ניסוח בעיות תכנון לינארי

‫ניסוח בעיות תכנון ליניארי‬
‫בעיית ייצור – חלק ‪1‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫יצרן מייצר מכנסיים וג'קטים‪.‬‬
‫יש ברשות היצרן ‪ 750‬מ"ר בד כותנה ואלף מ"ר פוליאסטר‪.‬‬
‫עבור כל זוג מכנסיים נדרש ‪ 1‬מ"ר בד כותנה ו‪ 2-‬מ"ר פוליאסטר‪.‬‬
‫עבור כל ג'קט נדרש ‪ 1.5‬מ"ר בד כותנה ו‪ 1-‬מ"ר פוליאסטר‪.‬‬
‫על היצרן לייצר לפחות ‪ 2‬זוגות מכנסיים על כל ג'קט‪.‬‬
‫הרווח ממכירת זוג מכנסיים הוא ‪ $40‬והרווח ממכירת ג'קט הוא ‪.$50‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫במפעלי המלח בים המלח יש שני ספקים של סלעים המכילים גבישי מלח‪ .‬עיבוד טון סלע מספק א' עולה ‪$20‬‬
‫ועיבוד טון סלע מספק ב' עולה ‪ .$10‬גובה ההוצאה המותרת ביום הוא ‪ , $80‬לכל היותר‬
‫ניתן להפיק ‪ 2000‬ק"ג מלח מכל טון סלע מספק א'‪ ,‬ו‪ 3000-‬ק"ג מלח מכל טון סלע מספק ב'‪.‬‬
‫על המפעל לעבד לפחות ‪ 3‬טון סלע ביום‪.‬‬
‫נדרש כי משקל הסלע שמגיע מספק ב' לא תעלה על ‪ 60%‬ממשקל הסלע הכולל משני הספקים‪.‬‬
‫המפעל מעוניין למקסם את כמות המלח המופק ביום‪.‬‬
‫בעיית ייצור – חלק ‪2‬‬
‫מפעל מפיץ לאוויר ‪ 2‬מזהמים‪ ,A :‬ו‪.B -‬‬
‫חוקי הסביבה החדשים דורשים מהמפעל להפחית את כמות המזהמים הנפלטים לאוויר בכמות מינימלית‬
‫שנתית‪ ,‬במשך חמש השנים הקרובות‪:‬‬
‫המזהם‬
‫כמות מינימאלית להפחתה‬
‫(מיליון ליטרים בשנה)‬
‫‪A‬‬
‫‪70‬‬
‫‪B‬‬
‫‪90‬‬
‫הזיהום ניתן להפחתה ע"י שלושה מכשירים שונים וכמובן שניתן להפעיל מספר מכשירים בו זמנית‪.‬‬
‫כל מכשיר מסוגל להפחית כמות מסוימת של מזהם‪ 60 ,40 :‬ו ‪ 80‬מיליון ליטרים בשנה‪ ,‬בהתאמה ולכל מכשיר‪.‬‬
‫ישנה עלות משתנה עפ"י הנתונים בטבלה הבאה‪:‬‬
‫עלות הפעלת מכשיר ‪2‬‬
‫עלות הפעלת מכשיר ‪3‬‬
‫המזהם עלות הפעלת מכשיר ‪1‬‬
‫(אלפי ‪ ₪‬למיליון ליטרים)‬
‫(אלפי ‪ ₪‬למיליון ליטרים)‬
‫(אלפי ‪ ₪‬למיליון ליטרים)‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫בנוסף‪ ,‬על כל ‪ 3‬מיליון ליטרים מזהם ‪ A‬שנפחית ע"י מכשיר ‪ ,1‬יש להפחית לכל הפחות ‪ 2‬מיליון ליטרים של‬
‫מזהם ‪ B‬ע"י מכשיר ‪.3‬‬
‫נסח את הבעיה כבעיית תכנון ליניארי‪.‬‬
‫בעיית ייצור – חלק ‪3‬‬
‫יצחק מתמחה בייצור פסטות‪.‬‬
‫יצחק משתמש בקמח מלא‪ ,‬קמח לבן ובשעות מכונה לייצור שלושה סוגים של פסטות‪.‬‬
‫לייצור ק"ג פסטה פוזילי נדרשים ‪ 400‬גרם קמח מלא‪ 300 ,‬גרם קמח לבן ו‪ 22 -‬דקות עיבוד במכונה‪ .‬לייצור‬
‫ק"ג פסטה טורטינלי נדרשים ‪ 400‬גרם קמח מלא‪ 100 ,‬גרם קמח לבן ו‪ 30 -‬דקות עיבוד במכונה‪ .‬לייצור ק"ג‬
‫פסטה ספגטי נדרשים ‪ 300‬גרם קמח מלא‪ 400 ,‬גרם קמח לבן ו‪ 18 -‬דקות עיבוד במכונה‪.‬‬
‫בכל שבוע יכול יצחק לרכוש עד ‪ 45‬ק"ג קמח מלא במחיר של ‪ ₪ 1.8‬לק"ג ועד ‪ 50‬ק"ג קמח לבן במחיר של‬
‫‪ ₪ 2.1‬לק"ג‪.‬‬
‫בכל שבוע ניתן להפעיל את המכונה למשך ‪ 60‬שעות‪ ,‬כאשר עלות הפעלת המכונה היא ‪ ₪ 0.4‬לדקה‪.‬‬
‫פסטה פוזילי נמכרת במחיר של ‪ ₪ 10.7‬לק"ג‪ .‬פסטה טורטינלי נמכרת במחיר של ‪ ₪ 13.7‬לק"ג‪ .‬פסטה‬
‫ספגטי נמכרת במחיר של ‪ ₪ 8.7‬לק"ג‪.‬‬
‫ליצחק חוזה עם חנות "טבע"‪ ,‬לפיו בכל שבוע חייב יצחק לספק לחנות "טבע" לפחות ‪ 10‬ק"ג של פסטה פוזילי‪.‬‬
‫יצחק מוכר כל כמות פסטה שהוא מייצר‪.‬‬
‫נסח את הבעיה כבעיית תכנון לינארי‪.‬‬
‫בעיית ייצור‪ -‬דוגמה נוספת‬
‫חברה מייצרת מראות זכוכית בשלושה גדלים‪ ,‬קטנה‪ ,‬בינונית וגדולה‪.‬‬
‫נתוני הייצור מופיעים בטבלה הבאה‪:‬‬
‫קטנה‬
‫‪ 900‬סמ"ר‬
‫‪ 120‬ס"מ‬
‫‪ 20‬דקות‬
‫‪ 80‬ש"ח‬
‫סוג מראה‬
‫גודל מראה‬
‫היקף מסגרת‬
‫זמן הרכבה‬
‫מחיר מכירה‬
‫בינונית‬
‫‪ 1500‬סמ"ר‬
‫‪ 160‬ס"מ‬
‫‪ 30‬דקות‬
‫‪ 100‬ש"ח‬
‫גדולה‬
‫‪ 2500‬סמ"ר‬
‫‪ 200‬ס"מ‬
‫‪ 50‬דקות‬
‫‪ 150‬ש"ח‬
‫ניתן לרכוש לכל היותר ‪ 400000‬סמ"ר זכוכית בשבוע ‪ ,‬במחיר ‪ ₪ 5‬לכל ‪ 100‬סמ"ר ו‪ 720‬מ' רצועות עץ‬
‫למסגרת‪ ,‬במחיר ‪ ₪ 12‬למטר‪ .‬ברשות המפעל ‪ 120‬שעות עבודה בשבוע‪.‬‬
‫נדרש שמראות גדולות יהוו לפחות ‪ 20%‬מהייצור השבועי ‪ ,‬ועל כל ‪ 3‬מראות קטנות שמייצרים‪ ,‬יש לייצר‬
‫לפחות מראה אחת בינונית‪.‬‬
‫נסח את הבעיה כבעיית תכנון ליניארי‪.‬‬
‫משתנים בינאריים – חלק ‪1‬‬
‫חברה בודקת מהו שילוב הפרויקטים שכדאי לה לקבל על עצמה לשנה הקרובה‪ .‬מוצעים ‪ 4‬ארבעה פרויקטים‬
‫שונים‪.‬‬
‫( אלפי שקלים)‬
‫זמן נדרש‬
‫לביצוע‬
‫(חודשים)‬
‫פרויקט‬
‫רווח עתידי‬
‫פרויקט ‪1‬‬
‫‪700‬‬
‫‪4‬‬
‫פרויקט ‪2‬‬
‫‪500‬‬
‫‪3‬‬
‫פרויקט ‪3‬‬
‫‪650‬‬
‫‪6‬‬
‫פרויקט ‪4‬‬
‫‪750‬‬
‫‪5‬‬
‫סוגים של אילוצים‪:‬‬
‫המגבלה‪ :‬נדרש לקבל את פרויקט ‪ 1‬וגם את פרויקט ‪.2‬‬
‫המגבלה‪ :‬נדרש לקבל את פרויקט ‪ 1‬או את פרויקט ‪ , 2‬או את שניהם‪.‬‬
‫המגבלה‪ :‬נדרש לקבל את פרויקט ‪ 1‬או פרויקט ‪ ,2‬אך לא את שניהם‪:‬‬
‫המגבלה‪ :‬אם מקבלים את פרויקט ‪ ,1‬אז יש לקבל את פרויקט ‪.3‬‬
‫המגבלה‪ :‬יש לקבל לפחות ‪ 2‬פרויקטים‬
‫המגבלה‪ :‬יש לקבל לכל היותר ‪ 3‬פרויקטים‬
‫המגבלה‪ :‬במידה ויוחלט לקבל את פרויקט ‪ 4‬תידרש השקעה של ‪ ₪ 100,000‬בציוד מתאים‪.‬‬
‫משתנים בינאריים – חלק ‪2‬‬
‫יצרן מייצר מיץ תפוזים‪ ,‬ענבים ותפוחים על ידי שלושה גורמי ייצור‪ :‬שעות עבודה‪ ,‬פרי‪ ,‬ושעות מכונה‪.‬‬
‫נתוני הייצור השבועי והתמחיר נתונים בטבלה שלהלן‪:‬‬
‫מיץ‬
‫תפוזים‬
‫(ליטר)‬
‫מיץ ענבים‬
‫(ליטר)‬
‫מיץ‬
‫תפוחים‬
‫(ליטר)‬
‫מחיר ליטר מיץ (ש"ח)‬
‫‪15‬‬
‫‪18‬‬
‫‪12‬‬
‫מגבלת‬
‫גורם ייצור‬
‫לשבוע‪.‬‬
‫עלות יחידת‬
‫גורם ייצור‬
‫שעת עבודה‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 160‬שעות‬
‫‪ 20‬ש"ח‬
‫שעות מכונה‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪200‬‬
‫ (ללא‬‫עלות)‬
‫כמויות הפירות הנדרשות‪ ,‬ועלותן מסוכמות להלן‪:‬‬
‫עלות לק"ג‬
‫סוג מיץ‬
‫כמות פרי (ק"ג) לליטר‬
‫תפוזים‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ענבים‬
‫‪4.5‬‬
‫‪7‬‬
‫תפוחים‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫(‪)₪‬‬
‫הפירות מאוחסנות בחדר קירור עד לעיבודם‪ .‬חדר הקירור יכול להכיל ‪ 288‬ק"ג פירות‪ .‬יש אפשרות לשכור‬
‫חדר קירור נוסף בעלות של ‪ ₪ 500‬לשבוע‪.‬‬
‫חדר הקירור הנוסף יוכל להכיל כמות של ‪ 150‬ק"ג של פרי‪.‬‬
‫נסח את הבעיה כבעיית תכנון לינארי‪.‬‬
‫משתנים בינאריים – חלק ‪3‬‬
‫מפעל מייצר ארבעה מוצרים שונים‪. 1,2,3,4:‬‬
‫הרווח ממכירת יחידה ממוצר ‪ 1‬הוא ‪ 10‬ש"ח ‪ ,‬וכן ‪ 14‬ש"ח ‪ 17 ,‬ש"ח‪ 8 ,‬ש"ח ליחידה ממוצרים ‪4,3,2‬‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫מנהל המפעל הורה שמעכשיו יש לייצר לכל היותר ‪ 3‬סוגים של מוצרים‪ ,‬אך אם מייצרים את מוצר ‪ ,3‬חייבים‬
‫לייצר גם את מוצר ‪ ,4‬כמוצר משלים‪.‬‬
‫למפעל מחסן בגודל ‪ 50‬מ"ר בו מאחסנים את כל התוצרת של השבוע האחרון‪ .‬השטח שתופסת יחידה אחת‬
‫ממוצר ‪ 4,3,2,1‬הוא ‪ 0.3 ,0.5 ,0.15 ,0.1‬מ"ר‪ ,‬בהתאמה‪.‬‬
‫אפשר לייצר את כל סוגי המוצרים בכל אחת משתי מכונות‪ ,‬מכונה ‪ X‬ומכונה ‪.Y‬‬
‫הזמן (בדקות) הנדרש ליצור יחידה אחת מכל מוצר במכונות השונות מסוכם בטבלה‪:‬‬
‫מכונה ‪ X‬פועלת ‪ 50‬שעות בשבוע ומכונה ‪ Y‬פועלת ‪ 35‬שעות‬
‫בשבוע‪.‬‬
‫משתנים בינאריים – דוגמה נוספת‬
‫מפעל מייצר ‪ 3‬מוצרים ‪. C,B,A‬‬
‫את מוצר ‪ C‬ניתן למכור או להשתמש בו כחומר גלם ליצור מוצרים ‪ A‬ו ‪.B‬‬
‫במפעל ‪ 3‬מחלקות‪ :‬יצור‪ ,‬גימור ואריזה‪ .‬במחלקת יצור ‪ 4000‬שעות עבודה בחודש‪ ,‬במחלקת גימור ‪4000‬‬
‫שעות עבודה בחודש ובמחלקת אריזה ‪ 2000‬שעות עבודה בחודש‪.‬‬
‫כל אחת מיחידות המוצרים ‪B ,A‬ו ‪ C‬דורשת שעות עבודה (פר יחידה) בכל אחת מהמחלקות לפי הטבלה‬
‫הבאה‪:‬‬
‫מוצר‬
‫מחלקת יצור‬
‫מחלקת גימור‬
‫מחלקת אריזה‬
‫יחידות חומר גלם ‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪( C‬למכירה)‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪( C‬חומר גלם)‬
‫‪3‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫נתונים נוספים‪:‬‬
‫מוצר‬
‫עלות עבודה ליחידת מוצר‬
‫מחלקת יצור‬
‫מחלקת גימור‬
‫מחלקת אריזה‬
‫מחיר מכירה‬
‫‪A‬‬
‫‪70‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪530‬‬
‫‪B‬‬
‫‪50‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪280‬‬
‫‪C‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪103‬‬
‫שים לב‪ :‬יחידות מוצר ‪ C‬המשמשות כחומר גלם דורשות עיבוד במחלקת היצור בלבד‪.‬‬
‫נדרש כי לפחות ‪ 40%‬מיחידות ‪ C‬שמיוצרות‪ ,‬יהיו למכירה‪.‬‬
‫ניתן למכור‪ ,‬לכל היותר ‪ 2‬סוגים של מוצרים‪.‬‬
‫המפעל מעוניין להביא למקסימום את הרווח החודשי‪.‬‬
‫נסח את הבעיה כבעיית תכנון לינארי‪.‬‬
‫שאלת חזרה‪ -‬בעיית ייצור עם משתנים בינאריים‬
‫חברה מייצרת ‪ 3‬מוצרים וכל יחידת מוצר צריכה לעבור שלושה שלבי ייצור‪ :‬עיבוד‪ ,‬גימור והרכבה‪.‬‬
‫נתוני הבעיה בטבלה הבאה‪:‬‬
‫זמן עיבוד (שעות)‬
‫זמן גימור (שעות)‬
‫זמן הרכבה(שעות)‬
‫עלות הקמה‬
‫רווח ליחידה‬
‫מוצר ‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪600‬‬
‫‪30‬‬
‫מוצר ‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪800‬‬
‫‪46‬‬
‫מוצר ‪C‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪700‬‬
‫‪37‬‬
‫סך שעות עבודה‬
‫‪600‬‬
‫‪300‬‬
‫‪400‬‬
‫נתון גם שאם מייצרים את מוצר ‪ ,B‬אין לייצר את מוצר ‪.C‬‬
‫נסח את הבעיה כבעיית תכנון ליניארי‪.‬‬
‫בעיית תובלה‬
‫מפעל מייצר מוצר מסוים בשלושה מפעלים שונים‪ .‬עלות הייצור היא ‪ ₪ 22 ,₪ 20‬ו‪ ₪ 19-‬וקיבולת הייצור‬
‫‪ 400 ,300‬ו‪ 200-‬יחידות במפעל ‪ ,1‬מפעל ‪ 2‬ומפעל ‪ ,3‬בהתאמה‪.‬‬
‫יש ביקוש ל‪ 100‬יחידות‪ 150 ,‬יחידות‪ 150 ,‬יחידות ו‪ 500-‬יחידות בחנות ‪ ,A‬חנות ‪ ,B‬חנות ‪ C‬וחנות ‪, D‬‬
‫בהתאמה‪ ,‬כאשר עלות הובלת יחידת מוצר מכל מפעל לכל חנות נתונה בטבלה‪.‬‬
‫מפעל ‪1‬‬
‫מפעל ‪2‬‬
‫מפעל ‪3‬‬
‫חנות ‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫חנות ‪B‬‬
‫‪11‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫חנות ‪C‬‬
‫‪9‬‬
‫‪13‬‬
‫‪8‬‬
‫חנות ‪D‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪14‬‬
‫נסח את הבעיה כבעיית תכנון ליניארי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫האם יש אילוצים נוספים שיכולים להכריח שימוש במשתנים בינאריים גם בבעיית תובלה?‬