docThermalPhysics-Exam2010a-v1.0
download 
Report Transcription
ThermalPhysics-Exam2010a-v1.0
פיזיקה תרמית: פתרון מבחן מועד א' תש"ע גרסה ,1.0יולי 2011 ברק שושני [email protected] | http://baraksh.co.il/ חלק א' שאלה 1 לאטום פחמן נייטרלי יש מצב יסוד עם ניוון .9למצב המעורר הראשון ניוון 5ואנרגיה של 0.82 eVמעל מצב היסוד .במדידות ספקטרוסקופיות של כוכב מרוחק נמצא כי 10%מאטומי הפחמן הנייטרלי נמצאים במצב המעורר .מספר האטומים ברמות גבוהות יותר ניתן להזנחה .מהי בערך טמפרטורת הכוכב ,בהנחה שהוא בשיווי משקל תרמי? פתרון תהי ε0האנרגיה במצב היסוד ו־ ε0 + ∆εהאנרגיה במצב המעורר הראשון )כאשר .(∆ε = 0.82 eVפונקציית החלוקה היא: Z (τ ) = 9 e−ε0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ לכן ההסתברות שאטום יהיה במצב המעורר היא: 5 e−(ε0 +∆ε)/τ = 10% = 0.1 9 e−ε0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ = )P (ε0 + ∆ε נצמצם את אנרגיית היסוד: 5 e−∆ε/τ 5 = 0.1 = 9 + 5 e−∆ε/τ 9 e∆ε/τ +5 מכאן ,e∆ε/τ = 5ולכן: ∆ε ≈ 0.5 eV log 5 =τ נחלק בקבוע בולצמן כדי לקבל את הטמפרטורה במעלות קלווין: τ ≈ 5800 K kB 1 = T שאלה 2 צפיפות אלקטרוני ההולכה בנחושת היא ,8.5 × 1028 m−3ומסת האלקטרון היא .9.1 × 10−31 kg א .מהי הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר ב־?τ = 0 ב .הנחושת מחוממת לטמפרטורה של .1160 Kכמה אלקטרונים בממוצע נמצאים ברמה שהיא 0.1 eVמעל האנרגיה שמצאתם בסעיף א'? פתרון הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר כאשר τ = 0נקבעת לפי אנרגיית פרמי: 2/3 ~2 3π 2 n ≈ 7.05 eV 2m = εF כאשר nהיא הצפיפות ו־ mהיא המסה .מספר החלקיקים הממוצע בטמפרטורה (τ = 0.1 eV) T = 1160 Kבמצב בעל אנרגיה ε − µ = 0.1 eVנקבע לפי התפלגות פרמי־דיראק: 1 ≈ 0.27 e +1 = 1 +1 ε−µ τ exp = )f (ε שאלה 3 נתונים שני לוחות אינסופיים המוחזקים בטמפרטורות שונות .Tcold < Thot :בין שני הלוחות יש ריק. מכניסים לוח שלישי דק מאוד המבודד מהסביבה .פי כמה ירד או יעלה קצב פליטת החום נטו מהלוח החם ללוח הקר כתוצאה מהכנסת הלוח הדק ביניהם? פתרון האנרגיה ליחידת שטח הנפלטת ע"י כל לוח היא ,J = σB T 4כאשר σBהוא קבוע סטפן־בולצמן .לפני הכנסת הלוח האמצעי ,קצב פליטת החום נטו מהלוח החם ללוח הקר הוא: 4 4 J1 = σB Thot − Tcold תהי Tטמפרטורת הלוח האמצעי .הוא קולט ופולט קרינה בשני הכיוונים ,ולכן: 4 4 Thot + Tcold 2 = T4 ⇒= 4 4 2σB T 4 = σB Thot + Tcold לפיכך אחרי הכנסת הלוח האמצעי ,קצב פליטת החום מהלוח החם ללוח הקר יהיה: 4 4 Thot − Tcold 1 4 J2 = σB Thot − T 4 = σB = J1 2 2 כלומר ,קצב פליטת החום מהלוח החם יקטן פי .2 שאלה 4 אילו מהמשפטים הבאים לא נכונים: א .מים ואדים נמצאים במיכל בטמפרטורה של 100 ◦ Cבלחץ של .1 atmאם הטמפרטורה נשמרת קבועה ונפח המיכל מוקטן מעט ,הלחץ יגדל מעט. ב .אם שתי מערכות מבודדות נמצאות במגע תרמי ודיפוזיוני במהלך הגעה לשיווי משקל ,החלקיקים ינועו מהפוטנציאל הכימי הגבוה לנמוך. 2 ג .אם מקררים גז אידאלי )חסר אינטראקציה( לטמפרטורה אפס אזי האנרגיה יורדת לאפס. ד .נתונה מערכת מבודדת הנשמרת בטמפרטורה ולחץ קבועים .המערכת תגיע לשיווי משקל כאשר אנרגיית גיבס מינימלית. ה .גז אידאלי קלאסי מפר את החוק השלישי של התרמודינמיקה. ◦ ו .נגד מחובר לסוללה חשמלית ומחמם מים מטמפרטורה התחלתית של .100 Cהאדים מפעילים מטען הטוען חזרה את הסוללה וכך מתעבים חזרה למים החוזרים למיכל .התהליך יכול להתבצע לאט כרצוננו וברכיבים אידאליים )אין בזבוזי אנרגיה במערכת והיא כולה מבודדת לחלוטין מהסביבה( .אין תכנון של המערכת בו היא יכולה להמשיך ולפעול עד אין קץ. פתרון א .לא נכון :הטמפרטורה הקריטית של מים היא ,647.1 Kלפיכך אנו נמצאים מתחת לטמפרטורה הקריטית ,באזור הדו־פאזתי בו הלחץ קבוע ,אך הנפח עשוי להשתנות. ב .נכון :זוהי הגדרת הפוטנציאל הכימי. ג .לא נכון :לא כתוב שהגז הוא גז אידאלי קלאסי .אם הוא גז פרמיונים ,למשל ,אז בטמפרטורה אפס האנרגיה תהיה אנרגיית פרמי. ד .נכון :זה נובע ישירות מהגדרת אנרגיית גיבס. ה .נכון :החוק השלישי של התרמודינמיקה קובע כי האנטרופיה של המערכת מתקרבת לערך קבוע כאשר הטמפרטורה מתקרבת לאפס .גז אידאלי מקיים את משוואת :Sackur-Tetrode nQ 5 3 σ = N log + = N C + log τ n 2 2 כאשר Cהוא קבוע .מתקיים ∞ ,σ (0) → −לפיכך החוק השלישי מופר) .אף גז הוא לא באמת גז אידאלי ,לכן אין כאן בעיה(. ו .נכון :לא יכול להיות תכנון של המערכת בו היא יכולה להמשיך ולפעול עד אין קץ ,מכיוון שגם במצב אידאלי יעילות התהליך לא יכולה להיות גבוהה יותר מיעילות קרנו. שאלה 5 לסידן פחמתי CaCO3שתי צורות גבישיות נפוצות :קלציט וארגוניט .נתונה טבלת נתונים בטמפרטורת החדר ובלחץ אטמוספרי עבור שתי הפאזות של אנרגיית גיבס ,נפח ואנטרופיה פר מול של חומר: G kJ mol−1 V cm3 mol−1 S J K−1 mol−1 קלציט −1128.8 36.93 92.9 ארגוניט −1127.8 34.14 88.7 מי היא הפאזה היציבה בתנאים אלה ,ובאיזה לחץ בערך )בטמפרטורת החדר( הפאזה השנייה תהיה יציבה יותר? פתרון הפאזה היציבה היא קלציט ,מכיוון שאנרגיית גיבס שלה נמוכה יותר .למציאת הלחץ בו ארגוניט תהיה יציבה יותר ,נשים לב כי אנרגיית גיבס מקיימת את הקשר: dG = µ dN − σ dτ + V dp בטמפרטורה קבועה ומספר חלקיקים קבוע נקבל .dG = V dpנבדוק מתי אנרגיות גיבס של שתי הפאזות משתוות: GA − GC = ∆p VC − VA ⇒= GC + VC ∆p = GA + VA ∆p כאשר Cמתייחס לקלציט ו־ Aלארגוניט .מכאן: 1 kJ mol−1 ≈ 3537 atm 2.79 cm3 mol−1 3 = ∆p שאלה 6 גז חנקן דליל דו־אטומי נדחס לאט בטמפרטורה קבועה מנפח התחלתי של 0.3 m3לנפח סופי של .0.1 m3 מספר מולקולות החנקן הוא .1024פי כמה השתנה מספר המצבים המיקרוסקופיים של הגז בתהליך? פתרון האנטרופיה היא הלוגריתם של מספר המצבים ,σ ≡ log g ,ולכן .g = eσממשוואת ,Sackur-Tetrodeהאנטרופיה של גז אידאלי היא: nQ 5 σ = N log + ) = N (C + log V n 2 כאשר Cקבוע .לפיכך מספר המצבים הוא: g = eN C V N 24 אם נקטין את הנפח פי ,3מספר המצבים יקטן פי ) .3N = 3(10 חלק ב' שאלה 1 מוליך־על בשדה מגנטי כאשר מוליך־על )מסוג ראשון( נמצא תחת השפעת שדה מגנטי חיצוני ,השדה המגנטי נדחה מן החומר מוליך־העל עד שהשדה מגיע לערך קריטי הנקרא גם השדה הקריטי ) .Hc (τעבור H > Hcהחומר הופך למתכת רגילה )מצב נורמלי( ועבור H < Hcהחומר במצב מוליך־על. נתון כי צורת קו הדו־קיום )השדה הקריטי( המפריד את הפאזה הנורמלית והפאזה מוליכת־העל של חומר מסוים היא פרבולה ,והיא ניתנת כפונקציה של הטמפרטורה על־ידי: ! 2 τ Hc (τ ) = H0 1 − τc א .קבלו משוואה אנלוגית למשוואת קלאוזיוס־קלפיירון עבור קו הדו־קיום. ב .השתמשו בעובדה שבתוך מוליך־העל השדה B = 0ובקשר B = H + 4πmכדי לחשב את החום הכמוס ליחידת נפח במעבר בין המצב מוליך־העל למצב הנורמלי כפונקציה של .τ CH = τ ∂σכדי למצוא את הקפיצה בקיבול החום הסגולי ליחידת נפח כאשר חוצים את קו ג .השתמשו בקשר ∂τ H הדו־קיום בשדה קבוע. פתרון סעיף א' כדי לפתח את משוואת קלאוזיוס־קלפיירון ,נתחיל מהיחס )יחס גיבס־דוהם(: dµ = −s dτ + v dp המתקיים עבור כל אחת מהפאזות בנפרד ,כאשר µהוא הפוטנציאל הכימי s ≡ σ/N ,היא האנטרופיה למולקולהτ , היא הטמפרטורה v ≡ V /N ,הוא הנפח למולקולה p ,הוא הלחץ ו־ Nהוא מספר המולקולות .על קו הדו־קיום מתקיים ,dµ1 = dµ2לכן: −s1 dτ + v1 dp = −s2 dτ + v2 dp מכאן: (v1 − v2 ) dp = (s1 − s2 ) dτ 4 ולפיכך: dp ∆s = dτ ∆v נחליף את הלחץ pבשדה המגנטי Hואת הנפח vבמגנטיזציה ,−mונקבל: dH ∆s =− dτ ∆m פתרון סעיף ב' החום הכמוס מוגדר כך: L ≡ τ ∆s לפי המשוואה מסעיף א': dH dτ L = −τ ∆m dH dτ ⇒= ∆s = −∆m נתון כי: ! 2 τ τc 1− Hc (τ ) = H0 לכן: dH 2τ = −H0 2 dτ τc בנוסף ,במצב מוליך־העל מתקיים: H 4π m=− B = H + 4πm = 0 ⇒= ובמצב הנורמלי מתקיים: ⇒= m=0 B = H + 4πm = H לפיכך: ! 2 τ τc 1− H H0 = ∆m = 4π 4π ובסה"כ נקבל: ! 4 τ τc 2 − τ τc 5 H2 L= 0 2π פתרון סעיף ג' מתוך הקשר ∂σ ∂τ H CH = τנקבל: ∂∆σ ∂τ ∂ L =τ ∂τ τ ∆CH = τ ∂L ∂τ τ −L τ2 ∂L L = − ∂τ τ 2 4τ 3 H02 τ τ3 2τ H − − − = 0 2π τc2 τc4 2π τc2 τc4 3τ 3 H02 τ = − 2π τc2 τc4 =τ שאלה 2 שדה חיצוני מוצק שבו אטומים בעלי ספין ) 1/2חסרי אינטראקציה הדדית( נמצא בשדה מגנטי .B = 3 Tהמומנט המגנטי הוא .µ = 9.3 × 10−23 J T−1 א .מהי הטמפרטורה אשר מתחתיה יותר מ־ 75%ספין מקביל לשדה? ב .קליטה של קרינה אלקטרומגנטית יכולה לעורר מעבר בין שתי רמות האנרגיה אם תדירות הקרינה היא f = 2µB/h כאשר hקבוע פלאנק .נניח כי המוצק בשיווי משקל תרמי וכן ,µB τוהוא מוקרן בקרינה כזו .מהי התלות בטמפרטורה של ההספק הנקלט במוצק? פתרון סעיף א' אטום יכול להיות בעל אנרגיה ,−µBאם הספין שלו מקביל לשדה ,או ,µBאם הספין שלו מנוגד לשדה .לפיכך פונקציית החלוקה היא: Z = e−µB/τ + eµB/τ הסיכוי של אטום להיות עם ספין מקביל לשדה יהיה ,אם כן: 3 eµB/τ = = 75% 4 + eµB/τ e−µB/τ = )P (−µB לפיכך: 2µB = 5.08 × 10−22 J log 3 =τ ⇒= 1 3 = e−2µB/τ נחלק בקבוע בולצמן כדי למצוא את הטמפרטורה: τ = 36.8 K kB 6 = T פתרון סעיף ב' באמצעות קליטת פוטון בעל אנרגיה ,2µBהאטום יכול לעבור מרמת אנרגיה ) −µBספין מקביל לשדה( לרמת אנרגיה .µBהסיכוי שזה יקרה הוא ,כפי שראינו: eµB/τ 1 = −2µB/τ −µB/τ µB/τ e +e e +1 = )P (−µB אם µB τאז µB/τ → 0ולכן נוכל לרשום: 1 1 1 1 µB ≈ )P (−µB = ≈ 1+ (1 − 2µB/τ ) + 1 2 1 − µB/τ 2 τ ההספק הנקלט במוצק תלוי בהסתברות לעירור ,ולכן התלות בטמפרטורה תהיה .1/τ שאלה 3 חלקיקים אחרים נתונים Nחלקיקים שלכל אחד מהם 3מצבי אנרגיה אפשריים .0, ε, 2ε :למערכת נפח קבוע Vוהיא מצומדת לאמבט חום בטמפרטורה .τאין אינטראקציה בין החלקיקים ,והסטטיסטיקה הרלוונטית היא סטטיסטיקת בולצמן. א .כתבו את פונקציית החלוקה עבור חלקיק יחיד. ב .מהי האנרגיה הממוצעת שלו? ג .בגבול ,τ εמהי ההסתברות שהרמה המעוררת העליונה מאוכלסת ומהי האנרגיה הממוצעת? ד .באיזו טמפרטורה יש במצב היסוד פי 1.1חלקיקים מברמה העליונה? ה .מצאו את קיבול החום הסגולי .נתחו תשובותיכם בגבול τ εו־ .τ εשרטטו באופן סכמטי את קיבול החום כפונקציה של .τ פתרון סעיף א' הפונקציה היא: Z = 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ פתרון סעיף ב' האנרגיה הממוצעת היא: ε e−ε/τ +2ε e−2ε/τ 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ =U פתרון סעיף ג' כאשר τ εההבדל בין שלוש רמות האנרגיה זניח ,לכן כל רמה תהיה מאוכלסת במספר שווה של חלקיקים .לפיכך P (2ε) = 1/3ו־.U = ε 7 'פתרון סעיף ד :ההסתברות למצוא חלקיק במצב היסוד היא 1 Z P (0) = :וברמה העליונה −2ε/τ P (2ε) = e Z : ונקבל1.1 נדרוש שהיחס יהיה 1.1 = P (0) 1 = −2ε/τ P (2ε) e =⇒ τ= 2ε log 1.1 'פתרון סעיף ה :קיבול החום בנפח קבוע הוא ∂U ∂τ V ∂ ε e−ε/τ +2ε e−2ε/τ = N ∂τ 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ ε e−βε +2ε e−2βε 1 2 ∂ = −β N β≡ τ ∂β 1 + e−βε + e−2βε 2 −βε −ε e −4ε2 e−2βε 1 + e−βε + e−2βε − ε e−βε +2ε e−2βε −ε e−βε −2ε e−2βε 2 = −β N 2 (1 + e−βε + e−2βε ) e−βε +4 e−2βε + e−3βε = β 2 ε2 N 2 (1 + e−βε + e−2βε ) CV ≡ = N ε2 e−ε/τ +4 e−2ε/τ + e−3ε/τ 2 τ2 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ :והוא נראה כך CV ê N 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 2 4 6 8 10 eêt :1 ולכן האקספוננטים הם בקירובε/τ → 0 נקבלτ ε בגבול CV → N ε2 1 + 4 + 1 2N ε2 = τ 2 (1 + 1 + 1)2 3τ 2 : ולכן האקספוננטים מתאפסים בקירובε/τ → ∞ נקבלτ ε בגבול CV = N ε2 e−ε/τ 1 + 4 e−ε/τ + e−2ε/τ N ε2 e−ε/τ 2 → 2 τ τ2 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ 8
