Egebjergvej 4, 6818 Årre.pdf

Uendelige rækker
Fourierrækker
og
Fourierintegraler
Ole Witt-Hansen
Køge Gymnasium 2008
1
Uendelige rækker
2
Uendelige rækker
3
Indhold
Indhold .............................................................................................................................................3
1. Talfølger.......................................................................................................................................4
2. Rækker .....................................................................................................................................5
2.1 Uendelige rækker ...................................................................................................................5
2.2 Sumformel for en differensrække ..........................................................................................5
2.2 Sum-formel for en kvotientrække ..............................................................................................6
3. Fourierrækker...............................................................................................................................8
3.3
Fourierrækkens koefficienter .............................................................................................10
4. Fourierintegraler.........................................................................................................................16
Uendelige rækker
4
1. Talfølger
En talfølge er en uendelig følge af tal, adskilt af komma.
a1, a2, a3,….., an …..
For at kunne opskrive en talfølge er det nødvendigt, at have et udtryk for det n’te element an .
Man kunne f.eks. skrive
. an = 2n
eller
bn =
n −1
n
 1
eller cn = 1 + 
 n
n
De første led i de 3 følger vil være:
2, 4, 8,….
0, ½, 2/3, ¾…
2, 9/4, 64/27, …..
En talfølge siges at konvergere, at være konvergent, at have en grænseværdi, hvis det n’te led
nærmer sig til et bestemt tal.
Af de 3 rækker ovenfor er det ret indlysende, at den første ikke har nogen grænseværdi (det n’te led
går imod uendelig). Den anden følge har grænseværdien 1, hvilket let kan ses ved omskrivningen:
bn =
n −1
1
= 1−
.
n
n
1
nærmer sig til 0, (har grænseværdien 0) når n går imod uendelig ( n → ∞ ), ses, at følgen har
n
grænseværdien 1.
Da
At den sidste følge har grænseværdien e, er derimod ikke trivielt, men kan udledes af at ln x, har
differentialkvotienten 1 i 1.
1
1
ln(1 + ) ln(1 + ) − ln(1)
1
n =
n
ln(1 + 1n ) n = n ln(1 + 1n ) =
→ ln' (1) = 1 for → 0 (dvs for n → ∞)
1
1
n
n
n
1 n
Da ln(1 + n ) har grænseværdien 1 for n gående mod uendelig, har størrelsen selv grænseværdien e.
Den formelle definition på at en følge an har grænseværdien a er følgende:
For ethvert positivt (vilkårlig lille) tal ε, findes der et tal n, således at | an – a| < ε
Indfører vi de to matematiske logiske operatorer:
∀ : (kaldet Alkvantor) og læses: ”For ethvert..gælder” eller ”For alle..gælder”
∃ : (Kaldet eksistenskvantor) og læses: ”Der eksisterer et….således at” eller ”Der findes mindst
et….således at”
Uendelige rækker
5
Kan definitionen af grænseværdi skrives mere kompakt.
∀ ε>0 ∃ n: | an – a| < ε
2. Rækker
En række er en sum af tal. Rækker skrives altid ved hjælp af summationstegn
∑
. Betydningen
af summationstegnet illustreres bedst ved et par eksempel:
5
1
∑ n = 1 + 12 + 13 + 14 + 15
n =1
10
∑k
2
− k = 0 + 2 + 6 + 12 + ... + 90
k =1
I eksemplerne ovenfor kaldes n og k for indeks. Summen udregnes (i det første eksempel) ved først
at sætte n = 1 (kaldet nedre grænse) og udregne det som står ”foran” (man siger under)
summationstegnet, sætte et plustegn og sætte n =2…indtil n = 5 (som kaldes øvre grænse). I det
andet eksempel har vi erstattet indeks n med k, men princippet er helt det samme.
I Matematikken har man tradition for at betegne hele tal med bogstaverne: i, j k l m n, så det er i
reglen disse bogstaver, som anvendes som indeks.
2.1 Uendelige rækker
En uendelig række er en række, hvor den øvre grænse er uendelig. På forhånd er det langt fra
indlysende om man kan tillægge en uendelig række en entydig bestemt sum. At det faktisk er
tilfældet, vises med nogle eksempler i det følgende.
∞
En uendelig række skrives
∑a
k
= a1 + a 2 + a3 + ... + a n + ...
k =1
n
Vi betegner med Sn summen af de n første led i rækken. S n = ∑ ak
k =1
Hvis talfølgen S1, S2, S3, ..., Sn,…. har en grænseværdi for n → ∞ siges rækken at være konvergent
med en sum, der er lig med grænseværdien. Hvis talfølgen ikke har en grænseværdi, siges rækken at
være divergent.
2.2 Sumformel for en differensrække
En differensrække er en række, hvor differensen mellem ethvert led og det foregående er konstant.
Eksempler på differensrækker er:
1 + 2 +3 + 4 + …+ 100 (differens = 1)
1 + 3 + 5 + 7 + …+99 (differens = 2)
Uendelige rækker
6
Opgaven er at bestemme en formel til udregning af summen af en differensrække. Helt generelt kan
en differensrække med n-led og differensen d skrives:
Sn = a1 + a2 +…an = a0 + (a0 +d)+ (a0 +2d)+ (a0 +(n-1)d)
Skrives leddene i den omvendte rækkefølge får man:
Sn = an + an - d+…an -2d + …. a1
Man bemærker at: a1 +an = a2 +an-1 = a3 +an-2
Hvis man lægger de to udtryk for Sn sammen finder man:
Sn = a1 + a1 + a2 +… + an
Sn = an + an-1 + an-2 +…+ a1
_________________________
2Sn = (a1 + an ) +( a2 + an-1) +( a3 + an-2) +…( an + a1 ) Ialt n-led, som ifølge
ovenstående er lig med hinanden. Her af følger at: 2Sn =n (a1 + an ) eller som man plejer at skrive
formlen for en differensrække:
n
S n = (a1 + a n )
2
(2.1)
a1 er det første led i rækken. an er det sidste led i rækken og antallet af led er lig med n.
Formlen kan f.eks. anvendes til at beregne summe af tallene fra 1 til 1000
S100 =
1000
(1 + 1000) = 500500
2
Uendelige differensrækker med differens forskellig fra 0 er altid divergente.
2.2 Sum-formel for en kvotientrække.
En kvotienrække er en række, hvor kvotienten (forholdet) mellem ethvert led og det foregående er
konstant.
Vi opskriver nu en kvotientrække, hvor det første led kaldes a og kvotienten kaldes for k. Summen
af de n første led betegnes sn.
2
n-1
Sn = a + ak + ak + ak3 + ... + akn-2 + ak
For at udlede en sum-formel, multiplicerer vi rækken med k , og subtraherer Sn fra kSn.
2
n-1
kSn = ak + ak + ak3 + ... + ak
2
n
+ ak
n-1
n
2
n-2
kSn - Sn = ak + ak + ak3 + ... + ak + ak - ( a + ak + ak + ak3 + ... + ak
+ akn-1)
Uendelige rækker
7
Ved subtraktionen vil alle leddene ak, ak2 ak3.....akn-1 ud mod hinanden, og vi finder:
kSn - Sn = akn – a
⇔
Sn(k-1) = a(kn-1)
formlen for Sn bliver således:
(2.2)
Sn = a
k n −1
k −1
eller
Sn = a
1− k n
1− k
Bemærk, at n betegner antallet af led i rækken.
Udtrykket gælder for k ≠ 1 . For k =1, er Sn =na (naturligvis)
En uendelig kvotientrække er konvergent for |k|<1 og ellers divergent. Dette følger af, at
k n → 0 for
n → ∞ , når |k|<1
( a x → 0 for
x → ∞ når 0 < a < 1 )
Anvendes dette på ovenstående, finder man formlen for en uendelig kvotientrække.
lim S n
n →∞
= lim a
n →∞
1 − lim k
1− kn
n →∞
= a
1− k
1− k
n
= a
1
1− k
Sum-formel for uendelig kvotientrække, hvor første led er a og kvotienten -1< k <1.
(2.3)
S =a
1
1− k
Eksempler:
Succesive halveringer af et liniestykke med længden 1.
Længden vil være
∞
1 1 1
1 1
1
1 1 1
+ + + ... = + 2 + 3 + ... = ∑ n =
=1
2 4 8
2 2
2
2 1 − 12
n =1 2
Uendelige decimalbrøker:
0,3333333…=
∞
3
3
3
1
3
1
1
+
+
+ ..... = ∑ 3 k = ⋅
=
1
10 100 1000
10 1 − 10 3
k =1 10
Det understreges, at den matematiske teori for addition af uendelig mange tal er fuldstændig
stringent (modsigelsesfri) og leverer en fuldstændig løsning på mange såkaldte paradokser, som er
fremkommet især i det antikke Grækenland.
Fourierrækker
8
3. Fourierrækker
Fourier opdagede ved sin analyse af periodiske funktioner, at ”enhver” periodisk funktion med
perioden 2π kan skrives som en (uendelig) række af harmoniske funktioner. (Harmonisk betyder, at
det er sinus eller cosinus funktioner).
De eksakte kriterier for at fourierrækken for en vilkårlig funktion f(x) konvergerer i ethvert punkt er
ret kompliceret, men generelt kan man sige, at fourierrækken for (næsten) enhver funktion med
begrænset variation konvergerer. Begrænset variation betyder at forskellen mellem
funktionsværdierne er begrænset af et tal.
Det er lettest, at introducere fourierrækker for funktioner, der er periodisk med perioden 2π, som det
er tilfældet med cosinus og sinus. Har man imidlertid en funktion med perioden T, så kan man
udvikle den på funktionerne: cos( 2Tπ x) og sin( 2Tπ x) , 0 ≤ x ≤ T , som ses at være cos- og sinfunktioner med perioden T.
Uden anvendelse af komplekse tal, skrives Fourierrækken for en funktion f(x) i almindelighed:
f ( x) =
a0
+ a1 cos x + b1 sin x + a 2 cos 2 x + b2 sin 2 x +
2
a3 cos 3 x + b3 sin 3 x
+ .........
Eller opskrevet med summationstegn
f ( x) =
(3.1)
a0 ∞
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx)
2 n=1
Idet vi antager, at en sådan fourierrække eksisterer, stiller vi os den opgave at bestemme
koefficienterne an og bn .
For at gøre dette, skal man imidlertid kende nogle ortogonalitetsbetingelser for sin og cos.
For det første sin x og cos x er periodiske med perioden 2π.
cos 2x og sin 2x, er periodiske med perioden 2π/2 = π.
cos 3x og sin 3x, er periodiske med perioden 2π/3, og sådan fremdeles.
cos nx og sin nx, er periodiske med perioden 2π/n , hvor n er et helt positivt tal.
Alle funktionerne er derfor også periodiske med perioden 2π.
Der gælder:
2π
(3.2)
2π
(3.3)
2π
1
1

∫0 cos nxdx =  n sin nx 0 = n (sin n2π − sin n0) = 0
2π
1
1
 1

∫0 sin nxdx = − n cos nx 0 = − n (cos n2π − cos n0) = − n (1 − 1) = 0
Fourierrækker
9
Integralerne af sin nx og cos nx over en periode er begge nul.
Dernæst skal vi se på integralerne:
2π
∫ cos nx sin mxdx = 0
for alle n og m ,
0
2π
∫ cos nx cos mxdx = 0
0
,
∫ sin nx sin mxdx = 0
for n ≠ m
0
2π
∫ sin
2π
2π
2
nxdx = π
og
0
∫ cos
2
nxdx = π
0
Vi ser først på de sidste to integraler. Da grafen for sin og cos er den samme, blot parallelforskudt
½π, må de to integraler være ens. Der gælder derfor:
2π
2π
2π
2π
1
1
2
2
∫0 sin nxdx = ∫0 cos nxdx = 2 ∫0 (cos nx + sin nx)dx = 2 ∫0 dx = π
2
2
For at vise rigtigheden af de 3 første integraler, er det nødvendigt, at kende de logaritmiske formler
for addition af to harmoniske funktioner. Disse formler udledes af additionsformlerne:
3.1 Additionsformlerne.
Additionsformlerne er fællesnavnet for nogle formler til beregning af cos(u-v), sin(u-v), cos(u+v) og sin(u+v).
Lad eu = (cos u, sin u) og ev = (cos v, sin v) være to enhedsvektorer, svarende til retningsvinklerne u og v. Vinklen
imellem dem er (på nær fortegn og et multiplum af 3600 som lader cosinus uforandret) er u-v. Tager vi skalarproduktet
af de to enhedsvektorer, får vi ifølge definitionen:
eu ·ev = |eu |·|ev| cos(u-v) = 1·1· cos(u-v) = cos(u-v)
Udregner vi derimod skalarproduktet i koordinater får man
eu ·ev = cos u ·cos v + sin u ·sin v
Heraf fås den første af additionsformlerne
cos(u-v) = cos u ·cos v + sin u ·sin v
Erstatter vi v med –v finder man
cos(u+v) = cos u ·cos(-v) + sin u ·sin(-v) = cos u ·cos v - sin u ·sin v
cos(u+v) = cos u ·cos v - sin u ·sin v
Erstatter vi u med 90-u, finder man
cos(90-(u-v)) = cos(90 – u) ·cos v – sin(90 – u) ·sin v
som giver
Fourierrækker
10
sin(u-v) = sin u ·cos v – cos u ·sin v
Og endelig, hvis man erstatter v med –v, får man
sin(u+v) = sin u ·cos v + cos u ·sin v
Alle additionsformlerne kan herefter skrives
cos(u-v) = cos u ·cos v + sin u ·sin v
cos(u+v) = cos u ·cos v - sin u ·sin v
sin(u+v) = sin u ·cos v + cos u ·sin v
sin(u-v) = sin u ·cos v – cos u ·sin v
3.2 De logaritmiske formler for addition af sinus og cosinus.
Ved at addere de to første additionsformler, får man
cos(u-v) + cos(u+v) = cos u ·cos v + sin u ·sin v + cos u ·cos v - sin u ·sin v = 2cos u ·cos v. og hermed:
cos u ·cos v = ½( cos(u-v) + cos(u+v))
Ved subtraktion af de to samme formler får man
sin u ·sin v =½( cos(u-v) - cos(u-v))
Ved addition og subtraktion af de to sidste additionsformler får man tilsvarende
sin u ·cos v =½( sin(u+v) + sin(u-v))
cos u ·sin v =½( sin(u+v) - sin(u-v))
Indfører vi nu x = u-v og y = u+v og løser med hensyn til u og v, får man u =½(x + y) og v = ½ (x - y)
Indættes dette ovenfor får man den første af de logaritmiske formler
cos x +cos y =2 cos
x+ y
x− y
cos
2
2
Formlerne kaldes for logaritmiske fordi man erstatter en addition med en multiplikation. På helt tilsvarende vis, får man
de øvrige logaritmiske formler.
x+ y
x− y
sin
2
2
x+ y
x− y
sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2
x+ y
x− y
sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
cos x − cos y = −2 sin
3.3 Fourierrækkens koefficienter
Vi vil nu formelt bevise at de tre integraler med et produkt af sin nx og cos mx, alle giver nul.
Fourierrækker
11
Vi nøjes med et eksempel: De øvrige følger helt på samme måde.
2π
(3.4)
∫ cos nx sin mxdx =
2π
1
2
0
∫ (sin(n + m) x − sin(n − m) x)dx = 0 + 0 = 0
0
Vi har her anvendt den 4. af de logaritmiske formler ovenfor. Ifølge det foregående er integralet af
sin nx og cos nx over et periodeinterval lig med 0, hvoraf følger at integralet ovenfor er 0. Dette kan
også vise for de øvrige integraler ved anvendelse af en af de andre logaritmiske formler.
Vi vender nu tilbage til Fourierrækken for f(x).
f ( x) =
a0 ∞
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx)
2 n=1
For at bestemme an vil vi udregne integralet
2π
∫ f ( x) cos nxdx
0
Når vi indsætter udtrykket for fourierrækken for f(x) og hvis vi antager, at vi kan integrere ledvis
også for uendelig mange led, så kommer vi til at udregne følgende 4 typer af led:
2π
am ∫ cos mx ⋅ cos nxdx = 0
for n ≠ m
0
2π
bm ∫ sin mx ⋅ cos nxdx = 0
0
2π
2π
0
0
an ∫ cos nx ⋅ cos nxdx = an ∫ cos 2 nxdx = anπ
2π
1
2
a0 ∫ cos nxdx = 0 for n > 0
0
for n = m
2π
og
1
2
a0 ∫1dx = 2π
for n = 0
0
Af dette fremgår, at an kan beregnes ved følgende formel
2π
∫ f ( x) cos nxdx = πa
n
0
På helt tilsvarende måde finder man:
⇔
an =
1
π
2π
∫ f ( x) cos nxdx
0
n = 0,1,2,.....
Fourierrækker
2π
∫
f ( x) sin nxdx = πbn
⇔
bn =
0
1
π
12
2π
∫ f ( x) sin nxdx
0
Hermed har vi afsluttet vores analyse af Fourierrækker. Enhver periodisk funktion med begrænset
Variation og perioden 2π, kan udvikles på en række
f ( x) =
(3.5)
a0 ∞
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx)
2 n=1
Hvor
(3.6)
an =
1
2π
∫
π
f ( x) cos nxdx
bn =
og
0
1
π
2π
∫ f ( x) sin nxdx
, n = 0,1,2,....
0
Hvis en funktion er periodisk med perioden T, (eller blot en funktion defineret på et interval T), så
er det som beskrevet ovenfor let at vise, at f(x) kan skrives:
f ( x) =
(3.7)
a0 ∞
2πn
2πn
+ ∑ (an cos
x + bn sin
x)
2 n =1
T
T
hvor
T
(3.8)
T
2
2πn
an = ∫ f ( x) cos
xdx
T0
T
og
2
2πn
bn = ∫ f ( x) sin
xdx , n = 0,1,2,....
T0
T
Integrationen over periodeintervallet [0,2π] kan naturligvis erstattes af et vilkårlig periode interval.
Ofte vælges intervallet [-π, π].
cos x er en lige funktion, idet cos( –x) = cos x, og sin x er en ulige funktion, idet sin( –x) = - sin x.
Integralet over intervallet [-π, π] af en ulige funktion er nødvendigvis nul. Da produktet af en lige
og en ulige funktion er en ulige funktion, følger det umiddelbart,
at hvis f(x) er ulige, så bliver alle an = 0, og hvis f(x) er lige, så bliver alle bn = 0.
Som et eksempel, ser vi på funktionen:
1 , −π < x < 0
f ( x) = 
− 1 , 0 < x < π
Denne funktion er ulige, så alle an er nul.
bn =
1
π
π
2
π
∫ f ( x) sin nxdx = π ∫
−π
Så fourierrækken bliver
0
π
π
2 1
4

f ( x) sin nxdx = ∫ sin nxdx = − cos nx  =
π0
π n
 0 nπ
2
Fourierrækker
f ( x) =
13
4
sin 3 x sin 5 x

+
+ .... 
 sin x +
π
3
5

Indsættes f.eks. x = ½π finder man, idet f(½π) = 1.
1=
4 1 1

1 − + + .... 
π 3 5

⇔
 1 1

= 1 − + + .... 
4  3 5

π
Denne uendelige række til beregning af pi, betegnes Gregory’s række.
Nedenfor er vist fouriertransformationen, svarende til et til fire led.
Harmonisk analyse udføres mere ubesværet ved at anvende den komplekse eksponentialfunktion
defineret ved:
i er den kompleks enhed , hvor i2 = -1.
eix = cos x + i sin x
At det bliver lettere, kan indses, når man f.eks. skal vise at eksponentialfunktionens
funktionalligning (definition af en eksponentialfunktion): eix eiy = eix + iy
eix eiy = (cos x + i sin x)(cos y + i sin y ) = cos x cos y − sin x sin y + i (cos x sin y + sin x cos y ) =
cos( x + y ) + i sin( x + y ) = ei ( x + y ) = eix + iy
Ved udledningen har vi anvendt additionsformlerne som er beskrevet tidligere.
cos x og sin x, kan udtrykkes ved den komplekse eksponentialfunktion ved formlerne:
(3.8)
cos x = 12 (e ix + e − ix )
og
sin x =
1
2i
(e ix − e − ix )
Fourierrækker
14
Og hermed:
cos nx = 12 (e inx + e − inx )
og
sin nx =
1
2i
(e inx − e − inx )
Indsættes disse udtryk i fourierrækken for f finder man f(x) udviklet på funktionerne einx og e-inx.
f ( x) =
∞
a0 ∞
a
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx) = f ( x) = 0 + 12 ∑ (a n (e inx + e −inx ) − ibn (e inx − e −inx ))
2 n=1
2
n =1
f ( x) =
∞
a0 1 ∞
a
+ 2 ∑ (a n (e inx + e −inx ) − ibn (e inx − e −inx )) = 0 + 12 ∑ ((a n − ibn )e inx + (a n + ibn )e −inx )
2
2
n =1
n =1
Man kan tage a0 ind i summen, ved at summere fra n = 0.
∞
f ( x) =
1
2
∑ ((a
n
− ibn )e inx + (a n + ibn )e −inx )
n =0
Endelig kan man droppe den sidste ekspenentialfunktion, og i stedet summere fra minus uendelig til
uendelig. Endelig omdøber man koefficienterne til cn
Fourierrækken for en funktion med perioden 2π , og mere generelt med perioden T kan herefter
beskrives som:
∞
f ( x) =
(3.9)
∞
∑ cn e inx
f ( x) =
n = −∞
∑c e
i 2 πT ⋅n x
n
n = −∞
Det er let at verificere ortogonalitetsbetingelerne (3.10) for e
T
∫e
i 2 πT ⋅n x −i 2 πT⋅m x
e
dx =
0
T
For n = m er
i 2 πT ⋅n x
T
2π ( n − m )
2π ( n −m )
2π ( n − m )
T
T
T
e i T x  =
 e i T T − e i T 0  =
(1 − 1) = 0 for n ≠ m


 0 2π (n − m) 
 2π (n − m)
2π (n − m) 
∫e
i 2Tπn x − i 2Tπn x
e
T
dx = ∫1dx = T
0
0
De to formler kan sammenfattes i
T
(3.11)
∫e
i 2Tπn x − i 2Tπm x
e
dx = Tδ mn
0
 0 for n ≠ m
hvor δmn er Kronecker symbolet defineret ved δ nm = 
1 for n = m
Heraf følger at koefficienterne cn kan beregnes, som:
Fourierrækker
15
T
cn =
(3.12)
1
−i 2 πm x
f ( x)e T dx
∫
T0
Man kan definere det indre produkt af to komplekse funktioner, som:
T
1
f ( x) g ( x) ∗ dx
T ∫0
f ⋅g =
(3.13)
hvor c ∗ er kompleks konjugerede tal til c. c = a + ib c ∗ = a − ib | c | 2 = c ⋅ c∗ = a 2 + b 2
T
| f |2 =
(3.14)
T
1
1
f ( x) f ( x) ∗ dx = ∫ | f ( x) |2 dx
∫
T0
T0
|f| betegnes som middelværdien af f over et periodeinterval.
T
1
| f ( x) |2 dx
∫
T0
| f |=
(3.15)
∞
Indsætter man de komplekse fourierrækker for f ( x) =
∑ an e
i 2Tπn x
∞
og g ( x) =
n = −∞
∑b e
i 2Tπn x
n
finder man
n = −∞
for det indre produkt:
∗
T
∗
T
∞
∞
1  ∞
1  ∞
i 2 π ⋅n x 
i 2 π ⋅m x 
i 2 π ⋅n x 
i 2 π ⋅m x 
f ⋅ g = ∫  ∑ a n e T  ∑ bm e T  dx = ∫  ∑ a n e T  ∑ bm e T  dx
T 0  n=−∞
T 0  n= −∞

 m=−∞

 m= −∞
∞
f ⋅g =
∞
∑ ∑
n = −∞ m = −∞
1
T
T
∫ (a e
i 2Tπn x
n
∗ −i 2Tπm x
bm e
)dx = ∑
∞
∞
∑ anbm
T
∗
n = −∞ m = −∞
0
1 i 2π (Tn − m ) x
e
dx
T ∫0
På grund af ortogonalitetsbetingelserne (3.10) finder man derefter:
∞
f ⋅g =
∑
∞
∑ anbm
n = −∞ m = −∞
T
∗
∞
1 i 2π (Tn − m ) x
e
dx
=
∑
T ∫0
n = −∞
∞
∑ an bm δ mn =
m = −∞
∗
∞
∑a b
∗
n n
n = −∞
Og følgelig:
∞
| f |2 =
∑a a
n
n = −∞
∗
n
∞
=
∑| a
n
|2
n = −∞
Kvadratet på middelværdien af f er lig med summen af kvadraterne på fourierkoefficienterne. Dette
kaldes for Parsevals sætning.
Fourierintegraler
16
4. Fourierintegraler
Vi tager udgangspunkt i den komplekse fourierrække med perioden T:
∞
f ( x) =
∑ an e
T
i 2Tπn x
an =
hvor
n = −∞
1
− i 2 πm x
f ( x)e T dx
∫
T0
Vi vil se på grænsen, hvor T → ∞ Summen kan omformes til et integral ved følgende
substitutioner:
∞
2πn
=y
T
Tan = g ( y )
og
f ( x) =
Skriver vi
∑ an e
i 2Tπn x
∞
∑F
=
n = −∞
n
n = −∞
Idet n forøges i skridt af 1, vil der gælde:
∞
f ( x) =
∑ Fn =
n = −∞
(4.1)
f ( x) =
1
2π
∞
∫ Fndn =
−∞
T
2π
∞
∫ F ( y)dy =
−∞
T
2π
∞
∞
1
T
ixy
∫−∞ T g ( y)e dy = 2π
∞
1
∫ T g ( y )e
ixy
dy
−∞
∞
ixy
∫ g ( y)e dy
g ( y) =
−∞
∫ f ( x )e
− ixy
dx
−∞
f(x) og g(y) kaldes hinandens fouriertransformerede.
På tilsvarende måde, som vi viste Parsevals teorem, kan man vise, at der gælder:
(4.2)
1
2π
∞
∞
∫ | f ( x) |
2
−∞
dx = ∫ | g ( y ) | 2 dy
−∞
Fouriertransformation anvendes ofte, når man skal foretage en ”harmonisk analyse” af et signal. I
denne sammenhæng er variablen x tiden, som vi derfor betegner med t. Variablen y, betegnes da
med ω. Transformationsformlerne bliver herefter:
(4.3)
f (t ) =
1
2π
∞
i ωt
∫ g (ω )e dω
−∞
∞
g (ω ) =
∫ f (t )e
− i ωt
dt
−∞
Når man laver en fouriertransformation af en tone, vil den fouriertransformerede af f(t) , som er g(ω)
angive frekvenserne og styrken af grundtonen og overtonerne.