docThermalPhysics-FormulaSheet-v1.1
download 
Report Transcription
ThermalPhysics-FormulaSheet-v1.1
פיזיקה תרמית :סיכום ודף נוסחאות גרסה ,1.1יולי 2011 ברק שושני [email protected] | http://baraksh.co.il/ פרק 1 מצבים של מערכות מודל 1.1מערכת ספינים מערכת ספינים היא מערכת בה יש Nחלקיקים ,כאשר כל אחד מהם יכול להיות עם ספין למעלה או למטה .נסמן ב־ ↑ Nוב־ ↓N את מספר החלקיקים עם ספין למעלה ועם ספין למטה בהתאמה. עודף הספינים 2sהוא: ↓2s ≡ N↑ − N פונקציית הריבוי ) g (N, sנותנת את מספר המצבים של המערכת המתאימים לערך מסוים של :s N !N !N 1 = )g (N, s = = 1 ↑N ! ↓N↑ !N ! 2N + s ! 2N − s ומתקיים: 1 2N g (N, s) = 2N X s=− 12 N בגבול N 1 ,N sניתן להשתמש בקירוב הגאוסיאני: 1/2 2s2 2 2N exp − ≈ )g (N, s πN N אם כל המצבים במערכת הספינים הם סבירים באותה מידה, הערך הממוצע של s2יהיה )בקירוב הגאוסיאני(: ´∞ 2 s g (N, s) ds 2 N = ∞s = ´− ∞ 4 g (N, s) ds ∞− √ סטיית התקן )התנודות( בעודף הספינים תהיה ,σ2s = N והרוחב היחסי יהיה: σ2s 1 ≡F √= N N האנרגיה של אינטראקציה בין מומנט מגנטי mלבין שדה מגנטי Bהיא: U = −m · B האנרגיה של מערכת ספינים בעלת עודף ספינים 2sהיא: U (s) = −2smB = −M B כאשר mהוא המומנט המגנטי של ספין אחד B ,הוא השדה המגנטי ו־ M ≡ 2smהוא המומנט המגנטי הכולל. 1.2שאלה ממבחן :הפרדת פאזות על שרשרת שאלה ממבחן 2009א :נתונים N + 1אטומים על שרשרת חד־ ממדית .כל אטום עושה אינטראקציה רק עם שכניו הקרובים )מימינו ומשמאלו( כך שיש Nאינטראקציות .נניח כי Nמספר גדול מאוד ביחס ל־ 1וקירוב סטירלינג הוא מצויןlog (N !) ≈ : .N log N − Nישנם שני סוגי אטומים על השרשרת A ,ו־.B אנרגיית האינטראקציה בין שני אטומים זהים ) AAאו (BB היא ) −εאינטראקציה מושכת (ε > 0ועבור ABהיא .−ε/2 השרשרת במגע תרמי עם אמבט חום בטמפרטורה .τהחלפת חום עם האמבט נעשית על־ידי שינוי המיקום של האטומים )אין אנרגיה קינטית( .נסמן ב־ xאת החלק של אטומי Bבשרשרת כך ש־ NA = (1 − x) Nו־ .NB = xN א .חשבו את האנרגיה ,האנטרופיה ואנרגיית הלמהולץ בגבול של טמפרטורות גבוהות .τ ε ב .חיזרו על סעיף א' בגבול .τ = 0 ג .באופן כללי המערכת יכולה להיות במצב הדומה לסעיף א' )תערובת אחידה( או במצב הדומה לסעיף ב' .מצאו את טמפרטורת המעבר שמפרידה בין שני המצבים. פתרון סעיף א' :בטמפרטורה גבוהה ,האטומים מסודרים באקראי .עבור כל אחד מ־ Nהזוגות של אטומים שכנים ,יש 2 הסתברות של ) (1 − xלקבל שני אטומי x2 ,Aלקבל שני אטומי ,Bו־) 2x (1 − xלקבל שני אטומים שונים AB ,או BA )יש חשיבות לסדר!( .לכן האנרגיה הכוללת היא בקירוב: ε 2 )U = N −ε (1 − x) + x2 − · 2x (1 − x 2 2 = −εN 1 − x + x פונקציית הריבוי נותנת את מספר המצבים של המערכת: N !N =g = NA ! NA !NB האנטרופיה היא פשוט הלוגריתם של פונקציית הריבוי: )σ = log g ≈ −N ((1 − x) log (1 − x) + x log x והאנרגיה החופשית של הלמהולץ היא: = F = U − τσ N τ ((1 − x) log (1 − x) + x log x) − ε 1 − x + x2 בטמפרטורה נמוכה ,האנרגיה תהיה פתרון סעיף ב': מינימלית .למצב כזה ניתן להגיע אם האטומים מסתדרים כך: ,A . . . AB . . . Bכלומר ,כל אטומי Aברצף ואח"כ כל אטומי Bברצף .יש בסה"כ N − 1אינטראקציות של אטומים מאותו סוג ואינטראקציה אחת של אטומים משני הסוגים ,לכן: ε ε U = −ε (N − 1) − = −εN + ≈ −εN 2 2 פונקציית הריבוי תהיה פשוט ,g = 2כי יש רק שני מצבים בעלי טמפרטורה אפס A :בהתחלה ו־ Bבסוף ,או להפך .לכן: σ = log g = log 2 ≈ 0.7 ≈ 0 האנרגיה החופשית תהיה: F = U − τ σ = −εN פתרון סעיף ג' :מכיוון שהמערכת סימטרית להחלפה ,A ↔ B הגדלים המאפיינים אותה יהיו סימטריים סביב .x = 1/2כלומר, אם החלק של אטומי Bבשרשרת הוא 12 + ∆xאז החלק של אטומי Aבשרשרת הוא , 12 − ∆xואם נחליף את כל אטומי A ב־ Bולהפך )ואז (x = 1 − xנקבל את אותה מערכת בדיוק. בפרט ,האנרגיה החופשית תהיה סימטרית סביב ,x = 1/2ולכן נקודה זו תהיה נקודת מינימום או מקסימום של האנרגיה .נשים לב כי ערכי xקרובים ל־ 1/2מתאימים למצב בסעיף א' )תערובת אחידה( ,ואילו ערכי xרחוקים מ־ 1/2מתאימים למצב בסעיף ב' .לפיכך ,אם x = 1/2היא נקודת מינימום של האנרגיה אז מצב שיווי המשקל )אנרגיה מינימלית( יהיה המצב בסעיף א' ,ואם היא נקודת מקסימום אז מצב שיווי המשקל יהיה המצב בסעיף ב'. אם כן ,עלינו למצוא את הטמפרטורה בה הנקודה = x 1/2הופכת מנקודת מינימום לנקודת מקסימום ,כלומר ,את הטמפרטורה בה הנגזרת השנייה לפי xבנקודה x = 1/2 מתאפסת: ε d2 F ⇒= = N (4τ − 2ε) = 0 =τ 2 dx x=1/2 2 פרק 2 אנטרופיה וטמפרטורה 2.1ההנחה היסודית מערכת סגורה היא מערכת בה האנרגיה ,מספר החלקיקים ,הנפח וכל הפרמטרים החיצוניים שמשפיעים עליה )כולל כבידה ,שדה מגנטי וכו'( הם כולם גדלים קבועים .ההנחה היסודית קובעת כי מערכת סגורה יכולה להיות בכל אחד מהמצבים הקוונטיים הזמינים האפשריים בהסתברות שווה .נתבונן במערכת בעלת g מצבים קוונטיים זמינים .אז ההסתברות למצוא את המערכת במצב sהיא: X 1 P (s) = 1 P (s) = , g s 2.2הקונפיגורציה הסבירה ביותר נניח כי הצמדנו שתי מערכות S1 , S2כך שאנרגיה יכולה לעבור ממערכת אחת לשנייה .המערכות מרכיבות מערכת סגורה S = S1 + S2עם אנרגיה קבועה .U = U1 + U2החלוקה הסבירה ביותר של האנרגיה הכוללת היא זו שבה למערכת Sיש מספר מרבי של מצבים זמינים. נתבונן במקרה הפרטי של שתי מערכות ספינים בעלות N1 , N2 מגנטים ועודפי ספינים .2s1 , 2s2עודף הספינים של המערכת המשולבת יהיה ,2sכאשר .s1 + s2 = sהאנרגיה תהיה ,U (s) = U1 (s1 ) + U2 (s2 ) = −2mBsומספר החלקיקים יהיה .N = N1 + N2פונקציית הריבוי של המערכת המשולבת תהיה: X = )g (N, s ) g1 (N1 , s1 ) g2 (N2 , s − s1 s1 הקונפיגורציה בה המכפלה g1 g2מקבלת ערך מקסימלי נקראת הקונפיגורציה הסבירה ביותר .היא מתקבלת עבור ערך מסוים ˆ ,ומספר המצבים בה יהיה: של ,s1אותו נסמן ב־ s1 ) g1 (N1 , sˆ1 ) g2 (N2 , s − sˆ1 לרוב ,המקסימום המתקבל הוא חד מאוד ,וניתן להסיק מסקנות לגבי המערכת המשולבת באמצעות התבוננות בקונפיגורציה הסבירה ביותר. ניתן להראות )באמצעות הקירוב הגאוסיאני( כי במקרה של מערכות ספינים ,הקונפיגורציה הסבירה ביותר מתקבלת כאשר: sˆ1 sˆ2 s = = N1 N2 N כלומר ,כאשר עודף הספינים היחסי בשתי המערכות הוא זהה. 2.3שיווי־משקל תרמי ואנטרופיה נגדיר את האנטרופיה: ) σ (N, U ) ≡ log g (N, U האנטרופיה היא חסרת יחידות ,והקשר בינה לבין האנטרופיה הקונבנציונלית הוא S = kB σכאשר kBהוא קבוע בולצמן )ראו נספח .(11.8האנטרופיה הכוללת של שתי מערכות בלתי־תלויות היא סכום האנטרופיות של שתי המערכות. שתי מערכות נמצאות בשיווי־משקל תרמי כאשר המערכת המשולבת נמצאת בקונפיגורציה הסבירה ביותר שלה .במקרה הכללי ,פונקציית הריבוי של המערכת המשולבת היא פונקציה של האנרגיה: X = ) g (N, U ) g1 (N1 , U1 ) g2 (N2 , U − U1 U1 כאשר הסכום הוא על כל האנרגיות האפשריות ,ואנו מניחים כי N1 , N2 , Uהם קבועים .מתוך האיבר המקסימלי בסכום ניתן להסיק על המערכת כולה במצב שיווי־משקל .למציאת האיבר המקסימלי נדרוש כי הדיפרנציאל של ) g (N, Uיהיה אפס עבור החלפה של כמות אנרגיה אינפיניטסימלית בין שתי המערכות: ∂g1 ∂g2 = dg g2 dU1 + g1 dU2 = 0 ∂U1 N1 ∂U2 כאשר .dU1 = −dU2מכאן: ∂σ1 ∂σ2 = ∂U1 N1 ∂U2 N2 2.4טמפרטורה במצב שיווי־משקל תרמי ,הטמפרטורות של שתי המערכות שוות. הטמפרטורה היסודית τמוגדרת לפי הקשר: ∂σ 1 ≡≡β τ ∂U N היא בעלת יחידות של אנרגיה ,והקשר בינה לבין הטמפרטורה הקונבנציונלית הוא .τ = kB Tביחידות קונבנציונליות ההגדרה תהיה: ∂S 1 ≡ T ∂U N כאשר מעבירים אנרגיה ∆U > 0מהמערכת S1למערכת ,S2 השינוי באנטרופיה הוא: ∂σ1 ∂σ2 = ∆σ (−∆U ) + ) (∆U ∂U1 N1 ∂U2 N2 1 1 = − ∆U τ2 τ1 ואנו רואים כי כאשר ,τ1 > τ2האנטרופיה גדלה .חוק גדילת האנטרופיה קובע כי כאשר שתי מערכות באות במגע, האנטרופיה הכוללת תמיד גדלה ,או לכל היותר נשארת קבועה )אם הטמפרטורות שלהן היו מלכתחילה שוות(. כדי למצוא את הטמפרטורה במצב שיווי־משקל ,ניתן להשתמש בחוק שימור האנרגיה ובכך שהאנרגיה שיצאה ממערכת אחת נכנסה למערכת השנייה: ) U1 (Tf ) + U2 (Tf ) = U1 (T1 ) + U2 (T2 )) U1 (Tf ) − U1 (T1 ) = − (U2 (Tf ) − U2 (T2 אם שתי המערכות זהות ,הטמפרטורה הסופית תהיה הממוצע של שתי הטמפרטורות ההתחלתיות. 2.5חוקי התרמודינמיקה חוק אפס :אם שתי מערכות הן בשיווי־משקל תרמי עם מערכת שלישית ,אז הן חייבות להיות בשיווי־משקל תרמי אחת עם השנייה. חוק ראשון :חום הוא צורה של אנרגיה .חוק זה שקול לחוק שימור האנרגיה. חוק שני :אם מערכת סגורה נמצאת במצב שאינו מצב שיווי־ המשקל ,למשל לאחר שהוסר אילוץ פנימי במערכת ,התוצאה הסבירה ביותר תהיה שהאנטרופיה של המערכת תגדל באופן מונוטוני לאורך זמן .חוק זה שקול לחוק גדילת האנטרופיה. חוק שלישי :האנטרופיה של המערכת מתקרבת לערך קבוע כאשר הטמפרטורה מתקרבת לאפס. 2.6אוסילטור הרמוני קוונטי הערכים העצמיים של האנרגיה באוסילטור הרמוני הם: εs = s~ω, }s ∈ {0, 1, 2, . . . כאשר ωהיא התדירות הזוויתית ,והזנחנו את אנרגיית האפס. האנרגיה הכוללת במערכת של Nאוסילטורים בעלי אותה תדירות היא: N X =ε si ~ω ≡ n~ω i=1 פונקציית הריבוי ) g (N, nעבור ערך מסוים של nשווה למספר האפשרויות לבחור מספרים קוונטיים s1 , . . . , sNאשר סכומם יהיה :n N +n−1 !)(N + n − 1 = )g (N, n = n !)n! (N − 1 האנטרופיה של אוסילטור הרמוני קוונטי היא ,בקירוב סטירלינג: n n n n σ (N, n) ≈ N 1 + log 1 + − log N N N N )σ (N, U ) ≈ N ((1 + u) log (1 + u) − u log u כאשר ,u ≡ U/N ~ωוהאנרגיה שלו היא: N ~ω = ) U (τ exp (~ω/τ ) − 1 פרק 3 התפלגות בולצמן והאנרגיה החופשית של הלמהולץ 3.1פקטור בולצמן נניח כי המערכת ,Sבה אנו מתעניינים ,היא בשיווי־משקל תרמי עם אמבט חום ,Rשהוא מערכת גדולה מאוד יחסית ל־ .Sהמערכת R + Sהיא מערכת סגורה ,והאנרגיה הכוללת U0 = UR + USהיא קבועה .אם אנרגיית המערכת Sהיא ,εsאז אנרגיית האמבט היא .U0 − εsהיחס בין ההסתברויות למציאת המערכת במצבים קוונטיים 1ו־ 2הוא: ) P (ε1 ) gR (U0 − ε1 ) exp (−ε1 /τ = ≈ ) P (ε2 ) gR (U0 − ε2 ) exp (−ε2 /τ ביטוי מהצורה ) exp (−ε/τנקרא פקטור בולצמן. 3.2פונקציית החלוקה פונקציית החלוקה היא: ε s gs exp − τ N 3.8אוסילטורים הרמוניים קוונטיים פתרון סעיף ב' :באמצעות קליטת פוטון בעל אנרגיה ,2µB האטום יכול לעבור מרמת אנרגיה ) −µBספין מקביל לשדה( לרמת אנרגיה .µBהסיכוי שזה יקרה הוא ,כפי שראינו: 1 eµB/τ = −2µB/τ P (−µB) = −µB/τ µB/τ e +e e +1 אם µB τאז µB/τ → 0ולכן נוכל לרשום: 1 ≈ )P (−µB (1 − 2µB/τ ) + 1 1 1 = 2 1 − µB/τ 1 µB ≈ 1+ 2 τ ההספק הנקלט במוצק תלוי בהסתברות לעירור ,ולכן התלות בטמפרטורה תהיה .1/τ 3.5פונקציית החלוקה של מערכת של Nחלקיקים X = ) Z (τ s כאשר הסכום הוא על כל המצבים sשל המערכת .אם למצב s כלשהו יש ניוון ,gsהניוון יהיה המקדם של ) exp (−εs /τבסכום. ההסתברות למצוא חלקיק במצב בעל אנרגיה εsהיא: ε 1 s P (εs ) = gs exp − Z τ כלומר ,פונקציית החלוקה היא בעצם קבוע הנורמליזציה של פונקציית ההסתברות .האנרגיה הממוצעת של המערכת היא: ε 1 X s = U (τ ) = hεi εs exp − Z s τ ∂ log Z −∂ log Z = τ2 = ∂τ ) ∂ (1/τ 3.3שאלה ממבחן :טמפרטורה של כוכב שאלה ממבחן 2010א :לאטום פחמן נייטרלי יש מצב יסוד עם ניוון .9למצב המעורר הראשון ניוון 5ואנרגיה של 0.82 eV מעל מצב היסוד .במדידות ספקטרוסקופיות של כוכב מרוחק נמצא כי 10%מאטומי הפחמן הנייטרלי נמצאים במצב המעורר. מספר האטומים ברמות גבוהות יותר ניתן להזנחה .מהי בערך טמפרטורת הכוכב ,בהנחה שהוא בשיווי משקל תרמי? פתרון :תהי ε0האנרגיה במצב היסוד ו־ ε0 + ∆εהאנרגיה במצב המעורר הראשון )כאשר .(∆ε = 0.82 eVפונקציית החלוקה היא: Z (τ ) = 9 e−ε0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ לכן ההסתברות שאטום יהיה במצב המעורר היא: 5 e−(ε0 +∆ε)/τ = 0.1 = )P (ε0 + ∆ε −ε 9 e 0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ נצמצם את אנרגיית היסוד: 5 e−∆ε/τ 5 = = 0.1 9 + 5 e−∆ε/τ 9 e∆ε/τ +5 מכאן ,e∆ε/τ = 5ולכן: ∆ε ≈ 0.5 eV =τ log 5 נחלק בקבוע בולצמן כדי לקבל את הטמפרטורה במעלות קלווין: τ = T ≈ 5800 K kB תהי Zפונקציית החלוקה של חלקיק אחד .במערכת של N חלקיקים מובחנים שאין אינטראקציה ביניהם ,פונקציית החלוקה תהיה: ZN = Z n ובמערכת של Nחלקיקים לא מובחנים: ZN = ZN !N פונקציית החלוקה של שתי מערכות במגע תרמי ובטמפרטורה שווה היא מכפלת פונקציות החלוקה של שתי המערכות: ) Z (S1 + S2 ) = Z (S1 ) Z (S2 3.6קיבול חום קיבול החום של מערכת בנפח קבוע הוא: ∂σ ∂U CV ≡ τ = ∂τ V ∂τ V או ,ביחידות קונבנציונליות: ∂S ∂U CV ≡ T = ∂T V ∂T V קיבול החום הוא חסר יחידות ,וביחידות קונבנציונליות יש לו יחידות של אנרגיה לקלווין .קיבול החום הסגולי הוא קיבול החום ליחידת מסה .בתרמודינמיקה קלאסית מתקיים הקשר Q = C∆Tכאשר Qהוא החום ∆T ,הוא השינוי בטמפרטורה ו־ Cהוא קיבול החום. 3.7שאלה ממבחן :פונקציות חלוקה וקיבול חום שאלה ממבחן 2010א :נתונים Nחלקיקים שלכל אחד מהם 3 מצבי אנרגיה אפשריים .0, ε, 2ε :למערכת נפח קבוע Vוהיא מצומדת לאמבט חום בטמפרטורה .τאין אינטראקציה בין החלקיקים ,והסטטיסטיקה הרלוונטית היא סטטיסטיקת בולצמן. א .כתבו את פונקציית החלוקה עבור חלקיק יחיד. פתרון סעיף א' :אטום יכול להיות בעל אנרגיה ,−µBאם הספין שלו מקביל לשדה ,או ,µBאם הספין שלו מנוגד לשדה .לפיכך פונקציית החלוקה היא: −µB/τ µB/τ Z=e +e הסיכוי של אטום להיות עם ספין מקביל לשדה יהיה ,אם כן: eµB/τ 3 P (−µB) = −µB/τ = = 75% 4 e + eµB/τ לפיכך: 1 2µB = e−2µB/τ = =⇒ τ = 5.08 × 10−22 J 3 log 3 נחלק בקבוע בולצמן כדי למצוא את הטמפרטורה: τ = T = 36.8 K kB נתבונן בגביש שהאטומים שבו הם בעלי שתי רמות אנרגיה: רמת יסוד בעלת אנרגיה אפס ורמה מעורערת בעלת אנרגיה .εפונקציית החלוקה שלו היא ,Z (τ ) = 1 + e−ε/τוההסתברות −1 למצוא אטום ברמת האנרגיה εהיא .p = eε/τ +1מכאן ,τ = ε/ log p−1 − 1ואנו רואים כי עבור ) p = 1/2חצי מהאטומים הם בעלי אנרגיה (εנקבל ∞ = ,τועבור p > 1/2 נקבל .τ < 0אם כן ,המשמעות של טמפרטורה שלילית היא שאכלוס הרמה המעורערת הוא גדול מזה של רמת היסוד. באופן כללי ,מערכת יכולה להיות בעלת טמפרטורה שלילית אם ספקטרום האנרגיה שלה חסום מלמעלה ,אם היא בשיווי־משקל תרמי פנימי )כלומר המצבים מאוכלסים בהתאם לפקטור בולצמן של הטמפרטורה( ואם המצבים בעלי הטמפרטורה השלילית הם מבודדים מהמצבים בעלי הטמפרטורה החיובית. סקאלת הטמפרטורה היא ,מהקר ביותר בצד שמאל אל החם ביותר בצד ימין: +0 K → +300 K → +∞ K → −∞ K → −300 K → −0 K )הערך הספציפי של 300 Kמובא כאן רק לצורך המחשה (.כלומר, טמפרטורה שלילית תמיד תהיה חמה יותר מטמפרטורה חיובית. אם מערכת ב־ −300 Kמובאת במגע תרמי עם מערכת זהה ב־ ,+300 Kאז לאחר הגעה לשיווי־משקל הטמפרטורה תהיה ) ±∞ Kולא !(0 K 3.10לחץ הלחץ על מערכת במצב קוונטי sהוא ,ps = −dεs /dVכאשר Vהוא נפח המערכת .הלחץ הממוצע על המערכת הוא: ∂U ∂σ p = hpi = − = −τ ∂V σ ∂V U ומתקיימת הזהות התרמודינמית על האנטרופיה ,האנרגיה הממוצעת והנפח: הדיפרנציאלים של ב .מהי האנרגיה הממוצעת שלו? נעיר כי ביחידות קונבנציונליות.τ dσ = T dS , ג .בגבול ,τ εמהי ההסתברות שהרמה המעוררת העליונה מאוכלסת ומהי האנרגיה הממוצעת? 3.11האנרגיה החופשית של הלמהולץ האנרגיה החופשית של הלמהולץ היא: ד .באיזו טמפרטורה יש במצב היסוד פי 1.1חלקיקים מברמה העליונה? ה .מצאו את קיבול החום הסגולי. פתרון סעיף א': Z = 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ א .מהי הטמפרטורה אשר מתחתיה יותר מ־ 75%ספין מקביל לשדה? ב .קליטה של קרינה אלקטרומגנטית יכולה לעורר מעבר בין שתי רמות האנרגיה אם תדירות הקרינה היא = f 2µB/hכאשר hקבוע פלאנק .נניח כי המוצק בשיווי משקל תרמי וכן ,µB τוהוא מוקרן בקרינה כזו .מהי התלות בטמפרטורה של ההספק הנקלט במוצק? 3.9טמפרטורה שלילית τ dσ = dU + p dV 3.4שאלה ממבחן :אטומים בשדה מגנטי שאלה ממבחן 2010א :מוצק שבו אטומים בעלי ספין ) 1/2חסרי אינטראקציה הדדית( נמצא בשדה מגנטי .B = 3 Tהמומנט המגנטי הוא .µ = 9.3 × 10−23 J T−1 נתונה מערכת של Nאוסילטורים הרמוניים קוונטיים ,אשר רמות האנרגיה שלה נתונות ע"י: 1 En = n + ~ω 2 )הפעם אנו לא מזניחים את אנרגיית האפס ,כמו בסעיף .(2.6 פונקציית החלוקה של אוסילטור בודד היא: 1 = ) Z (τ 2 sinh ~ω 2τ לכן עבור Nאוסילטורים בלתי־מובחנים: ZN 1 = ZN = N !N 2 N ! sinhN ~ω 2τ והאנרגיה הממוצעת היא: N ~ω ~ω =E coth 2 2τ 1 בקירוב של טמפרטורות נמוכות נקבל ,E → 2 N ~ωועבור טמפרטורות גבוהות .E ≈ N τאם בכל זאת נזניח את אנרגיית האפס ,נקבל )) .Z = 1/ (1 − exp (−~ω/τ פתרון סעיף ב': −2ε/τ −ε/τ פתרון סעיף ג' :כאשר τ εההבדל בין שלוש רמות האנרגיה זניח ,לכן כל רמה תהיה מאוכלסת במספר שווה של חלקיקים. לפיכך P (2ε) = 1/3ו־.U = ε פתרון סעיף ד' :ההסתברות למצוא חלקיק במצב היסוד היא ,P (0) = 1/Zוברמה העליונה: 2ε log 1.1 =τ ⇒= = )P (2ε )P (0 1 = −2ε/τ )P (2ε e לחישוב Fלפי פונקציית החלוקה Zניתן להשתמש בקשר: F F = −τ log Z, Z = exp − τ 3.12גז אידאלי :אטום אחד בקופסה = 1.1 פתרון סעיף ה': N ε2 e−ε/τ +4 e−2ε/τ + e−3ε/τ 2 τ2 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ ומכאן ,בטמפרטורה קבועה: ∂U ∂σ p=− +τ ∂V τ ∂V τ בנוסף ניתן לקבל את אחד מיחסי מקסוול )סעיף :(9.6 ∂σ ∂p = ∂V τ ∂τ V εe +2ε e =U −ε/τ 1+e + e−2ε/τ e−2ε/τ Z נדרוש שהיחס יהיה 1.1ונקבל: F ≡ U − τσ אם נפח המערכת הוא קבוע ,האנרגיה החופשית תקבל ערך מינימלי עבור מערכת Sבמגע תרמי עם אמבט .Rהדיפרנציאל הוא: dF = dU − τ dσ − σ dτ = −p dV − σ dτ לכן: ∂F ∂F σ=− , p=− ∂τ V ∂V τ = CV נתבונן באטום בעל מסה Mהחופשי לנוע בקובייה בעלת אורך צלע Lונפח .V = L3פתרון המשוואה: ~2 2 − ∇ ψ = εψ 2M הוא: x y z ψ (x, y, z) = A sin nx π sin ny π sin nz π L L L כאשר nx , ny , nzהם שלמים חיוביים כלשהם ,והערכים העצמיים של האנרגיה הם: ~2 π 2 2 2 nx + ny + n2z = εnx ,ny ,nz 2 2M L את פונקציית החלוקה ניתן לקרב באמצעות אינטגרלים על ,nx , ny , nzולקבל: 3/2 nQ Mτ = V = nQ V = Z1 2π~2 n כאשר n ≡ 1/Vהוא הריכוז ואילו: 3/2 Mτ ≡ nQ 2π~2 ∂F ∂τ ∂ = M 3 τ log nQ `3 ∂τ 3 1/2 τ = M 3 log nQ `3 + M 3 τ 2 3/2 τ 3 3 3 = M log nQ ` + 2 σ=− וקיבול החום הוא: הוא הריכוז הקוונטי .זהו הריכוז המתאים לאטום אחד בקובייה בעלת√ אורך צלע השווה לאורך־גל דה־ברוי ,שהוא בקירוב ~/M hvi ≈ ~/ M τכאשר hviהיא המהירות הממוצעת התרמית .כאשר n nQאנו אומרים שהגז הוא בתחום הקלאסי .גז אידאלי הוא גז בתחום הקלאסי של אטומים שאין ביניהם אינטראקציה .עבור גז אידאלי של אטום אחד ,האנרגיה הממוצעת היא: 3 3 U = τ = kB T 2 2 נגדיר גם את אורך־הגל התרמי: 2 1/2 ~2π 1 ≡ λT , nQ = 3 Mτ λT 3.13גז אידאלי N :אטומים בקופסה עבור קופסה ובה גז אידאלי בעל Nאטומים מובחנים בעלי מסה זהה ,פונקציית החלוקה הכוללת תהיה .Z1Nבמקרה הנפוץ יותר בו Nהאטומים הם בלתי־מובחנים ,ספרנו כל צירוף של מצבים ! Nפעמים ולכן פונקציית החלוקה תהיה: 1 N = ZN Z N! 1 בחישוב זה הנחנו כי כל Nהמצבים התפוסים הם תמיד שונים זה מזה ,ולפיכך הוא מהווה קירוב בלבד .קירוב זה מתאים רק בתחום הקלאסי. האנרגיה של Nאטומים בקופסה היא .U = 32 N τהאנרגיה החופשית )בקירוב סטירלינג( היא: 3 Mτ − log V − 1 F = τ N log N − log 2 2π~2 מכאן ניתן לקבל את משוואת הגז האידאלי: pV = N τ = N kB T כאשר pהוא הלחץ ,ואת משוואת :Sackur-Tetrode 5 nQ σ = N log + n 2 כאשר n ≡ N/Vהוא הריכוז .קיבול החום הוא )ראו גם :משפט החלוקה השווה ,סעיף (6.10 פתרון סעיף ב' :האנטרופיה היא: 3 2N = .CV 3.14שאלה ממבחן :מספר המצבים של גז חנקן שאלה ממבחן 2010א :גז חנקן דליל דו־אטומי נדחס לאט בטמפרטורה קבועה מנפח התחלתי של 0.3 m3לנפח סופי של .0.1 m3מספר מולקולות החנקן הוא .1024פי כמה השתנה מספר המצבים המיקרוסקופיים של הגז בתהליך? פתרון :האנטרופיה היא הלוגריתם של מספר המצביםσ ≡ , ,log gולכן .g = eσממשוואת ,Sackur-Tetrodeהאנטרופיה של גז אידאלי היא: nQ 5 σ = N log + ) = N (C + log V n 2 כאשר Cקבוע .לפיכך מספר המצבים הוא: g = eN C V N 24 אם נקטין את הנפח פי ,3מספר המצבים יקטן פי ) .3N = 3(10 3.15שאלה ממבחן :אטומים בקופסאות קטנות שאלה ממבחן 2009ב :פיתחו חומר חדש בו אטומי פחמן מאורגנים במערך של קופסאות קטנות )כל אחת בגודל `×`×`( כאשר בכל קופסה נמצא אטום הליום בודד החופשי לנוע. המערכת כולה נמצאת בשיווי משקל בטמפרטורה .τ א .עבור מערך קובי של M × M × Mקופסאות ,מצאו את האנרגיה החופשית של הלמהולץ עבור תנועת אטומי ההליום בלבד )הניחו כי אטומי הפחמן אינם מסוגלים לנוע(. ב .מצאו את האנטרופיה ואת קיבול החום. פתרון סעיף א' :פונקציית החלוקה עבור אטום הליום אחד היא )בקירוב(: mτ 3/2 Z1 = nQ V = nQ `3 , ≡ nQ 2π~2 3 כאשר mהיא מסת האטום .לכן פונקציית החלוקה עבור M אטומי הליום היא )החלקיקים ניתנים להבחנה(: M 3 3 Z = Z M = nQ `3 והאנרגיה החופשית תהיה: 3 F = −τ log Z = −M τ log nQ `3 3 3 M 2 = 3 1/2 τ τ M 3 2 3/2 τ ∂σ = ∂τ CV = τ 3.16אנטרופיה של ערבוב נתבונן במוצק המורכב מ־N − tאטומים מסוג Aו־ tאטומים מסוג .Bפונקציית הריבוי היא ,g (N, t) = ntוהאנטרופיה בקירוב סטירלינג היא: )σ (x) = −N ((1 − x) log (1 − x) + x log x כאשר .x ≡ t/Nתרומה זו לאנטרופיה הכוללת נקראת אנטרופיה של ערבוב. 3.17תהליך הפיך תהליך נקרא הפיך אם המערכת נשארת קרובה אינפיניטסימלית למצב שיווי־משקל לכל אורך התהליך. 3.18התפלגות מהירות בגז נתבונן בגז של חלקיקים בריכוז nבשיווי־משקל תרמי .הסיכוי של חלקיק להיות באנרגיה εהוא ,P (ε) ∝ e−ε/τלכן הסיכוי שלו לנוע במהירות בין vל־ v + d3 vנתון ע"י = f (v) d3 v 2 .A e−mv /2τ d3 vננרמל את Aונקבל את התפלגות מקסוול: m 3/2 2 = f (v) d3 v e−mv /2τ d3 v 2πτ כאשר .V = L3התוצאה לפיה צפיפות האנרגיה המוקרנת היא פרופורציונלית לחזקה הרביעית של הטמפרטורה נקראת חוק סטפן־בולצמן. 4.3חוק פלאנק הצפיפות הספקטרלית uωמוגדרת´להיות האנרגיה ליחידת נפח ליחידת תדירות . uω dω = U/V :מתקיים: ω3 exp (~ω/τ ) − 1 ~ π 2 c3 = uω תוצאה זו נקראת חוק הקרינה של פלאנק .מהקשר dσ = dU/τ נמצא את האנטרופיה: 4π 2 V τ 3 = ) σ (τ 45 ~c המדידה של טמפרטורות גבוהות תלויה בשטף האנרגיה הקורנת מחור קטן בקיר של החלל ,אשר נשמר בטמפרטורה קבועה. חור כזה קורן כגוף שחור ,כלומר ,פליטת הקרינה היא אופיינית להתפלגות של שיווי־משקל תרמי .צפיפות שטף האנרגיה JU מוגדרת להיות שיעור האנרגיה שנפלטה ליחידת שטח ,והיא: 4 π 2 kB 3 60~ c2 כאשר σBנקרא קבוע סטפן־בולצמן )אין קשר לאנטרופיה(. נשים לב כי הצפיפות תלויה בטמפרטורה בלבד ,ולא בהרכב הפיזיקלי של קירות החלל .מכאן ,עוצמת הקרינה של גוף שחור כדורי היא: ≡ σB 4 J U = σB T 4 , 2 L = 4πR σB T בגבול ~ω τנקבל מחוק פלאנק את קירוב וין ):(Wien ~ω ~ω 3 exp − = ) I (ω, τ 4π 3 c2 τ כאשר Iהיא כמות האנרגיה ליחידת שטח פנים ,זמן ,זווית מרחבית ותדירות )או אורך גל( ,ומתקיים היחס .I = uω c/4π כדי להעריך את טמפרטורת פני־השטח של גוף חם ,כגון כוכב, באמצעות התדירות בה מתקבל מקסימום בספקטרום הקרינה, נגזור את חוק פלאנק ונשווה לאפס .נקבל משוואה אותה ניתן לפתור נומרית ולקבל: ~ωmax 2.82 פרק 4 קרינה תרמית והתפלגות פלאנק ≈τ 4.4שאלה ממבחן :מדידת חום 4.1התפלגות פלאנק הקרינה ספקטרום את מתארת פלאנק התפלגות האלקטרומגנטית בשיווי־משקל תרמי בתוך חלל .היא מתארת בקירוב את ספקטרום הפליטה של השמש או של מתכת מלובנת. קרינה אלקטרומגנטית תרמית נקראת לעתים קרינת גוף שחור. האנרגיה של מצב קוונטי s ∈ N0היא ,εs = s~ωכאשר התעלמנו מאנרגיית האפס . 12 ~ωבאמצעות פונקציית החלוקה נחשב את פונקציית ההתפלגות של פלאנק: 1 exp (~ω/τ ) − 1 = hsi פונקציה זו מתארת את מספר הפוטונים הממוצע באופן תנודה עם תדירות .ω שאלה ממבחן 2009ב :רוצים למדוד חום באוזנו של תינוק בריא ) (T = 37 ◦ Cבדיוק של .1%מה צריך להיות כושר ההפרדה המקסימלי של הספקטרומטר אם רוצים למדוד את אורך הגל בו העצמה מקסימלית? פתרון :תחום הטמפרטורות הרלוונטי הוא: ∆τ = (1% × 37) ◦ C · kB ≈ 3.78 × 10−21 J לפי הקשר: ~ωmax hc ≈τ = 2.82 2.82λmax נקבל: hc ≈ 1.86 × 10−5 m 2.82∆τ = ∆λmax 4.2חוק סטפן־בולצמן 4.5שאלה ממבחן :לוחות אינסופיים האנרגיה הממוצעת של כל אופן תנודה היא: ~ω = hεi = hsi ~ω exp (~ω/τ ) − 1 הגבול τ ~ωנקרא הגבול הקלאסי ,ובו נקבל .hεi ≈ τבתוך החלל קיימים אינסוף אופני תנודה אלקטרומגנטיים ,ולכל אופן nיש תדירות ωnמשלו .עבור אנרגיה המוגבלת לחלל מוליך מושלם בצורת קובייה בעלת צלע Lנקבל סט של אופני תנודה מהצורה : x y z Ex = Ex0 sin (ωt) cos nx π sin ny π sin nz π L L L x y z Ey = Ey0 sin (ωt) sin nx π cos ny π sin nz π L L L x y z Ez = Ez0 sin (ωt) sin nx π sin ny π cos nz π L L L כאשר ) E = (Ex , Ey , Ezהוא השדה החשמלי ו־= E0 ) (Ex0 , Ey0 , Ez0היא האמפליטודה .ממשוואות מקסוול מתקיים ∇ · E = 0ולכן E0 · n = 0כאשר ) .n ≡ (nx , ny , nzאם נציב את אופני התנודה במשוואת הגלים: 1 ∂ 2 Ez ∇2 E z = 2 c ∂t2 כאשר cהיא מהירות האור בריק ,נקבל את התדירות = ωn כאשר | .n ≡ |nהאנרגיה הכוללת של הפוטונים בחלל P nπc/L היא .U = n hεn iנחליף את הסכום באינטגרל: ˆ X ∞ 1 ~ωn 4πn2 dn ≈ hεn i 8 exp (~ω n /τ ) − 1 0 n כאשר הפקטור של 1/8מתווסף מכיוון שאנו מתייחסים רק לשמינית החיובית של המרחב .בנוסף ,נכפיל את האינטגרל ב־ 2מכיוון שיש שני קיטובים בלתי־תלויים לשדה האלקטרומגנטי. מכאן נקבל את האנרגיה ליחידת נפח: U π2 = τ4 V 15~3 c3 שאלה ממבחן 2010א :נתונים שני לוחות אינסופיים המוחזקים בטמפרטורות שונות .Tcold < Thot :בין שני הלוחות יש ריק. מכניסים לוח שלישי דק מאוד המבודד מהסביבה .פי כמה ירד או יעלה קצב פליטת החום נטו מהלוח החם ללוח הקר כתוצאה מהכנסת הלוח הדק ביניהם? פתרון :האנרגיה ליחידת שטח הנפלטת ע"י כל לוח היא = J ,σB T 4כאשר σBהוא קבוע סטפן־בולצמן .לפני הכנסת הלוח האמצעי ,קצב פליטת החום נטו מהלוח החם ללוח הקר הוא: 4 4 J1 = σB Thot − Tcold תהי Tטמפרטורת הלוח האמצעי .הוא קולט ופולט קרינה בשני הכיוונים ,ולכן: 4 T 4 + Tcold 4 4 2σB T 4 = σB Thot + Tcold =⇒ T 4 = hot 2 לפיכך אחרי הכנסת הלוח האמצעי ,קצב פליטת החום מהלוח החם ללוח הקר יהיה: 4 4 Thot − Tcold 1 4 J2 = σB Thot − T 4 = σB = J1 2 2 כלומר ,קצב פליטת החום מהלוח החם יקטן פי .2 4.6חוק קירכהוף גוף נקרא גוף שחור בתחום תדירויות מסוים אם הוא סופג את כל הקרינה האלקטרומגנטית בתחום זה שפוגעת בו .חור בחלל הוא שחור אם הוא קטן מספיק כך שקרינה שנכנסת לתוכו תיספג בקירות החלל ורק חלק זניח ממנה יצא בחזרה .צפיפות שטף האנרגיה JUהנפלטת ממשטח שחור בטמפרטורה τשווה צפיפות שטף האנרגיה הנפלטת מחור קטן בחלל שנמצא באותה טמפרטורה .לפי חוק קירכהוף ,אם גוף לא־שחור בטמפרטורה τסופג חלק יחסי aמהקרינה שפוגעת בו ,שטף הקרינה הנפלט מהגוף יהיה aכפול שטף הקרינה הנפלט מגוף שחור באותה טמפרטורה. 4.7לחץ קרינה עבור גז פוטונים ,לחץ הקרינה הוא: U 3V p=− 4.8רעש במעגלים אלקטרוניים משפט נייקוויסט גורס כי המתח הריבועי הממוצע על נגד בעל התנגדות Rבשיווי־משקל תרמי בטמפרטורה τהוא: 2 V = 4Rτ ∆f כאשר ∆fהוא רוחב פס התדירות ) (f = ω/2πבו נמדדות התנודות במתח ,ומתעלמים מרכיבי התדירות מחוץ לתחום הנתון. 4.9שאלה מתרגיל בית :רעש ג'ונסון א .מצאו ביטוי אינטגרלי לאנרגיה של "גוף שחור" חד־מימדי. ב .עבור מעגל אלקטרוני עם תדר קטעון ωmaxנמוך ) ,(~ωmax τמצאו את האנרגיה כתלות ברוחב פס התדירות ,∆fכאשר .ω = 2πf ג .מצאו את ההספק של הרעש בהנחה שהאנרגיה כולה נפלטת במשך זמן ,∆t = L/cוהשוו אותו להספק חשמל המתח של מעגל שקול עם נגד בודד Rבכדי לקבל שריבוע הממוצע של הרעש לאורך הנגד הינו . V 2 = 4Rτ ∆f פתרון סעיף א' :האנרגיה של מצב קוונטי nהיא ,εn = n~ω כאשר התעלמנו מאנרגיית האפס .פונקציית החלוקה היא: ∞ X 1 = ) Z (τ = e−n~ω/τ −~ω/τ 1 − e n=0 לכן מספר הפוטונים הממוצע באופן תנודה בעל תדירות ωהוא: ∞ 1 X −n~ω/τ 1 = hni ne = ~ω/τ Z n=0 e −1 כל אופן תנודה הוא מהצורה: x En = E0 sin (ωt) cos nπ L נציב אותו במשוואת הגלים: 1 ∂2E ∂2E = 2 2 2 ∂x c ∂t ונקבל: nπc = ωn L האנרגיה הממוצעת של כל אופן תנודה היא: ~ωn = hεn i = hni ~ω exp (~ωn /τ ) − 1 לכן האנרגיה הכוללת היא )יש שני קיטובים(: ∞ X hεn i U =2 n=0 ∞ X ~ωn exp (~ωn /τ ) − 1 n=0 ∞ ˆ ~ωn dn ≈2 exp (~ω n /τ ) − 1 0 ∞ ˆ ~πc L n =2 dn ~πc exp Lτ n − 1 0 ˆ 2Lτ 2 ∞ x = dx ~πc 0 ex −1 =2 כאשר: ~πc ≡x n Lτ פתרון סעיף ב' :הגבול העליון של האינטגרל יהיה ≡ xmax . ~πcמתקיים: Lτ nmax nπc Lωmax ~ωmax = ωn = =⇒ nmax = =⇒ xmax L πc τ לכן עבור ~ωmax τנקבל .x 1לפיכך נוכל לקרב ex ≈ 1 + xולקבל: ˆ x max 2Lτ 2 x 2Lτ 2 ≈U = dx xmax x ~πc 0 e −1 ~πc 2τ L∆ω 4τ L∆f = = 2τ nmax = πc c פתרון סעיף ג' :ההספק הוא: U 4τ L∆f L = P = / = 4τ ∆f ∆t c c ההספק של מעגל שקול עם נגד בודד הוא: 2 V = P R לפיכך: 2 2 V ⇒= = 4τ ∆f V = 4Rτ ∆f R 4.10פונונים במוצקים :תורת דביי האנרגיה של גל אלסטי במוצק היא מקוונטטת ,בדיוק כמו האנרגיה של גל אלקטרומגנטי בחלל .הקוונטום של גל אלסטי נקרא פונון .המספר הממוצע התרמי של פונונים בגל אלסטי בעל תדירות ωניתן באמצעות התפלגות פלאנק ,בדיוק כמו במקרה של פוטונים: 1 = hs (ω)i exp (~ω/τ ) − 1 בניגוד למקרה של גלים אלקטרומגנטיים ,מספר אופני התנודה האלסטיים במוצק סופי הוא חסום .אם המוצק מורכב מ־ N אטומים ,כל אחד בעל 3דרגות חופש ,אז מספר אופני התנודה הכולל הוא .3Nלגל אלסטי יש שני קיטובים רוחביים ואחד אורכי ,בניגוד לשני קיטובים בגל אלקטרומגנטי .הסכום של גודל כלשהו על־פני כל אופני התנודה הוא: ˆ X 3 nmax 4πn2 (· · · ) dn = ) · · ·( 8 0 n כאשר ,n ≡ nx + ny + nzהפקטור של 3נובע מ־ 3הקיטובים והפקטור של 1/8נובע מכך שאנו מתייחסים רק לשמינית החיובית של המרחב )ראו סעיף .(4.2למציאת nmaxנדרוש כי מספר אופני התנודה יהיה :3N 1/3 ˆ nmax 6N 3 2 = 4πn dn = 3N =⇒ nmax 8 0 π האנרגיה של כל אופן תנודה היא ,hεn i = hsn i ~ωnלכן האנרגיה הממוצעת הכוללת היא: X =U hεn i nD ˆ n 3π = 2 ~ωn dn exp (~ωn /τ ) − 1 0 4 ˆ xD x3 3π 2 ~v τ L = dx 2L π~v ex −1 0 כאשר vהיא מהירות הקול L3 ,x ≡ π~vn/Lτ ,הוא הנפח V והגבול העליון באינטגרל הוא xD ≡ θ/Tכאשר: 1/3 ~v 6π 2 N ≡θ kB V היא טמפרטורת דביי .כאשר T θנקבל ∞ → xDולכן ניתן לפתור את האינטגרל ולקבל: 3π 4 N kB T 4 3π 4 N τ 4 ≈U = 3 5θ3 )5 (kB θ במקרה זה קיבול החום יהיה: 3 12π 4 N kB T = CV 5 θ תוצאה זו ידועה בשם חוק ה־ T 3של דביי .כאשר T θנקבל U ≈ 3N kB Tולכן ) CV = 3N kBחוק דולון־פטי(. נניח כי מערכת בנפח קבוע נמצאת במגע תרמי עם אמבט חום. התנודה )פלקטואציה( הריבועית הממוצעת באנרגיה היא: D E D E ∂U 2 2 2 (∆ε) ≡ (ε − hεi) = τ ∂τ V כאשר .U ≡ hεiאם המערכת היא מוצק בעל Nאטומים ,והיא בשיווי־משקל בטמפרטורה אשר בה חוק ה־ T 3של דביי תקף, אז התנודה היחסית באנרגיה מקיימת: D E 2 3 )(ε − hεi 0.07 θ 2 ≈ = F 2 N T hεi n2 פרק 5 פוטנציאל כימי והתפלגות גיבס 5.1מגע דיפוזיוני ופוטנציאל כימי שתי מערכות הן במגע תרמי אם הן יכולות להעביר ביניהן אנרגיה )חום( ,והן במגע דיפוזיוני אם הן יכולות להעביר ביניהן חלקיקים .כאשר שתי מערכות הן בשיווי־משקל דיפוזיוני ,חלוקת החלקיקים N1 , N2בין שתי המערכות היא זו אשר הופכת את האנרגיה החופשית הכוללת של הלמהולץ = F = F1 + F2 ) U1 + U2 − τ (σ1 + σ2למינימום ,כאשר .N1 + N2 = const במצב שיווי־משקל מתקיים: ∂F1 ∂F2 = ∂N1 ∂N2 נגדיר את הפוטנציאל הכימי כך: ∂F ≡ ) µ (τ, V, N ∂N τ,V אז התנאי לשיווי־משקל דיפוזיוני הוא ,µ1 = µ2כפי שהתנאי לשיווי־משקל תרמי הוא .τ1 = τ2הפוטנציאל הכימי שולט על זרימת החלקיקים בין המערכות ,כפי שהטמפרטורה שולטת על זרימת האנרגיה .אם ,µ1 > µ2חלקיקים יזרמו מ־ S1ל־ .S2 נשים לב כי אם יש סוגים כימיים שונים של חלקיקים ,לכל אחד מהם יהיה פוטנציאל כימי משלו. 5.2הפוטנציאל הכימי של גז אידאלי האנרגיה החופשית של גז אידאלי חד־אטומי היא: )! F = −τ (N log Z1 − log N כאשר Z1מוגדרת בסעיף .3.13נשתמש בקירוב סטירלינג ונקבל: n p µ = τ log = τ log nQ τ nQ כאשר: 3/2 N Mτ n≡ , ≡ nQ V 2π~2 והשתמשנו במשוואת הגז האידאלי .ניתן להגיע לאותה תוצאה גם באמצעות ההגדרה החלופית ).µ ≡ F (N ) − F (N − 1 5.3פוטנציאל כימי כולל בנוכחות שדה חיצוני שגורם לאנרגיה פוטנציאלית ) ,V (rיש להוסיף לאנרגיה החופשית איבר נוסף.Fi 7→ Fi + Ni V (ri ) : במגע דיפוזיוני נקבל: δF = (µ1 − µ2 ) δN1 + (V (r1 ) − V (r2 )) δN1 = (∆µ + ∆V ) δN1 כלומר ,אם ∆µ + ∆V = 0אז המערכת בשיווי־משקל דיפוזיוני. הסכום ) µ + V (rנקרא הפוטנציאל הכימי הכולל. עבור חלקיקי הנושאים מטען חשמלי eונמצאים בשדה פוטנציאל חשמלי ) φ (rכך ש־) V (r) = eφ (rנהוג לקרוא לסכום ) µ + eφ (rבשם הפוטנציאל האלקטרוכימי. 5.4שאלה ממבחן :פוטנציאל כימי של עץ שאלה ממבחן 2009א :עץ באובב מעביר מים באופן חופשי אל צמרתו .שורשיו בתוך מים והוא מאבד מים דרך העלים. הלחות של האוויר היא ) 90%כלומר ,הוא כולל 90%אדי מים( והטמפרטורה היא ) 27 ◦ Cהאטמוספירה איזותרמית( .מצאו חסם עליון על גובה העץ. פתרון :הפוטנציאל הכימי של המים בקרבת השורשים הוא: n µ1 = τ log nQ כאשר τהיא הטמפרטורה n ,הוא הריכוז ו־ nQהוא הריכוז הקוונטי .הפוטנציאל הכימי של אדי המים באוויר בקרבת העלים הגבוהים ביותר הוא: rn µ2 = τ log nQ כאשר r = 0.9היא הלחות של האוויר .לפיכך ההפרש בפוטנציאל הכימי הוא: rn n ∆µ = µ2 − µ1 = τ log − τ log = τ log r < 0 nQ nQ כי .r < 1מצד שני ,ההפרש באנרגיה הפוטנציאלית שנוצר כתוצאה מעליית מולקולות המים לגובה hהוא ,mghכאשר m היא המסה של מולקולת מים ו־ g ≈ 9.8 m s−2היא תאוצת הכבידה .נשווה בין הפרשי הפוטנציאל ונקבל: τ log r τ log r = −mgh =⇒ h = − mg המסה של מולקולת מים היא .m ≈ 3 × 10−26 kgנציב ונקבל: h ≈ 1485 m 5.5גז אידאלי של חלקיקים בעלי ספין בשדה מגנטי נתבונן במערכת של Nחלקיקים זהים עם מומנט מגנטי .mנניח כי כיוון כל מומנט הוא במקביל לשדה מגנטי ) Bעם הכיוון ↑ או נגד הכיוון ↓( .האנרגיה הפוטנציאלית של חלקיק ↑ היא −mB ושל ↓ היא .+mBנתייחס לחלקיקים כאל שני סוגים מובחנים שונים לפי כיוון המומנט .הפוטנציאל הכימי הכולל ↓ µ↑ , µשל כל סוג הוא: ↓n↑/ µ↑/↓ = τ log ∓ mB nQ אם השדה המגנטי Bמשתנה בגודלו על־פני נפח המערכת, הריכוז ↑ nחייב להשתנות כדי לשמור על פוטנציאל כימי קבוע בכל מקום .שני הסוגים הם בשיווי־משקל ולכן = ↓µ↑ = µ .constמכאן נקבל: mB 1 n↑/↓ (B) = n (0) exp ± 2 τ כאשר ) n (0הוא הריכוז הכולל ↓ n↑ + nבנקודה בה .B = 0 לכן: mB n (B) = n (0) cosh τ אנו רואים כי החלקיקים נוטים להתרכז באזורים שבהם Bגדול יותר. 5.6סיכום היחסים בין τ, p, µו־ σ, U, F להלן סיכום היחסים בין הטמפרטורה ,τהלחץ pוהפוטנציאל הכימי µבמונחי הנגזרות של האנטרופיה ,σהאנרגיה U והאנרגיה החופשית :F ) F (τ, V, N ∂F ∂V τ,N ∂F ∂N τ,V ) U (σ, V, N ∂U = −p =µ ∂σ V,N ∂U ∂V σ,N ∂U ∂N σ,V = τ = −p =µ ) σ (U, V, N ∂σ ∂U V,N ∂σ ∂V U,N ∂σ ∂N U,V 1 = τ p = τ = − µτ τ p µ בנוסף ,כאשר מספר החלקיקים משתנה ,ניתן לכתוב את הזהות התרמודינמית )מסעיף (3.10כך: dU = τ dσ − p dV + µ dN 5.7פקטור גיבס ופונקציית החלוקה הגרנד־קנונית בסעיף 3.1הגדרנו את פקטור בולצמן ) exp (−ε/τעבור מערכת במגע תרמי עם אמבט חום בטמפרטורה .τפקטור גיבס ) exp ((N µ − ε) /τהוא הכללה למערכת שנמצאת בנוסף גם במגע דיפוזיוני עם אמבט החום ,שהוא בעל פוטנציאל כימי .µ פונקציות החלוקה הגרנד־קנונית ) Zלעתים מסמנים (ZGהיא הסכום של פקטורי גיבס על־פני כל המצבים ומספרי החלקיקים האפשריים: ε X ) s(N N ≡ ) Z (µ, τ λ exp − τ N,s כאשר ) λ ≡ exp (µ/τהיא האקטיביות המוחלטת) .עבור גז אידאלי λ ,פרופורציונלית לריכוז (.לפיכך ההסתברות שהמערכת תימצא במצב בעל N0חלקיקים ואנרגיה ε0היא: ε 1 0 P (N0 , ε0 ) = λN0 exp − Z τ ומתקיים: ) P (N1 , ε1 ) λN1 exp (−ε1 /τ = N2 ) P (N2 , ε2 ) λ exp (−ε2 /τ מספר החלקיקים )האכלוס( הממוצע הוא: ε 1X ) s(N = hN i N λN exp − Z τ N,s τ ∂Z ∂ ∂ = =τ (log Z) = λ )(log Z Z ∂µ ∂µ ∂λ והאנרגיה הממוצעת היא: ε 1X ) s(N = U ≡ hεi εs(N ) λN exp − Z τ N,s ∂ ∂ = τµ − log Z ) ∂µ ∂ (1/τ 5.8הפוטנציאל התרמודינמי הגרנד־קנוני בדומה להגדרת האנרגיה החופשית של הלמהולץ )סעיף ,(3.11 נגדיר את הפוטנציאל התרמודינמי הגרנד־קנוני Φעבור מערכת Sבמגע עם אמבט Rבעל טמפרטורה τופוטנציאל כימי :µ Φ ≡ U − τ σ − µN = F − µN ניתן להראות כי בקירוב ,מתקיים הקשר: Φ (τ, µ, V ) = −τ log Z הקשר בין הדיפרנציאלים הוא: dΦ = −p dV − σ dτ − N dµ מכאן: dΦ dΦ N =− , σ=− dµ V,τ dτ µ,V הגודל Φ/τמקבל ערך מינימלי כאשר המערכת המשולבת S +R נמצאת בקונפיגורציה הסבירה ביותר שלה .למציאת המינימום, ראשית שומרים על Nקבוע ומוצאים את המינימום של - F/τ שוויון טמפרטורות בין המערכת והאמבט .לאחר מכן שומרים על τקבוע ומוצאים את המינימום לפי - Nשוויון הפוטנציאלים הכימיים .מכאן ,בשיווי־משקל Φהיא פונקציה של µ, τ, Vבלבד. פרק 6 גז אידאלי 6.1התפלגות פרמי־דיראק והאכלוס הממוצע הוא: 1 = f (ε) ≡ hN (ε)i ε−µ exp τ − 1 זוהי התפלגות בוז־איינשטיין .ההבדל היחיד בינה לבין התפלגות פרמי־דיראק הוא סימן המינוס במכנה .בגבול של גז אידאלי ,ε − µ τושתי ההתפלגויות שוות בקירוב. גז נמצא בתחום הקלאסי כאשר המספר הממוצע של אטומים בכל מצב קטן בהרבה מ־ .1למשל ,האכלוס הממוצע עבור גז בטמפרטורת החדר ובלחץ אטמוספרי הוא מסדר גודל של .10−6 ההבדלים בין פרמיונים ובוזונים מופיעים רק בתחום הקוונטי, כלומר ,עבור אכלוסים מסדר גודל של 1או יותר. 6.3ההתפלגות הקלאסית והפוטנציאל הכימי שלה גז אידאלי הוא מערכת של אטומים חופשיים ללא אינטראקציות בגבול הקלאסי .בגבול זה ,בו כזכור ,ε − µ τהאכלוס הממוצע )עבור פרמיונים ובוזונים( הוא: ε ε−µ f (ε) ≈ exp − = λ exp − τ τ כאשר כרגיל ) .λ ≡ exp (µ/τזוהי ההתפלגות הקלאסית. למציאת הפוטנציאל הכימי ,נדרוש כי הממוצע התרמי של מספר האטומים הכולל במערכת יהיה שווה לסכום של פונקציית ההתפלגות על כל המצבים :s X =N ) f (εs זוהי התפלגות פרמי־דיראק .היא מתארת את המספר הממוצע של פרמיונים במצב יחיד בעל אנרגיה ,εונמצאת תמיד בין 0 ל־.1 בתחום המצב המוצק ,הפוטנציאל הכימי µנקרא לעתים רמת פרמי ,והוא תלוי בטמפרטורה .מגדירים את אנרגיית פרמי כך: )εF ≡ µ (τ = 0 נתבונן במערכת בעלת מצבים בלתי־תלויים רבים .בטמפרטורה ,τ = 0כל המצבים בעלי אנרגיה קטנה מ־ εFיהיו מאוכלסים בפרמיון אחד ,והאחרים יהיו ריקים .אם קיים מצב בעל אנרגיה ,ε = µהוא יהיה בעל אכלוס .f = 1/2 6.2התפלגות בוז־איינשטיין נתבונן במערכת של בוזונים מאותו סוג ללא אינטראקציה במגע תרמי ודיפוזיוני עם אמבט .כאשר מצב כלשהו מאוכלס ב־ N חלקיקים ,האנרגיה שלו היא .N εנתבונן במצב אחד ונתייחס לשאר המצבים כאל חלק מהאמבט .סכום גיבס הוא: ∞ ε N X 1 =Z λ exp − = τ ) 1 − λ exp (−ε/τ N =0 נזכיר כי: 3/2 Mτ 2π~2 מתוך הפוטנציאל הכימי ניתן למצוא את האנרגיה החופשית: n F = N τ log −1 nQ ≡ nQ מכאן ,את הלחץ ואת משוואת הגז האידאלי: Nτ , V pV = N τ =p את האנרגיה התרמית: 3 U = Nτ 2 ואת האנטרופיה: nQ 5 σ = N log + n 2 בהתאמה לתוצאה מסעיף ) 3.13משוואת .(Sackur-Tetrode נשים לב כי בתחום הקלאסי .log (nQ /n) > 0מהאנטרופיה נמצא את קיבול החום בנפח קבוע: 3 N 2 להסבר על הפקטור של ,3/2ראו סעיף .6.10 = CV s עבור גז חד־אטומי של Nאטומים זהים עם ספין אפס נקבל: ε X s = λZ1 = λnQ V N =λ exp − τ s כאשר Z1היא פונקציית החלוקה עבור אטום חופשי בודד )ראו סעיפים 3.2ו־ .(3.12לפיכך: µ n λ = exp = τ nQ כאשר n ≡ N/Vהיא צפיפות החלקיקים )בתחום הקלאסי .(n/nQ 1נחלץ את µונמצא: n µ = τ log nQ לתוצאה זו הגענו בסעיף 7.6בדרך שונה. התוצאה במפורש כך: 3 3 2π~2 µ = τ log N − log V − log τ + log 2 2 M 6.6קיבול החום בלחץ קבוע קיבול החום בלחץ קבוע הוא גדול יותר מהקיבול בנפח קבוע, כי יש להוסיף עוד חום כדי לבצע את העבודה הנדרשת להגדלת נפח הגז כנגד בלחץ הקבוע .pמהזהות התרמודינמית = τ dσ dU + p dVנקבל: ∂σ ∂U ∂V Cp = τ = +p ∂τ p ∂τ p ∂τ p נשים לב כי האנרגיה Uשל גז אידאלי תלויה רק בטמפרטורה, ולכן .(∂U/∂τ )p = (∂U/∂τ )V = CVכמו כן ,ממשוואת הגז האידאלי ,האיבר הימני הוא פשוט .Nלפיכך: ניתן לרשום את אם סקאלת הטמפרטורה נקבעת כך שהאפס של האנרגיה הקינטית של מצב נמצא ב־∆ = ε0במקום ב־ ,ε0 = 0אז: n µ = ∆ + τ log nQ אם לאטומים יש ספין ,Sאז מספר המצבים מוכפל בריבוי .2S + 1למשל ,עבור ספין 1/2נמצא כי nQיוחלף ב־ 2nQ ולכן: n µ = τ log − τ log 2 nQ 6.4שאלה ממבחן :חסם עליון על צפיפות חלקיקים בעלי ספין חצי־שלם נקראים פרמיונים ,וחלקיקים בעלי ספין שלם נקראים בוזונים .כל מצב קוונטי יכול להיות ריק, מאוכלס בפרמיון אחד מאותו סוג )עקרון האיסור של פאולי( או מאוכלס בכל מספר שלם של בוזונים מאותו סוג. נתבונן במערכת בעלת מצב יחיד שעשוי להיות ריק )אנרגיה אפס( או מאוכלס בפרמיון )אנרגיה .(εהמערכת נמצאת במגע תרמי ודיפוזיוני עם אמבט .סכום גיבס הוא )כזכור ) :(λ ≡ exp (µ/τ ε Z = 1 + λ exp − τ והאכלוס הממוצע הוא: 1 = f (ε) ≡ hN (ε)i ε−µ exp τ + 1 6.5תכונות נוספות של גז אידאלי שאלה ממבחן 2009ב :מצאו חסם על צפיפות האלקטרונים בחצי־ מוליך )מודל של גז אלקטרונים חופשיים( כך שגם התפלגות בוז־איינשטיין וגם פרמי־דיראק יוכלו לתאר אותו היטב בדיוק של .1%הניחו מסת אלקטרון חופשי ,m ≈ 9.1 × 10−31 kg פוטנציאל כימי של גז אידאלי וטמפרטורת החדר .T = 300 K פתרון :התפלגות בוז־איינשטיין היא: 1 fBE (ε) = −1 λ exp τε − 1 והתפלגות פרמי־דיראק היא: 1 fF D (ε) = −1 λ exp τε + 1 כאשר: µ n λ ≡ exp = τ nQ mτ 3/2 ≈ 1.25 × 1025 m−3 2π~2 נשים לב כי .fF D < fBEנדרוש שהמנה של שתי ההתפלגויות תהיה גדולה מ־:99% λ−1 exp τε − 1 )fF D (ε = −1 > 0.99 )fBE (ε λ exp τε + 1 מכאן: ε 1.99 λ−1 exp > = 199 τ 0.01 ולכן: nQ <n 199 exp − τε כעת ,כאשר ε → 0נקבל: nQ <n ≈ 6.31 × 1022 m−3 199 = nQ Cp = CV + N או ,ביחידות קונבנציונליות .Cp = CV + N kB ,עבור מול אחד, מסמנים ב־ R ≡ N kBאת קבוע הגזים )כאשר Nהוא מספר אבוגדרו( ואז משוואת הגז האידאלי הופכת להיות pV = nRT כאשר nהוא מספר המולים בגז .נשים לב כי עבור גז אידאלי .Cp = 5N/2בנוסף מסמנים לעתים .γ ≡ Cp /CV 6.7גז אידאלי עם דרגות חופש פנימיות נתבונן בגז אידאלי של מולקולות רב־אטומיות זהות .לכל מולקולה יש דרגות חופש סיבוביות ותנודתיות .האנרגיה הכוללת היא ,ε = εn + εintכאשר εintהן דרגות החופש הסיבוביות והתנודתיות ו־ εnהיא אנרגיית התנועה במרחב של מרכז המסה. בתחום הקלאסי ,סכום גיבס עבור המצב nודרגות החופש הפנימיות שלוהוא: X εn + εint Z=1+λ exp − τ int פונקציית החלוקה של המצבים הפנימיים היא: ε X int = Zint exp − τ int ולכן: ε n Z = 1 + λZint exp − τ ההסתברות שהמצב nמאוכלס ,ללא קשר לתנועה הפנימית ,היא )בתחום הקלאסי :(f (εn ) 1 ε ) λZint exp (−εn /τ n = ) f (εn ≈ λZint exp − ) 1 + λZint exp (−εn /τ τ זוהי אותה התפלגות מסעיף ,6.3אך עם λZintבמקום .λלפיכך עבור גז רב־אטומי מתקיים: n =λ nQ Zint הפוטנציאל הכימי יהיה: n log − log Zint nQ האנרגיה החופשית תגדל בשיעור: = −N τ log Zint והאנטרופיה תגדל בשיעור: V ∂Fint ∂τ µ=τ Fint σint = − במקרה של אטום בעל ספין ,Iלדוגמה ,פונקציית החלוקה הפנימית תהיה .Zint = 2I + 1 הערה על שילוב פונקציות חלוקה :כאשר יש תרומה לאנרגיה ממקורות שונים ,ε = εa + εb ,פונקציית החלוקה הכוללת תהיה מכפלת פונקציות החלוקה.Z = Za Zb , 6.8אנרגיית הסיבוב סביב מרכז המסה בגז אידאלי דו־אטומי ,אנרגיית הסיבוב סביב מרכז המסה תורמת אנרגיה: ~ εrot = j (j + 1) 2 2 8π ma עם ניוון .2j + 1פונקציית החלוקה היא: ∞ ε X rot,j =Z gj exp − τ j=0 ∞ X ~ )j (j + 1 = (2j + 1) exp − 2 2 8π ma τ j=0 2 εj e−εj ∆ε ∞ /4 X 2 )2 e(∆x 2 j=0 )(∆x אנטרופיה :האנטרופיה של גז אידאלי בטמפרטורה קבועה מקיימת .σ (V ) = N log V + constלפיכך השינוי באנטרופיה הוא ) .∆σ = N log (V2 /V1 עבודה :הגז המתפשט עושה עבודה כנגד בוכנה: ˆ V2 ˆ V2 Nτ V2 = W = p dV dV = N τ log V V1 V1 V1 אנרגיה :האנרגיה של גז חד־אטומי היא ,U = 3N τ /2ואינה משתנה בהתפשטות בטמפרטורה קבועה .עם זאת ,האנרגיה החופשית של הלמהולץ קטנה בשיעור .W חום :ראינו כי האנרגיה לא השתנתה ,אך הגז ביצע עבודה. משימור האנרגיה ,בהכרח זרם חום מהאמבט אל הגז בשיעור .W 6.12התפשטות הפיכה באנטרופיה קבועה = נניח כעת הגז מתפשט במיכל מבודד )ללא אמבט( ,ולכן לא זורם חום אל או מהגז .האנטרופיה היא קבועה ,אם ההתפשטות היא הפיכה )איטית( .תהליך כזה נקרא איזאנטרופי או אדיאבטי. האנטרופיה מקיימת: 3/2 σ (τ, V ) = N log τ V + const כאשר: r 1 ~ εj ≡ j + ∆x, ≡ ∆x = ∆ε 2 8π 2 ma2 τ בגבול τ → ∞, ∆x → 0נקרב את הסכום לאינטגרל: ˆ 2 2 2 e(∆x) /4 ∞ −ε2 e(∆x) /4 8π 2 ma2 τ ≈Z ε e dε = 2 = 2 ~ )(∆x )(∆x 0 לכן האנרגיה וקיבול החום יהיו: d log Z ∂U U = τ2 = τ, = CV =1 ∂τ ∂τ בגבול τ → 0מספיק לקחת את שני האיברים הראשונים: ~ Z ≈ 1 + 3 e−θ/τ , ≡θ 2 4π ma2 לכן האנרגיה וקיבול החום יהיו: 2 3θ e−θ/τ θ e−θ/τ =U , C = −3 2 V τ 1 + 3 e−θ/τ 1 + 3 e−θ/τ כאשר כזכור .γ ≡ Cp /CV 6.9גז אידאלי דו־אטומי 6.13התפשטות מהירה )לא הפיכה( לתוך ריק נתון גז אידאלי דו־אטומי .מולקולות הגז חופשיות לנוע במרחב, להתנודד הרמונית עקב הפוטנציאל הקושר את האטומים במולקולה ולהסתובב סביב המרכז בין שני האטומים .האנרגיה הקינטית תורמת אנרגיה לכל מולקולה: 2 2 π ~ n2x + n2y + n2z = εmon 2m L אנרגיית התנודות ההרמוניות בין האטומים תורמת אנרגיה: 1 εvib = ~ω n + 2 ואנרגיית הסיבוב סביב מרכז המסה תורמת אנרגיה: ~ εrot = j (j + 1) 2 2 8π ma לבסוף ,נניח כי הגז מתפשט במהירות ,כך שלא זורם חום דרך דפנות הכלי .אין שום דרך בה ניתן לעשות עבודה ,לכן העבודה שנעשתה היא אפס .האנרגיה לא השתנתה ,ולכן גם הטמפרטורה לא השתנתה .השינוי באנטרופיה יהיה עדיין ) .∆σ = N log (V2 /V1 נשים לב כי התהליך לא הפיך ,כלומר ,המערכת לא נמצאת בקונפיגורציה המסתברת ביותר )בשיווי משקל( בכל שלב רק הקונפיגורציות ההתחלתית והסופית הן בהתפשטות. המסתברות ביותר. דרגות החופש בלתי־תלויות ,ולכן פונקציית החלוקה הכוללת תהיה המכפלה של פונקציות החלוקה: Ztot = Zmon · Zrot · Zvib האנרגיה תהיה: Utot = Umon + Urot + Uvib 1 3 (τ → 0) = N τ + 0 + N ~ω 2 2 3 (τ → ∞) = N τ + N τ + N τ 2 וקיבול החום יהיה: Ctot = Cmon + Crot + Cvib 3 (τ → 0) = N + 0 + 0 2 3 (τ → ∞) = N + N + N 2 6.10משפט החלוקה השווה משפט החלוקה השווה גורס כי בטמפרטורות גבוהות מספיק ,כל איבר ריבועי בביטוי הקלאסי לאנרגיה )כלומר ,בהמילטוניאן( תורם )עבור כל מולקולה( τ /2לאנרגיה הממוצעת ו־1/2 לקיבול החום .באופן שקול ,ניתן להגיד כי כל דרגת חופש במערכת תורמת את הגדלים הנ"ל .כך ,עבור מולקולה דו־ אטומית ,האנרגיה הקינטית הנובעת מתנועה במרחב )= Etr ˙ 2 /2 | (m |xתורמת 3/τלאנרגיה הממוצעת ו־ 3/2לקיבול החום )פקטור של ;(3/2האנרגיה מסיבוב המולקולה סביב שני צירים ) (Erot = I1 ω12 + I2 ω22 /2תורמת פקטור של ;1והאנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של תנודות הרמוניות ) (Evib = m x˙ 2 + ω 2 x2 /2תורמת גם היא פקטור של .1 ב"טמפרטורה גבוהה מספיק" אנו מתכוונים ש־ τחייבת להיות גדולה בהרבה מההפרש בין רמות האנרגיה. 6.11התפשטות איזותרמית הפיכה נתבונן בגז של Nאטומים בנפח התחלתי V1וטמפרטורה .τ הגז מתרחב לאט ,בטמפרטורה קבועה ,עד שהנפח מגיע ל־ .V2 הטמפרטורה נשמרת קבועה באמצעות מגע תרמי עם אמבט חום גדול .ההתפשטות היא הפיכה ,כלומר ,בכל רגע המערכת נמצאת בקונפיגורציה המסתברת ביותר שלה .נבדוק את תכונות הגז לאחר ההתפשטות. לחץ :יהי p1הלחץ לפני ההתפשטות ו־ p2הלחץ אחרי .ממשוואת הגז האידאלי pV = N τנקבל כי .p2 /p1 = V1 /V2 לכן היא נשארת קבועה אם המכפלה τ 3/2 Vקבועה .מכאן: 2/3 2/3 τ2 V2 = τ1 V1 השינוי באנרגיה ,עבור גז אידאלי חד־אטומי ,הוא: 3 ) U2 − U1 = CV (τ2 − τ1 ) = N (τ2 − τ1 2 עבור גז אידאלי של מולקולות עם דרגות חופש פנימיות נקבל: τ1 V1γ−1 = τ2 V2γ−1 p2 )γ/(1−γ p1 = τ2 p2 V2γ = )γ/(1−γ τ1 p1 V1γ פרק 7 גז פרמי וגז בוז 7.1מבוא וחזרה כאשר ,n nQאנו נמצאים בתחום הקלאסי ,ואין הבדל משמעותי בין גז פרמיונים לגז בוזונים .אך כאשר n ≥ nQאנו נמצאים בתחום הקוונטי ,והגז נקרא גז קוונטי .בתחום זה לגז פרמי יש אנרגיה קינטית גבוהה ,קיבול חום נמוך ,סוספטיביליות מגנטית נמוכה וקצב התנגשות פנים־חלקיקי נמוך ,והוא מפעיל לחץ גבוה על המיכל ,אפילו באפס מוחלט .לגז בוז יש ריכוז גבוה של חלקיקים במצב היסוד ,והחלקיקים עשויים להתנהג כעיבוי בוז־איינשטיין -על־נוזל חסר צמיגות. במערכות בהן הריכוז nהוא קבוע ,הטמפרטורה היא הקובעת את התחום הרלוונטי .התחום הקוונטי יתקבל כאשר: 2π~2 2/3 n M גז קוונטי בעל τ τ0ייקרא גז מנוון. כפי שראינו ,בתחום הקלאסי ,מספר החלקיקים הממוצע במצב בעל אנרגיה εהוא: ε n µ−ε ≈ exp − f (ε) ≈ exp τ nQ τ כאשר כזכור: 3/2 Mτ ≡ nQ 2π~2 לפיכך האכלוס הממוצע של כל מצב קטן בהרבה מ־.1 עבור פרמיונים ,בשל עקרון האיסור של פאולי ,האכלוס של מצב יכול להיות 0או ,1ובטמפרטורות נמוכות )בתחום הקוונטי( מצבים נמוכים רבים יכילו פרמיון אחד .באפס המוחלט כל המצבים עם ,0 < ε < εFכאשר εFהיא אנרגיית פרמי )סעיף ,(6.1יהיו מאוכלסים עם .f = 1עבור בוזונים אין הגבלה על אכלוס המצבים ,ולפיכך באפס המוחלט מצב היסוד )בעל האנרגיה הנמוכה ביותר( יהיה מאוכלס בכל החלקיקים במערכת. ≡ τ ≤ τ0 7.2גז פרמי גז פרמי נקרא מנוון כאשר הטמפרטורה נמוכה בהשוואה לאנרגיית פרמי .τ εF :במקרה זה המצבים בעלי אנרגיה נמוכה מ־ εFיהיו מאוכלסים כמעט כולם ,והמצבים בעלי אנרגיה גבוהה יותר יהיו ריקים כמעט כולם .התכונה החשובה ביותר של גז פרמיונים היא האנרגיה הקינטית הגבוהה של מצב היסוד של המערכת באפס מוחלט. 6.14שאלה מתרגיל בית :התפשטות גז אידאלי א .גז אידאלי של N = 1022אטומים נמצא בכלי בעל נפח של V1 = 103 cm3בטמפרטורה של .T = 300 Kהגז מתפשט באיטיות בתהליך הפיך בטמפרטורה קבועה עד שהנפח גדל ל־ .V2 = 2V1מהו הלחץ אחרי ההתפשטות? מהו השינוי באנטרופיה אחרי ההתפשטות? כמה עבודה נעשתה על הגז? מהו השינוי באנרגיה אחרי ההתפשטות? כמו חום זרם אל הגז מאמבט החום? ב .כעת ההתפשטות איטית כאשר המערכת מבודדת )ללא מה התהליך מבוצע באנטרופיה קבועה. אמבט(. הטמפרטורה לאחר ההתפשטות? מה השינוי באנרגיה? ג .כעת מוסרת מחיצה והגז מתפשט במהירות לנפח גדול פי 2 כך שאין זרימת חום דרך דפנות הכלי .חשבו כמה עבודה נעשתה ,מה הטמפרטורה הסופית ומה השינוי באנטרופיה. פתרון )התפשטות הפיכה( :ממשוואת הגז האידאלי: Nτ Nτ 1 = p2 = = p1 V2 2V1 2 האנטרופיה מקיימת: 5 nQ + = N log V + const σ = N log n 2 לפיכך: V2 ∆σ = σ2 − σ1 = N log = N log 2 V1 העבודה שנעשתה היא: ˆ V2 V2 W =− p dV = −N τ log = −N τ log 2 V1 V1 האנרגיה U = 3N τ /2תלויה רק בטמפרטורה ובמספר החלקיקים ,לכן היא לא השתנתה .מכאן ,בהכרח זרם חום מהאמבט בשיעור N τ log 2כדי לפצות על העבודה שעשה הגז. פתרון )התפשטות באנטרופיה קבועה( :האנטרופיה מקיימת: σ (τ, V ) = N log τ 3/2 V + const לכן היא נשארת קבועה אם המכפלה τ 3/2 Vקבועה .מכאן: 2/3 τ1 V1 τ1 = 2/3 = τ2 V2 2 ולכן השינוי באנרגיה הוא: 3 ) ∆U = U2 − U1 = N (τ2 − τ1 2 פתרון )התפשטות מהירה( :אין שום דרך בה ניתן לעשות עבודה, לכן העבודה שנעשתה היא אפס .האנרגיה לא השתנתה ,ולכן גם הטמפרטורה לא השתנתה .השינוי באנטרופיה יהיה עדיין .∆σ = N log 2 7.3מצב היסוד של גז פרמי בשלושה ממדים נניח כי המערכת היא קובייה בעלת צלעות באורך Lונפח .V = L3לפי סעיף ,3.12המצבים הם מהצורה: y z x sin ny π sin nz π ψ (x, y, z) = A sin nx π L L L כאשר nx , ny , nzהם שלמים חיוביים כלשהם ,והערכים העצמיים של האנרגיה הם: ~2 π 2 = εnx ,ny ,nz n2 + n2y + n2z 2mL2 x אנרגיית פרמי היא האנרגיה של המצב הגבוה ביותר שמאוכלס באפס מוחלט: ~2 π 2 2 = εF n 2mL2 F כאשר nFהוא רדיוס הספירה במרחב השלמים ) (nx , ny , nz אשר מפרידה בין מצבים ריקים ומאוכלסים .כדי שהמערכת תכיל Nאלקטרונים צריך להתקיים: 1 4π 3 π · ·N =2 nF = n3F 8 3 3 1/3 ) .nF = (3N/πבביטוי זה ה־ 2נובע משתי האפשרויות לכן לספין של האלקטרון וה־ 1/8מכך שאנו מתבוננים רק בשמינית החיובית של המרחב .מכאן: 2/3 ~2 3π 2 n ≡ τF 2m כאשר .n ≡ N/Vזוהי טמפרטורת פרמי .האנרגיה הכוללת של המערכת במצב היסוד היא: ˆ nF X 1 3 U0 = 2 εn ≈ 2 · · 4π n2 εn dn = N εF 8 5 0 = εF n≤nF כאשר כאן nהוא סתם מספר )ולא הריכוז(. 7.4צפיפות המצבים מהצורה: ממוצעים תרמיים הם תמיד ˆ f (εn , τ, µ) Xn ≈ f (ε, τ, µ) X (ε) D (ε) dε X = hXi n כאשר nמסמל את המצב Xn ,הוא הערך של Xעבור המצב n ו־ fהוא האכלוס הממוצע .הגודל D (ε) dεהוא מספר המצבים בעלי אנרגיה בין εו־ ,ε + dεוהוא נקרא צפיפות המצבים. לדוגמה ,מהסעיף הקודם )המתאר למשל גז אלקטרונים חופשי תלת־ממדי( ,מספר המצבים בעלי אנרגיה קטנה או שווה ל־ε הוא: 3/2 V 2m = )N (ε ε 3π 2 ~2 באמצעות לקיחת לוגריתם נקבל ,dN = (3N/2ε) dεולכן: 3/2 dN )3N (ε )V (2m = = ε1/2 dε 2ε 2~3 π 2 לפיכך מספר האלקטרונים הכולל במערכת הוא: ∞ ˆ =N f (ε, τ, µ) D (ε) dε ≡ )D (ε 0 ∞ =U אם המערכת היא במצב היסוד נקבל: ˆ εF D (ε) dε, = U0 εD (ε) dε 0 ˆ =N 0 7.5גז אלקטרונים חופשי ב־ 2 ,1ו־ 3ממדים נחשב את צפיפות המצבים עבור גז אלקטרונים חופשי בממד אחד ובשני ממדים באמצעות מרחב הפאזה .באופן כללי ,עבור Dממדים מתקיים: dD x dD p hD כאשר הפקטור של 2נובע משני מצבי הספין האפשריים .עבור חלקיק חופשי ,מספר הגל מוגדר כך: D (ε) dε = 2 2π p ≡ λ ~ והקשר בינו לאנרגיה הוא: √ 2 2mε p2 )(~k =ε = ⇒= =k 2m 2m ~ לכן: r dk 1 m = dε ~ 2ε באמצעות הקשר p ≡ ~kואינטגרציה על dD xנוכל לשכתב את הביטוי לצפיפות המצבים למרחב :k ≡k V dD k D )(2π לכן: 2m ε L ~π = )D (ε כאשר הכפלנו ב־ 2בגלל שני כיווני התנע האפשריים )חיובי/שלילי( .עבור שני ממדים ) D = 2ו־ (V = L2נשתמש בקואורדינטות פולריות d2 k = 2πk dkונקבל: √ r L2 k dk L2 2mε 1 m mL2 = D (ε) dε = dε = 2 dε π π ~ ~ 2ε ~ π לכן: mL2 ~2 π = )D (ε עבור שלושה ממדים ) D = 3ו־ (V = L3נשתמש בקואורדינטות כדוריות d3 k = 4πk 2 dkונקבל: r 3 2 L k dk L3 2mε 1 m = D (ε) dε dε = 2 2 π2 π ~ ~ 2ε לכן: √ L3 m3/2 2ε = )D (ε π 2 ~3 כפי שמצאנו בסעיף 7.4בדרך אחרת. 7.6הפוטנציאל הכימי של גז אלקטרונים חופשי דו־ ממדי מספר החלקיקים הוא: ∞ mL 1 =N D (ε) fF D (ε) dε = 2 dε ε−µ ~ π exp τ + 1 0 0 נגדיר: ε−µ mL2 x ≡ exp , a≡ 2 τ ~ π אז: 1 ε−µ τ dx ≡ exp dε =⇒ dε = dx τ τ x ונקבל: ∞ ˆ 1 dx N = aτ = aτ log 1 + eµ/τ e−µ/τ x + 1 x ˆ 2 ∞ ˆ 1 1 ≈ 0.27 = )f (ε = e +1 exp ε−µ + 1 τ א .מצאו את אנרגיית פרמי כפונקציה של .J, V, N 7.11פוטנציאל גרנד־קנוני ואנטרופיה ג .נניח כי נותנים לגז פרמיונים כזה להתפשט באופן חופשי מנפח Vלנפח .2Vבהנחה שההתפשטות חופשית לחלוטין והמערכת מבודדת מהסביבה ,האם טמפרטורת הגז תעלה, תרד או תישאר כפי שהייתה? פתרון סעיף א' :לפי עקרון האיסור של פאולי ,יכולים להיות לכל היותר 2J + 1חלקיקים באותה נקודה במרחב הפאזה )שהוא מרחב המיקום והתנע של החלקיקים( .לכן הדיפרנציאל של מספר החלקיקים הוא: d3 x d3 p )dN = (2J + 1 h3 נבצע אינטגרציה על d3 xונקבל את הנפח :V V d3 p )dN = (2J + 1 h3 נעבור לקואורדינטות כדוריות במרחב התנע: 4πV p2 dp )dN = (2J + 1 h3 נבצע אינטגרציה על pונקבל: 4πV p3F )N = (2J + 1 3h3 כאשר pFהוא התנע המתאים לאנרגיית פרמי .לפי הנתון ,pF = εF /cלכן: 3 4πV εF )N = (2J + 1 3h3 c3 ואנרגיית פרמי היא: 1/3 3N hc = εF 4π (2J + 1) V D (ε) dε = 2 כאשר V ≡ LDהוא ה"נפח" במרחב ה־D־ממדי .כעת ,עבור ממד אחד ) D = 1ו־ (V = Lנקבל: r L 2 · dk 2L dk L 2m = D (ε) dε = = dε dε π π dε ~π ε r שאלה ממבחן 2009א :נתונים Nפרמיונים בעלי ספין ,Jחסרי מסה וללא אינטראקציה ביניהם בקופסה תלת־ממדית שנפחה .Vהאנרגיה שלהם נתונה ע"י E = pcכאשר pהוא התנע ו־c מהירות האור. ב .מהו הלחץ בטמפרטורה אפס? 0 εF µ = τ log exp 7.7שאלה ממבחן :פרמיונים יחסותיים חסרי מסה כאשר fהיא התפלגות פרמי־דיראק )סעיף .(6.1ניתן למצוא את µבאמצעות דרישה שהמספר הנ"ל יהיה שווה למספר הידוע של חלקיקים במערכת .האנרגיה הקינטית הכוללת של האלקטרונים היא: ˆ εf (ε, τ, µ) D (ε) dε לכן הפוטנציאל הכימי הוא: ~ πN −1 mL2 τ 2 פתרון :הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר כאשר τ = 0נקבעת לפי אנרגיית פרמי: 2/3 ~2 2 = εF 3π n ≈ 7.05 eV 2m כאשר nהיא הצפיפות ו־ mהיא המסה .מספר החלקיקים הממוצע בטמפרטורה (τ = 0.1 eV) T = 1160 Kבמצב בעל אנרגיה ε − µ = 0.1 eVנקבע לפי התפלגות פרמי־דיראק: פתרון סעיף ב' :צפיפות המצבים היא: 4πV ε2 dN ≡ )D (ε = (2J + 1) 3 3 dε h c לכן האנרגיה בטמפרטורה אפס היא: ˆ εF ˆ εF 4πV ε3 dε =U εD (ε) dε = (2J + 1) 3 3 h c 0 0 πV 3 = (2J + 1) 3 3 ε4F = N εF h c 4 1/3 3 3N = N hc 4 4π (2J + 1) V ומכאן ,הלחץ הוא: 1/3 ∂U 3N 4 hc p≡− = 4 ∂V 4π (2J + 1) V 4 פתרון סעיף ג' :ראינו כי εF ∝ V −1/3ולכן כאשר הנפח יגדל, אנרגיית פרמי תקטן .לפיכך יהיו מצבים מאוכלסים מעל רמת פרמי ,והטמפרטורה תעלה. 7.8קיבול חום של גז אלקטרונים כאשר ,τ τFקיבול החום של גז של Nאלקטרונים יהיה: 1 2 1 τ π D (εF ) τ = π 2 N 3 2 τF = CV 7.9גז פרמיונים במתכת למתכות האלקליות ולנחושת ,כסף וזהב יש אלקטרון ערכיות אחד לכל אטום ,ואלקטרון זה הופך להיות האלקטרון המוליך במתכת .לפיכך הריכוז של האלקטרונים המוליכים שווה לריכוז של האטומים .אם האלקטרונים המוליכים מתנהגים כגז של פרמיונים חופשיים ,אז אנרגיית פרמי תהיה )כפי שכבר חישבנו(: 2/3 ~2 = εF 3π 2 n 2m מהירות פרמי vFמוגדרת כך: r 1 2εF 2 = mv = εF =⇒ vF 2 F m 7.10שאלה ממבחן :אלקטרונים בנחושת שאלה ממבחן 2010א :צפיפות אלקטרוני ההולכה בנחושת היא ,8.5 × 1028 m−3ומסת האלקטרון היא .9.1 × 10−31 kg א .מהי הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר ב־?τ = 0 כמה ב .הנחושת מחוממת לטמפרטורה של .1160 K אלקטרונים בממוצע נמצאים ברמה שהיא 0.1 eVמעל האנרגיה שמצאתם בסעיף א'? הפוטנציאל התרמודינמי הגרנד־קנוני של גז פרמיונים הוא: ˆ ε−µ Φ = −τ log 1 + exp − D (ε) dε τ לכן האנטרופיה היא: =σ (fF D log fF D + (1 − fF D ) log (1 − fF D )) D (ε) dε ˆ − 7.12גז בוזונים :עיבוי בוז־איינשטיין עבור גז של בוזונים ללא אינטראקציה קיימת טמפרטורת מעבר, אשר מתחתיה רובם המוחלט של החלקיקים יאכלסו את מצב היסוד .תופעה זו נקראת עיבוי בוז־איינשטיין .אם נגדיר את האנרגיה של מצב היסוד כאפס ,אז התפלגות בוז־איינשטיין )סעיף (6.2במצב זה תהיה: 1 = ) N0 (τ ) ≡ f (0, τ exp (−µ/τ ) − 1 כאשר τ → 0האכלוס של מצב היסוד שואף למספר החלקיקים הכולל: τ τ N = lim N0 (τ ) = − =⇒ µ = − τ →0 µ N לפיכך: µ 1 λ ≡ exp ≈ 1 − τ N נשים לב כי הפוטנציאל הכימי במערכת בוזונים חייב להיות תמיד באנרגיה נמוכה מזו של מצב היסוד )כלומר ,שלילית( ,כדי לקבל אכלוס אי־שלילי לכל מצב. עבור גז בוזונים חופשיים בעלי ספין 0בשלושה ממדים ,צפיפות המצבים היא: 3/2 2m V ε1/2 = )D (ε 4π 2 ~2 ובשני ממדים: mL2 D (ε) = 2 2~ π מספר החלקיקים במצב היסוד בטמפרטורה τהוא ≡ ) N0 (τ ) ,f (0, τומספר החלקיקים בכל המצבים המעורערים הוא: ∞ ˆ = ) Ne (τ D (ε) f (ε, τ ) dε ε1/2 dε −1 λ exp (ε/τ ) − 1 x1/2 dx λ−1 ex −1 ∞ ∞ ˆ 3/2 0 ˆ 3/2 0 0 2m ~2 2mτ ~2 V = 4π 2 V 4π 2 = ≈ 2.612 nQ V לפיכך החלק של החלקיקים שנמצאים במצבים המעורערים הוא: Ne nQ ≈ 2.612 N n טמפרטורת העיבוי של איינשטיין היא הטמפרטורה בה מספר החלקיקים המעורערים שווה למספר החלקיקים הכולל, .Ne (τE ) = Nמתחת לטמפרטורה זו ,האכלוס של מצב היסוד הוא מקרוסקופי: 2/3 2π~2 N ~2 n2/3 ≈ τE ≈ 3.313 m 2.612V m 3/2 Ne τ ≈ N τE מספר החלקיקים במצב היסוד הוא לפיכך: ! 3/2 τ N0 = N − Ne = N 1 − τE 7.13שאלה ממבחן :לחץ של גז בוזונים שאלה ממבחן 2009א :ידוע כי עבור גז בוזונים מסוים הלחץ תלוי לינארית בטמפרטורה מעל הטמפרטורה הקריטית .אם מתחת לטמפרטורה הקריטית הלחץ מקיים ,p ∝ τ γמה תוכלו להגיד על ) γאין צורך לחשב(? פתרון :לפי הנתון ,מעל הטמפרטורה הקריטית מתקיים .p ∝ τ הלחץ תלוי בהתנגשויות בין חלקיקים מעורערים .כיוון שהגז עבר עיבוי בוז־איינשטיין ,מספר החלקיקים המעורערים יורד מהר כפונקציה של הטמפרטורה ,לכן הלחץ ירד מהר יותר ביחס ללחץ מעל הטמפרטורה הקריטית ,ולכן .γ > 1 7.14שאלה ממבחן :עיבוי בוז־איינשטיין שאלה ממבחן 2009א :אילו מהמשפטים הבאים נכונים? א .לגז שעבר עיבוי בוז־איינשטיין אין צמיגות .פתרון :לא נכון .למשל ,אם הבוזונים חופשיים ) ,(E = p2 /2mתהיה צמיגות. ב .תנאי הכרחי לעיבוי בוז־איינשטיין הוא שהחסם על מספר החלקיקים ברמות המעוררות )לא ברמת היסוד( קטן ממספר החלקיקים הכולל .פתרון :נכון .בעיבוי בוז־ איינשטיין רוב החלקיקים מאכלסים את רמת היסוד. ג .אם נגדיל את צפיפות החלקיקים ,הטמפרטורה הקריטית תרד .פתרון :לא נכון .הטמפרטורה הקריטית היא ,τE ≈ 3.313~2 n2/3 /mלפיכך אם נגדיל את צפיפות החלקיקים nהטמפרטורה הקריטית תעלה. ד .ישנו גז בוזונים שגם אם נקרר אותו בלי גבול הוא לא יעבור עיבוי בוז־איינשטיין .פתרון :נכון .למשל ,גז פוטונים. ה .כשמקררים גז בוזונים מנוון ,צפיפות המצבים באנרגיה כלשהי שאינה אפס יורדת .פתרון :לא נכון .צפיפות המצבים כלל אינה תלויה בטמפרטורה. 7.15אנרגיה ,קיבול חום ואנטרופיה של גז בוזונים מנוון כאשר ,τ < τEהאנרגיה היא: 3/2 τ U (τ ) = AN τ τE קיבול החום הוא: 3/2 5 τ CV (τ ) = AN 2 τE והאנטרופיה היא: 3/2 τ 5 σ (τ ) = AN 3 τE כאשר .A ≈ 0.77 7.16שאלה ממבחן :נכון/לא נכון שאלה ממבחן 2010א :אילו מהמשפטים הבאים לא נכונים? א .מים ואדים נמצאים במיכל בטמפרטורה של 100 ◦ C בלחץ של .1 atmאם הטמפרטורה נשמרת קבועה ונפח המיכל מוקטן מעט ,הלחץ יגדל מעט .פתרון :לא נכון. הטמפרטורה הקריטית של מים היא ,647.1 Kלפיכך אנו נמצאים מתחת לטמפרטורה הקריטית ,באזור הדו־פאזתי בו הלחץ קבוע ,אך הנפח עשוי להשתנות. ב .אם שתי מערכות מבודדות נמצאות במגע תרמי ודיפוזיוני במהלך הגעה לשיווי משקל ,החלקיקים ינועו מהפוטנציאל הכימי הגבוה לנמוך .פתרון :נכון .זוהי הגדרת הפוטנציאל הכימי. ג .אם מקררים גז אידאלי )חסר אינטראקציה( לטמפרטורה אפס אזי האנרגיה יורדת לאפס .פתרון :לא נכון .לא כתוב שהגז הוא גז אידאלי קלאסי .אם הוא גז פרמיונים, למשל ,אז בטמפרטורה אפס האנרגיה תהיה אנרגיית פרמי. ד .נתונה מערכת מבודדת הנשמרת בטמפרטורה ולחץ קבועים .המערכת תגיע לשיווי משקל כאשר אנרגיית גיבס מינימלית .פתרון :נכון .זה נובע ישירות מהגדרת אנרגיית גיבס. ה .גז אידאלי קלאסי מפר את החוק השלישי של התרמודינמיקה. החוק השלישי נכון. פתרון: של התרמודינמיקה קובע כי האנטרופיה של המערכת מתקרבת לערך קבוע כאשר הטמפרטורה מתקרבת לאפס. גז אידאלי מקיים את משוואת :Sackur-Tetrode nQ 5 3 + = N C + log τ σ = N log n 2 2 כאשר Cהוא קבוע .מתקיים ∞ ,σ (0) → −לפיכך החוק השלישי מופר) .אף גז הוא לא באמת גז אידאלי ,לכן אין כאן בעיה(. ו .נגד מחובר לסוללה חשמלית ומחמם מים מטמפרטורה התחלתית של .100 ◦ Cהאדים מפעילים מטען הטוען חזרה את הסוללה וכך מתעבים חזרה למים החוזרים למיכל .התהליך יכול להתבצע לאט כרצוננו וברכיבים אידאליים )אין בזבוזי אנרגיה במערכת והיא כולה מבודדת לחלוטין מהסביבה( .אין תכנון של המערכת בו היא יכולה להמשיך ולפעול עד אין קץ .פתרון :נכון .לא יכול להיות תכנון של המערכת בו היא יכולה להמשיך ולפעול עד אין קץ ,מכיוון שגם במצב אידאלי יעילות התהליך לא יכולה להיות גבוהה יותר מיעילות קרנו. τhהטמפרטורה הגבוהה )בכניסה( ו־ τlהטמפרטורה הנמוכה )ביציאה(. האנטרופיות בכניסה וביציאה הן = σh,l .Qh,l /τh,lבתהליך הפיך )תהליך קרנו( ,האנטרופיה היוצאת שווה לאנטרופיה הנכנסת ,כלומר ,אין שינוי באנטרופיה: τl σl = σh =⇒ Ql = Qh τh העבודה הנוצרת בתהליך היא ההבדל בין החום שנכנס והחום שיצא .W = Qh − Ql ,יעילות המנוע ,כאשר כל התהליכים במנוע הם הפיכים ,נמדדת באמצעות יעילות קרנו: W τl ≡ ηC =1− Qh rev τh יעילות קרנו היא הערך המקסימלי האפשרי של יעילות ההמרה ,η ≡ W/Qhשהיא בדר"כ נמוכה יותר מכיוון שחלק מהתהליכים במנוע אינם הפיכים .אי־השוויון η ≤ ηCנקרא אי־שוויון קרנו. אי־שוויונים רלוונטיים נוספים הם: τl σl ≥ σh , Ql ≥ Qh , W ≤ ηC Qh τh 8.2מקרר מקרר מבצע את הפעולה ההפוכה למנוע חום :הוא מנצל עבודה על־מנת להעביר חום מהטמפרטורה הנמוכה לגבוהה .יעילות המקרר נמדדת באמצעות מקדם הקירור ;γ ≡ Ql /Wבעוד ש־ η ≤ 1תמיד γ ,יכול להיות גדול או קטן מ־ .1מתקיים ,W = Qh − Qlולכן הערך המקסימלי ,המתקבל כאשר כל התהליכים הם הפיכים ,הוא: τl Ql = ≡ γC W rev τh − τl תהי מנוע חום הוא מכשיר אשר ממיר חום לעבודה. Wהעבודה שנוצרה Qh ,החום הנכנס Ql ,החום היוצא, אנו רואים כי במספר חלקיקים ,טמפרטורה ולחץ קבועים מתקיים dG = 0ולכן זוהי נקודת קיצון .הנקודה היא בהכרח מינימום מכיוון שכל שינוי במערכת יגדיל את σולכן יקטין את .dGמהיחס לעיל נקבל: ∂G ∂G ∂G = µ, = −σ, =V ∂N τ,p ∂τ N,p ∂p N,τ ואת יחסי מקסוול )סעיף :(9.6 ∂σ ∂V ∂µ ∂V =− , = ∂τ p ∂p τ ∂N p ∂p N ∂µ ∂σ =− ∂τ N ∂N τ כאשר מחברים ביחד שתי מערכות זהות τ ,ו־ pאינם משנים את ערכם .לעומת זאת U, σ, V, G ,הם לינאריים במספר החלקיקים Nוערכם מוכפל .אם נניח כי G ∝ Nנקבל: ) G (N, p, τ ) = N µ (p, τ במילים אחרות ,הפוטנציאל הכימי עבור מערכת בעלת סוג אחד של חלקיקים שווה לאנרגיית גיבס פר חלקיק .אם יש יותר מסוג אחד של חלקיקים נקבל: X =G Nj µj j ערך זה נקרא מקדם הקירור של קרנו ,ומתקיים .γ ≤ γCאי־ שוויונים רלוונטיים נוספים הם: τh Ql ≥ σh ≥ σl , Qh ≥ Ql , W τl γC 8.3שאלה ממבחן :חיבור תרמי 9.2שאלה ממבחן :סידן פחמתי שאלה ממבחן 2009א :שני גופים Aו־ Bעשויים חומר זהה ומבודדים מהסביבה .יש להם טמפרטורות התחלתיות τA > τB וקיבול חום זהה ליחידת מסה Cשאינו תלוי בטמפרטורה .מסתם היא mA = m, mB = N mכאשר .N ∈ N שאלה ממבחן 2010א :לסידן פחמתי CaCO3שתי צורות נתונה טבלת נתונים גבישיות נפוצות :קלציט וארגוניט. בטמפרטורת החדר ובלחץ אטמוספרי עבור שתי הפאזות של אנרגיית גיבס ,נפח ואנטרופיה פר מול של חומר: א .נניח כי שני גופים אלה מובאים במגע תרמי והם מגיעים לשיווי־משקל תרמי .מהי הטמפרטורה הסופית? כמה אנטרופיה נוצרה בתהליך? כמה עבודה נעשית על הסביבה בתהליך זה? ב .תארו תהליך המחבר את גוף Aלגוף Bכך שהעבודה תהיה מקסימלית .מהי הטמפרטורה הסופית אליה מגיעים הגופים? כמה עבודה נעשתה על הסביבה? כמה אנטרופיה נוצרה בתהליך? פתרון סעיף א' :נסמן את הטמפרטורה הסופית ב־ .τfאז: ) Cm (τA − τf ) = CN m (τf − τB ומכאן: τA + N τB N +1 = τf לחישוב השינוי באנטרופיה נשתמש בקשר: ˆ mC ∂σ = =⇒ ∆σ dτ mC ≡ τ ∂τ τ ונקבל: ˆ τf ˆ τf 1 N ∆σ = Cm dτ + dτ τA τ τB τ ! τf τf N = Cm ln τ + ln τ τB τA τfN +1 τA τBN = Cm ln לא נעשתה עבודה על הסביבה ,כי המערכת מבודדת מהסביבה. פתרון סעיף ב' :נשתמש בתהליך קרנו ,תהליך הפיך בו אין שינוי באנטרופיה והעבודה היא מקסימלית .מכיוון שהאנטרופיה לא משתנה ,הטמפרטורה הסופית תהיה: N +1 τf )1/(N +1 ∆σ = Cm ln ⇒= = 0 τf = τA τBN N τA τB העבודה תהיה ההפרש בין החום הנכנס לחום היוצא: ) W = Cm (τA − τf ) − CN m (τf − τB )1/(N +1 = Cm τA + N τB − (N + 1) τA τBN פרק 8 8.1מנוע חום dG = µ dN − σ dτ + V dp עבור גז אידאלי נקבל: p G = F + pV = N τ log τ nQ פרק 9 חום ועבודה אנרגיה זו היא מינימלית עבור מערכת בשיווי־משקל בלחץ קבוע במגע תרמי עם אמבט חום .הדיפרנציאל שלה הוא: dG = dU − τ dσ − σ dτ + p dV + V dp נשתמש בזהות התרמודינמית ) τ dσ = dU −µ dN +p dVסעיף (5.6ונקבל: האנרגיה של גיבס וראקציות כימיות S J K−1 92.9 88.7 V cm3 36.93 34.14 ]G [kJ −1128.8 −1127.8 מי היא הפאזה היציבה בתנאים אלה ,ובאיזה לחץ בערך )בטמפרטורת החדר( הפאזה השנייה תהיה יציבה יותר? פתרון :הפאזה היציבה היא קלציט ,מכיוון שאנרגיית גיבס שלה נמוכה יותר .למציאת הלחץ בו ארגוניט תהיה יציבה יותר ,נשים לב כי אנרגיית גיבס מקיימת את הקשר: dG = µ dN − σ dτ + V dp בטמפרטורה קבועה ומספר חלקיקים קבוע נקבל .dG = V dp נבדוק מתי אנרגיות גיבס של שתי הפאזות משתוות: GA − GC ⇒= GC + VC ∆p = GA + VA ∆p = ∆p VC − VA כאשר Cמתייחס לקלציט ו־ Aלארגוניט .מכאן: 1 kJ mol−1 ≈ 3537 atm 2.79 cm3 mol−1 נגדיר את האנרגיה החופשית של גיבס כך: G (N, τ, p) ≡ U − τ σ + pV = ∆p 9.3שיווי־משקל בראקציות כימיות המשוואה לראקציה כימית היא: νj Aj = 0 X j כאשר Ajמייצג את סוג החלקיק ו־ νjהם המקדמים .למשל, עבור הראקציה H2 + Cl2 = 2 HClנקבל = A1 = H2 , A2 Cl2 , A3 = HClו־ .ν1 = ν2 = 1, ν3 = −2הדיפרנציאל של G הוא: X = dG µj dNj − σ dτ + V dp j כאשר .µj ≡ (∂G/∂N )τ,pלרוב נניח כי הלחץ והטמפרטורה קבועים ,ולכן: X = dG µj dNj j dNj = νj dNכאשר ˆ נרשום ˆ dNמציין כמה ראקציות מתרחשות .מכאן: X ˆ = 0 = dG νj µj dN j 9.1האנרגיה החופשית של גיבס קלציט ארגוניט ולכן התנאי לשיווי־משקל הוא: νj µj = 0 X j 9.4שיווי־משקל בגז אידאלי נרשום את הפוטנציאלים הכימיים כך: µj = τ log nj − log nQj Zjint כאשר njהוא הריכוז, m τ 3/2 j ≡ nQj 2π~2 הוא הריכוז הקוונטי ו־ Zjintהיא פונקציית החלוקה הפנימית. מכאן נקבל: ! Y ν Y ν νj Fjint j j = ) nj = K (τ nQj exp − τ j j כאשר Fjint ≡ −τ log Zjintהיא האנרגיה החופשית הפנימית ו־) K (τנקרא קבוע שיווי־המשקל .זהו חוק פעולת המסה. לדוגמה ,בתהליך H2 = 2 Hנקבל: −2 ) [H2 ] [H] = K (τ כאשר ] [H2הוא ריכוז המימן המולקולרי ו־] [Hהוא ריכוז המימן האטומי .קבוע שיווי־המשקל יינתן ע"י: ) F (H2 log K = log nQ (H2 ) − 2 log nQ (H) − τ כאשר הגדרנו את האפס של האנרגיה כאנרגיית המנוחה של .H פקטורי ספין נבלעים ב־) .F (H2 דוגמה נוספת היא תהליך היווצרות מימן אטומי ע"י הראקציה: e + H+ = H כלומר ,ספיגת אלקטרון eע"י פרוטון .H +מחוק פעולת המסה: Y ν 1 1 −1 ) nj j = [e] H + [H] = K (τ j אם נזניח את הספין נקבל F = 0עבור eו־ .H +לכן: ! Y ν νj Fjint j = ) K (τ nQj exp − τ j nQ (e) nQ (H + ) F (H)/τ e )nQ (H = ≈ nQ (e) eF (H)/τ כעת ,אם Iהיא האנרגיה הדרושה ליינון מימן אטומי אז ברור כי האנרגיה החופשית של אטום מימן היא ) F (H) = −Iבהזנחת ספין( ,ומכאן: 1 + 1 −1 −I/τ [e] H [H] = nQ e 9.5מקדם ההתפשטות התרמית ודחיסות איזותרמית מקדם ההתפשטות התרמית מוגדר כך: 1 ∂V ≡ αp V ∂τ p,N והוא שואף לאפס כאשר .τ → 0הדחיסות האיזותרמית מוגדרת כך: 1 ∂V κτ ≡ − V ∂p τ,N מתקיים הקשר: 2 V τ αp = Cp − CV κτ כאשר כזכור )סעיף Cp ,(6.6הוא קיבול החום בלחץ קבוע ,ועבור גז אידאלי .Cp − CV = Nבנוסף: V ∂p V αp ∂G =1− =1− ∂F V,N σ ∂τ V,N σκτ כאשר השתמשנו בנוסחת הנגזרת של פונקציה סתומה )סעיף .(11.7 9.6יחסי מקסוול יחסי )קשרי( מקסוול הנפוצים ביותר הם: ∂p ∂2U =− =+ ∂σ V ∂σ∂V ∂V ∂2H =+ =+ ∂σ p ∂σ∂p ∂p ∂2F =+ =− ∂τ V ∂τ ∂V ∂V ∂2G =− =− ∂τ p ∂τ ∂p ∂τ ∂V σ ∂τ ∂p σ ∂σ ∂V τ ∂σ ∂p τ כאשר τהיא הטמפרטורה V ,הוא הנפח p ,הוא הלחץ σ ,היא האנטרופיה U ,היא האנרגיה הפנימית H ,היא האנתלפיה )סעיף F ,(10.4היא האנרגיה החופשית של הלמהולץ )סעיף (3.11ו־G היא האנרגיה החופשית של גיבס )סעיף .(9.1 פרק 10 מעברי פאזה 10.1משוואת לחץ האדים גרף של לחץ כפונקציה של הנפח נקרא איזותרם .חלק של המערכת שהרכבו אחיד נקרא פאזה .באיזותרם עשוי להיות אזור בו שתי פאזות מתקיימות יחד ,עם גבול מוגדר ביניהן )קו הדו־ קיום( ,במצב של שיווי־משקל .זהו האזור הדו־פאזתי בו הלחץ קבוע ,אך הנפח עשוי להשתנות .עבור טמפרטורה נתונה יש רק ערך אחד של הלחץ שבו הנוזל והאדים הם בשיווי־משקל .תחת הלחץ הזה ,אם נקטין את הנפח )נוריד את הבוכנה( ,חזק מהגז יתעבה לנוזל ,אך הלחץ יישאר קבוע כל עוד ייוותר גז במערכת. תופעה זו מתרחשת רק אם הטמפרטורה של האיזותרם נמצאת מתחת לטמפרטורה הקריטית .τcמעל טמפרטורה זו ,רק פאזה אחת -הפאזה הנוזלית -קיימת ,ולא משנה כמה הלחץ גדול. הטמפרטורה הקריטית של מים ) (H2 Oהיא .647.1 K בטמפרטורות נמוכות ולחץ גבוה נקבל מוצק ,בטמפרטורות גבוהות ולחץ נמוך נקבל גז ,ובמקרי הביניים נקבל נוזל .הנקודה המשולשת היא קו הגבול בין שלוש הפאזות :הנקודה במישור pτ בה הגז ,הנוזל והמוצק נמצאים כולם בשיווי־משקל. התנאי לקיום יחד של שתי פאזות הוא שיווי־משקל תרמי, דיפוזיוני ומכני ,τl = τg , µl = µg , pl = pg :כאשר lמסמל נוזל ו־ gגז .הפוטנציאלים הכימיים מחושבים בטמפרטורה והלחץ המשותפים של הנוזל והגז: ) µl (p, τ ) = µg (p, τ נגדיר את הנפח למולקולה v ≡ V /Nואת האנטרופיה למולקולה .s ≡ σ/Nכדי לפתח את משוואת קלאוזיוס־קלפיירון ,נתחיל מהיחס )יחס גיבס־דוהם(: dµ = −s dτ + v dp המתקיים עבור כל אחת מהפאזות בנפרד .על קו הדו־קיום מתקיים ,dµl = dµgלכן: −sl dτ + vl dp = −sg dτ + vg dp מכאן: (vg − vl ) dp = (sg − sl ) dτ ולפיכך: sg − sl ∆s dp = = dτ v g − vl ∆v כאשר ∆σ ≡ sg − slהוא הגידול באנטרופיה כאשר מעבירים מולקולה אחת מהנוזל לגז ו־ ∆v ≡ vg − vlהוא הגידול בנפח. נגדיר את החום הכמוס: L ≡ τ ∆s אז: dp L = dτ τ ∆v זוהי משוואת לחץ האדים )או משוואת קלאוזיוס־קלפיירון( .נבצע כעת שני קירובים .האחד הוא ,vg vlכלומר ,הנפח לאטום בגז גדול בהרבה מהנפח לאטום בנוזל )או במוצק( .לפיכך .∆v ≈ vgהשני הוא משוואת הגז האידאלי .pvg = τאז נקבל: d dp L L = 2 p, log p = 2 dτ τ dτ τ בפרט ,אם החום הכמוס בלתי־תלוי בטמפרטורה באזור מסוים, ניתן לבצע אינטגרציה ולקבל: L0 p (τ ) = p0 exp − τ 10.2שאלה ממבחן :מוליך־על בשדה מגנטי שאלה ממבחן 2010א :כאשר מוליך־על )מסוג ראשון( נמצא תחת השפעת שדה מגנטי חיצוני ,השדה המגנטי נדחה מן החומר מוליך־העל עד שהשדה מגיע לערך קריטי הנקרא גם השדה הקריטי ) .Hc (τעבור H > Hcהחומר הופך למתכת רגילה )מצב נורמלי( ועבור H < Hcהחומר במצב מוליך־על. נתון כי צורת קו הדו־קיום )השדה הקריטי( המפריד את הפאזה הנורמלית והפאזה מוליכת־העל של חומר מסוים היא פרבולה, והיא ניתנת כפונקציה של הטמפרטורה על־ידי: ! 2 τ Hc (τ ) = H0 1 − τc א .קבלו משוואה אנלוגית למשוואת קלאוזיוס־קלפיירון עבור קו הדו־קיום. ב .השתמשו בעובדה שבתוך מוליך־העל השדה B = 0 ובקשר B = H + 4πmכדי לחשב את החום הכמוס ליחידת נפח במעבר בין המצב מוליך־העל למצב הנורמלי כפונקציה של .τ CH = τ ∂σכדי למצוא את הקפיצה ג .השתמשו בקשר ∂τ H בקיבול החום הסגולי ליחידת נפח כאשר חוצים את קו הדו־קיום בשדה קבוע. פתרון סעיף א' :נחליף את הלחץ pבשדה המגנטי Hואת הנפח vבמגנטיזציה ,−mונקבל: dH ∆s =− dτ ∆m פתרון סעיף ב' :החום הכמוס הוא: dH L = τ ∆s = −τ ∆m dτ במצב מוליך־העל מתקיים: H B = H + 4πm = 0 =⇒ m = − 4π ובמצב הנורמלי מתקיים: B = H + 4πm = H =⇒ m = 0 לפיכך ,∆m = H/4πובסה"כ נקבל: ! 2 4 H02 τ τ =L − 2π τc τc פתרון סעיף ג': L τ ∂∆σ ∂ =τ =τ ∂τ ∂τ −L ∂L ∂τ τ ∆CH ∂L L − ∂τ τ 4τ 3 H02 τ τ3 H02 2τ − 4 − − 4 = 2π τc2 τc 2π τc2 τc H02 τ 3τ 3 = − 2π τc2 τc4 = τ2 =τ 10.3פראקציות מולקולריות כאשר נתון כי הפראקציות המולקולריות של הנוזל והגז הן xl ו־ xgבהתאמה ,המשמעות היא: v = x l vl + x g vg , x l + xg = 1 ולכל פונקציה :f hf i = xl fl + xg fg 10.4אנתלפיה נגדיר את האנתלפיה: H ≡ U + pV הדיפרנציאל שלה הוא: dH = dU + p dV − V dp נשתמש בזהות התרמודינמית τ dσ = dU − (µg − µl ) dN + p dVונקבל ,על העקומה בה ,µg = µlכי בלחץ קבוע מתקיים: L = Hg − Hl נשיםלב כי: ∂σ ∂U ∂V ∂H Cp = τ = +p = ∂τ p ∂τ p ∂τ p ∂τ p כאשר Cpהוא קיבול החום בלחץ קבוע )סעיף .(6.6 10.5גז ואן־דר־ואלס גז ואן־דר־ואלס הוא המודל הפשוט ביותר של מעבר פאזה נוזל־ גז .במודל זה ,משוואת המצב מותאמת כדי לקחת בחשבון את האינטראקציות בין האטומים או המולקולות: N 2a p + 2 (V − N b) = N τ V כאשר Nהוא מספר האטומים V ,הוא הנפח p ,הוא הלחץτ , היא הטמפרטורה a ,הוא קבוע אשר מודד את המשיכה בין שתי מולקולות לטווח ארוך ו־ bהוא קבוע אשר מודד את הדחייה של שתי מולקולות לטווח קצר .כאשר a = b = 0נקבל גז אידאלי. נגדיר ,v ≡ V /Nאז נקבל עבור הלחץ: τ a − 2 =p v−b v אנרגיית הלמהולץ תהיה: aτ F = −N τ 1 + log (nQ (v − b)) + v אנרגיית גיבס תהיה: v 2a )nQ (V − N b G = Nτ − − 1 − log v − b τv N תהיה: האנטרופיה 5 σ = N log (nQ (v − b)) + 2 האנתלפיה היא: 5 bτ 2a 5 2ap H=N τ+ − =N τ + bp − 2 v v 2 τ הפוטנציאל הכימי יהיה: τb 2a µ = −τ log (nQ (v − b)) + − )nQ (v − b v תהיה: האנרגיה 3 a U =N τ− 2 v הדחיסות האיזותרמית תהיה: !−1 1 ∂v τv 2a κτ ≡ − = 2 − v2 v ∂p τ )(v − b מקדם ההתפשטות התרמית יהיה: −1 τv )2a (v − b = − v−b v2 קיבול החום בנפח קבוע יהיה: 3 CV = N 2 p ∂v ∂τ 1 ≡ αp v וקיבול החום בלחץ קבוע יהיה: ! 2 −1 3 2a (v − )b =N + 1− 2 τ v3 τ αp2 V κτ Cp = CV + כאשר נזכיר כי: 3/2 Mτ 2π~2 הערה cp ≡ Cp /V :ו־ ≡ CV /V הסגוליים. ≡ nQ cVנקראים קיבולי החום חשיבות לסדר: )n · (n − 1) · · · (n − k + 1 n !n = ≡ !)k! (n − k !k k מספר הדרכים לבחור kעצמים מתוך nעם החזרה וללא חשיבות לסדר: n+k−1 !)(n + k − 1 = k !)k! (n − 1 נספחים 11.5הסתברות s כאשר הסכום עובר על כל הערכים האפשריים של .sהממוצע של פונקציה ) f (sלפי פונקציית הסתברות זו הוא: X ≡ hf i )f (s) P (s 11.1אינטגרלים שימושיים π a b2 −c 4a r = dx −ax2 ˆ ∞+ s e ∞− π exp a r = dx )+bx+c 2 e−(ax ∞+ ˆ ∞− 2 n=1 π /6 x 4 dx = π /15 n = 3 ex −1 0 6 8π /63 n = 5 ∞ ˆ 1 1 = log +1 )x (x + 1 a a ∞ ˆ !xn e−x/a dx = an+1 n ∞ n 0 ∞ ˆ 1 !n n+1 2a 0 ∞ ˆ 1 1 2n −ax2 x e dx = n+1/2 n − ! 2 2a 0 ( ˆ π n−1 √ )2 · 2·4···(n−1 n odd n ! 2 1·3···n =π sin x dx = n )1·3···(n−1 π · 2·4···n n even 0 ! 2 כאשר: √ 1 1 √1 − ! = π, π =! 2 2 2 √ )1 · 3 · 5 · · · (2n − 1 1 n− π =! 2 2n 2 השונות היא: D E D E 2 2 2 (∆f ) ≡ (f − hf i) = f 2 − hf i וסטיית התקן היא: ˆ = x2n+1 e−ax dx E rD 2 ) (∆f ≡ σf אם פונקציית ההסתברות לא מנורמלת: P )f (s) P (s hf i ≡ sP )s P (s 11.6טרנספורם לג'נדר נתונה פונקציה ) .y (xנגדיר: dy ≡p , ψ (p) ≡ y − px dx אז הפונקציה ) ψ (pנקראת טרנספורם לג'נדר של ) .y (xהנגזרות השניות של yושל ψמקיימות: 2 2 d yd ψ = −1 dx2 dp2 עבור פונקציה של מספר משתנים ) ,y (x1 , . . . , xnנגדיר: n X ∂y ≡ pi , ψ (p1 , . . . , pn ) ≡ y − pi xi ∂xi i=1 אז מטריצות הנגזרות החלקיות השניות של yושל ψמקיימות את הקשר: n 2 2 X ∂ ψ ∂ y = −δij ∂xi ∂xk ∂pk ∂pj k=1 11.2קירוב סטירלינג 11.7נגזרת של פונקציה סתומה 1 1 n! ∼ (2πn) n exp −n + +O 12n n2 1 1 1 log n! ∼ log (2π) + n + log n − n + 2 2 12n n 1/2 log n! ∼ n log n − n 11.3קירובי טיילור 1 e x ≈ 1 + x + x2 2 1 log (1 + x) ≈ x − x2 2 α (α − 1) 2 α (1 + x) ≈ 1 + αx + x 2 1 1 sin x ≈ x − x3 cos x ≈ 1 − x2 6 2 1 3 1 1 tan x ≈ x + x cot x ≈ − x 3 x 3 1 3 π arcsin x ≈ x + x arccos x = − arcsin x 6 2 1 3 π arctan x ≈ x − x arccot x = sign x − arctan x 3 2 עבור פונקציות היפרבוליות צריך פשוט להפוך את הסימן של האיבר השני בכל ביטוי .מקרים יוצאי דופן הם: iπ = arccosh x )− arcsinh (i x 2 iπ arccoth x = − sign x + arctanh x 2 11.4קומבינטוריקה מספר הדרכים לסדר nעצמים בשורה.n! : מספר הדרכים לבחור kעצמים מתוך nעם החזרה ועם חשיבות לסדר.nk : מספר הדרכים לבחור kעצמים מתוך nללא החזרה ועם חשיבות לסדר: !n )= n · (n − 1) · · · (n − k + 1 !)(n − k מספר הדרכים לבחור kעצמים מתוך nללא החזרה וללא נוסחת הנגזרת של פונקציה סתומה היא: (∂z/∂x)y ∂y =− ∂x z (∂z/∂y)x 11.8קבועים ויחידות קבוע בולצמן: −23 −1 −5 kB ≈ 1.38 × 10 J K ≈ 8.62 × 10 eV K−1 קבוע פלאנק: h ≈ 6.63 × 10−34 J s ≈ 4.14 × 10−15 eV s h =~ ≈ 1.05 × 10−34 J s ≈ 6.58 × 10−16 eV s 2π קבוע סטפן־בולצמן: −8 −2 −4 σB ≈ 5.67 × 10 W m K = 5.67 × 10−5 erg cm−2 s−1 K−4 מספר אבוגדרו: NA ≈ 6.02 × 1023 קבוע הגזים: −1 −1 R = NA kB = 8.31 J K mol = 8.31 × 107 erg K−1 mol−1 = 5.19 × 1019 eV K−1 mol−1 מהירות האור: −1 8 c ≈ 3.00 × 10 m s המטען היסודי: e ≈ 1.60 × 10−19 C מסת האלקטרון: me ≈ 0.511 MeV/c ≈ 9.11 × 10 kg מסת הפרוטון: mp ≈ 938 MeV/c2 ≈ 1.67 × 10−27 kg המרת יחידות אנרגיה: −19 1 eV ≈ 1.60 × 10 J 1 J ≈ 6.24 × 1018 eV −31 פרק 12 אינדקס תהי ) P (sפונקציית הסתברות בדידה המקיימת את תנאי הנורמליזציה: X P (s) = 1 פרק 11 אטמוספירה: 1 atm = 1.01 × 105 Pa = 1.01 × 105 kg m−1 s−2 טמפרטורות קלווין וצלזיוס: 0 K = −273.15 ◦ C 2 1 erg = 10−7 J ≈ 6.24 × 1011 eV יחידת מסה אטומית: −27 1 u ≈ 1.66 × 10 kg ≈ 931 MeV/c2 אוסילטור הרמוני קוונטי3.8 ,2.6 : אנטרופיה2.3 : אנטרופיה של ערבוב3.16 : אנרגיה חופשית של הלמהולץ3.11 : אנרגיה חופשית של גיבס9.1 : אנרגיית סיבוב6.8 : אנרגיית פרמי7.3 : אנתלפיה10.4 : גז אידאלי) 7.6 ,3.13 ,3.12 :פוטנציאל כימי() 9.4 ,6.5 ,שיווי־ משקל( גז אלקטרונים חופשי) 7.6 ,7.5 ,7.4 :פוטנציאל כימי( גז ואן־דר־ואלס10.5 : גז מנוון) 7.15 ,7.1 :גז בוזונים מנוון( גז פרמי7.3 ,7.2 : גז פרמיונים במתכת7.9 : דחיסות איזותרמית9.5 : דרגות חופש פנימיות/מולקולות רב־אטומיות6.9 ,6.7 : התפלגות בוז־איינשטיין6.2 : התפלגות מקסוול3.18 : התפלגות פלאנק4.1 : התפלגות פרמי־דיראק6.1 : ההתפלגות הקלאסית6.3 : התפשטות6.13 ,6.12 ,6.11 : הזהות התרמודינמית5.6 ,3.10 : חום כמוס10.1 : חוק גדילת האנטרופיה2.4 : חוק סטפן־בולצמן4.2 : חוק פלאנק4.3 : חוק קירכהוף4.6 : חוקי התרמודינמיקה2.5 : טמפרטורה) 3.9 ,2.4 :שלילית( טמפרטורה של כוכב3.3 : יחסי מקסוול9.6 ,9.1 ,3.11 : יעילות קרנו8.1 : לחץ3.10 : לחץ קרינה4.7 : מגע דיפוזיוני5.1 : מנוע חום8.1 : מספר הגל7.5 : מקדם ההתפשטות התרמית9.5 : מקרר8.2 : מרחב הפאזה7.5 : משוואת 6.5 ,3.13 :Sackur-Tetrode משוואת הגז האידאלי3.13 : משוואת לחץ האדים/קלאוזיוס־קלפיירון10.1 : משפט החלוקה השווה6.10 : סיכום היחסים בין τ, p, µו־ 5.6 :σ, U, F ספין ומומנט מגנטי6.3 ,5.5 ,3.4 ,1.1 : עיבוי בוז־איינשטיין7.12 ,7.1 : פאזות10.1 : פוטנציאל כימי) 5.3 ,5.1 :כולל/אלקטרוכימי( פוטנציאל תרמודינמי גרנד־קנוני) 7.11 ,5.8 :של גז פרמיונים( פונון4.10 : פונקציית חלוקה) 3.5 ,3.2 :חלקיקים מובחנים/לא מובחנים(, ) 6.7שילוב( פונקציית חלוקה גרנד־קנונית5.7 : פונקציית ריבוי2.6 ,1.1 : פלקטואציות4.10 : פקטור בולצמן3.1 : פקטור גיבס5.7 : פראקציות מולקולריות10.3 : צפיפות המצבים7.4 : הקונפיגורציה הסבירה ביותר2.2 : קבוע הגזים6.6 : קיבול חום) 3.6 :בנפח קבוע() 6.6 ,בלחץ קבוע() 7.8 ,של גז אלקטרונים( ראקציות כימיות9.3 : ריכוז קוונטי3.12 : רעש במעגלים אלקטרוניים4.9 ,4.8 : שיווי־משקל תרמי2.3 : שרשרת אטומים1.2 : תהליך אדיאבטי6.12 : תהליך הפיך3.17 : תהליך קרנו8.3 ,8.1 : תורת דביי4.10 : התחום הקלאסי והתחום הקוונטי7.1 ,6.2 :
