לוחות ותבניות

‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬
‫תבניות בלוח שנה‬
‫‪ 1‬לפניכם דף של חודש מלוח השנה‪.‬‬
‫מצאו בין המספרים שבדף קשרים שונים‬
‫המתקיימים בכל הדף‪.‬‬
‫שבת‬
‫ו‬
‫ה‬
‫ד‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‬
‫א‬
‫ב‬
‫‪11‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪18‬‬
‫‪17‬‬
‫‪16‬‬
‫‪15‬‬
‫‪14‬‬
‫‪13‬‬
‫‪12‬‬
‫‪25‬‬
‫‪24‬‬
‫‪23‬‬
‫‪22‬‬
‫‪21‬‬
‫‪20‬‬
‫‪19‬‬
‫‪31‬‬
‫‪30‬‬
‫‪29‬‬
‫‪28‬‬
‫‪27‬‬
‫‪26‬‬
‫אחת הדרכים למצוא קשרים בין מספרים‬
‫היא בעזרת סימון תבנית על לוח‪.‬‬
‫אם נמקם את התבנית במקומות שונים על הלוח‪ ,‬נקבל דוגמאות מתוך הלוח המתאימות לתבנית‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪21‬‬
‫‪29‬‬
‫‪28‬‬
‫‪1‬‬
‫בחינה של דוגמאות שונות של תבניות מהלוח עשויה לסייע לבדוק‬
‫‪ 2‬א‪ .‬מתוך הלוח שבמשימה ‪ּ 1‬כִתבו דוגמאות נוספות המתאימות לתבנית שבמסגרת‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו קשרים המהווים חוקיות בלוח ותארו אותם במילים‪.‬‬
‫ג‪ .‬השלימו כל אחת מהתבניות שלפניכם בעזרת ביטויים‬
‫‪b‬‬
‫ד‪ .‬נמקו את הקשרים שתיארתם בסעיף ב‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫כך שיתאימו ללוח‪ .‬הסבירו כיצד השלמתם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫פעילויות בתחום האלגברי‬
‫אם קשרים מסוימים מהווים חוקיּות בלוח (כלומר מתקיימים בכולו)‪.‬‬
‫ה‪ .‬טליה אומרת‪ :‬סכום המספרים באלכסון אחד של התבנית שווה לסכום המספרים באלכסון האחר שלה‪.‬‬
‫ו‪ .‬רננה אומרת‪ :‬ההפרש בין מכפלת המספרים באלכסון אחד של התבנית למכפלת המספרים באלכסון‬
‫האחר שלה הוא ‪ .7‬האם הקשר שרננה מתארת מהווה חוקיות בלוח? נמקו‪.‬‬
‫ז‪ .‬אביעד אומר‪ :‬לפחות אחד המספרים בתבנית הוא ראשוני‪.‬‬
‫האם הקשר שאביעד מתאר מהווה חוקיות בלוח? נמקו‪.‬‬
‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬
‫האם הקשר שטליה מתארת מהווה חוקיות בלוח? נמקו‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪15/08/11 20:40‬‬
‫‪metsuianut_1.indd 31‬‬
‫‪ 3‬א‪ .‬כתבו דוגמאות מתוך הלוח המתאימות לתבנית שמשמאל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו בעזרת התבנית קשרים המהווים חוקיות בלוח ותארו אותם במילים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סמנו את תאי התבנית במשתנים ובביטויים‬
‫ונמקו בעזרתם את הקשרים שמצאתם בסעיף ב‪.‬‬
‫‪ 4‬א‪ .‬הציעו תבנית משלכם וסמנו בה דוגמאות מהלוח‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו בעזרת התבנית קשרים המהווים חוקיות בלוח ונמקו באופן אלגברי‪.‬‬
‫תבניות בלוחות מספרים‬
‫‪ 5‬במשימה זו נחקור את הלוח שלפניכם‪.‬‬
‫פעילויות בתחום האלגברי‬
‫‪14‬‬
‫‪-12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-28‬‬
‫‪26‬‬
‫‪-24‬‬
‫‪22‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪18‬‬
‫‪-16‬‬
‫‪42‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪38‬‬
‫‪-36‬‬
‫‪34‬‬
‫‪-32‬‬
‫‪30‬‬
‫‪-56‬‬
‫‪54‬‬
‫‪-52‬‬
‫‪50‬‬
‫‪-48‬‬
‫‪46‬‬
‫‪-44‬‬
‫‪70‬‬
‫‪-68‬‬
‫‪66‬‬
‫‪-64‬‬
‫‪62‬‬
‫‪-60‬‬
‫‪58‬‬
‫‪-84‬‬
‫‪82‬‬
‫‪-80‬‬
‫‪78‬‬
‫‪-76‬‬
‫‪74‬‬
‫‪-72‬‬
‫‪98‬‬
‫‪-96‬‬
‫‪94‬‬
‫‪-92‬‬
‫‪90‬‬
‫‪-88‬‬
‫‪86‬‬
‫א‪ .‬לפניכם ‪ 3‬תבניות‪ .‬תארו בעזרתן קשרים המהווים חוקיות בלוח ונמקו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬
‫ב‪ .‬בנו תבניות אחרות‪ ,‬תארו בעזרתן קשרים נוספים המהווים חוקיות בלוח ונמקו‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪15/08/11 20:40‬‬
‫‪metsuianut_1.indd 32‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 6‬א‪ .‬נתונה התבנית‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫השלימו על פיה את הלוחות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-5‬‬
‫ב‪ .‬בנו תבנית שונה וחקרו בעזרתה את הלוחות שהשלמתם בסעיף א‪.‬‬
‫השוו בין התיאורים האלגבריים המתקבלים בשני הלוחות‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתבו בתבנית משתנים וביטויים ונמקו בעזרתם את הקשרים שמצאתם בכל לוח‪.‬‬
‫השוו בין הביטויים שכתבתם לשני הלוחות‪.‬‬
‫‪ 7‬בכל סעיף בנו לוח המתאים לתבנית המסומנת בצבע והשלימו לפיו את שאר התבניות‪.‬‬
‫ב‪ .‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b-2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k+3‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b+2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬
‫ג‪ .‬‬
‫‪y-30 y-25 y-20‬‬
‫‪p‬‬
‫פעילויות בתחום האלגברי‬
‫א‪ .‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a-2‬‬
‫‪t-2‬‬
‫‪33‬‬
‫‪15/08/11 20:40‬‬
‫‪metsuianut_1.indd 33‬‬
‫סכום המספרים בתבנית‬
‫במשימות הבאות נחקור את סכום המספרים בתבניות ריבועיות בלוחות שונים‪.‬‬
‫‪ 8‬במשימה זו נחקור לוח חודש דמיוני‪ ,‬שמספר הימים בו הוא ‪,120‬‬
‫וכל שורה מתארת שבוע בן שבעה ימים‪.‬‬
‫א‪ .‬נתחיל בחקירת סכום המספרים בתבנית ריבועית שממדיה ‪.3 × 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1‬כתבו בעזרת משתנים תיאור אלגברי של סכום המספרים בתבנית שלפניכם‪.‬‬
‫‪ 2‬את סכום המספרים בתבנית אפשר לתאר כך‪ 9(x + 8) :‬או כך‪9x + 72 :‬‬
‫(השוו לתיאור שלכם)‪ .‬כתבו נימוקים לכל אחד מהתיאורים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הרחיבו את החקירה‪ ,‬וכתבו תיאורים במשתנים עבור סכום המספרים בתבניות ריבועיות בממדים‬
‫שונים (למשל תבניות שממדיהן ‪ 6 × 6 , 4 × 4 , 2 × 2‬וכו')‪.‬‬
‫נסו למצוא ביטוי כללי שיתאר את סכום המספרים בתבנית ריבועית שממדיה ‪.k × k‬‬
‫אפשר להיעזר בטבלה‪:‬‬
‫ממדי‬
‫התבנית‬
‫ביטוי לסכום‬
‫המספרים‬
‫סכום המספרים בתבנית שבדוגמה‬
‫דוגמה‬
‫‪2×2‬‬
‫דוגמה‬
‫‪3×3‬‬
‫)‪9(x + 8‬‬
‫פעילויות בתחום האלגברי‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪13‬‬
‫‪11 12‬‬
‫‪20‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 + 5 + 6 + 11 + 12 + 13 + 18 + 19 + 20 = 108‬‬
‫‪9)4 + 8( = 108‬‬
‫‪x=4‬‬
‫‪4×4‬‬
‫‪5×5‬‬
‫‪6×6‬‬
‫‪k×k‬‬
‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬
‫‪34‬‬
‫‪15/08/11 20:40‬‬
‫‪metsuianut_1.indd 34‬‬
‫‪ 9‬במשימה זו תרחיבו את החקירה ללוחות חודש דמיוניים שבכל אחד מהם‬
‫שבוע באורך אחר‪" :‬שבוע" בן ‪ 8‬ימים‪" ,‬שבוע" בן תשעה ימים וכו'‪.‬‬
‫א‪ .‬כתבו כמה לוחות חודש שונים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתבו תיאורים לסכום המספרים בתבניות ריבועיות שונות בלוחות שיצרתם‪.‬‬
‫הטבלה יכולה לעזור בארגון החקירה‪.‬‬
‫(בטבלה זו לא כללנו טור המיועד לדוגמאות מספריות‪ ,‬אך תוכלו להוסיף טור כזה בטבלה שלכם‪).‬‬
‫רוחב הלוח ‪-‬‬
‫מספר הימים ב"שבוע"‬
‫ממדי התבנית‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪n‬‬
‫הביטוי לחישוב‬
‫סכום המספרים‬
‫‪2×2‬‬
‫‪3×3‬‬
‫‪4×4‬‬
‫‪k×k‬‬
‫‪2×2‬‬
‫‪3×3‬‬
‫‪4×4‬‬
‫‪kxk‬‬
‫‪2×2‬‬
‫‪3×3‬‬
‫‪4×4‬‬
‫‪kxk‬‬
‫‪kxk‬‬
‫‪kxk‬‬
‫כתבו תיאורים לסכום המספרים בתבניות ריבועיות עבור לוחות אחרים כגון‪:‬‬
‫• לוח שבו ההפרש בין שני מספרים סמוכים בשורה הוא קבוע‪.‬‬
‫• לוח שבו כל אחד מהמספרים הוא כפולה של מספר קבוע אחד‪ ,‬למשל כפולה של המספר )‪.(-6‬‬
‫• לוחות אחרים משלכם‪.‬‬
‫פעילויות בתחום האלגברי‬
‫‪ 10‬הרחיבו את החקירה ללוחות מסוגים נוספים‪.‬‬
‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬
‫‪35‬‬
‫‪15/08/11 20:40‬‬
‫‪metsuianut_1.indd 35‬‬