Quantum Mechanics

Minikvant
Fysik 22
- nu ogs˚
a med fysik 312 for os
aber
..
.
~enrik Dahl
[email protected].
..
Resum´
e
ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl. Jeg p˚
atager
mig intet ansvar overhovedet for noget som helst. Faktisk vil jeg for en
sikkerheds skyld frar˚
ade brug af det følgende...
Jeg har brugt flere kilder til det følgende. Selvfølgelig Liboff, men ogs˚
a
Zettili,N: Quantum Mechanics, Concepts and Aplications (Wiley, 2001),
Woan, G: The Cambridge Handbook of Physics Formulas (Cambridge,
2000) og Phillips, A.C.: Introduction to Quantum Mechanics (Wiley, 2003).
Desuden ogs˚
a Sakurai og en note om ”Sjov med tensorer”af m og m.
Hvis du finder fejl - og der er med garanti næsten lige s˚
a mange som i
Liboff - eller har andre kommentarer hører jeg meget gerne om det. Send
mig en mail, s˚
a det kan blive forbedret. P˚
a forh˚
and tak!
- og tak til Michael B for at finde fejl og komme med forslag til forbedringer!
INDHOLD
2
Indhold
1 Operatorer
1.1 Definition . . . . . . . . . . .
1.2 Operatoralgebra . . . . . . . .
1.3 Vigtige operatorer . . . . . . .
1.3.1 Cartesiske koordinater
1.3.2 Sfæriske koordinater .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
5
5
6
2 Kommutatorer
2.1 Definition . . . . . . .
2.2 Kommutatoralgebra . .
2.3 Vigtige kommutatorer
2.4 Usikkerhedsrelation . .
2.5 Egenskaber . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
9
9
3 Diracnotation
3.1 Definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
4 Sandsynlighed mm.
4.1 Usikkerhedsrelationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Middelværdi og spredning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
10
5 Postulaterne
11
6 Schr¨
odinger og stationære tilstande
11
7 Spektrumtyper
7.1 1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
8 Specifikke problemer
8.1 1 dimension . . . . . . . . . . .
8.1.1 Potentialtrin . . . . . . .
8.1.2 Potentialbarriere . . . .
8.1.3 Uendelig brønd . . . . .
8.1.4 Endelig brønd . . . . . .
8.1.5 Harmonisk oscillator . .
8.2 3 dimensioner . . . . . . . . . .
8.2.1 Impulsmoment, spherical
8.2.2 Kartesiske koordinater .
8.3 Sfæriske koordinater . . . . . .
8.3.1 Fri partikel . . . . . . .
12
12
12
13
14
14
15
16
16
17
18
18
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
harmonics
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
INDHOLD
8.3.2
3
Sfærisk æske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
9 Hydrogenlignende atomer
18
10 Spin
19
11 Specielle funktioner
11.1 Hermitiske polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Legendrepolynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Sfæriske Besselfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
21
21
12 Fra Fysik312 (for os aber)
12.1 Tensorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Udtrykt ved stedkoordinater . . . . .
12.1.2 Stedkoordinater udtrykt ved tensorer
12.2 Udvalgsregler . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Perturbationsteori . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Statisk, ikke degenereret . . . . . . .
12.3.2 Statisk, degenereret . . . . . . . . . .
12.3.3 Tidsafhængig . . . . . . . . . . . . .
22
22
22
22
22
23
23
23
23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 OPERATORER
1
4
Operatorer
1.1
Definition
Matematisk regel, der transformerer en ket til en anden ket fra samme rum (ditto
ˆ
for bra): A|ψi
= |ψ 0 i, hφ|Aˆ = hφ0 |
1.2
Operatoralgebra
ˆ 6= B
ˆ Aˆ
• Generelt gælder AˆB
ˆ Cˆ = A(
ˆB
ˆ C)
ˆ = (AˆB)
ˆ Cˆ
• AˆB
• Aˆn Aˆm = Aˆn+m
ˆ
ˆ B|ψi)
ˆ
• AˆB|ψi
= A(
ˆ 1 |ψ1 i+a2 |ψ2 i) = a1 A|ψ
ˆ 1 i+a2 A|ψ
ˆ 2 i og (hψ1 |a1 +
• Hvis Aˆ er lineær gælder A(a
hψ2 |a2 )Aˆ = a1 hψ1 |Aˆ + a2 hψ2 |Aˆ
• Middelværdien af en operator med hensyn til en tilstand |ψi er givet ved
ˆ
hψ|A|ψi
• |φihψ| er en lineær operator
ˆ
• |ψiAˆ og Ahψ|
er forbudte udtryk
ˆ ∗
• Der gælder hψ|Aˆ† |φi = hφ|A|ψi
ˆ † = a∗ Aˆ†
• (aA)
• (Aˆ† )† = Aˆ
ˆ † = Aˆ† + B
ˆ†
• (Aˆ + B)
ˆ †=B
ˆ † Aˆ†
• (AˆB)
• (Aˆn )† = (Aˆ† )n
†
ˆ
ˆ † Aˆ†
• (AˆB|ψi)
= hψ|B
ˆ
ˆ ∗
• Aˆ er hermitisk hvis Aˆ = Aˆ† (dvs. hψ|A|φi
= hφ|A|ψi
• Aˆ er antihermitisk (skævhermitisk) hvis Aˆ† = −Aˆ
ˆ Produk• Aˆ er en projektionsoperator hvis Aˆ† = Aˆ (hermitisk) og Aˆ2 = A.
tet af to projektionsoperatorer er en projektionsoperator (men det samme
gælder normalt ikke for summen)
1 OPERATORER
1.3
5
Vigtige operatorer
1.3.1
Cartesiske koordinater
ˆ
Enhedsoperator Iˆ : I|ψi
= |ψi
Position
→
ˆ n = xn (1 dimension, R
ˆ=−
X
r i 3 dimensioner)
Impuls
∂n
ˆ
Pˆxn = (−i~)n ∂x
n (1 dimension, P = −i~∇ i 3 dimensioner)
Kinetisk energi
~2 ∂ 2
Tˆ = − 2m
∂x2
Hamilton
→
~2
ˆ = − ~2 4 + Vˆ (−
H
r ) = − 2m
2m
∂2
∂x2
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2
ˆ
Forharmonisk
oscillator i 1 dimension: H =
ˆ+1
~ω N
2
Impulsmoment
−
→
ˆ
ˆ×∇
L = −i~R
ˆ x = Yˆ Pˆz − Zˆ Pˆy = −i~(Yˆ ∂ − Zˆ ∂ )
L
∂y ∂z
∂
∂
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Ly = Z Px − X Pz = −i~ Z ∂x − X ∂z
ˆz = X
ˆ Pˆy − Yˆ Pˆx = −i~ X
ˆ ∂ − Yˆ ∂
L
∂y
ˆ2 = L
ˆ2 + L
ˆ2 + L
ˆ2
L
x
y
z
Paritet
→
→
ˆ −
Pψ(
r ) = ψ(−−
r)
→
−
→
−
ˆ r i=|− r i
P|
Gradient
→
∇ψ(−
r)=
Laplace
4ψ = ∇2 ψ =
Dimensionsfri
pˆ =
→
∂ψ −
i
∂x
+
∂2ψ
∂x2
→
∂ψ −
j
∂y
+
∂2ψ
∂y 2
+
+
→
∂ψ −
k
∂z
∂2ψ
∂z 2
ˆ
√P
m~ω
ˆ
qˆ = X
ˆ=
Stigeoperatorer a
a
ˆ† =
p
mω/~
√1 (ˆ
q+
2
iˆ
p)
√1 (ˆ
q−
2
iˆ
p) (ikke-hermitiske)
√
a
ˆ|ni = √n|n − 1i
a
ˆ† |ni = n + 1|n + 1i
∂x
→
+ Vˆ (−
r)
1
(Pˆ
2m
ˆ 2) =
+ m2 ω 2 X
~ω 2
(ˆ
p
2
+ qˆ2 ) =
1 OPERATORER
6
ˆ = aˆ√+ˆa†
X
2β
†
Pˆ = mω0 aˆ√−ˆa
i
2β
Tal-operator
ˆ =a
(occupation number operator): N
ˆ† a
ˆ
ˆ
N |ni = n|ni
Sænke- og
hæveoperator
Jˆ± = Jˆx ± iJˆy
Jˆx = 12 (Jˆ+ + Jˆ− )
Jˆy = 2i1 (Jˆ+ − Jˆ− )
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
J = 2 J+ J− + J− J+ + Jˆz2
Jˆ2 |j, mi = ~2 j(j + 1)|j, mi
Jˆz |j, mi = ~m|j, mi, −j ≤ m ≤ j
Jˆ± |j, mi = ~
1.3.2
Laplace
Impulsmoment
Hæve- og
sænkeoperatorer
4=
p
(j ∓ m)(j ± m + 1)|j, m ± 1i
Sfæriske koordinater
1 ∂2
r
r ∂r2
ˆ 2 = −~2
L
−
h
1 ˆ2
L
~2 r 2
1 ∂
sin θ ∂θ
∂
sin θ ∂θ
+
∂
Pˆr = −i~ 1r ∂r
r
∂
ˆ
Lz = −i~ ∂ϕ
ˆ ± = ~e±iϕ i cot θ ∂ ±
L
∂ϕ
∂
∂θ
1
∂2
sin2 θ ∂ϕ2
i
ˆ ± Y ml = ~[l(l + 1) − ml (ml ± 1)]1/2 Y ml ±1
L
l
l
2 KOMMUTATORER
2
2.1
Kommutatorer
Definition
ˆ B]
ˆ = AˆB
ˆ −B
ˆ Aˆ
Kommutator
[A,
ˆ B}
ˆ = AˆB
ˆ +B
ˆ Aˆ
Antikommutator {A,
2.2
Kommutatoralgebra
ˆ A]
ˆ =0
[A,
ˆ c] = 0
[A,
ˆ B]
ˆ = −[B,
ˆ A]
ˆ
[A,
ˆ B
ˆ + C]
ˆ = [A,
ˆ B]
ˆ + [A,
ˆ C]
ˆ
[A,
ˆ B
ˆ C]
ˆ = [A,
ˆ B]
ˆ Cˆ + B[
ˆ A,
ˆ C]
ˆ
[A,
ˆ C]
ˆ = A[
ˆ B,
ˆ C]
ˆ + [A,
ˆ C]
ˆB
ˆ
[AˆB,
ˆ B]
ˆ † = [B
ˆ † , Aˆ† ]
[A,
ˆ [B,
ˆ C]]
ˆ + [B,
ˆ [C,
ˆ A]]
ˆ + [C,
ˆ [A,
ˆ B]]
ˆ =0
[A,
ˆ j [A,
ˆ B]
ˆ Aˆn−j−1
ˆ B
ˆ n ] = Pn−1 B
[A,
j=0
ˆ = Pn−1 Aˆn−j−1 [A,
ˆ B]
ˆB
ˆj
[Aˆn , B]
j=0
2.3
Sted og impuls
Vigtige kommutatorer
ˆ Pˆx ] = i~
[X,
ˆ n , Pˆx ] = i~nX
ˆ n−1
[X
ˆ Pˆxn ] = i~nPˆxn−1
[X,
ˆ
ˆ Pˆx ] = i~ df (X)
[f (X),
ˆ
dX
Sæt j, k = x, y, z - s˚
a gælder:
ˆ j , Pˆk ] = i~δjk
[R
ˆj , R
ˆk ] = 0
[R
[Pˆj , Pˆk ] = 0
7
2 KOMMUTATORER
→
−
→
−
→
−
ˆ
ˆ
ˆ
[ P , f ( R )] = −i~∇f ( R )
Impulsmoment
ˆ x, L
ˆ y ] = i~L
ˆz
[L
ˆy, L
ˆ z ] = i~L
ˆx
[L
ˆz, L
ˆ x ] = i~L
ˆy
[L
ˆ L
ˆ x] = 0
[X,
ˆ L
ˆ y ] = i~Zˆ
[X,
ˆ L
ˆ z ] = −i~Yˆ
[X,
ˆ x] = 0
[Pˆx , L
ˆ y ] = i~Pˆz
[Pˆx , L
ˆ
ˆ z ] = −i~Pˆy
[Px , L
ˆ L
ˆ 2 ] = i~(L
ˆ y Zˆ + Zˆ L
ˆy − L
ˆ z Yˆ − Yˆ L
ˆy)
[X,
ˆ 2 ] = i~(L
ˆ y Pˆz + Pˆz L
ˆy − L
ˆ z Pˆy − Pˆy L
ˆy)
[Pˆx , L
[Jˆx , Jˆy ] = i~Jˆz
[Jˆy , Jˆz ] = i~Jˆx
[Jˆz , Jˆx ] = i~Jˆy
[Jˆ2 , Jˆk ] = 0
[Jˆ2 , Jˆ± ] = 0
[Jˆ+ , Jˆ− ] = 2~Jˆz
[Jˆz , Jˆ± ] = ±~Jˆ±
Andre
[ˆ
q , pˆ] = i
[ˆ
a, a
ˆ† ] = 1
For harmonisk oscillator i 1 dimension:
ˆ = ~ωˆ
[ˆ
a, H]
a
† ˆ
[ˆ
a , H] = −~ωˆ
a†
ˆ, a
[N
ˆ] = −ˆ
a
†
ˆ
[N , a
ˆ ]=a
ˆ†
8
3 DIRACNOTATION
2.4
9
Usikkerhedsrelation
1 ˆ ˆ
∆A∆B ≥ |h[A,
B]i|
2
2.5
Egenskaber
ˆ B]
ˆ =
• To observerbare er kompatible, hvis deres operatorer kommuterer, [A,
0
• Hvis to observerbare er kompatible, har deres operatorer et sæt fælles egentilstande
• Kompatible observerbare kan m˚
ales samtidig med vilk˚
arlig præcision (det
kan inkompatible ikke)
3
3.1
Diracnotation
Definitioner
Ket
Bra
Skalarprodukt
Braket
|mi
hn|
R
hn|mi = ψn∗ ψm dx
R
hn|ˆ
a|mi = hψn |ˆ
a|ψm i = ψn∗ a
ˆψm dx
Fortolkning
hφ|ψi kan fortolkes som sandsynligheden for, at hvis systemet først er i tilstand
ψ og der foretages en m˚
aling, s˚
a er systemet i tilstand φ.
3.2
Algebra
|ψi∗ = hψ|
a|ψi∗ = a∗ hψ|
|aψi = a|ψi
haψ| = a∗ hψ|
hφ|ψi∗ = hψ|φi
hψ|a1 ψ1 + a2 ψ2 i = a1 hψ|ψ1 i + a2 hψ|ψ2 i
ha1 ψ1 + a2 ψ2 |ψi = a∗1 hψ1 |ψi + a∗2 hψ2 |ψi
4 SANDSYNLIGHED MM.
10
ha1 φ1 + a2 φ2 |b1 ψ1 + b2 ψ2 i = a∗1 b1 hφ1 |ψ1 i + a∗1 b2 hφ1 |ψ2 i + a∗2 b1 hφ2 |ψ1 i + a∗2 b2 hφ2 |ψ2 i
hψ|ψi ≥ 0 (= 0 for |ψi = 0)
Hvis tilstanden er normaliseret er hψ|ψi = 1
Schwarz: |hψ|φi|2 ≤ hψ|ψihφ|φi
Trekantsulighed:
p
p
p
hψ + φ|ψ + φi ≤ hψ|ψi + hφ|φi
Ortogonalitet: Hvis hψ|φi = 0
Ortonormalitet: hψ|φi = 0, hψ|ψi = hφ|φi = 1
4
4.1
Sandsynlighed mm.
Usikkerhedsrelationer
Generelt
(∆a)2 (∆b)2 ≥ 14 hi[ˆ
a, ˆb]i2
Heissenberg
∆p∆x ≥
4.2
~
2
Sandsynlighed
P (x, t)dx = |ψ(x, t)|2 dx
∗
~
j(x) = − 2m
ψ ∗ ∂ψ
− ψ ∂ψ
∂x
∂x
4.3
Middelværdi
Middelværdi og spredning
R
hai = hˆ
ai = hψ|ˆ
a|ψi = ψ ∗ a
ˆψdx
Hvis ikke normaliseret gælder hˆ
ai =
hψ|ˆ
a|ψi
hψ|ψi
a
ˆ a
= ~i h[H,
ˆ]i + h ∂ˆ
i
∂t
Tidsudvikling
d
hˆ
ai
dt
Superposition
Hvis a
ˆψn = an ψn og Ψ =
Ehrenfest
m dtd hri = hpi
d
hpi = −h∇V i
dt
P
cn ψn er hai =
P
|cn |2 an
5 POSTULATERNE
Varians
11
(∆a)2 = ha2 i − hai2
hJˆx2 i = hJˆy2 i = 12 (hJˆ2 i − hJˆz2 i) = ~2 [j(j + 1) − m2 ]
5
Postulaterne
Tilstand
Et fysisk system er til enhver tid t specificeret ved en tilstandsvektor |ψ(t)i. En
superposition af s˚
adanne er ogs˚
a en tilstand
Observerbare
ˆ hvis egenvektorer
Til enhver observerbar A svarer en lineær hermitisk operator A,
udgør en komplet basis
M˚
aling
M˚
aling kan repræsenteres ved at en operator Aˆ virker p˚
a en tilstand |ψ(t)i. Hvis
m˚
alingen giver an er tilstanden umiddelbart efter givet ved en projektion p˚
a egenvektoren |ψn i, der svarer til an :
|ψief ter = |ψn ihψn |ψ(t)i
Spektre
Sandsynligheden for et bestemt m˚
aleresultat er for diskrete spekre givet ved
|hψn |ψi|2
Pn (an ) = hψ|ψi
og for kontinuerte spektre ved
2
2
dP (a)
= |ψ(a)|
= R ∞ |ψ(a)|
da
hψ|ψi
|ψ(a0 )|2 da0
−∞
Tidsudvikling
Tidsudviklingen er givet ved den tidsafhængige Schr¨odingerligning
ˆ
i~ ∂|ψ(t)i
= H|ψ(t)i
∂t
6
Schr¨
odinger og stationære tilstande
Den tidsafhængige Schr¨odingerligning kan skrives
i~
→
∂Ψ(−
r , t)
~2
→
→
→
=−
4Ψ(−
r , t) + Vˆ (−
r , t)Ψ(−
r , t)
∂t
2m
→
→
Antag tidsuafhængigt potential, Vˆ (−
r , t) = Vˆ (−
r ). Da f˚
as den tidsuafhængige
Schr¨odingerligning:
~2
→
−
→
→
ˆ
−
4 + V ( r ) ψ(−
r ) = Eψ(−
r)
2m
Løsningerne til den tidsafhængige ligning bliver
→
→
→
Ψ(−
r , t) = ψ(−
r )e−iEt/~ = ψ(−
r )e−iωt
(E = ~ω)
7 SPEKTRUMTYPER
Denne løsning er en stationær tilstand. Den generelle løsning bliver
X
iEn t
→
−
→
−
Ψ( r , t) =
cn ψn ( r ) exp −
~
n
7
Spektrumtyper
7.1
1 dimension
Bundne
tilstande
Ubundne
tilstande
Partiklen kan ikke g˚
a til ±∞. I s˚
a fald er spektret diskret
Blandede
tilstande
Paritet
For nogle energiniveauer er partiklen bundet, for andre ubundet.
Partiklen kan g˚
a mod ∞ eller −∞ eller begge.
Ikke begge: Spektret er kontinuert, ingen egenværdier er degenererede
Begge: Spektret er kontinuert, alle egenværdier er dobbelt degenererede
Symmetrisk potential: V (−x) = V (x)
Bundne egentilstande har enten lige eller ulige paritet:
ψ(−x) = ±ψ(x)
Degenereret spektrum: Egentilstande har ikke nogen given paritet
8
Potential
For E > V0
Specifikke problemer
8.1
1 dimension
8.1.1
Potentialtrin
Partiklen kommer fra venstre.
0 x<0
V (x) =
V0 x > 0
ψ1 (x)e−iωt = Aei(k1 x−ωt) + Be−i(k1 x+ωt) x < 0
Ψ(x, t) =
ψ2 (x)e−iωt = Cei(k2 x−ωt)
x>0
B=
C=
R=
T =
k1 −k2
A
k1 +k2
2k1
A
k1 +k2
(k1 −k2 )2
(k1 +k2 )2
4k1 k2
(k1 +k2 )2
κ = k2 /k1 =
(1−κ)2
(1+κ)2
4κ2
= (1+κ)
2
p
=
1 − V0 /E
12
8 SPECIFIKKE PROBLEMER
For E < V0
Ψ(x, t) =
B=
C=
Aei(k1 x−ωt) + Be−i(k1 x+ωt) x < 0
0
Ce−k2 x e−iωt)
x>0
k1 −ik20
A
k1 +ik20
2k1
A
k1 +ik20
R=1
0
P (x) = |C|2 e−2k2 x
8.1.2
Potentialbarriere
Partiklen
 kommer fra venstre.
 0 x<0
V0 0 ≤ x ≤ a
Potential
V =

0 x>a

 ψ1 (x) = Aeik1 x + Be−ik1 x x ≤ 0
ψ2 (x) = Ceik2 x + De−ik2 x 0 < x < a
For E > V0 > 0 ψ(x) =

ψ3 (x) = Eeik1 x
x≥a
p
k1 = p2mE/~2
k2 = 2m(E − V0 )/~2
Randbetingelser:
ψ1 (0) = ψ2 (0)
dψ1 (0)
2 (0)
= dψdx
dx
ψ2 (a) = ψ3 (a)
dψ2 (a)
3 (a)
= dψdx
dx
For
E > (V0 < 0)
E = 4k1 k2 Ae−ik1 a [4k1 k2 cos(k2 a) − 2i(k12 + k22 ) sin(k2 a)]−1
h
i−1
√
|E|2
2
1
T = |A|
ε − 1)
2 = 1 + 4ε(ε−1) sin (λ
p
λ = a 2mV0 /~2
ε = E/V0
h
i−1
√
R = 1 + sin4ε(ε−1)
2 (λ ε−1)
i−1
h
√
1
sin2 (λ ε + 1)
T = 1 + 4ε(ε+1)
p
λ = a 2m|V0 |/~2
13
8 SPECIFIKKE PROBLEMER
For E < V0
ε = E/|V0 |

 ψ1 (x) = Aeik1 x + Be−ik1 x x ≤ 0
ψ2 (x) = Cek2 x + De−k2 x 0 < x < a
ψ(x) =

ψ3 (x) = Eeik1 x
x≥a
k12 = 2mE/~2
k22 = 2m(E − V0 )/~2
i−1
h
√
2
1
T = 1 + 4ε(1−ε) sinh (λ 1 − ε)
p
λ = a 2mV0 /~2
ε = E/V0
R=
T
4ε(1−ε)
√
sinh2 (λ 1 − ε)
8.1.3
Asymmetrisk
potential
Uendelig brønd

 ∞ x<0
0 0≤x≤a
V (x) =

∞ x>a
En =
~2 2
k
2m n
ψn (x) =
Symmetrisk
potential
q
=
2
a
~2 π 2 2
n ,n
2ma2
sin
nπ
x
a
= 1, 2, 3, . . .
, n = 1, 2, 3, . . .
q P
−in2 E t/~
P
∞
2
nπ
−iEn t/~
1
Ψ(x, t) = ∞
ψ
(x)e
=
n=1 n
n=1 sin a x e
a

 ∞ x < −a/2
0 −a/2 ≤ x ≤ a/2
V (x) =

∞ x > a/2
 q
2

q
cos(nπx/a) n = 1, 3, 5, . . .
a
2
nπ
q
ψn = a sin a (x + a/2) =
2

sin(nπx/a) n = 2, 4, 6 . . .
a
8.1.4
Potential
For E > V0
Endelig brønd

 V0 x < −a/2
0 −a/2 ≤ x ≤ a/2
V (x) =

V0 x > a/2
Endelig reflektionskoefficient, oscillation i alle tre omr˚
ader
For 0 < E < V0 k1 =
p
2m(V0 − E)/~2
14
8 SPECIFIKKE PROBLEMER
k2 =
2
d
dx2
d2
dx2
d2
dx2
15
p
2mE/~2
− k12 ψ1 (x) = 0, x < −a/2
+ k22 ψ2 (x) = 0, −a/2 ≤ x ≤ −a/2
− k12 ψ1 (x) = 0, x > a/2
ψ1 (x) = Aek1 x , x < −a/2
B cos(k2 x) symmetrisk
ψ2 (x) =
C sin(k2 x) antisymmetrisk
ψ3 (x) = De−k1 x , x > a/2
8.1.5
Potential
Harmonisk oscillator
V = 12 mω 2 x2
ˆ = Pˆ 2 + 1 mω 2 X
ˆ 2 = ~ω N
ˆ+1
H
2m
2
2
†
ˆ
N =a
ˆa
ˆ
En = n +
1
2
~ω
ψ0 (x) = √√1
πx0
exp
ψn (x) = √√ 1
∆x =
∆p =
q
q
x2
− 2x
2
0
1
π2n n!
mω 2
ˆ 2 |ni
hn|X
2
=
n+1/2
x0
+ 1)
m~ω
(2n
2
+ 1)
p
~/(mω)
2
d n
x
x − x20 dx
exp − 2x
2 = √√
1
hn|Pˆ 2 |ni
2m
~
(2n
2mω
, x0 =
0
2
2
1
e−x /2x0 Hn
n
π2 n!x0
ˆ
= 12 hn|H|ni
(virialsætningen)
∆x∆p = (n + 1/2)~ ≥ ~/2
De første 6 egenenergier og -tilstande
x
x0
8 SPECIFIKKE PROBLEMER
n
0
1
2
3
4
5
En
~ω/2
3~ω/2
5~ω/2
7~ω/2
9~ω/2
11~ω/2
8.2
16
ψn
2
A0 e−ξ /2
2
A1 2ξe−ξ /2
2
A2 (4ξ 2 − 2)e−ξ /2
2
A3 (8ξ 3 − 12ξ)e−ξ /2
2
A4 (16ξ 4 − 48ξ 2 + 12)e−ξ /2
2
5
A5 (32ξp
− 160ξ 3 + 120ξ)e−ξ /2
√
An = 2n n! π
ξ 2 = mω
x2
~
3 dimensioner
8.2.1
Impulsmoment, spherical harmonics
ˆ 2 |l, mi = ~2 l(l + 1)|l, mi
L
ˆ z |l, mi = ~m|l, mi
L
hθ, ϕ|l, mi = Ylm (θ, ϕ)
ˆ 2 Ylm (θ, ϕ) = ~2 l(l + 1)Ylm (θ, ϕ)
L
ˆ z Ylm (θ, ϕ) = m~Ylm (θ, ϕ)
L
ˆ ± Ylm (θ, ϕ) = ~
L
p
l(l + 1) − m(m ± 1)Ylm±1 (θ, ϕ)
q
(l−m)! m
Ylm (θ, ϕ) = (−1)m 2l+1
P (cos θ)eimϕ (m ≥ 0)
4π (l+m)! l
q
l
dl−m
2l+1 (l+m)! imϕ 1
e sinm θ d(cos
Ylm (θ, ϕ) = (−1)
(sin θ)2l (m ≥ 0)
4π (l−m)!
2l l!
θ)l−m
[Ylm (θ, ϕ)]∗ = (−1)m Yl,−m (θ, ϕ)
Ylm (θ, ϕ)
Y00 (θ, ϕ) =
Y10 (θ, ϕ) =
√1
q4π
3
4π
cos θ
q
3 ±iϕ
e sin θ
Y1,±1 (θ, ϕ) = ∓ 8π
q
5
Y2,0 (θ, ϕ) = 16π
(3 cos2 θ − 1)
q
15 ±iϕ
Y2,±1 (θ, ϕ) = ∓ 8π
e sin θ cos θ
q
15 ±2iϕ
e
sin2 θ
Y2,±2 (θ, ϕ) = ∓ 32π
Ylm (x, y, z)
Y00 (x, y, z) =
Y10 (x, y, z) =
√1
q4π
3 z
4π r
q
3 x±iy
Y1,±1 (x, y, z) = ∓ 8π
r
q
5 3z 2 −r 2
Y2,0 (x, y, z) = 16π r2
q
15 (x±iy)z
Y2,±1 (x, y, z) = ∓ 8π
r2
q
2
15 x −y 2 ±2ixy
Y2,±2 (x, y, z) = ∓ 32π
r2
8 SPECIFIKKE PROBLEMER
8.2.2
17
Kartesiske koordinater
~2
Schr¨odinger
− 2m ∇2 Ψ(x, y, z, t) + Vˆ (x, y, z, t)Ψ(x, y, z, t) = i~ ∂Ψ(x,y,z,t)
∂t
Antag
tidsuafhængigt
potential
Separation
Fri partikel
Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e−iEt/~
Kassepotential
Kubisk kasse
Hvis V (x, y, z) = Vx (x) + Vy (y) + Vz (z) f˚
as separation
→−
−
→
ψ(x, y, z) = (2π)−3/2 eikx x eiky y eikz z = (2π)−3/2 ei k · r
kx2 = 2mEx /~2
→2
~2 −
k
E = Ex + Ey + Ez = 2m
0 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
V (x, y, z) =
∞ ellers
q
8
ψnx ,ny ,nz (x, y, z) = abc
sin(nx πx/a) sin(ny πy/b) sin(nz πz/c)
2
2
2
2
n
nx
n2z
y
π
Enx ,ny ,nz = ~2m
+
+
a2
b2
c2
a=b=c=A
~2 π 2
2
2
2
Enx ,ny ,nz = 2mA
2 (nx + ny + nz )
Anisotropisk
harmonisk
oscillator
Enx ,ny ,nz /E1 (xn , ny , nz )
Degenerering, gn
3
(111)
1
6
(211),(121),(112)
3
9
(221),(212),122)
3
11
(311),(131),(113)
3
12
(222)
1
14
(321),(312),(231),(213),(132),(123) 6
ˆ 2 + 1 mωy2 Yˆ 2 + 1 mωz2 Zˆ 2
Vˆ (ˆ
x, yˆ, zˆ) = 12 mωx2 X
2
2
Enx ,ny ,nz = Enx + Eny + Enz = (nx + 1/2)~ωx + (ny + 1/2)~ωy + (nz + 1/2)~ωz
ψ er produktet af de tre en-dimensionale harmoniske oscillatorer
Isotropisk
harmonisk
oscillator
(ωx = ωy = ωz = ω)
Enx ,ny ,nz = (nx + ny + nz + 3/2)~ω
Degenerering gn = (n + 1)(n + 2)/2
n
0
1
2
3
2En /(~ω)
3
5
7
9
(nx , ny , nz )
(000)
(100),(010),(001)
(200),(020),(002),(110),(101),(011)
(300),(030),(003),(210),(201),(021)
(120),(102),(012),(111)
gn
1
3
6
10
9 HYDROGENLIGNENDE ATOMER
8.3
Sfæriske koordinater
8.3.1
Fri partikel
Se ogs˚
a Liboff, s.424
Fri partikel
∂
pˆr = −i~ 1r ∂r
r
2 ∇2
~
ˆ =−
H
=
2m
pˆ2r
2m
ˆ2
L
+ 2mr
2
ˆ2
L
1
2
Schr¨odinger: 2m pˆr + r2 ϕklm = Eklm ϕklm
ϕklm (r, θ, φ) = jl (kr)Ylm (θ, φ)
2 2
Ek = ~2mk
8.3.2
Centralt
potential
Sfærisk æske
0 r<a
→
−
V ( r ) = V (r) =
m ∞ r>a
xln r
ϕnlm = jl a Yl (θ, φ)
Enl =
9
~2 x2ln
2ma2
Hydrogenlignende atomer
2
Schr¨odinger
~
− 2µ
∇2 Ψnlm −
Reduceret
masse
Egenfunktioner
µ=
Ze2
Ψ
4πε0 r nlm
= En Ψnlm
me mkerne
me +mkerne
1/2
Ψnlm = (n−l−1)!
2n(n+l)!
a = mµe aZ0
2 3/2
an
m
xl e−x/2 L2l+1
n−l−1 Yl (θ, φ)
2
ε0 h
a0 = πm
2
ee
2r
x = an
Pn−l−1
L2l+1
n−l−1 =
k=0
Energi
4
(l+n)!(−x)k
(2l+1+k)!(n−l−1−k)!k!
2
En = − 8εµe2 hZ2 n2
0
Middelværdier
hri = a2 (3n2 − l(l + 1))
2 2
hr2 i = a 2n (5n2 + 1 − 3l(l + 1))
h1/ri = an1 2
2
h1/r2 i = (2l+1)n
3 a2
Tilladte
kvantetal
n = 1, 2, 3, . . .
18
10 SPIN
19
l = 0, 1, 2, . . . , (n − 1)
m = 0, ±1, ±2, . . . , ±l
Udvalgsregler
∆n 6= 0
∆l = ±1
∆m ∈ {−1, 0, 1}
Bølgefunktioner Ψ100 =
a−3/2 −r/a
e
π 1/2
a−3/2
2 − ar e−r/2a
4(2π)1/2
a−3/2 r −r/2a
Ψ210 = 4(2π)
cos θ
1/2 a e
−3/2
Ψ21±1 = ∓ a8π1/2 ar e−r/2a sin θe±iφ
Ψ200 =
2
a−3/2
27 − 18 ar + 2 ar 2 e−r/3a
81(3π)1/2
1/2 −3/2
Ψ310 = 2 81πa1/2 6 − ar ar e−r/3a cos θ
a−3/2
6 − ar ar e−r/3a sin θe±iφ
Ψ31±1 = ∓ 81π
1/2
a−3/2 r2 −r/3a
Ψ320 = 81(6π)
(3 cos2 θ − 1)
1/2 a2 e
a−3/2 r2 −r/3a
Ψ32±1 = ∓ 81π
sin θ cos θe±iφ
1/2 a2 e
a−3/2 r2 −r/3a
Ψ32±2 = 162π
sin2 θe±2iφ
1/2 a2 e
Ψ300 =
10
Spin
0 1
Paulimatricer
σ1 =
1 0 0 −i
σ2 =
i 0 1
0
σ3 =
0
−1
1 0
I=
0 1
Antikommutation{σi , σj } = σi σj + σj σi = 2δij I
Cyklisk
permutation
Spinmatricer
σi σj = iσk
σi2 = I 0
1
~
Sˆx = 2
1 0 0 −i
Sˆy = ~2
i 0
10 SPIN
Sˆz =
Egenværdier
Egenvektorer
~
2
20
1 0
0 −1
λ = ± ~2
αx =
√1
2
βx =
√1
2
αy =
√1
2
βy =
√1
2
αz =
√1
2
βz =
√1
2
1
(spin op i x-retningen)
1 1
(spin ned i x-retningen)
−1
1
(spin op i y-retningen)
i 1
(spin ned i y-retningen)
−i
1
(spin op i z-retningen)
0
0
(spin ned i z-retningen)
1
→
−
ˆ2
Sammensætning J i |ji , mi i = ji (ji + 1)~2 |ji , mi i
Jˆiz |ji , mi i = mi ~|ji , mi i
2
Sˆtot
= (Sˆ1 + Sˆ2 )2
Sˆtot,z = S1z + S2z
Antal tilstande
= 2s + 1, −s ≤ ms ≤ s
| ↑↓i = 12 ((| ↑↓i + | ↓↑i) + (| ↑↓i − | ↓↑i))
Hvem og hvad? Bosoner heltalligt spin, fermioner halvtalligt spin.
Liboff tabel 11.3 Spinbølgefunktioner for to elektroner i koblet repræsentation:
Spinkombination Bølgefunktion
ξ = |s1 s2 smi
(1)
↑1 ↑2
ξ1 = α1 α2
(0)
↑1 ↓2 + ↓1 ↑2
ξ1 = √12 (α1 β2 + β1 α2 )
↓1 ↓2
↑1 ↓2 − ↓1 ↑2
(−1)
ξ1 = β1 β2
(0)
ξ0 = √12 (α1 β2 − β1 α2 )
s1
s2
s
m
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
0
1
0
-1
0
11 SPECIELLE FUNKTIONER
11
21
Specielle funktioner
11.1
Hermitiske polynomier
H0 (y) = 1
H1 (y) = 2y
H2 (y) = 4y 2 − 2
H3 (y) = 8y 3 − 12y
H4 (y) = 16y 4 − 48y 2 + 12
Hn+1 (y) = 2yHn (y) − 2nHn−1 (y)
11.2
Legendrepolynomier
Løsning til
1 d
sin θ dθ
d(Θlm (θ))
sin θ
dθ
m2
+ l(l + 1) −
Θlm (θ) = 0
sin2 θ
F˚
ar
Θlm (θ) = Clm Plm (cos θ)
Plm (x) = (1 − x2 )|m|/2
d|m|
Pl (x)
dx|m|
1 dl 2
(x − 1)l
2l l! dxl
s
2l + 1 (l − m)!
= (−1)m
2 (l + m)!
Pl (x) =
Clm
Se Liboff, s.373 for stor tabel. Her en lille tabel.
Legendrepolynomium
P0 (cos θ) = 1
P1 (cos θ) = cos θ
P2 (cos θ) = (3 cos2 θ − 1)/2
P3 (cos θ) = (5 cos3 θ − 3 cos θ)/2
P4 (cos θ) = (35 cos4 θ − 30 cos2 θ + 3)/8
P5 (cos θ) = (63 cos5 θ − 70 cos3 θ + 15 cos θ)/8
11.3
j0 (x) =
j1 (x) =
j2 (x) =
Sfæriske Besselfunktioner
sin x
x
sin x
x
− cos
x2
x
3
− x1 sin x
x3
−
3
x2
cos x
Associeret Legendrepolynomium
P11 (cos θ) = sin θ
P21 (cos θ) = 3 cos θ sin θ
P22 (cos θ) = 3 sin2 θ
P31 (cos θ) = 3 sin θ(5 cos3 θ − 1)/2
P32 (cos θ) = 15 sin2 θ cos θ
P33 (cos θ) = 15 sin3 θ
12 FRA FYSIK312 (FOR OS ABER)
12
22
Fra Fysik312 (for os aber)
12.1
Tensorer
12.1.1
Udtrykt ved stedkoordinater
(0)
T0 = − 13 (x2 + y 2 + z 2 ) = − 13 r2
(1)
T0 = z
(1)
T1 = − √12 (x + iy)
(1)
T−1 =
(2)
T2 =
(2)
T−2 =
(2)
T1 =
(2)
T−1
(2)
T0
=
=
12.1.2
√1 (x − iy)
2
1
(x
+ iy)2
2
1
(x − iy)2
2
− √12 z(x − iy) hvis [x, y] = [y, z] =
√1 z(x − iy) hvis [x, y] = [y, z] = 0
2
√1 (2z 2 − x2 − y 2 ) = √1 (3z 2 − r 2 )
6
6
0
Stedkoordinater udtrykt ved tensorer
(1)
(1)
√1 (T
−1 − T1 )
2
(1)
(1)
y = √i2 (T−1 + T1 )
(1)
z = T0
(2)
(2)
(2)
(0)
x2 = 12 (T2 + T−2 ) − √16 T0 − T0 hvis [x, y] = [y, z] = 0
(2)
(2)
(2)
(0)
y 2 = − 12 (T2 + T−2 ) − √16 T0 − T0 hvis [x, y] = [y, z] =
(2)
(0)
z 2 = √26 T0 − T0 hvis [x, y] = 0
(2)
(2)
xy = 2i1 (T2 − T−2 ) hvis [x, y] = 0
(2)
(2)
zy = √i2 (T1 + T−1 ) hvis [z, y] = 0
(2)
(2)
zx = 12 (T−1 − T1 ) hvis [z, x] = 0
(2)
(2)
x2 − y 2 = T2 + T−2
x=
12.2
0
Udvalgsregler
Sfærisk potential V (r) giver egentilstande |nlmi. Vi skal afgøre, hvorn˚
ar hn0 l0 m0 |nlmi
nødvendigvis er = 0 n˚
ar systemet perturberes med en operator W .
• Regel 1: Paritet. 4l lige hvis W er lige (har positiv paritet). 4l ulige hvis
W er ulige (har negativ paritet). NB - nogle operatorer er hverken lige eller
ulige.
12 FRA FYSIK312 (FOR OS ABER)
23
(k)
• Regel 2: Oversæt operator (W ) til tensor: W → Tq . 4m = q ved WignerEckhart (3.10.31).
• Regel 3: |4l| ≤ k ved Wigner-Eckhart (3.10.22)
• Sammenfat resultaterne fra de tre regler. Overtrædelse betyder, at hn0 l0 m0 |nlmi =
0
12.3
Perturbationsteori
12.3.1
Statisk, ikke degenereret
H0 → H0 + V
Til H0 svarer egenværdier En0 og egentilstande |ψn0 i
Problem: Find første ordens korrektion til En0 . Løsning gEn1 = hψn0 |gV |ψn0 i (note
(18)).
0
Problem: Find første ordens korrektion P
til |ψn0 i. Løsning: Definer Vmn = hψm
|V |ψn0 i.
0
mn
Første ordens korrektion er da |ψn1 i = m6=n E 0V−E
0 |ψm i (note (21)).
n
m
P
|2
Problem: Find anden ordens korrektion til En0 . Løsning: En2 = m6=n E|V0mn
0 (note
n −Em
(27))
.
12.3.2
Statisk, degenereret
(0)
(0)
(0)
H0 er degenereret med degeneracy dn for egenværdi n: H0 |ni i = En |ni i, i =
1, . . . , dn
H0 → H = H0 + V , giver splitting af disse degenerationer: H|ni i = En,i |ni i, i =
1, . . . , dn
(0)
Problem: Find første ordens korrektion til Ei . Løsning: Nedskriv matricen A =
(0)
(0)
(1)
hni |V |nj i (den er dn × dn ). Find egenværdier for A. Disse udgør Ei , alts˚
a
første ordens korrektionerne.
(0)
Problem: Find nulte ordens korrektion til egentilstande |ni i. Løsning: Nedskriv A P
som ovenfor og find egenvektorer for A. Nulte ordens korrektion er da
(0)
(0)
n
|li i = dj=1
cij |nj i.
12.3.3
Tidsafhængig
H0 → H0 + V (t)
Antag, at |ψ(t0 )i = e−iEk t0 /~ |ki
E
(0)
−E
(0)
Definer ωlk = l ~ k
(0)
(0)
Definer Vlk (t) = P
hEl |V (t)|Ek i
Da er |ψ(t)iI = l cl (t)|li (i Interaction picture), hvor cl f˚
as fra TDP:
12 FRA FYSIK312 (FOR OS ABER)
24
Rt
clk = t0 eiωlk (s−t0 ) Vlk (s)ds
P
I Schr¨odinger picture f˚
as |ψ(t)iS = e−iH0 t/~ |ψ(t)iI = l clk (t)e−iEl t/~ |li
Pk→l,k6=l (t, t0 ) = ~12 |clk |2
NB bemærk ovenfor, at l 6= k.
Husk at være opmærksom p˚
a singulariteter. TDP er kun gyldig for sm˚
a perturbationer og muligvis ogs˚
a kun for kort tid.