus- och sinusfunktionerna. En str˚
ale L fr˚
an origo har en viss vinkel
0 ≤ θ < 2π (moturs) till x-axeln. Vi kan se det som att vi har b¨orjat med att l˚
ata
str˚
alen vara parallell med positiva x-axeln och sedan snurrar den θ radianer moturs f¨or
att f˚
a L. Omv¨ant, om vi startar med ett tal θ ∈ R, s˚
a best¨ammer θ en str˚
ale med
denna vinkel, genom att vi snurrar det positiva halvan av x-axeln θ radianer runt origo.
(Snurra medurs, om θ a¨r negativt.) P˚
a str˚
alen med vinkeln θ finns det en unik punkt p˚
a
1
cirkeln med avst˚
andet 1 fr˚
an origo, allts˚
a p˚
a enhetscirkeln . Denna punkts koordinater
kallas (cos θ, sin θ). Observera att det f¨oljer ur definitionen att cos(θ + 2π) = cos θ, och
sin(θ + 2π) = sin θ : det betyder ju bara att om vi snurrar p˚
a str˚
alen ett helt varv (2π)
s˚
a f˚
ar vi tillbaka samma str˚
ale. Alla punkter P = (x, y) p˚
a str˚
alen L med vinkeln θ kan
beskrivas som (r cos θ, r sin θ), n¨ar r ≥ 0 varierar. S˚
a f¨or en punkt P = (x, y) p˚
a str˚
alen
L g¨aller, med r som P :s avst˚
and till origo att
x = r cos θ,
och
y = r sin θ.
1enhetscirkeln
= cirkeln med radie 1 och centrum i origo
77
78
¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER.
6. KOMPLEXA TAL: POLAR
y
1.5
P=(x,y)=
(rcosΘ, rsinΘ)
1.0
(cosΘ, sinΘ)
0.5
-1.0
0.5
-0.5
L
1.0
1.5
x
-0.5
-1.0
Figur 1. Pol¨ara koordinater
Paret (r, θ) best¨ammer allts˚
a P och kallas pol¨ara koordinater f¨or punkten. Observera att r ≥ 0. Den vinkel som best¨ammer L ¨ar bara best¨amd upp till addition av en
heltalsmultipel av 2π, s˚
a det finns o¨andligt m˚
anga upps¨attningar pol¨ara koordinater f¨or
samma punkt. Det ¨ar n˚
agot vi ska anv¨anda senare. Notera emellertid att om vi antar att
P inte ¨ar origo och vi kr¨aver att 0 ≤ θ < 2π, s˚
a ¨ar beskrivningen i pol¨ara koordinater
unik. (Origo, ˚
a andra sidan ¨ar beskriven av alla (r, θ) = (0, θ), med vilken godtycklig
vinkel θ som helst.)
√
√
Exempel 53.
1) Vilka pol¨ara koordinaterp
har P = (1/ 2, 1/ 2) ?
L¨osning: Avst˚
andet till origo ¨ar r =
1/2 + 1/2 = 1. Vi kan vidare l¨att
hitta en l¨amplig vinkel. Det framg˚
ar enklast ur bilden vilken str˚
ale P ligger p˚
a,
och att denna har vinkeln π/4 mot
a kan man anv¨anda att
√ x-axeln. Eller s˚
man
vet att cos(π/4) = sin(π/4) = 1/ 2, s˚
a att vi har 1 · cos(π/4), sin(π/4) = P.
Alla andra m¨ojliga vinklar f˚
as sedan genom att vi roterar L ytterligare n˚
agra (s¨ag
n stycken) hela varv, motsols (n positivt) eller medsols (n negativt). Svaret blir
allts˚
a att de m¨ojliga pol¨ara koordinaterna ¨ar
r = 1,
θ = π/4 + n · 2π, n ∈ Z,
eller omst¨andligare
θ = ... − 7π/4, π/4, 9π/4, 17π/4, ....
2) Av f¨oreg˚
aende uppgift f¨oljer att punkter p˚
a diagonalen x = y i f¨orsta kvadranten,
allts˚
a p˚
a str˚
alen fr˚
an origo genom P , har pol¨ara koordinater (r, π/4), r ≥ 0. P˚
a
samma s¨att beskrivs den positiva reella talaxeln som m¨angden av punkter med
pol¨ara koordinater (r, 0), r ≥ 0, och den negativa reella talaxeln som m¨angden av
punkter (r, π), r ≥ 0.
¨ REPRESENTATION.
1. POLAR
79
Mer generellt kan vi uttrycka m˚
angtydigheten i beskrivningen av punkter i planet
med pol¨ara koordinater s˚
a h¨ar.
Sats 30. Om P = (x, y) inte ¨ar origo och (r1 , θ1 ) ¨ar en upps¨attning pol¨ara koordinater
f¨or P , d v s (r1 , θ1 ) l¨oser ekvationerna
(x, y) = (r1 cos θ1 , r1 sin θ1 ),
s˚
a ges alla pol¨ara koordinater (r, θ) f¨or P av
r = r1
θ = θ1 + 2nπ, n ∈ Z
1.2. Pol¨
ara koordinater i komplexa talplanet. Eftersom komplexa tal z = x+iy
¨ar punkter (x, y) i det komplexa talplanet kan vi beskriva dem med pol¨ara koordinater.
Om (x, y) = (r cos θ, r sin θ) s˚
a ¨ar
z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i sin θ).
Talet r ¨ar absolutbeloppet |z|. Talet θ kallas argumentet av z och betecknas med Arg z.
Det ¨ar, som vi s˚
ag i f¨oreg˚
aende avsnitt inte entydigt best¨amt, men tv˚
a olika argument f¨or
samma tal skiljer sig ˚
at med en heltalsmultipel av 2π.
y
z=x+iy
iy=irsinΘ
r
Θ
x=cos Θ
x
Figur 2. Komplexa pol¨ara koordinater.
Det komplexa talet cos θ + i sin θ ligger p˚
a enhetscirkeln. N¨ar θ varierar beskriver det
alla punkter p˚
a enhetscirkeln och vi introducerar f¨oljande exponentiella skrivs¨att f¨or det.
Motiveringen av detta exponentiella skrivs¨att - i form av potenslagar - kommer sedan.
Definition 17. Definiera
eiθ := cos θ + i sin θ,
och generellare
ez := eη (cos θ + i sin θ) = eη eiθ ,
(19)
80
¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER.
6. KOMPLEXA TAL: POLAR
f¨or z = η + iθ.
Pol¨ara koordinater beskrivs d˚
a s˚
a h¨ar med exponentialfunktionen.
Definition 18. Antag att z ∈ C. Ett par av reella tal (r, θ) med r ≥ 0, kallas f¨or
pol¨ara koordinater f¨or z om
z = reiθ = r(cos θ + i sin θ).
(20)
Exempel 54. Skriv z = 1 + i och w = −1 − i med pol¨ara koordinater.
L¨osning: Vi ser att avst˚
andet fr˚
an z resp w till origo ¨ar detsamma:
√
√
|z| = |w| = 12 + 12 = 2.
Vidare ses det av symmetrin i figuren att Arg z = π/4 och Arg w = π/4 + π = 5π/4.
Allts˚
a ¨ar
√
√
1 + i = 2 cos(π/4) + i sin(π/4) = 2eiπ/4
√
√
−1 − i = 2 cos(5π/4) + i sin(5π/4) = 2e5iπ/4 .
1+i
1.0
2
0.5
Π/4
-1.5
-1.0
0.5
-0.5
1.0
2
-0.5
1-i
-1.0
-1.5
Figur 3. ±(1 + i) p˚
a pol¨ar form
I rektangul¨ara koordinater (x, y) i planet kan vi l¨att beskriva vissa typer av rektangul¨ara omr˚
aden, n¨amligen de som best˚
ar av alla punkter som uppfyller α1 ≤ x ≤ β1 och
α2 ≤ y ≤ β2 . I pol¨ara koordinater kan vi p˚
a motsvarande s¨att beskriva omr˚
aden av formen
r1 ≤ r ≤ r2 och θ1 ≤ θ ≤ θ2 , som svarar mot cirkelsektorer (eller hela cirkelskivor, eller
str˚
alar).
Exempel 55. Cirkelskivan med radie 2 i komplexa talplanet kan beskrivas som punkter
z f¨or vilka
z = reiθ , 0 ≤ r ≤ 2.
¨ REPRESENTATION.
2. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV KOMPLEXA TAL I POLAR
81
Den del av denna cirkelskiva som ligger i f¨orsta kvadranten kan beskrivas som de punkter
z f¨or vilka
z = reiθ , 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2.
Negativa rella tallinjen kan beskrivas i pol¨ara koordinater som de punkter z f¨or vilka
z = reiπ , r ≥ 0
och den positiva reella tallinjen f¨orst˚
as som
z = rei·0 = r, r ≥ 0.
Till¨ampar vi definitionen av e−iθ f˚
ar vi:
e−iθ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos θ − i sin θ.
(21)
Detta kan vi utnyttja f¨or att l¨osa ut sinus och cosinus i termer av komplexa exponentialer,
en formel som inneb¨ar att du s˚
a sm˚
aningom kommer att betrakta trigonometri som en
matematikens fotg¨angarzon, med on¨odiga fartrestriktioner.
Sats 31. (Eulers formler).
eiθ + e−iθ
2
eiθ − e−iθ
sin θ =
2i
cos θ =
Bevis. L¨agg ihop ekvation (21) med (19):
e−iθ + eiθ = cos θ − i sin θ + cos θ + i sin θ = 2 cos θ,
och dela med 2. Det ger utrycket f¨or cos θ, och det andra f¨oljer genom att ta skillnaden
mellan (21) och (19) och dela med 2i.
2. Multiplikation och division av komplexa tal i pol¨
ar representation.
Det finns ju f¨orst˚
as en intelligent orsak till att vi inf¨orde pol¨ar representation, och
den kommer vi nu till. Pol¨ara koordinater g¨or multiplikation och division av komplexa tal
l¨att.
Sats 32.
eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) .
Bevis. V¨ansterledet a¨r
(cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ) =
= (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2 )
82
¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER.
6. KOMPLEXA TAL: POLAR
medan h¨ogerledet ¨ar
cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ).
Additionsformeln f¨or cosinus s¨ager precis att realdelen av v¨ansterledet och h¨ogerledet ¨ar
densamma, och additionsformeln f¨or sinus motsvarande f¨or imagin¨ardelen.
Beviset f¨or denna sats ¨ar f¨orresten en bra minneshj¨alp f¨or att komma ih˚
ag de trigonometriska additionsformlerna! Notera hur du kan rekonstruera dem genom att g˚
a bakl¨anges
iθ
i beviset fr˚
an i) att du vet hur du ska multiplicera potenser och ii) vet vad e ¨ar uttryckt
i trigonometriska funktioner.
Vi kan f¨orst˚
as hantera division analogt. Titta f¨orst p˚
a inversen.
Sats 33. Antag att u = eiθ = cos θ + i sin θ. D˚
a ¨ar
u−1 = e−iθ = u = cos θ − i sin θ.
Bevis. Vi vet, eftersom u ligger p˚
a enhetscirkeln, att uu = |u|2 = 1. Till¨ampar vi
metoden f¨or att ber¨akna kvoter s˚
a f˚
ar vi
u
1
= u = cos θ − i sin θ.
u−1 = =
u
uu
˚ andra sidan ¨ar cosinus en j¨amn funktion (d v s en funktion f (x) f¨or vilken f (−x) = f (x))
A
och sinus ¨ar en udda funktion (d v s en funktion f (x) f¨or vilken f (−x) = −f (x)). Allts˚
a
a
¨ar ocks˚
e−θ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos θ − i sin θ = u.
L¨agg m¨arke till hur enkelt det ¨ar att ber¨akna inversen till ett komplext tal p˚
a enhetscirkeln - bara en fr˚
aga om konjugering -, samt att inversen ocks˚
a blir ett tal p˚
a
enhetscirkeln.
En direkt konsekvens av satserna ovan ¨ar f¨oljande beskrivning av multiplikation och
division av godtyckliga komplexa tal i termer av deras pol¨ara koordinater.
Sats 34. Antag att vi har tv˚
a komplexa tal
z = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) = r1 eiθ1
och
w = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) = r2 eiθ2 .
D˚
a kan vi beskriva produkten zw i pol¨ara termer som
zw = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )).
¨ REPRESENTATION.
2. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV KOMPLEXA TAL I POLAR
83
Kvoten z/w ¨ar i pol¨ara koordinater
r1
r1
z
= ei(θ1 −θ2 ) = cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )).
w
r2
r2
Speciellt ¨ar
w−1 = r2−1 e−iθ2 = r2−1 (cos θ2 − i sin θ2 ).
Exempel 56. Titta p˚
a multiplikation med i och se den som avbildningen z → iz i det
komplexa talplanet. Geometriskt svarar denna avbildning mot rotation π/2 runt origo. Ty
vi vet sedan tidigare att i = eiπ/2 = cos π/2 + i sin π/2. Om nu z = reiθ , s˚
a ¨ar
iz = reiθ eiπ/2 = rei(θ+π/2) .
Vi ser att multiplikation med i inte ¨andrar absolutbeloppet av z, d v s avst˚
andet till
origo, men adderar π/2 till argumentet, d v s roterar z en vinkel π/2 radianer moturs.
P˚
a samma
s¨att svarar multiplikation av z med 1 + i mot multiplikation av absolutbeloppet
√
med 2 och rotation π/4 radianer:
√
√
(1 + i)z = 2eiπ/2 · reiθ = ( 2r)ei(θ+π/4) .
Allm¨ant svarar rotationer θ radianer mot multiplikationer med eiθ . Detta ¨ar ett bra exempel p˚
a den geometriska anv¨andbarheten av komplexa tal.
Vi kan uttrycka analysen av multiplikation ovan mer kompakt s˚
a h¨ar: vid multiplikation av komplexa tal, multipliceras absolutbeloppen och argumenten adderas. Satsen fungerar f¨orst˚
as analogt om vi multiplicerar med fler tal ¨an tv˚
a. Om vi allts˚
a tar potenser av
ett tal s˚
a f˚
ar vi f¨oljande sats.
Sats 35. (De Moivres formel). Antag att vi har ett komplext tal z = r(cos θ + i sin θ),
och att n ∈ Z ¨ar ett heltal. D˚
a ¨ar
z n = rn (cos nθ + i sin nθ).
(22)
Bevis. Vi har
z 2 = z · z = r2 (cos(θ + θ) + i sin(θ + θ)) = r2 (cos 2θ + i sin 2θ).
Forts¨atter vi, f˚
ar vi
z 3 = z · z 2 = r · r2 (cos(θ + 2θ) + i sin(θ + 2θ)) = r3 (cos 3θ + i sin 3θ).
o s v. Negativa tal n behandlas analogt, med utg˚
angspunkt i den nyss bevisade identiteten
z −1 = r−1 cos(−θ) + i sin(−θ) .
84
¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER.
6. KOMPLEXA TAL: POLAR
Exempel 57. Best¨am (1 − i)99 p˚
a formen a + bi. Ange speciellt i vilken kvadrant det
ligger.
√
√
√
L¨osning: Eftersom |1 − i| = 2 och en l¨osning till 2 cos θ = 1 och 2 sin θ = −1 ges
(rita bild!) av θ = 7π/4, s˚
a ¨ar
√
1 − i = 2ei7π/4 .
Allts˚
a ¨ar
√
z := (1 − i)99 = ( 2)99 ei99·7π/4 .
Vi kan f¨orenkla. Absolutbeloppet av z ¨ar
√
√
√
( 2)99 = ( 2)2·49+1 = 249 2
och z:s argument ¨ar 99 · 7π/4 = 173.25π. F¨or att f˚
a reda p˚
a i vilken kvadrant z ligger
utnyttjar vi att alla tal som skiljer sig fr˚
an 173.25π med en heltalsmultipel av 2π ocks˚
a ¨ar
argument till z. Skriv 173.25π = 86 · 2π + 1.25π. Allts˚
a ¨ar sammantaget
√
(1 − i)99 = 249 2ei1.25π .
Allts˚
a ¨ar svaret tredje kvadranten (kom ih˚
ag att kvadranter numreras moturs med start
i f¨orsta kvadranten d¨ar b¨agge koordinaterna ¨ar positiva.) F¨or ¨ovrigt kan man l¨att ber¨akna
1
i
1
ei1.25π = cos 1.25π + i sin 1.25π = − √ − √ = − √ (1 + i).
2
2
2
D¨armed
(1 − i)99 = −249 (1 + i).
Mycket information om trigonometriska funktioner f¨orenklas med anv¨andning av komplexa koordinater.
Exempel 58. Formel (22) ovan s¨ager (f¨or n = 2) att
(cos θ + i sin θ)2 = cos 2θ + i sin 2θ.
Kvadrerar vi v¨ansterledet p˚
a traditionellt s¨att f˚
ar vi
(cos2 θ − sin2 θ) + i(2 sin θ cos θ).
Dessa tv˚
a uttryck ska vara desamma, och allts˚
a har vi att cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ och att
sin 2θ = 2 sin θ cos θ. Detta ¨ar ju formlerna f¨or f¨ordubbling av vinkeln, och de ¨ar allts˚
a
en r¨att omedelbar konsekvens av potenslagarna f¨or komplexa tal. (Javisst, logiken h¨ar
a fram potenslagarna, men
¨ar cirkul¨ar, eftersom vi anv¨ande additionsreglerna f¨or att f˚
det ¨ar inte fr˚
agan om det h¨ar utan vilken trigonometrisk information som ligger g¨omd
i potenslagarna. F¨or ¨ovrigt kan man ge direkta bevis av dessa, men d˚
a kr¨avs en st¨orre
apparat.) P˚
a samma s¨att ger formel (22) (f¨or n = 3) och lite kreativ anv¨andning av
trigonometriska ettan cos2 θ + sin2 θ = 1 att
cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ
¨ REPRESENTATION.
2. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV KOMPLEXA TAL I POLAR
85
och att
sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ.
fbinomisk
Den f¨orsta identiteten f¨oljer t ex ur
cos 3θ = Re (ei3θ ) = Re [(cos θ + i sin θ)3 ] =
= cos3 θ − 3 cos θ · sin2 θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
Exempel 59. Givet ett positivt heltal n. Vi vill r¨akna ut
S(x) = 1 + 2 cos x + ... + 2 cos nx.
Om vi t¨anker lite suddigt men komplext h¨ar, ser vi att detta n¨astan ¨ar som en geometrisk
serie. Om vi n¨amligen ist¨allet f¨or cos kx hade haft eikx , s˚
a hade alla termerna varit potenser av en och samma eix . Och geometriska serier kan vi addera. F¨ors¨oker vi precisera
detta, kan vi t ex utnyttja 2 cos x = eix + e−ix D˚
a ¨ar
S(x) =
=1 + 2 cos x + ... + 2 cos nx = 1 + (eix + e−ix ) + ... + (einx + e−inx ) =
=e−inx + e−i(n−1)x + ...1 + ... + ei(n−1)x + einx =
=
ei(n+1)x − e−inx
eix − 1
(Tredje raden visar att det ¨ar en geometrisk f¨oljd med kvoten eix , vars f¨orsta term ¨ar
e−inx och sista ¨ar einx . I den sista likheten har vi anv¨ant formeln f¨or summan av en
geometrisk f¨oljd i f¨oljande form: t¨aljaren ¨ar skillnaden mellan f¨orsta termen i f¨oljden och
den term ei(n+1)x som skulle komma omedelbart efter den sista, n¨amnaren ¨ar skillnaden
mellan kvoten av f¨oljden och 1.) Eftersom summan av reella tal ¨ar reell borde detta v¨al
synas i svaret, s˚
a man f˚
ar forts¨atta leta efter en l¨amplig omformulering. Suck! Vi skulle nu
bara kunna ers¨atta exponentialfunktionerna i uttrycket med sina rektangul¨ara koordinater,
och r¨akna p˚
a med formeln f¨or division av komplexa tal och f˚
a ut ett uttryck f¨or S(x) i
termer av cosinus och sinus av (n + 1)x, nx och x. (G¨or inte dessa r¨akningar, men t¨ank
g¨arna igenom hur det skulle se ut!). D¨armed har vi f¨orst˚
as l¨ost problemet. Men, skam till
s¨agandes i en kurs som inte vill l¨ara ut eng˚
angstrick utan bara tjusiga metoder, det finns
en ¨annu enklare formel, men d˚
a m˚
aste man anv¨anda f¨oljande id´e.
86
¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER.
6. KOMPLEXA TAL: POLAR
Multiplicera b˚
ade n¨amnaren och t¨aljaren i det sista uttrycket nyss med e−ix/2 . Det
f¨or¨andrar inte uttryckets v¨arde, s˚
a
ei(n+1)x − e−inx
=
eix − 1
(ei(n+1)x − e−inx )e−ix/2
=
=
(eix − 1)e−ix/2
S(x) =
1
1
=
ei(n+ 2 )x − e−i(n+ 2 )x
1
1
ei 2 x − e−i 2 x
sin(n + 12 )x
=
.
sin x2
=
eix − e−ix
f¨or sin x i termer av exponen2i
tialfunktionen tidigare (Sats 31). Formeln f¨or S(x) ¨ar anv¨andbar i t ex signalbehandling
men h¨ar platsar den som ett exempel p˚
a samspelet mellan trigonometriska formler och
komplexa tal.
Den sista likheten f¨oljer ur uttrycket sin x =
Exempel 60. Eulers identitet ¨ar eπi = −1. Detta eleganta samband knyter ihop fyra
fundamentala tal, som kommer fr˚
an till synes helt olika delar av matematiken. F¨or drivna
konspirationsteoretiker ¨ar det inte sv˚
art att dra h¨oga v¨axlar p˚
a den, men vi hoppar ¨over
vad den har med matematisk sk¨onhet att g¨ora och huruvida den ¨ar ett bevis p˚
a Guds
existens och noterar bara att det ocks˚
a mer trivialt ¨ar sant att e2πi = 1 och mer generellt
att ex+2πi = ex .
3. Binomiska ekvationer.
Vi ska nu studera en polynomekvation med bara tv˚
a termer, en s k binomisk ekvation.
Antag att w ∈ C och att n ¨ar ett positivt heltal, och betrakta ekvationen
z n = w.
Hade det handlat om reella tal, s˚
a att w = r ∈ R, skulle vi ha l¨ost den genom att dra
roten ur b¨agge sidor. Vi hade varit tvungna att skilja p˚
a om n ¨ar j¨amnt eller ej, och om
r ≥ 0, f˚
att l¨osningarna
√
z = ± n r, om n j¨amnt
√
z = n r, om n udda
Ekvationen z 4 = 1, har s˚
alunda de tv˚
a reella l¨osningarna z = ±1, medan z 3 = 1 har
den enda reella l¨osningen z = 1. Situationen f¨or komplexa l¨osningar ¨ar totalt annorlunda.
Speciellt s˚
a finns det alltid precis lika m˚
anga l¨osningar som ekvationens gradtal, och vi
3. BINOMISKA EKVATIONER.
87
kan skriva upp dem explicit i pol¨ar form. Id´en ¨ar att skriva w = r(cos θ + i sin θ) p˚
a pol¨ar
form och utnyttja de Moivres sats (Sats 35).
Sats 36. Ekvationen z n = r(cos θ + i sin θ), r > 0 har l¨osningarna
1
θ k2π
θ k2πi n
) + i sin( +
) =
z =r cos( +
n
n
n
n
θ
1
k2π
=r n e( n + n )i ,
k = 0, 1, ..., n − 1.
Speciellt finns det alltid l¨osningar, lika m˚
anga som ekvationens gradtal n.
Satsen s¨ager f¨orst att alla l¨osningarna har samma absolutbelopp r1/n (som f¨or den
reella varianten) och sedan att argumentet f¨or en l¨osning ¨ar θ/n adderat med en multipel
av ett n:te dels helt varv. Ritar man upp l¨osningarna i det komplexa talplanet, ligger de
allts˚
a som h¨ornen i en regelbunden n-h¨orning. (Se figuren nedan.)
Bevis. Vi ans¨atter att i pol¨ara koordinater
z = s(cos η + i sin η),
s˚
a att enligt de Moivres sats
z n = sn (cos nη + i sin nη),
ger pol¨ara koordinater f¨or z n . Nu utnyttjar vi att tv˚
a tal har samma pol¨ara koordinater
om och endast om deras absolutbelopp ¨ar lika, samt deras argument skiljer sig ˚
at med en
multipel av 2π. Allts˚
a ¨ar z n = w om och endast om
sn = r
nη = θ + a · 2π, a ∈ Z.
Ur detta ser vi att
1
s = rn
θ 2aπ
η= +
i, a ∈ Z.
n
n
Detta verkar ju som detta ger de pol¨ara koordinaterna f¨or o¨andligt m˚
anga l¨osningar, en
f¨or varje a ∈ Z. Men vi vet (enligt en sats i avsnittet om heltal) att varje a ∈ Z kan
skrivas unikt som a = k + bn d¨ar k, b a¨r heltal och resten k = 0, 1, 2, ..., n − 1. Allts˚
a a¨r
a/n = k/n + b och varje
η=
θ 2aπ
θ 2kπ
+
i= +
i + 2bπ
n
n
n
n
88
¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER.
6. KOMPLEXA TAL: POLAR
skiljer sig allts˚
a med en heltalsmultipel 2bπ av 2π fr˚
an en av l¨osningarna
θ 2kπ
+
i d¨ar k = 0, 1, ..., n − 1
n
n
i satsen, och ger allts˚
a samma komplexa tal.
Exempel 61. L¨osningarna till z 5 = 1 f˚
as direkt ur satsen ovan. Vi har att 1 =
1 · (cos 0 + i sin 0) = e0 , och de fem l¨osningarna ¨ar
2kπ
2kπ
2kπ
) + i sin(
) = e 5 i , k = 0, 1, 2, 3, 4.
5
5
De ¨ar plottade i figuren nedan.
z = cos(
1.0
ã2 Πä5
2×2 Πi5
ã
0.5
2Π/5
-1.5
-1.0
0.5
-0.5
1.0
-0.5
ã3×2 Πi5
-1.0
e4×2 Πi5
-1.5
Figur 4. L¨osningarna till z 5 = 1 bildar en regelbunden femh¨orning.
3.1. P˚
a˚
aterbes¨
ok hos komplexa andragradsekvationer. Som en konsekvens av
den allm¨anna teorin f¨or binomiska ekvationer i f¨oreg˚
aende avsnitt, f˚
ar vi att en kvadratisk
ekvation alltid har l¨osningar. Vi visar varf¨or i tv˚
a exempel.
Exempel 62. L¨os ekvationen z 2 + 4z + 7 = 0.
L¨osning: Via kvadratkomplettering ser vi att z 2 +4z+7 = (z+2)2 +3, s˚
a att ekvationen
+ 3 = 0. Nu√¨ar −3 = 3e−iπ , s˚
a
l¨
o
sningarna
¨ar ekvivalent med att w = z + 2 och w2√
√ −iπ/2+iπ i w√till
2
2
−iπ/2
w +3 = 0 ⇐⇒ w = −3 ¨ar dels w = 3e
= 3i och dels w = 3e √
= − 3i.
L¨osningarna till den ursprungliga ekvationen ¨ar allts˚
a z = w − 2 = −2 ± 3i.
¨
4. OVNINGAR
89
Exempel 63. L¨os ekvationen z 2 + 2iz − 1 − 2i = 0.
L¨osning: Kvadratkomplettering ger att z 2 +2iz −1−2i = (z +i)2 −2i, s˚
a att ekvationen
2
a l¨osa
¨ar ekvivalent med att w = z + i och w − 2i = 0. Vi ska allts˚
w2 = 2i.
Nu ¨ar 2i = 2eiπ/2 , s˚
a l¨osningarna till ekvationen i w ¨ar
√
√ 1
i
w1 = 2eiπ/4 = 2( √ + √ ) = 1 + i
2
2
och
√
w2 = 2eiπ/4+iπ = −w1 = −1 − i.
L¨osningarna till den ursprungliga ekvationen ¨ar allts˚
a
z = −i ± (1 + i) = −1 − 2i, eller 1.
¨
4. Ovningar
(1) Skriv
a formen a + ib de komplexa
tal vars absolutbelopp och argument ¨ar
√ p˚
√
a) 2,
b) 1, π, c) 2, 9π/4, d) 1, π/2, e) 1, 2π,
√ π/4,
f ) 1/ 2, −π/4, g) 1, −100π.
(2) Rita f¨oljande komplexa tal i ett talplan och ange argument,
√ absolutbelopp
√ och
pol¨ar form. a) 17,
b) −11, c) i, d) −1 + i, e) i 3 − 1, f ) 3 + 3i
π
π
2π
2π
(3) Vad ¨ar absolutbeloppet av a) cos +i sin , b) cos +i sin , c) cos θ+
8
8
27
27
i sin θ.
π
2π
(4) Vad ¨ar absolutbeloppet
av a) ei 8 ,
b) ei 27 , c) eiθ .
√
√
1
3 100
(5) Ber¨akna ( +i
) . (Att cos(π/3) = 1/2 och sin(π/3) = 3/2 ¨ar anv¨andbart.)
2
2
(6) Anv¨and de Moivre’s formel f¨or att uttrycka sin 4θ och cos 4θ i termer av sin θ och
cos θ
(7) Anv¨and Eulers formler f¨or att h¨arleda ett uttryck f¨or sin α cos β, (i termer av
andra sinus- och cosinusv¨arden.)
(8) Uttryck sin4 θ i termer av cos θ, cos 2θ, cos 3θ, cos 4θ.
(9) Punkterna i det komplexa talplanet vrids vinkeln π/2 moturs kring origo. I vilket
tal ¨overg˚
ar 1 respektive −3 + 2i? Och a + bi? Beskriv avbildningen som multiplikation med ett komplext tal.
(10) Punkterna i det komplexa talplanet vrids vinkeln 5π/6 moturs kring origo och
multipliceras med 2. I vilket tal ¨overg˚
ar 1 respektive −1+i? Beskriv avbildningen
som multiplikation med ett komplext tal.
1
(11) Vad ¨ar ez om z ¨ar a) 0,
b) iπ/2, c) ln 2 + iπ/4, d) iπ, e) 3 − i.
2
(12) Best¨am real- och imagin¨ardelarna av funktionerna
¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER.
6. KOMPLEXA TAL: POLAR
90
1 + ix
, x ∈ R,
1 − ix
b) x 7→ e(−1+i)x , x ∈ R.
Visa att om z = x + iy, s˚
a ¨ar |ez | = ex . Vad ¨ar Arg(ez )?
L¨os ekvationerna
a) z 2 = 5 + 12i
b) z 2 − (2 + 2i)z − 5 − 10i = 0
L¨os ekvationerna (observera att du har tillg˚
ang till 2 metoder!)
a) z 2 = −i,
b) z 2 = 1 + i.
L¨os f¨oljande ekvationer och rita ut r¨otterna i det komplexa talplanet
b) z 3 = 1 + i, c) z 5 = 4i.
a)
(13)
(14)
(15)
(16)
x 7→
a) z 3 = i,