מכניקה סטטיסטית ־ תרגיל 6

‫מכניקה סטטיסטית ־ תרגיל ‪6‬‬
‫תאריך הגשה ‪9.7.2015 :‬‬
‫‪1‬‬
‫חלקיקים עם סטטיסטיקת ביניים‬
‫בשאלה זו נדון בחלקיקים היפותטיים עם סטטיסטיקת ביניים‪ ,‬בין פרמיונים לבוזונים‪ .‬מטרת השאלה היא לחזור על הפיתוח של‬
‫התפלגויות בוזה־איינשטיין ופרמי־דירק על מנת להבין פיתוח זה טוב יותר‪.‬‬
‫נניח שקיימים חלקיקים עם התכונה הבאה‪ :‬כל מצב קוונטים יכול להיות מאוכלס לכל היותר על ידי ` חלקיקים )כזכור‪ ,‬עבור‬
‫בוזונים ∞ = `‪ ,‬בעוד שעבור פרמיונים ‪.(` = 1‬‬
‫‪ .1‬עקבו אחרי הפיתוח מן הכיתה של התפלגויות בוזה־איינשטיין ופרמי־דירק‪ ,‬וחשבו בדרך דומה את האכלוס הממוצע )‪ n(ε‬של‬
‫`‪P‬‬
‫‪`+1‬‬
‫רמת אנרגיה ‪ ε‬בצבר הגרנד קנוני‪ .‬היעזרו בנוסחה לסכום של סדרה הנדסית‪:‬‬
‫‪ . k=0 xk = 1−x‬ודאו כי עבור ‪` = 1‬‬
‫‪1−x‬‬
‫ו‪ ` = ∞-‬מתקבלות התוצאות הרצויות‪.‬‬
‫‪ .2‬שרטטו באופן סכמטי את )‪ n(ε‬בטמפ' ‪ ,T = 0‬והסבירו בקצרה את התוצאה‪ .‬חשבו את אנרגיית פרמי עבור גז אידיאלי של‬
‫‪2‬‬
‫|‪ ( = |p‬מסוג זה‪ ,‬הנמצא בתיבה בנפח ‪) V‬בשלושה מימדים(‪ .‬כיצד משתנה‬
‫‪ N‬חלקיקים לא יחסותיים )עם יחס דיספרסיה ‪2m‬‬
‫אנרגיית פרמי כאשר ` גדל?‬
‫‪2‬‬
‫פרמיונים עם אנרגיה קינטית לא ריבועית‬
‫‪2‬‬
‫~(‪ .ε‬עתה נחקור גז פרמיונים שבו האנרגיה הקינטית‬
‫|‪p) = |p‬‬
‫בכיתה דנתם בגז פרמיונים אידאלי עם אנרגיה קינטית ריבועית בתנע‪2m :‬‬
‫איננה ריבוע התנע‪ .‬מטרת השאלה היא לחזור על המתכון לפתרון בעיות בפיסיקה סטטיסטית קוונטית‪ ,‬ולתרגל כיצד מחשבים את‬
‫צפיפות המצבים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫~(‪,ε‬‬
‫האנרגיה הקינטית של כל חלקיק ניתנת על ידי ‪p) = c|p|α‬‬
‫‪.V‬‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫בנפח‬
‫בתיבה‬
‫לנוע‬
‫שחופשיים‬
‫פרמיונים‬
‫של‬
‫אידאלי‬
‫נתון גז‬
‫‪P‬‬
‫כאשר ‪ c‬ו־‪ α‬הם קבועים‪ .‬ההמילטוניאן של המערכת הוא אם כן ‪ .H = i c|pi |α‬דוגמאות לגז כזה‪ :‬בכיתה פתרנו גז לא יחסותי‬
‫‪1‬‬
‫עם ‪ α = 2‬ו־‬
‫‪ ,c = 2m‬דוגמא אחרת היא גז אולטרה יחסותי‪ ,‬שמהירות החלקיקים בו קרובה למהירות האור‪ .‬במקרה זה ‪ α = 1‬ו־‪c‬‬
‫היא מהירות האור‪ .‬אנו נפתור עבור ‪ α‬ו־‪ c‬כלליים‪.‬‬
‫~‬
‫‪ .1‬נדון תחילה בבעיה הקוונטית של חלקיק בודד‪ .‬הפונקציות העצמיות של אופרטור התנע הקוונטי ~‬
‫∇~‪ p~ ≡ −i‬הן כידוע ‪.eik·~x‬‬
‫הראו שאלו גם הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן של חלקיק בודד במקרה שלנו‪ ,‬ומצאו את ערכי האנרגיה המתאימים‪.‬‬
‫הניחו לצורך פשטות תנאי שפה מחזוריים עבור פונקציית הגל )כלומר‪ ψ(0, y, z) = ψ(L, y, z) ,‬וכנ"ל בכיוון ‪ y‬ו‪.(z-‬‬
‫‪ .2‬חשבו את צפיפות המצבים )‪ g(ε‬וכתבו את הביטוי האינטגרלי עבור מספר החלקיקים ‪ ,N‬האנרגיה הפנימית ‪ ,E‬והלחץ ‪P‬‬
‫כפונקציה של הנפח‪ ,‬הפוטנציאל הכימי והטמפרטורה‪ .‬אין צורך לחשב את האינטגרלים‪.‬‬
‫‪ .3‬בעזרת אינטגרציה בחלקים‪ ,‬הראו שמתקיים הקשר ‪ E = γP V‬כאשר ‪ γ‬הוא קבוע שתלוי רק ב‪ ,α-‬ומצאו את ‪.γ‬‬
‫‪ .4‬בטמפרטורה אפס ניתן להעריך את האינטגרלים שקיבלתם בסעיף ב' אנליטית‪ .‬עבור ‪ T = 0‬מצאו את מספר החלקיקים‬
‫) ‪ N (µ, V‬וממנו חשבו את אנרגיית פרמי ) ‪ .εF (N, V‬חשבו גם את האנרגיה הפנימית והלחץ בטמפרטורה אפס כפונקציה של‬
‫‪.εF‬‬
‫‪3‬‬
‫גז בוזונים‪ :‬הגבול הקלאסי‬
‫‪ .1‬מצאו את התיקון הקוונטי למשוואת המצב הקלאסית הקושרת את הלחץ והטמפרטורה של גז אידיאלי של ‪ N‬בוזונים בעלי‬
‫מסה ‪ m 6= 0‬בתיבה בנפח ‪ V‬ובטמפ' ‪ .T‬חשבו את הביטוי עד סדר ראשון ב‪ ,nλ3T -‬כאשר ‪ n = N/V‬היא צפיפות החלקיקים‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬הראו ש‪-‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‬
‫‪P V = N kB T 1 + a1 nλ3T + O (nλ3T )2‬‬
‫וחשבו את המקדם ‪ .a1‬האם הלחץ של גז בוזונים שאיננו מנוון )כלומר‪ ,‬כאשר ‪ (nλ3T 1‬גדול או קטן מזה של גז קלאסי‬
‫באותה טמפ' וצפיפות? השוו עם משוואת המצב של גז פרמיונים לא מנוון והסבירו באופן איכותי את ההבדל בין שתי התוצאות‪.‬‬
‫‪ .2‬מצאו את התיקון הקוונטי למשוואת המצב הקלאסית עבור האנרגיה של הגז‪ .‬חשבו את הביטוי עד סדר ראשון ב‪ .nλ3T -‬במילים‬
‫אחרות‪ ,‬הראו ש‪-‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪E = N kB T 1 + b1 nλ3T + O (nλ3T )2‬‬
‫‪2‬‬
‫וחשבו את המקדם ‪ .b1‬חשבו גם את קיבול החום עד סדר ראשון‪ .‬האם קיבול החום גדול או קטן מזה של גז קלאסי?‬
‫‪1‬‬