Komplexa tal. - Linear Algebra
Transcription
Komplexa tal. - Linear Algebra
KAPITEL 5 Komplexa tal. ”Your momma thinks square roots are vegetables” (f¨orol¨ampning i ett Calvin och Hobbesalbum) 1. Introduktion. 1.1. Bakgrund. Att n˚ agot a¨r ett tal inneb¨ar l¨ost sagt att det ska g˚ a att r¨akna med det, ungef¨ar som man kan r¨akna med vanliga heltal. Allts˚ a att samma r¨aknelagar - t ex den distributiva lagen - ska g¨alla. Vi har st¨ott p˚ a flera typer av tal f¨orutom heltal (betecknade med Z), n¨amligen rationella tal (allts˚ a kvoter mellan heltal, betecknade Q) och reella tal eller o¨andliga decimalbr˚ ak (betecknade med R). Ytterligare en typ ¨ar komplexa tal. De komplexa talen har tv˚ a ursprung. Ett ¨ar algebraiskt, och id´ehistoriskt tankev¨ackande: i 1500-talsformler f¨or r¨otter f¨or tredje och fj¨ardegradsekvationer dyker det upp kvadratr¨otter ur negativa tal, som ett n¨odv¨andigt mellanled. S˚ adana finns ju inte, enligt de definitioner vi hittils anv¨ant oss av, och det ans˚ ag man ocks˚ a p˚ a medeltiden. Men det var tekniskt bekv¨amt att behandla kvadratr¨otterna som ett slags tal, fast ”imagin¨ara”, p˚ a l˚ atsas, till skillnad mot de verkliga, ”reella” talen. Slutresultaten blev ju ¨and˚ a l¨osningar som var riktiga reella tal, och det kunde kollas med ins¨attning av r¨otterna att denna utflykt i fantasin gav korrekta resultat. Efter n˚ agra hundra ˚ ars komplext slavarbete och i ett mer filosofiskt sofistikerat tankeklimat, best¨amde matematiker sig f¨or att att ge de komplexa talen samma status som de reella - d v s de existerar. Man utvecklade kring 1800 den teori f¨or dem som vi strax ska g˚ a igenom. Detta skedde ocks˚ a under p˚ averkan av det andra ursprunget till intresset f¨or dem - det geometriska. Visst ¨ar det s˚ a att reella tal ¨ar som mest ¨overtygande och dessutom anv¨andbara n¨ar vi utnyttjar dem f¨or att beskriva ett l¨age l¨angs en linje och ser dem som punkter l¨angs den rella tallinjen. Addition och subtraktion kan dessutom p˚ a linjen tolkas som geometriska operationer d¨ar vi flyttar punkter. D˚ a uppst˚ ar naturligt fr˚ agan: kan vi inte g¨ora detsamma i planet? (Eller rummet?) Med syftet st¨allt p˚ a att f¨orenkla en del geometri, t ex vinkelber¨akningar. Vi ska se att de komplexa talen svarar precis mot punkter i ett talplan, och multiplikation och addition av dem blir allts˚ a ”multiplikation” och ”addition” av punkter. (Att detta var praktiskt anv¨andbart, indikeras av att en av 63 64 5. KOMPLEXA TAL. pionj¨arena f¨or detta geometriska syns¨att var en lantm¨atare - dansken Caspar Wessel ca 1800.) I en viss mening ¨ar det trots allt mycket enklare att ha att g¨ora med o¨andliga decimalbr˚ ak a¨n med ¨andliga. Om vi inskr¨anker oss till ¨andliga decimalbr˚ ak, s˚ a finns det t 2 ex ingen l¨osning till ekvationen 3x = 1, eller x = 2. Det finns f¨orst˚ as n¨armev¨arden till l¨osningar, allts˚ a ¨andliga decimalbr˚ ak x f¨or vilka 3x ≈ 1 och x2 ≈ 2, men ska vi arbeta med dessa i praktiken, tvingas vi hela tiden bokf¨ora hur exaktheten i dessa n¨armev¨arden f¨or¨andras i olika matematiska r¨akningar, tex n¨ar vi multiplicerar med riktigt stora tal. Det ¨ar vad man m˚ aste g¨ora i numerisk matematik och ofta i till¨ampningar av matematik. D¨arf¨or ¨ar det faktiskt mycket enklare att kunna ta till o¨andliga decimalbr˚ ak, veta t ex 2 att det alltid existerar l¨osningar till x = a ≥ 0, och bara bekymra sig om l¨osningarnas decimaler n¨ar man verkligen m˚ aste, eller det okomplicerade livet i R mist sin oskuldsfulla tjusning. P˚ a ett liknande s¨att g¨or de komplexa talen livet enklare. Vi ska se n˚ agra exempel p˚ a detta, t ex hur ekvationer alltid har l¨osningar, men det finns m˚ anga fler. Komplexa tal a v¨asentliga f¨or m˚ anga till¨ampningar, t ex i teoretisk fysik eller signalbehandling, ¨ar ocks˚ och ¨aven, osannolikt nog, f¨or snabba moderna algoritmer f¨or att multiplicera ihop heltal p˚ a datorer. 2. Definition. F¨orst ska vi ge en formell definition, som inte g¨or n˚ agon glad, och sedan ska vi se hur enkelt det ¨and˚ a ¨ar att r¨akna med komplexa tal i praktiken. Definition 13. Ett komplext tal z ¨ar ett talpar z = (a, b) av reella tal a, b. Summan av tv˚ a komplexa tal definieras genom addition komponentvis: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ), medan multiplikation definieras av en mer komplicerad formel (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ). M¨angden av de komplexa talen betecknas med C. Notera att additionen ¨ar enkel och sker koordinatvis. Den ¨ar f¨or ¨ovrigt precis densamma som additionen av vektorer i R2 , s˚ a redan h¨ar har vi en koppling till geometrin i planet. Multiplikationen verkar d¨aremot uppsatt p˚ a en h¨oft, och visst ser det osannolikt ut att den ska f¨olja vanliga multiplikationsregler? H¨ar ¨ar n˚ agra direkta konsekvenser av definitionen. Exempel 47. (a1 , a2 , b, c, d ∈ R) 1) (1, 1) · (1, 1) = (0, 2) 2) (a1 , 0) + (a2 , 0) = (a1 + a2 , 0) 2. DEFINITION. 3) 4) 5) 6) 7) 65 (a1 , 0) · (a2 , 0) = (a1 a2 , 0) (a1 , 0) · (c, d) = (a1 c, a1 d). (a, b) · (1, 0) = (a, b) (a, b) + (0, 0) = (a, b) (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0). Definitionen ovan av multiplikation och addition ¨ar f¨orst˚ as l¨att att till¨ampa, men samtidigt sv˚ ar att f˚ a k¨ansla f¨or. F¨or att f¨orenkla detta ska vi f¨orst se att de reella talen faktiskt ¨ar inneh˚ allna i de komplexa talen (fast under en pseudonym). Om vi n¨amligen tittar p˚ a 2)- 3) i exemplet ovan, ser vi att komplexa tal av typen (a, 0) beter sig precis som vanliga reella tal a under multiplikation och addition. Vi upprepar f¨oljande l¨attverifierade regler: Sats 20. (a1 , a2 , c, d ∈ R) 1) (a1 , 0) + (a2 , 0) = (a1 + a2 , 0) 2) (a1 , 0) · (a2 , 0) = (a1 a2 , 0) 3) (a1 , 0) · (c, d) = (a1 c, a1 d). Den sista regeln s¨ager att multiplikation med (a1 , 0) bara inneb¨ar att varje koordinat av det komplexa talet (c, d) multipliceras med a1 . Den operationen dyker ocks˚ a upp i R2 som multiplikation av en vektor med en skal¨ar. Vi kommer nu ¨overens om att det reella talet a och det komplexa talet (a, 0) bara a beteckningar f¨or samma tal, och har d¨armed att de reella talen ¨ar inneh˚ allna i de ¨ar tv˚ komplexa. Eftersom den algebraiska strukturen ¨ar densamma - multiplikation och addition beter sig likadant - ger detta inte n˚ agra problem med r¨akningar. (Detta sker med samma sj¨alvklara moraliska r¨att som vi l˚ ater heltalen vara en del av de rationella talen, genom att identifiera ett heltal m med br˚ aket m/1). Vi kan d¨armed identifiera det komplexa talet (a, 0) med det reella a. Nu kommer den avg¨orande f¨orenklingen. Vi kan skriva varje komplext tal z = (a, b) som z = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a + b · (0, 1), d¨ar vi i sista likheten anv¨ander identifikationen mellan a och (a, 0), samt b och (b, 0). Vi sammanfattar. Sats 21. Definiera i := (0, 1). Varje komplext tal z = (a, b) kan skrivas som z = a + bi, a, b reella tal. Det komplexa talet i kallas den imagin¨ara enheten. Detta ¨ar det vanliga s¨attet att skriva komplexa tal p˚ a, och det ¨ar den form av talen med vilken man b¨or l¨ara sig r¨akna med dem. L¨agg m¨arke till att vi har a + 0 · i = a och 0 + bi = bi. 66 5. KOMPLEXA TAL. 3. Att r¨ akna p˚ a riktigt med komplexa tal. Enligt definitionen p˚ a multiplikation ¨ar i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0). Allts˚ a a¨r kvadraten p˚ a det komplexa talet i det reella talet −1: i · i = i2 = −1, s˚ a det finns ett komplext tal vars kvadrat ¨ar −1! Varf¨or utropstecknet? Jo, n˚ agot s˚ adant reellt tal finns f¨orst˚ as inte. (Genom en fiffig nydefinition av multiplikation har vi fixat en kvadratrot till −1, och om l¨asaren k¨anner att det ligger n˚ agot av bilskojeri ¨over detta, och v¨agrar bli impad, s˚ a ¨ar det inte helt fel. Men vi ˚ aterkommer till varf¨or detta inte ¨ar ett fall f¨or allm¨anna reklamationsn¨amnden om ett tag.) Vi ska se att identiteten i2 = −1 ¨ar s˚ a gott som det enda man beh¨over komma ih˚ ag av multiplikationsformeln i definitionen av komplexa tal. Ty addition (a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i, a i som en slags ¨ar ju bara samma typ av addition som vi haft f¨or polynom - t¨ank p˚ variabel, typ x. Multiplikation beter sig ocks˚ a som multiplikation av polynom. Enligt den jobbiga definitionen av multiplikation ovan ¨ar (a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i. Men det ¨ar samma resultat som vi f˚ ar om vi bara r¨aknar p˚ a och anv¨ander den distributiva lagen vid multiplikation ev tv˚ a parenteser. (a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) =a1 a2 + a1 b2 i + a2 b1 i + b1 b2 i2 = =(a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i. Mer precist: den f¨orsta likheten h¨ar ¨ar precis vad vi skulle ha f˚ att om vi betraktat a1 + b1 i som ett polynom i ”variabeln” i och multiplicerat det med ett annat polynom a2 + b2 i, medan den sista likheten bara anv¨ander sig av den fundamentala likheten i2 = −1, f¨or att ers¨atta b1 b2 i2 med −b1 b2 . Vi har allts˚ a f¨oljande praktiska tumregel: R¨akna med komplexa tal som om de vore polynom, med den extra regeln att s˚ a fort som i2 dyker upp ers¨atts den med −1. Exempel 48. 1) (1+2i)+(3+4i)+(5+6i) = (1+3+5)+(2+4+6)i = 9+12i. 2) (2 + 3i)(1 − i) = 2 · 1 + 2 · (−i) + (3i) · 1 + 3i · (−i) = 2 − 2i + 3i + 3 = 5 + i. 3) (a + bi)(a − bi) = a2 − abi + bai − b2 i2 = a2 + b2 . 4) Ekvationen z + 2i = 1 + 3i l¨oses p˚ a vanligt s¨att genom att dra bort 2i fr˚ an b¨agge sidor och har l¨osningen: z = (z + 2i) − 2i = (1 + 3i) − 2i = 1 + i. Den viktiga intuitionen att vi kan r¨akna med komplexa tal enligt samma regler som med reella tal och polynom kan preciseras s˚ a h¨ar. Nedanst˚ aende regler ¨ar det som certifierar att de objekt vi definierat verkligen kan kallas ”tal”. 4. KOMPLEXA TALPLANET. 67 Sats 22. . F¨oljande r¨aknelagar g¨aller f¨or r¨akning med komplexa tal: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0 + z = z, z + u = u + z, (z + u) + w = z + (u + w), om z + u = w + u s˚ a f¨oljer att z = w, 1 · z = z, z · u = u · z, (z · u) · w = z · (u · w), om z · u = 0 och u 6= 0, s˚ a ¨ar z = 0, z · (u + w) = z · u + z · w. Bevis. De flesta av dessa lagar ¨ar l¨atta att verifiera genom att man g˚ ar tillbaka till definitionen av multiplikation och addition. T ex s˚ a f¨oljer 1) direkt ur (0, 0) + (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b). L˚ at oss emellertid bevisa 8), som ¨ar lite klurigare. Antag att z = x + yi och att u = c + di. D˚ a ¨ar zu = (xc − yd) + (xd + yc)i, som ¨ar 0 precis n¨ar b˚ ade xc − yd = 0 xd + yc = 0 Multiplicera den undre ekvationen med c och den ¨ovre med d och ta skillnaden: c(xd + yc) − d(xc − yd) = (c2 + d2 )y = 0. Eftersom u = (c, d) 6= 0, s˚ a ¨ar ˚ atminstone en av c, d 2 2 skilda fr˚ an 0 och d¨arf¨or c + d 6= 0, och d¨armed m˚ aste y = 0. D˚ a blir systemet ovan xc = 0 = xd, och eftersom ˚ atminstone en av c, d var skild fr˚ an 0, m˚ aste ocks˚ a x = 0. Allts˚ a ¨ar z = x + yi = 0. 4. Komplexa talplanet. Varje komplext tal a + bi svarar mot talparet (a, b), som i ett r¨atvinkligt koordinatsystem ger en punkt med dessa koordinater i planet. N¨ar man ser planet som best˚ aende av komplexa tal a + bi = (a, b), s˚ a kallas planet det komplexa talplanet. Den horisontella koordinataxeln best˚ ar av alla komplexa tal av formen a = (a, 0) = a + 0 · i, d v s av alla reella tal. Den kallas d¨arf¨or reella axeln. Den vertikala axeln best˚ ar av alla komplexa tal som har formen (0, b) = bi, de s k rent imagin¨ara talen, och kallas den imagin¨ara axeln. Om z = a + bi kallas koordinaterna a respektive b f¨or realdelen respektive imagin¨ardelen av z, och man skriver Re z = a, Im z = b. 68 5. KOMPLEXA TAL. Imaginära 2i axeln 2+2i 2 Reella axeln Figur 1. Komplexa talplanet Exempel 49. 1) M¨angden av komplexa tal z = x + iy s˚ adana att Re z = 0 ¨ar precis den imagin¨ara axeln, medan den reella talaxeln kan beskrivas med ekvationen Im z = 0. 2) Vilka komplexa tal z = a + bi uppfyller Re (1 + i)z = 0? Eftersom (1 + i)z = (a − b) + (a + b)i ¨ar Re (1 + i)z = a − b. Allts˚ a ¨ar de s¨okta talen precis de som uppfyller att a−b = 0 ⇐⇒ a = b. Det ¨ar den ekvation som definierar diagonalen i det komplexa talplanet. Definition 14. Om z = a + bi, a, b ∈ R ¨ar ett komplext tal kallas z = a − bi dess (komplexa) konjugat. Geometriskt svarar konjugering mot spegling i den reella talaxeln. Den absolut viktigaste egenskapen hos konjugatet a¨r att zz = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 ≥ 0, d v s produkten ¨ar ett reellt ickenegativt tal som bara ¨ar 0 om z = 0. Genom multiplikation med konjugatet kan vi allts˚ a f˚ a ett l¨abbigt komplext tal att bli sl¨atslickat reellt. 5. Division av komplexa tal. Saker blir (ibland) klarare (till en viss gr¨ans) ju mer filosofisk man ¨ar. Vad ¨ar allts˚ a filosofiskt sett kvoten a/b av tv˚ a reella tal a, b egentligen? Uppenbarligen ¨ar b(a/b) = a, s˚ a kvoten ¨ar ett reellt tal med egenskapen att om man multiplicerar den med b f˚ ar man a. Vi vet ocks˚ a att a/b ¨ar det enda talet med denna egenskap. Allts˚ a skulle vi ha kunnat definiera x = a/b, som det unika talet med egenskapen bx = a. Detta ¨ar ett elegant s¨att att definiera talet, som tr¨affar den v¨asentliga egenskapen hos division: att vi anv¨ander det 5. DIVISION AV KOMPLEXA TAL. 69 f¨or att l¨osa ekvationer, men det har f¨orst˚ as nackdelen att vi inte inser hur vi ska ber¨akna det, eller ens om det finns. Men det kan man l¨osa, om inte annat s˚ a vet n¨armsta lilla mobiltelefon hur. S˚ alunda, den v¨asentliga egenskapen hos en kvot av reella tal ¨ar: bx = a ⇐⇒ x = a/b, (a, b reella tal, b 6= 0.) F¨or att definiera division av komplexa tal, ska vi allts˚ a definiera och sedan l¨osa motsvarigheten till detta. S˚ a vi definierar l¨att Definition 15. Kvoten z = u/v ¨ar den unika l¨osningen till ekvationen vz = u (u, v komplexa tal, v 6= 0.) (13) Det ser ju bra ut, men ¨ar f¨orst˚ as bara sn¨omos, tills vi har visat i) att det finns en l¨osning och ii) att det bara finns en enda l¨osning. Det ¨ar r¨att l¨att. Titta p˚ a f¨oljande komplexa tal som vi p˚ ast˚ ar l¨oser ekvationen och allts˚ a ¨ar kvoten u/v. z = (vv)−1 uv = uv . vv Observera f¨orst att vv ¨ar ett reellt tal som ¨ar skilt fr˚ an 0 eftersom v 6= 0 (enligt Sats 22.8)) och d¨arf¨or finns (vv)−1 som en vanlig reell kvot, och kan allts˚ a ocks˚ a betraktas som ett komplext tal. Allts˚ a ¨ar z, som produkt av tre komplexa tal ett komplext tal. Stoppar vi in detta z i ekvation (13) ser vi att vv vz = v (vv)−1 uv = u = 1 · u = u, vv s˚ a z l¨oser ekvationen. Observera att (13) ocks˚ a talar om hur vi ska r¨akna ut kvoten. Sats 23. . Givet tv˚ a komplexa tal u, v 6= 0. D˚ a finns en och endast en l¨osning till ekvationen vz = u, n¨amligen z = (vv)−1 uv. (14) Bevis. Vi s˚ ag ovan att det finns en l¨osning, som ges av den angivna formeln. Antag att det fanns fler, s˚ a att vi ocks˚ a hade vz1 = u = vz2 . D˚ a ¨ar 0 = vz1 − vz2 = v(z1 − z2 ). S¨att w := z1 − z2 , s˚ a att vi har tv˚ a komplexa tal v, w vars produkt ¨ar 0. D˚ a g¨aller, enligt Sats 22.8) att w = 0. Eftersom 0 = w = z1 − z2 , s˚ a ¨ar d˚ a z1 = z2 , och vi har inte tv˚ a olika l¨osningar, utan bara en enda! Vilket ju var det vi ville visa. Det ¨ar dags att se n˚ agra konkreta exempel p˚ a kvoter. 70 5. KOMPLEXA TAL. Exempel 50. 1) L¨os ekvationen (2+3i)z = 1+i. Ist¨allet f¨or att bara sj¨all¨ost skriva upp formeln ovan, l¨oser vi denna ekvation s˚ a h¨ar. Multiplicera p˚ a b¨agge sidor med konjugatet 2 − 3i till 2 + 3i. Det ger (2 − 3i)(2 + 3i)z = (2 − 3i)(1 + i) ⇐⇒ (22 + 32 )z = 5 − i ⇐⇒ z = 5 i − . 13 13 H¨ar anv¨ande vi att (2 − 3i)(2 + 3i) = 22 + 32 = 13, och att delning med reella tal sker koordinatvis. 2) Ber¨akna (2 + i)/(1 − i). Vi g¨or samma r¨akning, men presenterar den s˚ a h¨ar: (2 + i)(1 + i) 1 + 3i 1 3i 2+i = = = + . 1−i (1 − i)(1 + i) 2 2 2 H¨ar har vi allts˚ a f¨orl¨angt med konjugatet till n¨amnaren, s˚ a att vi f˚ ar ett reellt tal i n¨amaren, samt r¨aknat ut t¨aljaren med vanlig multiplikation av komplexa tal. 5.1. Mer om konjugat. Sats 24. L˚ at z = a + bi och w = c + di vara komplexa tal. D˚ a g¨aller f¨oljande. 1) 2) 3) 4) (z) = z. Vidare ¨ar z = z om och endast om z ¨ar ett reellt tal. zz = a2 + b2 ≥ 0 ¨ar ett ickenegativt reellt tal. Likhet zz = 0 g¨aller bara om z = 0. zw = z¯w. ¯ z/w = z/w. a ¨ar b = 0, d v Bevis. 1) (a + bi) = a − bi = a + bi = z. Om z = a + bi = z = a − bi, s˚ 2 2 s z ¨ar reellt. 2) Vi har redan tidigare r¨aknat ut zz = a + b . Som en summa av kvadrater ¨ar detta tal uppenbarligen positivt och kan bara vara 0 om b¨agge kvadraterna ¨ar noll, d v s a = b = 0, s˚ a att z = 0. 3) Det ¨ar en enkel kalkyl men f¨or den som vill se den f¨oljer den h¨ar. Produkten zw = (ac − bd) + (ad + bc)i, s˚ a att (zw) = (ac − bd) − (ad + bc)i och eftersom produkten z¯w¯ = (a − bi)(c − di) = (ac − bd) − (ad + bc)i s˚ a ¨ar 3) bevisad. zw z zw s˚ a ¨ar z = = · w = ... enligt likheten 3) ovan ¨ar det ... 4) Eftersom z = w w w z z = · w. B˚ ada leden i z = · w dividerar vi med w och f˚ ar ¨onskade likheten. w w F¨oljande samband mellan konjugering och real- respektive imagin¨ardel ¨ar ofta anv¨andbart. 5. DIVISION AV KOMPLEXA TAL. 71 Sats 25. Om z ¨ar ett komplext tal s˚ a ¨ar z−z z+z , Im z = . Re z = 2 2i Bevis. Om z = a + bi, a, b ∈ R, s˚ a ¨ar z + z = a + bi + a − bi = 2a = Re z, s˚ a att division med 2 ger den f¨orsta identiteten i satsen. Den andra f¨oljer p˚ a samma s¨att av z − z = a + bi − (a − bi) = 2bi = 2i Im z. 5.2. Absolutbelopp av komplexa tal. Som vi kan se i figuren nedan ¨ar avst˚ andet √ 2 2 fr˚ an z = a +√bi i komplexa talplanet till origo precis lika med a + b . Enligt Sats ¨ar detta precis zz. z=a+bi ¤ z¤ = a2 + b2 z=a-bi Figur 2. Konjugat och absolutbelopp Definition 16. Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi ¨ar √ √ |z| := a2 + b2 = zz. Sats 26. L˚ at z = a + bi och w = c + di vara komplexa tal. D˚ a g¨aller 1) 2) 3) 4) |z| = 0 ⇐⇒ z = 0, |zw| = |z||w|, |z/w| = |z|/|w|, |z|2 = zz. Bevis. Dessa egenskaper f¨oljer av de algebraiska egenskaperna f¨or konjugatet. Vi n¨ojer oss med att verifiera 2). Enligt sats 24 ¨ar zwzw = zwzw = (zz)(ww), 72 5. KOMPLEXA TAL. vilket ger att |zw| = q (zw)(zw) = p (zz)(ww) = √ √ zz ww = |z||w|. Vi kan f˚ a ut mer genom geometrin i det komplexa talplanet. Sats 27. (Triangelolikheten f¨or komplexa tal.) L˚ at z = a + bi och w = c + di vara komplexa tal. D˚ a g¨aller |z + w| ≤ |z| + |w| Bevis. Detta syns l¨att i nedanst˚ aende figur. Eftersom 0, z, w, z + w sp¨anner upp ett parallellogram har sidorna i triangeln med h¨orn 0, z, z + w l¨angderna |z|, |w|, |z + w|. Men det r¨ata linjesegmentet fr˚ an 0 till z + w, som har l¨angd |z + w| ¨ar den kortaste v¨agen fr˚ an 0 till z + w, och allts˚ a kortare ¨an summan av de tv˚ a andra sidornas l¨angder |z| + |w|, som ¨ar l¨angden av omv¨agen ¨over w. z+w w ¤w¤ ¤z+w¤ z ¤z¤ Figur 3. Triangelolikheten f¨or komplexa tal Exempel 51. Avst˚ andet mellan de komplexa talen u och z ¨ar |u − z|. Argument: S¨att w = z − u. D˚ a ¨ar u = z + (u − z) = z + w, och ur figuren som vi anv¨ande nyss framg˚ ar att avst˚ andet ¨ar |w| = |u − z|. 6. ANDRAGRADSEKVATIONER. 73 6. Andragradsekvationer. Nu ska vi se hur livet (i princip) blir enklare med komplexa tal, i alla fall om man slipper r¨akna med dem, utan kan h˚ alla sig p˚ a ett teoretiskt plan. Vi har sett att det ibland kan h¨anda att andragradsekvationer saknar reella r¨otter, t ex s˚ a har z 2 + 1 = 0 inte n˚ agra reella r¨otter z. D¨aremot s˚ a finns det ju en komplex rot z = i, och t o m tv˚ a stycken, eftersom −i ocks˚ a ¨ar en rot. Om vi l¨oser ekvationer i komplexa tal, s˚ a finns det f¨orst˚ as rimligtvis fler l¨osningar, eftersom vi har en st¨orre m¨angd att leta l¨osningar bland. Men det som ¨ar f¨orv˚ anande, det ¨ar att det alltid finns l¨osningar, och vi ska nu ge en metod att hitta dem (som alltid fungerar). Vi kan t o m till˚ ata koefficienterna i ekvationen att vara komplexa tal. Genom att p˚ a halvt taskspelarvis l¨agga till en rot till en enda ekvation, har vi allts˚ a f˚ att r¨otter till alla ekvationer. Sats 28. Ekvationen (u, v vilka komplexa tal som helst) z 2 + uz + v = 0 (15) har alltid l¨osningar. Om vi drar oss till minnes hur man hittade eventuella reella l¨osningar till en andragradsekvation, s˚ a inser vi att det var tv˚ a steg. F¨orst kom en algebraisk identitet: kvadratkomplettering och sedan en rotutdragning. Dessa tv˚ a steg kan vi fortfarande anv¨anda. Den st¨orsta skillnaden ¨ar att rotutdragningen ¨ar mer komplicerad. Exempel 52. L¨os z 2 + 4iz − (7 + 4i) = 0. F¨orst g¨or vi kvadratkompletteringen. Den s¨ager bara att polynomet z 2 + uz + v = (z + u/2)2 + (v − u2 /4). I v˚ art fall blir det (efter att ha r¨aknat ut v − u2 /4 = −(3 + 4i)) att z 2 + 4iz − (7 + 4i) = (z + 2i)2 − (3 + 4i). Inf¨or vi sedan den nya variabeln w = z + 2i, s˚ a blir ekvationen allts˚ a w2 = 3 + 4i. (16) Notera att precis som i l¨osningen av den reella andragradsekvationen ˚ aterst˚ ar nu bara en rotutdragning. Emellertid har vi ingen funktion att ta till, utan f˚ ar nu g¨ora detta f¨or hand. Ans¨att att w = x + yi, och stoppa in detta i (16). D˚ a f˚ ar vi w2 = x2 − y 2 + 2xyi = 3 + 4i, s˚ a att vi vet att x2 − y 2 = 3 2xy = 4. Vi kan f˚ a en ekvation till genom att ta absolutbeloppen av b¨agge sidor i (16). x2 + y 2 = |w|2 = |w2 | = |3 + 4i| = 5. (17) (18) 74 5. KOMPLEXA TAL. Nu har vi allts˚ a hela tre ekvationer som ger egenskaper hos futtiga tv˚ a obekanta, och det vore v¨al skrutt om vi inte kan best¨amma x, y! Hur ska vi d˚ a g¨ora? Observera att om vi l¨agger ihop ekvation (17) och (18), s˚ a blir vi av med y:na. Tar vi ist¨allet skillnaden s˚ a blir vi av med x:en. 2x2 = (x2 − y 2 ) + (x2 + y 2 ) = 3 + 5 = 8 2y 2 = −(x2 − y 2 ) + (x2 + y 2 ) = −3 + 5 = 2. Av detta ser vi att vi f˚ ar x2 = 4 ⇐⇒ x = ±2 och y 2 = 1 ⇐⇒ y = ±1. Detta ger oss fyra m¨ojliga l¨osningar, men bara w = x + yi = 2 + i och w = x + yi = −2 − i uppfyller villkoret att 2xy = 4, och ¨ar allts˚ a l¨osningar till (17-18). Utnyttjar vi nu att z = w − 2i, ser vi att v˚ ar urprungliga ekvation har de enda l¨osningarna z = 2 − i och z = −2 − 3i. 6.1. Kommentar till l¨ osningen. L˚ at oss sammanfatta l¨osningen i exemplet nyss, i mer abstrakta termer. F¨orst skrev vi, via kvadratkomplettering, om ekvationen som z 2 + uz + v = (z + u/2)2 + (v − u2 /4) = 0. Sedan satte vi u w = z + u/2 ⇐⇒ z = − + w. 2 V˚ ar ekvation (15) ¨ar allts˚ a ekvivalent med w2 = u2 /4 − v. Har vi en l¨osning w till w2 = u2 /4 − v, s˚ a ges en annan av −w, och fler finns inte, som vi strax ska se. Vi kan allts˚ a formulera den l¨osning vi genomf¨orde till (15) s˚ a h¨ar. Sats 29. L¨osningarna till z 2 + uz + v = 0 ¨ar u z = − ± w, 2 d¨ar w ¨ar en l¨osning till u2 − 4v w2 = . 4 u2 − 4v . Det enda som ˚ aterst˚ ar att visa ¨ar att de l¨osningar som 4 anges i satsen ¨ar de enda. Det f¨oljer av att om w = a l¨oser w2 = b, s˚ a har ekvationen w2 = b endast l¨osningarna w = ±a. N¨amligen, ur konjugatregeln f˚ ar vi, eftersom vi vet att a2 = b, Bevis. S¨att b = w2 − b = w2 − a2 = (w − a)(w + a) = 0 ⇐⇒ w − a = 0 eller w + a = 0, eftersom en produkt av komplexa tal ¨ar 0 om och endast om n˚ agon av faktorerna a¨r 0. Men w − a = 0 ⇐⇒ w = a och w + a = 0 ⇐⇒ w = −a. ¨ 7. OVNINGAR. 75 Satsens formel ¨ar precis den formel som vi anv¨ande f¨or att l¨osa andragradsekvationer u2 − 4v , som med reella koefficienter u och v, utom att d˚ a skrev vi l¨osningarna till w2 = 4 r u2 − 4v w=± . 4 F¨or allm¨anna komplexa koefficienter u och v b¨or vi inte kalla w i satsen ovan f¨or u2 − 4v kvadratroten ur , fast det ¨ar frestande. Det g˚ ar n¨amligen inte att definiera en 4 entydig kvadratrot ur komplexa tal, faktiskt g˚ ar det inte ens att ge en definition av en entydig kvadratrot ur negativa tal och samtidigt f¨orv¨anta sig att alla de kvadratr¨otter vi definierat sn¨allt ska uppfylla samma r¨akneregler som vi a¨r vana vid. Det f¨oljer av f¨oljande argument.√ Antag att vi best¨ammer√oss f¨or att kalla en av de tv˚ a r¨otterna ±i vars kvadrat a¨r −1 f¨or −1. T ex kan vi testa −1 = i. D˚ a a¨r −1 = √ p √ √ −1 −1 = (−1) · (−1) = 1 = 1, √ vilket ¨ar om¨ojligt. (Det blir samma fel med −1 a uppfyller v˚ ara kvadrat¨otter √ = −i.) Allts˚ √ √ a ¨ar f¨or inte l¨angre den enkla r¨akneregeln a b = ab, och man kan undra vad det d˚ vits med att a i litteraturen √ anv¨anda kvadratrotssymbolen. (Ibland anv¨ander man ¨and˚ symbolen −1 ist¨allet f¨or i, men det kan allts˚ a leda till problem, och d¨arf¨or har vi undvikit detta h¨ar.) N¨ar vi definierar kvadratroten ur ett reellt positivt tal a 6= 0, s˚ a ¨ar 2 situationen annorlunda. Det finns en positiv och en negativ l¨ o sning till x = a, och vi v¨ a ljer √ √ en av dem, n¨amligen den positiva och kallar a − a, √ den a. Den andra l¨osningen ¨ar d˚ och b¨agge l¨osningarna kan beskrivas som ± a. Vi anv¨ander allts˚ a i denna definition att vi har en ordning√p˚ a de reella talen: av tv˚ a reella tal ¨ar alltid ett st¨orst, och s˚ a definierar vi kvadratroten a som det st¨orsta av de tv˚ a l¨osningarna till x2 = a. F¨or komplexa tal finns det ingen liknande naturlig ordning, vilket ¨ar ett sk¨al till v˚ ara problem nyss med kvadratr¨otter. Vi ska i n¨asta kapitel se hur man kan bevisa att det alltid finns l¨osningar till en komplex andragradsekvation, med hj¨alp av pol¨ara koordinater. ¨ 7. Ovningar. (1) Best¨am Re z och Im z om z ¨ar f¨oljande tal: d) 5i, e) −i. a) 2 + 3i, b) 2 − 3i, c) 2, (2) Best¨am f¨oljande tal p˚ a formen a+bi: a) (2+3i)+(1+2i), b) (2+3i)+(1−2i), c) (2+3i)−(1−2i), d) (2+3i)·(1+2i), e) (2+3i)2 , f ) (5+i)3 , g) (1−i)4 . b) 1 − 3i, c) 3i, (3) Ber¨akna a) 2 + 3i, f ) | − 3 − 4i|, g) |4i|, h) | − 7i|, i) |i| d) (2 + 3i)(2 + 3i), e) |3 + 4i|, 76 5. KOMPLEXA TAL. (4) Best¨am f¨oljande tal p˚ a formen a + bi: d) 3 + 4i , 1 − 5i e) 1 , i a) 1 , 1+i b) 1 , 2 − 5i c) 1+i , 1−i f ) (1 + i)−2 . a) (1 + 3i)(4 − 5i)(1 + i), √ (1 + 2i)(1 + 3i) (6) Ber¨akna absolutbeloppet av . (1 + i)3 (7) L¨os ekvationen z + (1 + i)¯ z = 1 − i. (5) Ber¨akna absolutbeloppet av b) (1 + 3i)(4 − 5i) . 1 + 2i (8) L¨os ekvationerna a) 2z + i¯ z = 3 + 3i, b) z¯(2z) = 1 + i. (9) Tolka geometriskt i komplexa talplanet ekvationen Re z + Im z = 2. (10) Rita i det komplexa talplanet de z som uppfyller c) Im z ≥ 0, d) z¯ + z = 0, e) z¯ = z. a) Re z = 2, b) Im z = 2, (11) L¨os ekvationerna a) z 2 + (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0, c) z 2 + (2 − 2i)z + 4 − 2i = 0. b) z 2 + (1 + 4i)z − 3 + 3i = 0, KAPITEL 6 Komplexa tal: pol¨ ar form, och binomiska ekvationer. ”Why do it simple when you can do it complex?” Anonym amerikan Nu ska vi utnyttja att komplexa tal ¨ar punkter i det komplexa talplanet. Punkter i ett plan kan man beskriva inte bara med r¨atvinkliga koordinatsystem, utan ocks˚ a i termer av vinklar och avst˚ and till origo, s k pol¨ara koordinater. Vi ska se att detta ¨ar intimt f¨orknippat med multiplikation av komplexa tal, ett av naturens stora under ... tillsammans med DNA och SVT ... 1. Pol¨ ar representation. 1.1. Pol¨ ara koordinater i planet. Vi arbetar med ett (x, y)-plan - det som vi anv¨ande i f¨orra kapitlet f¨or definitionen av de komplexa talen. F¨orst p˚ aminner vi om definitionen av cosinus- och sinusfunktionerna. En str˚ ale L fr˚ an origo har en viss vinkel 0 ≤ θ < 2π (moturs) till x-axeln. Vi kan se det som att vi har b¨orjat med att l˚ ata str˚ alen vara parallell med positiva x-axeln och sedan snurrar den θ radianer moturs f¨or att f˚ a L. Omv¨ant, om vi startar med ett tal θ ∈ R, s˚ a best¨ammer θ en str˚ ale med denna vinkel, genom att vi snurrar det positiva halvan av x-axeln θ radianer runt origo. (Snurra medurs, om θ a¨r negativt.) P˚ a str˚ alen med vinkeln θ finns det en unik punkt p˚ a 1 cirkeln med avst˚ andet 1 fr˚ an origo, allts˚ a p˚ a enhetscirkeln . Denna punkts koordinater kallas (cos θ, sin θ). Observera att det f¨oljer ur definitionen att cos(θ + 2π) = cos θ, och sin(θ + 2π) = sin θ : det betyder ju bara att om vi snurrar p˚ a str˚ alen ett helt varv (2π) s˚ a f˚ ar vi tillbaka samma str˚ ale. Alla punkter P = (x, y) p˚ a str˚ alen L med vinkeln θ kan beskrivas som (r cos θ, r sin θ), n¨ar r ≥ 0 varierar. S˚ a f¨or en punkt P = (x, y) p˚ a str˚ alen L g¨aller, med r som P :s avst˚ and till origo att x = r cos θ, och y = r sin θ. 1enhetscirkeln = cirkeln med radie 1 och centrum i origo 77 78 ¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. 6. KOMPLEXA TAL: POLAR y 1.5 P=(x,y)= (rcosΘ, rsinΘ) 1.0 (cosΘ, sinΘ) 0.5 -1.0 0.5 -0.5 L 1.0 1.5 x -0.5 -1.0 Figur 1. Pol¨ara koordinater Paret (r, θ) best¨ammer allts˚ a P och kallas pol¨ara koordinater f¨or punkten. Observera att r ≥ 0. Den vinkel som best¨ammer L ¨ar bara best¨amd upp till addition av en heltalsmultipel av 2π, s˚ a det finns o¨andligt m˚ anga upps¨attningar pol¨ara koordinater f¨or samma punkt. Det ¨ar n˚ agot vi ska anv¨anda senare. Notera emellertid att om vi antar att P inte ¨ar origo och vi kr¨aver att 0 ≤ θ < 2π, s˚ a ¨ar beskrivningen i pol¨ara koordinater unik. (Origo, ˚ a andra sidan ¨ar beskriven av alla (r, θ) = (0, θ), med vilken godtycklig vinkel θ som helst.) √ √ Exempel 53. 1) Vilka pol¨ara koordinaterp har P = (1/ 2, 1/ 2) ? L¨osning: Avst˚ andet till origo ¨ar r = 1/2 + 1/2 = 1. Vi kan vidare l¨att hitta en l¨amplig vinkel. Det framg˚ ar enklast ur bilden vilken str˚ ale P ligger p˚ a, och att denna har vinkeln π/4 mot a kan man anv¨anda att √ x-axeln. Eller s˚ man vet att cos(π/4) = sin(π/4) = 1/ 2, s˚ a att vi har 1 · cos(π/4), sin(π/4) = P. Alla andra m¨ojliga vinklar f˚ as sedan genom att vi roterar L ytterligare n˚ agra (s¨ag n stycken) hela varv, motsols (n positivt) eller medsols (n negativt). Svaret blir allts˚ a att de m¨ojliga pol¨ara koordinaterna ¨ar r = 1, θ = π/4 + n · 2π, n ∈ Z, eller omst¨andligare θ = ... − 7π/4, π/4, 9π/4, 17π/4, .... 2) Av f¨oreg˚ aende uppgift f¨oljer att punkter p˚ a diagonalen x = y i f¨orsta kvadranten, allts˚ a p˚ a str˚ alen fr˚ an origo genom P , har pol¨ara koordinater (r, π/4), r ≥ 0. P˚ a samma s¨att beskrivs den positiva reella talaxeln som m¨angden av punkter med pol¨ara koordinater (r, 0), r ≥ 0, och den negativa reella talaxeln som m¨angden av punkter (r, π), r ≥ 0. ¨ REPRESENTATION. 1. POLAR 79 Mer generellt kan vi uttrycka m˚ angtydigheten i beskrivningen av punkter i planet med pol¨ara koordinater s˚ a h¨ar. Sats 30. Om P = (x, y) inte ¨ar origo och (r1 , θ1 ) ¨ar en upps¨attning pol¨ara koordinater f¨or P , d v s (r1 , θ1 ) l¨oser ekvationerna (x, y) = (r1 cos θ1 , r1 sin θ1 ), s˚ a ges alla pol¨ara koordinater (r, θ) f¨or P av r = r1 θ = θ1 + 2nπ, n ∈ Z 1.2. Pol¨ ara koordinater i komplexa talplanet. Eftersom komplexa tal z = x+iy ¨ar punkter (x, y) i det komplexa talplanet kan vi beskriva dem med pol¨ara koordinater. Om (x, y) = (r cos θ, r sin θ) s˚ a ¨ar z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i sin θ). Talet r ¨ar absolutbeloppet |z|. Talet θ kallas argumentet av z och betecknas med Arg z. Det ¨ar, som vi s˚ ag i f¨oreg˚ aende avsnitt inte entydigt best¨amt, men tv˚ a olika argument f¨or samma tal skiljer sig ˚ at med en heltalsmultipel av 2π. y z=x+iy iy=irsinΘ r Θ x=cos Θ x Figur 2. Komplexa pol¨ara koordinater. Det komplexa talet cos θ + i sin θ ligger p˚ a enhetscirkeln. N¨ar θ varierar beskriver det alla punkter p˚ a enhetscirkeln och vi introducerar f¨oljande exponentiella skrivs¨att f¨or det. Motiveringen av detta exponentiella skrivs¨att - i form av potenslagar - kommer sedan. Definition 17. Definiera eiθ := cos θ + i sin θ, och generellare ez := eη (cos θ + i sin θ) = eη eiθ , (19) 80 ¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. 6. KOMPLEXA TAL: POLAR f¨or z = η + iθ. Pol¨ara koordinater beskrivs d˚ a s˚ a h¨ar med exponentialfunktionen. Definition 18. Antag att z ∈ C. Ett par av reella tal (r, θ) med r ≥ 0, kallas f¨or pol¨ara koordinater f¨or z om z = reiθ = r(cos θ + i sin θ). (20) Exempel 54. Skriv z = 1 + i och w = −1 − i med pol¨ara koordinater. L¨osning: Vi ser att avst˚ andet fr˚ an z resp w till origo ¨ar detsamma: √ √ |z| = |w| = 12 + 12 = 2. Vidare ses det av symmetrin i figuren att Arg z = π/4 och Arg w = π/4 + π = 5π/4. Allts˚ a ¨ar √ √ 1 + i = 2 cos(π/4) + i sin(π/4) = 2eiπ/4 √ √ −1 − i = 2 cos(5π/4) + i sin(5π/4) = 2e5iπ/4 . 1+i 1.0 2 0.5 Π/4 -1.5 -1.0 0.5 -0.5 1.0 2 -0.5 1-i -1.0 -1.5 Figur 3. ±(1 + i) p˚ a pol¨ar form I rektangul¨ara koordinater (x, y) i planet kan vi l¨att beskriva vissa typer av rektangul¨ara omr˚ aden, n¨amligen de som best˚ ar av alla punkter som uppfyller α1 ≤ x ≤ β1 och α2 ≤ y ≤ β2 . I pol¨ara koordinater kan vi p˚ a motsvarande s¨att beskriva omr˚ aden av formen r1 ≤ r ≤ r2 och θ1 ≤ θ ≤ θ2 , som svarar mot cirkelsektorer (eller hela cirkelskivor, eller str˚ alar). Exempel 55. Cirkelskivan med radie 2 i komplexa talplanet kan beskrivas som punkter z f¨or vilka z = reiθ , 0 ≤ r ≤ 2. ¨ REPRESENTATION. 2. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV KOMPLEXA TAL I POLAR 81 Den del av denna cirkelskiva som ligger i f¨orsta kvadranten kan beskrivas som de punkter z f¨or vilka z = reiθ , 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2. Negativa rella tallinjen kan beskrivas i pol¨ara koordinater som de punkter z f¨or vilka z = reiπ , r ≥ 0 och den positiva reella tallinjen f¨orst˚ as som z = rei·0 = r, r ≥ 0. Till¨ampar vi definitionen av e−iθ f˚ ar vi: e−iθ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos θ − i sin θ. (21) Detta kan vi utnyttja f¨or att l¨osa ut sinus och cosinus i termer av komplexa exponentialer, en formel som inneb¨ar att du s˚ a sm˚ aningom kommer att betrakta trigonometri som en matematikens fotg¨angarzon, med on¨odiga fartrestriktioner. Sats 31. (Eulers formler). eiθ + e−iθ 2 eiθ − e−iθ sin θ = 2i cos θ = Bevis. L¨agg ihop ekvation (21) med (19): e−iθ + eiθ = cos θ − i sin θ + cos θ + i sin θ = 2 cos θ, och dela med 2. Det ger utrycket f¨or cos θ, och det andra f¨oljer genom att ta skillnaden mellan (21) och (19) och dela med 2i. 2. Multiplikation och division av komplexa tal i pol¨ ar representation. Det finns ju f¨orst˚ as en intelligent orsak till att vi inf¨orde pol¨ar representation, och den kommer vi nu till. Pol¨ara koordinater g¨or multiplikation och division av komplexa tal l¨att. Sats 32. eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) . Bevis. V¨ansterledet a¨r (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ) = = (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2 ) 82 ¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. 6. KOMPLEXA TAL: POLAR medan h¨ogerledet ¨ar cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ). Additionsformeln f¨or cosinus s¨ager precis att realdelen av v¨ansterledet och h¨ogerledet ¨ar densamma, och additionsformeln f¨or sinus motsvarande f¨or imagin¨ardelen. Beviset f¨or denna sats ¨ar f¨orresten en bra minneshj¨alp f¨or att komma ih˚ ag de trigonometriska additionsformlerna! Notera hur du kan rekonstruera dem genom att g˚ a bakl¨anges iθ i beviset fr˚ an i) att du vet hur du ska multiplicera potenser och ii) vet vad e ¨ar uttryckt i trigonometriska funktioner. Vi kan f¨orst˚ as hantera division analogt. Titta f¨orst p˚ a inversen. Sats 33. Antag att u = eiθ = cos θ + i sin θ. D˚ a ¨ar u−1 = e−iθ = u = cos θ − i sin θ. Bevis. Vi vet, eftersom u ligger p˚ a enhetscirkeln, att uu = |u|2 = 1. Till¨ampar vi metoden f¨or att ber¨akna kvoter s˚ a f˚ ar vi u 1 = u = cos θ − i sin θ. u−1 = = u uu ˚ andra sidan ¨ar cosinus en j¨amn funktion (d v s en funktion f (x) f¨or vilken f (−x) = f (x)) A och sinus ¨ar en udda funktion (d v s en funktion f (x) f¨or vilken f (−x) = −f (x)). Allts˚ a a ¨ar ocks˚ e−θ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos θ − i sin θ = u. L¨agg m¨arke till hur enkelt det ¨ar att ber¨akna inversen till ett komplext tal p˚ a enhetscirkeln - bara en fr˚ aga om konjugering -, samt att inversen ocks˚ a blir ett tal p˚ a enhetscirkeln. En direkt konsekvens av satserna ovan ¨ar f¨oljande beskrivning av multiplikation och division av godtyckliga komplexa tal i termer av deras pol¨ara koordinater. Sats 34. Antag att vi har tv˚ a komplexa tal z = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) = r1 eiθ1 och w = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) = r2 eiθ2 . D˚ a kan vi beskriva produkten zw i pol¨ara termer som zw = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )). ¨ REPRESENTATION. 2. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV KOMPLEXA TAL I POLAR 83 Kvoten z/w ¨ar i pol¨ara koordinater r1 r1 z = ei(θ1 −θ2 ) = cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )). w r2 r2 Speciellt ¨ar w−1 = r2−1 e−iθ2 = r2−1 (cos θ2 − i sin θ2 ). Exempel 56. Titta p˚ a multiplikation med i och se den som avbildningen z → iz i det komplexa talplanet. Geometriskt svarar denna avbildning mot rotation π/2 runt origo. Ty vi vet sedan tidigare att i = eiπ/2 = cos π/2 + i sin π/2. Om nu z = reiθ , s˚ a ¨ar iz = reiθ eiπ/2 = rei(θ+π/2) . Vi ser att multiplikation med i inte ¨andrar absolutbeloppet av z, d v s avst˚ andet till origo, men adderar π/2 till argumentet, d v s roterar z en vinkel π/2 radianer moturs. P˚ a samma s¨att svarar multiplikation av z med 1 + i mot multiplikation av absolutbeloppet √ med 2 och rotation π/4 radianer: √ √ (1 + i)z = 2eiπ/2 · reiθ = ( 2r)ei(θ+π/4) . Allm¨ant svarar rotationer θ radianer mot multiplikationer med eiθ . Detta ¨ar ett bra exempel p˚ a den geometriska anv¨andbarheten av komplexa tal. Vi kan uttrycka analysen av multiplikation ovan mer kompakt s˚ a h¨ar: vid multiplikation av komplexa tal, multipliceras absolutbeloppen och argumenten adderas. Satsen fungerar f¨orst˚ as analogt om vi multiplicerar med fler tal ¨an tv˚ a. Om vi allts˚ a tar potenser av ett tal s˚ a f˚ ar vi f¨oljande sats. Sats 35. (De Moivres formel). Antag att vi har ett komplext tal z = r(cos θ + i sin θ), och att n ∈ Z ¨ar ett heltal. D˚ a ¨ar z n = rn (cos nθ + i sin nθ). (22) Bevis. Vi har z 2 = z · z = r2 (cos(θ + θ) + i sin(θ + θ)) = r2 (cos 2θ + i sin 2θ). Forts¨atter vi, f˚ ar vi z 3 = z · z 2 = r · r2 (cos(θ + 2θ) + i sin(θ + 2θ)) = r3 (cos 3θ + i sin 3θ). o s v. Negativa tal n behandlas analogt, med utg˚ angspunkt i den nyss bevisade identiteten z −1 = r−1 cos(−θ) + i sin(−θ) . 84 ¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. 6. KOMPLEXA TAL: POLAR Exempel 57. Best¨am (1 − i)99 p˚ a formen a + bi. Ange speciellt i vilken kvadrant det ligger. √ √ √ L¨osning: Eftersom |1 − i| = 2 och en l¨osning till 2 cos θ = 1 och 2 sin θ = −1 ges (rita bild!) av θ = 7π/4, s˚ a ¨ar √ 1 − i = 2ei7π/4 . Allts˚ a ¨ar √ z := (1 − i)99 = ( 2)99 ei99·7π/4 . Vi kan f¨orenkla. Absolutbeloppet av z ¨ar √ √ √ ( 2)99 = ( 2)2·49+1 = 249 2 och z:s argument ¨ar 99 · 7π/4 = 173.25π. F¨or att f˚ a reda p˚ a i vilken kvadrant z ligger utnyttjar vi att alla tal som skiljer sig fr˚ an 173.25π med en heltalsmultipel av 2π ocks˚ a ¨ar argument till z. Skriv 173.25π = 86 · 2π + 1.25π. Allts˚ a ¨ar sammantaget √ (1 − i)99 = 249 2ei1.25π . Allts˚ a ¨ar svaret tredje kvadranten (kom ih˚ ag att kvadranter numreras moturs med start i f¨orsta kvadranten d¨ar b¨agge koordinaterna ¨ar positiva.) F¨or ¨ovrigt kan man l¨att ber¨akna 1 i 1 ei1.25π = cos 1.25π + i sin 1.25π = − √ − √ = − √ (1 + i). 2 2 2 D¨armed (1 − i)99 = −249 (1 + i). Mycket information om trigonometriska funktioner f¨orenklas med anv¨andning av komplexa koordinater. Exempel 58. Formel (22) ovan s¨ager (f¨or n = 2) att (cos θ + i sin θ)2 = cos 2θ + i sin 2θ. Kvadrerar vi v¨ansterledet p˚ a traditionellt s¨att f˚ ar vi (cos2 θ − sin2 θ) + i(2 sin θ cos θ). Dessa tv˚ a uttryck ska vara desamma, och allts˚ a har vi att cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ och att sin 2θ = 2 sin θ cos θ. Detta ¨ar ju formlerna f¨or f¨ordubbling av vinkeln, och de ¨ar allts˚ a en r¨att omedelbar konsekvens av potenslagarna f¨or komplexa tal. (Javisst, logiken h¨ar a fram potenslagarna, men ¨ar cirkul¨ar, eftersom vi anv¨ande additionsreglerna f¨or att f˚ det ¨ar inte fr˚ agan om det h¨ar utan vilken trigonometrisk information som ligger g¨omd i potenslagarna. F¨or ¨ovrigt kan man ge direkta bevis av dessa, men d˚ a kr¨avs en st¨orre apparat.) P˚ a samma s¨att ger formel (22) (f¨or n = 3) och lite kreativ anv¨andning av trigonometriska ettan cos2 θ + sin2 θ = 1 att cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ ¨ REPRESENTATION. 2. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV KOMPLEXA TAL I POLAR 85 och att sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ. fbinomisk Den f¨orsta identiteten f¨oljer t ex ur cos 3θ = Re (ei3θ ) = Re [(cos θ + i sin θ)3 ] = = cos3 θ − 3 cos θ · sin2 θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ. Exempel 59. Givet ett positivt heltal n. Vi vill r¨akna ut S(x) = 1 + 2 cos x + ... + 2 cos nx. Om vi t¨anker lite suddigt men komplext h¨ar, ser vi att detta n¨astan ¨ar som en geometrisk serie. Om vi n¨amligen ist¨allet f¨or cos kx hade haft eikx , s˚ a hade alla termerna varit potenser av en och samma eix . Och geometriska serier kan vi addera. F¨ors¨oker vi precisera detta, kan vi t ex utnyttja 2 cos x = eix + e−ix D˚ a ¨ar S(x) = =1 + 2 cos x + ... + 2 cos nx = 1 + (eix + e−ix ) + ... + (einx + e−inx ) = =e−inx + e−i(n−1)x + ...1 + ... + ei(n−1)x + einx = = ei(n+1)x − e−inx eix − 1 (Tredje raden visar att det ¨ar en geometrisk f¨oljd med kvoten eix , vars f¨orsta term ¨ar e−inx och sista ¨ar einx . I den sista likheten har vi anv¨ant formeln f¨or summan av en geometrisk f¨oljd i f¨oljande form: t¨aljaren ¨ar skillnaden mellan f¨orsta termen i f¨oljden och den term ei(n+1)x som skulle komma omedelbart efter den sista, n¨amnaren ¨ar skillnaden mellan kvoten av f¨oljden och 1.) Eftersom summan av reella tal ¨ar reell borde detta v¨al synas i svaret, s˚ a man f˚ ar forts¨atta leta efter en l¨amplig omformulering. Suck! Vi skulle nu bara kunna ers¨atta exponentialfunktionerna i uttrycket med sina rektangul¨ara koordinater, och r¨akna p˚ a med formeln f¨or division av komplexa tal och f˚ a ut ett uttryck f¨or S(x) i termer av cosinus och sinus av (n + 1)x, nx och x. (G¨or inte dessa r¨akningar, men t¨ank g¨arna igenom hur det skulle se ut!). D¨armed har vi f¨orst˚ as l¨ost problemet. Men, skam till s¨agandes i en kurs som inte vill l¨ara ut eng˚ angstrick utan bara tjusiga metoder, det finns en ¨annu enklare formel, men d˚ a m˚ aste man anv¨anda f¨oljande id´e. 86 ¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. 6. KOMPLEXA TAL: POLAR Multiplicera b˚ ade n¨amnaren och t¨aljaren i det sista uttrycket nyss med e−ix/2 . Det f¨or¨andrar inte uttryckets v¨arde, s˚ a ei(n+1)x − e−inx = eix − 1 (ei(n+1)x − e−inx )e−ix/2 = = (eix − 1)e−ix/2 S(x) = 1 1 = ei(n+ 2 )x − e−i(n+ 2 )x 1 1 ei 2 x − e−i 2 x sin(n + 12 )x = . sin x2 = eix − e−ix f¨or sin x i termer av exponen2i tialfunktionen tidigare (Sats 31). Formeln f¨or S(x) ¨ar anv¨andbar i t ex signalbehandling men h¨ar platsar den som ett exempel p˚ a samspelet mellan trigonometriska formler och komplexa tal. Den sista likheten f¨oljer ur uttrycket sin x = Exempel 60. Eulers identitet ¨ar eπi = −1. Detta eleganta samband knyter ihop fyra fundamentala tal, som kommer fr˚ an till synes helt olika delar av matematiken. F¨or drivna konspirationsteoretiker ¨ar det inte sv˚ art att dra h¨oga v¨axlar p˚ a den, men vi hoppar ¨over vad den har med matematisk sk¨onhet att g¨ora och huruvida den ¨ar ett bevis p˚ a Guds existens och noterar bara att det ocks˚ a mer trivialt ¨ar sant att e2πi = 1 och mer generellt att ex+2πi = ex . 3. Binomiska ekvationer. Vi ska nu studera en polynomekvation med bara tv˚ a termer, en s k binomisk ekvation. Antag att w ∈ C och att n ¨ar ett positivt heltal, och betrakta ekvationen z n = w. Hade det handlat om reella tal, s˚ a att w = r ∈ R, skulle vi ha l¨ost den genom att dra roten ur b¨agge sidor. Vi hade varit tvungna att skilja p˚ a om n ¨ar j¨amnt eller ej, och om r ≥ 0, f˚ att l¨osningarna √ z = ± n r, om n j¨amnt √ z = n r, om n udda Ekvationen z 4 = 1, har s˚ alunda de tv˚ a reella l¨osningarna z = ±1, medan z 3 = 1 har den enda reella l¨osningen z = 1. Situationen f¨or komplexa l¨osningar ¨ar totalt annorlunda. Speciellt s˚ a finns det alltid precis lika m˚ anga l¨osningar som ekvationens gradtal, och vi 3. BINOMISKA EKVATIONER. 87 kan skriva upp dem explicit i pol¨ar form. Id´en ¨ar att skriva w = r(cos θ + i sin θ) p˚ a pol¨ar form och utnyttja de Moivres sats (Sats 35). Sats 36. Ekvationen z n = r(cos θ + i sin θ), r > 0 har l¨osningarna 1 θ k2π θ k2πi n ) + i sin( + ) = z =r cos( + n n n n θ 1 k2π =r n e( n + n )i , k = 0, 1, ..., n − 1. Speciellt finns det alltid l¨osningar, lika m˚ anga som ekvationens gradtal n. Satsen s¨ager f¨orst att alla l¨osningarna har samma absolutbelopp r1/n (som f¨or den reella varianten) och sedan att argumentet f¨or en l¨osning ¨ar θ/n adderat med en multipel av ett n:te dels helt varv. Ritar man upp l¨osningarna i det komplexa talplanet, ligger de allts˚ a som h¨ornen i en regelbunden n-h¨orning. (Se figuren nedan.) Bevis. Vi ans¨atter att i pol¨ara koordinater z = s(cos η + i sin η), s˚ a att enligt de Moivres sats z n = sn (cos nη + i sin nη), ger pol¨ara koordinater f¨or z n . Nu utnyttjar vi att tv˚ a tal har samma pol¨ara koordinater om och endast om deras absolutbelopp ¨ar lika, samt deras argument skiljer sig ˚ at med en multipel av 2π. Allts˚ a ¨ar z n = w om och endast om sn = r nη = θ + a · 2π, a ∈ Z. Ur detta ser vi att 1 s = rn θ 2aπ η= + i, a ∈ Z. n n Detta verkar ju som detta ger de pol¨ara koordinaterna f¨or o¨andligt m˚ anga l¨osningar, en f¨or varje a ∈ Z. Men vi vet (enligt en sats i avsnittet om heltal) att varje a ∈ Z kan skrivas unikt som a = k + bn d¨ar k, b a¨r heltal och resten k = 0, 1, 2, ..., n − 1. Allts˚ a a¨r a/n = k/n + b och varje η= θ 2aπ θ 2kπ + i= + i + 2bπ n n n n 88 ¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. 6. KOMPLEXA TAL: POLAR skiljer sig allts˚ a med en heltalsmultipel 2bπ av 2π fr˚ an en av l¨osningarna θ 2kπ + i d¨ar k = 0, 1, ..., n − 1 n n i satsen, och ger allts˚ a samma komplexa tal. Exempel 61. L¨osningarna till z 5 = 1 f˚ as direkt ur satsen ovan. Vi har att 1 = 1 · (cos 0 + i sin 0) = e0 , och de fem l¨osningarna ¨ar 2kπ 2kπ 2kπ ) + i sin( ) = e 5 i , k = 0, 1, 2, 3, 4. 5 5 De ¨ar plottade i figuren nedan. z = cos( 1.0 ã2 Πä5 2×2 Πi5 ã 0.5 2Π/5 -1.5 -1.0 0.5 -0.5 1.0 -0.5 ã3×2 Πi5 -1.0 e4×2 Πi5 -1.5 Figur 4. L¨osningarna till z 5 = 1 bildar en regelbunden femh¨orning. 3.1. P˚ a˚ aterbes¨ ok hos komplexa andragradsekvationer. Som en konsekvens av den allm¨anna teorin f¨or binomiska ekvationer i f¨oreg˚ aende avsnitt, f˚ ar vi att en kvadratisk ekvation alltid har l¨osningar. Vi visar varf¨or i tv˚ a exempel. Exempel 62. L¨os ekvationen z 2 + 4z + 7 = 0. L¨osning: Via kvadratkomplettering ser vi att z 2 +4z+7 = (z+2)2 +3, s˚ a att ekvationen + 3 = 0. Nu√¨ar −3 = 3e−iπ , s˚ a l¨ o sningarna ¨ar ekvivalent med att w = z + 2 och w2√ √ −iπ/2+iπ i w√till 2 2 −iπ/2 w +3 = 0 ⇐⇒ w = −3 ¨ar dels w = 3e = 3i och dels w = 3e √ = − 3i. L¨osningarna till den ursprungliga ekvationen ¨ar allts˚ a z = w − 2 = −2 ± 3i. ¨ 4. OVNINGAR 89 Exempel 63. L¨os ekvationen z 2 + 2iz − 1 − 2i = 0. L¨osning: Kvadratkomplettering ger att z 2 +2iz −1−2i = (z +i)2 −2i, s˚ a att ekvationen 2 a l¨osa ¨ar ekvivalent med att w = z + i och w − 2i = 0. Vi ska allts˚ w2 = 2i. Nu ¨ar 2i = 2eiπ/2 , s˚ a l¨osningarna till ekvationen i w ¨ar √ √ 1 i w1 = 2eiπ/4 = 2( √ + √ ) = 1 + i 2 2 och √ w2 = 2eiπ/4+iπ = −w1 = −1 − i. L¨osningarna till den ursprungliga ekvationen ¨ar allts˚ a z = −i ± (1 + i) = −1 − 2i, eller 1. ¨ 4. Ovningar (1) Skriv a formen a + ib de komplexa tal vars absolutbelopp och argument ¨ar √ p˚ √ a) 2, b) 1, π, c) 2, 9π/4, d) 1, π/2, e) 1, 2π, √ π/4, f ) 1/ 2, −π/4, g) 1, −100π. (2) Rita f¨oljande komplexa tal i ett talplan och ange argument, √ absolutbelopp √ och pol¨ar form. a) 17, b) −11, c) i, d) −1 + i, e) i 3 − 1, f ) 3 + 3i π π 2π 2π (3) Vad ¨ar absolutbeloppet av a) cos +i sin , b) cos +i sin , c) cos θ+ 8 8 27 27 i sin θ. π 2π (4) Vad ¨ar absolutbeloppet av a) ei 8 , b) ei 27 , c) eiθ . √ √ 1 3 100 (5) Ber¨akna ( +i ) . (Att cos(π/3) = 1/2 och sin(π/3) = 3/2 ¨ar anv¨andbart.) 2 2 (6) Anv¨and de Moivre’s formel f¨or att uttrycka sin 4θ och cos 4θ i termer av sin θ och cos θ (7) Anv¨and Eulers formler f¨or att h¨arleda ett uttryck f¨or sin α cos β, (i termer av andra sinus- och cosinusv¨arden.) (8) Uttryck sin4 θ i termer av cos θ, cos 2θ, cos 3θ, cos 4θ. (9) Punkterna i det komplexa talplanet vrids vinkeln π/2 moturs kring origo. I vilket tal ¨overg˚ ar 1 respektive −3 + 2i? Och a + bi? Beskriv avbildningen som multiplikation med ett komplext tal. (10) Punkterna i det komplexa talplanet vrids vinkeln 5π/6 moturs kring origo och multipliceras med 2. I vilket tal ¨overg˚ ar 1 respektive −1+i? Beskriv avbildningen som multiplikation med ett komplext tal. 1 (11) Vad ¨ar ez om z ¨ar a) 0, b) iπ/2, c) ln 2 + iπ/4, d) iπ, e) 3 − i. 2 (12) Best¨am real- och imagin¨ardelarna av funktionerna ¨ FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. 6. KOMPLEXA TAL: POLAR 90 1 + ix , x ∈ R, 1 − ix b) x 7→ e(−1+i)x , x ∈ R. Visa att om z = x + iy, s˚ a ¨ar |ez | = ex . Vad ¨ar Arg(ez )? L¨os ekvationerna a) z 2 = 5 + 12i b) z 2 − (2 + 2i)z − 5 − 10i = 0 L¨os ekvationerna (observera att du har tillg˚ ang till 2 metoder!) a) z 2 = −i, b) z 2 = 1 + i. L¨os f¨oljande ekvationer och rita ut r¨otterna i det komplexa talplanet b) z 3 = 1 + i, c) z 5 = 4i. a) (13) (14) (15) (16) x 7→ a) z 3 = i,