Bevægelse i to dimensioner

Matematik
Det skr˚
a kast i basketball
Bevægelse i to dimensioner
N˚
ar man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen
som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette behandler
man bevægelsen langs hver af akserne for sig. Hvis man for eksempel betragter en partikel
der bevæger sig, vil dens position være givet ved følgende to funktioner:
x (t)
y (t)
som til et givet tidspunkt beskriver partiklens position med en x- og en y-koordinat.
Opløsningen af en bevægelse i de to retninger langs koordinatakserne er entydig. Generelt
kalder man de grafiske billeder, der fremkommer, for t tilhørende en given punktmængde
(fx t ∈ R), for en parameterkurve, hvor t er parameteren. Funktionerne x (t) og y (t)
kaldes for parameterfremstillingen.
Hastighed, v er givet ved (gennemsnitshastigheden)
v=
∆s
∆t
For sm˚
a ∆t har vi dermed at denne brøk nærmer sig differentialkvotienten
er hastigheden (den s˚
akaldte momentanhastighed) givet ved
v=
ds
dt
Hastigheden splittes ogs˚
a op i hastigheden langs x-aksen og
hastigheden langs y-aksen (se figuren). Ved et givet tidspunkt
er hastigheden bestemt ved
vx (t) = x0 (t)
vy (t) = y 0 (t)
ds
dt
og dermed
y
vy
~v
θ
x
vx
Nogle gange viser det sig dog nyttigt at benytte andre parametre til beskrivelsen:
vx (t) = v · cos (θ)
vy (t) = v · sin (θ)
(1)
(2)
Her er θ vinklen fra x-aksen til partiklens bevægelsesretning
og v er farten, der kan
q
2
2
bestemmes ud fra pythagoras sætning (se figur) v = vx + vy .
Acceleration er defineret som hastighedsændring, s˚
a p˚
a tilsvarende m˚
ade beskrives partiklens acceleration i de to retninger ved at differentiere hastighedsfunktionerne
ax (t) = vx0 (t) = x00 (t)
ay (t) = vy0 (t) = y 00 (t)
Med parameterkurver kan man lave nogle grafiske billeder, som man typisk ikke kan lave
med funktionsforskrifter. Nedenfor ses nogle eksempler.
2010
Side 1 af 7
Matematik
Det skr˚
a kast i basketball
x (t) = sin (3 · t)
x (t) = 31 t3 − t
x (t) = sin (4 · t) · cos (t)
x (t) = 12 cos (t)
y (t) = sin (2 · t)
y (t) = t2 − 3
y (t) = sin (4 · t) · sin (t)
y (t) = sin (t)
Her ser vi, at der flere steder er flere funktionsværdier for en given x-værdi, hvilket gør,
at man ikke kan skrive en funktion op for dem.
N˚
ar man skal tegne grafen for en parameterkurve, skal man for hver t-værdi udregne
de tilhørende x- og y-værdier, hvilket giver det tilhørende punkt. S˚
aledes løber man (i
princippet) alle t-værdierne igennem. Det kan dog nemt gøres p˚
a grafregneren ved at
ændre ”Graph-indstillingen i mode til PARAMETRIC. S˚
a taster man blot x (t) og y (t)
ind i ”Y=”.
Det skr˚
a kast
Det skr˚
a kast er karakteriseret ved at noget kastes, stødes eller skydes skr˚
at op i luften i en givet vinkel fra jorden - med en eller anden begyndelseshastighed. Under bevægelsen
er genstanden kun p˚
avirket af tyngdekraften der i løbet af noget tid vil være skyld i, at
genstanden har fundet tilbage til jorden. Uden at g˚
a i dybden her, s˚
a tager formen af
parameterkurven i det skr˚
a kast udgangspunkt i følg.
x00 (t) = 0
y 00 (t) = −g
(3)
(4)
da genstanden kun er p˚
avirket af tyngdekraften, der p˚
avirker i lodret retning og nedad
N
. Ud fra disse
(dermed minus). g kaldes tyngdeaccelerationen og er givet ved g = 9, 82 kg
accelerationsfunktioner kan man finde hastighedsfunktionerne
x0 (t) = v0,x
y 0 (t) = v0,y − g · t
(5)
(6)
hvor v0,x er begyndelseshastigheden
i x-retningen og v0,y er begyndelseshastigheden i yq
2
2
. Ud fra hastighedsfunktionerne findes stedretningen med relationen v0 = v0,x + v0,y
funktionerne
x (t) = x0 + v0,x · t
(7)
1
y (t) = y0 + v0,y · t − gt2
2
(8)
med (x0 , y0 ) som startpositionen til tiden t = 0. Metoden til at komme frem til hastighedsfunktionerne og stedfunktionerne er det omvendte af differentialregning - integralregning,
men man kan tjekke det ved at differentiere og se om det passer.
2010
Side 2 af 7
Matematik
Det skr˚
a kast i basketball
Oftest udtrykker man bevægelsen i det skr˚
a kast ud fra startvinklen, θ, der dannes med
vandret og størrelsen af starthastigheden, v0 . Dvs. at udrykkene i (1) og (2) for v0 bruges.
Endvidere vælger man oftest (dog ikke altid) at indlægge et koordinatsystem s˚
aledes, at
x0 = 0. Derved f˚
ar vi
x (t) = v0 · cos (θ) t
1
y (t) = y0 + v0 · sin (θ) t − gt2
2
(9)
(10)
Ved at isolere t i den første ligning kan man omskrive det som en funktion y (x) dvs. højde
som funktion af længde:
y (x) = y0 +
sin (θ)
g
x− 2
x2
cos (θ)
2v0 cos2 (θ)
(11)
sin(θ)
g
, b = cos(θ)
Her ser man, at det er en parabelbane med koefficienterne a = − 2v2 cos(θ)
0
og c = y0 . Man kan g˚
a videre ind i skr˚
at kast her. Man kan fx regne p˚
a flyvetider
og opstille hastighedsfunktionerne p˚
a samme m˚
ade som (9) og (10). Desuden kan man
beregne maksimal kastelængde, kastehøjde og optimal kastevinkel. Læg mærke til, at vi
har etableret forbindelsen til parablerne, s˚
a det handler ogs˚
a her om at trække p˚
a den
viden. Nogle af de ovenfor beskrevne ting er iøvrigt behandlet i andet udleveret matriale,
der leverer en grundig gennemgang af det skr˚
a kast.
Kast i basketball
Til højre er der en figur over en basketballspiller
og to kast med forskellig kastehøjde. P˚
a figuren ses
basketballen for hver af de to kast ca. 7 gange i
sekundet.
Hvis vi skal udtrykke forskellen i de to kast ud fra
parametrene beskrevet i forrige afsnit, s˚
a vil vi nok
sige, at de har forskellige værdier af kastevinklen
θ og starthastigheden v0 . De to kast rammer dog
begge tilsyneladende op i kurven. Det ses umiddelbart af figuren, at de to kast har parabellignende
bevægelser, hvilket selvfølgelig ogs˚
a stemmer fint
overens med forrige afsnit.
P˚
a næste side er samme figur, hvor der indlagt et
koordinatsystem s˚
aledes at x0 = 0 og y0 = 2, da vi her antager at bolden slippes i en
højde p˚
a 2 meter. Kastevinklen θ indtegnet og starthastigheden v0 indtegnet som vektorpil. Desuden er de to parameterkurver, som bolden følger i de to tilfælde trukket op med
kurver (to parabler). De formler, der beskriver bevægelserne i de to tilfælde, er givet i (9),
(10) og (11) med y0 = 2 (se figur).
2010
Side 3 af 7
Matematik
Det skr˚
a kast i basketball
Værdier af konstanter for de to
kast:
Enheder medtages ikke, men alt er
i SI-enheder (dvs. m, s, N, osv.)
Begge kast:
Tyngdeacceleration: g = 9, 82
Startpostion (vandret): x0 = 0
Kastehøjde: y0 = 2
Afstand fra kaster til kurv: l = 6
Højt kast:
Kastevinkel: θ = 75◦
Begyndelseshastighed: v0 = 11, 2
Højt kast:
Kastevinkel: θ = 60◦
Begyndelseshastighed: v0 = 8, 75
7
6
5
4
3
θ
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Ud fra de konstanter, der er beskrevet kan vi opstille stedfunktionerne (9) og (10) for det
høje kast
x (t) = 2, 90 · t
y (t) = 2, 00 + 10, 82 · t − 4, 91t2
og hastighedsfunktionerne opn˚
as ved differentiering
vx (t) = x0 (t) = 2, 90
vy (t) = y 0 (t) = 10, 82 − 9, 82t
Funktionen y (x) som givet i (11) er givet ved
y (x) = 2, 00 + 3, 73x − 0, 584x2
Tilsvarende kan (9), (10) og (11) skrives for det lave kast (hastighedsfunktionerne overlades til læseren):
x (t) = 4, 375 · t
y (t) = 2, 00 + 7, 578 · t − 4, 91t2
y (x) = 2, 00 + 1, 73x − 0, 2565x2
Hvis vi kigger p˚
a det høje kast og vil regne p˚
a hvor højt bolden kommer
op, s˚
a kender
−b −d
vi jo toppunktsformlen fra vores viden om parabler T (xtop , ytop ) = 2a , 4a , med d som
den sædvanlige diskriminant d = b2 − 4ac:
−3, 73
= 3, 19
2 · (−0, 584)
− (3, 732 − 4 · (−0, 584) · 2)
= 7, 96
=
4 · (−0, 584)
xtop =
ytop
Man kan dog ogs˚
a beregne det ved at se p˚
a hvorn˚
ar y-hastigheden er nul vy = 0, hvilket
netop er p˚
a toppunktet. Derudfra kan man beregne t-værdien og indsætte den i x (t) og
2010
Side 4 af 7
Det skr˚
a kast i basketball
Matematik
y (t). Husk p˚
a at stedfunktionernes ekstremumssteder jo netop er hastighedsfuntionernes
nulpunktioner. S˚
adan hænger det sammen, n˚
ar hastighedsfunktionen er den afledede funktion af stedfunktionen. Herved har vi at (vi regner stadig p˚
a det høje kast)
vy = 0 ⇒ t = 10,82
=
1,
108
og
dermed
er
x
(1,
102)
= 2, 90 · 1, 1018 = 3, 195 og
9,82
2
y (1, 1018) = 2 + 10, 82 · 1, 108 − 4, 91 · 1, 108 = 7, 96.
Dette er selvfølgelig i overensstemmelse med resultatet fra toppunksformlen. Læg iøvrigt
mærke til at toppunktets placering ikke er halvejs mellem kaster og kurv, hvilket jo blot
afspejler den asymmetri, der er mellem kastehøjden og kurvens placering.
Der er mange flere ting end banens toppunkt, der kan undersøges og der bliver senere
remset nogle forslag op.
Analyse af m˚
alinger fra videooptagelse
P˚
a næste side er der en tabel med tider samt de tilhørende x- og y-koordinater for et
kast optaget p˚
a videokamera (optaget d. 16/12-2010). Punkterne er fremkommet ved at
indlægge et koordinatsystem i billedet, hvor x0 = 0 og x-aksen er langs gulvet. Derefter
har jeg gennemg˚
aet basketballkastet en frame af gangen og udplukket nogle af dem. Dvs.
bestemt værdierne af t, x og y.
P˚
a næste side ses desuden tre grafer: en (t, x)-graf, en (t, y)-graf og en (x, y)-graf. Disse
grafer kan man selv finde ved at indtaste punkterne i excel eller grafregneren. P˚
a graferne
har jeg lavet en regression (indført en tendenslinje), hvilket ogs˚
a kan gøres i excel eller
p˚
a grafregneren. Hvis I vil lave andengradspolynomiumstilpasning p˚
a grafregneren skal I
bruge QuadReg, n˚
ar I regression i Stat/List-editoren.
Den første graf (øverst til højre) viser y (x) som et andengradspolynomium, hvilket passer
med teorien. Det vi ser p˚
a grafen er boldens fysiske bevægelse - alts˚
a de steder den har
været. Punkterne ligger pænt omkring det indtegnede polynomium, hvilket ogs˚
a under2
bygges af en korrelationskoefficient (eller forklaringsgrad) p˚
a r = 0, 9958. N˚
ar punkterne
ikke passer helt hænger det sammen med at bolden, i det program, jeg brugte til at
prikke de enkelte værdier ud i, til tider kunne være ret uklar og udtværet. Dette bringer
selvfølgelig en vis usikkerhed med sig. Dvs. at den afvigelse/usikkerhed, der er, den skyldes
behandlingen af videoen og ikke uoverensstemmelse mellem teori og virkelighed.
P˚
a de to næste grafer (dem under) ser vi hhv. x (t) og y (t). x (t) er boldens x-position
til tiden t, hvor t = 0 er ved kastets start (x (0) = x0 = 0). Punkterne ligger p˚
a en ret
linje, hvilket igen er helt i overensstemmelse med teorien (9). Vi kan aflæse af regressionsligningen af v0 · cos (θ) = 3, 848. Den sidste graf afbilder y (t) hvilket ogs˚
a passer godt
med teorien (10). Det er et andengradspolynomium, og vi lægger mærke til, at koefficienten foran t2 er −5, 225, der passer nogenlunde (dog kun nogenlunde - den har lidt større
nummerisk værdi) med den i teorien angivne p˚
a −4, 91. Af koefficenten foran t har vi at
v0 · sin (θ) = 6, 618. Ud fra de to ligninger kan man f˚
a, at tan (θ) = 1, 72 som ogs˚
a er i
sin(θ)
2
2
2
overensstemmelse med y (x) (husk at tan (θ) = cos(θ) og v0 = 6, 618 + 3, 848 . Dette giver
følgende værdier af kastevinkel og begyndelseshastighed: θ = 59, 8◦ og v0 = 7, 66.
For det p˚
agældende kast kan man beregne toppunkt for parabel, men det har vi gjort
i forrige afsnit og princippet er præcis det samme. Derudover kan man se p˚
a, hvad der
sker, hvis vinklen ændres, hvis begyndelseshastigheden ændres, hvis kastehøjden ændres
og meget mere. I næste afsnit er der nogle forslag til, hvad man kan give sig i kast med i
en nærmere analyse at et basketball kast.
2010
Side 5 af 7
Matematik
Det skr˚
a kast i basketball
t
0.00
0.04
0.08
0.13
0.17
0.21
0.29
0.33
0.38
0.42
0.46
0.50
0.54
0.58
0.67
0.75
0.79
0.83
0.88
0.92
0.96
1.00
1.04
1.08
1.13
x
0.00
0.05
0.22
0.38
0.53
0.94
1.06
1.25
1.58
1.70
1.73
1.87
2.16
2.35
2.50
2.95
3.05
3.17
3.41
3.58
3.72
3.86
3.96
4.13
4.27
y
1.93
2.20
2.44
2.60
2.87
3.37
3.42
3.61
3.83
3.95
3.92
4.00
4.12
4.16
4.14
4.07
4.07
3.95
3.88
3.73
3.66
3.52
3.32
3.18
3.08
y
Regression:
y (x) = −0, 342·x2 +1, 697·x+2, 037
r 2 = 0, 9958
5
4
bM
bM bM
bM
bM
bM
bM
bM bM
bM
bM
bM
3
bM
bM
bM
bM
bM
bM
bM
bM
bM
bM
bM
bM
2
bM
1
0
0
1
2
Regression:
x (t) = 3, 848 · t
r 2 = 0, 9969
x
5
bM
Mb bM
3
2
1
bM
bM bM
bM
bM
bM
bM
bM bM
bM bM
bM
bM
4
5
bM
bM bM
bM bM
bM bM
bM
bM
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 t
4
bM
3
2
x
Regression:
y (t) = −5, 225·t2 +6, 816·t+1, 934
r 2 = 0, 9886
y
5
4
0
3
bM
bM
bM
bM
bM
bM
bM
bM bM
bM bM bM
bM
bM Mb Mb
bM
bM Mb
Mb
bM
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 t
Hvad kan man undersøge ved det skr˚
a kast i basketball?
I dette afsnit er der nogle eksempler p˚
a ting, der kan analyseres nærmere i forbindelse
med skr˚
a kast i basketball. Der er selvfølgelig mange andre ting, der kan undersøges end
disse eksempler.
• Se p˚
a et skudeksempel. Det kan være et af dem I har talmateriale p˚
a. Bestem
kastevinklen. En basketballkurvs diameter er 45 cm. Hvor meget kunne kastevinklen
være ændret uden at bolden ville ramme forbi?
• Se p˚
a et eksempel, hvor en forsvarsspiller forsøger at blokere boldens bane. Vælg
nogle passende værdier for blokkerens højde og afstand til kasterne. Hvilke krav
stiller det til kastevinkel og begyndelseshastighed for at bolden skal kunne ramme
m˚
al?
2010
bM bM
bM
Side 6 af 7
Det skr˚
a kast i basketball
Matematik
• Pga. fysikken (tyngdekraften) behøver man kun to punkter for at bestemme bevægelsen
af bolden. Det kan fx være - forudsat at bolden rammer kurven - kastehøjden y0 ,
højden af kurven, afstanden (den vandrette) til kurven og den tid, hvor bolden er i
luften (flyvetiden). Prøv at opstille bevægelsesligningerne ud fra to punkter. De kan
fx tage (0, 2) til t = 0 og (5, 3) til t = 1, 25. Kastet svarer iøvrigt godt til et af dem
som ikke er leveret som talmateriale til opgaven.
• Undersøg effekten af et ”jumpshot”. Tag f.eks. udgangspunkt i et eksempel, hvor der
hoppes for at skyde over en blokker.
• Hvor lille er den mindste kastevinkel ved en given afstand, hvormed man stadig kan
lave m˚
al i basketball. Hertil skal du bruge dimensionerne p˚
a kurven og bolden.
• Ved det skr˚
a kast hvor y0 = 0 kan man vise at den maksimale kastelængde er givet
v2 sin(2θ)
ved xmax = 0 g
og den vinkel, der giver den xmax er θ = 45◦ (kan du gøre det?).
I basketball forholder det sig ikke helt s˚
a nemt. Bolden slippes jo i ca. 2 m’s højde og
rammer kurven i 3 m’s højde. Kan du opstille en formel for xmax og den optimale
kastevinkel i basketball - fx n˚
ar y0 = 2 m? Kan du generelt?
• Hvor meget skal vinklen for et bestemt skud ændres for at bolden rammer pladen
og stadig g˚
ar i kurven?
• kan du opstille en funktion for størrelsen af hastigheden som funktion af tiden?
• Sandsynligheden for at f˚
a et rent m˚
al, dvs. et m˚
al, der ikke rammer kanten, er højst
ved høje skud, da nedfaldsvinklen φ er større. Man kan fx se p˚
a forholdet mellem
kurvens areal projiceret ind p˚
a den vinkelrette retning, n˚
ar den rammer kurven og
·sin(φ)
. Her kan man se p˚
a, hvordan det forhold ændrer
boldens tværsnitsareal Akurv
Abold
sig med nedfaldsvinklen. Man kan ogs˚
a opstille en formel, hvori det er kastevinklen,
der indg˚
ar.
• Hvis vi ser p˚
a et kast, hvor bolden rammer pladen over kurven, s˚
a følger den en
parabel før den rammer pladen. Der gør den ogs˚
a efter. Kan du bestemme forskriften
for den parabel ud fra v og θ (x0 = 0,y0 = 2)? Her ses bort fra skru i bolden (som
ellers sagtens kan have betydning) og energitab ved stødet med pladen.
2010
Side 7 af 7