docQuadratic Forms
download 
Report Transcription
Quadratic Forms
מבוא לתבניות ריבועיות
עוזי וישנה
16בנובמבר 2014
1.57ריבועיות
לתבניות
מבוא
מהדורה
הקדמה .לתורה של תבניות ריבועיות יש היבטים אלגבריים ,אריתמטיים וגאומטריים .נציג כמה
מהמשפטים היפים של התאוריה הזו על קצה המזלג .ידע מוקדם נדרש :בדרך כלל די בהבנה טובה
של אלגברה לינארית ובמושגי יסוד מתורת החוגים .לפרקים יש צורך בידע מתקדם יותר מתורת
השדות ,מאלגברה )למשל מכפלה טנזורית( ,הכרת חבורות קוהומולוגיה ,או יסודות תורת המספרים
האלגברית .על הפרקים הדורשים ידע מתקדם אפשר לדלג בדרך כלל ללא פגיעה בנושאים המוצגים
מאוחר יותר.
החומר מבוסס ברובו על כמה מקורות ,[2] ,[4] ,[10] ,[7] ,[14] :ובעיקר המבוא המצוין ].[9
עוזי וישנה8.2014 ,
2
תוכן עניינים
1
מרחבים ריבועיים
1.1תבניות ריבועיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מרחב ריבועי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
הצגה באמצעות מטריצות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2
1.2הצורה האלכסונית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3אורתוגונליות וסכום אורתוגונלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4תבניות רגולריות ולא רגולריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1מרחבים לא רגולריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5הכללות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1מאפיין . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5.2תבניות הרמיטיות מעל אלגברה פשוטה . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3תבניות לא סימטריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4תבניות מעל חוגים קומוטטיביים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5כיוונים נוספים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
8
8
9
9
10
11
11
11
11
11
11
2
המבנה של תבניות ריבועיות
2.1תבניות היפרבוליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2המרכיב האנאיזוטרופי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
איזומטריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
משפט הצמצום של ויט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2
2.3חוג ויט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1שקילות של תבניות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2פעולות בין תבניות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3חוג ויט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4האידיאל היסודי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4תבניות תחת הרחבת שדות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1העתקת הצמצום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2הרחבות ריבועיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3הטרנספר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4הרחבות מממד אי־זוגי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5משפט שפרינגר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5גורמי דמיון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
14
14
16
16
16
17
17
18
19
19
19
20
22
23
24
3
האינווריאנטים הראשונים
3.1זוגיות הממד . . . . . . .
3.2הדטרמיננטה . . . . . .
3.3הדיסקרימיננטה . . . . .
3.3.1תבניות בינאריות
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
25
26
27
3
תוכן עניינים
תוכן עניינים
3.3.2יוצרים ויחסים לחוג ויט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אלגברות קליפורד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1אלגברות פשוטות מרכזיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2חבורת בראוור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3אינוולוציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4קווטרניונים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5אלגברת קליפורד של תבנית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6חישוב אלגברת קליפורד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.7אלגברת קליפורד כאינווריאנט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.8חבורת הספין והנורמה הספינורית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
29
29
30
30
31
32
33
35
36
4
האינווריאנטים הגבוהים
4.1תורת־ Kשל חוגים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1מודולים פרוייקטיביים ו־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K0
4.1.2מטריצות לא אלמנטריות ו־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K1
4.1.3יחסים אלמנטריים ו־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K2
4.2חבורות Kשל מילנור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1העתקת השארית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3השערת מילנור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4השערת מילנור ל־. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 2
39
39
39
39
40
41
42
43
45
5
ותבניות
שדות סדורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
שדות ניתנים לסידור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1
סימן סילבסטר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
שדות פיתגוריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מרחב הסידורים של שדה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הסימן הגלובלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1חוג ויט של שדה לא־ממשי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2חוג ויט של שדה אוקלידי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3הגרעין של הסימן הגלובלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4הקו־גרעין של הסימן הגלובלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
49
50
51
52
53
53
54
54
55
6
תבניות פיסטר
6.1נוסחאות מכפלה . . . .
6.2ערכים של תבנית . . . .
6.3הצגות של תבניות פיסטר
6.4המשפטים המרכזיים . .
6.5רמה של שדה . . . . . .
6.6בוני פיתול . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
57
57
59
59
61
61
62
7
שיטות גנריות
7.1ערכים פולינומיים של תבנית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
פרמטריזציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1
ערכים פולינומיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2
7.1.3סכום הריבועים הגנרי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2ערכים גנריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3שדה הפונקציות של תבנית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1התבנית מעל שדה הפונקציות של עצמה . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
63
64
66
66
68
68
3.4
סדר
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
תוכן עניינים
תוכן עניינים
7.3.2התפצלות מעל שדה פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מסנן החזקות של ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I(F
68
70
8
אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
8.1תבניות מעל שדות סופיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2תבניות מעל שדות מקומיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1שדות עם הערכה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2שדות שלמים ושדות מקומיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3תבניות מעל חוג השלמים בשדה שלם . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4חוג ויט של שדה שלם . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.5חוג ויט של שדות מקומיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3תבניות מעל שדות גלובליים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4תבניות מעל חוגי דדקינד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1חוגי דדקינד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2הגנוס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3הגנוס הספינורי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4סריגים מעל חוגי דדקינד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.5תבניות וסריגים חופשיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.6אינווריאנטים אריתמטיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.7מודולריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.8סריגים מקסימליים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
71
72
72
72
74
76
77
78
80
80
80
81
82
83
83
84
84
9
מטלות לסוף הקורס
85
7.4
5
תוכן עניינים
תוכן עניינים
6
פרק 1
מרחבים ריבועיים
1.1
תבניות ריבועיות
1.1.1
מרחב ריבועי
יהי Fשדה.
הגדרה 1.1.1מרחב ביליניארי מעל Fהוא זוג סדור ) ,(V, bשהרכיב הראשון שלו הוא מרחב וקטורי Vמממד
סופי מעל ,Fוהשני הוא תבנית בילינארית .b : V × V →Fאם b : V × V →Fהיא תבנית בילינארית,
) q(x) = b(x, xנקראת התבנית הריבועית המושרית על־ידי ,bוהזוג ) (V, qנקרא מרחב ריבועי.
במאפיין שונה מ־ ,2כל תבנית ריבועית מושרית על־ידי תבנית בילינארית סימטרית )כלומר
) .(b(x, y) = b(y, xתבנית זו היא יחידה ,משום שאפשר לשחזר מ־ qבאמצעות הנוסחה הפולרית
1
b(x, y) = (q(x + y) − q(x) − q(y)).
2
)במאפיין 2לא כל תבנית ריבועית מושרית על־ידי תבנית סימטרית; לדוגמאq(x1 , x2 ) = x1 x2 ,
אינה מושרית על־ידי תבנית בילינארית סימטרית .יתרה מזו ,יתכן ששתי תבניות בילינאריות
סימטריות תשרנה את אותה תבנית ריבועית :למשל b((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y2 + x2 y1ותבנית
האפס שתיהן משרות את התבנית הריבועית .q(x1 , x2 ) = 0זהו רק היבט אחד שבו התאוריה
מסתבכת במאפיין (.2
המרחבים הריבועיים הם אובייקטים בקטגוריה ,שהמורפיזמים שלה הם העתקות לינאריות
σ : V →V ′המקיימות .q ′ ◦ σ = qמורפיזם כזה הוא איזומורפיזם אם σהפיך )כהעתקה לינארית(,
ובמקרה זה qו־ q ′קובעים זה את זה .האוטומורפיזמים של ) (V, qהם ההעתקות הלינאריות ההפיכות
σ : V →Vהשומרות על .q
אחת הבעיות הטבעיות של התאוריה היא למיין מרחבים ריבועיים )ותבניות( עד כדי איזומורפיזם.
המבנים שנציג בהמשך מאפשרים לארגן את התבניות ולענות על השאלה הזו במידה רבה של פירוט.
לשם הקיצור ,אם ) (V, qהוא מרחב ריבועי ,לפעמים נתייחס ל־ Vאו ל־ qבתור מרחב ריבועי .בפרט,
מגדירים את הממד של התבנית qלהיות הממד של .V
n
יש דוגמאות רבות למרחבים ריבועיים .בחקירת פונקציות ממשיות ,R →Rהתנהגות הפונקציה
בנקודה קריטית נקבעת על־ידי התבנית הריבועית שמגדירה הנגזרת השניה .כך גם במשוואות
דיפרנציאליות .אם Rאלגברה מממד סופי מעל שדה Fאז יש לה שיכון ) ,R ,→ Mn (Fופונקציית
עקבה tr : R→Fהמושרית על־ידי השיכון הזה .לתבנית הריבועית ) q(x) = tr(x2יש קשר למבנה
של האלגברה ,ובמקרים מיוחדים היא אפילו קובעת אותו.
7
.1.2הצורה האלכסונית
1.1.2
פרק .1מרחבים ריבועיים
הצגה באמצעות מטריצות
יהי Vמרחב וקטורי מממד סופי ,עם בסיס .Bהבסיס מגדיר איזומורפיזם טבעי V →F nלפי
המעבר לווקטור קואורדינטות . x 7→ [x]B ,ברוח זו ,כל תבנית בילינארית b : V × V →Fאפשר
לייצג באמצעות מטריצה ) ,A ∈ Mn (Fלפי הנוסחה .b(x, y) = [x]B t A[y]Bאומרים ש־ Aהיא
המטריצה המייצגת של ) bושל ) (q(x) = b(x, xלפי הבסיס ,Bומסמנים .[b]B = Aהתבנית b
סימטרית אם ורק אם המטריצה המייצגת אותה היא סימטרית.
כללי לפי קואורדינטות x = x1 v1 + · · · + xn vnו־ ,y = y1 v1 + · · · + yn vn
כשמציגים וקטור ∑
התבנית הריבועית המושרית על־ידי bמקבלת צורה של
ואילו
,b(x,
)y
=
התבנית היא aij xi yj
∑
= ).q(x
פולינום ריבועי הומוגני ב־ nמשתניםaij xi xj ,
החופש בבחירת הבסיס מאפשר להציג את אותה תבנית בדרכים רבות; המעבר מבסיס לבסיס
כמוהו כהפעלת החלפת משתנים לינארית )הפיכה( על המשתנים .x1 , . . . , xnכיצד משפיעה החלפת
הבסיס?
M = [I]Bמטריצת המעבר בין הבסיסים B, B ′של .Vאז
טענה 1.1.2תהי B ′
[b]B = M t [b]B ′ M.
הוכחה .לכל .M [x]B = [x]B ′ ,x ∈ Vכעת ,לכל ,x ∈ V
b(x, y) = [x]B ′ t [b]B ′ [y]B ′ = [x]B t (M t [b]B ′ M )[y]B = [x]B t [b]B [y]B .
בעקבות זאת ,נאמר ששתי מטריצות ) A, A′ ∈ Mn (Fהן חופפות אם יש ) P ∈ GLn (Fכך
ש־ .A = P t A′ Pזה כמובן יחס שקילות.
מסקנה 1.1.3שתי מטריצות מייצגות את אותה תבנית ריבועית ,בבסיסים שונים ,אם ורק אם הן חופפות.
אם כך ,בעיית המיון של תבניות ריבועיות )עד כדי איזומורפיזם( מעל מרחב וקטורי n־ממדי
שקולה לבעיה של מיון המטריצות הסימטריות בגודל n×nעד כדי חפיפה .השאלה האם שתי תבניות
הן איזומורפיות כמוה כשאלה האם שתי מטריצות הן חופפות.
1.2
הצורה האלכסונית
משפט 1.2.1מעל שדה ממאפיין שונה מ־ ,2כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית .במלים אחרות ,כל
תבנית ריבועית אפשר להציג בצורה אלכסונית.
בעיה 1.2.2כתוב הוכחה מלאה למשפט ההצגה האלכסונית ,משפט .1.2.1
∑
הריבועית αi x2i
הגדרה 1.2.3את התבנית
α1 · · · 0
האלכסונית ..
..
, ...מסמנים ב־⟩ .⟨α1 , . . . , αn
.
.
0 · · · αn
= ) ,q(x1 , . . . , xnשהמטריצה המייצגת שלה היא המטריצה
בפרט ⟨a⟩ ,מציין את התבנית q(x) = ax2על המרחב החד־ממדי .Fהבה נמיין את התבניות
מממד :1
8
.1.3אורתוגונליות וסכום אורתוגונלי
פרק .1מרחבים ריבועיים
טענה 1.2.4התבניות ⟩ ⟨aו־⟩ ⟨a′איזומורפיות אם ורק אם × .aF × = a′ F
2
2
הוכחה .אכן ,החלפת בסיס במרחב החד־ממדי פירושה כפל של איבר הבסיס בסקלר שונה מאפס ,כלומר מעבר לנציג
2
אחר במחלקה של המנה × .{0} ∪ F × /F
תרגיל 1.2.5תן דוגמא נגדית )מממד (2למשפט 1.2.1במאפיין .2
בעיה 1.2.6הראה שבמאפיין ,2כל תבנית רגולרית איזומטרית לסכום של תבניות חד־ממדיות
ודו־ממדיות.
1.3
אורתוגונליות וסכום אורתוגונלי
תהי bתבנית בילינארית סימטרית .אומרים ששני תת־מרחבים V1 , V2 ⊆ Vהם אורתוגונליים זה
לזה )ביחס ל־ ,(bאם .b(V1 , V2 ) = 0אם המרחבים V1 , V2אורתוגונליים זה לזה ו־ ,V = V1 ⊕ V2
אז אפשר לחשב את התבנית bמן הצמצום שלה b1 , v2ל־ ,V1 , V2מכיוון ש־
;) b(v1 ⊕ v2 , v1′ ⊕ v2′ ) = b(v1 , v1′ ) + b(v2 , v2′ ) = b1 (v1 , v1′ ) + b2 (v2 , v2′
)(1.1
במקרה כזה אומרים ש־) (V, bהוא סכום אורתוגונלי )או סתם סכום ישר( של ) (V1 , b|V1ו־) .(V2 , b|V2
אם B1ו־ B2הם בסיסים של V1 , V2בהתאמה ,אז B1 ∪ B2הוא בסיס של ,V = V1 ⊕ V2והמטריצה
המייצגת של b = b1 ⊥ b2היא
(
)
[b1 ]B1
0
= [b]B1 ∪B2 = [b1 ]B1 ⊕ [b2 ]B2
.
0
[b2 ]B2
את הפירוק הפנימי הזה אפשר לחקות גם בדרך של בניה חיצונית .יהיו ) (V1 , b1ו־) (V2 , b2
מרחבים ריבועיים; הסכום האורתוגונלי )החיצוני( שלהם מוגדר על המרחב V1 ⊕ V2לפי הנוסחה
(b1 ⊥ b2 )(v1 ⊕ v2 , v1′ ⊕ v2′ ) = b1 (v1 , v1′ ) + b2 (v2 , v2′ ).
בתוך המרחב החדש V1 , V2 ,הם תת־מרחבים אורתוגונליים .לפעמים כותבים ישירות את הסכום של
התבניות הריבועיות המתאימות q ⊥ q ′ :היא התבנית הריבועית על המרחב V ⊕ V ′המוגדרת לפי
) .(q ⊥ q ′ )(x, x′ ) = q(x) + q ′ (x′התבנית qנקראת תת־תבנית של .q ⊥ q ′
תורת ההצגות רומזת שעלינו ללמוד את תת־המרחבים האי־פריקים ,כלומר אלו שאי אפשר לפרק
אותם לסכום אורתוגונלי של תת־מרחבים .אלא שלפי הסעיף הקודם ,גישה זו אינה מוצלחת :במאפיין
שונה מ־ ,2כל תבנית אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של תבניות חד־ממדיות ,והפירוק הזה רחוק
מלהיות יחיד.
1.4
תבניות רגולריות ולא רגולריות
נניח ש־ bתבנית בילינארית סימטרית .לכל תת־מרחב U ⊆ Vמסמנים
U ⊥ = {x ∈ V : b(x, U ) = 0}.
לפי הסימון הזה V1 , V2 ,אורתוגונליים אם ורק אם ⊥) V1 ⊆ V2אם ורק אם ⊥.(V2 ⊆ V1
הרדיקל של המרחב Vעצמו מוגדר כתת־המרחב } .V ⊥ = {x : ∀u ∈ V, b(x, u) = 0אם
,V ⊥ = 0התבנית נקראת רגולרית .כאשר התבנית רגולרית ,עובדות יסודיות באלגברה לינארית
מראות שלכל תת־מרחב .dim(U ) + dim(U ⊥ ) = dim(V ) ,U
9
פרק .1מרחבים ריבועיים
.1.4תבניות רגולריות ולא רגולריות
תרגיל 1.4.1תהי Aמטריצה המייצגת את התבנית הסימטרית .bאז bרגולרית אם ורק אם
.det(A) ̸= 0
תרגיל 1.4.2נניח ש־ ;V = V1 ⊥ V2אז Vרגולרי אם ורק אם V1 , V2רגולריים.
הגדרה 1.4.3אם יש פירוק ,V = U ⊥ U ′כותבים .U ≤ V
טענה 1.4.4נניח ש־ U ⊆ Vהוא תת־מרחב רגולרי של מרחב רגולרי .אז ") .U ≤ Vתת־מרחב רגולרי
של מרחב רגולרי הוא מחובר אורתוגונלי"(.
הוכחה .החיתוך ⊥ U ∩ Uהוא הרדיקל של ,Uהשווה לאפס לפי ההנחה .לפי הרגולריות של ,Vנוסחת הממד נותנת
⊥ .V = U ⊕ Uאבל המרחבים ⊥ U, Uאורתוגונליים ,ולכן זה סכום אורתוגונלי.
כעת נחזור על טענה ,1.2.4עבור תבניות רגולריות:
טענה 1.4.5התבניות הרגולריות החד־ממדיות נמצאות בהתאמה חד־חד־ערכית ועל לחבורה × .F × /F
2
מסקנה 1.4.6מעל ) Cאו כל שדה סגור־ריבועית אחר( ,יש רק תבנית רגולרית חד־ממדית אחת.⟨1⟩ ,
מעל ) Rאו כל שדה סגור־ממשית אחר( ,יש רק שתי תבניות רגולריות חד־ממדיות ⟨1⟩ :ו־⟩.⟨−1
בעיה 1.4.7הגדר וחקור רדיקל שמאלי ורדיקל ימני עבור תבנית בילינארית שאינה בהכרח
סימטרית.
1.4.1
מרחבים לא רגולריים
אם התבנית אינה רגולרית אז אפשר להגדיר על מרחב המנה ⊥ V /Vאת התבנית המושרית
;) b(v + V ⊥ , v ′ + V ⊥ ) = b(v, v ′
זה מוגדר היטב ,ומתקיים
∼ )(V, b
= (V /V ⊥ , b) ⊥ (V ⊥ , 0).
תרגיל 1.4.8מרחב המנה ⊥ V /Vהוא רגולרי.
תרגיל 1.4.9אם ,V = U ⊥ 0כאשר Uרגולרי ו־ 0מייצג מרחב וקטורי )מממד כלשהו(
∼ ⊥ .V /V
שהתבנית הריבועית עליו היא תבנית האפס ,אז = U
מסקנה 1.4.10כל מרחב ריבועי מתפרק באופן יחיד לסכום אורתוגונלי של מרכיב רגולרי ומרכיב אפס.
)
מסקנה 1.4.11כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה מהצורה
(
( )
)
′ 0
A
0
A
′
0 0 ∼ 0 0אז .A ∼ A
A 0
0 0
(
כאשר Aהפיכה.
אם
תרגיל 1.4.12תהי bתבנית בילינארית על המרחב ,Vהמיוצגת על־ידי המטריצה .Aאז ממד
המרכיב הרגולרי ⊥ V /Vשווה לדרגה של .A
10
.1.5הכללות
פרק .1מרחבים ריבועיים
1.5הכללות
)הקורא המתחיל מוזמן לדלג על הסעיף הזה ,שאינו מפורט כקודמיו(.
1.5.1
מאפיין 2
עד כאן הנחנו שמאפיין השדה שונה מ־ .2כדי לכסות את המקרה הכללי ,נתבונן שוב בקשר שבין
תבנית בילינארית לתבנית הריבועית שהיא מגדירה .אומרים שתבנית bהיא מתחלפת אם היא מקיימת
.b(x, x) = 0כל תבנית מתחלפת היא אנטי־סימטרית ,ובמאפיין שונה מ־ ,2המושגים מתלכדים.
תבנית משרה את תבנית האפס אם ורק אם היא מתחלפת ,ולכן המרחב של התבניות הריבועיות על
מרחב נתון הוא מרחב כל התבניות הבילינאריות ,מודולו מרחב התבניות המתחלפות.
ביתר פירוט ,נתבונן בהתאמה b 7→ banכאשר ) .ban (x, y) = b(x, y) − b(y, xהגרעין שלה
) , n(n+1והתמונה שלה מוכלת באוסף התבניות המתחלפות,
הוא מרחב התבניות הסימטריות ,שממדו
2
שממדו
) . n(n−1לפי השוואת ממדים ,הוכחנו שיש סדרה מדוייקת קצרה
2
0 −→ Sym −→ Bil −→ Alt −→ 0.
במאפיין שונה מ־ ,2הסדרה הזו מתפצלת ,ו־ .Bil = Sym⊕Altלעומת זאת במאפיין .Alt ⊆ Sym ,2
1.5.2
תבניות הרמיטיות מעל אלגברה פשוטה
עד כאן דיברנו על תבניות בילינאריות סימטריות מעל שדה .ההכללה המוכרת היא לתבניות
הרמיטיות ,מעל הרחבה ריבועית ) F/F0ובפרט מעל ההרחבה .(C/Rבאופן כללי עוד יותר,
תהי ) (A, σאלגברה פשוטה עם אינוולוציה )ראה סעיפים 3.4.1ו־ ;(3.4.3כלומר Aפשוטה כאלגברה
∼ Aעם האינוולוציה ).(x, y) 7→ (y, x
ומוגדרת עליה אינוולוציה ,או ש־ = B × B op
מרחב ϵ־הרמיטי מעל ) (A, σהוא זוג ) ,(M, hכאשר Mמודול )בהכרח חופשי( מעל Aו־
h : M × M →Aהיא תבנית ססקוי־לינארית המקיימת )) .h(y, x) = ϵσ(h(x, yהתבנית נקראת
הרמיטית אם ,ϵ = 1ואנטי־הרמיטית אם .ϵ = −1המקרה של תבנית בילינארית סימטרית מתקבל
כאשר .A = Fכל אלגברה פשוטה עם אינוולוציה היא מהצורה ) (EndD (V ), adhכאשר adhהיא
האינוולוציה הצמודה ל־ ,hשהיא תבנית ϵ־הרמיטית על Vמעל .D
נניח ש־ Aחוג עם חילוק .אז משפט 1.2.1תקף עבור תבניות ϵ־הרמיטיות מעל ) ,(A, σפרט
∑ .(σ, ϵ) = (id,היינו ,בכל מקרה אחר ,כל תבנית ϵ־הרמיטית אפשר להביא לצורה
למקרה )−1
= ).h(x, y
σ(xi )ai yi
על ההכללה של חוג ויט )שנגדיר מעל שדה בתת־סעיף (2.3.3עבור תבניות הרמיטיות ,ראה
הערה .2.3.14
1.5.3
תבניות לא סימטריות
ראה עבודת הדוקטורט של אוריה פירסט )בעקבות עבודות של Bayer ,Scharlauואחרים(.
1.5.4
תבניות מעל חוגים קומוטטיביים
זה נושא עשיר באלגברה ובאריתמטיקה של חוגים .ראה רמזים בכיוון בפרק ,8והערה .8.3.8
1.5.5
כיוונים נוספים
אתגר 1.5.1הצע תורת מבנה לתבניות טרילינאריות וכדומה.
אתגר 1.5.2הצע תורת מבנה לתבניות מממד אינסופי מעל שדה.
אתגר 1.5.3הצע תורת מבנה למרחבים בילינאריים שהם מרחבי בנך מעל שדה עם הערכה.
11
פרק .1מרחבים ריבועיים
.1.5הכללות
אתגר 1.5.4הצע תורת מבנה לזוגות של תבניות מעל שדה.
)הוכח שאם לתבניות המייוצגות על־ידי המטריצות A, Bיש בסיס שבו שתיהן אלכסוניות,
אז AB −1לכסינה במובן הרגיל .האם הכיוון ההפוך נכון?(
12
פרק 2
המבנה של תבניות ריבועיות
לאור מסקנה ,1.4.10די לנו לעסוק מעתה בתבניות רגולריות.
2.1
תבניות היפרבוליות
תהי bתבנית ריבועית על מרחב .Vוקטור v ∈ Vנקרא איזוטרופי אם הוא מקיים .b(v, v) = 0
תת־מרחב U ⊆ Vהוא איזוטרופי אם .b(U, U ) = 0תת־מרחב הוא איזוטרופי אם ורק אם הוא
אורתוגונלי לעצמו.
תרגיל 2.1.1במאפיין שונה מ־ U ,2איזוטרופי אם ורק אם כל הווקטורים ב־ Uאיזוטרופיים.
אם אין במרחב אף וקטור איזוטרופי ,הוא נקרא מרחב אנאיזוטרופי.
הגדרה 2.1.2המרחב הריבועי הדו־ממדי ⟩ ⟨1, −1נקרא המישור ההיפרבולי ,ומסמנים אותו ב־ .Hסכום ישר של
עותקים של המישור הזה ,כלומר מרחב עם תבנית ריבועית אלכסונית ⟩ ⟨1, . . . , 1, −1, . . . , −1עם סימנים מאוזנים,
נקרא מרחב היפרבולי )ומסמנים אותו ב־ ,Hmכאשר mהוא חצי הממד(.
תרגיל 2.1.3הוכח שהתבניות הריבועיות q(x, y) = x2 − y 2ו־ q ′ (x, y) = xyאיזומורפיות זו לזו
)מאפיין שונה מ־.(2
טענה 2.1.4יש רק מרחב ריבועי רגולרי איזוטרופי אחד מממד ,2והוא המישור ההיפרבולי.
)
(
a
0
= ab
הוכחה .אחרי המעבר לבסיס אלכסוני ,המטריצה המייצגת של התבנית היא מהצורה , 0 bכאשר ̸ 0
בגלל הרגולריות .לפי ההנחה יש (0, 0) ̸= (u, v) ∈ F 2כך ש־ .au2 + bv 2 = 0בפרט .u, v ̸= 0לכן
) (u, v), (u, −vמהווה בסיס ,שביחס אליו התבנית היא
q((u, v)x + (u, −v)y) = au2 (x + y)2 + bv 2 (x − y)2 = 2(au2 − bv 2 )xy,
והתבנית הזו איזומורפית ל־ q ′ (x, y) = xyולכן ל־⟩.⟨1, −1
טענה 2.1.5הממד של תת־מרחב איזוטרופי של מרחב רגולרי מממד nהוא לכל היותר . 12 n
הוכחה .נניח ש־ Uמרחב איזוטרופי מממד .mנבחר בסיס של Uונשלים אותו לבסיס של .Vבהצגת התבנית לפי
הבסיס הזה ,למטריצה המייצגת יש בלוק בגודל m × mשכולו אפס .מכיוון שהדטרמיננטה של התבנית אינה אפס,
יש אלכסון מוכלל שלארכו המכפלה אינה אפס; אבל בחישוב אלכסון מוכלל ,בכל שורה מ־ mהשורות הראשונות
נבחרת עמודה מבין ה־ n − mהאחרונות ,כלומר .m ≤ n − m
13
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
.2.2המרכיב האנאיזוטרופי
טענה 2.1.6יהי Vמרחב ריבועי רגולרי מממד nעם תת־מרחב איזוטרופי ,Uמממד .m = 12 nאז V
הוא מרחב היפרבולי.
הוכחה .אם m = 0אין מה להוכיח .יהי Uתת־מרחב איזוטרופי מממד .mנבחר ,u ∈ Uונתבונן במרחב
המנה ;u⊥ /F uממדו ,2m − 2והוא מכיל את תת־המרחב האיזוטרופי .U/F uלפי הנחת האינדוקציהU/F u ,
היפרבולי ,ולכן יש לו בסיס v1 , . . . , v2m−2כך ש־ (vi , vj ) = 0ל־ i ̸= jו־ .(vi , vi ) = ±1יהי ⊥ ,w ̸∈ uכך
) ∑ (w,vj
∑
,w′ = w −
ש־)F vi ⊕ (F u + F w
= .Vברור ש־ (u, vi ) = 0לכל .iנחליף את wב־ (vj ,vj ) vi
∑
∑
) (w,v
ואז .(w′ , vj ) = (w, vj ) − i (vj ,vjj ) (vi , vj ) = 0כעת ) ,V = ( F vi ) ⊥ (F u + F w′שהוא סכום
אורתוגונלי של מרחב היפרבולי מממד n − 2והמישור ההיפרבולי .F u + F w′
משפט 2.1.7יהי Vמרחב ריבועי רגולרי מממד ,nעם תת־מרחב איזוטרופי Uמממד .mאז ) Hm ≤ Vראה
הגדרה .(1.4.3
⊥
זה נשלים לבסיס של .Vבבסיס הזה ,המטריצה
הוכחה .נבחר בסיס של ,Uנשלים אותו
לבסיס של ,Uואת
0
0 A
המייצגת של התבנית היא מטריצת בלוקים ,[b] = 0 B X כאשר הבלוקים מחולקים לפי הפירוק
At X t C
1 0 0
.m + (n − 2m) + m = nנבחר ,P̃ = D 1 0 ונחשב:
0 0 1
1 0 0
0
0 A
1 Dt 0
0
0
A
B
DA + X .
P̃ [b]P̃ t = D 1 0 0 B X 0 1 0 = 0
t
t
t
t
t
t
0 0 1
A X C
0 0 1
A A D +X
C
ואם נבחר ( D = −XA−1הרי זה כאילו דאגנו ש־ .X = 0אבל
לפי הרגולריות Aמוכרחה להיות הפיכה) ,
0
A
אז המטריצה מתפרקת לסכום ישר ) ,[b] = At C ⊕ (Bכשהמרכיב הראשון ,מממד ,2mמכיל תת־מרחב
איזוטרופי מממד .mלפי טענה ,2.1.6המרכיב הראשון הזה היפרבולי ,כלומר איזומורפי ל־ .Hmזה מוכיח את
הטענה לפי מסקנה .1.1
מסקנה 2.1.8למרחב רגולרי יש וקטור איזוטרופי אם ורק אם הוא מכיל תת־מרחב היפרבולי.
2.2
המרכיב האנאיזוטרופי
2.2.1
איזומטריות
יהי ) (V, qמרחב ריבועי מעל שדה Fכלשהו )מאפיין שונה מ־ .(2חבורת האיזומטריות של המרחב
היא
O(V, q) = {T : V →V : q(T x) = q(x)},
.GL(Vנקבע מטריצה{ מייצגת Aשל ;qאפשר לזהות את ) O(V, qעם
וזו כמובן תת־חבורה של )
}
t
t
חבורת המטריצות ) T : T AT = A ≤ GLn (Fכאשר ) .n = dim(Vמן השוויון T AT = A
יוצא ש־ .det(T ) = ±1מסמנים
O+ (V, q) = {T ∈ O(V, q) : det(T ) = 1}.
14
.2.2המרכיב האנאיזוטרופי
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
למה 2.2.1יהי ) (V, qמרחב ריבועי עם v ∈ Vכך ש־ .q(v) ̸= 0נסמן ב־ bאת התבנית הבילינארית
הסימטרית המתאימה ל־ .qאז ההעתקה
)b(x, v
v
)b(v, v
τv (x) = x − 2
)(2.1
היא איזומטריה מסדר ,2המייצבת את ⊥ vומעבירה vל־ .−vהעתקה זו נקראת השיקוף ביחס ל־.v
הוכחה .ראשית נראה שזו איזומטריה:
)b(x, v
)· v
)q(v
)b(x, v
)b(x, v
= b(x − 2
· v, x − 2
)· v
)q(v
)q(v
)b(x, v
b(x, v)2
= b(x, x) − 4
q(v) = q(x).
b(x, v) + 4
)q(v
q(v)2
q(τ (x)) = q(x −
ברור שהיא מייצבת כל וקטור המאונך ל־ ,vומעבירה את vל־ ;−vמכאן שהיא מסדר .2
למה 2.2.2נניח ש־ .charF ̸= 2יהי ) (V, qמרחב ריבועי ויהיו v, v ′ ∈ Vוקטורים אנאיזוטרופיים
שווי אורך ,היינו .q(v) = q(v ′ ) ̸= 0אז יש איזומטריה המעבירה ;v 7→ v ′האיזומטריה היא שיקוף או
מכפלת שני שיקופים.
הוכחה .נסמן ב־ bqאת התבנית הביליניארית המתאימה ל־ .qלפי ההנחה v + v ′ , v − v ′מאונכים זה לזה כי
.bq (v+v ′ , v−v ′ ) = bq (v, v)−bq (v ′ , v ′ ) = 0ראשית נניח ש־ .q(v−v ′ ) ̸= 0אז τv−v′ (v−v ′ ) = v ′ −v
ו־ ,τv−v′ (v + v ′ ) = v + v ′ולכן
1
1
τv−v′ (v) = τv−v′ ((v + v ′ ) + (v − v ′ )) = ((v + v ′ ) − (v − v ′ )) = v ′ .
2
2
מאידך אם ,q(v − v ′ ) = 0אז q(v + v ′ ) = 2(q(v) + q(v ′ )) − q(v − v ′ ) = 4q(v) ̸= 0לפי שוויון
המקבילית .לפי המקרה הקודם ,τv+v′ (v) = −v ′ולכן .τv′ τv+v′ (v) = v ′
משפט 2.2.3יהי ) (V, qמרחב ריבועי רגולרי .כל איזומטריה σ : V →Vהיא מכפלה של שיקופים.
הוכחה .באינדוקציה על הממד .אם dim V = 1האיזומטריה הלא־טריוויאלית היחידה היא שיקוף .נניח ש־
,dim V = n > 1ותהי σאיזומטריה של .Vנבחר וקטור אנאיזוטרופי ,v ∈ Vאז ) v, σ(vהם וקטורים מאותו
אורך ,ולפי למה 2.2.2יש איזומטריה ,τשהיא שיקוף או מכפלת שני שיקופים ,כך ש־) ;τ (v) = σ(vהיינו τ −1 σ
שומר על ,vומכאן ש־ τ −1 σהיא איזומטריה של ⊥ .vלפי הנחת האינדוקציה τ −1 σהיא מכפלת שיקופים שם ,ולכן
גם σכזו.
)ההוכחה מראה שכל איזומטריה היא מכפלה של לכל היותר 2n − 1שיקופים ,כאשר .n = dim V
למעשה כל איזומטריה היא מכפלה של עד nשיקופים; ](.[2, Ex. 2.8
15
.2.3חוג ויט
2.2.2
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
משפט הצמצום של ויט
מסקנה 2.1.8מאפשרת לקלף מהמרחב הריבועי תת־מרחבים היפרבוליים ,כל עוד יש לו וקטורים
איזוטרופיים .כדי שהגישה הזו תהיה אפקטיבית ,עלינו לדעת שכל הדרכים לבצע קילוף כזה מביאות
לאותה תוצאה.
∼ ,V ⊥ V ′אז
משפט ) 2.2.4משפט הצמצום של ויט ) ((Wittבמאפיין שונה מ־ ,2אם = V ⊥ V ′′
∼ .V ′
= V ′′
הוכחה .מכיוון שאפשר להביא את Vלצורה אלכסונית ,די להוכיח את הטענה במקרה שבו Vהוא מרחב חד־ממדי,
עם התבנית ⟩ .⟨aלפי מסקנה 1.4.10אפשר להניח ש־ .a ̸= 0נתבונן איפה במרחב ) (W, qשיש בו שני וקטורים,
,v, v ′עם .q(v) = q(v ′ ) = aאפשר לפרק את המרחב בשתי דרכים,W = F v ⊥ v ⊥ = F v ′ ⊥ v ′ ⊥ :
⊥
∼ ⊥ .v
ועלינו להוכיח ש־ = v ′
לפי למה 2.2.2יש איזומטריה σכך ש־ ,σ(v) = v ′ואז σמהווה איזומטריה בין המשלימים האורתוגונליים.
תרגיל ) 2.2.5משפט הצמצום של ויט נכשל במאפיין (2
)
(
נסמן ב־ Oאת המרחב הדו־ממדי עם התבנית הבילינארית הרגולרית . 01 10במאפיין ,2
≁ ⟩) ⟨1, 1הבחן כי התבנית הריבועית המושרית על Oהיא
∼ ⟩ ⟨1, 1, 1למרות ש־= O
= ⟨1⟩ ⊥ O
תבנית האפס(.
מסקנה 2.2.6במאפיין שונה מ־:2
.1כל תבנית ריבועית אפשר לפרק באופן יחיד כסכום אורתוגונלי של תבנית האפס ,תבנית היפרבולית
ותבנית אנאיזוטרופית.
.2כל תבנית ריבועית רגולרית אפשר לפרק באופן יחיד כסכום של תבנית היפרבולית ותבנית
אנאיזוטרופית.
הגדרה 2.2.7תהי qתבנית ריבועית .נניח שהיא מתפרקת ,q = Hr ⊥ q0כאשר q0אנאיזוטרופית .התבנית q0
היא המרכיב האנאיזוטרופי של ,qוהערך rנקרא אינדקס ויט של .q
כמובן ,לתבניות איזומטריות יש אותו אינדקס ויט.
2.3
חוג ויט
2.3.1
שקילות של תבניות
לאור מסקנה ,2.2.6טבעי ללמוד את אוסף התבניות האנאיזוטרופיות .הבעיה היא שסכום אורתוגונלי
של תבניות אנאיזוטרופיות עשוי להיות איזוטרופי .הרעיון היסודי של ויט היה להפוך את Hלמרכיב
טריוויאלי ,ולזהות את כל התבניות מהצורה q ⊥ Hmזו עם זו .ביתר דיוק:
הגדרה 2.3.1שתי תבניות רגולריות הן שקולות במובן של ויט ,אם יש להן אותו מרכיב אנאיזוטרופי.
במלים אחרות ,אם q0תבנית אנאיזוטרופית ,מחלקת השקילות שלה כוללת את כל התבניות
.q0 ⊥ Hmבתוך מחלקת שקילות ידועה ,הממד קובע את אינדקס ויט ולהיפך.
מסקנה 2.3.2תבנית ריבועית רגולרית נקבעת על־ידי המרכיב האנאיזוטרופי שלה )או מחלקת השקילות(
והממד )או אינדקס ויט(.
את המחלקה של התבנית qמסמנים ב־] .[qבמחלקה ] [0נמצאות התבניות ההיפרבוליות ,ורק הן.
16
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
2.3.2
.2.3חוג ויט
פעולות בין תבניות
יש שתי פעולות טבעיות שאפשר להגדיר בין תבניות ריבועיות.
מרחבים ריבועיים הוגדר בסעיף .1.4אפשר לחשב אותו כסכום ישר של המטריצות
הסכום)של
(
0
,A ⊕ B = Aוגם לפי הנוסחה:
המייצגות0 B ,
תרגיל .⟨a1 , . . . , an ⟩ ⊥ ⟨b1 , . . . , bm ⟩ = ⟨a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ⟩ 2.3.3
המכפלה הטנזורית של תבניות בילינאריות מוגדרת בדרך דומה:
(V, b)⊗(V ′ , b′ ) = (V ⊗V ′ , b⊗b′ ),
כאשר ) .(b⊗b′ )(x⊗x′ , y⊗y ′ ) = b(x, y)b′ (x′ , y ′בפרט ,עבור תבניות ריבועיות חד־ממדיות,
⟩ ,⟨a⟩⟨a′ ⟩ = ⟨aa′ומזה אפשר להוציא את הנוסחה הכללית:
תרגיל .⟨a1 , . . . , an ⟩⊗⟨b1 , . . . , bm ⟩ = ⟨a1 b1 ⟩ ⊥ · · · ⊥ ⟨an bm ⟩ 2.3.4
תרגיל 2.3.5נניח ש־ A, A′הן מטריצות מייצגות של התבניות .q, q ′אז A⊗A′היא מטריצה
מייצגת של התבנית .q⊗q ′
2.3.3
חוג ויט
הגדרה 2.3.6חיבור וכפל של מחלקות.[q] · [q ′ ] = [q⊗q ′ ] ;[q] + [q ′ ] = [q ⊥ q ′ ] :
תרגיל 2.3.7לכל תבנית ,qהתבנית H⊗qהיא היפרבולית.
הדרכה.
∼ ⟩.⟨1, −1⟩⊗⟨a
∼ ⟩= ⟨a, −a
⟩= ⟨1, −1
לכל × ,a ∈ F
תרגיל 2.3.8פעולות החיבור והכפל של מחלקות מוגדרות היטב.
לפעמים נשמיט את סימן המחלקה ,ונחבר תבניות ישירות ,כלומר נכתוב q + q ′במקום .q ⊥ q ′
בדומה לזה נכתוב לפעמים q · q ′במקום .q⊗q ′בפרט ,עבור תבניות חד־ממדיות.⟨a⟩⟨b⟩ = ⟨ab⟩ ,
תרגיל 2.3.9
.1פעולות החיבור והכפל הן קומוטטיביות ואסוציאטיביות;
.2הכפל דיסטריבוטיבי ביחס לחיבור;
.3התבנית ) 0על המרחב האפס ממדי( היא איבר אפס ביחס לחיבור,
∼ ⟩ ⟨a, −aלכל ;(a
[−q] .4הוא הנגדי של ] ,[qכאשר )) (−q)(x) = −q(xמשום ש־= H
.5התבנית ⟩) ⟨1על המרחב החד־ממדי( היא איבר יחידה ביחס לכפל.
כעת אפשר להגדיר את אחד האובייקטים המרכזיים של התאוריה:
הגדרה 2.3.10חוג ויט הוא החוג של מחלקות השקילות של תבניות ריבועיות )מממד סופי( מעל השדה ,Fעם
פעולות החיבור והכפל שהוגדרו לעיל .מסמנים אותו ב־) .W (F
נחשב כמה דוגמאות .ראשית ,כפי שראינו בסעיף ) 1.2במאפיין שונה מ־ ,(2כל תבנית אפשר
להציג כסכום אורתוגונלי של תבניות מממד .1
מסקנה 2.3.11כחבורה אדיטיבית W (F ) ,נוצר על־ידי התבניות מהצורה ⟩.a ̸= 0 ,⟨a
יתרה מזו ,התבניות הרגולריות ⟩ ⟨aו־⟩ ⟨a′איזומורפיות אם ורק אם הן מייצגות אותה מחלקה
2
ב־ × ) F × /Fטענה .(1.4.5
17
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
.2.3חוג ויט
דוגמא 2.3.12לפי מסקנה ,1.4.6יש רק מחלקה אחת מממד אחד מעל ,Cוהיא ⟩ .⟨1מכיוון ש־
∼ ).W (C
∼ ⟩ ,⟨1⟩ ⊥ ⟨1⟩ = ⟨1, 1נובע ש־= Z/2Z
= ⟨1, −1⟩ = H
תרגיל 2.3.13מעל הממשיים יש שתי תבניות חד־ממדיות ⟨1⟩ ,ו־⟩ ,⟨−1כלומר 1, −1של חוג ויט.
∼ ).W (R
התבניות ⟩ ⟨1, . . . , 1אינן איזוטרופיות ,ולכן כל אחת מהן מהווה מחלקה לעצמה ,ו־= Z
הערך של התבנית ⟩ ⟨1, . . . , 1, −1, . . . , −1בחוג ויט הוא סכום הסימנים; העובדה שהוא אינו
תלוי בהצגת התבנית היא משפט הסימנים של סילווסטר )שנובע ,משום כך ,ממשפט הצמצום
של ויט(.
הכללות
הערה 2.3.14הערה זו ממשיכה את תת־סעיף .1.5.2משפט הצמצום של ויט עובד מעל כל ) ,(A, σוכך
אפשר להגדיר את חוג ויט ) Wϵ (A, σשל המחלקות של תבניות ϵ־הרמיטיות; אם ,ϵ = 1כותבים סתם
).W (A, σ
∼ ) W (A, σו־ .W−1 (A, σ) = 0אם σאינוולוציה
ידוע שאם ) ,(A, σ) = (Mn (F ), tאז ) = W (F
∼ ) W−1 (A, σכאשר τמהטיפוס המנוגד ל־ .σאם σמסוג
מסוג ראשון ו־ Aמממד זוגי ,אז ) = W (A, τ
∼ ).[1] W−1 (A, σ
שני אז )= W (A, σ
√
∼ ) ;W (Rאם ] C = R[ −1ו־ ,H = (−1, −1)Rאז
לדוגמא ,אם Rשדה סגור ממשית ,אז = Z
∼ ).W (C, −
∼ )= W (H, −
גם = Z
2.3.4
האידיאל היסודי
מכיוון שאיבר היחידה של חוג ויט הוא ⟩ ,⟨1מסמנים לפעמים את התבנית הזו ב־ .1כמובן ,האיבר
⟩ ,2 = 1 + 1 = ⟨1⟩ ⊥ ⟨1⟩ = ⟨1, 1בעוד שהתבנית ⟩ ⟨2מייצגת איבר אחר לגמרי .האידיאל היסודי
של חוג ויט הוא האידיאל ) I(Fשל התבניות מממד זוגי.
טענה 2.3.15כחבורה אדיטיבית I(F ) ,נוצר על־ידי התבניות מהצורה ⟩.⟨⟨a⟩⟩ = ⟨1, −a
הוכחה .מספיק לכתוב ⟩⟩.⟨a, b⟩ ∼ ⟨1, a⟩ + ⟨−1, b⟩ ∼ ⟨1, a⟩ − ⟨1, −b⟩ = ⟨⟨−a⟩⟩ − ⟨⟨b
לשרשרת האידיאלים
· · · ⊃ ) W (F ) ⊃ I(F ) ⊃ I 2 (F ) ⊃ I 3 (F
חשיבות גדולה בתורת התבניות הריבועיות .משפטים משנות השמונים והתשעים יודעים לקשר
את המנות ) I n (F )/I n+1 (Fלחבורות קוהומולוגיה ולחבורות־ ,Kשהן אובייקטים חשובים ביותר
באריתמטיקה של שדות )ראו פרק .(4
הגדרה 2.3.16התבניות מממד 2nמהצורה
⟩⟩ ⟨⟨a1 , . . . , an ⟩⟩ = ⟨⟨a1 ⟩⟩⊗ · · · ⊗⟨⟨an
⟩ = ⟨1, −a1 , . . . , −an , a1 a2 , . . . , an−1 an , . . . , (−1)n a1 · · · an
נקראות תבניות פיסטר ) (Pfisterמסדר .n
לתבניות פיסטר יש תכונות יפות שנפגוש בהמשך החוברת )פרק .(6
מסקנה 2.3.17כחבורה אדיטיבית I n (F ) ,נוצר על־ידי תבניות פיסטר מסדר .n
18
.2.4תבניות תחת הרחבת שדות
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
2.4
תבניות תחת הרחבת שדות
2.4.1
העתקת הצמצום
יהי F ,→ Kשיכון של שדות .אפשר לראות כל תבנית qמעל Fכאילו היא תבנית מעל ,Kשאותה
מסמנים ב־ .qKביתר דיוק ,הצמצום של המרחב הריבועי ) (V, qמ־ Fל־ Kמוגדר כ־
res K/F (V, q) = (K⊗V, qK ),
כאשר התבנית הבילינארית המתאימה ל־ qKמוגדרת לפי ) .bK (a⊗v, a′ ⊗v ′ ) = aa′ b(v, v ′בפרט,
dim(qK ) = dim(q).
הפונקציה ] [q] 7→ [qKהיא הומומורפיזם של חוגים ) .res K/F : W (F )→W (Kבאופן הזה
) F 7→ W (Fהוא פונקטור מקטגוריית השדות לקטגוריית החוגים הקומוטטיביים.
הנה דוגמא שתשמש אותנו בפרק .7
טענה 2.4.1נניח ש־ K/Fהרחבה טרנסצנדנטית טהורה .אם qאנאיזוטרופית מעל Fאז גם qK
אנאיזוטרופית.
בפרט ,הצמצום ) res K/F : W (F )→W (Kהוא חד־חד־ערכי.
הוכחה .נניח ש־ qKאיזוטרופית.
נבחר קבוצת יוצרים טרנסצנדנטית להרחבה .K/Fאפשר להחליף את Kבשדה K ′הנוצר על־ידי כל היוצרים
המשתתפים בנקודה המאפסת את ,qכך ש־) trdeg(K ′ /Fסופי ,ולפעול באינדוקציה על מספר המשתנים .מספיק,
אם כך ,להניח ש־) .K = F (λאם ,q(f1 (λ), . . . , fn (λ)) = 0אפשר להניח על־ידי כפל במכנה משותף
ש־] f1 , . . . , fn ∈ F [λושהם זרים במשותף .לכן אפשר להציב λ 7→ 0ולקבל נקודה מעל Fהמאפסת את ,qכך
ש־ qאיזוטרופית.
לאור טענה ,2.4.1ומכיוון שבכל הרחבה של שדות יש הרחבת ביניים טרנסצנדנטית שהמרכיב
מעליה אלגברי ,עיקר העניין בהעתקת הצמצום הוא כאשר ההרחבה אלגברית.
2.4.2
הרחבות ריבועיות
בסעיף הזה ננתח את העתקת הצמצום במקרה שבו K/Fהרחבה ריבועית .נכתוב ] ,K = F [δכאשר
∆ = .δ 2הסוגיה העיקרית במעבר לשדה הרחבה היא לתאר אלו תבניות אנאיזוטרופיות נעשות
איזוטרופיות או אפילו היפרבוליות .במקרה של הרחבה ריבועית יש לשאלה הזו תשובה מלאה.
דוגמא 2.4.2תהי K = F [δ]/Fהרחבה מממד 2במאפיין שונה מ־ .2הנורמה בהרחבה הזו היא
.N(x + yδ) = x2 − ∆y 2כלומר ,בבסיס } {1, δשל ] ,F [δתבנית הנורמה של ההרחבה היא תבנית
אלכסונית עם ההצגה ⟩⟩∆⟨⟨ = ⟩∆.⟨1, −
מכיוון ש־ Kהוא שדה לפי ההנחה ∆ ,אינו ריבוע ב־ ,Fולכן תבנית הנורמה ⟩⟩∆⟨⟨ מוכרחה
להיות אנאיזוטרופית מעל .Fמאידך התבנית נעשית איזוטרופית מעל ,Kשהרי ,δ 2 − ∆ = 0ולכן
התבנית ⟨⟨∆⟩⟩Kהיפרבולית )טענה .(2.1.4כלומר.⟨⟨∆⟩⟩ ∈ Ker(resK/F ) ,
משפט 2.4.3תהי K/Fהרחבה ריבועית כלעיל ,ותהי qתבנית אנאיזוטרופית מעל .F
qK .1איזוטרופית אם ורק אם יש ל־ qתת־תבנית שהיא כפולה סקלרית של ⟩⟩∆⟨⟨.
∼ .q
qK .2היא היפרבולית אם ורק אם ) ,q ∈ ⟨⟨∆⟩⟩W (Fכלומר qניתנת לפירוק בצורה = ⟨⟨∆⟩⟩q ′′
19
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
.2.4תבניות תחת הרחבת שדות
∼ .⟨⟨∆⟩⟩K
הוכחה .בשני המקרים כיוון אחד טריוויאלי ,משום ש־ = HK
∑ ,xi + yi δלא כולם אפס ,כך
איזוטרופית .לכן יש ∈ K
.1נכתוב ⟩ . . , an
∑ ∑,q = ⟨a1 , .ונניח ש־ ∑ qK
= .0נסמן ב־ bqאת התבנית
ש־ai (xi + δyi )2 = ( ai x2i + ∆ ai yi2 ) + 2 ai xi yi δ
הבינלינארית המתאימה ל־ ,qונכתוב ) x = (x1 , . . . , xnו־) .y = (y1 , . . . , ynלפי השוואת המקדמים,
bq (x, y) = 0ו־ .q(x) + ∆q(y) = 0מהשוויון האחרון נובע ש־ ,q(x), q(y) ̸= 0שהרי q
אנאיזוטרופית .נתבונן בתת־המרחב F x + F yשל :F nצמצום qלתת־המרחב הזה נותן את התבנית
∼ ⟩) ,⟨q(x), q(yולפי טענה 1.4.4נובע מזה ש־⟩⟩∆⟨⟨⟩) ⟨q(yהיא
הדו־ממדית ⟩= ⟨q(y)⟩ · ⟨−∆, 1
תת־תבנית של .q
.2נניח ש־ qKהיפרבולית .הפעלה חוזרת של הסעיף הראשון מראה שאפשר לפרק את qלסכום ישר של תבנית
מהצורה ⟩⟩∆⟨⟨⟩ ,⟨ciולכן ⟩⟩∆⟨⟨⟩ .q = ⟨c1 , . . . , ct
ניסוח אחר לסעיף 2של משפט :2.4.3הגרעין של העתקת הצמצום שווה לחשוד המיידי:
;) Ker(resK/F ) = ⟨⟨∆⟩⟩ · W (F
כלומר ,יש סדרה מדוייקת
)/ W (K
resK/F
) / W (F
⟩⟩∆⟨⟨·−
) W (F
)(2.2
2.4.3הטרנספר
שוב תהי K/Fהרחבה .הצמצום מפרש תבנית מעל Fכאילו היא מוגדרת מעל .Kאיך אפשר
לפעול בכיוון ההפוך ולהעביר תבנית ריבועית מעל Kלתבנית מעל ?F
הגדרה 2.4.4יהיו F ⊆ Kשדות כלשהם ,ותהי s : K→Fהעתקה F־לינארית )שאינה אפס( .יהי Vמרחב
וקטורי מעל ,Kותהי q : V →Kתבנית ריבועית .הטרנספר של המרחב הריבועי ) (V, qהוא המרחב הריבועי
) ,(V, s∗ qמעל ,Fכאשר )).(s∗ q)(x) = s(q(x
התבנית מוגדרת על אותו מרחב וקטורי ,Vולכן ).dim(s∗ q) = [K : F ] · dim(q
דוגמא 2.4.5אם tr : K→Fהיא העקבה ,אז ⟩ ,q = tr∗ ⟨1שהיא התבנית ) ,x 7→ tr(x2נקראת תבנית
העקבה של ההרחבה.
דוגמא 2.4.6נחזור לדוגמא ,2.4.2שם ראינו שתבנית הנורמה של ההרחבה K = F [δ | δ 2 = ∆]/F
היא ⟩⟩∆⟨⟨ .העקבה מוגדרת לפי ,tr(x + yδ) = 2xולכן תבנית העקבה היא
tr((x + yδ)2 ) = tr(x2 + ∆y 2 + 2xyδ) = 2(x2 + ∆y 2 ),
היינו ⟩⟩∆.⟨⟨−
הערה 2.4.7תבנית העקבה מוגדרת עבור כל אלגברה מעל Fשיש לה פונקציית עקבה .הדוגמאות
המוכרות הן כמובן מטריצות מכל ממד ,ודרכן כל אלגברה פשוטה מעל .Fאלגברה שמוגדרת עליה תבנית
בילינארית המקיימת את האקסיומה ) (ab, c) = (a, bcנקראת "אלגברת פרובניוס".
תרגיל .s∗ (q ⊥ q ′ ) = s∗ q ⊥ s∗ q ′ 2.4.8
20
.2.4תבניות תחת הרחבת שדות
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
∼ s∗ qמעל .F
∼ qמעל Kאז = s∗ q ′
תרגיל 2.4.9אם = q ′
תהיינה qתבנית ריבועית
תבנית
ו־φ
K
מעל
טענה ) 2.4.10תכונת ההיפוך של פרובניוס(
אז
ריבועית מעל .F
∼ ) .s∗ (q ⊗K φK
= s∗ (q)⊗F φ
⊗
_ φK
O
q
∗s
∗s
s∗ q ⊗ φ
המרחבים שעליהם מוגדרות התבניות הם
הוכחה .נתונים המרחבים הריבועיים ) (V, qו־).(W, φ
)) (V ⊗K (K⊗W ), s∗ (q ⊗K φKו־) .(V ⊗F W, s∗ (q)⊗F φכדי להראות שההתאמה →v⊗(a⊗w) 7
av⊗wהיא איזומטריה ,נסמן ב־ bqו־ βφאת התבניות הבילינאריות המתאימות .כעת נחשב:
))) (s∗ (bq ⊗K βφ K ))(v⊗(a⊗w), v ′ ⊗(a′ ⊗w′ )) = s((bq ⊗K βφ K )(v⊗(a⊗w), v ′ ⊗(a′ ⊗w′
)) = s(bq (v, v ′ )βφ (a⊗w, a′ ⊗w′
)) = s(bq (v, v ′ )aa′ βφ (w, w′
) = s(aa′ bq (v, v ′ ))βφ (w, w′
) = s(bq (av, a′ v ′ ))βφ (w, w′
) = (s∗ (bq )⊗F βφ )(av⊗w, a′ v ′ ⊗w′
טענה 2.4.11אם qתבנית היפרבולית מעל ,Kאז s∗ qהיפרבולית מעל .F
הוכחה .לפי האדיטיביות ,מספיק לחשב את) s∗ (HK ) = s∗ (⟨1⟩⊗HK ) = s∗ (⟨1⟩)⊗H :השתמשנו בהיפוך(,
וזו תבנית היפרבולית )מממד ] (2[K : Fלפי תרגיל .2.3.7
מסקנה 2.4.12תהי s : K→Fהעתקה F־לינארית.
הנוסחה ].s∗ [q] = [s∗ q
אז ) s∗ : W (K)→W (Fמוגדרת היטב לפי
תכונת ההיפוך של פרובניוס נותנת כעת לכל ) a ∈ W (Kו־) ,α ∈ W (F
s∗ (a · res K/F α) = s∗ (a) · α
)(2.3
אפשר לראות ב־) W (Kמודול )ימני( מעל ) W (Fבאמצעות הפעולה ).(a, α) 7→ a · res K/F (α
מסקנה s∗ : W (K)→W (F ) 2.4.13היא הומומורפיזם של מודולים מעל ) .W (F
כעת נוכל להמשיך את הסדרה המדוייקת ).(2.2
√
משפט 2.4.14תהי ]∆ [ K = Fהרחבה ריבועית ספרבילית של .Fתהי s : K→Fהעתקה לינארית המקיימת
) s(1) = 0יש אחת כזו ,עד כפל בסקלר( .אז
) / W (F
∗s
)/ W (K
resK/F
היא סדרה מדוייקת מדוייקת של מודולים מעל ) .W (F
21
) / W (F
⟩⟩∆⟨⟨·−
) W (F
)(2.4
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
.2.4תבניות תחת הרחבת שדות
הוכחה .בתת־סעיף 2.4.2הוכחנו שהסדרה מדוייקת ב־) .W (Fתהי ⟩ ⟨aתבנית מעל ,Fאז )⟩ resK/F (⟨aהיא
התבנית החד־ממדית מעל ,Kו־)⟩ q = s∗ (⟨aהיא התבנית על Kהמוגדרת לפי
√
√
q(x + y ∆) = s(a(x + y ∆)2 ) = as(x2 + ∆y 2 + 2xy∆) = 2as(∆)xy,
וזו תבנית היפרבולית .לכן .s∗ ◦ resK/F = 0
נוכיח שכל תבנית אנאיזוטרופית מעל Kאפשר לפרק לחלק שהטרנספר שלו אנאיזוטרופי וחלק המושרה מ־ .F
כלומר ,כל מרחב ריבועי אנאיזוטרופי ) (V, φמעל Kאפשר לפרק ,φ = qK ⊥ φ′כאשר qהיא תבנית מעל ,F
ו־ s∗ φ′אנאיזוטרופית .אכן ,אם s∗ φאנאיזוטרופית ,סיימנו .אחרת יש 0 ̸= v ∈ Vכך ש־ ,s(φ(v)) = 0כלומר
.0 ̸= b = φ(v) ∈ Fאם כך Kvהוא תת־מרחב רגולרי של ,Vואפשר לפרק ;φ = ⟨b⟩K ⊥ φ′לפי הנחת
האינדוקציה את φ′אפשר לפרק לחלק המושרה מ־ Fוחלק שהטרנספר שלו אנאיזוטרופי ,וכך מתקבל פירוק דומה
של .φ
כעת נניח ש־ φתבנית אנאיזוטרופית מעל ,Kו־ s∗ φהיפרבולית .לפי הסעיף הראשון אפשר לפרק = φ
qK ⊥ φ′כאשר s∗ φ′אנאיזוטרופי ,אבל זו תת־תבנית של התבנית ההיפרבולית ,s∗ φכלומר φ′ = 0ו־
).φ = qK ∈ resK/F W (K
המשפט השימושי הזה מתאר את התמונה של הצמצום ) ;res : W (F )→W (Kתבנית ∈ ][q
) W (Kמהווה צמצום של תבנית המוגדרת מעל ,Fאם ורק אם s∗ qהיפרבולית .כלומר ,אם נכתוב
,q(x) = q1 (x) + q2 (x)δאז qמוגדרת מעל Fאם ורק אם q2היפרבולית.
2.4.4
הרחבות מממד אי־זוגי
שימוש נוסף בטרנספר מוכיח תוצאה יפה על הרחבות מממד אי־זוגי.
טענה 2.4.15לכל הרחבת שדות סופית K/Fולכל העתקת טרנספר ,0 ̸= s : K→Fההרכבה
) s∗ ◦ resK/F : W (F )→W (F
שווה לכפל ב־)⟩.s∗ (⟨1
הוכחה .תהי qתבנית ריבועית מעל .Fאז )⟩(s∗ ◦ resK/F )(q) = s∗ (qK ) = s∗ (qK ⊗⟨1⟩) = q⊗s∗ (⟨1
לפי תכונת ההיפוך.
טענה 2.4.16תהי K/Fהרחבה מממד איזוגי .אז הצמצום ) W (F )→W (Kהוא חד־חד־ערכי.
הוכחה .אפשר להניח ש־]) K = F [θאם ההרחבה אינה ספרבילית ,באינדוקציה על הממד( .נסמן = 2m + 1
] .[K : Fנגדיר את העתקת הטרנספר s : K→Fלפי s(1) = 1ו־ s(xi ) = 0לכל .i = 1, . . . , 2mנראה
ש־⟩ .s∗ (⟨1⟩) ∼ ⟨1אכן ,ביחס לתבנית ) ,s∗ (⟨1⟩) : a 7→ s(a2אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי ⊥ K = F
) ,(F x + · · · + F x2mותת־המרחב F x + · · · + F xmהוא איזוטרופי מממד מחצית הממד של ⊥ .Fלכן ⊥ F
היפרבולי ,ו־)⟩ .(K, s∗ (⟨1⟩)) ∼ (F, ⟨1מזה נובע ש־ s∗ ◦ resK/Fהוא כפל ב־⟩ ,s∗ (⟨1⟩) ∼ ⟨1כלומר העתקת
הזהות .זה מוכיח ש־ res K/Fחד־חד־ערכי ואילו ) s∗ : W (K)→W (Fעל.
טענה 2.4.16אומרת שבהרחבה K/Fמממד איזוגי ,אם תבנית נעשית היפרבולית מעל ,Kאז
היא היפרבולית מלכתחילה .בהמשך )משפט (2.4.18נוכיח תוצאה חזקה בהרבה.
22
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
2.4.5
.2.4תבניות תחת הרחבת שדות
משפט שפרינגר
טענה ) 2.4.17טיעון המונום העליון( תהי qתבנית אנאיזוטרופית מעל .Fנניח ש־q(f1 , . . . , ft ) = g
כאשר ] .f1 , . . . , ft , g ∈ F [λאז }) .deg(g) = 2 max {deg(f1 ), . . . , deg(ft
הוכחה .נסמן }) m = max {deg(fiו־) .n = deg(gברור ש־ .n ≤ 2mנסמן ב־ a1 , . . . , atאת המקדם של
λmב־ ,f1 , . . . , fnוב־ bאת המקדם של λ2mב־ .gאז ,q(a1 , . . . , at ) = bואם n < 2mאז b = 0ובהכרח
גם .a1 = · · · = at = 0
משפט ) 2.4.18משפט שפרינגר( תהי K/Fהרחבה מממד אי־זוגי .לכל תבנית אנאיזוטרופית qמעל ,Fגם
התבנית qKאנאיזוטרופית.
הוכחה .נכתוב ⟩ .q = ⟨a1 , . . . , atההוכחה היא באינדוקציה על הממד ] .m = [K : Fבאינדוקציה על מספר
היוצרים ,די להניח שההרחבה פשוטה .נכתוב ] ,K = F [θויהי ] p(λ) ∈ F [λהפולינום המינימלי של θמעל
.Fבפרט .deg(p) = mנניח ,בשלילה ,שהתבנית qKאיזוטרופית .אז יש אברים β1 , . . . , βt ∈ Kכך
ש־ .a1 β12 + · · · + at βt2 = 0כל βi ∈ Kאפשר להציג בצורה ) βi = fi (θכאשר ] f1 , . . . , ft ∈ F [λהם
פולינומים ממעלה .deg(fi ) < mאת השוויון הקודם אפשר להציג בצורה
a1 f1 (λ)2 + · · · + at ft (λ)2 ≡ 0 (mod p(λ)).
)(2.5
אם לפולינומים ) f1 (λ), . . . , ft (λיש גורם משותף מעל ,Fאפשר לחלק בו והשוויון נשמר .לכן אפשר להניח שהם
זרים )במשותף( .לפי השוויון ) (2.5אפשר לפרק את אגף שמאל,
a1 f1 (λ)2 + · · · + at ft (λ)2 = p(λ)h(λ),
)(2.6
כאשר ] h(λ) ∈ F [λפולינום מדרגה .deg(h) ≤ m − 2מכיוון ש־ pממעלה אי־זוגית לפי ההנחה ,והמעלה
של אגף שמאל זוגית לפי טיעון המונום העליון ,גם המעלה של hאי־זוגית .נבחר גורם אי־פריק p′ממעלה אי־זוגית
של .hנתבונן בשדה ⟩) ,K ′ = F [λ]/⟨p′ (λשממדו מעל Fהוא .deg(p′ ) < mנסמן ב־)θ′ = λ + p′ (λ
את השורש ) ,p′ (λהיוצר את ההרחבה .K ′ /Fמכיוון שה־ fiזרים ,לא יתכן שכולם מתחלקים ב־ ,p′ולכן הוקטור
)) (f1 (θ′ ), . . . , ft (θ′אינו אפס .נציב λ = θ′בשוויון ) (2.6ונקבל
a1 f1 (θ′ )2 + · · · + at ft (θ′ )2 = 0,
כלומר ,התבנית qאיזוטרופית מעל K ′שממדו אי־זוגי וקטן מ־ ,mבסתירה להנחת האינדוקציה ,אלא אם fi (θ′ ) = 0
לכל ;iאבל גם זה בלתי אפשרי כי אז כל הפולינומים ) fi (λמתחלקים ב־ .p′
תרגיל 2.4.19טענה 2.4.16נובעת ממשפט .2.4.18הדרכה .אם ) 0 ̸= [q] ∈ W (Fאז qשקולה
לתבנית אנאיזוטרופית ,שנשארת כזו מעל .K
תרגיל 2.4.20בדוק שהוכחת משפט 2.4.18תקפה גם בלי להניח ש־ qאלכסונית ,ולכן היא נכונה
גם במאפיין .2
תרגיל 2.4.21תהי qתבנית אנאיזוטרופית מעל שדה .Fיהי ) g(λערך של התבנית מעל חוג
הפולינומים ] .F [λהראה שהמעלה של כל גורם ראשוני של ) g(λהיא זוגית.
הדרכה .נניח ש־)) ,g(λ) = q(f1 (λ), . . . , fn (λויהי ) p(λגורם אי־פריק של ) .g(λנסמן ב־ αשורש
של pבשדה ההרחבה ⟩) .K = F [λ]/⟨p(λאז ,q(f1 (α), . . . , fn (α)) = g(α) = 0ולכן qKאיזוטרופית.
משפט שפרינגר אינו מאפשר זאת אם ] deg(p(λ)) = [K : Fאי־זוגי.
אתגר 2.4.22האם יתכן שהעתקת הצמצום ) W (F )→W (Kהיא חד־חד־ערכית ,ובכל זאת
קיימת תבנית אנאיזוטרופית qמעל Fכך ש־ qKאיזוטרופית?
23
.2.5גורמי דמיון
2.5
פרק .2המבנה של תבניות ריבועיות
גורמי דמיון
חבורת המחלקות × F × /Fפועלת על התבניות הריבועיות לפי כפל בסקלר.αF × : q 7→ ⟨α⟩⊗q ,
תהי qתבנית מעל שדה .Fנגדיר את חבורת גורמי הדמיון של qלפי
{
}
2
∼ G(q) = t ∈ F × : ⟨t⟩⊗q
= q ⊆ F × /F × .
2
2
כמייצב של qבמרחב התבניות ,זו בוודאי חבורה.
הערה 2.5.1מכיוון שכפל בתבנית חד־ממדית שומר על הממד ,יכולנו לכתוב גם בשפה של חוג ויט,
}].G([q]) = {t ∈ F × : ⟨t⟩ · [q] = [q
הערה 2.5.2תהי qתבנית ריבועית .אז }.G(q) = {b ∈ F × : ⟨⟨b⟩⟩⊗q ∼ 0
∼ .⟨b⟩ · q
∼ ⟨⟨b⟩⟩⊗qאם ורק אם = q
הוכחה= q ⊥ −bq ∼ 0 .
∼ ⟩.⟨ta
דוגמא 2.5.3לכל תבנית חד־ממדית ,G(⟨a⟩) = F × ,משום ש־)⟩ t ∈ G(⟨aאם ורק אם ⟩= ⟨a
2
∼ ⟨t⟩⊗qאז בוודאי
הערה 2.5.4לכל שתי תבניות ) G(q) ⊆ G(q⊗q ′ ) ,q, q ′משום שאם = q
∼ (.⟨t⟩⊗q⊗q ′
= q⊗q ′
{
}
תרגיל 2.5.5לתבנית פיסטר מסדר ראשון ,G(⟨⟨a⟩⟩) = x2 − ay 2 : x, y ∈ F ,כלומר גורמי
הדמיון הם הערכים של ⟩⟩ .⟨⟨aדוגמא זו תקבל הכללות מרחיקות לכת בפרק .6
√
טענה 2.5.6תהי ]∆ [ K = Fהרחבה ריבועית ספרבילית של ,Fותהי qתבנית אנאיזוטרופית מעל
.Fאם qKהיפרבולית אז ).−∆ ∈ G(q
הוכחה .לפי משפט ,2.4.3אפשר לפרק .q = ⟨⟨∆⟩⟩q ′′לכן ) ;−∆ ∈ G(⟨⟨∆⟩⟩) ⊆ G(qנעזרנו כאן
בהערה .2.5.4
)בטענה 2.5.6נשתמש כדי להוכיח את משפט ,5.5.8שהוא אחד המשפטים העיקריים על תבניות
בשדות הניתנים לסידור(.
24
פרק 3
האינווריאנטים הראשונים
3.1
זוגיות הממד
פונקציית הממד אינה מוגדרת היטב על חוג ויט ,משום שתבניות היפרבוליות שקולות לאפס .עם
זאת ,הממד כן מוגדר מודולו ,2וזה מאפשר להגדיר סדרה קצרה מדוייקת
0 −→ I(F ) ,−→ W (F ) −→ Z/2Z −→ 0,
כלומר איזומורפיזם
∼
=
W (F )/I(F ) −→ Z/2Z.
3.2הדטרמיננטה
∼ ,W/Iהצעד הבא הוא לחשב את המנה .I/I 2לשם כך עלינו
לאחר שחישבנו את המנה = Z/2Z
למצוא הומומורפיזם מ־) ,I(Fשהגרעין שלו הוא ) .I 2 (Fנזכר שכל תבנית ריבועית מוצגת על־ידי
מטריצה ;Aואז היא מוצגת גם על־ידי כל מטריצה מהצורה .P AP tעובדה זו מציעה שנגדיר על
תבנית את הדטרמיננטה שלה,
det(q) = det(A)F × ∈ F × /F × ,
2
2
כאשר Aהיא מטריצה כלשהי המייצגת את .qמכיוון ש־
)det(P AP t ) = det(A) det(P )2 ∼ det(A
בחבורת המחלקות הריבועיות × ,F × /Fהדטרמיננטה של תבנית מוגדרת היטב )מודולו ריבועים(.
יתרון נוסף נובע מהתכונות של מטריצות בלוקים:
2
det(q ⊥ q ′ ) = det(q) det(q ′ ).
עם זאת ,det(H) = det(⟨1, −1⟩) = −1 ,ולכן הדטרמיננטה של מחלקה בחוג ויט אינה מוגדרת
היטב ,אלא עד כדי ריבועים וסימן.
∼ .Vהדרכה .הבא את
תרגיל 3.2.1אם ) (V, qמרחב רגולרי מממד 2עם ,det(q) = −1אז = H
התבנית לצורה אלכסונית.
תרגיל 3.2.2אם ⟩ ⟨a, b, cאיזוטרופית ,אז ⟩.⟨a, b, c⟩ ∼ ⟨−abc
25
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
.3.3הדיסקרימיננטה
3.3הדיסקרימיננטה
כפי שראינו הדטרמיננטה אינה מוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט .הדיסקרימיננטה פותרת את
הבעיה הזו .נגדיר את הדיסקרימיננטה של תבנית qמממד ) n = dim(qלפי
;)disc(q) = (−1)n(n−1)/2 det(q
ובאופן יותר מפורש,
disc(⟨a1 , . . . , an ⟩) = (−1)n(n−1)/2 a1 · · · an .
מתקיים
disc(q ⊥ H) = (−1)(n+2)(n+1)/2 det(q ⊥ H) = −(−1)n(n−1)/2+1 det(q) = disc(q),
ולכן הדיסקרימיננטה מוגדרת היטב על מחלקות.
תרגיל 3.3.1גם הפונקציה ) d′ (q) = (−1)n(n+1)/2 disc(qמוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט;
ויחד עם ) ,disc(qאלו כל הפונקציות מהצורה ) q 7→ cdim q det(qהמוגדרות היטב על מחלקות.
נחשב כמה מקרים מיוחדים:
;disc(⟨a⟩) = a
;disc(⟨⟨a⟩⟩) = disc(⟨1, −a⟩) = a
a2 b2 ∼ 1.
3·4
2
)disc(⟨⟨a, b⟩⟩) = disc(⟨1, −a, −b, ab⟩) = (−1
טענה .I 2 (F ) ⊆ Ker(d) 3.3.2
הוכחה .לפי מסקנה I 2 ,2.3.17נוצר על־ידי תבניות פיסטר מסדר 2וראינו ש־.disc(⟨⟨a, b⟩⟩) = 1
למה ) 3.3.3כמעט אדיטיביות של תבניות פיסטר(
⟨⟨a⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b⟩⟩ ∼ ⟨⟨ab⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b⟩⟩.
∼ ⟩,⟨ab, −ab
הוכחה .מכיוון ש־= H
⟩⟨1, −a, 1, −b
⟩⟨1, −a, 1, −b, ab, −ab
⟨1, −a, −b, ab⟩ ⊥ ⟨1, −ab⟩ = ⟨⟨a, b⟩⟩ ⊥ ⟨⟨ab⟩⟩.
∼
=
∼
∼
=
⟩⟩⟨⟨a⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b
26
.3.3הדיסקרימיננטה
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
משפט 3.3.4הדיסקרימיננטה משרה איזומורפיזם
2
× d : I/I 2 →F × /F
של חבורות אבליות.
′
הוכחה .חישוב ישיר מראה שלכל שתי תבניות q, q ′מתקיים )] ,disc([q] + [q ′ ]) = (−1)nn disc([q])disc([q ′
כאשר ) n = dim(qו־) .n′ = dim(q ′אם אחת התבניות מממד זוגי אז = )] disc([q] + [q ′
2
) .disc([q])disc([q]′בפרט d : I(F )→F × /F × ,הוא הומומורפיזם של חבורות.
2
לפי טענה d ,3.3.2הוא הומומורפיזם מוגדר היטב × ,I/I 2 →F × /Fשהוא על מפני ש־= ) disc(⟨⟨a⟩⟩+I 2
2
× .aFבכיוון ההפוך הפונקציה
2
f1 : F × /F × →I/I 2
השולחת f1 : aF × 7→ ⟨⟨a⟩⟩ + I 2היא מוגדרת היטב; והיא הומומורפיזם משום שלפי הכמעט־אדיטיביות
)למה ,(3.3.3
2
⟨⟨a⟩⟩ + ⟨⟨b⟩⟩ ∼ ⟨⟨ab⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b⟩⟩ ≡ ⟨⟨ab⟩⟩ (mod I ).
2
התוצאה נובעת מכך ששתי ההעתקות הופכות זו את זו.
בעיה 3.3.5הראה שלכל תבנית qמממד איזוגי.q ⊥ ⟨disc(q)⟩ ∈ I 2 (F ) ,
3.3.1
תבניות בינאריות
נעזר בדיסקרימיננטה כדי למיין את התבניות הבינאריות:
טענה 3.3.6את התבנית הבינארית qאפשר להציג בצורה ⟩ ⟨a, bאם ורק אם aהוא ערך של התבנית,
ו־).ab = −disc(q
הוכחה .אם ⟩ q = ⟨a, bאז ) a = q(1, 0הוא ערך של התבנית ו־ .disc(q) = −abבכיוון ההפוך נניח ש־q
נתונה a ,הוא ערך שלה ו־) .−ab = disc(qאז יש x ∈ F 2עם ;disc(x) = aאפשר להשלים את } {xלבסיס
∼ qעבור איזשהו × .c ∈ Fאבל אז −ab = disc(q) = disc(⟨a, c⟩) = −ac
אורתוגונלי ,ולכתוב ⟩= ⟨a, c
2
ו־) × .c ≡ b (mod F
מסקנה 3.3.7את התבנית הבינארית qאפשר להציג בצורה ⟩∗ ⟨a,אם ורק אם aהוא ערך של התבנית.
∼ ⟩ ⟨a, bאם ורק אם cהוא ערך של התבנית ,כלומר
מסקנה ) 3.3.8הצגות של תבנית בינארית( ⟩= ⟨c, d
2
מהצורה ,ax2 + by 2ו־) × .cd ≡ ab (mod F
{
}
תרגיל ;P(F ) = u2 + u : u ∈ F ,charF = 2 3.3.9זוהי תת־חבורה חיבורית של ).(F, +
כל תבנית בינארית אפשר לייצג כמטריצה )לאו דווקא סימטרית( בדרכים שונות; הראה
שהדטרמיננטה של המטריצה המייצגת מוגדרת היטב בחבורת המנה ) .F/P(F
תרגיל 3.3.10הראה שבמאפיין ,2כל תבנית רגולרית דו־ממדית שאינה סכום של תבניות חד־
ממדיות ,אפשר להציג בצורה ) ax2 + xy + by 2שאותה מסמנים ].([a, b
∼ ] [a, bאם ורק אם cהוא ערך של התבנית ax2 +
בעיה .charF = 2 3.3.11הראה ש־]= [c, d
,xy + by 2ו־)) ) ab ≡ cd (mod P(Fזהו האינווראינט של ,Arfהמחליף את הדיסקרימיננטה
במאפיין .(2
27
.3.3הדיסקרימיננטה
3.3.2
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
יוצרים ויחסים לחוג ויט
כדי להגדיר הומומורפיזמים מחוג ויט ,טוב שתהיה לנו הצגה שלו באמצעות יוצרים ויחסים .הדרך
להצגה כזו עוברת בתכונה חשובה ושימושית שהוכיח ויט.
∼
=
משפט ) 3.3.12משפט השרשרת של ויט( כל איזומורפיזם ⟩ ⟨a1 , . . . , an ⟩ −→ ⟨b1 , . . . , bnשל תבניות
ריבועיות אפשר להציג כשרשרת של איזומורפיזמים כך שבכל צעד משתנים רק שני רכיבים סמוכים; כלומר ,כל צעד
⟩
∼
⟨ =
הוא מהצורה .⟨c1 , . . . , ci , ci+1 , . . . , cn ⟩ −→ c1 , . . . , c′i , c′i+1 , . . . , cn
הוכחה .את האיזומורפיזם אפשר לתאר כמעבר ממטריצה מייצגת Aלמטריצה מייצגת ,B = P AP tכאשר P
הפיכה .כידוע ,כל מטריצה הפיכה אפשר להציג כמכפלה של מטריצות אלמנטריות ,וכל אחת מאלה פועלת רק על
שני רכיבים .כדי לדאוג שהרכיבים יהיו סמוכים ,די לבצע סדרה של החלפות ,והרי ⟩.⟨a, b⟩ = ⟨b, a
בעיה 3.3.13כתוב הוכחה שלמה של משפט השרשרת.
נגדיר חבורה W ′הנוצרת על־ידי היוצרים ]) [aלכל × (a ∈ Fבכפוף ליחסים
* ],[ac2 ] = [a
* ,[1] + [−1] = 0
* ]).[a] + [b] = [a + b] + [ab(a + b
∼ ⟩ ⟨a, bאז ].[a] + [b] = [c] + [d
למה 3.3.14אם ⟩= ⟨c, d
הוכחה .לפי מסקנה ,3.3.8יש x, y, z ∈ Fכך ש־ c = ax2 + by 2ו־ .d = abcz 2לכן
[a] + [b] = [ax2 ] + [by 2 ] = [ax2 + by 2 ] + [abx2 y 2 (ax2 + by 2 )] = [c] + [abc] = [c] + [d].
משפט 3.3.15כחבורה אבלית W (F ) ,נוצר על־ידי התבניות ⟩ ,(a ∈ F × ) ⟨aבכפוף ליחסים הבאים )בלבד(:
⟩ ⟨
ac2 = ⟨a⟩ .1לכל × ;c ∈ F
;⟨1⟩ + ⟨−1⟩ = 0 .2
⟨a⟩ + ⟨b⟩ = ⟨a + b⟩ + ⟨ab(a + b)⟩ .3לכל × a, b ∈ Fכך ש־.a + b ̸= 0
הוכחה .עלינו להראות שההעתקה ) W ′ →W (Fהמוגדרת לפי ⟩ [a] 7→ ⟨aהיא איזומורפיזם .ההעתקה מוגדרת
∼ ⟩ .⟨a, bהיא על משום שלכל תבנית ב־) W (Fיש הצגה
היטב משום ש־ ⟨1, −1⟩ = Hו־⟩)= ⟨a + b, ab(a + b
q ⊥ ⟨1⟩ ,qאלכסונית ,וכמובן די בזה( .נשאר להוכיח
שלכל תבנית∑
אלכסונית )במאפיין 2הגרסה הנכונה היא ∑
שההעתקה חד־חד־ערכית .נניח ש־ . [ai ] − [a′i ] 7→ 0אפשר להוסיף מרכיב היפרבולי לאחד האגפים ,ולהסיק
′
∼ ′
השרשרת אפשר להניח שרק שני רכיבים סמוכים משתנים במעבר
משפט ⟨ ′
ש־⟩ .⟨a1 , . . . , an ⟩ = ⟨a1 , . . . , anלפי ⟩
′
′
′
∼
הזה ,ולפי משפט הצמצום פירושו של דבר ש־ .⟨ai , ai+1 ⟩ = ai , ai+1מזה נובע ] [ai ]+[ai+1 ] = [ai ]+[ai+1
לפי למה .3.3.14
מסקנה 3.3.16כחוג W (F ) ,נוצר על־ידי התבניות ⟩ ⟨aבכפוף ליחסים שנמנו לעיל ,בתוספת
28
.3.4אלגברות קליפורד
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
.⟨a⟩⟨b⟩ = ⟨ab⟩ .4
את מסקנה 3.3.16הוכיח האריסון ) (Harrisonב־ .1970בעקבות זאת אפשר להגדיר לכל חוג
קומוטטיבי את חוג ויט־הריסון המופשט שלו ,בתור החוג הנוצר על־ידי יוצרים פורמליים ⟩ ⟨aלכל
,0 ̸= a ∈ Rובכפוף לאותם יחסים.
דוגמא 3.3.17ההומומורפיזם של הממד מודולו 2מוגדר לפי .⟨a⟩ 7→ 1אפשר לבדוק שהוא מוגדר היטב
גם דרך היחסים.
מכיוון ש־) I(Fהיא תת־חבורה מאינדקס סופי של ) ,W (Fתהליך רדמייסטר־שרייר יודע לחשב
מן ההצגה של ) W (Fהצגה של ) :I(F
טענה 3.3.18כחבורה אבלית I(F ) ,נוצר על־ידי התבניות ⟩⟩ ,(a ∈ F × ) ⟨⟨aבכפוף ליחסים הבאים:
⟩⟩ ⟨⟨
; ac2 = ⟨⟨a⟩⟩ .1
;⟨⟨1⟩⟩ = 0 .2
.(a ̸= −b) ⟨⟨a⟩⟩ + ⟨⟨b⟩⟩ = ⟨⟨a + b⟩⟩ + ⟨⟨ab(a + b)⟩⟩ .3
תרגיל 3.3.19לפי הכמעט־אדיטיביות )למה I 2 (F ) ,(3.3.3נוצר על־ידי ההפרשים ⟨⟨a⟩⟩+⟨⟨b⟩⟩−
⟩⟩ .⟨⟨abחבר עובדה זו לטענה 3.3.18כדי לקבל הצגה של ) .I(F )/I 2 (Fהסק מכאן את
טענה .3.3.4
לא ידועה הצגה של I 2כחבורה אדיטיבית; אבל ראו בהמשך )סעיף (4.3הצגה של ,I 2 /I 3ומבוא
להצגות של הגורמים הגבוהים .I n /I n+1
3.4
אלגברות קליפורד
האינווריאנט האפס של תבנית הוא מספר ,זוגיות הממד .האינווריאנט הראשון ,הדיסקרימיננטה,
הוא סקלר בשדה ,מודולו ריבועים .האינווריאנט שנבנה בסעיף הזה הוא אלגברה פשוטה מרכזית,
המוגדרת עבור מחלקות ב־ .I 2זה אינווריאנט עדין יותר )הדיסקרימיננטה אדישה למה שקורה
בתוך ,(I 2והוא מספק אובייקט קונקרטי -אלגברה -שבעזרתו אפשר להוכיח ששתי תבניות אינן
איזומורפיות .נקדים לבניה כמה סעיפי רקע.
3.4.1
אלגברות פשוטות מרכזיות
נסקור בקצרה ובלי הוכחות את יסודות התאוריה של אלגברות פשוטות מרכזיות מעל שדה.
לפי משפט ודרברן ,כל אלגברה פשוטה Aמממד סופי מעל המרכז שלה ,איזומורפית לאלגברת
מטריצות ) Mr (Dכאשר Dחוג עם חילוק .לפי התכונות הידועות של מטריצות ,לשתי האלגברות
מר ָכז ) .Z(A) = Z(Dנתבונן באלגברות הפשוטות שהמרכז שלהן שווה לשדה נתון .F
יש אותו ְ
אלגברה שהמרכז שלה שווה ל־ Fנקראת אלגברה מרכזית מעל ) Fואם השדה ברור מההקשר ,סתם
אלגברה מרכזית(.
המרכז של Bהוא תת־האלגברה
ֵּ
תהי B ⊆ Aתת־אלגברה.
CA (B) = {a ∈ A : (∀b ∈ B) ab = ba}.
ברור שלכל אלגברה Aולכל B ⊆ Aמתקיים )) .B ⊆ CA (CA (Bמתברר שאם Aפשוטה
מרכזית המצב הדוק יותר:
משפט ) 3.4.1משפט המרכז הכפול( תהי Aאלגברה פשוטה מרכזית .לכל תת־אלגברה B ⊆ Aמתקיים
.CA (CA (B)) = B
29
.3.4אלגברות קליפורד
3.4.2
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
חבורת בראוור
הגדרה 3.4.2אומרים ששתי אלגברות מרכזיות A, Bהן שקולות במובן של בראוור ,ומסמנים ,A ∼ Bאם שתיהן
∼ ) .Mr (Aאת
אלגברות מטריצות מעל אותו חוג עם חילוק .תכונה זו שקולה לכך שקיימים r, sכך ש־)= Ms (B
מחלקת השקילות של Aמסמנים ב־].[A
∼ .A
תרגיל 3.4.3אם A ∼ Bו־) dim(A) = dim(Bאז = B
טענה 3.4.4תהיינה A, Bאלגברות פשוטות מרכזיות ,אז גם A⊗F Bהיא אלגברה פשוטה מרכזית.
הגדרה 3.4.5המכפלה של מחלקות )ראה ההגדרה הקודמת( מוגדרת לפי ].[A] · [B] = [A⊗F B
∼ .A⊗Aop
∼ )= EndF (A
טענה = Mdim(A) F ∼ F 3.4.6
מסקנה 3.4.7אוסף המחלקות של אלגברות פשוטות מרכזיות מעל ,Fעם פעולת הכפל של מחלקות לפי
מכפלת טנזורית של נציגים ,מהווה חבורה )הנקראת חבורת בראוור של ;Fמסמנים אותה ב־) .(Br(F
המשפט הבא מאפשר לזהות מכפלות טנזוריות:
טענה 3.4.8תהי Aאלגברה פשוטה מרכזית .לכל תת־אלגברה B ⊆ Aשהיא בעצמה פשוטה ומרכזית,
∼ .A
גם ) B ′ = CA (Bפשוטה מרכזית ,ו־ = B⊗F B ′
העתקת הצמצום
טענה 3.4.9אם Aאלגברה פשוטה מרכזית מעל ,Fו־ K/Fהרחבת שדות ,אז K⊗F Aהיא אלגברה
פשוטה מרכזית מעל ,Kוהממדים שווים.[K⊗F A : K] = [A : F ] :
טענה 3.4.10מעל שדה סגור אלגברית אין אלגברת חילוק מממד סופי פרט לשדה עצמו.
מסקנה 3.4.11הממד של אלגברה פשוטה מרכזית Aמעל הרמכז שלה הוא תמיד ריבוע של מספר שלם.
שורש הממד נקרא הדרגה של האלגברה ,ומסמנים אותו ).deg(A
∼ ) ,K⊗F (A⊗F Bולכן ] [A] 7→ [K⊗F Aמגדיר הומומורפיזם
טענה = (K⊗F A)⊗K (K⊗F B) 3.4.12
של חבורות
resK/F : Br(F )→Br(K).
הסדר של ) [A] ∈ Br(Fנקרא האקספוננט של ,Aומסמנים אותו ב־).exp(A
טענה 3.4.13לכל אלגברה פשוטה מרכזית .exp(A) | deg(A) ,Aבפרט ,הסדר תמיד סופי.
3.4.3
אינוולוציות
תהי Rאלגברה מעל שדה .Fאינוולוציה של Rהיא אנטי־אוטומורפיזם מסדר ,2כלומר פונקציה
σ : R→Rהמקיימת
) σ(t + t′ ) = σ(t) + σ(t′
)σ(tt′ ) = σ(t′ )σ(t
σ(σ(t)) = t
אינוולוציה היא מסוג ראשון אם הצמצום של σלמרכז Fהוא הזהות ,ומסוג שני אם הצמצום הוא
אוטומורפיזם לא טריוויאלי.
משפט 3.4.14לאלגברה פשוטה מרכזית Aיש אינוולוציה מסוג ראשון אם ורק אם .exp(A) | 2
הגדרה 3.4.15אלגברת קווטרניונים מעל Fהיא אלגברה פשוטה מרכזית מדרגה ) 2כלומר מממד .(4
תרגיל 3.4.16כל אלגברת קווטרניונים פרט ל־) M2 (Fהיא אלגברת חילוק.
30
.3.4אלגברות קליפורד
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
3.4.4קווטרניונים
הגדרה 3.4.17יהי Fשדה ממאפיין שונה מ־ .2יהיו × .a, b ∈ Fהאלגברה (a, b) = (a, b)2,Fהיא האלגברה
עם יוצרים x, yויחסים
x2 = a,
y 2 = b,
;yx = −xy
זו אלגברה מממד ,4עם בסיס .1, x, y, xy
טענה 3.4.18יהי Fשדה ממאפיין שונה מ־ .2כל אלגברת קווטרניונים אפשר להציג בצורה )(a, b
)בדרכים רבות( ,וכל אלגברה מהצורה הזו היא אלגברת קווטרניונים.
∼ ) M2 (Fלכל × .b ∈ F
תרגיל 3.4.19הראה ש־ = (1, b)2,F
הגדרה 3.4.20על אלגברת הקווטרניונים ) (a, bמוגדרת האינוולוציה הסימפלקטית לפי y ∗ = −y ,x∗ = −x
)ואז .((xy)∗ = −xy
תרגיל 3.4.21האינוולוציה הסימפלקטית היא האינוולוציה היחידה של ) Q = (a, bשממד מרחב
האברים הסימטריים תחתיה הוא .1מצא אינוולוציה של Qשאינה סימפלקטית ,והראה שממד
מרחב האברים הסימטריים עבורה הוא .3
האינוולוציה הסימפלקטית מגדירה את הנורמה N : Q→Fלפי ∗.N(w) = ww
תרגיל N(t0 + t1 x + t2 y + t3 xy) = (t0 + t1 x + t2 y + t3 xy)(t0 − t1 x − t2 y − t3 xy) = 3.4.22
,t20 − at21 − bt22 + abt23כלומר תבנית הנורמה של ) (a, bאיזומורפית ל־⟩⟩.⟨⟨a, b
תרגיל 3.4.23העקבה tr : Q→Fמוגדרת לפי ∗ .tr(w) = w + wהראה שלכל w ∈ Qמתקיימת
הזהות .w2 − tr(w)w + N(w) = 0חשב את תבנית העקבה )הריבועית( של ,Qהמוגדרת לפי
) .x 7→ tr(x2השווה לתרגיל .2.4.6
תרגיל 3.4.24נניח ש־ σ1 , σ2הן אינוולוציות של האלגברות הפשוטות המרכזיות .A1 , A2הראה
ש־ σ1 ⊗σ2היא אינוולוציה של ,A1 ⊗A2כאשר המכפלה הטנזורית של אינוולוציות מוגדרת לפי
) .(σ1 ⊗σ2 )(a1 ⊗a2 ) = σ1 (a1 )⊗σ2 (a2
טענה ) 3.4.25חוקי המשחק בקווטרניונים( לכל × ,a, b, a′ , b′ ∈ F
;(a, b)⊗(a, b′ ) ∼ (a, bb′ ) .1
;(a, b)⊗(a′ , b) ∼ (aa′ , b) .2
.3אם a + b = 1אז .(a, b) ∼ F
∼ ).(a, b
= (b, a) .4
.(a, −a) ∼ F .5
הוכחה .קבוצת יוצרים סטנדרטית של ) (a1 , b1 )⊗(a2 , b2היא רביעיה x1 , y1 , x2 , y2כך ש־ ,yi2 = bi ,x2i = ai
,yi xi = −xi yiו־ x1 , y1מתחלפים עם .x2 , y2
.1נבחר קבוצת יוצרים סטנדרטית x, y, x′ , y ′של אגף שמאל .אז xx′−1 , y, x′ , yy ′היא קבוצת יוצרים
סטנדרטית של ) (1, b)⊗(a, bb′הדומה ל־) (a, bb′לפי תרגיל .3.4.19
.2תרגיל.
31
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
.3.4אלגברות קליפורד
.3יהי x, yזוג יוצרים סטנדרטי של ) ,(a, bכלומר y 2 = b ,x2 = aו־ .yx = −xyאז = (x + y)2
,x2 + xy + yx + y 2 = 1ולכן .(x + y + 1)(x + y − 1) = 0באלגברת חילוק אין מחלקי אפס,
∼ )) (a, bתרגיל .(3.4.16
ומכאן ש־) = M2 (F
.4החלף את x, yב־.y, x
.5כמו בסעיף .(x + y)2 = a − a = 0 ,3
∼ ) .M2 (F
תרגיל 3.4.26מצא זוג יוצרים סטנדרטיים של )= (1, b
3.4.5
אלגברת קליפורד של תבנית
יהי Vמרחב וקטורי .אלגברת הטנזורים של Vהיא האלגברה
T (V ) = F ⊕ V ⊕ (V ⊗V ) ⊕ (V ⊗V ⊗V ) ⊕ · · · ,
עם הפעולה .(v1 ⊗ · · · ⊗vn )·(w1 ⊗ · · · ⊗wm ) = v1 ⊗ · · · ⊗vn ⊗w1 ⊗ · · · ⊗wmהאלגברה מדורגת
לפי אורך הטנזורים .אם בוחרים בסיס } ,V = span{xiזו אינה אלא האלגברה החופשית עם היוצרים
.xiההצגה שאינה תלויה בבסיס נוחה יותר ,למשל משום שכאשר נגדיר בעזרתה מושגים שונים ,לא
יהיה צורך להוכיח שההוכחה אינה תלויה בבסיס.
הגדרה 3.4.27אלגברת קליפורד של מרחב ריבועי ) (V, qהיא האלגברה
C(V, q) = T (V )/⟨v⊗v − q(v)⟩,
כאשר האידיאל נוצר על־ידי כל האברים מהצורה )) .v ∈ V ,v⊗v − q(vבמאפיין 2יש להוסיף את היחסים
.u⊗v⊗v⊗w = q(v)u⊗wבמאפיין שונה מ־ 2אין בהם צורך משום שהם נובעים מן היחס )(.v⊗v = q(v
אם כך ,אלגברת קליפורד היא האלגברה הכללית ביותר הנוצרת על־ידי המרחב Vוהמקיימת
את היחס ) v 2 = q(vלכל .v ∈ V
טענה 3.4.28יהי v1 , . . . , vnבסיס של .Vאז אוסף המכפלות המסודרות מכל האורכים,
1, v1 , . . . , vn , v1 v2 , . . . , vn−1 vn , . . . , v1 · · · vn ,
מהווה בסיס ל־).C(V, q
מסקנה 3.4.29נניח ש־ ,dim(V ) = nאז .dim C(V, q) = 2n
נסמן ב־ bq : V × V →Fאת התבנית הבילינארית המתאימה ל־ .qאז באלגברה ) ,C(Vלכל
u, v ∈ Vמתקיים ) ,uv + vu = (u + v)2 − u2 − v 2 = 2bq (u, vכלומר
vu = 2bq (u, v) − uv.
בפרט ,אם u, vמאונכים ,אז u, vאנטי־מתחלפים.
מסקנה 3.4.30נניח שהתבנית ⟩ q = ⟨a1 , . . . , anאלכסונית ביחס לבסיס } ,{v1 , . . . , vnהיינו
,q(t1 v1 + · · · + tn vn ) = a1 t21 + · · · + an t2nאז
vj vi = −vi vj (i ̸= j)].
∼ )C(V, q
= F [v1 , . . . , vn | vi2 = ai ,
32
)(3.1
.3.4אלגברות קליפורד
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
דוגמא 3.4.31אלגברת קליפורד של מרחב חד־ממדי ,V = F xעם התבנית הריבועית ⟩ ,⟨aהיא
√
].C(⟨a⟩) = F [x : x2 = a] = F [ a
דוגמא 3.4.32אלגברת קליפורד של מרחב דו־ממדי ,V = F x + F yעם התבנית הריבועית ⟩ ,⟨a, bהיא
∼ )⟩⟩.C(⟨⟨a
∼ )⟩ .C(⟨a, bבפרט = M2 (F ) ∼ F
אלגברת קווטרניונים = (a, b)2,F
∼ )C(⟨a⟩ · H
תרגיל 3.4.33העזר בתרגיל ) 3.4.32ובטענה (3.4.25כדי להראות ש־) = M2 (F
לכל × .a ∈ F
איזומורפיזמים ואוטומורפיזמים
∼ ) .C(qהוכח
∼ qאז ) = C(q ′
תרגיל 3.4.34התוצאה הבאה טריוויאלית מתוך ההגדרה :אם = q ′
את הטענה ישירות מן ההצגה ).(3.1
תרגיל 3.4.35הוכח שכל איזומורפיזם ) C(V, q)→C(V ′ , q ′המעביר את Vל־ V ′הוא איזומטריה.
∼ .qנסה להוכיח
כלומר ,אם יש איזומורפיזם ) C(V, q)→C(V ′ , q ′המעביר את Vל־ ,V ′אז = q ′
∼ .qהסבר מהו הקושי המהותי בכיוון הזה .ראה תרגיל .3.4.52
∼ ) C(qאז = q ′
שאם ) = C(q ′
תרגיל 3.4.36בדומה לתרגיל ,3.4.35כל אוטומורפיזם ) C(V, q)→C(V, qהשומר על Vמשרה
על Vאיזומטריה.
האינוולוציה
על אלגברת קליפורד ) C(V, qמוגדרת אינוולוציה לפי v ∗ = −vלכל .v ∈ Vבמונחי הבסיס
של טענה ,3.4.28האינוולוציה מוגדרת לפי ,vi∗ = −viולכן = (vi1 · · · vit )∗ = (−1)t vit · · · vi1
t+1
.(−1)( 2 ) vi1 · · · vit
דוגמא 3.4.37תהי ⟩ q = ⟨a, bתבנית דו־ממדית .כפי שראינו בדוגמא ,3.4.32
]C(q) = F [x, y | x2 = a, y 2 = b, yx = −xy
היא אלגברת קווטרניונים.
מהגדרה .3.4.20
3.4.6
האינוולוציה שהוגדרה כאן מתלכדת עם האינוולוציה הסימפלקטית
חישוב אלגברת קליפורד
נסמן ב־ ,vIכאשר } ,I = {i1 , . . . , it } ⊆ N = {1, . . . , nאת המכפלה הסדורה .vI = vi1 · · · vit
קל להוכיח ש־
||I||J|−|I∩J
)(3.2
)vI vJ = (−1
vJ vI .
כמו־כן,
ai .
∏
||I
) = (−1)( 2
vI2
)(3.3
i∈I
F
)n ≡ 0 (mod 2
המרָכז של ) C(qהוא
ְ
טענה 3.4.38
)F [vN ] n ≡ 1 (mod 2
{
= )).Z(C(q
∑
= zמתחלף עם יוצר
הוכחה .כפל ב־ ,viמימין או משמאל ,מהווה תמורה של אברי הבסיס .vIלכן ,אם αI vI
מוכרח להתחלף עם כל מחובר .αI vIאבל vIמתחלף עם viאם ורק אם ) ,|I| ≡ δi∈I (mod 2כאשר
,viהיוצר {
1 i∈I
= .δi∈Iאם ,∅ ⊂ I ⊂ Nאז הערך של δi∈Iאינו קבוע ,ולכן יש יוצרים שאינם מתחלפים עם
0 i ̸∈ I
.vIמכאן שהמקדם של vIהוא אפס .האיבר vNמתחלף עם כל היוצרים אם ורק אם nאי־זוגי ,וזה משלים את
החישוב.
33
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
.3.4אלגברות קליפורד
תרגיל 3.4.39המכפלה v1 · · · vnאינה תלויה בבסיס )כל עוד qאלכסונית ביחס אליו( ,אלא
עד־כדי כפל בסקלר.
נראה שאלגברת קליפורד של תבנית מממד זוגי היא מכפלה טנזורית של אלגברות קווטרניונים.
משפט 3.4.40נניח ש־⟩ q = ⟨a1 , . . . , anכאשר n = 2mזוגי .אז ) C(qהיא מכפלה טנזורית של mאלגברות
קווטרניונים,
m
⊗
((−1)i−1 a1 . . . a2i−2 a2i−1 , (−1)i−1 a1 . . . a2i−2 a2i )2
∼ )C(q
=
i=1
הוכחה .עבור ,i = 1, . . . , mנסמן ) pi = v1 v2 · · · v2i−3 v2i−2כך ש־ .(p1 = 0נתבונן בתת־האלגברה
] .Qi = F [pi v2i−1 , pi v2iנוסחת ההעלאה בריבוע ) (3.3מראה ש־
2i−1
2i−1
∼ Qi
) = ((−1)( 2 ) a1 . . . a2i−2 a2i−1 , (−1)( 2 ) a1 . . . a2i−2 a2i
הן אלגברות קווטרניונים ,ובדיקה מראה שהן מתחלפות זו עם זו .לכן
∼ )C(q
= Q1 ⊗Q2 ⊗ · · · ⊗Qm .
(
)
. 2i−1
הנוסחה שבטענה נובעת מכך ש־)≡ i − 1 (mod 2
2
כלומר,
C(⟨a1 , a2 , . . . , a2m ⟩) = (a1 , a2 )⊗(−a1 a2 a3 , −a1 a2 a4 )⊗(a1 a2 a3 a4 a5 , a1 a2 a3 a4 a6 )⊗ · · · .
מסקנה 3.4.41לכל תבנית qמממד זוגי C(q) ,היא אלגברה פשוטה מרכזית )טענה .(3.4.4
אלגברת קליפורד הזוגית
בעיה 3.4.42פירוק של אלגברה לסכום ישר A = A0 ⊕A1נקרא דירוג )לפי (Z/2Zאם ⊆ Ai Aj
) .Ai+j (mod 2הראה ש־) T (Vאלגברה מדורגת לפי הפירוק )) ,T (V ⊗V ) ⊕ (V ⊗T (V ⊗V
ושדירוג זה משרה דירוג של אלגברת קליפורד עם המרכיבים
C(V, q) = C0 (V, q) ⊕ C1 (V, q),
המוגדרים )בהמשך לטענה (3.4.28כך ש־) C0 (qנפרש על־ידי הווקטורים vIעם | |Iזוגי ,ו־
) C1 (qנפרש על־ידי הווקטורים vIעם | |Iאי־זוגי .הדרכה .אכן ,היחסים המגדירים את )C(V, q
שייכים כולם לחלק הזוגי ) .T (V ⊗V
תרגיל 3.4.43חשב את )).Z(C0 (q
תרגיל 3.4.44הראה ש־ .CC(V,q) (C0 (V, q)) = Fהסק :אם ) w ∈ C0 (V, qמתחלף עם כל
,v ∈ Vאז .w ∈ Fהראה באותו אופן שאם ) w ∈ C(V, qאנטי־מתחלף עם כל ,v ∈ vאז
.w = 0
34
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
3.4.7
.3.4אלגברות קליפורד
אלגברת קליפורד כאינווריאנט
אלגברת קליפורד של qמשמרת את הממד של ,qולכן אינה יכולה להיות מוגדרת היטב על מחלקות
דמיון בחוג ויט .מאידך ,אם נתבונן באלגברה עד כדי דמיון בחבורת בראוור ,נאבד את הממד ונוכל
∼
להכיל את השקילות בחוג ויט .למשל ,לפי תרגילים 3.4.32ו־= M2 (F ) ∼ F ,3.4.19
)(n.C(H
)
חישוב ישיר בעזרת משפט ,3.4.40יחד עם העובדה שאם n = 2mאז ) , 2 ≡ m (mod 2מביא
למסקנה הבאה:
מסקנה 3.4.45תהיינה q, q ′תבניות ריבועיות מממד זוגי מעל .Fאז
∼ ) C(q ⊥ q ′
= C(q)⊗C(⟨disc(q)⟩ · q ′ ),
כאשר ) disc(qהיא הדיסקרימיננטה.
ובפרט )אם נבחר ⟩,(q ′ = ⟨1, −1
מסקנה 3.4.46תהי qתבנית ריבועית מממד זוגי מעל .Fאז
).C(H ⊥ q) ∼ C(q
מסקנה 3.4.47התאמת אלגברת קליפורד לתבנית היא העתקה מוגדרת היטב ) ,γ : I(F )→2 Br(Fלפי
]) .γ([q]) = [C(qזהו אינווריאנט הסה־ויט של .q
מסקנה 3.4.48הצמצום ל־ I 2הוא הומומורפיזם ) .γ : I 2 (F )→2 Br(F
הוכחה .לפי טענה disc(q) = 1 ,3.3.2לכל .q ∈ I 2נציב זאת במסקנה ,3.4.45ונקבל שאם אחת מבין q, q ′
∼ ) .C(q ⊥ q ′בפרט ]) .[C(q ⊥ q ′ )] = [C(q)] + [C(q ′
שייכת ל־ ,I 2אז ) = C(q)⊗C(q ′
טענה 3.4.49יהיו × .a, b, c ∈ F
.C(⟨c⟩⟨⟨a, b⟩⟩) ∼ (a, b)2 .1
.C(⟨⟨a, b, c⟩⟩) ∼ F .2
הוכחה.
.1לפי משפט 3.4.40וטענה ,3.4.25
)⟩C(⟨c, −ac, −bc, abc
=
∼
=
(c, a)2 ⊗(a, bc)2 ∼ (a, b)2 .
∼
(c, −ac)2 ⊗(−abc, bc)2
)⟩⟩C(⟨c⟩⟨⟨a, b
.2לפי מסקנה 3.4.45והסעיף הקודם,
)⟩⟩C(⟨⟨a, b⟩⟩ ⊥ ⟨−c⟩⟨⟨a, b
=
∼
=
(a, b)2 ⊗ (a, b)2 ∼ F.
∼
)⟩⟩C(⟨1⟩⟨⟨a, b⟩⟩) ⊗ C(⟨−c⟩⟨⟨a, b
)⟩⟩C(⟨⟨a, b, c
מכך ש־ γ(⟨⟨a, b, c⟩⟩) = 0נובע ש־) ,I 3 ⊆ Ker(γובנינו ככלות הכל את האינווריאנט השני:
35
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
.3.4אלגברות קליפורד
מסקנה 3.4.50יש הומומורפיזם
) γ : I 2 (F )/I 3 (F ) → 2 Br(F
המוגדר לפי ]).γ([q] + I 3 ) = [C(q
∼ ).C0 (⟨a⟩q
בעיה 3.4.51הראה שלכל תבנית qמממד זוגי ולכל × = C0 (q) ,a ∈ F
∼ ).C(q
בעיה 3.4.52מצא תבניות ) q, q ′ ∈ I 2 (Fשאינן איזומורפיות ,כך ש־) = C(q ′
תרגיל (.3.4.3
בעיה 3.4.53הראה שלכל תבנית qמממד זוגי.C(⟨⟨−disc(q)⟩⟩q) ∼ F ,
) .⟨⟨−disc(q)⟩⟩q ∈ I 3 (F
3.4.8
)ראה
הוכח גם ש־
חבורת הספין והנורמה הספינורית
)החומר שבתת־סעיף זה יהיה נחוץ רק בסעיף 8.4של פרק (.8
נזכיר את משפט :2.2.3
טענה O(V, q) 3.4.54נוצרת על־ידי השיקופים .u ∈ V ,τu
על־ידי בחירת בסיס מתאים ,ברור שכל שיקוף צמוד למטריצה האלכסונית ),diag(1, . . . , 1, −1
ולכן .det(τv ) = −1מכאן שבכל ההצגות של איזומטריה כמכפלת שיקופים ,הזוגיות של מספר
השיקופים נשמרת.
מסקנה O+ (V, q) 3.4.55נוצר על־ידי המכפלות של שני שיקופים.
נתבונן באלגברת קליפורד של .qיהי u ∈ Vוקטור אנאיזוטרופי .מכיוון ש־u ,u2 = q(u) ̸= 0
1
הפיך ו־u
) .u−1 = q(uבתרגיל 3.4.36ראינו שכל אוטומורפיזם של אלגברת קליפורד ,השומר על ,V
משרה איזומטריה .מתברר שהצמדה באיבר של Vהיא מינוס שיקוף.
טענה 3.4.56ההצמדה ב־ u ∈ Vהיא אוטומורפיזם של ) C(V, qהמשרה את האיזומטריה −τuעל ,V
כאשר τuהוא השיקוף המוגדר ב־).(2.1
הוכחה .לכל − v = −τu (v) ,v ∈ V
)bq (u,v
q(u) u
.uvu−1 = (2bq (u, v) − vu)u−1 = 2
נתבונן בחבורת האברים של ) C0 (V, qהפועלים על ,Vכלומר החבורה
{
}
M + = y ∈ C0 (V, q)× : yV = V y .
)(3.4
לכל ,u ∈ M +נסמן ב־) γu ∈ GL(Vאת הפעולה המושרית על־ידי ההצמדה.γu (x) = uxu−1 ,
משפט 3.4.57יש סדרה מדוייקת קצרה
/1
)/ O+ (V, q
T :u7→γu
/ M+
36
× / F
1
.3.4אלגברות קליפורד
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
הוכחה .ברור שהפונקציה T : u 7→ γuהיא הומומורפיזם ) .M + →O(V, qהגרעין שלה כולל את האברים
ההפיכים ב־) C0 (V, qהמתחלפים עם כל אברי ,Vואלו הם הסקלרים בלבד לפי תרגיל .3.4.44לפי מסקנה ,3.4.55
כל σ ∈ O+הוא מכפלה של מספר זוגי של שיקופים .נכתוב ,y1 , . . . , y2m ∈ V ,σ = τy1 · · · τy2mכאשר
בהכרח q(yi ) ̸= 0לכל .iהאיבר ) t = y1 · · · y2m ∈ C0 (Vהוא הפיך ,כי ) ,tt∗ = q(y1 ) · · · q(y2mולפי
טענה ,3.4.56ההצמדה ב־ y1 . . . y2mמשרה על Vאת הפעולה .(−τy1 ) · · · (−τy2m ) = τy1 · · · τy2mכלומר,
,y1 · · · y2m ∈ M +ו־.T (y1 · · · y2m ) = σ
+
נשאר להוכיח שהתמונה של Tמוכלת ב־ .O+אחרת ,יש t ∈ Mכך ש־ ,T (t) = τy1 · · · yτ2m+1עבור
y1 , . . . , y2m+1 ∈ Vאנאיזוטרופיים .נתבונן ב־) .w = y1 · · · y2m+1 ∈ C1 (Vלפי הנימוק הקודם הצמדה
ב־ wמשרה את המכפלה −τy1 · · · y2m+1 = −T (t)γtעל ,Vכלומר הצמדה ב־) t−1 w ∈ C1 (Vמשרה את
ההעתקה x 7→ −xעל .Vבתרגיל 3.4.44הראינו שזה בלתי אפשרי.
מן הפסקה הראשונה בהוכחה נובע:
מסקנה 3.4.58כל איבר ב־ M +הוא מהצורה αy1 · · · y2mעבור y1 , . . . , y2m ∈ Vאנאיזוטרופיים
ו־ × .α ∈ F
מסקנה 3.4.59לכל .N (t) = tt∗ ∈ F × ,t ∈ M +לכן ∗ t 7→ ttהוא הומומורפיזם × .M + →F
הוכחה .אכן ) ,N (y1 · · · y2m ) = y1 · · · y2m y2m · · · y1 = q(y1 ) · · · q(y2mוזה הומומורפיזם כי = )N (ts
).tss∗ t∗ = tt∗ (ss∗ ) = N (t)N (s
הגדרה 3.4.60הגרעין של ההומומורפיזם × M + →Fהמוגדר לפי ∗ t 7→ ttהוא חבורת הספין של ),(V, q
Spin(V, q) = {y ∈ C0 (V, q) : yy ∗ = 1, yV = V y}.
מכיוון שכל σ ∈ O+אפשר להציג בצורה γtעבור t ∈ M +יחיד עד כפל בסקלר ,אפשר להגדיר
את הנורמה הספינורית
+
×
×2
θ : O →F /F
לפי × ;θ(γt ) = tt∗ Fעל היוצרים ,ההומומורפיזם הזה מוגדר לפי × .θ(τy τy′ ) = q(y)q(y ′ )F
2
2
הגדרה 3.4.61בדומה להגדרה הקודמת ,נסמן
{
}
2
2
Θ(V, q) = Ker(θ : O+ →F × /F × ) = σ ∈ O+ : θ(σ) ≡ 1 (mod F × ) ⊆ O+ (V, q).
הערה 3.4.62אפשר לסכם את ההגדרה גם כך Θ(V, q) :כוללת את מכפלות השיקופים τy1 · · · τy2m
2
שעבורן × .q(y1 ) · · · q(y2m ) ∈ F
נתבונן בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה ,המרחיבה את הסדרה המדוייקת של המשפט.
/1
)/ Θ(V, q
_
)/ Spin(V, q
_
)/ O+ (V, q
/ M+
θ
/1
/ F × /F × 2
u7→γu
∗u7→uu
×/ F
37
}{±1
_
× / F
2
×2
/F
1
1
פרק .3האינווריאנטים הראשונים
.3.4אלגברות קליפורד
מן הדיאגרמה קל לראות ש־ Θשווה לתמונת Tהמצומצמת אל חבורת הספין ) ,Spin(V, qכלומר
} .Θ = {γu : u ∈ Spinקל גם לראות ש־}.Ker(T ) ∩ Spin = {±1
∼ .Θ
מסקנה = Spin(V, q)/{±1} 3.4.63
כדי להבין את Θטוב יותר ,נשווה אותה לחבורת הקומוטטורים ]).[O(q), O(q
הערה 3.4.64לכל ) .στu σ −1 = τσu ,σ ∈ O(V, qאכן
)b(σ −1 x, v
)b(x, σv
v) = x − 2
σ(v).
)b(v, v
)b(σv, σv
στu σ −1 (x) = σ(σ −1 (x) − 2
טענה 3.4.65החבורת ]) [O(V, q), O(V, qנוצרת על־ידי המכפלות τu τu′עם ) .q(u) = q(u′
הוכחה .אוסף השיקופים סגור להצמדה ,ולכן חבורת הקומוטטורים נוצרת על־ידי הקומוטטורים של יוצרים[τu , τv ] = ,
) ,τu τv τu τv = τu ττv (uוהרי ) .q(τv (u)) = q(uמאידך ,לכל u, u′מאותו אורך יש שיקוף σכך ש־
)) ±u′ = σ(uלמה ,(2.2.2ואז ].τu τu′ = [τu , σ
מסקנה ,[O(V, q), O(V, q)] ⊆ Θ(V, q) ⊆ O+ (V, q) ⊂ O(V, q) 3.4.66ובקיצור
[O, O] ⊆ Θ ⊆ O+ ⊆ O.
אכן ,נתבונן ביוצר טיפוסי של חבורת הקומוטטורים ,על־פי טענה .3.4.65יהיו u, u′ ∈ Vוקטורים
2
2
כך ש־) .q(u′ ) = q(uאז × ,θ(τu τu′ ) = q(u′ )q(u)F × = Fכלומר ) τu τu′ ∈ Θהטענה החלשה
2
יותר [O+ , O+ ] ⊆ Θהיא טריוויאלית ,שהרי × O+ /Θ ⊆ F × /Fהיא חבורה אבלית(.
בעיה 3.4.67חשב את ]) .O(V, q)/[O(V, q), O(V, qהאם זו חבורה מאקספוננט ?2
דוגמא 3.4.68נחשב את כל החבורות שהוזכרו בסעיף זה עבור התבנית הבינארית√⟩ .q = ⟨a, bאלגברת
∼ ].K = F [xy
קליפורד היא ] F [x, yעם y 2 = b ,x2 = aו־ .yx = −xyהחלק הזוגי הוא ]= F [ −ab
מתברר ש־ × ,M = Kוהריבוע הימני־עליון של הדיאגרמה כולל את החבורות
Θ
× F × K 1 /F
O+
× / K × /F
_
∼
=/
}/ K × /{±1
_K 1
Spin
×K
M
בעיה 3.4.69אם dim V ≥ 3אז ]) [O+ , O+ ] = [O, Oראה ].([10, 43:7
תרגיל 3.4.70אם qתבנית איזוטרופית ,אז .([2, Thm. 10.3.2]) [O, O] = Θ
∼ × .M + /Fכהכללה להגדרה של M +ב־),(3.4
תרגיל 3.4.71במשפט 3.4.57ראינו ש־ = O+
×
∼ ;M/Fואם dim V
נגדיר } .M = {y ∈ C(V, q)× : yV = V yהראה שאם dim Vזוגי אז = O
∼ ×] vN ) M/F [vNהוגדר בתת־סעיף .(3.4.6
∼ × = M + /F
אי־זוגי אז = O+
38
פרק 4
האינווריאנטים הגבוהים
4.1
תורת־ Kשל חוגים
לכל חוג Rאפשר להגדיר חבורה אבלית ) ;Kn (Rכל Knהוא פונקטור מהקטגוריה של חוגים
לקטגוריה של חבורות אבליות ,ויש סדרות מדוייקות הקושרות את הפונקטורים זה לזה .את החבורות
Kiאפשר להגדיר בכמה דרכים ,המתלכדות למרבה המזל עבור .i ≤ 2
4.1.1
מודולים פרוייקטיביים ו־ K0
החבורה ) K0 (Rמקודדת את תורת המודולים הפרוייקטיביים הנוצרים סופית מעל ,Rבאופן הבא.
נסמן ב־) Proj(Rאת החבורה למחצה של מודולים פרוייקטיביים נוצרים סופית מעל ,Rעם פעולת
הסכום הישר) .נזכיר שמודול הוא פרוייקטיבי אם ורק אם הוא מחובר ישר במודול חופשי(.
תהי Sחבורה למחצה קומוטטיבית .נגדיר יחס על הזוגות (a, a′ ) ∈ S × Sלפי ) (a, a′ ) ∼ (b, b′
אם יש s ∈ Sכך ש־ .a + b′ + s = a′ + b + sחבורת גרותנדיק של Sהיא ,לפי ההגדרה ,חבורת
המחלקות ,עם הפעולה ]) .[(a, a′ )] + [(b, b′ )] = [(a + b, a′ + b′האסוציאטיביות טריוויאלית ,וזו אכן
חבורה מכיוון ש־]) .[(a, a′ )] + [(a′ , a)] = [(a + a′ , a + a′ )] = [(0, 0אפשר לפרש את המחלקה
]) [(a, bכאילו היא ההפרש .a − bאת הבניה הזו פגשנו קודם לכן :החבורה החיבורית של חוג ויט
אינה אלא חבורת גרותנדיק של התבניות הריבועיות ,מודולו המרחבים ההיפרבוליים; וחבורת בראוור
אינה אלא חבורת גרותנדיק של האלגברות הפשוטות המרכזיות ,מודולו המטריצות.
כעת יהי Rחוג כלשהו .החבורה ) K0 (Rמוגדרת כחבורת גרותנדיק של החבורה למחצה
) .Proj(Rאת ) K0 (Rאפשר לפרש גם במונחי מטריצות אידמפוטנטיות מעל .R
דוגמא 4.1.1מהו ) K0 (Fכאשר Fשדה? המודולים הפרוייקטיביים הנוצרים סופית הם כמובן המרחבים
∼ ) .K0 (F
הוקטוריים הסופיים ,F nופעולת הסכום הישר מתאימה לחיבור ממדים .לכן = Z
הערה .ההומומורפיזם ) Z→K0 (Rהמוגדר לפי ] 1 7→ [Rהוא שיכון אם ורק אם Rמקיים את התכונה
.(Invariant Base Number) IBNזהו איזומורפיזם אם ורק אם כל מודול פרוייקטיבי הוא חופשי מדרגה
מוגדרת היטב.
4.1.2
מטריצות לא אלמנטריות ו־ K1
החבורה ) K1 (Rהיא המנה של חבורת המטריצות ההפיכות )) GL(Rמכל סדר סופי( מודולו תת־
החבורה הנוצרת על־ידי המטריצות האלמנטריות∪ .
יהי Rחוג כלשהו .אנחנו מסמנים ) .GL(R) = n≥1 GLn (Rהמטריצות eij (r) = 1 + reij
מסמנים ב־) En (Rאת חבורת המטריצות הנוצרת על־ידי המטריצות
נקראות מטריצות אלמנטריות.
∪
האלמנטריות מסדר ;nוכן ).E(R) = En (R
למה ) 4.1.2הלמה של ויטהד( לכל חוג .GL(R)′ = E(R)′ = E(R) ,R
39
פרק .4האינווריאנטים הגבוהים
.4.1תורת־ Kשל חוגים
זה מאפשר להגדיר
;)K1 (R) = GL(R)/E(R
לפי הלמה ,זוהי האבליאניזציה של ) ,GL(Rשהיא בפרט חבורה אבלית.
לפי ההגדרה K1 ,מהווה פונקטור המכבד שקילות מוריטה )בפרט ) ,(K1 (Mn (R)) = K1 (Rויש
לו תכונות שימושיות נוספות.
עבור חוג קומוטטיבי ,אפשר להתקדם עוד צעד .מוגדרת העתקת הדטרמיננטה ×,GL(R)→R
שאת הגרעין שלה מסמנים ב־) .SL(Rברור ש־) .E(R) ⊆ SL(Rלכן אפשר להגדיר את המנה
) ,SK1 (R) = SL(R)/E(Rומתקבלת סדרה מדוייקת
0 −→ SK1 (R) −→ K1 (R) −→ R× −→ 0.
אם R = Fהוא שדה ,תהליך האלימינציה של גאוס אומר ש־ ,SK1 (F ) = 0ולכן = ) K1 (F
× .Fתכונה זו נכונה למעשה לכל חוג מקומי )לאו דווקא קומוטטיבי( ,בזכות דטרמיננטת דודונה
] ×.GLd (R)→R× /[R× , R
4.1.3
יחסים אלמנטריים ו־ K2
החבורה ) K2 (Rמתארת את היחסים שמקיימות המטריצות האלמנטריות מעל ,Rמודולו היחסים
הטריוויאליים )המתקיימים בכל חוג( .ההגדרה נעזרת במושג בעל חשיבות עצמאית בתורת החבורות.
הרחבת חבורות
1 −→ A −→ E −→ G −→ 1
נקראת הרחבה מרכזית של Gאם ) .A ⊆ Z(Eשתי הרחבות 1→A→E1 →G1 →1ו־
1→A→E2 →G2 →1הן שקולות אם יש דיאגרמה מתחלפת
/1
/G
/ E1
/ A1
1
/1
/G
/ E1
/ A2
1
לכל חבורה אבלית ,Aאוסף ההרחבות המרכזיות ,עד כדי שקילות ,מהווה חבורה אבלית שמסמנים
) ;Ext(G, Aהיא איזומורפית ל־).H2(G, A
הרחבה מרכזית E Gהיא אוניברסלית אם לכל הרחבה מרכזית אחרת ,E1יש הומומורפיזם
יחיד מ־ Eאל ,E1המתחלף עם הזהות על .G
(g,a)7→g
)a7→(1,a
הרחבה טריוויאלית היא הרחבה מהצורה ,1→A −→ G ⊕ A −→ G→1כאשר Aאבלית.
משפט 4.1.3לחבורה Gיש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם Gהיא חבורה מושלמת )כלומר .([G, G] = G
במקרה זה ,ההרחבה האוניברסלית Eהיא בעצמה מושלמת ,וכל הרחבה מרכזית של Eהיא טריוויאלית.
אחרי שהגדרנו את החבורה ) ,K1 (Rהמודדת עד כמה המטריצות האלמנטריות רחוקות מליצור
את כל ) ,GLd (Rעלינו להבין את החבורה ) E(Rעצמה.
הערה 4.1.4המטריצות האלמנטריות מקיימות את היחסים
;)eij (a)eij (b) = eij (a + b
;j ̸= k, i ̸= l
[eij (a), ekl (b)] = 1
;i, j, k distinct
)[eij (a), ejk (b)] = eik (ab
i, j, k distinct.
)[eij (a), eki (b)] = ekj (−ab
40
.4.2חבורות Kשל מילנור
פרק .4האינווריאנטים הגבוהים
לאור היחסים האלה ,נגדיר את החבורה ) St(Rלפי היוצרים )) xij (aלכל i ̸= jולכל ,(a ∈ R
עם היחסים של הערה ,4.1.4כלומר ) xij (a)xij (b) = xij (a + bוכו' .זוהי חבורת סטיינברג של .R
לפי ההגדרה יש הטלה ) ,St(R)→E(Rואנו יכולים להגדיר )) ,K2 (R) = Ker(St(R)→E(Rכך
שיש סדרה קצרה מדוייקת
1 −→ K2 (R) −→ St(R) −→ E(R) −→ 1.
משפט 4.1.5לכל חוג K2 (R) ,Rהוא המרכז של ) .St(Rיתרה מזו,
0 −→ K2 (R) −→ St(R) −→ E(R) −→ 0
היא הרחבה מרכזית אוניברסלית של ).E(R
באופן כללי קשה מאד לחשב את החבורות ) .K2 (Rבמקרה הקומוטטיבי באים לעזרתנו כמה
חישובים פלאיים .עבור × ,u, v ∈ Rנסמן
wij (u) = xij (u)xji (−u−1 )xij (u),
hij (u) = wij (u)wij (−1),
ו־
{u, v} = [h12 (u), h13 (v)].
תרגיל 4.1.6בדוק ש־) ,{u, v} ∈ K2 (Rעל־ידי חישוב התמונה ב־).E(R
4.2חבורות Kשל מילנור
כעת נגדיר את החבורות ) Kn (Fשל מילנור ) ,(Milnorלכל .n ≥ 0ההגדרה פורמלית ונראית אפילו
מלאכותית ,אבל היא מזקקת תובנות עמוקות על האריתמטיקה של השדה.
הגדרה 4.2.1יהי Fשדה .החבורה ) ) Kn (Fנקראת חבורת Kה־n־ית של מילנור( היא החבורה האבלית החופשית
הנוצרת על־ידי הסמלים } ,a1 , . . . , an ∈ F × ,{a1 , . . . , anבכפוף ליחסים הבאים:
.1הסמל הוא מולטילינארי בכל רכיב ,כלומר
}
{
}
; a1 , . . . , ai a′i , . . . , an = {a1 , . . . , ai , . . . , an } + a1 , . . . , a′i , . . . , an
.2אם ai + aj = 1אז .{a1 , . . . , ai , . . . , aj , . . . , an } = 0
הכתיב לפעולה בחבורות ) Kn (Fהוא חיבורי .אם מגדירים פעולת כפל
{a1 , . . . , ai } · {b1 , . . . , bj } = {a1 , . . . , ai , b1 , . . . , bj },
הסכום הישר
⊕
) n≥0 Kn (F
= ) K∗ (Fהופך לחוג מדורג )על־ידי .(N
41
{
פרק .4האינווריאנטים הגבוהים
.4.2חבורות Kשל מילנור
לכל שיכון של שדות ι : F ,→ Eמוגדרת העתקת הצמצום resE/F : K∗ (F )→K∗ (E) ,לפי
התאמת הסמל ) {a1 , . . . , an } ∈ Kn (Fעבור × ai ∈ Fלסמל ).{ι(a1 ), . . . , ι(an )} ∈ Kn (E
זהו הומומורפיזם של חוגים ,וכך הופכת ההתאמה
) F 7→ K∗ (F
לפונקטור מהקטגוריה של שדות לקטגוריה של חוגים קומוטטיביים מדורגים.
נחשב את חבורות־ Kהראשונות לפי ההגדרה החדשה .פורמלית K0 (F ) ,נוצרת על־ידי הסמל
הריק }{ ,ולכן .K0 (F ) = Zכמו־כן K1 (F ) ,נוצר על־ידי הסמלים } ,{aעם היחסים = }{ab
2
} .{a} + {bלפיכך .K1 (F ) = F × ,הגדרות אלו מתלכדות עם ההגדרות הכלליות יותר מהסעיפים
הקודמים.
העובדה שחבורת K2של שדה כפי שהגדיר אותה מילנור זהה להגדרה של סעיף 4.1.3היא משפט
לא קל של .Matsumotoנתעד כמה זהויות ב־) ,K2 (Fלשימוש עתידי.
הערה ) 4.2.2איך משחקים ב־) (K2 (Fבחבורה ) K2 (Fמתקיים
{a, 1} = {1, a} = 0 .1לכל × .b ∈ F
.{a, −a} = 0 .2
.{a, b} = −{b, a} .3
{
}
.{a, b} = − ab , a + b .4
}
{
{
}
הוכחה (1) .ברור .עבור ) ,(2חשב את = {a, 1 − a} −
0 = a−1 , 1 − a−1 = − a, 1−a
−a
= }.0 = {ab, −ab
−a}+{a,
a}+{b,
} .{a, −aעבור ) ,(3חשב }= {a,}b}+{b, a
{ {a,
} b}+{b,
{ −a a+b
}} {−b
a
a
a
לבסוף עבור ) ,(4מתקיים }.0 = − b , 1 + b = b , b = − b , a + b − {a, b
4.2.1
העתקת השארית
נניח ש־ Fשדה עם הערכה דיסקרטית .ν : F →Zנסמן ב־ ̄ Fאת שדה השאריות .פונקציית
ההערכה מתאימה לכל ) {a} ∈ K1 (Fאת הערך ) ,ν(a) ∈ Z = K0 (Fומגדירה הומומורפיזם
) ̄ .K1 (F )→K0 (Fבאופן יותר כללי ,יש הומומורפיזם יחיד ) ̄ ∂ν : Kn+1 (F )→Kn (Fהמקיים
} ∂ν ({a0 , a1 , . . . , an }) = ν(a0 ) · {a¯1 , . . . , a¯n
לכל × a1 , . . . , an ∈ Fעם ,ν(a1 ) = · · · = ν(an ) = 0כאשר ̄ ā ∈ Fמציין את השארית של .a
ההומומורפיזם הזה נקרא העתקת השארית.
′
העתקת השארית מתחלפת עם העתקת הצמצום ,במובן הבא .תהי F /Fהרחבה של שדות ,עם
הערכות דיסקרטיות ν : F →Zוהרחבה ,ν ′ : F ′ → 1e Zועם שדות שאריות .F̄ ⊆ F¯′במקרה כזה,
הדיאגרמה הבאה מתחלפת:
) / Kn (F¯′
O
∂ν ′
̄res F¯′ /F
) ̄/ Kn (F
) Kn+1 (F ′
O
res F ′ /F
e·∂ν
) Kn+1 (F
הקשר בין חבורות ) K∗+1 (Fלבין ) ̄ K∗ (Fמתחזק עוד יותר על־ידי המשפט הבא של מילנור.
כדיוע ,ההערכות הדיסקרטיות של ) F (tמתאימות לפולינומים האי־פריקים ב־] ,F [tבתוספת ההערכה
− degהמתאימה לנקודה באינסוף.
42
.4.3השערת מילנור
פרק .4האינווריאנטים הגבוהים
משפט 4.2.3לכל שדה ,Fהסדרה
⊕
Kn (F (x))→0
) (∂x
→Kn+1 (F (t)) −
res F (t)/F
→−
) 0→Kn+1 (F
)x∈A1(0
היא סדרה מדוייקת מפוצלת.
4.3
השערת מילנור
בסעיף הזה נסקור את השערת מילנור ,המתארת את כל המנות ) I n (F )/I n+1 (Fעל־ידי יוצרים
ויחסים .מגדירים ) .kn (F ) = Kn (F )/2Kn (F
כפי שראינו לעיל K0 (F ) = Z ,ו־ × ,K1 (F ) = Fומכאן ש־ k0 (F ) = Z/2Zו־= ) k1 (F
2
× .F × /Fאת החבורות האלה כבר פגשנו:
∼ ) k0 (F
∼ ) = W (F )/I(F
;= Z/2Z
∼ ) k1 (F
∼ ) = I(F )/I 2 (F
= F × /F × .
2
אין זה פלא ,אם כך ,שננסה להגדיר הומומורפיזם
; fn : kn (F ) −→ I n /I n+1
אכן ,נגדיר את ההומומורפיזם לפי הפעולה על היוצרים,
fn : {a1 , . . . , an } 7→ ⟨⟨a1 , . . . , an ⟩⟩.
)(4.1
כדי להוכיח ש־ fnמוגדר היטב ,נצטרך שני יחסים על תבניות פיסטר מסדר :2
טענה 4.3.1
.1לכל × .⟨⟨a, c⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b, c⟩⟩ ≡ ⟨⟨ab, c⟩⟩ (mod I 3 ) ,a, b, c ∈ F
.2אם a + b = 1אז ) .⟨⟨a, b⟩⟩ ≡ 0 (mod I 3
הוכחה .הכמעט־אדיטיביות של תבניות פיסטר )למה (3.3.3קובעת ש־⟩⟩,⟨⟨a⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b⟩⟩ ∼ ⟨⟨ab⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b
ואם נכפיל ב־⟩⟩ ⟨⟨cנקבל
⟨⟨a, c⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b, c⟩⟩ ∼ ⟨⟨ab, c⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b, c⟩⟩ ≡ ⟨⟨ab, c⟩⟩ (mod I 3 ).
נוסף לזה אם a + b = 1אז
⟩⟨⟨a, b⟩⟩ = ⟨1, ab⟩ + ⟨−1⟩⟨a, b
= ⟨1, ab⟩ + ⟨−1⟩⟨1, ab⟩ = ⟨1, −1, ab, −ab⟩ = 2H = 0.
טענה 4.3.2הנוסחה ) (4.1מגדירה הומומורפיזם .fn : kn (F )→I n /I n+1
43
פרק .4האינווריאנטים הגבוהים
.4.3השערת מילנור
הוכחה .כדי להראות זאת עלינו להוכיח שההעתקה שומרת על היחסים המגדירים את ) .kn (Fראשית ,לכל q ∈ I n
מתקיים 2q = ⟨⟨−1⟩⟩q ∈ I n+1ולכן .2q ≡ 0לכן נותר לאשר את היחסים המגדירים את ) .Kn (Fמכיוון
שב־) kn (Fהסמל הוא סימטרי )הערה ,(4.2.2אפשר להניח שהיחס חל על הרכיבים הראשונים .כעת,
{
}
⟨⟨
⟩⟩
fn ({a1 , a2 , . . . , an } + a′1 , a2 , . . . , an ) = ⟨⟨a1 , a2 , . . . , an ⟩⟩ ⊥ a′1 , a2 , . . . , an
⟨⟨
⟩⟩
⟩⟩ = (⟨⟨a1 , a2 ⟩⟩ ⊥ a′1 , a2 )⟨⟨a3 , . . . , an
⟨⟨ ′
⟩⟩
∼
⟩⟩ a1 a1 , a2 ⟨⟨a3 , . . . , an
{
}
) = f ( a1 a′1 , a2 , . . . , an
מודולו ;I 3+(n−2) = I n+1ובדומה לזה אם a1 + a2 = 1אז
⟩⟩ fn ({a1 , a2 , . . . , an }) = ⟨⟨a1 , a2 , . . . , an
⟩⟩ = ⟨⟨a1 , a2 ⟩⟩⊗⟨⟨a3 , . . . , an
∼ ⟨⟨1, 1⟩⟩⊗⟨⟨a3 , . . . , an ⟩⟩ ∼ 0.
f0 : k0 (F )→W (F )/I(F ) .0מוגדר לפי ⟩ ,{} 7→ ⟨⟨⟩⟩ = ⟨1וזה האיזומורפיזם
הערה 4.3.3
מסעיף .3.1
f1 : k1 (F )→I(F )/I 2 (F ) .1מוגדר לפי ⟩⟩ ,{a} 7→ ⟨⟨aומתלכד עם האיזומורפיזם באותו שם
ממשפט .3.3.4
הטענה ש־ fn : kn (F )→I n /I n+1הוא איזומורפיזם היא השערת מילנור.
בהקשר כללי יותר ,נתאר אובייקט חשוב אחר.
על מנת להציג אותה
.1תהי Gחבורה ויהי Mמודול מעל חוג החבורה ] .Z[Gמסמנים ב־) H n (G, Mאת חבורת
הגדרה 4.3.4
הקוהומולוגייה ה־n־ית עם מקדמים ב־ .Mהמכפלה ) a⊗b 7→ a ∪ bשלא נגדיר כאן( היא הומומורפיזם
) ,H i (G, M )⊗H j (G, N )→H i+j (G, M ⊗Nהנקרא מכפלת ה־∪ ).(cup product
.2יהי Fשדה ויהי ℓמספר טבעי זר למאפיין של .Fמסמנים ב־) H n (F, Mאת קוהומולוגיית גלואה ,שהיא
חבורת הקוהומולוגיה של חבורת גלואה האבסולוטית ) Γ = Gal(Fs /Fעם מקדמים ב־ .Mכאשר ℓזר
µ⊗nמציין את החבורה
למאפיין של Γ ,Fפועלת באופן טבעי על חבורת שורשי היחידה ,µℓ ⊆ Fsו־ ℓ
)הציקלית מסדר (ℓעם הפעולה המעוותת ).σ(ρ⊗ · · · ⊗ρ) = σ(ρ)⊗ · · · ⊗σ(ρ
1/ℓ
)
.(a) : σ 7→ σ(aמכפלת ה־∪
.3יש הומומורפיזם ) F × →H 1 (F, µℓהמוגדר לפי ) ,a 7→ (aכאשר
a1/ℓ
ממשיכה את ההומומורפיזם הזה להעתקת שארית הנורמה ):(norm residue map
n
φn,ℓ : Kn (F )/ℓ −→ Het
(F, µ⊗n
ℓ ).
∼
=
.4יש איזומורפיזם קלאסי ) 2 (F, µ ) −→ Br(F
Hetהקשור בבניה של מכפלות משולבות )שימו לב שכאן
ℓ
ℓ
⊗2
2
2
מדובר בחבורת הקוהומולוגייה השניה( .בדרך כלל החבורות ) Het (F, µℓו־) Het (F, µℓשונות זו מזו,
אבל אם השדה Fמכיל את שורשי היחידה מסדר ℓאז פעולת Γעל µℓממילא טריוויאלית ,והחבורות
מתלכדות .זה קורה ,בפרט ,כאשר .ℓ = 2
הערה 4.3.5השערת בלוך-קטו ) (Bloch-Katoקובעת ש־ φn,ℓהוא איזומורפיזם .בהערה זו נתאר כמה
מקרים פרטיים.
44
.4.4השערת מילנור ל־n = 2
פרק .4האינווריאנטים הגבוהים
:n = ℓ = 2 .1האובייקטים שפגשנו מסודרים בדיאגרמה
)/ H 2 (F, Z/2
O
φ2,2
K2 (F )/2
∼
=
) / 2 Br(F
f2
γ
I 2 /I 3
כאשר γהוא ההומומורפיזם של תת־סעיף .3.4.7את השערת בלוך-קטו למקרה הזה )היינו
האיזומורפיזם ) (K2 (F )/2→H 2 (F, Z/2הוכיח מרקורייב ) (Merkurjevב־.1980
.2באופן כללי יותר ,עדיין עם n = 2אבל לכל ,ℓהאידיאל היסודי נעשה לא רלוונטי ,ומתקבלת
הדיאגרמה הבאה ,שבה הקו המרוסק נכון רק כאשר :µℓ ⊆ F
) / H 2 (F, µ⊗2
ℓ
) / ℓ Br(F
∼
=
φ2,ℓ
K2 (F )/ℓ
) H 2 (F, µℓ
את העובדה ש־ φ2,ℓהוא איזומורפיזם הוכיחו מרקורייב-סוסלין ) (Suslinב־.1981
.3בכיוון אחר ,עם ℓ = 2ולכל ,nמתקבלת הדיאגרמה
)/ H n (F, Z/2
φn,2
Kn (F )/2
fn
I n /I n+1
את השערת מילנור )הקובעת כאמור ש־ fnהוא איזומורפיזם( הוכיחו מילנור עבור ,n = 2
רוסט ) (Rostומרקורייב-סוסלין עבור ,n = 3ורוסט עבור .n = 4לבסוף הוכיחו את ההשערה
Orlov-Vishik-Voevodskyבכל דרגה )מאפיין אפס( ].[12, Sec. 4.1
.4את השערת בלוך-קטו במקרה הכללי )לכל nולכל (ℓהוכיחו Voevodskyו־ Rostבתחילת שנות
ה־) 2000המאמר המסכם הופיע ב־ .(2009על עבודתו בנושא זה זכה Voevodskyבמדליית
פילדס לשנת .2002
⊕
= ) k∗ (Fעם פעולת הכפל המושרית מ־) .K∗ (Fמצא הצגה של
תרגיל 4.3.6נגדיר ) kn (F
החוג באמצעות יוצרים ויחסים⊕ .
נסמן ב־) GW∗ (F ) = n I n (F )/I n+1 (Fאת חוג ויט המדורג .הראה שזה חוג ממאפיין
) 2הדרכה .(2I n = ⟨1, 1⟩I n ⊆ I n+1 .הראה שהומומורפיזמים fn : kn (F )→I n /I n+1שהוגדרו
לעיל משתלבים להומומורפיזם של חוגים ) .k∗ (F )→GW∗ (F
4.4
השערת מילנור ל־n = 2
בסעיף הקודם בנינו הומומורפיזם ) ,fn : kn (F )→I n (F )/I n+1 (Fוהבחנו שעבור n = 0ו־n = 1
הוא משחזר את זוגיות הממד ואת הדיסקרימיננטה .כעת נוכיח ש־ fnהוא איזומורפיזם עבור .n = 2
לשם כך נגדיר העתקה הפוכה.I 2 (F )/I 3 (F )→k2 (F ) ,
2
3
למעשה נעשה מעט יותר מזה .כשהגדרנו את ) γ : I /I →2 Br(Fבתת־סעיף ,3.4.7התאמנו
ערך )אלגברת קליפורד( לכל תבנית )אפילו מממד אי־זוגי(; עבור תבניות מממד זוגי עברנו למחלקות
בחבורת בראוור ,כך שהפונקציה מוגדרת על מחלקות ויט; ואז ראינו כאשר שמצמצמים אותו ל־ ,I 2
זהו הומומורפיזם .נחזור כאן על אותם שלבים ,ונגדיר אינווריאנט לכל תבנית.
45
פרק .4האינווריאנטים הגבוהים
.4.4השערת מילנור ל־n = 2
∼ ,qונגדיר ) w(q) ∈ k2 (Fלפי
הגדרה 4.4.1תהי qתבנית ריבועית מעל .Fנכתוב ⟩ = ⟨a1 , . . . , an
∑
= )w(q
{ai , aj }.
i<j
∼ ⟩ ⟨a, bאז } {a, b} ≡ {c, dמודולו ) .2K2 (F
למה 4.4.2אם ⟩= ⟨c, d
הוכחה .הדרך הכללית ביותר להציג את ⟩ ⟨a, bהיא בצורה ⟩ }⟨c, dכאשר c = ax{2 + by 2ו־ d = abcz 2עבור
) z ̸= 0 ,x, y, z ∈ Fמסקנה .(3.3.8אם x = 0אז }{ ;{c, d} =} by{2 , a(byz)2 ≡}{a, bכך גם אם .y = 0
ואם x, y ̸= 0אז } {a, b} = ax2 , by 2 = c, −by 2 /ax2 ≡ {c, −ab} = {c, −cd} = {c, dלפי
הערה .4.2.2
טענה 4.4.3הערך ) w(qמוגדר היטב.
הוכחה .ראשית ,החלפה של רכיבים סמוכים בהצגה האלכסונית של qמשנה בתמונה רק מחובר אחד ,מ־} {ai , ai+1ל־
} ,{ai+1 , aiאבל שני אלו שווים ב־) .k2 (Fנניח שנתונות שתי הצגות אלכסוניות של .qלפי משפט השרשרת ,3.3.12
אפשר להניח ששתי ההצגות שונות רק בשני רכיבים ,ובעזרת החלפה אפשר להניח שמדובר ברכיבים שבמקומות
הראושנים .כלומר ,ההצגות הן
⟨a1 , a2 , a3 , . . . , an ⟩,
⟨b1 , b2 , a3 , . . . , an ⟩,
∼ ⟩ .⟨a1 , a2עלינו להראות ש־
כאשר ⟩ = ⟨b1 , b2
∑
} {ai , aj
{a2 , ai } +
n
∑
3≤i<j≤n
שווה ל־
{ai , aj }.
∑
3≤i<j≤n
{b2 , ai } +
{a1 , ai } +
n
∑
i=3
i=3
n
∑
n
∑
{b1 , ai } +
i=3
{a1 , a2 } +
{b1 , b2 } +
i=3
מכיוון ש־} {a1 , a2 } = {b1 , b2לפי למה ,4.4.2ההפרש בין שני הסכומים הוא
{
}
a1 a2
, a3 · · · an = {1, a3 · · · an } = 0
b1 b2
כי הרי a1 a2 = disc(⟨a1 , a2 ⟩) = disc(⟨b1 , b2 ⟩) = b1 b2ב־ × .F × /F
2
מן ההגדרה )והאדיטיביות של הסמל( קל לחשב ש־
w(q1 ⊥ q2 ) = w(q1 ) + w(q2 ) + {det(q1 ), det(q2 )}.
)(4.2
מכיוון ש־
w(H) = w(⟨1, −1⟩) = {1, −1} = 0,
הערך של wאינו מוגדר היטב על מחלקות ויט באופן כללי:
w(q ⊥ H) = w(q) + {det(q), −1}.
46
)(4.3
.4.4השערת מילנור ל־n = 2
פרק .4האינווריאנטים הגבוהים
יש ,אם כך ,שתי בעיות w :אינו אדיטיבי על תבניות ,וגם אינו מוגדר היטב על מחלקות ויט.
הדיסקרימיננטה של כל תבנית ב־) I 2 (Fהיא ,1וזה מאפשר לשלוט בדטרמיננטה ולפתור את שתי
הבעיות יחד .נעזר בכך שאם ) q ∈ I 2 (Fתבנית מממד )זוגי בהכרח( ) ,n = dim(qאז
det(q) = (−1)n/2 disc(q) = (−1)n/2
כי )(mod 2
n
2
≡
) (n
2
לכל nזוגי .כלומר ,אם ) ,q, q ′ ∈ I 2 (Fאז
) dim(q) dim(q ′
{−1, −1},
4
w(q ⊥ q ′ ) = w(q) + w(q ′ ) +
התיקון נעשה באופן הבא .נגדיר ) ŵ : I 2 →K2 (F )/2K2 (Fלפי
[
]
)dim(q
ŵ(q) = w(q) +
{−1, −1}.
4
תרגיל 4.4.4לכל n, n′זוגיים(mod 2) ,
nn′
4
)(4.4
)(4.5
[
]] [ ] [ ′
′
. n+n
≡ n4 + n4 +
4
טענה ŵ 4.4.5מוגדר היטב על ,I 2והוא הומומורפיזם ) .ŵ : I 2 →K2 (F )/2K2 (F
הוכחה .עבור q ∈ I 2נסמן ) ,n = dim(qאז
[
]
n+2
w(q ⊥ H) +
}{−1, −1
4
{
]} [n + 2
n/2
}{−1, −1
w(q) + (−1) , −1 +
4
][n
w(q) +
}{−1, −1
4
)ŵ(q
לפי ) (4.5ובדיקת המקרים ).n ≡ 0, 2, 4, 6 (mod 8
תרגיל .4.4.4
= )ŵ(q ⊥ H
=
=
=
האדיטיביות של ̂ wנובעת כעת מ־) (4.4בעזרת
תרגיל 4.4.6תהי qתבנית מממד .nלכל × ,c ∈ F
{
}
n
w(⟨c⟩ · q) = w(q) + c, (−1)( 2 ) det(q)n−1 .
בפרט אם nזוגי אז
w(⟨c⟩ · q) = w(q) + {c, disc(q)}.
בפרט אם ) ,q ∈ I 2 (Fאז
למה 4.4.7
w(⟨c⟩ · q) = w(q).
.1לכל × .ŵ(⟨⟨a, b⟩⟩) = {a, b} ,a, b ∈ F
.2לכל × .ŵ(⟨⟨a, b, c⟩⟩) = 0 ,a, b ∈ F
47
פרק .4האינווריאנטים הגבוהים
.4.4השערת מילנור ל־n = 2
הוכחה .לפי ההגדרה,
)⟩ŵ(⟨⟨a, b⟩⟩) = ŵ(⟨1, −a, −b, ab
}= {−a, −b} + {−a, ab} + {−b, ab} + {−1, −1
= {a, −1} + {a, −b} = {a, b}.
לפי תרגיל ŵ(⟨c⟩q) = ŵ(q) ,4.4.6עבור ⟩⟩ ,q = ⟨⟨a, bולכן
ŵ(⟨⟨a, b, c⟩⟩) = ŵ(⟨⟨a, b⟩⟩) + ŵ(⟨c⟩⟨⟨a, b⟩⟩) = 2{a, b} = 0.
משפט ŵ : I 2 /I 3 →K2 (F )/2K2 (F ) 4.4.8הוא איזומורפיזם.
הוכחה .ראינו שזה הומומורפיזם מוגדר היטב ,והוא הפכי ל־ .f2
בעיה 4.4.9כהכללה ל־ w = s2מהגדרה ,4.4.1נגדיר את סמל שטיפל־ויטני מסדר Steifel-) d
,(Whitney
sd : W (F )→kd (F ),
לפי הנוסחה
{ai1 , . . . , aid }.
∑
= )⟩ sd (⟨a1 , . . . , an
i1 <···<id
הראה ש־ sdמוגדר היטב על תבניות ריבועיות .מצא תיקון של ) sdבדומה לתיקון
̂ wשל (wשיהיה מוגדר היטב על מחלקות בחוג ויט .בנה בעזרת זה הומומורפיזם
) ) .I d (F )/I d+1 (F )→kd (Fראה ](.[4
48
פרק 5
סדר ותבניות
5.1
שדות סדורים
שדה סדור הוא שדה שעליו מוגדר יחס סדר לינארי ,כך שאם a < bאז a + c < b + cלכל ,c
ו־ ac < bcלכל .c > 0
גישה אחרת לשדות סדורים מתבוננת באוסף האברים החיוביים :קבוצה P ⊆ Fנקראת קבוצת
חיוביים אם Pסגור לחיבור ולכפל ,ו־ .F × = P ∪ −Pשדה סדור הוא שדה שנתונה בו קבוצת
חיוביים.
תרגיל 5.1.1שני התאורים לעיל של שדה סדור הם שקולים :בהנתן סדר >P = {x : x > 0} ,
היא קבוצת חיוביים; ובהנתן קבוצת חיוביים ,Pהקביעה ש־ a < bאם ורק אם b−a ∈ Pמגדירה
את > כסדר על השדה.
הערה 5.1.2בשדה סדור כל סכום של ריבועים הוא חיובי .בפרט ,המאפיין של שדה סדור הוא אפס.
הגדרה 5.1.3שדה סדור הוא אוקלידי אם כל איבר חיובי הוא ריבוע.
הגדרה 5.1.4שדה Eהוא סגור ממשית אם הוא מקיים את אחת התכונות השקולות הבאות:
E .1סדור ,ואין לו הרחבות אלגבריות אמיתיות שהן סדורות;
√
−1 .2אינו ריבוע ב־ Eו־] E[ −1סגור אלגברית;
E .3אוקלידי ולכל פולינום ממעלה אי־זוגית יש בו שורש.
הדוגמא הקלאסית לשדה סגור ממשית היא כמובן שדה הממשיים .R ,לכל שדה סדור Fיש
ְסגר ממשי יחיד )עד כדי איזומורפיזם של שדות סדורים( ,שהוא ,בהגדרה ,הרחבה אלגברית סגורה
ממשית של .F
5.1.1
שדות ניתנים לסידור
שדה נקרא ממשי )פורמלית( אם −1אינו סכום של ריבועים ,ולא ממשי אחרת .מתברר ששדה הוא
ממשי פורמלית אם ורק אם אפשר להגדיר עליו סדר .בנוסף לזה ,לכל a ∈ Fשאינו סכום של
ריבועים ,קיים סידור של השדה שבו aשלילי )ארטין־שרייר ).((Artin-Schreier
הערה 5.1.5התכונות הבאות שקולות עבור שדה :F
F × .1הוא איחוד זר של × Fו־ × ,−Fשאינן ריקות.
2
2
49
פרק .5סדר ותבניות
.5.2סימן סילבסטר
{
}
2
2
2
× ,F × /F × = F × , −Fחבורה מסדר .2
.2
√
−1 .3אינו ריבוע ,ו־] F [ −1היא ההרחבה הריבועית היחידה של .F
נקרא לסידור αשל שדה סידור אוקלידי אם ביחס ל־ ,αהשדה אוקלידי; כלומר ,כל איבר חיובי
ביחס ל־ αהוא ריבוע .לשדה יש לכל היותר סידור אוקלידי אחד ,משום שבסידור אוקלידי קבוצת
החיוביים שווה לקבוצת הריבועים.
טענה 5.1.6עבור שדה ניתן לסידור ,התכונות הבאות שקולות:
.F × = F × ∪ −F × .1
√
F [ −1] .2היא ההרחבה הריבועית היחידה של −1) Fאינו ריבוע ולכן אלו התכונות של
הערה (.5.1.5
2
2
.3כל סידור של השדה הוא אוקלידי.
.4לשדה יש סידור אוקלידי.
הוכחה −1 :(2) ⇐ (1) .אינו ריבוע כי השדה ניתן לסידור ,וההנחה מראה שיש לכל היותר הרחבה ריבועית אחת.
) :(3) ⇐ (2נקבע סידור של השדה ,ויהי aאיבר חיובי ביחס אליו .אם aאינו ריבוע הרי ש־ −aריבוע ,ואז a
שלילי ,בסתירה להנחה.
) :(4) ⇐ (3ההנחה הראשית היא ש־ Fניתן לסידור ,ובסידור זה כל איבר חיובי הוא ריבוע לפי ).(3
) :(1) ⇐ (4בסידור אוקלידי ,לכל a > 0 ,a ̸= 0או ,−a > 0ו־ aהוא ריבוע או מינוס ריבוע בהתאמה.
הערה 5.1.7טענה 5.1.6מראה ששדה ניתן לסידור המקיים × ,F × = F × ∪−Fניתן לסידור אוקלידי.
2
2
התכונה × ) F × = F × ∪· − Fעם חלקים לא ריקים( אינה מספיקה בפני עצמה ,כפי שמראה כל שדה
סופי מסדר ).≡ −1 (mod 4
2
2
∼ R⊗Q K
בעיה 5.1.8יהי Kשדה מספרים )כלומר הרחבה מממד סופי של .(Qהראה ש־× = Rr
Csכאשר ] .r + 2s = [K : Fהוכח שיש בדיוק rדרכים לשכן ,K→Rושיש rדרכים לסדר את
.K
תרגיל 5.1.9יהי Eשדה סדור המכיל את .Rנאמר ש־ ϵ ∈ Eהוא אינפיניטיסימל אם 0 < ϵ < a
לכל a ∈ Rחיובי .הראה שבכל סידור אפשרי של ) R(xמעל ,Rיש יוצר של ההרחבה שהוא
אינפיניטיסימל.
5.2
סימן סילבסטר
תהי ⟩ q = ⟨a1 , . . . , anתבנית ריבועית מעל שדה סדור .Fסימן סילבסטר של ,sign(q) ,qהוא
מספר המקדמים החיוביים פחות מספר המקדמים השליליים בהצגה .אם יש צורך לציין זאת ,נכתוב
) signα (qכאשר αהוא הסידור שביחס אליו מחושבים הסימנים.
תרגיל sign(q) 5.2.1מוגדר היטב ,כלומר אינו תלוי בהצגה של .qהדרכה .מעל Rזהו משפט
הסימנים של סילבסטר )ראה גם תרגיל ,(2.3.13שההוכחה שלו תקפה לכל שדה סדור; אפשר להוכיח
את הטענה גם ישירות ממשפט השרשרת של ויט עם מסקנה 3.3.8על הצגת תבניות מממד .2
טענה 5.2.2סימן סילבסטר הוא אפימורפיזם של חוגים.signα (·) : W (F )→Z ,
50
.5.3שדות פיתגוריים
פרק .5סדר ותבניות
הוכחה .הסימן מוגדר היטב על אברי ) W (Fמכיוון שהסימן של ⟩ ⟨1, −1הוא אפס .קל לראות שהסימן שומר על
חיבור וכפל .הפונקציה על משום שהסימן של ⟩ ⟨1הוא .1
הערה 5.2.3הסימן של qהוא אפס אם ורק אם qהיפרבולית מעל הסגור הממשי של .F
∼ ).W (E
תרגיל 5.2.4אם Eשדה אוקלידי )ובפרט :שדה סגור ממשית( ,אז = Z
תרגיל 5.2.5נסמן ב־ Fbאת הסגור הממשי של .Fאז האפימורפיזם של טענה 5.2.2הוא העתקת
הצמצום .W (F )→W (Fb) = Z
למה 5.2.6יש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין הסידורים של Fלבין אידיאלים ראשוניים ) P ▹W (Fכך
ש־ .2 ̸∈ P
הוכחה .יהי Pאידיאל ראשוני כך ש־ .2 ̸∈ Pלכל × a ∈ Fמתקיים ,⟨⟨a⟩⟩⟨⟨−a⟩⟩ = ⟨⟨a, −a⟩⟩ = 0
ולכן ⟨⟨a⟩⟩ ∈ Pאו .⟨⟨−a⟩⟩ ∈ Pנגדיר קבוצת חיוביים ,Q̃ ⊆ Fלפי } ,Q̃ = {a : ⟨⟨a⟩⟩ ∈ Pאז
× .Q̃ ∪ −Q̃ = Fעלינו להוכיח שהקבוצה סגורה לכפל ולחיבור .נניח ש־̃.a, b ∈ Q
⟨⟨ab⟩⟩ = ⟨⟨a⟩⟩ + ⟨a⟩⟨⟨b⟩⟩ ∈ P .1ולכן ̃.ab ∈ Q
.2נסמן ⟨⟨a + b⟩⟩ = ⟨⟨abc⟩⟩ + ⟨−c⟩⟨⟨ab⟩⟩ .c = a + bולכן
; 2⟨⟨c⟩⟩ = ⟨⟨c⟩⟩ + ⟨⟨abc⟩⟩ + ⟨−c⟩⟨⟨ab⟩⟩ = ⟨⟨a, b⟩⟩ + ⟨−c⟩⟨⟨ab⟩⟩ ∈ P
אבל ,2 ̸∈ Pומכאן ש־ ⟨⟨c⟩⟩ ∈ Pולכן ̃ ,a + b = c ∈ Qכפי שרצינו.
בכיוון ההפוך ,תהי ̃ Qקבוצת חיוביים ב־ .Fיהי Pהאידיאל הנוצר על־ידי כל התבניות ⟩⟩ ⟨⟨aעבור ̃.a ∈ Q
לפי ההגדרה Pמוכל בגרעין של סימן סילבסטר signQ̃ (·) : W (F )→Zומצד שני אם ⟩ ⟨a1 , . . . , anבעלת סימן
אפס ,אפשר להציג אותה כסכום של יוצרים של ,Pולכן Pשווה לגרעין .מכיוון שחוג המנה Zהוא תחום שלמות,
Pראשוני .בנוסף 2 = ⟨1, 1⟩ ̸∈ Pכי .sign(⟨1, 1⟩) = 2
) Harrisonו־ Lorenz-Leichtהוכיחו ב־ 1970שיש התאמה בין סידורים של Fלאידיאלים ראשוניים
לא מקסימליים של ) (.W (F
בעיה 5.2.7השלם את הוכחת למה :5.2.6הראה שההתאמות בין אידיאלים ראשוניים וסידורים
של השדה הופכות זו את זו.
5.3
שדות פיתגוריים
2
2
.F 2 +מיד נובע ששדה
שדה Fהוא פיתגורי אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע ,כלומר √F ⊆ F
פיתגורי Fהוא ממשי פורמלית )כלומר ניתן לסידור( אם ורק אם . −1 ̸∈ Fאומרים ששדה סגור
לריבועים אם ורק אם כל איבר בו הוא ריבוע )במאפיין שונה מ־ 2פירושו של דבר שאין לו הרחבות
ריבועיות(.
מתברר שפיתגוריות אפשר לאבחן באופן מלא בעזרת חוג ויט.
טענה 5.3.1התכונות הבאות שקולות עבור שדה Fממאפיין שונה מ־:2
F .1הוא פיתגורי לא ממשי;
51
פרק .5סדר ותבניות
.5.4מרחב הסידורים של שדה
F .2סגור לריבועים;
∼ ) .W (F
= Z/2Z .3
הוכחה :(1)⇐(2) .לפי ההנחה כל איבר ,לרבות ,−1הוא ריבוע.
√
a−1 2
2
a = ( a+1הוא סכום של ריבועים כי , −1 ∈ Fולכן ריבוע.
) :(2)⇐(1יהי ,a ∈ Fאז ) 2 ) − ( 2
) :(3)⇐(2מכיוון שכל איבר הוא ריבוע יש רק תבנית חד־ממדית אחת ,הלוא היא ⟩ .⟨1בנוסף ,מכיוון ש־−1
ריבוע 2 = ⟨1, 1⟩ = ⟨1, −1⟩ = 0 ,בחוג ויט.
×
∼
) :(2)⇐(3לפי ההנחה ]⟩ [⟨a⟩] = [⟨1לכל ,a ∈ Fולכן ⟩ ⟨a⟩ = ⟨1ו־ aהוא ריבוע.
טענה 5.3.2התכונות הבאות שקולות עבור שדה Fממאפיין שונה מ־:2
F .1הוא פיתגורי ממשי;
W (F ) .2חסר פיתול.
.3אם 2[q] = 0ב־) W (Fאז .[q] = 0
הוכחה :(2)⇐(1) .נראה שבשדה פיתגורי ממשי ,אם qתבנית איזוטרופית אז גם k · qאיזוטרופית לכל .k ≥ 1
ש־
∑ .q = ⟨a1 , . . . ,נניח ש־k · q
∑ ⟩ an
≠ ] .k · [qנכתוב
בפרט ∑
נובע ש־∑0
∑
איזוטרופית ,אז יש ערכים xij ∈ Fכך∑
) .0 = j ( i ai x2ij ) = i ai ( j x2ijלפי ההנחה אפשר לכתוב ,yi2 = j x2ijוקיבלנו , i ai yi2 = 0
∑
אלא שהאיזוטרופיות של qגוררת ש־ yi = 0לכל .iאבל אם , i x2ij = 0בהכרח xij = 0לכל .i, j
) :(3)⇐(2טריוויאלי.
2
2
∼
) :(1)⇐(3כעת נניח ש־) W (Fחסר פיתול .יהיו ,a, b ∈ Fונסמן .c = a + bאז ⟩ ⟨1, 1⟩ = ⟨c, cלפי
2
מסקנה ,3.3.8ומכאן ש־ .2(⟨c⟩ − ⟨1⟩) = 0מכיוון שאין 2־פיתול ⟨c⟩ = ⟨1⟩ ,ו־ × .c ∈ Fלכן Fפיתגורי .אם
Fלא היה ממשי ,אז ) W (Fהיה 2־מפותל לפי טענה ,5.3.1לכן Fלא ממשי.
5.4
מרחב הסידורים של שדה
בסעיף הקודם טיפלנו בסימן מעל לשדה סדור .כעת נניח ש־ Fסגור ממשית ,כלומר ניתן לסידור ,מן
הסתם בדרכים שונות .נסמן ב־ OFאת אוסף הדרכים לסדר את השדה .F
תרגיל 5.4.1יש התאמה בין סידורים של השדה Fלבין שיכונים של Fבשדה סגור ממשית.
דוגמא 5.4.2מרחב הסידורים של שדה מספרים הוא סופי .ביתר פירוט ,יהי Kשדה מספרים ,כלומר
הרחבה סופית של .Qאז R⊗Q Kהוא חוג )קומוטטיבי( ראשוני למחצה ,ולכן מכפלה סופית של
תחומי שלמות .מכיוון שזו גם אלגברה מממד סופי מעל ,Rיש שלמים r, sכך ש־],r + 2s = [K : Q
∼ .R⊗Q Kיש rדרכים לסדר את ,Kבהתאמה לשיכונים של Kב־.R
ו־ = Rr × Cs
נגדיר על OFטופולוגיה .כל סדר α ∈ OFמשרה פונקציית סימן טבעית } ,F × →{±1המגדירה
את הסדר .זה נותן שיכון )} .OF ,→ Maps(F × →{±1על המרחב
×
Maps(F × →{±1}) = {±1}F
יש טופולוגיה טבעית ,הלוא היא טופולוגיית המכפלה ,המוגדרת לפי תת־בסיס הכולל את הקבוצות
} Ha = {f : F × →{±1} : f (a) = 1והמשלימות שלהן .נזכיר שמרחב בוליאני הוא מרחב קומפקטי,
האוסדורף ,שהוא בלתי קשיר לחלוטין )=מחלקות הקשירות הן נקודונים( .לפי משפט המכפלה של
טיכונוף Maps(F × →{±1}) ,קומפקטי .לפי מבנה הבסיס ,המרחב הזה גם האוסדורף ובלתי קשיר
לחלוטין ,ולכן הוא בוליאני.
52
.5.5הסימן הגלובלי
פרק .5סדר ותבניות
טענה OF 5.4.3הוא מרחב בוליאני.
הוכחה .כל תת־מרחב סגור של מרחב בוליאני הוא בוליאני בעצמו .לכן די להראות שהתמונה של OFסגורה ב־
)} .Maps(F × →{±1תהי )} f ∈ Maps(F × →{±1פונקציה שאינה מגדירה סידור של ,Fאז יש ∈ a, b, c
× Fכך ש־ f (a) = f (b) = 1ו־ ,f (c) = −1למרות ש־} .c ∈ {a + b, abאבל אז ,f ∈ Ha ∩ Hb ∩ Hcc
שהיא קבוצה פתוחה שאינה נחתכת עם .OF
×
חיתוך קבוצות תת־הבסיס של {±1}Fעם OFמספק תת־בסיס למרחב :OFאוסף הקבוצות
מהצורה }.H(a) = {α ∈ OF : a >α 0
הסימן הגלובלי
5.5
הסימן מגדיר עבור כל ) [q] ∈ W (Fאת פונקציית הסימן ,q̂ : OF →Zלפי ) .α 7→ signα (qההתאמה
̂ q 7→ qמגדירה את הסימן הגלובלי ,שהוא פונקציה מ־) W (Fלחוג החזקה ).Maps(OF →Z
טענה 5.5.1הסימן הגלובלי הוא הומומורפיזם של חוגים.
הוכחה .צריך להראות שלכל סדר signα (q ′ ⊥ q ′′ ) = signα (q ′ ) + signα (q ′′ ) ,αו־= ) signα (q ′ ⊗q ′′
) ;signα (q ′ )signα (q ′′זה נובע מההגדרה של )·( .signα
טענה 5.5.2לכל ) ,q ∈ W (Fהפונקציה q̂ : OF →Zרציפה )ביחס לטופולוגיה הדיסקרטית של .(Z
הוכחה .מספיק להוכיח את הטענה עבור הפונקציות ⟩ ,q = ⟨aמשום שסכום של פונקציות רציפות לחבורה הטופולוגית
Zהוא פונקציה רציפה .אבל ) ,q̂ −1 (−1) = H(−a) ,q̂ −1 (1) = H(aואלו קבוצות פתוחות.
אם כך ,הסימן הגלובלי ̂ q 7→ qמהווה הומומורפיזם
c : W (F )→C(OF , Z),
כאשר ) C(OF , Zהוא חוג הפונקציות הרציפות מ־ OFל־.Z
5.5.1
חוג ויט של שדה לא־ממשי
בעיה 5.5.3יהי t ∈ Rאיבר לא נילפוטנטי בחוג קומוטטיבי .אז יש אידיאל ראשוני שאינו מכיל את
.tהדרכה .לפי הלמה של צורן יש אידיאל מקסימלי שאינו מכיל אף חזקה של .tהראה שהוא ראשוני.
טענה 5.5.4אם Fשדה לא ממשי )כלומר אינו ניתן לסידור( ,אז יש rכך ש־.2r = ⟨1, 1⟩r = 0
הוכחה .אנו מוכיחים ש־ 2נילפוטנטי בחוג ויט .נניח שלא ,אז לפי תרגיל 5.5.3יש אידיאל ראשוני Pכך ש־ ,2 ̸∈ P
ולפי למה 5.2.6האידיאל הזה משרה סדר של ,Fבסתירה להנחה ש־ Fאינו ניתן לסידור.
נזכיר שחבורה Gהיא בעלת פיתול־ pאם הסדר של כל איבר g ∈ Gהוא חזקה של .p
מסקנה 5.5.5אם Fשדה לא־ממשי ,אז ) W (Fהוא בעל פיתול־.2
53
.5.5הסימן הגלובלי
5.5.2
פרק .5סדר ותבניות
חוג ויט של שדה אוקלידי
טענה 5.5.6אם Fאוקלידי אז cהוא איזומורפיזם.
הוכחה .יש סדר יחיד ,ולכן .C(OF , Z) = Zאבל במקרה זה c : W (F )→Zהוא איזומורפיזם )תרגיל .(5.2.4
5.5.3
הגרעין של הסימן הגלובלי
בעזרת המקרים שטופלו בשני תת־הסעיפים הקודמים ,נוכל כעת להוכיח שני משפטים מרכזיים על
הקשר בין תבניות לסידורים של השדה.
הערה 5.5.7תת־חבורת הפיתול של ) W (Fמוכלת ב־).Ker(c
הוכחה .אם ) [q] ∈ W (Fמפותל ,אז ) c(qאיבר מפותל של החבורה ) C(OF , Zשכמו Zהיא חסרת פיתול ,ולכן
.c(q) = 0
משפט Ker(c) 5.5.8הוא בעל פיתול־.2
הוכחה .תהי qתבנית שאינה 2־מפותלת; נבנה סידור αשל Fכך ש־ ,signα (q) ̸= 0וזה יוכיח ש־).q ̸∈ Ker(c
לפי הלמה של צורן ,יש הרחבה אלגברית מקסימלית Kשל Fביחס לתכונה ש־ qKלא 2־מפותלת.
.(5.5.5
)מסקנה
נוכיח ש־ Kאוקלידי .ראשית K ,ניתן לסידור משום שאחרת כל תבנית מעל Kהיא 2־מפותלת
√
√
כעת יהי × .a ∈ Kלפי טענה 5.1.6מספיק להוכיח ש־ aאו −aריבועים .נניח שלא ,אז ] K[ aו־]K[ −a
√ של qK ,Kנעשית 2־מפותלת מעל שתיהן .כלומר יש tכך ש־Q = 2t q
הרחבות של ,Kולפי המקסימליות
היפרבולית מעל שני השדות ] .K[ ±aלפי טענה 2.5.6נובע ש־) ,±a ∈ G(QKולכן ) ,−1 ∈ G(QKכלומר
,2t+1 qK = 2QK ∼ 0בסתירה לבחירת .K
כעת יהי αהסידור האוקלידי של .Kלפי סידור זה sign(q) ̸= 0כי qKאינה 2־מפותלת )ראה טענה ,(5.5.6
מש"ל.
מסקנה 5.5.9התנאים הבאים שקולים עבור תבנית qמעל :F
[q] ∈ W (F ) .1איבר מפותל בחבורה החיבורית של חוג ויט.
.2יש nכך ש־ n · qהיפרבולית.
.3יש תבנית פיסטר ⟩⟩ φ = ⟨⟨−1, . . . , −1כך ש־ φ⊗qהיפרבולית.
.c(q) = 0 .4
.5לכל סידור αשל .signα (q) = 0 ,F
.6לכל סגור ממשי Eשל qE ,Fהיפרבולית.
הוכחה :(2) ⇔ (1) .זו ההגדרה של פיתול :(4)⇐(2) .הערה :(3)⇐(4) .5.5.7משפט :(6) ⇔ (4) .5.5.8
הערה :(5) ⇔ (4) .5.2.3ההגדרה של :(1)⇐(3) .cלפי ההנחה 2m qהיפרבולית ל־ mמתאים.
אם הופכים את תנאים 1ו־ 5במסקנה ,מקבלים:
54
.5.5הסימן הגלובלי
פרק .5סדר ותבניות
מסקנה 5.5.10הסדר של ) q ∈ W (Fהוא אינסוף אם ורק אם יש סידור של Fכך ש־.signα (q) ̸= 0
לפי טענה W (F ) ,5.3.2חסר פיתול ,ולכן
מסקנה 5.5.11נניח ש־ Fשדה פיתגורי.
) c : W (F )→C(OF , Zהוא שיכון .כלומר ,מעל שדה פיתגורי ,איבר בחוג ויט מאופיין באופן מלא
על־ידי הסימן הגלובלי שלו.
דוגמא 5.5.12את Qיש רק דרך אחת לסדר )כל מספר טבעי הוא סכום של ריבועים( .לכן האפימורפיזם
של סימן סילבסטר הוא .W (Q)→W (R) = Zהגרעין של ) W (Q)→W (Rנוצר )כחבורה( על־ידי
התבניות ⟩⟩ ⟨a⟩ · ⟨⟨bעבור ,b > 0ואכן 4⟨⟨b⟩⟩ = ⟨⟨−1, −1, b⟩⟩ ∼ 0לכל b > 0לפי משפט ארבעת
הריבועים של לגרנז'.
תרגיל 5.5.13נניח שלשדה Fיש בדיוק שני סידורים .הראה שאידיאל הפיתול של ) W (Fנוצר
)כאידיאל( על־ידי התבניות ⟩⟩ ⟨⟨bכאשר bחיובי לחלוטין.
תרגיל 5.5.14נניח שלשדה Fיש בדיוק שלושה סידורים .הראה שאידיאל הפיתול של
) W (Fנוצר )כאידיאל( על־ידי התבניות ⟩⟩ ⟨⟨bכאשר bחיובי לחלוטין ,ו־⟩⟩ ⟨⟨b, b′כאשר
) c(b) = (+, +, −ו־).c(b′ ) = (+, −, +
בעיה 5.5.15התבניות ⟩⟩ ,⟨⟨a1 , . . . , atעם H(ai ) = OF
אידיאל הפיתול?
5.5.4
∪
,כולן מפותלות .האם הן יוצרות את
הקו־גרעין של הסימן הגלובלי
נסמן ב־ χBאת הפונקציה המציינת של תת־קבוצה .B ⊆ OFכזכור ,הקבוצות = )H(a
} {α ∈ OF : a >α 0מהוות תת־בסיס למרחב הטופולוגי ,OFולכן הקבוצות = ) H(a1 , . . . , an
) H(a1 ) ∩ · · · ∩ H(anמהוות לו בסיס.
טענה 5.5.16תהי B ⊆ OFקבוצה פתוחה וסגורה .אז יש n ≥ 0ותבנית ) q ∈ I n (Fכך ש־
̂.2n χB = q
הוכחה .נסמן ב־ Fאת אוסף תת־הקבוצות הפתוחות־וסגורות של OFשעבורן הטענה נכונה.
הבסיס שייכות ל־ .Fיהיו × .a1 , . . . , an ∈ Fנסמן ⟩⟩ ,q = ⟨⟨−a1 , . . . , −anאז
ראשית נראה
שקבוצות {
n a ,...,a > 0
2
1
n
α
= ) ,q̂(αכלומר ) .q̂ = 2n χH(a1 ,...,anמכאן ש־.H(a1 , . . . , an ) ∈ F
0
אחרת
שנית ,נראה ש־ Fסגור לאיחוד .אכן ,נניח ש־ .B1 , B2 ∈ Fאז יש מספר טבעי mותבניות ) q1 , q2 ∈ I m (F
כך ש־ .qˆi = 2m χBiנסמן ) ,[q] = 2m [q1 ] + 2m [q2 ] − [q1 ][q2 ] ∈ I 2m (Fונחשב ש־
) = 22m (χB1 + χB2 − χB1 χB2
22m χB1 ∪B2
= 2m qˆ1 + 2m qˆ2 − qˆ1 qˆ2 = q̂.
לבסוף ,תהי Bקבוצה פתוחה וסגורה כלשהי .כתת־קבוצה סגורה של B ,OFקומפקטית .לכן היא איחוד סופי של
קבוצות בסיס ,ומכאן ש־.B ∈ F
הערה 5.5.17לכל סדר של Fולכל ) .2n | sign(q) ,q ∈ I n (Fזאת מפני ש־ qהיא סכום של תבניות
פיסטר מסדר ) nמסקנה ,(2.3.17והסימן של תבנית פיסטר ,כפי שראינו בהוכחת המשפט ,הוא או אפס
או .2n
מסקנה 5.5.18לכל B ⊆ OFפתוחה וסגורה χB ∈ C(OF , Z)/Im(c) ,היא 2־מפותלת )לפי
טענה .(5.5.16
55
פרק .5סדר ותבניות
.5.5הסימן הגלובלי
משפט 5.5.19המנה ) coKer(c) = C(OF , Z)/Im(cהיא 2־מפותלת.
הוכחה .עלינו להראות שלכל פונקציה רציפה f : OF →Zיש rותבנית ) q ∈ W (Fכך ש־̂ .2r f = qמכיוון
ש־ OFקומפקטי f ,חסומה ,ולכן היא צירוף לינארי סופי של פונקציות מציינות על הקבוצות )} .Bi = f −1 ({iלכן
די להוכיח את הטענה עבור פונקציות מהצורה ,f = χBכאשר Bקבוצה פתוחה וסגורה ב־ ,OFוזו מסקנה .5.5.18
שילוב משפטים 5.5.8ו־ 5.5.19מספק את התאור הבא לחבורה האדיטיבית של ) :W (F
∼ ) W (Fכאשר ) Wt (Fהיא תת־החבורה של האברים
מסקנה = Wt (F ) ⊕ P ([9, cor. 5.8]) 5.5.20
המפותלים ,ו־ Pהיא חבורה אבלית חופשית שדרגתה ).rankP = rank C(OF , Z
56
פרק 6
תבניות פיסטר
בהגדרה 2.3.16הגדרנו את תבניות פיסטר מסדר ,⟨⟨a1 , . . . , an ⟩⟩ = ⟨⟨a1 ⟩⟩⊗ · · · ⊗⟨⟨an ⟩⟩ ,nכאשר
⟩ .⟨⟨a⟩⟩ = ⟨1, −aראינו ש־) I n (Fנוצר ,כחבורה חיבורית ,על־ידי התבניות מסדר .nפרק זה מוקדש
לתכונות יוצאות הדופן של תבניות פיסטר.
6.1
נוסחאות מכפלה
הדוגמא המוכרת ביותר לתבנית פיסטר היא התבנית ⟩⟩ ,⟨⟨−1, . . . , −1שהיא סכום של 2nריבועים.
בסעיף הראשון נדון בכפליות של קבוצת הערכים של תבניות כאלה.
אוילר הראה שראשוני pניתן להצגה כסכום של שני ריבועים אם ורק אם p = 2או p ≡ 1
) .(mod 4בעזרת נוסחת המכפלה
(x21 + x22 )(y12 + y22 ) = (x1 y1 + x2 y2 )2 + (x1 y2 − x2 y1 )2
בדיוק אלו מספרים ניתנים להצגה כסכום של שני ריבועים .הזהות הזו שקולה
הוא יכול היה לקבוע √
לכך שהנורמה N : Q[ −1]→Qהיא כפלית.
פרמה שער שכל מספר טבעי הוא סכום של ארבעה ריבועים .אוילר ,שניסה להוכיח את
ההשערה ,גילה ב־ 1743נוסחת כפל עבור סכום של ארבעה משתנים .לגרנז' נעזר בנוסחה זו ב־1770
כשהשלים את הוכחת משפט ארבעת הריבועים ,הנקרא היום על שמו .כשהמילטון גילה ב־1843
את הקווטרניונים ,הוא חשף דרך חדשה לפרש את נוסחת הכפל של ארבעה ריבועים :ככפליות
של תבנית הנורמה באלגברות קווטרניונים .גרייבס ) (Gravesוקיילי ) (Cayleyגילו את אלגברות
האוקטוניונים זמן קצר אחר־כך )הראשון כתב על כך להמילטון כבר בסוף ,1843אך פרסם את
התגלית רק ב־ ,1848וכך יוחסה הבכורה לקיילי שפרסם את האוקטוניונים ב־ .(1845אחד מפירות
המבנה האלגברי החדש היה נוסחאות כפל לסכומים של שמונה ריבועים.
לנוסחאות הכפל האלו אין אנלוג לסכום של שלושה ריבועים .והראיה 3 ,ו־ 5הם סכומים
של שלושה ריבועים ,אבל המכפלה 15איננה כזו .נסיונות להכליל את הנוסחאות האלה לסכום
של 16ריבועים וכדומה ,נכשלו .משפט Hurwitzמסביר מדוע :אין פולינומים ∈ z1 , . . . , zn
] F [x1 , . . . , xn ][y1 , . . . , ynכך ש־ ,(x21 + · · · + x2n )(y12 + · · · + yn2 ) = z12 + · · · + zn2אלא אם
.n = 1, 2, 4, 8
משפט ) 6.1.1משפט (1898 ,Hurwitzיהי Fשדה ממאפיין ≠ .2נניח שיש תבניות בילינאריות
z1 , . . . , zn : (F x1 + · · · + F xn ) × (F y1 + · · · + F yn )→Fכך ש־
(x21 + · · · + x2n )(y12 + · · · + yn2 ) = z12 + · · · + zn2 .
אז .n = 1, 2, 4, 8
57
)(6.1
פרק .6תבניות פיסטר
.6.1נוסחאות מכפלה
הוכחה .נכתוב = AY
צירופים לינאריים של ה־ .xk
z1
a11 · · · a1n
y1
..
..
.
.
..
.. ...
,Z = . = .כאשר המקדמים
zn
an1 · · · ann
yn
את סכום הריבועים אפשר להציג כמכפלה סקלרית ,ולקבל
aijהם
) (x21 + · · · + x2n )(y1 , . . . , yn )t (y1 , . . . , yn ) = (z1 , . . . , zn )t (z1 , . . . , zn
= (y1 , . . . , yn )t At A(y1 , . . . , yn ).
מהשוואת התבניות הריבועיות ב־ ,y1 , . . . , ynנובע השוויון
At A = (x21 + · · · + x2n )In .
,A = A1 x1 + · · · + Aכאשר
,xאפשר לפרק ∑n xn
מכיוון שכל רכיב של Aהוא צירוף ליניארי של ∑1 , .2. . , xn
= , Ai t Aj xi xjכלומר
) .A1 , . . . , An ∈ Mn (Fהשוויון שלנו הופך להיות xk
; Ai t Ai = In
)(6.2
)(6.3
)(i ̸= j
t
t
Ai Aj + Aj Ai = 0
אם n = 1אין מה להוכיח )אפשר לבחור ) .(A1 = (1נניח אם כך ש־ .n ≥ 2נתבונן ב־ n − 1המטריצות
;i = 1, . . . , n − 1 ,Bi = An t Aiהן מקיימות
)(6.4
; Bi t = −Bi
)(6.5
; = −In
)(6.6
(i ̸= j).
= −Bj Bi
Bi2
Bi Bj
מכך ש־ Biהן אנטי־סימטריות והפיכות ,נובע שהממד nהוא זוגי.
תהי } G = {In , B1 , . . . , Bn−1 , B1 B2 , . . . , Bn−2 Bn−1 , . . .קבוצת כל המכפלות המסודרות של
מטריצות מהרשימה ;B1 , . . . , Bn−1ב־ Gיש 2n−1מטריצות ,ו־ G ∪ −Gהיא חבורה )השווה לטענה 3.4.28על
הבסיס של אלגברות קליפורד( .אברי Gהם מטריצות סימטריות או אנטי־סימטריות ,בהתאם לאורך :מכפלות באורך
) ≡ 0, 3 (mod 4הן סימטריות ,ומכפלות באורך ) ≡ 1, 2 (mod 4הן אנטי־סימטריות .מכיוון שכפל ביוצר יכול
להאריך או לקצר מכפלה )תלוי אם הוא משתתף בה או שאינו משתתף( ,לכל g ∈ Gפרט ל־ Iולמכפלה המלאה
B1 · · · Bn−1יש יוצר Biכך ש־ Bi gמאותו טיפוס סימטריה כמו .g
נאמר שיחס ליניארי בין אברים של Gהוא מינימלי אם אין יחס קצר יותר בין האברים המשתתפים בו .כפולה
של יחס מינימלי באיבר של Gנותנת יחס שגם הוא מינימלי .מחיבור היחס עם היחס המתקבל משחלוף שלו ,נובע
שהמטריצות המשתתפות ביחס מינימלי הן או כולן סימטריות או כולן אנטיסימטריות .נתבונן ביחס מינימלי בין אברי .G
נכפיל את היחס באחת המטריצות המשתתפות בו ,ונקבל יחס שמשתתפת בו מטריצת היחידה ,ולכן כל אבריו סימטריים.
אם נכפיל את היחס הזה באחד ה־ ,Biנקבל יחס שיש לו רכיב אנטי־סימטרי ,ולכן כל רכיביו אנטי־סימטריים; אבל לכל
רכיב gפרט ל־ Iולמכפלה המלאה יש יוצר Biכך ש־ Bi gסימטרי ,ומכאן שאיבר כזה אינו יכול להופיע ביחס .מכאן
שיחס מינימלי ,עד כדי כפל באיבר של ,Gהוא מהצורה .I = αB1 · · · Bn−1
n−1
היחס I = αB1 · · · Bn−1וכפולותיו מאפשרים להחליף כל מכפלה של יותר מ־ 2מטריצות במכפלה של
n−1מטריצות ,וכפי שראינו ,בין המטריצות הקצרות לא קיים יחס לינארי .כלומר ,הן בלתי תלויות ,ומכאן
פחות מ־ 2
שמספרן 2n−2חסום על־ידי ממד מרחב המטריצות שהוא .n2אי־השוויון 2n−2 ≤ n2מתקיים רק כאשר .n ≤ 8
כבר הראינו ש־ nזוגי ,ולכן נשאר לפסול רק את המקרה .n = 6
אכן ,אם n = 6אז המכפלה המלאה B1 · · · B5היא אנטי־סימטרית ,ולכן לא קיים יחס מינימלי ,כלומר כל 25
המטריצות בלתי־תלויות .יש 5 + 10 + 1 = 16מכפלות באורך ,1, 2, 5שהן אנטי־סימטריות ,יותר מממד מרחב
) . 6(6−1לכן ההנחה שהמטריצות B1 , . . . , B5קיימות
המטריצות האנטי־סימטריות ב־) M6 (Fשהוא רק = 15
2
מביאה במקרה זה לסתירה.
58
.6.2ערכים של תבנית
פרק .6תבניות פיסטר
סכומים של n = 2, 4, 8אברים ,נקבע מרחב וקטורי
תרגיל 6.1.2באשר לנוסחאות הכפל עבור
∑
Vבגודל .nלכל i ∈ Vנגדיר .zi = j∈V ϵij xj yi+jנניח שהנוסחה ) (6.1מתקיימת .הראה
שכל .ϵij = ±1הראה שיש בדיוק 23נוסחאות אפשריות עבור 28 ,n = 2נוסחאות כאלו עבור
,n = 4ו־ 219עבור .n = 8
בעיה 6.1.3לסכום של כמה ריבועים יש נוסחאות מכפלה כאשר ?charF = 2
6.2
ערכים של תבנית
בהמשך נראה שעבור תבנית פיסטר ,בניגוד למקרה הכלל ,הקשר בין הערכים לגורמי הדמיון הוא
חזק במיוחד .בסעיף הזה נאסוף כמה תכונות פשוטות של קבוצת הערכים.
הגדרה D(q) = {q(u) : q(u) ̸= 0} 6.2.1קבוצת הערכים של .q
החבורה × G(q) ⊆ F × /Fהוגדרה בסעיף .2.5
2
G(q) .1פועלת על ) :D(qאם ) g ∈ G(qו־) c ∈ D(qאז )gc ∈ D(⟨g⟩q) = D(q
הערה 6.2.2
ולכן ).gc ∈ D(q
.2בפרט אם ) 1 ∈ D(qאז ).G(q) ⊆ D(q
אכן,
דוגמא 6.2.3עבור תבנית פיסטר מסדר ראשון ⟩⟩.D(q) = G(q) ,q = ⟨⟨a
) G(q) ⊆ D(qכי 1הוא ערך של התבנית ,ומצד שני לכל ערך )⟩⟩ c ∈ D(⟨⟨aמתקיים
∼ ⟩⟩ ⟨⟨aלפי מסקנה .3.3.8
∼ ⟩= ⟨1, −a
∼ ⟩= ⟨c, −ac
⟩⟩= ⟨c⟩⟨⟨a
במסקנה 3.3.8ראינו שעבור תבנית מממד ,2כל ערך יכול להופיע כמקדם בהצגה אלכסונית של
התבנית .תכונה זו נכונה באופן כללי :כל הערכים של תבנית מופיעים בהצגות האלכסוניות שלה.
טענה 6.2.4תהי qתבנית מעל ,Fויהי × .a ∈ Fאז ) a ∈ D(qאם ורק אם יש ל־ qהצגה אלכסונית
⟩ .q = ⟨a, b2 , . . . , bn
הוכחה .אם ⟩ ,q = ⟨a, b2 , . . . , bnברור ש־) .a ∈ D(qבכיוון ההפוך אם ) a = q(uאז אפשר לפרק
⊥ ,V = F u ⊥ uולהציג את הצמצום של qל־ ⊥ uבצורה אלכסונית ⟩ .⟨b2 , . . . , bn
6.3
הצגות של תבניות פיסטר
למה 6.3.1הצגות של תבנית פיסטר מסדר :2
∼ ⟩⟩.⟨⟨a, b
.1אם )⟩⟩ c ∈ D(⟨⟨aאז ⟩⟩= ⟨⟨a, bc
∼ ⟩⟩.⟨⟨a, b
.2אם )⟩ d ∈ D(⟨a, bאז ⟩⟩= ⟨⟨d, ab
∼ ⟩⟩ ,⟨⟨aכלומר .⟨⟨c⟩⟩⟨⟨a⟩⟩ ∼ 0
הוכחה.
.1לפי מסקנה = ⟨c⟩⟨⟨a⟩⟩ 6.2.3
)למה ,⟨⟨b⟩⟩ ⊥ ⟨⟨c⟩⟩ ∼ ⟨⟨bc⟩⟩ ⊥ ⟨⟨b, c⟩⟩ (3.3.3וכשנכפיל ב־⟩⟩ ⟨⟨aנקבל
לפי הכמעט־אדיטיביות
;⟩⟩⟨⟨a, c⟩⟩ ∼ ⟨⟨a, b⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, c⟩⟩ ∼ ⟨⟨a, bc⟩⟩ ⊥ ⟨⟨a, b, c⟩⟩ ∼ ⟨⟨a, bc
אבל התבניות מאותו ממד.
59
פרק .6תבניות פיסטר
.6.3הצגות של תבניות פיסטר
.2שוב בעזרת מסקנה ,6.2.3
⟩⟨1, −a, −b, ab
⟩⟨1⟩ ⊥ ⟨−1⟩⟨a, b⟩ ⊥ ⟨ab
⟨
⟩
⟨1⟩ ⊥ ⟨−1⟩⟨d, abd⟩ ⊥ abd2
⟨⟨d, abd⟩⟩.
∼
=
∼
=
⟩⟩⟨⟨a, b
∼
=
∼
=
תהי φתבנית פיסטר .היא מכילה את ⟩ ⟨1כתת־תבנית .מסמנים ב־ φ′את תת־התבנית מממד
∼ φהן תבניות פיסטר ,נאמר ש־ φ1מחלק את
∼ .φאם = φ1 ⊗φ2
dim(φ) − 1שעבורה = ⟨1⟩ ⊥ φ′
.φראינו )טענה (6.2.4שתבנית ריבועית qאפשר להציג בצורה ⟩ ⟨a, . . .אם ורק אם aהוא ערך של
.qאם נתונה תבנית פיסטר ,מהם הערכים aשעבורם אפשר להציג את φבצורה ⟩⟩ ?⟨⟨a, . . .על
שאלה זו עונה המשפט הבא.
משפט ) 6.3.2משפט תת־התבנית הטהורה( תהי φתבנית פיסטר מסדר ,nויהי × .a ∈ Fאז ⟩⟩ ⟨⟨aמחלק
את φאם ורק אם ) .−a ∈ D(φ′
∼ .φ′נוכיח את הכיוון ההפוך,
∼ φאז ברור ש־ −aהוא ערך של ⟩= ⟨−a, b2 , . . .
הוכחה .אם ⟩⟩ = ⟨⟨a, b2 , . . . , bn
′
באינדוקציה על .nאם ,n = 1אז ⟩ φ = ⟨⟨a1 ⟩⟩ = ⟨1, −a1ו־⟩ .φ = ⟨−a1ההנחה )⟩ −a ∈ D(⟨−a1
פירושה ש־⟩ ⟨−a1 ⟩ = ⟨−aואז ⟩⟩.φ = ⟨⟨a
נניח שהטענה נכונה עבור ,n − 1ונוכיח אותה לתבנית מסדר .nכל תבנית פיסטר היא מכפלת תבניות פיסטר
מסדר ,1ולכן יש תבנית פיסטר tמסדר ,n − 1וסקלר × ,π ∈ Fכך ש־ .φ = t⊗⟨⟨π⟩⟩ = t ⊥ ⟨−π⟩tמכאן
נובע ש־ .φ′ = t′ ⊥ ⟨−π⟩tלפי ההנחה −a ,הוא ערך של התבנית ,φ′כלומר אפשר לכתוב
−a = −α′ + πβ,
כאשר −α′הוא ערך של t′ו־ −βהוא ערך של ;tכלומר β = −c2 + β ′כאשר −β ′הוא ערך של .t′אם
β = 0אז −a = −α′הוא ערך של ,t′ולפי הנחת האינדוקציה tמתחלק ב־⟩⟩ ;⟨⟨aלכן אפשר להניח .β ̸= 0
∼ ⟩⟩ ,⟨⟨−βπכך שהטענה הזו ברורה.
∼ .φאם β ′ = 0אז β = −c2ו־⟩⟩= ⟨⟨π
נראה ש־⟩⟩= t⊗⟨⟨−βπ
לכן נניח .β ′ ̸= 0
′
′
∼
מכיוון ש־ −β ′הוא ערך של ,tאפשר לפי הנחת האינדוקציה לכתוב ⟩⟩ ) t = s⊗⟨⟨βכאשר sתבנית פיסטר
מסדר .(n − 2בנוסף −β = c2 − β ′ ,הוא ערך של התבנית ⟩⟩ ,⟨⟨β ′ולפי למה )6.3.1.(1
⟨⟨
⟩⟩
⟨⟨
⟩⟩
∼ φ = t⊗⟨⟨π⟩⟩ = s⊗ β ′ , π
= s⊗ β ′ , −βπ = t⊗⟨⟨−πβ⟩⟩.
אם ,α′ = 0גמרנו כי .a = −πβלכן נניח .α′ ̸= 0לפי הנחת האינדוקציה ,מכיוון ש־ −α′הוא ערך של ,t′
⟩⟩ ⟨⟨α′מחלק את ,tולכן ⟩⟩ ⟨⟨α′ , −πβמחלק את .φאבל a = α′ − πβהוא ערך של התבנית ⟩,⟨α′ , −πβ
ומלמה ) 6.3.1.(2מקבלים ש־ φמתחלק ב־
⟨⟨ ′
⟨⟨ ⟩⟩
⟩⟩
∼ α , −πβ
= a, −πα′ β ,
כך ש־⟩⟩ ⟨⟨aמחלק את .φ
60
פרק .6תבניות פיסטר
6.4
.6.4המשפטים המרכזיים
המשפטים המרכזיים
כעת אפשר להוכיח את המשפט המרכזי על תבניות פיסטר.
משפט 6.4.1תהי φתבנית פיסטר .אם φאיזוטרופית ,היא היפרבולית.
הוכחה .נניח ש־ φאיזוטרופית .אז יש לה תת־תבנית היפרבולית ,כלומר .⟨1, −1⟩ ⊥ · · · = φ = ⟨1⟩ ⊥ φ′
לכן ⟩ ⟨−1היא תת־תבנית של ,φ′ו־ −1הוא ערך של .φ′לפי משפט ⟨⟨1⟩⟩ ,6.3.2מחלק את ,φומיד נובע
ש־ φ = ⟨1, −1⟩⊗t = t ⊥ −tהיפרבולית.
משפט 6.4.2תהי φתבנית פיסטר .אז ).D(φ) = G(φ
הוכחה .לאור הערה 6.2.2די להוכיח שכל ערך ) c ∈ D(φהוא גורם דמיון .נכתוב ) ,c = φ(uאז = ⟨⟨c⟩⟩⊗φ
φ ⊥ −cφהיא איזוטרופית כי ,φ(u) − cφ(1, 0, . . . , 0) = 0ולפי משפט 6.4.1התבנית ⟨⟨c⟩⟩φהיפרבולית.
∼ .φ
היינו φ ⊥ −cφ ∼ 0 ,בחוג ויט ,ולכן = cφ
אבל ) G(φהיא חבורה ,ולכן:
מסקנה 6.4.3לכל תבנית פיסטר ,φאם ) a, b ∈ D(φאז גם ).ab ∈ D(φ
בסעיף 7.2נוכיח את הכיוון ההפוך :רק לתבניות פיסטר קבוצת הערכים היא חבורה באופן
סימבולי.
6.5
רמה של שדה
נציג את אחת המסקנות היפות של תכונת הכפליות של תבניות פיסטר )מסקנה .(6.4.3האורך של
מספר a ∈ Fהוא mהמינימלי כך ש־ aשווה לסכום של mריבועים ,או ∞ אם אין כזו הצגה .הרמה
של השדה Fהיא האורך של .−1מסמנים את הרמה של Fב־) .s(Fהרמה היא סופית אם ורק
אם השדה אינו ניתן לסידור.
משפט ) 6.5.1פיסטר( הרמה של שדה היא אינסוף )כשהשדה ממשי( או חזקה של .2
הוכחה .נניח ש־ −1הוא סכום של פחות מ־ 2s+1ריבועים .אז אפשר לכתוב −1 = a + bכאשר aסכום
של 2sריבועים ו־ bסכום של 2s − 1ריבועים .ברור ש־ b + 1הוא סכום של 2sריבועים ,ולכן גם המכפלה
a(b + 1) = −a2 ∼ −1היא סכום של 2sריבועים.
דוגמא 6.5.2הנה כמה דוגמאות לרמה של שדות.
.1הרמה של שדה הניתן לסידור היא ∞.
.2הרמה של שדה סופי מסדר ) q ≡ 1 (mod 4היא ,1משום ש־ −1הוא ריבוע.
.3הרמה של שדה סופי מסדר ) q ≡ −1 (mod 4היא ,2משום שכל איבר שונה מאפס הוא סכום
של שני ריבועים )טענה .(8.1.1
√
ריבועים שלמים,
שלושה
של
סכום
שהוא
טבעי
מספר
d
כאשר
F
=
[Q
.4נתבונן בשדה ]−d
√ ∑
= ,−1ולכן
) d = x21 + x22 + x23כלומר אינו מהצורה ) .(4k (8n + 7אז (xi −d)2
.s(F ) ≤ 3ממשפט 6.5.1יוצא ש־.s(F ) ≤ 2
61
פרק .6תבניות פיסטר
.6.6בוני פיתול
√
.5נתבונן בשדה ] F = Q[ −dכאשר dמספר טבעי שאינו סכום של שלושה ריבועים .לפי
משפט לגרנז' האורך של dהוא ,4ולפי אותו נימוק .s(F ) ≤ 4נראה שיש כאן שוויון ,כלומר,
−1אינו סכום של שני ריבועים .אחרת ⟨1, 1, 1⟩Q ,איזוטרופית מעל ,Fולפי משפט )2.4.3.(1
∼ ⟩ ⟨1, 1, 1מעל ,Qכאשר הרכיב השלישי בפירוק מתקבל
פירושו של דבר ש־⟩= ⟨a⟩⟨1, d⟩ ⊥ ⟨d
מן הדטרמיננטה .כלומר d ,הוא סכום של שלושה ריבועים מעל הרציונליים ,ומתוצאה בתורת
המספרים נובע ש־ dסכום של שלושה ריבועים מעל השלמים ,בסתירה להנחה.
.6משפט ) :(Siegelבשדה גלובלי ,האורך של כל סכום של ריבועים הוא לכל היותר .4בפרט ,הרמה
של שדה גלובלי הוא 1, 2, 4או אינסוף.
.7לכל שדה s(F (λ)) = s(F ) ,Fו־) .s(F ((λ))) = s(F
6.6
בוני פיתול
יהי aסכום של ריבועים ב־ .Fאז −aשלילי לחלוטין ,כלומר שלילי בכל סידור של .Fלכן הסימן של
⟩⟩ ⟨⟨aהוא אפס בכל סידור ,והוא שייך לגרעין של ההעתקה ) .c : W (F )→C(OF , Zבמשפט 5.5.8
ראינו שבמקרה כזה ⟨⟨a⟩⟩ ,מוכרח להיות מפותל ,וקיים nכך ש־.2n ⟨⟨a⟩⟩ = ⟨⟨−1, . . . , −1, a⟩⟩ = 0
טענה 6.6.1הסדר של ⟩⟩ ⟨⟨aבחבורה האדיטיבית של ) W (Fשווה ל־ 2nהמינימלי כך ש־).2n ≥ len(a
הוכחה .נסמן ⟩⟩ ,t = ⟨⟨−1, . . . , −1סכום ריבועים באורך .2nאז t⊗⟨⟨a⟩⟩ = 0בחוג ויט אם ורק אם
) w ∈ G(t) = D(tלפי משפט ,6.4.2אם ורק אם wהוא סכום של 2nריבועים.
מסקנה 6.6.2יהי Fשדה לא־ממשי מרמה .2rחוג ויט ) W (Fהוא בעל מאפיין .2r+1
הוכחה .לפי טענה ,6.6.1הסדר של ⟨⟨−1⟩⟩ = ⟨1, 1⟩ = 2הוא האורך של ,−1כלומר הרמה של השדה.
)השווה בין טענה 8.1.1לבין דוגמא 6.5.2לאור המסקנה הזו(.
בהערה 2.5.2ראינו ש־ ⟨⟨b⟩⟩⊗q ∼ 0אם ורק אם ) .b ∈ G(qהיינו ,המאפס
}Ann(q) = {t : t⊗q ∼ 0
בחוג ויט כולל את כל התבניות ⟩⟩ ⟨⟨bעבור ) .b ∈ G(qמתברר שהן יוצרות אותו.
משפט ) 6.6.3משפט המאפס של ויט־פיסטר( תהי qתבנית לא היפרבולית המקיימת ) .D(q) = G(qאז
המאפס ) Ann(qנוצר ,כאידיאל ,על־ידי תבניות פיסטר מסדר ראשון.
הוכחה .ראשית נניח ש־ qאיזוטרופית .אז היא מכילה תת־תבנית היפרבולית ולכן × ;D(q) = Fמכאן שגם
× ,G(q) = Fואז ⟨⟨a⟩⟩⊗q ∼ 0לכל × ,a ∈ Fכלומר ) Ann(q) = I(Fוהתוצאה מתקבלת מהערה .2.3.15
נשאר לטפל במקרה האנאיזוטרופי .תהי qתבנית לא היפרבולית המקיימת ) ,D(q) = G(qונניח ש־.φ⊗q ∼ 0
נכתוב ⟩ ,φ = ⟨a1 , . . . , anונתקדם באינדוקציה על .nבמקרה n = 1אין מה להוכיח כי .⟨a1 ⟩⊗q ̸∼ 0נניח
∑יש ) c1 , . . . , cn ∈ D(qכך
אם כך ש־ .n ≥ 2לפי ההנחה ,התבנית a1 q ⊥ · · · ⊥ an qאיזוטרופית ,ולכן
ש־ .a1 c1 + · · · + an cn = 0לכל ⟨ai ⟩⟨⟨ci ⟩⟩⊗q ∼ 0 ,iולכן ⟩ ⟨a1 c1 , . . . , an cn ⟩ ∼ φ − ⟨ai , −ai ci
שייכת למאפס .אבל זו תבנית איזוטרופית כי סכום המקדמים שלה הוא אפס ,ולכן היא שקולה לתבנית מממד קטן
מ־ ,nשהיא סכום של תבניות פיסטר מאפסות לפי הנחת האינדוקציה.
המסקנה הבאה מתקבלת מהפעלת המשפט לתבנית ⟩⟩ q = ⟨⟨−1, . . . , −1מסדר .t
∑
= qכאשר aiהם סכומים של
מסקנה 6.6.4נניח ש־ 2t ̸= 0בחוג ויט .אם 2t q ∼ 0אז ⟨⟨ai ⟩⟩φi
2tריבועים.
62
פרק 7
שיטות גנריות
באלגברה קל להוכיח שדברים שווים זה לזה :במקרים רבים מספיק לתת נוסחה מפורשת .למשל,
כדי להראות שאיבר של שדה הוא סכום של ארבעה ריבועים ,אפשר פשוט להציג אותו כסכום כזה.
לעומת זאת ,הרבה יותר קשה להוכיח שאיבר אינו ניתן להצגה כסכום של ארבעה ריבועים .סדר
שבו האיבר הוא שלילי יפתור את הבעיה ,אבל מה אם האיבר הוא סכום של חמישה ריבועים ,ורוצים
להוכיח שאינו סכום של ארבעה? זו עשויה להיות בעיה קשה .גישה אפשרית היא לבחון "איבר גנרי",
כזה שאם אפשר להציג אותו כערך של התבנית ⟩ ,⟨1, 1, 1, 1אז אפשר יהיה להציג כל איבר אחר.
המועמד הטבעי לתכונה כזו הוא איבר נטול תכונות ,המקיים מה שהנחנו ולא יותר .למשל ,האיבר
λ21 + · · · + λ25של השדה ) .F (λ1 , . . . , λ5גישה זו מנחה את הפרק הנוכחי.
7.1
ערכים פולינומיים של תבנית
במהלך הפרק נטפס מהשדה הנתון Fלשדות הרחבה טרנסצנדנטיים מעליו .דרוש לנו עקרון שיאפשר
לבצע את צעד האינדוקציה של הוספת משתנה אחד.
7.1.1פרמטריזציה
באופן טיפוסי ,אם למשוואה ריבועית )בנעלם אחד( יש שורש ,אז יש לה שני שורשים .כדי להכליל
הבחנה פשוטה זו ,נוח לחשוב פרוייקטיבית :וקטור u ∈ Vמתאים לנקודה הפקוייקטיבית ,F uוזוג
וקטורים u, tמתאים לישר הפרוייקטיבי .F u + F tמושג האיזוטרופיות עובר למרחב הפרוייקטיבי,
משום שהתבניות הריבועיות שלנו הן תמיד הומוגנית.
טענה ) 7.1.1פרמטריזציה של תבנית ריבועית( תהי qתבנית ריבועית ,Fויהי uוקטור איזוטרופי .אז
לכל כיוון tשאינו מאונך ל־ ,uיש על הישר הפרוייקטיבי F u + F tנקודה איזוטרופית נוספת יחידה
פרט ל־.F u
הוכחה .תהי bqהתבנית הבילינארית המתאימה ל־ .qלפי ההנחה q(u) = 0ו־ ,bq (u, t) ̸= 0ולכן
q(αu + βt) = q(u)α2 + 2αβbq (u, t) + β 2 q(t) = β(2bq (u, t)α + q(t)β),
ומכיוון ש־ bq (u, t) ̸= 0לפי ההנחה ,הנקודה הפרוייקטיבית היחידה פרט ל־ F uהמאפסת את התבנית היא
).F (2bq (t, u)t − q(t)u
)אם bq (t, u) = 0יש שתי אפשרויות :אם q(t) = 0אז F u + F tכולו איזוטרופי ,ואם q(t) ̸= 0אז
F u + F tמשיק ליריעה q = 0בנקודה ,F uואין עליו נקודות אפס נוספות(.
63
פרק .7שיטות גנריות
.7.1ערכים פולינומיים של תבנית
תרגיל ) 7.1.2פרמטריזציה מפורשת( תהי qתבנית ריבועית n + 1־ממדית מעל ,Fשיש לה
נקודה רציונלית ) ) (γ0 , γ1 , . . . , γn ) = (γ0 , ⃗γהיינו .(q(γ0 , ⃗γ ) = 0תהי bהתבנית הבילינארית
המתאימה ל־ .qאז הפתרון הכללי למשוואה
y0 ̸= γ0
q(y0 , y1 , . . . , yn ) = 0,
הוא
(y1 , . . . , yn ) = ⃗y = ⃗γ + x0⃗t
y0 = γ0 + x0 ,
)),⃗γ ),(1,⃗t
.x0 = −2 b((γ0q(1,
כאשר ⃗t = (t1 , . . . , tn ) ∈ F nמקיים ,b((γ0 , ⃗γ ), (1, t)) ̸= 0ו־
)⃗t
)האילוץ y0 ̸= γ0אינו מגבלה אמיתית ,משום שחוץ מהאפס הנתון ) ,(γ0 , γ1 , . . . , γnכל
נקודת אפס אחרת נמצאת מחוץ לעל מישור מהצורה .yi = γiהנוסחאות מגדירות איזומורפיזם
בין יריעת האפסים למרחב הפרוייקטיבי ,Pn Fבהתאם לטענה ) 7.3.3להלן((.
נכתוב .q = ⟨a0 ⟩ ⊥ q ′נסמן ב־ b′את התבנית הבילינארית המתאימה ל־ .q ′נציב
הוכחה.
,y0 = γ + x0כך שמותר להניח ,x0 ̸= 0ו־ ,⃗y = ⃗γ + x0⃗tכאשר ⃗t = (t1 , . . . , tn ) ∈ F nהוא וקטור
כלשהו .נחשב:
) a0 (x20 + 2γ0 x0 + γ02 ) + b′ (x0⃗t + ⃗γ , x0⃗t + ⃗γ
) a0 (x20 + 2γ0 x0 + γ02 ) + b′ (x0⃗t, x0⃗t) + 2b′ (x0⃗t, ⃗γ ) + b′ (⃗γ , ⃗γ
(a0 + b′ (⃗t, ⃗t))x20 + 2(a0 γ0 + b′ (⃗t, ⃗γ ))x0
q(1, ⃗t)x20 + 2b((γ0 , ⃗γ ), (1, ⃗t))x0 .
= ) q(x0 + γ0 , x0⃗t + ⃗γ
=
=
=
על־מנת שלמשוואה יהיה פתרון ,x0 ̸= 0בהכרח נדרש ;b((γ0 , ⃗γ ), (1, ⃗t)) ̸= 0ואם מניחים שזה כך ,אז
⃗
מקיומו של פתרון מתחייב גם ש־ ,q(1, ⃗t) ̸= 0ואז )) .x0 = −2 b((1,t),(γ⃗0 ,⃗γ
)q(1,t
7.1.2
ערכים פולינומיים
משפט ) 7.1.3משפט קסלס־פיסטר Pfister־ (Casselsתהי qתבנית ריבועית מעל השדה .Fאם התבנית
מציגה פולינום ] g ∈ F [λמעל ) ,F (λאז היא מציגה אותו כבר מעל ].F [λ
הוכחה .אם התבנית איזוטרופית ,אין מה להוכיח משום שכל ] g ∈ F [λאפשר להציג כערך של התבנית ההיפרבולית,
.g = ( 12 (g − 1))2 − ( 12 (g + 1))2נניח אם כך שהתבנית אנאיזוטרופית ,ונכתוב אותה בצורה אלכסונית
∼ .qיהי ] g(λ) ∈ F [λפולינום שהוא ערך של התבנית מעל ) .F (λעל־ידי כפל במכנה משותף,
⟩ = ⟨a1 , . . . , an
ההנחה היא שיש ] f0 , f1 , . . . , fn ∈ F [λכך ש־
a1 f1 (λ)2 + · · · + an fn (λ)2 = g(λ)f02 (λ),
כאשר .f0 ̸= 0
⊆ ) .Z(Qלפי
נתבונן בתבנית ⟩ Q = ⟨−g, a1 , . . . , anמעל ) ,F (λוביריעת האפסים שלה
ההנחה .f⃗ = (f0 , f1 , . . . , fn ) ∈ Z(Q) ,אם המעלה ) m = deg(f0היא אפס ,סיימנו .נניח אם כך ש־.m > 0
נחלק כל ,fiעם שארית ,ב־ :f0יש פולינומים ] ,g1 , . . . , gn , r1 , . . . , rn ∈ F [λכך ש־ fi = f0 gi + riו־
deg(ri ) < mלכל .i = 0, . . . , nבפרט r0 = 0ו־ .g0 = 1באופן מקוצר אפשר לכתוב .f⃗ = f0⃗g + ⃗r
אפשר להניח שהפולינומים f1 , . . . , fnזרים במשותף ,משום שאחרת אפשר לצמצם ולקבל וקטור שלרכיב האפס
שלו מעלה קטנה יותר .בפרט.⃗r ̸= 0 ,
כעת נבנה נקודה נוספת ,f⃗′ = (f0′ , f1′ , . . . , fn′ ) ∈ Z(Q) ,עם .m′ = deg(f0′ ) < mבאינדוקציה ,יוצא
מזה שקיימת נקודה שעבורה הרכיב האפס הוא סקלר ,וזה נותן הצגה שלמה של .g
נבחר ,f⃗′ = B(⃗g , ⃗g ) · f⃗ − 2B(⃗g , f⃗) · ⃗gשהיא על־פי החישוב בטענה 7.1.1נקודה המקיימת .Q(f⃗′ ) = 0
F (λ)n+1
64
.7.1ערכים פולינומיים של תבנית
פרק .7שיטות גנריות
כדי לקבל את מעלת רכיב האפס של הנקודה החדשה ,נחשב ש־
)⃗f0 f0′ = f02 B(⃗g , ⃗g ) − 2f0 B(⃗g , f
)⃗= B(f0⃗g , f0⃗g − 2f
)= B(f0⃗g , −f⃗ − ⃗r
)= B(f⃗ − ⃗r, −f⃗ − ⃗r
∑
= )= B(⃗r, ⃗r
ai ri (λ)2 .
מכיוון ש־ qאנאיזוטרופית ולא כל ה־ riהם אפס ,קיבלנו ש־ .f0 f0′ ̸= 0לכן
∑
(deg(f0 ) + deg(f0′ ) = deg
ai ri2 ) ≤ 2 max deg(ri ) < 2 deg(f0 ),
כלומר ) .deg(f0′ ) < deg(f0
בעיה 7.1.4נסה לנסח ולהוכיח תוצאה דומה למשפט פיסטר־קסלס 7.1.3עבור תבנית qמעל
,Zהמציגה ערך שלם מעל .Qמה משתבש בהוכחה ,ומה אפשר להציל ממנה? איך אפשר
להכליל את התוצאה בכל זאת לתחומי שלמות )אוקלידיים( אחרים?
דוגמא 7.1.5תהי ) q = q(x1 , x2תבנית אנאיזוטרופית בינארית מעל .Fאז ∈ Aλ2 + 2Bλ + C
) DF (λ) (qאם ורק אם ) A ∈ DF (qו־).AC − B 2 = det(q
הוכחה .נניח ש־ p(λ) = Aλ2 + 2Bλ + Cהוא פולינום ריבועי .אם pהוא ערך של התבנית מעל ) ,F (λאז
לפי משפט קסלס־פיסטר pהוא ערך מעל ] .F [λלפי טיעון המונום העליון .p(λ) = q(aλ + b, cλ + d) ,2.4.17
חישוב ישיר מראה שבמקרה זה )) .(A, B, C) = (q(a, c), 2bq ((a, c), (b, d)), q(b, dבמלים אחרות ,מקדמי
∼q
הפולינום הם מקדמי התבנית ביחס לבסיס החדש .לכן Aλ2 + 2Bλ + Cהוא ערך של qאם ורק אם = Ax21 +
.2Bx1 x2 + Cx22לפי טענה ,3.3.6זה קורה אם ורק אם ) A ∈ DF (qו־).AC − B 2 = det(q
תרגיל 7.1.6ידוע אלו ערכים רציונליים אפשר להביע כסכום של שני ריבועים )רציונליים(.
השתמש בדוגמא 7.1.5כדי לתאר אלו פולינומים ממעלה שניה אפשר להביע כסכום של
שני ריבועים מעל ).Q(λ
בעיה 7.1.7התבנית ⟩ q = ⟨1, 1, 1יודעת להציג את הפולינום
(
)2 ( 3
)2
2(λ3 − λ2 − 1
2λ + 3λ2 + 2λ + 1
2
2
+
8λ + 4λ + 9 = 2 +
λ2 + 1
λ2 + 1
מעל ) .Q(λמצא הצגה של אותו פולינום כסכום של שלושה ריבועים גם מעל ] ,Q[λכפי שהמשפט
מבטיח שאפשר לעשות .הוכח )בעזרת תרגיל (7.1.5שאי אפשר להציג את 8λ2 + 4λ + 9כסכום של שני
ריבועים.
בעיה 7.1.8יהי ] g(λ) ∈ F [λערך מעל ) F (λשל תבנית איזוטרופית qמעל .Fאז המעלה של
כל גורם אי־פריק של gהיא זוגית .הדרכה .תרגיל .2.4.21
בעיה 7.1.9מצא תבנית ריבועית מעל Fעם ערך פולינומי מעל ) F (x, yשאינו ערך מעל
]) F [x, yראה ] [9, Equation 9.6ופרק 3ב־] .([14ראה ] [13, p. 9לפתרון מפורש )המיוחס
למוצקין ).(1967 ,(Motzkin
מסקנה ) 7.1.10עקרון ההצבה( תהי qתבנית מעל ,Fויהי ] g(λ1 , . . . , λm ) ∈ F [λ1 , . . . , λmפולינום
שהוא ערך של qמעל ) .F (λ1 , . . . , λmאז לכל ,α1 , . . . , αm ∈ Fגם ) g(α1 , . . . , αmהוא ערך של
התבנית מעל .F
65
פרק .7שיטות גנריות
.7.2ערכים גנריים
)התוצאה אינה מיידית :נניח שאפשר להציג )) ,g(⃗λ) = q(u1 (⃗λ), . . . , un (⃗λעם ) ;ui (⃗λ) ∈ F (⃗λלא
ברור שאפשר להציב ,λi 7→ αiשמא ההצבה מאפסת את המכנה של אחד ה־ (.ui
הוכחה .לפי משפט קסלס־פיסטר ,אפשר להציג את qמעל החוג ] ;F (λ1 , . . . , λm−1 )[λmכעת אפשר להציב
,λm 7→ αmובאינדוקציה מתקבלת הצגה של הערך ) .p(α1 , . . . , αm
7.1.3
סכום הריבועים הגנרי
משפט ) 7.1.11צמצום משתנה( נניח ש־⟩ q ⊥ ⟨dתבנית אנאיזוטרופית מעל ,Fויהי × .a ∈ Fאז ∈ a
) DF (qאם ורק אם )⟩.a + dλ2 ∈ DF (λ) (q ⊥ ⟨d
הוכחה .כיוון אחד טריוויאלי :אם ) ,a = q(c1 , . . . , cnאז a + dλ2 = q(c1 , . . . , cn ) + dλ2הוא ערך של
התבנית ⟩ .q ⊥ ⟨aכעת נניח שאפשר להציג את a + dλ2מעל ) .F (λלפי משפט קסלס־פיסטר אפשר להציג את
a + dλ2גם מעל ] ,F [λכלומר קיימים פולינומים f1 , . . . , fn , gכך ש־ .q(f1 , . . . , fn ) + dg 2 = a + dλ2
לפי טיעון המונום העליון g ,2.4.17לינארית .נבחר α ∈ Fהפותר את אחת המשוואות .g(λ) = ±λכך
,g(α) = ±αוכשנציב λ 7→ αנקבל .q(f1 (α), . . . , fn (α)) = a
תרגיל 7.1.12בדוק מה קורה במשפט אם התבנית ⟩ q ⊥ ⟨aאיזוטרופית.
תרגיל 7.1.13בדוק מה קורה במשפט אם ) charF = 2למשל ,יתכן ש־.(g(λ) = λ + 1
תרגיל 7.1.14הסק את המשפט מן המקרה הפרטי .d = 1
טענה 7.1.15יהי Fשדה ממשי .לכל × .lenF (λ) (a + λ2 ) = 1 + lenF (a) ,a ∈ F
הוכחה .נסמן ) .n = lenF (aברור ש־ .lenF (λ) (a + λ2 ) ≤ 1 + nבכיוון ההפוך ,נניח שאפשר להציג את
a + λ2כסכום של nריבועים מעל ) .F (λהתבנית ⟩ n · ⟨1אנאיזוטרופית מעל Fלפי ההנחה ,ולכן אפשר להפעיל
את משפט 7.1.11על ⟩ q = (n − 1) · ⟨1ולקבל הצגה של aכסכום של n − 1ריבועים ,בסתירה להנחה.
בעיה 7.1.16תן דוגמא לשדה שאינו ניתן לסידור ,עם × a ∈ Fכך ש־).lenF (λ) (a+λ2 ) = lenF (a
מסקנה 7.1.17יהי Fשדה ממשי .אז האורך של λ21 + · · · + λ2nבשדה ) F (λ1 , . . . , λnהוא .n
כלומר ,יש סכומים של nריבועים שאי אפשר להציג כסכום של פחות מ־ nריבועים.
7.2
ערכים גנריים
נסמן ) ,Λ = (λ1 , . . . , λnכאשר λ1 , . . . , λnהם משתנים טרנסצנדנטיים מעל .Fבדרך כלל n
יהיה ברור מההקשר .כך למשל ) F (Λ) = F (λ1 , . . . , λnהוא ההרחבה הטרנסצנדטית הטהורה
מדרגה nשל .Fאם ⟩ q = ⟨a1 , . . . , anתבנית מממד nמעל ,Fאז ) q(Λמציין את הערך הגנרי
.a1 λ21 + · · · + an λ2nבפרט.q(Λ) ∈ DF (Λ) (q) ,
המשפט הבא מתאר את כל תת־התבניות של תבנית אנאיזוטרופית ,ρבמונחי הערכים ש־ ρיכולה
להציג באופן גנרי.
משפט ) 7.2.1משפט תת־התבנית( תהיינה ρ, σתבניות ריבועיות מעל ,Fונניח ש־ ρאנאיזוטרופית .התנאים
הבאים שקולים:
66
.7.2ערכים גנריים
פרק .7שיטות גנריות
σ .1היא תת־תבנית של .ρ
DK (σ) ⊆ DK (ρ) .2לכל הרחבת שדות ") K/Fכל ערך של σהוא ערך של .("ρ
") σ(Λ) ∈ DF (Λ) (ρ) .3הערך הגנרי של σהוא ערך של .("ρ
הוכחה .ברור ש־) ,(3)⇐(2)⇐(1כך שעלינו להוכיח ש־) .(1)⇐(3נניח ש־ ) ,σ(Λ) ∈ DF (Λ) (ρונוכיח ש־σ
היא תת־תבנית של .ρנכתוב ⟩ ,σ = ⟨a1 , . . . , asונתקדם באינדוקציה על הממד של .ρאם ρ = 0אין ל־ ρערכים
ובהכרח גם .σ = 0נניח ש־) .a1 λ21 + · · · + as λ2s ∈ DF (λ1 ,...,λs ) (ρלפי עקרון ההצבה )מסקנה ,(7.1.10
) a1 ∈ DF (ρולכן אפשר לפרק ρ = ⟨a1 ⟩ ⊥ ρ′כאשר ρ′תבנית אנאיזוטרופית מממד נמוך משל .ρנכתוב גם
σ = ⟨a1 ⟩ ⊥ σ ′ונסמן ) .Λ′ = (λ2 , . . . , λsלפי ההנחה
a1 λ21 + σ ′ (Λ′ ) = σ(Λ) ∈ DF (Λ) (ρ) = DF (Λ′ )(λ1 ) (⟨a1 ⟩ ⊥ ρ′ ),
ולפי עקרון הצמצום )משפט .σ ′ (Λ′ ) ∈ DF (Λ′ ) (ρ′ ) ,(7.1.11זה מאפשר להפעיל את הנחת האינדוקציה ,ולהסיק
ש־ σ ′היא תת־תבנית של .ρ′לכן σ = ⟨a1 ⟩ ⊥ σ ′היא תת־תבנית של .ρ = ⟨a1 ⟩ ⊥ ρ′
משפט תת־התבנית מאפשר להוכיח שתכונת הכפליות של קבוצת הערכים ,שאותה הוכחנו
לתבניות פיסטר )משפט ,(6.4.2נכונה רק עבורן.
משפט 7.2.2תהי qתבנית אנאיזוטרופית מעל .(n = dim(q)) Fאז התנאים הבאים שקולים:
q .1היא תבנית פיסטר.
DK (q) .2היא חבורה לכל שדה הרחבה .K/F
.q(λ1 , . . . , λn ) · q(λ′1 , . . . , λ′n ) ∈ DF (λ1 ,...,λn ,λ′1 ,...λ′n ) (q) .3
") q(λ1 , . . . , λn ) ∈ GF (λ1 ,...,λn ) (q) .4הערך הגנרי הוא גורם דמיון של התבנית"(.
הוכחה :(4)⇐(1) .מכיוון ש־ qתבנית פיסטר.q(Λ) ∈ DF (Λ) (q) = GF (λ) (q) ,
) :(3)⇐(4ברור ש־) q(Λ′ ) ∈ DF (Λ′ ) (q) ⊆ DF (Λ,Λ′ ) (q) = DF (Λ,Λ′ ) (q(Λ) · qואפשר להכפיל
ולקבל ).q(Λ)q(Λ′ ) ∈ DF (Λ,Λ′ ) (q
) :(2)⇐(3תהי Kהרחבת שדות ,ויהיו ) q(u), q(vערכים של qמעל .Kלפי ההנחה התבנית qמציגה את
) q(Λ)q(Λ′מעל ) F (Λ, Λ′ולכן גם מעל ) .K(Λ, Λ′לפי עקרון ההצבה q(u)q(v) ,הוא ערך של qמעל .K
) :(1)⇐(2מכיוון ש־) DF (qהיא חבורה ⟨1⟩ ,תת־תבנית של .qתהי ρתת־תבנית פיסטר של qבעלת
ממד מקסימלי .2r ,נניח בשלילה ש־ ,n > 2rונכתוב .q = ρ ⊥ q0יהי ) .c ∈ DF (q0נראה ש־
⟨⟨−c⟩⟩ρ = ρ ⊥ ⟨c⟩ρהיא תת־תבנית של ;qזו סתירה למקסימליות של ,ρוהוכחה לכך ש־= )dim(q
∼ qהיא תבנית פיסטר .כדי להוכיח ש־ ρ ⊥ ⟨c⟩ρהיא תת־תבנית של qבעזרת
) ,2r = dim(ρכך ש־= ρ
′
′
משפט תת־התבנית ,עלינו להראות שהערך הגנרי ) ρ(Λ) + cρ(Λהיא ערך של qמעל ) .E = F (Λ, Λ
)ρ(Λ
′
. ρ(Λמאידך
ברור ש־) ,ρ(Λ), ρ(Λ ) ∈ DE (ρומכיוון שזו תבנית פיסטר ,גם המנה )′ ) ∈ DE (ρ) ⊆ DE (q
) .ρ(Λ) + c ∈ DE (ρ ⊥ ⟨c⟩) ⊆ DE (ρ ⊥ q0 ) = DE (qלפי ההנחה ,גם מכפלת הערכים היא ערך
)ρ(Λ
,ρ(Λ) + cρ(Λ′ ) = ρ(Λכפי שרצינו.
)′ ) (ρ(Λ) + c) ∈ DE (q
67
.7.3שדה הפונקציות של תבנית
7.3
פרק .7שיטות גנריות
שדה הפונקציות של תבנית
יריעת האפסים של תבנית ריבועית ⟩ q = {⟨a1 , . . . , anמעל Fהיא קבוצת הוקטורים = )Z(q
}
. (x1 , . . . , xn ) ∈ F n : a1 x21 + · · · + an x2n = 0זו יריעה אלגברית ,וקל להוכיח שהיא אי־פריקה
וחלקה .לשדה הפונקציות של היריעה קוראים שדה הפונקציות של ;qזהו שדה השברים של תחום
השלמות
⟨
⟩
2
2
F (q) = F [λ1 , . . . , λn ]/ a1 λ1 + · · · + an λn ,
שאפשר לתאר בצורה פחות סימטרית כהרחבה ריבועית של שדה טרנסצנדנטי טהור:
F (q) = F (λ1 , . . . , λn−1 )[λn ] / (a1 λ21 + · · · + an−1 λ2n−1 + an λ2n )F (λ1 , . . . , λn−1 ).
7.3.1
התבנית מעל שדה הפונקציות של עצמה
תהי qתבנית מעל .Fאם מצמצמים את qלשדה הפונקציות ) ,F (qהנקודה ) (λ1 , . . . , λnנמצאת
על יריעת האפסים ) ) ,Z(qF (qוהיא נקראת הנקודה הגנרית של היריעה .בפרט ,הוכחנו:
טענה 7.3.1לכל תבנית qF (q) ,qאיזוטרופית.
ולפי תכונת הפיצול של תבניות פיסטר ,משפט :6.4.1
מסקנה 7.3.2אם φתבנית פיסטר אז ) φF (φהיפרבולית.
טענה F (q) 7.3.3היא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה של Fאם ורק אם qאיזוטרופית.
הוכחה .אם qאיזוטרופית אז אפשר לפרק q = h ⊥ q ′כאשר hהיא תבנית היפרבולית דו־ממדית .על־
ידי החלפת משתנים אפשר להניח שהרכיב הזה הוא התבנית .h(x, y) = xyלכן ) F (qמוגדר על־ידי היחס
′
′
.λ1 = −λ−1לכן ) F (qטרנסצנדנטי מסדר .n − 1
,λ1 λ2 + q (λ3 , . . . , λn ) = 0שפתרונו ) 2 q (λ3 , . . . , λn
מאידך ,אם qאינה איזוטרופית ,לא יתכן ש־) F (qהרחבה טרנסצנדנטית טהורה ,משום שבמקרה זה qהיתה
אנאיזוטרופית מעל ) F (qלפי ,2.4.1בסתירה לטענה .7.3.1
7.3.2
התפצלות מעל שדה פונקציות
תהי qתבנית אנאיזוטרופית .כפי שראינו )טענה qF (q) ,(7.3.1נעשית איזוטרופית .עובדה זו מעוררת
שאלה טבעית :מתי נעשית ) qF (qהיפרבולית? לפי מסקנה ,7.3.2ברור שזה המצב אם qתבנית
פיסטר .מתברר שתכונת הפיצול הזו מאפיינת תבניות פיסטר עד כדי "דמיון" .נאמר ששתי תבניות
∼ .q ′
q, q ′הן דומות אם קיים aכך ש־= ⟨a⟩ · q
תרגיל 7.3.4הראה שלשתי תבניות דומות יש אותו שדה פונקציות.
טענה 7.3.5תהיינה q, φתבניות ,n = dim(φ) ,כך ש־) .1 ∈ D(φנניח ש־ qנעשית היפרבולית מעל ).F (φ
אז הנקודה הגנרית של φהיא גורם דמיון של qמעל ).E = F (Λ
√ .Λ′ = (λ1 , . . . , λn−1בהרחבה ) E ′ = F (Λ′של
הוכחה .לפי ההנחה אפשר לכתוב ⟩ .φ = φ′ ⊥ ⟨1נסמן )
′
אנאיזוטרופית .לכן
Fנסמן ) .∆ = φ′ (Λ′שדה הפונקציות של φהוא ]∆ .F (φ) = E [ −אפשר להניח ש־q
√
היא נשארת אנאיזוטרופית מעל ) E ′טענה ,(2.4.1ונעשית היפרבולית בהרחבה הריבועית .E ′ [ −∆]/E ′לפי
משפט ,2.4.3נובע מזה ש־ qE ′מתחלקת ב־⟩∆ .⟨⟨−∆⟩⟩ = ⟨1,תבנית ריבועית זו מציגה את .∆ + λ2nלכן
) ,∆ + λ2n ∈ D(⟨⟨−∆⟩⟩E ′ ) = G(⟨⟨−∆⟩⟩E ′ ) ⊆ G(qE ′והרי ∆ + λ2nהיא הנקודה הגנרית של .φ
68
.7.3שדה הפונקציות של תבנית
פרק .7שיטות גנריות
משפט 7.3.6תהי qתבנית לא היפרבולית מעל .Fאם qנעשית היפרבולית מעל ) ,F (qאז qדומה לתבנית פיסטר.
הוכחה .אם qאיזוטרופית ,אז ) F (qטרנסצנדנטי ולפי טענה 2.4.1מכך ש־ ) qF (qהיפרבולית נובע שגם qהיפרבולית.
נניח ,אם כך ,ש־ qאנאיזוטרופית .ככל תבנית q ,דומה לתבנית המציגה את ,1ואפשר להחליף את qבתבנית הזו.
לכן הנקודה הגנרית של qהיא גורם דמיון של ) qטענה ,(7.3.5ולפי משפט 7.2.2נובע מזה ש־ qתבנית פיסטר.
משפט 7.3.6מעורר שאלה כללית יותר :מה קורה לתבנית q1מעל שדה הפונקציות של התבנית
?q2אילו תבניות נעשות היפרבוליות מעל שדה הפונקציות של התבנית ?q
מסקנה 7.3.7תהי φתבנית .נניח שתבנית qנעשית היפרבולית מעל ) .F (φאז לכל )a ∈ DF (q
ו־) q ,c ∈ DF (φמכילה תת־תבנית איזומורפית ל־.⟨ac⟩ · φ
הוכחה .נסמן ) .n = dim(φלפי טענה ,7.3.5הנקודה הגנרית של ⟨c⟩φהיא גורם דמיון של qמעל השדה החופשי
∼ .cφ(λ1 , . . . , λn ) · qמכאן ש־) ,acφ(λ1 , . . . , λn ) ∈ D(qומכיוון
) .E = F (λ1 , . . . , λnכלומר = q
ש־ qאנאיזוטרופית ,משפט תת־התבנית 7.2.1קובע ש־ ⟨ac⟩φהיא תת־תבנית של .q
∼ )) F (qכשדות
מסקנה 7.3.8תהיינה q, φתבניות ,כאשר φתבנית פיסטר לא היפרבולית .אם )= F (φ
מעל (Fאז qדומה ל־.φ
הוכחה .לפי ההנחה φנעשית היפרבולית מעל ) ,F (qומכאן ש־ qמחלק את .φאבל האיזומורפיזם מספק שוויון
לדרגות הטרנסצנדנטיות ,ומכאן גם לממדים של .q, φ
משפט 7.3.9תהי φתבנית פיסטר ,ותהי qתבנית אנאיזוטרופית כלשהי .אז ) qF (φהיפרבולית אם ורק אם φ
מחלקת את .q
הוכחה .ראשית נניח ש־ φמחלקת את .qאז qנעשית היפרבולית מעל ) F (φמשום שכבר φנעשית שם היפרבולית
)מסקנה .(7.3.2בכיוון ההפוך ,נניח ש־ qנעשית היפרבולית מעל ) .F (φנבחר ) .a1 ∈ DF (qלפי מסקנה ,7.3.7
אפשר לפרק .q = ⟨a1 ⟩φ ⊥ q ′מעל שדה הפונקציות ) ,F (φגם qוגם ⟨a1 ⟩φנעשות היפרבוליות .לכן גם q ′
נעשית שם היפרבולית .לפי הנחת האינדוקציה φמחלק את q ′ולכן את .q
מסקנה 7.3.10אם φתבנית פיסטר ,אז ) .Ker(W (F )→W (F (φ)) = φ · W (F
הערה 7.3.11תהי qתבנית אנאיזוטרופית; נסמן ) .F1 = F (qכפי שראינו )טענה qF1 ,(7.3.1נעשית
איזוטרופית ,ולכן יש לה חלק אנאיזוטרופי ,q1 = (qF1 )anשהממד שלו קטן משל .qכעת אפשר להגדיר
) ,q2 = ((q1 )F2 )an ,F2 = F1 (q1וכן הלאה .מכיוון ש־
dim(q) > dim(q1 ) > dim(q2 ) > · · · ,
הסדרה מתאפסת עד מהרה עם .qℓ+1 = 0היינו qℓ ,נעשית היפרבולית מעל שדה הפונקציות שלה,
ולפי משפט 7.3.6היא תבנית פיסטר .הממדים של התבניות q, q1 , q2 , . . .והסדר של qℓהם נושא חשוב
במחקר המודרני של תבניות ריבועיות.
69
.7.4מסנן החזקות של ) I(F
7.4
פרק .7שיטות גנריות
מסנן החזקות של ) I(F
משפט ) 7.4.1ארסון־פיסטר ) ((Arason-Pfisterהממד של תבנית לא היפרבולית ) q ∈ I n (Fהוא לפחות
.2nאם יש שוויון ,אז qדומה לתבנית פיסטר מסדר .n
)במקרה הלא מפותל ההוכחה קלה .נניח ש־ qאינה מפותלת .אז יש סדר שעבורו הסימן של qשונה
מאפס )משפט ;(5.5.8אבל הסימן של כל תבנית ב־) I n (Fמתחלק ב־ ) 2nהערה .(5.5.17לכן הערך
המוחלט של הסימן הוא לפחות ,2nוזה חסם תחתון לממד(.
הוכחה .לפי ההנחה אפשר לכתוב את qכצירוף שלם q = ϵ1 φ1 ⊥ · · · ⊥ ϵr φrשל תבניות פיסטר φiמסדר
,nכאשר .ϵi = ±1ההוכחה היא באינדוקציה על .rאם r = 1סיימנו ,ולכן נניח ש־ .r > 1נתבונן בשדה
) .F ′ = F (φrמכיוון ש־ φrנעשית היפרבולית מעל ) F ′מסקנה ,(7.3.2
∼ qF ′
; = ϵ1 (φ1 )F ′ ⊥ · · · ⊥ ϵr−1 (φr−1 )F ′
בנוסף ) ,qF ′ ∈ I n (F ′ולכן אפשר להפעיל את הנחת האינדוקציה :אם qF ′אינה היפרבולית ,אז = )dim(q
.dim(qF ′ ) ≥ 2nמצד שני אם qF ′היפרבולית ,אז לפי משפט q ,7.3.9היא כפולה של φוהממד שלה מתחלק
ב־ .2n
n
לבסוף ,נניח ש־ .dim(q) = 2נתבונן בשדה ) .K = F (qנסמן ב־ q0את החלק האנאיזוטרופי של .qKלפי
טענה ,dim(q0 ) < dim(qK ) = dim(q) = 2n ,7.3.1ולפי החלק הראשון של המשפט .q0 = 0כלומרqK ,
היפרבולית ,ולפי משפט 7.3.6זה אומר ש־ qדומה לתבנית פיסטר.
בעיה 7.4.2מצא ב־) I 2 (Fתבנית אנאיזוטרופית מממד ) 6והסק ש־ 2nאינו בהכרח מחלק את
הממד של תבנית ב־) (.I n (F
מסקנה = 0 7.4.3
) n (F
∩
n≥1 I
.
בעיה 7.4.4הראה שהטופולוגיה ה־ Iאדית )שבסיס שלה הוא ההזזות ) (q + I n (Fמקיית את
תכונת ההפרדה .T1תהי K/Fהרחבה .הראה שהעתקת הצמצום ) W (F )→W (Kרציפה.
.T = Ker(Wהראה ש־) T = Ker(W F →W Kהוא אידיאל סגור .הסק
נסמן ))(F )→W (K
∩
ש־ . n≥1 (T + I n (F )) = T
ממשפט ארסון־פיסטר נובע שתבניות פיסטר שונות מסדר nשונות זו מזו גם במנה :I n /I n+1
∼ .φ
מסקנה 7.4.5תהיינה φ, ψתבניות פיסטר מסדר .nאם ) φ ≡ ψ (mod I n+1אז = ψ
∼ .φ′ − ψ ′ ∼ H + φ′ + ⟨−1⟩ψ ′זה מוכיח לפי משפט ארסון־
הוכחה .לפי ההנחה = φ + ⟨−1⟩ψ ∈ I n+1
∼ .φ
∼ φ′ו־= ψ
פיסטר 7.4.1ש־ ,φ′ − ψ ′ ∼ 0כלומר = ψ ′
70
פרק 8
אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
התורה האריתמטית של תבניות ריבועיות עוסקת במיון של תבניות מעל "השדות האריתמטיים" ,כלומר
אלו שקרובים במובנים שונים לשדה המספרים הרציונליים .שאלה חשובה נוספת באריתמטיקה ,שיש
לה משקל היסטורי משמעותי ,היא השאלה אלו ערכים )שלמים( אפשר לבטא באמצעות תבנית נתונה.
הערה 8.0.6תהי φתבנית רגולרית מעל שדה ,Fויהי × .a ∈ Fאז φמציגה את aאם ורק אם
⟩ φ ⊥ ⟨−aאיזוטרופית) .אכן ,אם φאיזוטרופית היא מציגה כל ערך ,ואם היא אנאיזוטרופית אבל
⟩ φ ⊥ ⟨−aאיזוטרופית ,זה בהכרח משום ש־ aהוא ערך של (.φ
8.1
תבניות מעל שדות סופיים
טענה 8.1.1יהי Fשדה סופי.
∼ ) .W (F
.1אם ) |F | ≡ −1 (mod 4אז ]= F2 [ϵ | ϵ2 = 0
∼ ) .W (F
.2אם ) |F | ≡ 1 (mod 4אז = Z/4Z
2
∼ × .F × /Fיהי × s ∈ Fאיבר שאינו ריבוע.
הוכחה .כידוע = Z/2Z
.1נניח ש־) .|F | ≡ 1 (mod 4מכיוון ש־ −1הוא ריבוע ⟨1, 1⟩ ,איזוטרופית ולכן היפרבולית ,כך ש־
}⟩ .W (F ) = {0, ⟨1⟩, ⟨s⟩, ⟨1, sמכיוון ש־⟩ ,⟨s⟩2 = ⟨1החוג איזומורפי ל־] ,F2 [ϵ | ϵ2 = 0עם
⟩.ϵ = ⟨1, s
.2נניח ש־) .|F | ≡ −1 (mod 4אפשר לקחת .s = −1כפל בריבועים מפרק את Fלשלושה מסלולים:
2
2
ריבועים ,לא־ריבועים ואפס .נתבונן בקבוצה × ,A = F × + Fשהיא איחוד של מסלולים .היא אינה
2
מכילה את אפס כי −1אינו ריבוע; היא מכילה את כל הריבועים ,אבל לא רק אותם משום ש־ × Fסגורה
2
2
לכפל ולכן אינה סגורה לחיבור )היא אינה תת־שדה( .מכאן ש־ × .−1 ∈ F × = F × + Fלכן
∼ ) ;W (F
∼ ⟩) ⟨1, 1לפי מסקנה ,(3.3.8אבל תבנית זו אינה איזוטרופית ,ומכאן ש־= Z/4Z
⟩= ⟨−1, −1
אכן }⟩.W (F ) = {0, ⟨1⟩, ⟨−1⟩, ⟨1, 1
מסקנה 8.1.2לכל שדה סופי .I 2 (F ) = 0 ,F
מסקנה 8.1.3מעל שדה סופי ,כל תבנית מממד ) 3או יותר( היא איזוטרופית .בפרט ,כל תבנית מממד
) 2או יותר( מעל שדה סופי היא אוניברסלית ,כלומר מציגה כל ערך שונה מאפס.
71
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
.8.2תבניות מעל שדות מקומיים
∼ ) W (F5
דוגמא 8.1.4נתבונן בהרחבה .F25 /F5
אינו ריבוע ב־ =√F2 [ϵ | ϵ2 = 1] ,F5
√ מכיוון ש־√ 2
2
אם t = 2אז
)כי
F
ב־
ריבוע
אינו
ו־2
F
=
F
[
עם הזיהוי ⟩ .ϵ = ⟨2בדומה לזה ]2
25
5
⟨√ ⟩ 25
′
′
′2
∼
= .ϵראה גם
,(t24 = (t8 )3 = (−1)3 = −1ולכן ] W (F25 ) = F2 [ϵ | ϵ = 1עם הזיהוי 2
תרגיל .8.1.1העתקת הצמצום R→R′שולחת ,ϵ 7→ 1ולכן התמונה שלה היא }⟩ ,{0, ⟨1והגרעין הוא
האידיאל הנוצר על־ידי ⟩.ϵ + 1 = ⟨1, 2
אתגר 8.1.5תאר את כל השדות Fשחוג ויט שלהם איזומורפי לזה של שדה סופי.
8.2
תבניות מעל שדות מקומיים
8.2.1
שדות עם הערכה
הגדרה 8.2.1הערכה בדידה של שדה Fהיא פונקציה }∞{ ∪ ν : F →Zכך ש־∞ = ) ν(0ו־ ν(a) ∈ Zבכל
מקרה אחר ,המקיימת לכל × :a, b ∈ F
;ν(ab) = ν(a) + ν(b) .1
.ν(a + b) ≥ min {ν(a), ν(b)} .2
דוגמא 8.2.2יהי Rתחום פריקות יחידה ,עם איבר ראשוני .p ∈ Rיהי ) F = q(Rשדה השברים.
לכל איבר a ∈ Rאפשר להגדיר } .νp (a) = max {n : a ∈ Rpnהפונקציה νpהיא הערכה בדידה.
כך מתקבלות ההערכה ה־p־אדית של ) Qעבור ראשוני (pוההערכה ה־p־אדית של ]) F [λעבור
פולינום אי־פריק .(p
הגדרה 8.2.3יהי Fשדה עם הערכה בדידה .ν : F × →Zחוג השלמים של νהוא
Oν = {a ∈ F : ν(a) ≥ 0}.
אידיאל ההערכה הוא
Iν = {a ∈ F : ν(a) > 0}.
שדה השאריות של Fהוא שדה המנה .Oν /Iνאיבר π ∈ Iνעם ערך מינימלי נקרא יוניפורמיזר )בדרך כלל
מנרמלים את ההערכה כך ש־.(ν(π) = 1
תרגיל 8.2.4כפי שהשמות רומזים F ,הוא שדה השברים של Oν ;Oνהוא חוג מקומי ש־ Iνהוא
האידיאל המקסימלי שלו; ̄ Fהוא אכן שדה.
תרגיל 8.2.5יהי .a ∈ Fאז aהוא איבר הפיך ב־ Oνאם ורק אם .ν(a) = 0
תרגיל 8.2.6כחבורה כפלית אפשר לפרק × .F × = π Z Oνכלומר ,לכל × a ∈ Fיש ℓ ∈ Zיחיד
ו־ × u ∈ Oνיחיד כך ש־.a = π ℓ u
8.2.2
שדות שלמים ושדות מקומיים
יהי Fשדה עם הערכה בדידה .ההערכה משרה על Fמטריקה ,באופן הבא .נקבע ,0 < γ < 1
ונגדיר ).d(a, b) = γ ν(a−b
תרגיל 8.2.7זו אכן מטריקה.
תרגיל 8.2.8הטופולוגיה המטרית אינה תלויה בערך של .γ
ככל ש־) ν(aגדול יותר a ,קרוב יותר לאפס .למשל ,אם πיוניפורמיזר ,אז .π n →0המטריקה
מגדירה בשדה סדרות קושי .השדה הוא שדה שלם )ביחס להערכה (νאם כל סדרת קושי מתכנסת.
72
.8.2תבניות מעל שדות מקומיים
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
∑ (8.2.5הם שלמים .דוגמא נוספת :לכל שדה F = k((t)) ,kהוא
דוגמא 8.2.9השדות המקומיים )סעיף
i
∞ ( νכאשר .aN ̸= 0
שלם ביחס להערכה i=N ai t ) = N
תרגיל 8.2.10אם x1 , x2 , . . .סדרת קושי ו־ ν(xn ) ≥ 0עבור nמספיק גדול ,אז .lim xn ∈ Oν
כלומר ,חוג השלמים Oνהוא מרחב מטרי שלם )"חוג השלמים הוא חוג שלם"(.
השלמה של שדות
בהמשך נראה שהאריתמטיקה של שדה שלם היא פשוטה יחסית .למרבה הנוחות ,כל שדה עם הערכה
מוכל בשדה שלם יחיד.
טענה 8.2.11יהי Fשדה עם הערכה .אז יש שדה שלם ̂ Fשכל איבר בו הוא גבול של סדרת קושי של
אברים מ־ .Fההערכה מוגדרת בשדה הזה לפי ) ;ν(lim an ) = lim ν(anהסדרה באגף ימין מתכנסת
בטופולוגיה הדיסקרטית של ,Zמשום שהיא קבועה לבסוף .השדה ̂ Fיחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות
עם הערכה.
משפט ) 8.2.12משפט אוסטרובסקי ) ((Ostrovskyההערכות הבדידות היחידות של Qהן ההערכות ה־p־
אדיות.
הערה 8.2.13כתוצאה ממשפט אוסטרובסקי ,8.2.12ההשלמות היחידות של Qלשדות שלמים בטופולוגיה
מטרית שתחתיה פעולות השדה רציפות ,הן Qpעבור pראשוני ,ו־) .Rההשלמה ל־ Rקשורה בערכים
מוחלטים ארכימדיים ,מושג שלא נבאר כאן; כל הערכה בדידה משרה ערך מוחלט לא ארכימדי(.
שדות מקומיים
נפגוש כעת מחלקה חשובה של שדות שלמים .נזכיר שמרחב מטרי הוא קומפקטי מקומית אם לכל
נקודה יש סביבה פתוחה שהסגור שלה קומפקטי.
הגדרה 8.2.14שדה עם הערכה בדידה הוא מקומי אם הוא קומפקטי מקומית )בטופולוגיה המטרית המושרית על־ידי
ההערכה(.
תרגיל 8.2.15שדה מקומי הוא בהכרח שלם.
טענה 8.2.16יהי Fשדה שלם .הוא מקומי אם ורק אם ̄ Fהוא שדה סופי.
הגדרה ,Qp 8.2.17שדה המספרים ה־p־אדיים ,הוא ההשלמה של Qביחס להערכה ה־p־אדית .νp
את חוג השלמים של Qpמסמנים ב־ .Zpשימו לב ש־ :charQp = 0זוהי הרחבה של .Q
משפט 8.2.18כל שדה מקומי הוא אחד מהשדות הבאים:
.1הרחבה סוף־ממדית של ,Qpעם ההערכה )היחידה( הממשיכה את ההערכה ה־p־אדית.
.2השדה של טורי לורן מעל שדה סופי ,היינו )) ,Fq ((tעם ההערכה }ai ti ) = min {i : ai ̸= 0
∑
(.ν
בעיה 8.2.19אם Fשדה מקומי ,אז לכל מרחב ריבועי ) (V, qמתקיים ).O(V, q) = O+ (V, q
73
.8.2תבניות מעל שדות מקומיים
8.2.3
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
תבניות מעל חוג השלמים בשדה שלם
היתרון בשדות שלמים הוא שאפשר לפתור בהם משוואות באופן איטרטיבי .הרעיון הבסיסי הוא
שכל מה שאפשר לעשות בשדה השאריות ,אפשר להרים לחוג השלמים עצמו ,באמצעות לינאריזציה
של הבעיה בכל אחד מהמקטעים .π n Oν /π n+1 Oνכדי שהאסטרטגיה הזו תעבוד ,המשוואה צריכה
להיות "ספרבילית" בשדה השאריות ,וזה מסבך את הדברים עבור תבניות ריבועיות אם יש מקדמים
לא הפיכים ,או כאשר .charF = 2
נדגים זאת במקרה פשוט ,ואחר־כך נציג תוצאה כללית יותר.
למה ) 8.2.20הלמה של הנזל (Henselנניח ש־ .charF̄ ̸= 2אם × a ∈ Oνו־ × ̄ ā ∈ Fהוא איבר
ריבועי ,אז גם aריבוע ב־ .Oν
הוכחה .נבנה סדרה x1 , . . .באינדוקציה .עבור ,n ≥ 1נניח ש־) ) x2n ≡ a (mod π nלפי ההנחה x1קיים(.
כתוב ,xn+1 = xn + π n yעבור yשנבחר מיד .ממילא יוצא ש־} {xnהיא סדרת קושי .כדי לבחור את ,yנחשב:
x2n+1 − a = (x2n − a) + 2π n y + π 2n y 2
≡ x2n + 2π n y
= π n (π −n (x2n − a) + 2y) (mod π n+1 ).
נבחר y ∈ Oכך ש־) ,y ≡ − 12 π −n (x2n − a) (mod πואז ) .x2n+1 ≡ a (mod π n+1הגבול = x
limn→∞ xnמקיים .x2 = limn→∞ x2n = a
הנה הגרסה הכללית על הרמת הצגות של תבנית ריבועית.
∑
למה 8.2.21תהי q(x1 , . . . , xt ) = i ai x2iתבנית ריבועית אלכסונית מעל .Oνיהי .a ∈ Oνנניח
שיש x1 , . . . , xt ∈ Oνכך ש־) ,q(x1 , . . . , xt ) ≡ a (mod 4πויש iכך ש־ ai xiהפיך )ב־ .(Oνאז q
מציגה את aמעל .Oν
הוכחה .נקבע יוניפורמיזר .π ∈ Oνראשית ,נסמן ) ,e = ν(2כך ש־ ) 2Oν = π e Oνאם e = 0אז
.(charF ̸= 2
לכל x1 , . . . , xt ∈ Oνו־ ,δ1 , . . . , δt ∈ Oνאם נציב ,x′i = xi + π n δiנוכל לחשב ש־
∑
2
= ) q(x′1 , . . . , x′t
ai x′i
i
ai (xi + π n δi )2
∑
=
i
) ai (x2i + 2π n δi xi + π 2n δi2
ai δi2 .
∑
i
ai δi xi + π 2n
∑
∑
=
i
= q(x1 , . . . , xt ) + 2π n
i
בפרט ,אם n ≥ e + 1אז ,2π n+1 | π 2nולכן
∑
q(x′1 , . . . , x′t ) ≡ q(x1 , . . . , xt ) + 2π n
ai δi xi (mod 2π n+1 ).
i
נאמר שהווקטור x1 , . . . , xtהוא 'n־טוב' אם ) ,q(x1 , . . . , xt ) ≡ a (mod 2π nויש iכך ש־ ai xiהפיך.
)(n
)(n
)(e+1
)(e+1
.x1יהי ,n ≥ e + 1ונניח ש־ x1 , . . . , xtהוא
, . . . , xt
לפי ההנחה קיים וקטור )(e + 1־טוב,
74
.8.2תבניות מעל שדות מקומיים
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
)(n
)(n
וקטור n־טוב .כתוב ) q(x1 , . . . , xt ) ≡ a + 2π n θ (mod 2π n+1עבור θ ∈ Oνמתאים .נגדיר
)(n
)(n+1
)(n
xiעבור ערכים δi ∈ Oνשנבחר מיד )ממילא נובע שלכל ,iהסדרה xiהיא סדרת
= xi + π n δi
קושי( .אז
∑
)(n+1
)(n+1
)(n
)(n
q(x1
, . . . , xt
) ≡ q(x1 , . . . , xt ) + 2π n
ai δi xi
i
(mod 2π n+1 ).
a i δi x i
∑
n
≡ a + 2π θ + 2π
n
i
∑
)(n
)(n
מכיוון ש־ x1 , . . . , xtהוא טוב ,אפשר לפתור את ) θ + i ai δi xi ≡ 0 (mod πעבור ,δ1 , . . . , δt ∈ Oν
)(n+1
)(n+1
)(n+1
)(n+1
x1הוא )(n + 1־טוב .במעבר
, . . . , xt
q(x1כך ש־
, . . . , xt
ואז ) ) ≡ a (mod 2π n+1
)(n
לגבול ,xi = limn→∞ xiמתקבלת הצגה של aעל־ידי qמעל .Oν
בפרט ,אם בוחרים ⟩ ,q = ⟨1מקבלים גרסה של למה 8.2.20המכסה גם את המקרה :charF̄ = 2
מסקנה 8.2.22אם ל־ × a ∈ Oיש שורש מודולו ,4πאז יש ל־ aשורש ב־.O
מסקנה 8.2.23בכל שדה שלם ביחס להערכה בדידה.1 + 4πO ⊆ O× ,
2
מסקנה 8.2.24תהי qתבנית ריבועית אלכסונית מעל ,Oνויהי × .a ∈ Oνאם qמציגה את aמודולו
,4πאז qמציגה את aמעל .Oν
∑
≡ aמודולו ,4πבהכרח יש ai xiהפיך,
הוכחה .זו גרסה של למה :8.2.21ההנחה aאומרת שבהצגה ai x2i
ולכן הלמה מספקת הצגה מעל השלמים.
וקטור ) ⃗x = (x1 , . . . , xnמעל חוג השלמים ) Oνאו חוג מנה שלו( נקרא פרימיטיבי אם יש לו
לפחות רכיב הפיך אחד .הצגה של aבאמצעות וקטור פרימיטיבי נקראת הצגה פרימיטיבית .מן
ההומוגניות ברור שאם תבנית qהמוגדרת מעל Oνהיא איזוטרופית מעל ,Fאז היא מציגה את אפס
באופן פרימיטיבי .בשפה זו 8.2.21 ,מספקת את התוצאה הבאה:
מסקנה 8.2.25תהי qתבנית ריבועית אלכסונית מעל ,Oνהנשארת רגולרית מודולו .πיהי .a ∈ Oν
אם qמציגה את aבאופן פרימיטיבי מודולו ,4πאז qמציגה את aמעל .Oν
מסקנה 8.2.26תהי qתבנית ריבועית אלכסונית מעל ,Oνהנשארת רגולרית מודולו .πאם qמציגה
את אפס באופן פרימיטיבי מודולו ,4πאז היא איזוטרופית.
הוכחה .זהו המקרה a = 0של מסקנה .8.2.25
תרגיל 8.2.27במסקנה ,8.2.26הדרישה שהתבנית תשאר רגולרית היא חיונית .הראה שהתבנית
⟩ ⟨1, 1, π, πמעל ] Q2 [π | π 2 = 2היא אנאיזוטרופית :למרות שהיא מציגה את אפס פרימיטיבית
מודולו ,4πהיא אינה יכולה להציג את אפס פרימיטיבית מודולו .8
בעיה 8.2.28הצע גרסה של למה 8.2.21שתתאים לתבנית כללית ,לאו דווקא אלכסונית.
בעיה 8.2.29יהי .e ≥ 1התבונן בשדה ⟩) Q2 [π]/⟨π e − 2הקבוע eממשפט 8.2.21מתלכד עם
הערך שניתן לו כאן( .הראה ש־ 5אינו ריבוע בשדה ,משום שהוא אינו ריבוע מודולו ,4πלמרות
שהוא ריבוע מודולו .4מכאן שהדרישה לקיום הצגה מודולו 4πבמסקנה 8.2.24היא המינימום
ההכרחי להבטיח הצגה שלמה.
75
.8.2תבניות מעל שדות מקומיים
8.2.4
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
חוג ויט של שדה שלם
מסקנה 8.2.23מאפשרת להוכיח את המשפט הבא:
משפט ) 8.2.30הלמה של פיסטר( יהי Fשדה הערכה שלם.
∼ ) .W (F
אדיטיביות= W (F̄ ) ⊕ W (F̄ ) ,
נניח ש־.charF̄ ̸= 2
אז ,כחבורות
הוכחה .יהיו Oחוג השלמים של π ∈ O ,Fיוניפורמיזר ,ו־ F̄ = O/πOשדה השאריות .נגדיר העתקה
) ̄ W (F )→W (F̄ ) ⊕ W (Fעל היוצרים ,בעזרת תרגיל ,8.2.6לפי
⟨
⟩
)(⟨ū⟩ , 0
ℓזוגי
→π ℓ u 7
.
ℓאי־זוגי )⟩̄(0 , ⟨u
⟩ ⟨
יש לוודא שההעתקה מוגדרת היטב .נעשה זאת לפי היחסים במשפט .3.3.16היחסים ⟩ ac2 = ⟨aו־
⟨1⟩+⟨−1⟩ = 0עוברים לטענות נכונות בתמונה .נשאר לבדוק את היחס ⟩).⟨a⟩+⟨b⟩ = ⟨a + b⟩+⟨ab(a + b
′
′
נכתוב a = π ℓ uו־ b = π ℓ vכאשר u, vשלמים הפיכים .אם ℓ < ℓ′נסמן ;w = u + π ℓ −ℓ vאז w ≡ u
מודולו ריבועים ,ולכן ־⟩̄ ⟨ū⟩ = ⟨wו־⟩̄ .⟨v̄⟩ = ⟨ūv̄ wבדיקה של המקרים השונים מראה שתמיד מתקבל שוויון
בתמונה .כך גם כאשר .ℓ′ < ℓנשאר המקרה .ℓ′ = ℓאם u + vהפיך ,אז ⟩̄ .⟨ū⟩ + ⟨v̄⟩ = ⟨w̄⟩ + ⟨ūv̄ wאחרת,
w = π t sעבור × ,s ∈ Oואז ̄ ⟨ū⟩ + ⟨v̄⟩ = 0 ,ū = −vו־.⟨s̄⟩ + ⟨ūv̄s̄⟩ = ⟨s̄⟩(⟨1⟩ + ⟨−1⟩) = 0
בכיוון ההפוך ,אפשר להגדיר
;⟩(⟨ū⟩, ⟨v̄⟩) 7→ ⟨u, πv
זו העתקה מוגדרת היטב )משום שכל איבר ב־ 1 + πOνהוא ריבוע( ,ההופכת את הפונקציה הקודמת ,ולכן שתיהן
איזומורפיזמים.
בעיה 8.2.31הלמה של פיסטר מגדירה )בין השאר( הומומורפיזם של חבורות ) ̄W (F )→W (F
לפי ⟩̄ ⟨u⟩ 7→ ⟨uו־ .⟨πu⟩ 7→ 0מצא הטלה מ־) W (Fבמקרה ש־ charF = 0ו־.charF̄ = 2
נמשיך בהנחה ש־ Fשדה שלם ,וששדה השברים ̄ Fהוא ממאפיין שונה מ־.2
מסקנה 8.2.32כל תבנית רגולרית מעל Fאפשר לפרק באופן יחיד )עד כדי שקילות ויט( בצורה
q = q0 ⊥ ⟨π⟩q1כאשר q0 , q1הן תבניות המוגדרות מעל Oνונשארות רגולריות מעל ̄.F
תרגיל 8.2.33לכל × a ∈ Fמתקיים ⟩⟩.⟨⟨a⟩⟩2 = 2⟨⟨a
הדרכה ⟨⟨a, a⟩⟩ = ⟨⟨−1⟩⟩⟨⟨a⟩⟩ .לפי
למה ).6.3.1.(1
טענה ) 8.2.34אם Fשלם ו־ (charF̄ ̸= 2יש איזומורפיזם של חוגים
∼ ) W (F
= W (F̄ )[θ | θ2 = 2θ].
הוכחה .האיזומורפיזם הוא ] ,[q0 + ⟨π⟩q1 ] 7→ [q¯0 ] + (1 − θ)[q¯1ובכיוון ההפוך ⟩⟩.θ 7→ ⟨⟨π
האיזומורפיזם ] W (F )→W (F̄ )[θ | θ2 = 2θנושא את האידיאל היסודי ) I(Fל־) ̄,I(F̄ ) + θW (F
משום ש־⟩⟩̄ ⟨⟨u⟩⟩ 7→ ⟨⟨uו־ .⟨⟨πu⟩⟩ 7→ ⟨⟨ū⟩⟩ + ⟨ū⟩θכך אפשר לחשב את החזקות :לכל ,n ≥ 1
I n (F ) 7→ I n (F̄ ) + I n−1 (F̄ )θ.
מסקנה 8.2.35יהי Fשדה שלם עם .charF̄ ̸= 2אז
∼ ) I n (F )/I n+1 (F
= I n (F̄ )/I n+1 (F̄ ) ⊕ I n−1 (F̄ )/I n (F̄ ).
בעיה 8.2.36מצא את הקשר בין העתקת השארית בלמה של פיסטר ,לבין תת־סעיף .4.2.1
76
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
8.2.5
.8.2תבניות מעל שדות מקומיים
חוג ויט של שדות מקומיים
בסעיף הזה נחשב את ) W (Qpכאשר ) p ̸= 2כשטענה 8.2.34נותנת את המבנה של החוג( ,וכאשר
) p ̸= 2כשהטענה אינה ישימה(.
טענה 8.2.37נתבונן בשדה .Qp
∼ ×2
2
× ,Qכאשר החבורה נוצרת על־ידי pואיבר s ∈ Zשאינו ריבוע
.1אם pאי־זוגיp /Qp = (Z/2) ,
מודולו .p
∼ ×2
3
× ,Qכשהחבורה נוצרת על־ידי .−1, 2, 3
2 /Q2 = (Z/2) .2
דוגמא 8.2.38יהי ) p ≡ −1 (mod 4ראשוני .אז כל תבנית ריבועית רגולרית מעל F = Qpשקולה
בדיוק לאחת מהתבניות הבאות:
⟨1⟩, ⟨−1⟩, ⟨p⟩, ⟨−p⟩,
;0
⟩⟨1, 1⟩, ⟨1, p⟩, ⟨1, −p⟩, ⟨−1, p⟩, ⟨−1, −p⟩, ⟨p, p
⟨1, p, p⟩, ⟨−1, p, p⟩, ⟨1, 1, p⟩, ⟨1, 1, −p⟩,
⟨1, 1, p, p⟩.
בפרט )בעקבות טענה (8.2.34
W (Qp ) = (Z/4)[θ | θ2 = 2θ],
כאשר ⟩ 1 = ⟨1כרגיל ,ו־⟩⟩ .θ = ⟨⟨pהאידיאל היסודי נוצר אדיטיבית על־ידי .2, θלכן = ) I 2 (F
} ,{0, 2θוכמובן .I 3 (F ) = 0
דוגמא 8.2.39יהי ) p ≡ 1 (mod 4ראשוני .קבע s ∈ Zשאינו שארית ריבועית מודולו .pאז כל
תבנית ריבועית רגולרית מעל F = Qpשקולה בדיוק לאחת מהתבניות הבאות:
⟨1⟩, ⟨s⟩, ⟨p⟩, ⟨sp⟩,
;0
⟩⟨1, s⟩, ⟨1, p⟩, ⟨1, sp⟩, ⟨s, p⟩, ⟨s, sp⟩, ⟨p, sp
⟨1, s, p⟩, ⟨1, s, sp⟩, ⟨1, p, sp⟩, ⟨s, p, sp⟩,
⟨1, s, p, sp⟩.
חוג ויט הוא ] ,W (Qp ) = (Z/2)[σ, θ | σ 2 = θ2 = 0עם ההתאמה ⟩⟩ σ = ⟨⟨sו־⟩⟩ .θ = ⟨⟨pבמקרה
זה ) I(Fנוצר אדיטיבית על־ידי .σ, θ, σθלכן } ,I 2 (F ) = {0, σθושוב .I 3 (F ) = 0
טענה 8.2.40יש 32תבניות אנאיזוטרופיות מעל .Q2חוג ויט של Q2הוא
∼ ) W (Q2
= (Z/8)[x, y | x2 = y 2 = 2x = 2y = 0, xy = 4],
עם ⟩⟩ x = ⟨⟨2ו־⟩⟩ .y = ⟨⟨−3בחוג הזה ⟩ I 2 (Q2 ) = ⟨4⟩ ,I(Q2 ) = ⟨2, x, yו־.I 3 (Q2 ) = 0
×
×
התבניות
הוכחה .ראינו )טענה (8.2.37ש־⟩ .Q2 /Q2 = ⟨−1, 2, 3מכאן ש־) W (Q2נוצר אדיטיבית על־ידי √
⟩ x = ⟨⟨2⟩⟩ ,1 = ⟨1ו־⟩⟩ .y = ⟨⟨−3התבנית ⟩⟩ ⟨⟨−1, −1, −1היא איזוטרופית ) −7 ∈ Q2לפי
למה (8.2.22ולכן היפרבולית )משפט .(6.4.1מכאן ש־ 8 = 0בחוג.
את היחסים אפשר להוכיח ישירות בעזרת ההצגות השונות לתבנית בינארית .מ־⟩ ⟨1, 1⟩ = ⟨2, 2נובע
.2x = 0מ־⟩ ⟨1, 1⟩ = ⟨1, 4⟩ = ⟨5, 5⟩ = ⟨−3, −3נובע .2y = 0מ־⟩ ⟨−2, 3⟩ = ⟨1, −6נובע
,xy = ⟨1, −2, 3, −6⟩ = 2⟨−2, 3⟩ = 2(x + y − 2) = 4ולבסוף x2 = 2x = 0ו־ y 2 = 2y = 0לפי
תרגיל .8.2.33
2
77
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
.8.3תבניות מעל שדות גלובליים
כדי להוכיח שכל התבניות ⟩⟩ q = n⟨1⟩ + α⟨⟨2⟩⟩ + β⟨⟨−3שונות זו מזו ),(α, β = 0, 1 ,n = 0, . . . , 7
אפשר להפעיל את האינווריאנטים .די להוכיח שהתבנית ההיפרבולית היחידה מתקבלת עבור .n = α = β = 0
) q ∈ I(Q2אם ורק אם ) ;n ≡ 0 (mod 2ועבור תבניות ב־) ,disc(q) = (−1)n/2+β 2α 3β ,I(Q2שהוא
ריבוע אם ורק אם α = β = 0ו־) .n ≡ 0 (mod 4זה משאיר רק תבנית אחת לבדוק .q = ⟨1, 1, 1, 1⟩ ,אבל
התבנית הזו אינה איזוטרופית כי אם יש הצגה x21 + · · · + x24 = 0אפשר להניח ש־ x1 , . . . , x4 ∈ Z2ולא כולם
זוגיים ,אלא שזה בלתי אפשרי מודולו .8
בעיה 8.2.41הוכח את הטענות הבאות לגבי התבניות האנאיזוטרופיות מעל :Q2
2
×
×) .Qבסימוני המשפט ,אלו התבניות ,x ± 1 ,±1
.1יש 8תבניות מממד .1הדרכה2 /Q2 .
(.x + y ± 3 ,y ± 1
.2יש 7תבניות מממד 2המציגות את .1הדרכה .אלו התבניות ⟩ ⟨⟨a⟩⟩ = ⟨1, −aעבור .a ̸= 1
.3לכל תבנית מהסעיף הקודם )⟩⟩ G(⟨⟨aהיא מסדר ) 4מתקבלות שבע תת־החבורות
×2
×.(Q
מסדר 4של 2 /Q2
.4יש 14תבניות מממד .2הדרכה .כל תבנית דומה לתבנית המציגה את .1
.5יש בסך־הכל 16תבניות )אנאיזוטרופיות( מממד זוגי .הדרכה .עד כדי שקילות אלו הן
.2m + αx + βy
.6יש תבנית אנאיזוטרופית יחידה מממד ,4והיא ⟩ .⟨1, 1, 1, 1הדרכה.16 = 1 + 14 + 1 .
.7אין תבניות אנאיזוטרופיות מממד .5הדרכה .אם ⟩ q = ⟨a1 , . . . , anאנאיזוטרופית אז כל
תת־תבנית שלה אנאיזוטרופית ,אבל ⟩ ⟨1, 1, 1, 1, 1איזוטרופית.
.8שמונה התבניות )האנאיזוטרופיות( מממד 3שקולות לתבניות ⟩.⟨1, 1, 1, 1⟩ ⊥ ⟨a
.9נסמן ב־ A2את קבוצת התבניות האנאיזוטרופית מממד .2לכל q ∈ A2יש q ′ ∈ A2
∼ .q ⊥ q ′
יחידה כך ש־⟩= ⟨1, 1, 1, 1
.10הראה שיש 26דרכים להציג את התבנית ⟩ 4⟨1בצורה ⟩ ) ⟨a1 , a2 , a3 , a4הצגות הן שקולות
אם הן מתקבלות מכפל של מקדם בריבוע או מהחלפת סדר(.
מסקנה 8.2.42כל תבנית מממד 5מעל p) Qpכלשהו( היא איזוטרופית.
)בנושא זה ראה ](.[10, Sec. 63
√
בעיה 8.2.43חשב את חוג ויט של ] .F = Q2 [ 2הדרכה F × /F × .נוצרת על־ידי }{−1, 3, 1 + π, π
√
כאשר .π = 2בחוג הזה ) 4 = ⟨1, 1, 1, 1⟩ = 0לפי השוויון )π 2 + (1 + π)2 + (1 + π)2 ≡ 0 (mod 4π
ומסקנה .(8.2.26
8.3
2
תבניות מעל שדות גלובליים
∏
ביחס לערכים מוחלטים .כל השלמה
שדה גלובלי הוא שדה המקיים נוסחת מכפלה |x|ν = 1
)ביחס להערכה( של שדה כזה היא היא שדה מקומי )לוקלי( .הרעיון היסודי באריתמטיקה הוא
שאפשר ללמוד בעיות גלובליות על־ידי מיקום שלהן בכל הדרכים האפשריות.
משפט 8.3.1השדות הגלובליים הם ההרחבות הסופיות של אחד השדות Qאו ).Fp (t
78
.8.3תבניות מעל שדות גלובליים
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
נתאר את המבנה של חוג ויט של .Qהתאור תקף ,בשינויים המתחייבים ,לכל שדה גלובלי .נסמן
) Wp = W (Fpעבור ראשוני ,W∞ = W (R) = Z ,p ̸= 2ו־.W2 = Z/2
⊕
∼ ) W (Qכאשר הסכום כולל את הראשוניים )לרבות (2ואת אינסוף.
משפט 8.3.2כחבורות אדיטיביותWp ,
=
על ידי ⟨ההטלה
הוכחה) .בעקבות ] .([2, p. 94נגדיר ) ψ∞ : W (Q)→W (Rעל־ידי צמצום; ⟩ ψp : W (Q)→Wp
⟩̄ ⟨pu⟩ 7→ ⟨uו־ ⟨⟨u⟩⟩ 7→ 0עבור u ∈ Qכך ש־ ;νp (u) = 0ו־ ψ2 : W (Q)→W2לפי .ψ2 : 2ℓ u 7→ ℓ
שני הראשונים הם הומומורפיזמים של חוגים .האחרון ,בסימוני טענה ,8.2.40מוגדר לפי ,n⟨1⟩ + αx + βy 7→ α
והוא הומומורפיזם של חבורות אבל לא של חוגים.
לכל ראשוני ,pנסמן ב־ p′את הראשוני הגדול ביותר הקטן מ־) pעם .(2′ = 1תהי Pתת־החבורה של ×Q
הנוצרת על־ידי האברים aעם ,|a| ≤ pו־ P ′החבורה הנוצרת על־ידי האברים aעם .|a| < p
הנוצר על־ידי התבניות ⟩ ⟨aעם .|a| ≤ pאז ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ L3
נסמן ב־ Lpאת תת־החוג של )∪ W (Q
· · · ⊆ ,L5 ⊆ L7כאשר האיחוד הוא .W (Q) = Lpלפי ההגדרה L1נפרש על־ידי ⟩ ,⟨1ולכן ψ∞ : L1 →Z
הוא איזומורפיזם.
ברור ש־ ,ψp (Lp′ ) = 0ולכן ψpמוגדר היטב על חבורת המנה ,Lp /Lp′וקל לראות שהוא על .נוכיח
∼ .Lp /Lp′עבור L2 = Z ∪ (Z⟨1⟩ + ⟨2⟩) ,p = 2מכיוון ש־⟩,⟨2⟩ + ⟨2⟩ = ⟨1, 1⟩ ∈ Z⟨1
ש־ = Wp
ו־ ,ψ2 : n⟨1⟩ + α⟨2⟩ 7→ αכך ש־ .Ker(ψ2 ) = L1
′
⟩.⟨pu⟩ ≡ ⟨pv
⟨ (mod
′יהי .p > 2ראשית נראה שאם ) u ≡ v (mod pעבור ,u, v ∈ Pאז ) ⟩ Lp′
2
לכל ,u, v, w, t ∈ Pאם uw = v + ptאז = ⟩)⟨vp, t⟩ = vp, tp = ⟨(v + pt)p, vt(v + tp
⟩ ,⟨uwp, tuvwוכך ) .⟨vp⟩ ≡ ⟨uwp⟩ (mod Lp′הטענה נובעת מנימוק אינדוקציה מפותל שלא נכסה כאן
)ראה ].([2, p. 95
כעת נגדיר העתקה Wp = W (Fp )→Lp /Lp′על־ידי ⟩ ,⟨α⟩ 7→ ⟨apכאשר a ∈ Zבעל שארית ,α
ו־ .|a| < p/2כדי להראות שזה מוגדר היטב ,יש לבדוק את היחסים ב־טענה .3.3.16היחס הלא טריוויאלי
הוא השלישי :נניח ש־ ⟩ ⟨β⟩ 7→ ⟨pbעבור αו־ ;aאז ,|a + b| < pולכן ,a, b, a + b, ab(a + b) ∈ P ′
ומתקיים ) ⟨ap, bp⟩ = ⟨(a + b)p⟩ + ⟨ab(a + b)p⟩ ≡ ⟨cp, dp⟩ (mod Lp′כאשר )c ≡ a + b (mod p
∼ ,Lp /Lp′כפי שרצינו.
ו־) d ≡ ab(a + b) (mod pמקיימים .|c| , |d| < p/2זה מראה ש־ = Wp
מסקנה 8.3.3נניח שתבנית qמעל Qנעשית היפרבולית מעל Rובכל השלמה ל־ .Qpאז היא היפרבולית
כבר מעל .Q
מסקנה ) 8.3.4עקרון הסה החלש( אם q, q ′הן תבניות מעל ,Qהשקולות מעל Rומעל כל ,Qpאז הן
שקולות מעל .Q
משפט חזק יותר ,שאינו נובע מן התאור של חוג ויט ,עוסק בתבניות עצמן:
משפט ) 8.3.5עקרון הסה החזק( )ראו למשל ] ([15, Thm. IV.8אם תבנית ריבועית מעל Qנעשית
איזוטרופית מעל Rומעל כל ,Qpאז היא איזוטרופית מעל .Q
מסקנה 8.3.6אם תבנית רגולרית מעל Qמציגה את a ∈ Qמעל Rומעל כל ,Qpאז היא מציגה את
aכבר מעל .Q
מסקנה 8.3.7כל תבנית qמממד dim(q) ≥ 5מעל ,Qשאינה חיובית או שלילית לחלוטין ,היא
איזוטרופית.
הערה 8.3.8ב־ 1969/70הציע נבוש ) (Knebuschהכללה של חוגי ויט מעל שדות ,כשהגדיר וחקר את
חוג ויט של התבניות האלכסוניות מעל חוג קומוטטיבי .האובייקט הבסיסי הוא מרחב ריבועי מעל החוג,
היינו מודול פרוייקטיבי נוצר סופית ,עם תבנית בילינארית רגולרית .עבור תחום דדקינד Rעם שדה
שברים ) ,F = q(Rשהסדרה הבאה היא מדוייקת:
⊕
→0 −→ W (R) −→ W (F ) −
) W (F̄p
]) .[11, (3.3אפשר להוכיח ש־) ⟨a⟩ ∈ W (Fהוא בתמונה של ) W (Rאם ורק אם Raהוא ריבוע
של אידיאל.
79
.8.4תבניות מעל חוגי דדקינד
8.4
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
תבניות מעל חוגי דדקינד
בסעיף זה נעסוק )עם הוכחות מעטות בלבד( בתבניות ריבועיות מעל חוגי דדקינד ,ובפרט מעל
השלמים .מהי תבנית ריבועית מעל השלמים? כשגאוס חקר תבניות בינאריות ,הוא הגדיר תבנית
שלמה כתבנית מהצורה ,ax2 + 2bxy + cy 2כלומר ,בפועל ,כתבנית שאפשר להציג באצעות מטריצה
ההגדרה שלנו כאן :תבנית ריבועית מעל תחום שלמות Rהיא תבנית שאפשר
) .A ∈ M2 (Zזו תהיה ∑
להציג בצורה , aij xi xjכאשר aii ∈ Rו־) aij ∈ 2Rלכל .(i ̸= jההגדרה הנאיבית ,המחלישה
את התנאי ל־ ,aij ∈ Rמתאימה יותר לטיפול בשדות וחוגים ממאפיין .2
כמו במקרה של שדות גלובליים ,הרעיון המרכזי הוא ללמוד את האובייקט הגלובלי )סריג או
תבנית מעל ,Zלמשל( ,דרך ההתנהגות המקומית שלו .במקרה של Zהמיקום מעביר אותנו אל חוגי
השלמים ה־p־אדיים ;Zpתופעה דומה מתרחשת מעל כל חוג דדיקנד.
8.4.1
חוגי דדקינד
תחום דדקינד הוא תחום שלמות נתרי ,בעל ממד קרול ,1וסגור בשלמות בשדה השברים שלו .תכונה
זו שקולה לכך שאפשר להציג כל אידיאל באופן יחיד כמכפלה של אידיאלים ראשוניים .יהי Rתחום
דדקינד .כל קבוצה מהצורה ,aIכאשר I▹Rו־ × ,a ∈ Fנקראת אידיאל שברי של ) Rאו של .(F
לכל אידיאל Iבחוג דדקינד יש אידאל שברי הפכי }.I −1 = {x ∈ R : xI ⊆ R
דוגמא 8.4.1יהי Fשדה עם הערכה בדידה .νאז חוג השלמים Oνהוא תחום דדקינד.
דוגמא זו מראה שסעיף ,8.4על חוגי דדקינד ,מכליל את תת־סעיף 8.2.3העוסק בחוגי השלמים של
שדה שלם.
דוגמא טיפוסית יותר מתקבלת מחוג השלמים בשדה גלובלי .K ,נניח ש־) Q ⊆ Kלמרות שהנחה
זו אינה מהותית( .לכן ,Z ⊆ Kומגדירים את חוג השלמים של Kלהיות חוג השלמים האלגבריים
)מעל (Zב־ .Kלחילופין OK ,הוא החיתוך של כל חוגי השלמים ביחס להערכות הבדידות של .K
למעשה ,ההערכות הבדידות של Kמושרות כולן על־ידי אידיאלים ראשוניים .p▹OKנסמן ב־ Kp
את ההשלמה של Kהמושרית על־ידי ההערכה ה־p־אדית.
דוגמא 8.4.2
.1חוג השלמים של Qהוא כמובן .Z
√
√
השלמים של ] ,Q[ dכאשר dחופשי מריבועים ,הוא ] Z[ dאם ) d ̸≡ 1 (mod 4ו־
.2חוג
√
d+1
] Z[ 2אם ).d ≡ 1 (mod 4
.3חוג השלמים של ] Q[ρnהוא ] .Z[ρn
8.4.2
הגנוס
המיון היסודי של תבניות מעל שדה עוסק במחלקות איזומטריה :אם שני מרחבים ריבועיים הם
איזומטריים ,אז מבחינתנו אי אפשר להבדיל ביניהם .כשעוסקים בתבניות מעל חוגים ,מושג
האיזומטריה חזק מדי ,וצריך לבחון גם גרסאות חלשות שלו.
אם שתי תבניות מוגדרות מעל ,OKהן עשויות להיות איזומטריות כבר שם )כלומר יתכן שקיימת
) T ∈ GLn (OKהפיכה כך ש־) ,(q ′ (x) = q(T xויתכן שיש איזומטריה חלשה יותר ,מעל השדה ,או
מעל השלמים מקומית )בכל מקום( ,וכן הלאה .תכונות אלה מוצגות עם הגרירות ביניהן ברשימה
הבאה .החץ הפשוט הוא עקרון הסה החלש .8.3.4 ,נאמר שתכונה מסויימת מתקיימת "מקומית" הם
היא נכונה בכל השלמה של .K
80
.8.4תבניות מעל חוגי דדקינד
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
" ."Zהתבניות q, q ′איזומטריות מעל .OK
" ."Zpהתבניות q, q ′איזומטריות מקומית מעל השלמים )=שייכות לאותו גנוס(.
" ."Qהתבניות q, q ′איזומטריות מעל .K
" ."Qpהתבניות q, q ′איזומטריות מקומית מעל השדה
+3 Zp
Z
+3 Qp
Qo
הגדרה 8.4.3הגנוס של תבנית ריבועית qכולל את התבניות מעל OKשהן כך שלכל q, q ′ ,p▹OKאיזומטריות
מעל .Op
טענה 8.4.4אם q, q ′איזומטריות מעל ,OKאז הן שייכות לאותו גנוס.
משפט 8.4.5מספר התבניות )עד כדי איזומטריה( בגנוס הוא תמיד סופי ].[2, Thm. 9.4.1
הצגת ערך שלם
בדומה לאפשרויות השונות לאיזומטריות של תבניות ,אפשר לדון בסוגים שונים של הצגות של ערך
שלם .תהי qתבנית אנאיזוטרופית ,המוגדרת מעל חוג השלמים של ;Kויהי .a ∈ OKיש כמה
אפשרויות טבעיות:
" q ."Zמציגה את aמעל .OK
" ."Zpמציגה את aמקומית מעל השלמים )כלומר מעל כל (.Oν
" q ."Qמציגה את aמעל .K
" q ."Qpמציגה את aמקומית מעל השדה )כלומר מעל כל השלמה של .(K
+3 Zp
Z
+3 Qp
Qo
הגרירות המסומנות בחץ כפול בדיאגרמה משמאל כולן טריוויאליות :הצגה של aמעל Kהיא
הצגה מעל כל השלמה; והצגה מעל חוג השלמים הוא הצגה מעל השדה .החץ הפשוט הוא העקרון
החזק של הסה ,משפט ,8.3.5התקף לשדות בלבד.
במקום עקרון הסה ,תקף מעל השלמים עקרון חלש יותר ,המבוסס על הגנוס של התבנית.
משפט ([2, Thm. 9.1.3]) 8.4.6אם t ∈ OKניתן להצגה מקומית מעל השלמים על ידי ,qאז tניתן להצגה
מעל השלמים על־ידי תבניות מאותו גנוס.
הערה 8.4.7לא קשה למצוא דוגמאות לתבניות בינאריות שבהן הצגת ערך שלם דורשת מעבר לתבנית
אחרת מאותו גנוס.
את הדוגמא הראשונה לתבנית ריבועית טרנרית לא מוחלטת ,המייצגת מספר מקומית בכל מקום )כל
Zpו־ (Rאבל לא מעל Zהיא של זיגל ).[17] ,(Siegel
בעיה ) 8.4.8דוגמא של בורובוי ורודניק ) .1995 ,((Borovoi-Rudnickהראה שהתבנית = q
−9x2 + 2xy + 7y 2 + 2z 2מציגה את 1מקומית בכל מקום ,אבל אינה מציגה את 1מעל .Z
הדרכה .אם p|x − yאז 2שארית ריבועית מודולו ,pאבל ) .p ≡ ±3 (mod 16מצא תבנית אחרת
מאותו גנוס המציגה את 1מעל .Z
8.4.3
הגנוס הספינורי
הגנוס הספינורי של תבנית הוא מושג ביניים :כל גנוס מורכב מכמה גנוסים ספינוריים ,וכל גנוס
ספינורי מורכב מכמה מחלקות איזומטריה.
81
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
.8.4תבניות מעל חוגי דדקינד
את החבורות ) Θ(V, qהגדרנו בהגדרה .3.4.61נתבונן בהשלמה Kpשל .Kאם Vמרחב
ריבועי מעל ,Kאז VKpהוא מרחב ריבועי מעל .Kpבמקום לכתוב ) ,Θ(Kp ⊗K V, qKpנכתוב פשוט
) .Θ(Kp
הגדרה 8.4.9תהיינה q, q ′תבניות מעל חוג השלמים .OKאומרים ש־ q, q ′שייכות לאותו גנוס ספינורי אם q
איזומטרית לתבנית q ′′כך שמקומית ,יש איזומטריה ב־) Θ(Kpהמעבירה את q ′ל־ .([10, sec. 102A]) q ′′
הערה 8.4.10אם שתי תבניות הן איזומטריות מעל השלמים ,אז הן שייכות לאותו גנוס ספינורי; ואם
שתי תבניות שייכות לאותו גנוס ספינורי ,אז הן שייכות לאותו גנוס.
הגנוס מורכב ממספר סופי )שהוא חזקת (2של גנוסים ספינוריים ] ;[10, Thm. 108:2aוכל גנוס
ספינורי מורכב ממספר סופי של מחלקות איזומטריה .עבור תבניות לא מוחלטות מממד 3או יותר,
כל התבניות בגנוס ספינורי הן איזומטריות מעל השלמים ].[2, Thm. 11.1.4
כדי לחשב את מספר הגנוסים הספינוריים בגנוס ,יש לחשב נורמה ספינורית בהשלמות של K
] .[2, Subsec. 11.3למשל ,ידוע שאם לכל אידיאל מקסימלי p▹OKחבורת הנורמות הספינוריות
)) θ(O+ (qמעל Opמכילה את כל האברים ההפיכים × ,Opאז הגנוס של qמכיל גנוס ספינורי יחיד.
את החישוב של חבורות נורמה ספינוריות באופן מקומי ,התחיל קנזר ) (Kneserב־] ,[6שהצליח
לחשב את החבורות מעל הראשוניים האי־זוגיים .המקרה של שדות דיאדיים )אלו שבהם 2אינו שלם
הפיך( הרבה יותר קשה) .הפניה למאמר שיצא בעקבות .(KSV2
שילוב ] [2, Lemma 11.3.7ו־]) [20, Lemma 2.2(2מאפשר להוכיח את התוצאה הבאה:
משפט 8.4.11יהי Kשדה מספרים ,ויהיו a1 , a2 , a3שלמים אלגבריים ,כך ש־ d = a1 a2 a3אינו מתחלק באף
חזקה שלישית )של אידיאל ראשוני( ,והוא שלילי בכל סידור של .Kאז יש רק מחלקת איזומטריה אחת בגנוס של
⟩ .⟨a1 , a2 , a3
בעיה 8.4.12נסח את מושגי הגנוס והגנוס הספינורי במונחי פעולת החבורה האורתוגונלית מעל
האדלים ) ,(Adélesעל מרחב התבניות הריבועיות.
8.4.4
סריגים מעל חוגי דדקינד
מתת־סעיף זה ואילך נעסוק בסריגים ריבועיים מעל חוג דדקינד כללי .יהי Rחוג דדקינד ,ויהי F
שדה השברים שלו .אנו עוקבים בעיקר אחרי ] .[10, Section 82נקבע מרחב וקטורי )מממד סופי(
Vמעל ,Fעם תבנית בילינארית סימטרית .B : V × V →F
תת־מודול L ⊆ Vמעל Rהמכיל בסיס של ,Vושהוא פרוייקטיבי ונוצר סופית כמודול ,נקרא
סריג) .ב־] [10, Section 81מסתפקים בדרישה ש־ Lיהיה מוכל במודול חופשי נוצר סופית( .איננו
מניח ש־ ,B(L, L) ⊆ Rאם כי אפשר להשיג תכונה זו על־ידי כפל של התבנית בקבוע.
כמו במקרה של מרחבים ריבועיים ,הבעיה היסודית היא לזהות את הסריגים עד כדי איזומורפיזם.
כלומר ,בהנתן סריגים ,L, L′האם יש איזומטריה ) σ ∈ O(Vכך ש־ ?σL = L′יש שתי דרכים שבהן
הבעיה עבור סריגים מסובכת יותר מן הבעיה עבור שדות .ראשית ,אם הסריג חופשי כמודול ,אפשר
לתרגם את הבעיה למטריצות; אבל במקרה הכללי יש סריגים לא חופשיים .ושנית ,כפי שכבר ראינו,
אפילו הבעיה עבור מטריצות קשה בהרבה מעל חוג שלמים מאשר מעל שדה.
על פי המיון של מודולים נוצרים סופית מעל חוג דדקינד ,ידוע שכל סריג ניתן להצגה בצורה
L = I1 x1 + · · · + In xn
)(8.1
כאשר I1 , . . . , In ▹Rהם אידיאלים ,ו־ .x1 , . . . , xn ∈ V
אם Lנתון לפי ההצגה ) ,(8.1אז
∑ }= {x ∈ V : B(x, L) ⊆ R
הסריג הדואלי מוגדר לפי
הסריג הדואלי הוא Ii−1 x′i
= L#כאשר x′1 , . . . , x′nהוא בסיס דואלי לבסיס .x1 , . . . , xn
.L#
82
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
8.4.5
.8.4תבניות מעל חוגי דדקינד
תבניות וסריגים חופשיים
תהי ) A ∈ Mn (Fמטריצה הפיכה )זה המקרה הרגולרי( .המחלקה של Aכוללת את המטריצות
מהצורה ,P AP tכאשר ) P ∈ GLn (Rהפיכה מעל השלמים .כמו במקרה של שדות ,שני סריגים
ריבועיים הם איזומורפיים אם ורק אם המטריצות המייצגות אותם שייכות לאותה מחלקה .מבחינה זו,
התאוריה של סריגים חופשיים היא התאוריה של תבניות ריבועיות )והתאוריה מעל תחומים ראשיים
דומה לזו של שדות ,לפחות בכך שכל הסריגים חופשיים(.
מסקנה 8.4.13הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת היא אינווריאנט מוגדר היטב ב־ ×.F × /R
2
טענה ([10, 82:7]) 8.4.14נניח ש־ L′ = L′1 ⊥ L′2הם סריגים רגולריים ,ו־ ,L′ ⊆ Lשגם הוא סריג.
אז L′הוא מרכיב אורתוגונלי של Lאם ורק אם כל L′iהוא מרכיב אורתוגונלי של .L
8.4.6
אינווריאנטים אריתמטיים
מקדם המידה ) (scaleשל Lהוא האידאל השברי .sL = B(L, L)▹Rהנורמה )nL = RQ(L
היא תת־המודול של Fהנוצר מעל Rעל ידי כל הערכים ) .v ∈ L ,Q(v) = B(v, vמכיוון
ש־ ,2B(x, y) = Q(x + y) − Q(x) − Q(y) ∈ nLמתקבלת ההכלה
2sL ⊆ nL ⊆ sL.
שני האינווריאנטים האלה אדיטיביים לפריוק אורתוגונלי.
הערה 8.4.15שינוי קנה מידה :אם ,I▹Fאידיאל שברי מעל ,Rאז s(IL) = I 2 sLו־.n(IL) = I 2 nL
טענה 8.4.16נניח ש־ ,V = V1 ⊥ V2ו־ L1 ⊆ V1סריג רגולרי .אז יש סריג L2 ⊆ V2כך של־ L1 ⊥ L2
אותם מידה ונורמה כמו ל־ .L1
הוכחה .קח סריג כלשהו ,L′2 ⊆ V2אז יש α ∈ Rכך ש־ α2 sL′2 ⊆ sL1ו־ ;α2 nL′2 ⊆ nL1לכן L1 ⊥ αL′2
מקיים את הדרישות.
הנפח
נניח ש־ Lנתון בצורה ) .(8.1הנפח של Lמוגדר כ־) vL = I12 · · · In2 det(x1 , . . . , xnכאשר )·(det
הוא הדטרמיננטה .זהו אידיאל שברי של .F
תרגיל 8.4.17הנפח אינו תלוי בהצגה של הסריג.
טענה .v(L1 ⊥ L2 ) = vL1 · vL2 8.4.18
טענה vL ⊆ (sL)n 8.4.19כאשר .n = rankL
טענה ([10, 82:11]) 8.4.20אם K ⊆ L′אז יש אידאל I▹Rכך ש־.vL′ = I 2 vL
טענה 8.4.21אם L′ ⊂ Lאז .vL′ ⊂ vL
אפשר לחשב ישירות ש־ .vL# = (vL)−1טענה 8.4.21מאפשרת להוכיח ש־.L## = L
המיקום ב־ Pשל מרחב בילינארי Vמעל Fהוא המרחב הריבועי VP = FP Vעם התבנית
המושרית מ־ .Vהמיקום של Lמוגדר באותו אופן ,כ־.LP = RP L
תרגיל .vLP = (vL)P ,nLP = (nL)P ,sLP = (sL)P 8.4.22
)ראה ] [2, Thm. 11.1.1על קיום סריגים גלובליים לפי מידע לוקלי(.
83
פרק .8אריתמטיקה של תבניות ריבועיות
.8.4תבניות מעל חוגי דדקינד
8.4.7מודולריות
סריג רגולרי Lנקרא מודולרי )ביחס ל־ (I = vLאם ,vL = sLnויונימודולרי אם הוא מודולרי
ו־.vL = R
אם Lמודולרי ,אז כך גם JLלכל אידיאל שברי .J ⊆ Fבפירוק אורתוגונלי L1 ⊥ L2 ,מודולרי
ביחס לאידיאל Iאם ורק אם L1 , L2הם כאלה.
טענה ([10, 82:13]) 8.4.23הסריג החופשי עם מטריצה מייצגת Aהוא יונימודולרי אם ורק אם ∈ A
).GLn (R
טענה ([10, 82:14a] + [10, 82:14]) 8.4.24סריג רגולרי הוא מודולרי ביחס ל־ Iאם ורק אם = L
.IL#במקרה כזה }.L = {v ∈ V : B(v, L) ⊆ I
מסקנה L 8.4.25יונימודולרי אם ורק אם .L# = L
טענה ([10, 82:15]) 8.4.26אם Pתת־סריג I־מודולרי של Lו־ sL = Iאז L = P ⊥ P ′עבור P ′
מתאים.
טענה ([10, 82:16]) 8.4.27יהי Lסריג מודולרי ,ו־ x ∈ Lוקטור איזוטרופי .אז יש תת־סריג I ′ x+I ′′ y
שהוא מחובר אורתוגונלי של .L
מסקנה ) 8.4.28מתרגיל L (8.4.22הוא I־מודולרי אם ורק אם הוא מודולרי מקומית מכל מקום.
8.4.8
סריגים מקסימליים
יהי .I▹Rסריג L ⊆ Vנקרא I־מקסימלי אם הוא מקסימלי בין הסריגים המקיימים .nL ⊆ Iאם
Lמקסימלי ,כל גם JLלכל .J▹R
תרגיל 8.4.29כל מחובר ישר של סריג I־מקסימלי הוא I־מקסימלי.
טענה 8.4.30אם nL ⊆ Iאז Lמוכל בסריג I־מקסימלי.
הוכחה .אם nL ⊆ Iאז .vL ⊆ (sL)n ⊆ ( 12 I)nלכל שרשרת עולה של סריגים המתחילה ב־ ,Lהנפח חסום,
ולכן אורך השרשרת חסום.
בעיה 8.4.31יהי Lסריג כלשהו כך ש־ .nL ⊆ Iאם באידאל השלם 2n vLI −nאין גורמים
ריבועיים ,אז Lמקסימלי .הדרכה .אחרת הפעל את טענה .8.4.20
טענה ([10, 82:20]) 8.4.32יהי Lסריג מקסימלי ,ו־ x ∈ Lוקטור איזוטרופי .אז יש מרכיב אורתוגונלי
של Lמדרגה 2המכיל את .x
)ההוכחה בונה תת־סריג מודולרי מדרגה ,2ומפעילה את טענה ??(.
טענה ([10, 82:21]) 8.4.33סריג Lבמישור היפרבולי הוא 2I־מקסימלי אם ורק אם I L־מודולרי
ו־. n2 L ⊆ 2I
מסקנה ) 8.4.34מתרגיל L(8.4.22הוא I־מקסימלי אם ורק אם הוא IP־מקסימלי בכל מקום .IP
84
פרק 9
מטלות לסוף הקורס
להלן רשימה של מטלות לסוף הקורס .יש לתאם את המטלה עם המרצה מראש.
.1פתור שלושה-חמישה מהתרגילים המסומנים ב"בעיה" ,או אחד מאלה המסומנים ב"אתגר".
.2תאר את חוג ויט של תבניות בילינאריות סימטריות במקרה של מאפיין ) 2קבוצת התבניות
המטאבוליות מכילה ממש את קבוצת התבניות ההיפרבוליות ,ומחליפה אותה כאיבר האפס
של החוג(.
.3סכם את התאוריה של קדם־סדרים ושדות סדורים )סגור סדור וכדומה( על־פי ].[8
)עבוד מעל Qלשם הפשטות( :האינווריאנט של הסה,
.4הסבר את עקרון הסה לשדות גלובליים ∑
משפט ההיפוך של הילברט , p (α, β)kp = 0העובדה ש־
1
Z/Z −→ 0
2
היא סדרה מדוייקת קצרה.
→2 Br(Fp ) −
⊕
→0 −→ 2 Br(F ) −
.5כתוב על אברים אלגבריים ב־) W (Fלפי ]) [3, III.5.5אלו המחלקות של תבניות עקבה
בהרחבות אלגבריות(.
.6סריגים :ראה ] [5, Section 5.2על הפירוק של סריגים יונימודולריים מעל ) Qpההגדרה
בסעיף .(8.4.7
.7למד את היחסים > ו־≫ בין תבניות ) ϕ > ψאו ϕ ≫ ψאם ϕנעשה איזוטרופי או היפרבולי
מעל ) ,F (ψבהתאמה( .ראה פרקים 10 ,9אצל ].[9
∼ K2 (F )/2בעזרת ] ;[18או סכם את ].[12
.8הוכח את משפט מרקורייב ש־) = 2 Br(F
.9תאר את האינווריאנט ) C0 (qוהמבנה שלו ,בדומה למה שעשינו כאן עבור ).([7]) C(q
.10כתוב על excellenceשל תבניות )נסה לפתח גרסה כמותית(.
.11כתוב על מספר פיתגורס ועל ה־ .u-invariantראה ] [4, Section 77על בניה של שדה עם
מספר פיתגורס כרצונך.
.12כתוב ערכים טובים בוויקיפדיה על חוגי ויט ,תבנית פיסטר ,רמה של שדה.
.13תאר את העבודה של גאוס על מיון אידיאלים בשדות ריבועיים ,ואת הקשר לתבניות ריבועיות
בינאריות; ]) .[2, Chap. 14זהו מבוא לעבודתו של חתן מדליית פילדס Manjul ,2014
(.Bhargava
85
פרק .9מטלות לסוף הקורס
.14הוכח את עקרון הסה החזק ,משפט .8.3.5
.15כתוב על נושא כלשהו השייך לסעיף .8.4
.16כתוב סעיף על גאומטריה פולרית והקשר שלה לתת־מרחבים איזוטרופיים של תבנית ריבועית.
.17כתוב משהו על התנאי ) (Crאו ממד קוהומולוגי ,והקשר לתנאי ,I n (F ) = 0בעזרת ].[61
86
ביבליוגרפיה
[1] V. Astier and T. Unger, Signatures of hermitian forms and the Knebusch
trace formula, Math. Ann. 358(3–4), 925–947, (2014).
[2] J.W.S. Cassels, “Rational Quadratic Forms”, Dover, 2008.
[3] P.E. Conner and R. Perlis, “A survey of trace forms of algebraic Number
fields”, World Scientific, 1984.
[4] R.S. Elman, N. Karpenko and A. Merkurjev, “The Algebraic and Geometric
Theory of Quadratic Forms”, AMS, 2008.
[5] Y. Kitaoka, “Arithmetic of Quadratic Forms”, Cambridge tracts in math
106, 1993.
[6] M. Kneser, Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen, Archiv d. Math.
7, 323–332, (1956).
[7] M.-A. Knus, M. Rost, J.-P. Tignol, A. Merkurjev, “The Book of Involutions”,
AMS, Coll. Pub. 44, 1998.
[8] T.Y. Lam, “Orderings, valuations and quadratic forms”, CBMS 52, 1983.
[9] T.Y. Lam, Ten lectures on Quadratic Forms over Fields, Queen’s University,
1977.
[10] O.T. O’Meara, “Introduction to Quadratic Forms”, Spinger, Classics in
Mathematics, 2000; reprint of a 1973 edition.
[11] J. Milnor and Husemoller, “Symmetric Bilinear Forms”, Springer,
Ergeb. Math. Grenzgeb 73, 1973.
[12] D. Orlov, A. Vishik and V. Voevodsky, An exact sequence for K∗M/2 with
applications to quadratic forms, Annals of Mathematics 165, 1–13, (2007).
[13] A. Pfister, Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and
Topology, LMS-LNS 217, 1995.
[14] A.R. Rajwade, “Squares”, LMS 171, 1993.
[15] J.P. Serre, “A course in Arithmetic”, Springer, 1973.
[16] J.P. Serre, “Galois Cohomology”, Springer, 1996.
87
ביבליוגרפיה
ביבליוגרפיה
[17] C.L. Siegel, Indefinite quadratische Formen und Funktionentheorie I., Math
Ann. 124, 17–54, (1951).
[18] A.R. Wadsworth, Merkurjev’s elementary proof of Merkurjev’s theorem, Contemp. Math. 55, 741–776, (1986).
[19] E. Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Kiirpern, J. Reine
Angew Math., 176, 31–44, (1937).
[20] F. Xu, Generation of integral orthogonal groups over dyadic local fields, Pacific J. Math. 167(2), 385–398, (1995).
88
