docnull
download 
Report Transcription
null
סמסטר חורף תשס"ח פיסיקה תרמית – פתרון תרגיל 6 .1א. .aהגדלת טמפרטורה איזנטרופית ,שהיא כמובן דחיסה אדיאבטית )הגדלת האנרגיה של המערכת ללא העברת חום(. .dחימום איזותרמי ,שהוא התפשטות איזותרמית. .cהתפשטות אדיאבטית .גם כאן אין מעבר חום. .bקירור איזותרמי ,שהוא דחיסה איזותרמית. ב .זהו מנוע חום המבצע שני תהליכים איזותרמיים ושני תהליכים אדיאבטים ולכן זהו מנוע קרנו. ג .רק בתהליכים dו bיש מעבר חום .מאחר ושני תהליכים אלו הם איזותרמיים נקבל . Q = T ⋅ ∆Sנותר כעת לחשב את השינוי באנטרופיה מתוך נוסחאת סאקור טטרודה. 3 V U 2 S = NK ln + S 0 NN ונקבל V ∆S b = − NK ln 3וגם V2 V V . ∆S d = NK ln 4 וכמות החום המועברת Qb = −TC NK ln 3 V2 V1 V3 V4 V = וגם . Qd = TH NK ln 4 במנוע קרנו על הנפחים לקיים V2 V1 V1 η = Qd − Qb = 1 − TCכמצופה ממנוע קרנו. בחישוב יעילות המנוע נקבל Qd TH )בגלל התהליכים האדיאבטיים(. .2פאראמגנט פשוט. א.עבור מצב עם אנרגיה נתונה N↑-נתון .כפליות המצב נתונה על ידי כל האפשרויות לבחור את ה N↑-מתוך ,N !N !) ↑ N ↑ !(N − N = ) ↑ . Ω(N , N ומכאן על ידי שימוש בקירוב סטירלינג !N ) ↑ ≈ N ln N − N ↑ ln N ↑ − (N − N ↑ )ln (N − N !) ↑ N ↑ !(N − N ln Ω(N , N ↑ ) = ln והאנטרופיה היא פשוט kBכפול תוצאה זו. כעת נרשום ↓ (N − N ↑ ) = Nונפתח את הביטוי שהתקבל עבור הגבול ↑N↓<<N N = ↓ + N ↓ )ln (N ↑ + N ↓ ) − N ↑ ln N ↑ − N ↓ ln N ↓ = (N ↑ + N ↓ )ln N ↑ 1 + ↓ − N ↑ ln N ↑ − N ↓ ln N N ↑ eN ↑ + N ↓ ⇒ S ≈ k B N ↓ ln N ↓ N N N ↑ + N ↑ 1 + ↓ ln1 + ↓ ≈ N ↓ ln N N ↑ N ↑ ↓ ↑ (N N ↑ N ↓ ln ↓ N נוכל לגזור בשרשרת1/T=(∂S/∂U)N- מאחר ש. U = − N ↑ ε + N ↓ ε = (N − 2 N ↑ )ε האנרגיה נתונה על ידי.ב . ∂S 1 ∂S = = T ∂U N ∂N ↑ ∂N ↑ N↑ 1 kB [ ( ) ] = − − + − + − = ln 1 ln 1 ln k N N N B ↑ ↑ 2ε 2ε (N − N ) ∂U N ↑ N את האנרגיה לפיN ↑ כעת נציב במקום U = (N − 2 N ↑ )ε ⇒ N ↑ = N U − 2 2ε ולכן k N 2 − U 2ε k B N − U ε N 2 − U 2ε 1 kB = = B ln = ln ln T 2ε ( N − ( N 2 − U 2ε )) 2ε N 2 + U 2ε 2ε N + U ε כלומר Nε − U 2ε 2ε 2ε = U 1 + exp ⇒ = exp ⇒ Nε1 − exp Nε + U k BT k T k T B B −ε ε −ε ε = U exp Nε exp − exp + exp k BT k BT k BT k B T :ומכאן −ε ε ε exp − exp 2 sinh k BT k BT k BT ε U = Nε = − Nε tanh = − Nε ε k BT −ε ε 2 cosh exp + exp k BT k BT k BT .ג :נציב את הביטוי לאנטרופיה S = k B ln Ω = k B [N ln N − N ↑ ln N ↑ − (N − N ↑ )ln (N − N ↑ )] : ולכן,U כפונקציה שלN↑ מצאנו כבר את N U N U N U N U S = k B N ln N − − ln − − + ln + 2 2ε 2 2ε 2 2ε 2 2ε ε N U N ε N U N ; + = 1 + tanh − = 1 − tanh k B T 2 2ε 2 k B T 2 2ε 2 הצבה לפי ההדרכה ונקבל − ε k BT e Ne − ε k BT ln S = k B N ln N − ε ε 2 cosh 2 cosh k BT k BT ε k BT Ne ε k BT − e ln ε ε 2 cosh k T 2 cosh k T B B −x e−x e+x ex ln N − (x − ln(2 cosh x) ) − e (− x − ln(2 cosh x) ) = k B N ln N − + 2 cosh x 2 cosh x 2 cosh x 2 cosh x . )אחרי שהצבנו לשם פשטות .( x = ε / k B Tהאיברים התלויים ב lnN-מצטמצמים ,ואנו נשארים רק עם e+x − e−x e+x + e−x S ] ln(2 cosh x) = k B [ln 2 cosh x − x tanh x = k B − x + N 2 cosh x 2 cosh x . ד. הגבול N↓<<Nאומר מעט מאוד דיפולים בספין הפוך ,כלומר טמפרטורה נמוכה מאוד x→∞ :בביטויים שלהלן .בגבול הזה tanh(x)→1ואילו .ln(2coshx)→xהתוצאה הסופית היא S = k B [ln 2 cosh x − x tanh x] → k B [x − x ] = 0 N ואכן ,זו המגמה הנכונה – האנטרופיה צריכה לשאוף לאפס בטמפרטורה נמוכה. .3מוצק איינשטיין בגבול הקר א. בעזרת ההנחה שאין חלקיקים עם יותר ממנת אנרגיה אחת ,בעצם צריך לבחור qחלקיקים מתוך Nשיקבלו מנת אנרגיה אחת כל אחד .כלומר !N !(N − q )!q = ) Ω( N , q נשתמש בנוסחת סטרלינג כדי להתקדם: !N ≈!= ln N !− ln(( N − q )!) − ln q !(N − q )!q = ] ≈ N ln N − N − [( N − q ) ln( N − q ) − ( N − q )] − [q ln q − q ln[Ω( N , q )] = ln q q N ln N − (N − q ) ln( N − q ) − q ln q = N ln N − N 1 − ln N 1 − − q ln q N N נשתמש בקירוב ש ln(1+x)≈x-עבור xקטן מאוד מאחד )שהרי ,(q<<Nונקבל q q q q = N ln N − N 1 − ln N 1 − − q ln q = N ln N − N 1 − ln N − − q ln q N N N N q eN q2 N − q ln q = q ln N − q ln q + q = q ln + q = ln N ln N − N ln N + q ln N + q − N q q בדרך הזנחנו את ,q2/Nשהוא קטן באופן משמעותי מיתר האיברים .אכן קיבלנו צורה דומה מאוד לזו של הקירוב החם. ב .לפי ההגדרה ) , S = k B ln(Ωולכן, q N eN eN 1 1 = k B q ln = k B ln + 1 . S q = k B ln q q q q q חשוב לשים לב שגם האנטרופיה פר חלקיק וגם האנטרופיה פר מנת אנרגיה הם גדלים אינטנסיביים ,ולכן עליהם להיות תלויים רק בגדלים אינטנסיביים אחרים .זו אכן התוצאה כאן. ג. צריך לגזור ) (∂S/∂Uכאשר , U = qεואז מקבלים U = Nεe −ε / k B T .4אם נצמד שני גזים ונאפשר מעבר חום אזי הם יגיעו לשווי משקל כאשר הם ישוו טמפרטורה. בשווי משקל כל אחד מהגזים יקיים את הקשר בין נגזרת האנטרופיה והטמפרטורה .עבור גז אידיאלי נקבל 1 αNk = T U = V ∂S ∂U אינטגרציה תיתן ) . S = NK ln(U α ) + S 0 ( N , Vאם נסתכל על sהאנטרופיה לחלקיק וu U α ∂s 1 αk V האנרגיה לחלקיק נקבל ומכאן קל לקבל . Ns = S = NK ln + Ns 0 = = N ∂ N u T u V 1 α γ −1 מכך שבתהליך אדיאבטי המקיים T = V T = const Vהאנטרופיה לא משתנה נקבל כי לאורך אדיאבטה . V = C ⋅ U − αנתייחס לאנטרופיה כפונקציה של Uו Vונקבל 1 V = NK U ∂S V ⇒ ∂V U α U 1 ∂S − U ∂V = αNK adiabativ dV dU U ∂S ∂V + V ∂S ∂U ==0 adiabatic dS dU V U α משיקולי אינטנסיביות )או לחילופין אם נחזור על החישוב פר חלקיק( נקבל ) . S = NK ln + S 0 ( N NN
