דף נוסחאות במכניקה סטטיסטית

‫דף נוסחאות במכניקה סטטיסטית‬
‫‪1‬‬
‫צבר מיקרו־קאנוני‬
‫• אנטרופיה של מערכת‬
‫)‪, S(E) = kB ln Γ(E) ≈ kB ln Σ(E‬‬
‫כאשר )‪ Γ(E‬הוא מספר המצבים באנרגיה ‪ E‬ו־)‪ Σ(E‬באנרגיה נמוכה מ־‪ .E‬ניתן לקשר בין שני הפונקציות הללו כך‪,‬‬
‫)‪dΣ(E‬‬
‫‪dE‬‬
‫≡ )‪ω(E‬‬
‫∆)‪, Γ(E) = ω(E‬‬
‫כאשר ∆הוא פרמטר שמגדיר שכבת אנרגיה קטנה‪.‬‬
‫• עבור גז אידאלי של ‪N‬חלקיקים עם מסה ‪ m‬בנפח ‪V‬מספר המצבים ניתן לחישוב כ־‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪N !hN‬‬
‫‪d3N pd3N q‬‬
‫= ) ‪Σ(E, V, N‬‬
‫‪H(q,p)≤E‬‬
‫• מהחישוב נקבל את האנטרופיה של גז אידאלי‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+ N kB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3/2 #‬‬
‫‪4πmE‬‬
‫‪3N h2‬‬
‫‬
‫"‬
‫‪V‬‬
‫‪S(E, V, N ) = N kB ln‬‬
‫‪N‬‬
‫• הנגזרות של האנטרופיה‬
‫‪1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪dE + dV − dN‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫= ‪dS‬‬
‫• מהנגזרות ניתן להגדיר את השדות השונים במערכת )טמפ'‪ ,‬לחץ ופוט' כימי(‪:‬‬
‫‬
‫‪E,V‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‬
‫‪µ‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪T‬‬
‫‬
‫‪E,N‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‬
‫‬
‫‪P‬‬
‫=‬
‫‪T‬‬
‫‪V,N‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂E‬‬
‫‬
‫צבר קאנוני‬
‫• פונקציות החלוקה הקאנונית‪:‬‬
‫)‪e−βE(C‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Z(β‬‬
‫‪C‬‬
‫כאשר ‪ β = 1/kB T‬והסכום הוא על כל המצבים של המערכת‪ .‬ההסתברות לכל מצב היא‬
‫)‪1 −βE(C‬‬
‫‪e‬‬
‫)‪Z(β‬‬
‫= )‪P (C‬‬
‫• אנרגיה חופשית‪:‬‬
‫)‪F (β) = −kB T ln Z(β‬‬
‫• אנרגיה ממוצעת בטמפרטורה נתונה‪:‬‬
‫)‪1 −βE(C‬‬
‫)‪∂ ln Z(β‬‬
‫‪e‬‬
‫‪=−‬‬
‫)‪Z(β‬‬
‫‪∂β‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪E(C‬‬
‫‪X‬‬
‫‪C‬‬
‫¯‬
‫)‪E(β‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪T‬‬
‫• פונקצית החלוקה הקאנונית של גז אידאלי‪:‬‬
‫‪NV‬‬
‫‪λ3T‬‬
‫כאשר ‪h2 /2πmkB T‬‬
‫‪p‬‬
‫‪3/2‬‬
‫=‬
‫‪2πmkB T‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‬
‫‪= NV‬‬
‫‪2πm‬‬
‫‪h2 β‬‬
‫‬
‫‪.F (T, V, N ) = N V‬‬
‫≡ ‪ λT‬נקרא אורך הגל התרמי‪.‬‬
‫• הנגזרות של האנרגיה החופשית‬
‫‪dF = −SdT − P dV + µdN‬‬
‫• מהנגזרות ניתן להגדיר את השדות השונים במערכת )טמפ'‪ ,‬לחץ ופוט' כימי(‪:‬‬
‫‬
‫‪T,V‬‬
‫‪3‬‬
‫‪∂F‬‬
‫‪∂N‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂F‬‬
‫‪∂V‬‬
‫=‪µ‬‬
‫‪T,N‬‬
‫‬
‫‬
‫‪P =−‬‬
‫‪V,N‬‬
‫‪∂F‬‬
‫‪∂T‬‬
‫‬
‫‪S=−‬‬
‫צבר גראנד־קאנוני‬
‫• פונקציות החלוקה הגראנד־קאנונית‪:‬‬
‫)‪z N (C) e−βE(C‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪L(β, z‬‬
‫‪C‬‬
‫כאשר ‪z ,β = 1/kB T‬היא הפוגסיות שמוגדרת מתוך הפוטנציאל הכימי כ־ ‪ .z = eβµ‬ההסתברות לכל מצב היא‬
‫‪1‬‬
‫)‪z N (C) e−βE(C‬‬
‫)‪L(β, z‬‬
‫= )‪P (C‬‬
‫• לחץ בצבר הגרנד־קנוני‬
‫)‪P V = kB T ln L(β, z‬‬
‫• מספר חלקיקים ממוצע בטמפרטורה ופוטנציאל כימי נתונים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪∂ ln L(β, z‬‬
‫‪z N (C) e−βE(C) = z‬‬
‫)‪L(β, z‬‬
‫‪∂z‬‬
‫)‪N (C‬‬
‫‪X‬‬
‫‪C‬‬
‫• אנרגיה ממוצעת בטמפרטורה ופוטנציאל כימי נתונים‪:‬‬
‫)‪∂ ln L(β, z‬‬
‫¯‬
‫)‪¯ (β, z‬‬
‫‪E(β,‬‬
‫‪z) = −‬‬
‫‪+ µN‬‬
‫‪∂β‬‬
‫‪4‬‬
‫גזים קוונטים‬
‫• פונקצית החלוקה‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫) ‪(1 + ze−β‬‬
‫=‪Z‬‬
‫‪Y‬‬
‫=‪Z‬‬
‫‪Fermions :‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1 − ze−β‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪Bosons :‬‬
‫= )‪¯ (β, z‬‬
‫‪N‬‬
‫• התפלגות פרמי־דיראק ובוזה איינשטיין )מספר חלקיקים ברמת אנרגיה בצבר גרנד קנוני(‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z −1 eβ + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n() = −1 β‬‬
‫‪z e −1‬‬
‫‪Fermions :‬‬
‫= )(‪n‬‬
‫‪Bosons :‬‬
‫• צפיפות מצבי אנרגיה )מספר מצבים באנרגיה מסוימת של חלקיק חופשי עם מסה ‪ m‬בקופסא בגודל ‪ Ld‬ללא ספין(‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪L m‬‬
‫= )(‪One dimension: g‬‬
‫‪π~ 2‬‬
‫‪mL2‬‬
‫= )(‪Two dimensions: g‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫‪3‬‬
‫√ ‪L (2π)3/2‬‬
‫= )(‪Three dimensions: g‬‬
‫‬
‫‪4π 2 ~3‬‬
‫• מספר חלקיקים ממוצע‪:‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪¯ = z ∂ ln Z‬‬
‫‪N‬‬
‫‪∂z‬‬
‫)(‪dg()n‬‬
‫• אנרגיה ממוצעת ‪:‬‬
‫ˆ‬
‫)(‪dg()n‬‬
‫‪¯ = − ∂ ln Z + ln z N‬‬
‫= ¯‬
‫‪E‬‬
‫‪∂β‬‬
‫‪β‬‬
‫• מציאת אנרגית פרמי‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫ˆ‬
‫=‪N‬‬
‫)(‪dg‬‬
‫‪0‬‬
‫• תנאי לעיבוי בוזה איינשטיין ‪ :‬קיום ‪T 6= 0‬שעבורו מספר החלקיקים כאשר ‪ z = 1‬מתכנס‬
‫∞ ˆ‬
‫‪1‬‬
‫¯‬
‫=‪N‬‬
‫‪dg() β‬‬
‫‪e‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫מעבר לטמפ' זו‪ ,‬אם מספר החלקיקים במערכת יהיה גדול ממספר זה‪ ,‬עודף החלקיקים יתרכז ברמת הייסוד‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫עזרים מתמטיים‬
‫• נפח כדור ‪N‬־מימדי ברדיוס ‪:R‬‬
‫‪π N/2‬‬
‫‪π N/2 N‬‬
‫≈ ‪RN‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪Γ(N/2 + 1‬‬
‫!)‪(N/2‬‬
‫= )‪VN (R‬‬
‫• קירוב סטירלינג‪:‬‬
‫‪ln(N !) ≈ N ln N − N‬‬
‫• אינטרגל גאוסיאני‪:‬‬
‫‪ π 1/2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫= ‪e−ax‬‬
‫∞‪−‬‬
‫• סדרה הנדסית‬
‫‪1 − qN‬‬
‫‪1−q‬‬
‫‪q<1‬‬
‫‪for‬‬
‫‪a1 q n−1 = a1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪1−q‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪a1 q n−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬