בטופולוגיה אלגברית מושגי יסוד

‫מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית‬
‫מועד א‪ ,‬סמסטר ב‪2001-02 ,‬‬
‫המרצה‪ :‬דרור בר‪-‬נתן‬
‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪ :‬אין‪.‬‬
‫בהקשר לבחינה זו‪ ,‬חיבור על נושא מתמטי צריך להכיל מידע משמעותי )אך לאו דווקא מלא( על הניסוח המדויק‪ ,‬הסיבה )או‬
‫הסיבות( שבזכותן יש בנושא עניין‪ ,‬על תמצית ועיקר ההוכחה ועל דוגמאות לשימוש‪ .‬מטרת החיבור היא לשכנע את בודק‬
‫הבחינה שכותב‪/‬ת החיבור הבין‪/‬ה לעומקו את הנושא שבו מדובר ויודע‪/‬ת להפריד בין עיקר לתפל‪.‬‬
‫אנא שמור‪/‬שמרי על כתב יד קריא ומסודר!‬
‫ענה‪/‬י על ‪ 3‬מתוך ‪ 4‬השאלות הבאות‪) :‬לכל שאלה חלק ראשון השווה ‪ 30‬נקודות וחלק שני השווה ‪ 10‬נקודות(‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬כתוב‪/‬י חיבור על הקשר בין החבורה היסודית של מרחב טופולוגי לבין ההומולוגיה הראשונה שלו‪.‬‬
‫ב‪ .‬כפי שראינו באחד התרגילים‪ ,‬ישנו דו‪-‬כיסוי )‪ . SU ( 2) ≅ S → SO (3‬חשב‪/‬י את ))‪. H1 ( SO (3‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪ .‬יהי ‪ p : X → B‬כיסוי‪ .‬כתוב‪/‬י חיבור על קיום ויחידות של הרמות אל ‪ X‬של מיפויים ‪f : Y → B‬‬
‫ב‪ .‬יהי ‪ X 3‬המרחב‬
‫‪2πi‬‬
‫‪+iθ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪X 3 := {z ∈ C: z ≤ 1}/ e ~ e‬‬
‫~‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מהמבחן לדוגמא‪ .‬מצא‪/‬י מיפוי ‪ f : X 3 → RP‬שאין לו הרמה ‪ f : X 3 → S‬לכיסוי האוניברסאלי‬
‫‪p : S 2 → RP 2‬‬
‫‪iθ‬‬
‫‪2‬‬
‫של ‪ . RP‬לחילופין‪ ,‬הסבר‪/‬הסבירי מדוע אין מיפוי ‪ f‬כזה‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪ .‬כתוב‪/‬י חיבור על האינוואריאנטיות תחת הומוטופיה של הומולוגיה‪.‬‬
‫ב‪ .‬יהי ‪F : T 2 → T 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫של מעגלים‪ , T = S × S ,‬וכאשר‬
‫המיפוי המוגדר ע"י ) ‪ , ( z1 , z 2 ) a ( z 2 , z1‬כאשר לצורך ההגדרה חושבים על הטורוס כמכפלה‬
‫הזהות‬
‫‪2‬‬
‫‪ z1, 2‬הם קואורדינאטות במעגלים הללו‪ .‬האם המיפוי ‪ F‬הומוטופי למיפוי‬
‫‪? Id : T → T‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫א‪ .‬כתוב‪/‬י חיבור על הדרגה של מיפוי ‪→ S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬נשכן את‬
‫‪ C‬בתור הקבוצה‬
‫‪ S‬בתוך‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.S‬‬
‫}‪+ | z2 | = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫| ‪{( z , z ) : | z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ונגדיר‬
‫‪3‬‬
‫‪f :S →S‬‬
‫‪3‬‬
‫ע"י‬
‫‪ z13 z2 −5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . ( z1 , z2 ) a ‬מהי דרגת המיפוי ‪? f‬‬
‫‪ | z |2 , | z |4 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫משועמם‪/‬ת? מה יש פעם ביום ופעמיים בחיים? )ללא ניקוד(‬
‫בהצלחה‪.‬‬