Vinduesvask m/ vandbehandlingsanlæg - rationel

Transcription

Fysikbogen
Flemming Pedersen
24. februar 2015
Indhold
I
Introduktion
5
1 Videnskabsteori
6
1.1 Teorier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Dannelse af teorier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Eksperiment. Massefylde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II
Mekanik
2 Begreber
2.1 Tid . . . . . . . .
2.2 Masse . . . . . .
2.3 Længde . . . . .
2.4 Tilvækst . . . . .
2.5 Fart og hastighed
2.6 Acceleration . . .
2.7 Kraft . . . . . . .
2.8 Arbejde . . . . .
16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
18
18
19
20
20
21
22
3 Bevægelse
23
3.1 Sammenhæng mellem strækning, fart og tid . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Eksperiment. Konstant hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Mekanisk energi
4.1 Potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Mekanisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
28
29
III
33
Elektricitet
5 Begreber
34
5.1 Elektrisk ladning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1
INDHOLD
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
IV
Strømstyrke . . . .
Spænding . . . . .
Elektrisk kredsløb .
Ohms lov . . . . .
Eksperiment. Ohms
Opgaver . . . . . .
2
. .
. .
. .
. .
lov
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Bølger
34
35
35
36
37
40
42
6 Begreber
43
6.1 Bølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Bølgetyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Harmonisk bølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Lyd
7.1
7.2
7.3
7.4
8 Lys
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
V
Lydbølger . . . . . . . . . . . . .
Hørelsen . . . . . . . . . . . . . .
Indførelse af stående bølger . . .
Eksperiment. Lydens hastighed og
Elektromagnetisk stråling . .
Lysets hastighed . . . . . . .
Lysets natur . . . . . . . . . .
Gitterformlen . . . . . . . . .
Eksperiment. Gitterformlen .
Brydning . . . . . . . . . . . .
Eksperiment. Brydningsloven
Øjet . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
bølgelængde
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
49
50
53
55
.
.
.
.
.
.
.
.
57
57
59
59
60
66
67
74
75
Termodynamik
9 Varme
9.1 Grundlæggende begreber . . . . . . . . . . .
9.2 Opvarmning af stof . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Opvarmning af et stof, som ikke ændrer fase
9.4 Faseovergang . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Kalorimetret . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Eksperiment. Smeltevarme for is . . . . . . .
9.7 Eksperiment. Bestemmelse af varmekapacitet
76
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
77
78
81
81
84
85
87
INDHOLD
VI
VII
3
Atomfysik
90
Atom- og kernefysik
91
10 Grundlæggende begreber
10.1 Niels Bohrs Atommodel . . . . . . . . .
10.2 Atomets størrelse . . . . . . . . . . . . .
10.3 Atomets masse . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Elementarpartiklernes ladning . . . . . .
10.5 Oversigt. Elementarpartiklens egenskaber
11 Radioaktive henfald
11.1 Radioaktivitet . . . . . . . .
11.2 Stabile og ustabile kerner . .
11.3 Kerneprocesser . . . . . . .
11.4 Henfaldsloven . . . . . . . .
11.5 Energibetragtninger . . . . .
11.6 Eksperiment. Henfaldsloven
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
92
92
93
94
94
95
.
.
.
.
.
.
96
96
96
97
100
105
108
12 Energi
111
12.1 Energiformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
VIII
Verdensbilledet
13 Afstande i rummet
13.1 Astrometri . . . . . .
13.2 Enheder for afstand .
13.3 Universets udvidelse
13.4 Universets alder . . .
IX
114
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Appendices
14 Bekendtgørelse fysik C, juni 2013
14.1 Identitet og formål . . . . . . . .
14.2 Faglige mål og fagligt indhold . .
14.3 Undervisningens tilrettelæggelse .
14.4 Evaluering . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
115
115
119
121
121
122
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
123
. 123
. 124
. 125
. 127
15 Fysikrapport
129
15.1 IMRAD-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.2 Fysikrapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
INDHOLD
4
16 Den retvinklede trekant
133
16.1 Cosinus, sinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
17 Eksponentielle udviklinger
17.1 Egenskaber . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Bestemmelse af regneforskrift . . . .
17.3 Tolkning af koefficienterne . . . . . .
17.4 Opgaver i eksponentielle udviklinger .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
139
. 139
. 141
. 143
. 144
18 Afleveringsopgave
19 SI-enheder og konstanter
19.1 SI-enheder for fysiske størrelser . .
19.2 Fysiske konstanter . . . . . . . . .
19.3 Dekadiske præfikser . . . . . . . . .
19.4 Appendiks. Videnskabelig notation
146
.
.
.
.
20 Oversigt
20.1 Ohms lov . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Generel formel for effekt . . . . . . .
20.3 Elektrisk effekt . . . . . . . . . . . .
20.4 Joules lov . . . . . . . . . . . . . . .
20.5 Forskellige enheder for energi . . . .
20.6 Massefylde . . . . . . . . . . . . . . .
20.7 Forskellige enheder for hastighed . . .
20.8 Bevægelse med konstant acceleration
20.9 Tyngdekraft . . . . . . . . . . . . . .
20.10Bølgehastighed . . . . . . . . . . . .
20.11Frekvens og periodetid . . . . . . . .
20.12Bølgeformlen . . . . . . . . . . . . .
20.13Lydstyrke . . . . . . . . . . . . . . .
20.14Gitterformlen . . . . . . . . . . . . .
20.15Brydningsloven . . . . . . . . . . . .
20.16Kelvin skalaen . . . . . . . . . . . . .
20.17Elementarpartikler . . . . . . . . . .
20.18Varmekapacitet . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
149
149
150
150
150
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
152
. 152
. 152
. 152
. 153
. 153
. 153
. 153
. 153
. 154
. 154
. 154
. 154
. 154
. 155
. 155
. 155
. 155
. 156
Del I
Introduktion
5
Kapitel 1
Videnskabsteori
I fysikken1 søger vi viden om naturen. Vi ønsker at forstå sammenhænge og fænomener og forsøger at fremstille disse så enkelt som muligt med henblik på formidling
til andre. I det følgende ser vi, hvordan videnskabsmænd arbejder og strukturerer
deres viden; desuden skal vi selv efterprøve naturvidenskabelige metoder.
1.1
Teorier
Naturvidenskabsmænd danner teorier2 , som skal søge at forklare enten simple eller
komplicerede sammenhænge i naturen. Først stiller vi en række kriterier op, som er
nødvendige for at man kan tale om en teori.
1.1.1
Definition. Teori
En teori er en ordnet og sammenhængende mængde af almene påstande om sammenhænge, som opfylder:
1. Teorien udtaler sig om årsager og sammenhænge inden for en del af tilværelsen.
2. I en teori kan der være hovedudsagn og underordnede udsagn.
3. Teorien handler ikke om enkelttilfælde; men om generelle tilfælde.
4. Teorien forklarer årsager og sammenhænge, som man ikke umiddelbart kan se.
Undertiden kan der være flere relevante teorier, som udtaler sig om de(t) samme
fænomen(er). Her kan man diskutere og sammenligne de enkelte teoriers forklaringsevne.
1
2
Ordet "fysik"kommer fra det græske ord "fysis", som betyder natur
Ordet ”teori” stammer fra græsk og betyder betragtning overvejelse
6
KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI
1.1.2
7
Eksempel. Ohms lov
Fysiske teorier eller love kan under tiden udtrykkes på flere måder. F.eks. kan Ohms
lov udtrykkes sprogligt, grafisk eller via en formel. Vi foretrækker at udtrykke teorier vha. formler, fordi de kan overskues på et øjeblik og samtidig præcist viser
sammenhængen. Her angives Ohms lov på tre forskellige måder
1. Sprogligt: Spændingsforskellen over en en modstand findes ved at gange strømstyrken gennem modstanden med modstandens størrelse.
2. Grafisk:
Figur 1.1: Ohms lov
3. Vha. formel: U = R · I
Vi lægger mærke til, at Ohms lov udtaler sig om en sammenhæng i den del af verden,
som har med elektricitet at gøre, at loven kun indeholder et hovedudsagn (man
kunne dog med fordel tilføje nogle underudsagn, som nærmere definerer spænding,
strømstyrke og modstand), at loven ikke kun udtaler sig om enkelttilfælde og at den
forklarer en sammenhæng, som man ikke umiddelbart kan se. Ohms lov opfylder
altså alle kriterierne i definition 1.1.1 side 6 og er derfor en teori.
1.1.3
Øvelse
Diskutér i eksempel 1.1.2 fordele og ulemper ved de tre repræsentationer af Ohms
lov.
1.1.4
8
Øvelse
Afgør i hvert af eksemplerne herunder, om udsagnet udgør en teori. Kan du i bekræftende fald udtrykke teorien på andre måder?
1. Ved bevægelse med konstant hastighed findes stedet ved at gange hastigheden
med tiden.
2. Arealet af en fodboldbane er 8400m2
3. Ved et frit fald i tyngdefeltet gælder der: s =
g er tyngdeaccelerationen og t er tiden.
1.2
1
2
· g · t2 , hvor s er faldlængden,
Dannelse af teorier
Der findes metoder til dannelse af teorier. I begge tilfælde dannes teorierne på grundlag af observationer, som igen kan indsamles på to måder.
1.2.1
Definition. Empiri
Al videnskab (ikke kun naturvidenskab) bygger på empiri , dvs. erfaring f.eks i form
af iagttagelser, eksperimenter, data, talmateriale, udsagn, interviews, kilder, arkæologiske fund, love eller romaner.
Hvis der ikke bygges på empiri, er der i stedet for videnskab tale om spekulation og
gætterier.
De empiriske metoder deles i to hovedkategorier:
1.2.2
Definition. Kvantitativ metode
I den kvantitative metode gøres undersøgelserne målbare og beskrives via tal. Man
indsamler data, som bagefter kan analyseres vha. matematiske metoder.
I den kvantitative metode er det muligt at skabe et bredt grundlag for generalisering.
Til gengæld er der fare for en overfladisk behandling af data.
1.2.3
Definition. Kvalitativ metode
Den kvalitative metode bruges især, når man ønsker at undersøge noget, som er
vanskeligt at observere eller måle i tal.
1.2.4
9
Eksempel
Man kan søge at klarlægge danskernes forhold til folkekirken via en række interviews eller deltagelse i et antal kirkelige handlinger. Man kan dog ikke inden for en
fornuftig tidsramme interviewe f.eks. 1000 mennesker eller deltage i 1000 kirkelige
handlinger fordelt over hele landet.
Den kvalitative metode anvender som regel kun en udvalgt mængde empiri, dvs.
der er et snævert grundlag for generalisering. Til gengæld forsøger man at gå i dybden med behandling af data.
Metode, empiri og teori påvirker, som vist på figur 1.2, hinanden. Ny metode kan
give ændringer i empirien, som giver anledning til justeringer i teorien, som igen kan
resultere i ændret metodevalg og ny empiri.
Teori
Empiri
Metode
Figur 1.2: Forhold mellem metode, empiri og teori
Herunder præsenteres to måder at danne teorier ud fra empiri:
1.2.5
Definition. Den induktive metode
I den induktive metode 3 undersøger man et ukendt fænomen og har således ikke
nogen anelse om resultatet af undersøgelserne på forhånd:
1. Man skaffer sig via empiri en mængde data.
2. Man forsøger at registrere et mønster i dataene
3. I bekræftende fald konkluderes, at mønstret gælder generelt.
4. En teori formuleres.
3
Ordet ”Induktion” stammer fra latin og betyder indføring. Ordet bruges om en slutning, som
går fra det specielle til det generelle.
1.2.6
10
Eksempel. Et legemes frie fald.
Vi vil undersøge, hvad der sker, når et legeme slippes i en given højde over jordens
overflade og har ikke på forhånd nogen idé om, hvad der vil ske.
1. Vi udfører empiriske undersøgelser. F.eks. slippes hhv. en bold, en bog, en
støvle og et anker hver 100 gange fra 3 forskellige højder over jordens overflade.
2. Vi ser, at hver genstand i alle tilfældende falder til jorden.
3. Vi tror på, at denne tendens også gælder generelt, dvs. for alle genstande i alle
højder over jordens overflade.
4. Vi formulerer, at alle genstande uanset materiale og højde over jordens overflade falder til jorden og har således dannet en ny teori
1.2.7
Øvelse
Læg mærke til, at vi i den induktive metode ud fra vore specialtilfælde gjorde os antagelser om det generelle tilfælde. I denne antagelse kan man komme til at begå fejl.
Derfor søger man at udfordre de dannede teorier for at finde deres begrænsninger.
1. Hvordan ville du udfordre den teori, der blev dannet i Eksempel 1.2.6?
2. Kan du se nogle begrænsninger ved teorien?
1.2.8
Den deduktive metode
I den deduktive metode 4 har man på forhånd en idé om, hvordan eventuelle undersøgelser vil falde ud. Denne idé formuleres i en såkaldt hypotese 5 .
1. En hypotese opstilles.
2. Man foretager empiriske undersøgelser.
3. Ud fra de empiriske undersøgelser af- eller bekræftes hypotesen
4. I fald hypotesen afkræftes forkastes den og i fald hypotesen bekræftes ophøjes
den til en teori.
4
Ordet ”deduktion” stammer fra latin og betyder afledning. Ordet bruges om en bevisførelse,
som går fra det generelle til det specielle
5
Ordet ”hypotese stammer fra græsk og betyder grundlag. Ordet bruges om en videnskabelig
regel, som ikke er bevist, men som foreløbigt antages som arbejdsgrundlag
1.2.9
11
Eksempel. Svaners farve.
Vi vil undersøge, hvilke farver svaner har og har på forhånd en idé om, at svaner er
hvide:
1. Vi opstiller hypotesen: Alle svaner er hvide.
2. Vi foretager empiriske undersøgelser, idet vi observerer farven på 100 svaner.
3. Vores empiriske undersøgelser bekræftede hypotesen, idet alle de observerede
svaner var hvide.
4. Vores hypotese ophøjes til teori og vi formulerer: Alle svaner er hvide.
Læg mærke til, at selv om teorien faktisk er forkert (I danmark blev der i årene
2006-2010 registreret mellem 150 og 200 observationer af sorte svaner årligt), så var
dannelsen af ovenstående teori et eksempel på god naturvidenskab. Lige som det
var tilfældet ved den induktive metode er teorien ikke nødvendigvis sand; i nogle
tilfælde er den i stedet et stadium på vejen mod højere erkendelse!
1.2.10
12
Oversigt over fakulternes fokus og metoder
Vi har i dette kapitel gennemgået videnskabelige metoder. Man deler videnskab op i
fakulteter alt efter deres fokus og metoder. Vi skal ikke gå i detaljer med dette men
blot angive en oversigt over denne inddeling.
Naturvid.
Samfundsvid.
Humanora
Fokus
Naturen
Måles
Vejes
Samfundet
Samspil
mellem
grupper
Mennesket Kulturen
Samspil
mellem
Individer
Materiale
Eksperimenter
Statitikker
Spørgeskemaer
Interviews
Tekster
Billeder
Værktøjer
Induktion
Deduktion
Analyse
Fortolkning
Hermaneutisk spiral
Tabel 1.1: Fakulteternes fokus, materialer og værktøjer
Læg mærke til, at ingen værktøjer er angivet under samfundsvidenskab.
Grunden hertil er, at samfundsvidenskaben anvender de til situationen mest hensigtsmæssige metoder fra henholdsvis naturvidenskaben og humaniora.
Vi skal naturligvis koncentrere os om den naturvidenskabelige metode og vil slutte
kapitlet om videnskabsteori med at afprøve den induktive og den deduktive metode.
1.3
13
Eksperiment. Massefylde
vi ønsker finde sammenhængen mellem et stofs masse, dets rumfang og dets massefylde.
Øvelsen deles op i en induktiv og en deduktiv del:
1.3.1
Induktiv del. Faste stoffer
Formål Vi ønsker at undersøge om der er en sammenhæng mellem et fast stofs
masse m målt i gram og dets rumfang V målt i cm3 .
Metode Vi ved ikke på forhånd, hvilken sammenhæng der er mellem masse og
rumfang. Faktisk ved vi ikke engang, om der er en sammenhæng. Når man således
er på "Herrens mark", må man bruge den induktive metode.
Teori En cylinder med radius r og højde h har rumfanget V = π · r2 · h
Materialer Til forsøget udleveres 6 aluminiums- eller messingcylindre alle med
højden 2cm, 10 bøgecylindre alle med radius 2, 4cm og en vægt.
Forsøgsbeskrivelse
1. Mål for aluminium eller messing 6 sammenhørende værdier af radius og masse.
Udfyld tabellen
Radius r/cm
Rumfang V /cm3
Masse m/g
0,30 0,40 0,50 0,60 0,80
2. Mål for bøg 10 sammenhørende værdier af højde og masse.
Udfyld tabellen
Højde h/cm
Rumfang V /cm3
Masse m/g
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Databehandling
1. Tegn for hhv. bøg og aluminium/messing en graf over de målte data, idet du
afsætter rumfanget på x-aksen og massen på y-aksen.
2. Observér, at der er en lineær sammenhæng (y = a · x + b) mellem masse og
rumfang og opstil en formel for sammenhængen, idet du kalder hældningskoefficienten ρ.
Massefylden eller densiteten rho (rho) måles i g/cm.
14
3. Hvilken tendens ser du efter at have undersøgt sammenhængen mellem masse
og rumfang for hhv. bøg og aluminium/messing?
4. Generalisér denne tendens til at gælde for alle faste stoffer og formulér en teori.
1.3.2
Deduktiv del. Væsker
Formål Vi ønsker at undersøge om der er en sammenhæng mellem en væskes
masse og dens rumfang.
Metode Efter vores undersøgelse af de faste stoffer har vi på forhånd en formodning om den ønskede sammenhæng. Derfor bruger vi den deduktive metode.
Opstil selv en hypotese om sammenhængen mellem en væskes masse, dens rumfang
og dens massefylde.
Materialer Til forsøget udleveres madolie, sprit, et måleglas og en vægt.
Forsøgsbeskrivelse
1. Mål for madolie 7 sammenhængende værdier af rummfang og masse.
Udfyld skemaet:
V /cm3
m/g
2. Mål for sprit 7 sammenhængende værdier af rummfang og masse.
Udfyld skemaet:
V /cm3
m/g
Databehandling
1. Tegn for hhv. madolie og sprit en graf over de målte data, idet du afsætter
massen på y-aksen og rumfanget på x-aksen.
2. Observér, at der er en lineær sammenhæng (y = a · x + b) mellem masse og
rumfang og opstil en formel for sammenhængen mellem masse og rumfang,
idet du kalder hældningskoefficienten ρ.
3. Er din hypotese bekræftet?
4. Generalisér ud fra de undersøgte specialtilfælde af din hypotese til det generelle
(dvs. til at omhandle alle væsker) og ophøj hypotesen til en teori.
15
Bemærk, at vi nu har opstillet den teori, at m = ρ · V for alle faste stoffer og alle
væsker. Faktisk gælder der for fastholdt tryk noget tilsvarende for gasser. Netop
trykket bør tages med, hvis vi ønsker en god beskrivelse ønskes.
Del II
Mekanik
16
Kapitel 2
Begreber
Lad os først indføre begreberne tid, masse, længde, tilvækst og hastighed1 .
2.1
Tid
1
Tid måles i sekunder 2 . Tidligere var 1s defineret som 86400
af middelsoldøgnet.
Problemet ved denne definition var, at størrelsen varierer. Variationen skyldes hovedsageligt nedbremsning af jordrotationen pga. tidevanet. Derfor indførtes i 1956 en
revideret definition baseret på jordens rotation omkring solen. Dette var imidlertid
upraktisk, fordi det tog et år at bestemme et sekund med tilstrækkelig nøjagtighed.
Det har vist sig, at man vha. af atomure kan bestemme et sekund med meget stor
nøjagtighed og uden variaton.
Således indførtes i 1967 den definition, som gælder i dag:
Sekundet er varigheden af 9.192.631.770 svingninger af strålingen fra en bestemt
overgang mellem energiniveauer i cæsium-133-atomet.
Herunder vises en tabel over størrelsesordenen af forskellige tidsrum:
Periode
Periodetid for synligt lys
Periodetid for hjerteslag
En dag
Jordens alder
Tid/s
−15
10
100
105
1017
Periode
Tid/s
Periodetid for den højeste hørbare tone 10−4
Skoletime
103
Et år
107
Universets alder
1018
Tabel 2.1: Tidsrum
1
Hele kapitlet er inspireret af [1] Henrik Tarp-Johansen, En introduktion til fysik og [2] Fishbane
mfl. Physics for Scientists and Engineers
2
Ordet "sekund"kommer af latin "secunda", den anden forkortede del, hvor "minut"kommer af
det latinske "pars minuta", den første forkortede del.
17
KAPITEL 2. BEGREBER
2.2
18
Masse
Den 22. juni 1799 blev to vigtige genstande deponeret på universitetet i Paris. Den
ene genstand var et metallegeme, som kaldes for normalkilogramsloddet. Det defineredes, at dette lod har massen 1kg (den anden genstand var normalmeteren, som
omtales i afsnit 2.3). Alle andre masser kan så findes ud fra normalkilogramsloddets
masse. Normal-kilogramsloddet er stadig det internationale mål for 1kg, men der
er et ønske om at lave en ny definition af masse, så det bliver muligt at finde massen af et legeme uafhængigt af, hvor kopierne af normalkilogramsloddet befinder sig.
1kg er massen af normalkilogramsloddet, som er opbevaret i Paris3 .
2.3
Længde
Meterens oprindelse går tilbage til det 18. århundrede, hvor to definitioner konkurrerede:
1. Man kunne definere meteren, som længden af et pendul med en halv periode
på 1 sekund.
2. Man kunne definere meteren, som
Ækvator.
1
10.000.000
af afstanden fra Nordpolen til
Det andet forslag vandt, fordi tyngdeaccelerationen og dermed den beskrevne snorlængde varierer efter placeringen på jordens overflade. Derfor blev afstanden 1m
fastlagt via det andet forslag og herudfra blev der fremstillet en stang bestående
af platin og iridium med to ridser i afstanden 1m fra hinanden, som i 1799 blev
deponeret i Paris.
Siden da har man haft flere definitioner af meteren med problemer af samme type
som det første af forslagene ovenfor. Det har været svært at lave en definition, som
ikke varierer af den ene eller den anden grund.
I dag har vi fastlagt:
Meteren4 er den afstand, lyset rejser i vaccuum i løbet af
3
1
s
299.792.458
I appendiks 19.1 side 149 kan du se en liste over de fysiske størrelser, deres symboler og deres
standardenheder.
4
Ud fra meteren kan 1m2 defineres som det areal, to meterstokke danner, når de afsættes
vinkelret på hinanden. Ligeledes kan 1m3 defineres som det rumfang, tre meterstokke danner, når
de afsættes vinkelret på hinanden.
KAPITEL 2. BEGREBER
19
Herunder vises en tabel over størrelsesordenen af forskellige afstande:
Distance
Længde/m
Distance
Længde/m
Proton
En persons højde
Afstand fra Jord til Måne
10−15
100
109
Regndråbe
Jordens diameter
Afstand fra Jord til Sol
10−3
105
1011
Solsystemets diameter
Mælkevejens diameter
1013
1021
Afstand til nærmeste stjerne 1013
Afstand til nærmeste gallakse 1022
Tabel 2.2: Afstande
På grund af at fysiske størrelsers værdier (som f.eks. afstandene vist i tabellen ovenfor) kan svinge kolossalt har man besluttet at indføre de dekadiske præfikser, som
benyttes til at angive en fysisk størrelses værdi mere overskueligt.
Symbol
Værdi
Navn
Å
n
−10
10
10−9
Ångstrøm nano
µ
m
−6
10
10−3
mikro milli
c
d
−2
10
10−1
centi deci
Symbol
Værdi
Navn
h
102
hekto
M
106
mega
T
1012
tera
k
103
kilo
G
109
giga
P
1015
peta
Med disse enheder kan man f.eks. skrive 1000m = 1km eller at bølgelængden er
0, 0000006m = 600nm. Dette gør tallene væsentlig mere overskuelige, men til gengæld skal man selvfølgelig have styr over de dekadiske præfikser.
2.4
Tilvækst
Vi får desuden ofte brug for begrebet tilvækst:
2.4.1
Definition. Tilvækst
Hvis tallet x ændres fra startværdien x1 til x2 , så defineres tilvæksten 5 ∆x på x som
differensen mellem slutværdien og startværdien, altså er tilvæksten fra x1 til x2 givet
ved ∆x = x2 − x1 .
Bemærk, at tilvæksten på x er defineret som slutværdien minus startværdien, uanset
om dette resultat bliver positivt, negativt eller nul. Fortegnet er vigtigt!
5
∆ er det græske bogstav delta, det fjerde i det græske alfabet. ∆x læses "delta x".
KAPITEL 2. BEGREBER
2.4.2
20
Øvelse. Tilvækst
Find tilvæksten fra 7 til 9, fra 7 til 4, fra 3 til 3 og fra −3 til −8.
2.5
Fart og hastighed
Lad os betragte retlinet bevægelse; altså den situation, hvor et legeme (en bil, en
cykel, en person eller lignende) kun kan bevæge sig frem og tilbage på en ret linje.
Vi skelner da mellem begreberne hastighed og fart, idet vi siger:
1. Farten af et legeme angiver, hvor hurtigt legemet bevæger sig og siger altså
uanset
ikke noget om bevægelsens retning. Legemets fart er altså f.eks. v = 5m
s
om legemet bevæger sig fremad bagud.
2. Hastigheden af et legeme angiver både hvor hurtigt legemet bevæger sig og
hvilken retning legemet bevæger sig i. Legemets hastighed er altså f.eks. v =
5m
, hvis det bevæger sig fremad og v = − 5m
, hvis det bevæger sig bagud.
s
s
Vi kan definere den gennemsnitlige hastighed som forholdet mellem den tilbagelagte
strækning og den forløbne tid:
strækning
Dvs.: v = tilbagelagt
den tid, der er gået =
∆s
.
∆t
F.eks. havde en bil, som kører fra Århus til Odense (ca. 140km) i løbet af halvanden
time en gennemsnitshastighed på v = 140.000m
= 25, 9 ms .
90·60s
2.5.1
Øvelse. Bevægelse med konstant hastighed
1. En elev har 3, 5km til skole og tager 34minutter om cykelturen.
Hvad var hans gennemsnitshastighed?.
2. En af bilerne ved Le Mans kører 322 km
.
h
Hvor lang tid tager det bilen at tilbagelægge 200m?
Hvor mange meter kører bilen på 3 sekunder?
2.6
Acceleration
Vi har set, at farten defineres som ændringen i strækning pr tidsenhed. Det er imidlertid ikke altid sådan, at farten er konstant. Ofte ændres farten under en bevægelse.
En bil bremser, en bold falder hurtigere og hurtigere mod jorden og en løber holder
måske en pause undervejs. Accelerationen er et mål for hvor hurtigt farten ændrer
sig og defineres som ændring i fart pr tidsenhed.
KAPITEL 2. BEGREBER
i hastighed
Dvs.: a = ændring
den tid, der er gået =
21
∆v
.
∆t
F.eks. har en bil, som i løbet af 10s opnåede farten 24 ms haft en acceleration på
24 m
a = 10ss = 2, 4 sm2 .
I jordens tyngdefelt tæt på jordens overflade har faldende legemer tyngdeaccelerationen g = 9, 82 sm2 ned mod jordens centrum.
2.7
Kraft
I fysisk forstand kan legemer være påvirket af kræfter.
Disse kræfter kan f.eks. være
1. tyngdekræfter
2. elektriske kræfter
3. kernekræfter
4. en person, som skubber til en bil.
5. en person som trækker en slæde.
En kraft giver anledning til en formændring og/eller til en acceleration6 af det legeme, som den påvirker. Kraft måles i Newton. Vi definerer, at 1N netop er den kraft,
som skal til for at give et legeme med massen 1kg en acceleration på 1 sm2 .
2.7.1
Tyngdekraft
Sammenhængen mellem tyngdekraften, masse og tyngdeacceleration er
Ft = m · g
Bemærk [Ft ] = N (Newton), [m] = kg og g = 9, 82 sm2 .
2.7.2
Øvelse. Tyngdekraft
1. Beregn tyngdekraften på en 200g tung bold, dig selv og en 1020kg tung bil.
2. Beregn massen af et legeme, hvis tyngdekraften på det er hhv. 50N, 250N,
4500N og 10000N.
6
se afsnit 2.6.
KAPITEL 2. BEGREBER
2.8
22
Arbejde
Vi nøjes med en løs formulering af begrebet arbejde.
Arbejde er energi som overføres, når en kraft påvirker et legeme.
1. Hvis en kraft F er ensrettet bevægelsen og den flytter et legeme stykket ∆s,
så er kraftens arbejde A givet ved A = F · ∆s
2. Hvis en kraft F er modsat rettet bevægelsen og den flytter et legeme stykket
∆s, så er kraftens arbejde A givet ved A = −F · ∆s
2.8.1
Eksempel
Vi giver tre eksempler på beregning af arbejde
1. Hvis en mand har skubbet en bil stykket 12m ved at påføre det kraften 200N,
så har han udført arbejdet A = 200N · 12m = 2400J
2. Hvis en mand har forsøgt at skubbe en bil med kraften 150N, men den alligevel
har bevæget sig 10m modsat den retning han skubbede i, så har han udført
arbejdet A = −150N · 10m = −1500J
3. Hvis en mand har løftet en kasse sodavand og transporteret den 7m hen og
derefter sat den på gulvet igen i samme højde som han løftede den fra, så har
han ikke udført noget arbejde, fordi den kraft han påvirkede sodavandskassen
med er modsat rettet bevægelsen. A = 0J
Kapitel 3
Bevægelse
3.1
Sammenhæng mellem strækning, fart og tid
Lad os nu igen betragte retlinet bevægelse denne gang med konstant hastighed v..
Sammenhængen mellem tilbagelagt strækning s, fart v og tid t er
s=v·t
Bemærk: [s] =m, [v] =
3.1.1
m
s
og [t] = s
Eksempel
En cyklist cykler en tur og kører på hele turen ca. 4, 5 ms .
Turen varer tre kvarter. Hvor langt kørte cyklisten?
s = v · t = 4, 5 ms · 45 · 60s = 12150m
3.1.2
Øvelse
Beregn strækningen målt i meter, når
1. v = 14 ms og t = 17s.
2. v = 22 ms og t = 56s.
3. Hastigheden var 27 ms og der blev kørt i 20s.
23
KAPITEL 3. BEVÆGELSE
3.1.3
24
Øvelse
Beregn tiden målt i sekunder når
1. s = 988m og v = 13 ms .
2. s = 18m og v = 23 ms .
3. Den tilbagelagte strækning var 324m og der blev kørt med hastigheden 17 ms
3.1.4
Øvelse
m
,
s
Beregn hastigheden målt i
når
1. s = 14m og t = 17s.
2. s = 294m og t = 56s.
3. Der blev tilbagelagt 1973m i løbet af 100s
3.1.5
Enheder
I eksemplet og opgaverne ovenfor regner vi i enhederne m, s og ms .
. Læg mærke til, at
Til dagligt bruger mange i stedet enhederne km, h (timer) og km
h
1. km = 1000m.
s
2. 1h = 60 min
· 60 min
= 3600s, så 1h = 3600s
h
=
3. 1 km
h
3.1.6
1000m
3600s
=
1 m
,
3,6 s
så 3, 6 km
= 1 ms
h
Øvelse
Omregn til meter
1. 14km
3.1.7
2. 37km
3. 0,52km
4. 0,0008km
2. 370m
3. 2433m
4. 10978m
Øvelse
Omregn til kilometer
1. 13m
3.1.8
25
Øvelse
Omregn til sekunder
1. 24min
3.1.9
2. 5h
3. 236min
4. 5h 25min
2. 32 ms
3. 98 ms
4. 0, 7 ms
2. 72 km
h
3. 87 km
h
cm
4. 50 minut
Øvelse
Omregn til
km
h
1. 5 ms
3.1.10
Øvelse
Omregn til
m
s
1. 18 km
h
3.1.11
Øvelse
I denne opgave foregår der en bevægelse med konstant hastighed, altså har vi s = vt.
Beregn den manglende størrelse målt i SI-enheder:
1. t = 13h 15min og v = 240 km
h
2. s = 24km og t = 2700s
3. s = 16cm og t = 24ms
3.2
Eksperiment. Konstant hastighed
Formål
At eftervise formlen s = v · t og måle en løbers hastighed.
Metode
Vi skal eftervise en formel. Dermed har vi på forhånd opstillet en hypotese, som skal
eftervises og benytter altså den deduktive metode.
Teori
For en ret linje gælder der, y = ax + b, hvor a er stigningstallet og (0, b) er skæringen
med y-aksen.
26
Materialer
Stopur, målebånd og ca. 10 kegler.
Forsøgsbeskrivelse
En løber skal foretage en 100m lang løbetur (en jævn1 retlinet bevægelse).
Mål undervejs sammenhørende værdier af sted og tid og udfyld nedenstående tabel:
Tid
t/s
Sted
s/m
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Databehandling
1. Tegn grafen for sted som funktion af tid i Excel.
2. Forsyn grafen med titel, aksetitler, passende overordnede og underordnede
gitterlinjer og regneforskrift, så den bliver perfekt, lige som vi har øvet.
3. Gør ud fra grafen rede for, at stedet afhænger lineært af tiden.
4. Aflæs løberens hastighed i regneforskriften (hældningskoefficienten).
5. Beregn ud fra den fundne forskrift den distance, som løberen ville kunne løbe i
løbet af 7 minutter, hvis han/hun evnede at fortsætte med konstant hastighed.
6. Beregn ud fra den fundne regneforskrift den tid det ville tage løberen at løbe
2km hvis han/hun evnede at fortsætte i så lang tid med konstant hastighed.
1
Ordet jævn betegner, at bevægelsen skal have konstant hastighed.
Kapitel 4
Mekanisk energi
I fysik spiller alle former for energi en væsentlig rolle.
Et af vore mål er at kunne udtale os om energi og ikke mindst energiomsætninger.
Når vi har været alle emnerne igennem, så vil vi se på de forskellige energityper
og diskutere deres kvalitet og nytte for os. De første energityper kinetisk energi ,
potentiel energi og mekanisk energi knytter sig til position og bevægelse af et legeme
i tyngdefeltet, dvs. forholdsvist tæt på jordens overflade.
4.1
Potentiel energi
Potentiel energi eller beliggenhedsenergi afhænger af et legemes beliggenhed i tyngdefelt eller nærmere bestemt af legemets højde over et givet nulpunkt1 .
Sammenhængen mellem et legemes potentielle energi, dets masse, dets højde over
nulpunktet og tyngdeaccelerationen er
Epot = mgh
Bemærk [Epot ] =J, [m] = kg, g = 9, 82 ms og [h] =m.
4.1.1
Eksempel
En 83kg tung mand går op på en 7m høj bakke.
Vi ser, at han har massen m = 83kg og at han har opnået højden h = 7m.
Nu er hans potentielle energi Epot = mgh = 83kg · 9, 82 ms · 7m = 5705, 42J = 5, 7kJ
1
Jordens overflade vælges ofte som nulpunkt, men valget kan foretages vilkårligt.
27
KAPITEL 4. MEKANISK ENERGI
4.1.2
28
Øvelse
Beregn den potentielle energi i følgende tilfælde:
1. En 400 gram tung kat i et 7 meter højt træ.
2. Et vandreservoir med 5000L vand i højden 6m over jorden.
3. En 71 kg tung højdespringer i højden 2,5 over jorden
4.1.3
Øvelse
Beregn højden af legemet i følgende tilfælde:
1. En 67kg tung kvinde med den potentielle energi 2,8kJ
2. En 4kg tung kasse med den potentielle energi 56,6kJ
4.2
Kinetisk energi
Kinetisk energi eller bevægelsesenergi afhænger af et legemes hastighed.
Sammenhængen mellem et legemes kinetiske energi, dets masse og dets hastighed er
Ekin = 12 mv 2
Bemærk [Ekin ] =J, [m] = kg og [v] =
4.2.1
m
.
s
Eksempel
En 2kg tung kanonkugle bevæger sig med hastigheden 17 ms .
Kuglens kinetiske energi er Ekin = 12 mv 2 =
1
2
Ä
· 2kg · 17 ms
ä2
= 289J
4.2.2
29
Eksempel
En 200g tung bold har den kinetiske energi 50J.
Vi ønsker at finde boldens hastighed.
Ekin
1
mv 2
2
⇔
2Ekin
m
= v2
⇔
2Ekin
m
= v
Dermed får vi v =
4.3
⇔
= mv 2
2Ekin
q
=
q
2Ekin
m
=
q
2·50
0,2kg
= 22, 4 ms
Mekanisk energi
Den mekaniske energi af et legeme i tyngdefeltet er
Emek = Epot + Ekin
Bemærk: [Emek ] = [Ekin ] = [Epot ] = J
Et centralt resultat i fysikken er, at energien er bevaret. Energi kan ikke opstå eller
forsvinde men kun omsættes. Specielt har vi:
4.3.1
Den mekaniske energis bevarelse
For et legeme, som bevæger sig frit i tyngdefeltet er den mekaniske energi bevaret
eller konstant. Rent matematisk skriver vi:
∆Emek = 0
Man kan eksperimentelt vise, at den mekaniske energi er bevaret.
4.3.2
30
Øvelse
Betragt et legeme med massen 17kg som slippes fra højden 20m.
Du skal bruge Excel til opgaven
1. Definér konstanterne m, g og h i felterne F 2, G2 og H2.
2. Beregn den konstante mekaniske energi i feltet I2.
3. Indtast højderne 0, 1, 2, ... , 20 i felterne A2 − A22.
4. Beregn de tilsvarende potentielle energier i felterne B2 − B22, idet du sørger
for at bruge konstanterne fra felterne F 2 og G2
5. Kopiér den i I2 beregnede mekaniske energi til felterne D2 − D22 ved først i
feltet D2 at skrive +$I$2 og dernæst trække ned.
6. Beregn den kinetiske energi i felterne C2−C22 ud fra de tilsvarende potentielle
og mekaniske energier (Emek = Epot + Ekin ).
7. Beregn ud fra den kinetiske
energi i felterne E2 − E22 legemets hastighed
√
1
2
0
(Ekin = 2 mv ). Hint: x = x .5. Brug den sidste skrivemåde i Excel.
8. Vis cellerne A2 − D22 som hele tal (for overskuelighedens skyld).
9. Vis cellerne E2 − E22 med en decimal.
10. Fremstil i samme koordinatsystem hhv. den kinetiske, den potentielle og den
mekaniske energi.
11. Prøv at forklare, hvad der sker med den potentielle energi og den potentielle
energi undervejs i det frie fald.
12. Prøv at beskrive, hvordan hastigheden afhænger af højden.
4.3.3
31
Det frie fald i tyngdefeltet. Energibetragtning
Vi skal betragte et legeme med massen m, som vi lader falde fra højden h1 og ser
på dens mekaniske energi.
Situation 1
h1
Situation 2
Jord
Situation 1: Legemet slippes fra højden h1 . Begyndelseshastighed v1 = 0 ms .
Situation 2: Lige inden legemet rammer jorden. Højde h2 = 0m. Sluthastighed v2 .
Nu giver sætningen om mekanisk energibevarelse:
∆Emek
=
0J
⇔
Emek2 − Emek1
=
0J
⇔
= Emek1
⇔
Epot2 + Ekin2
= Epot1 + Ekin1
⇔
mgh2 + 21 mv22
= mgh1 + 12 mv12
Emek2
mg · 0m + 21 mv22
1
mv22
2
mv22
v22
v2
Ä
= mgh1 + 12 m · 0 ms
⇔
ä2
⇔
= mgh1
⇔
=
2mgh1
⇔
2gh1
√
2gh1
=
⇔
=
4.3.4
32
Øvelse
Beregn den hastighed hhv. en 14kg tung kanonkugle, et 36kg tungt barn og en
1000kg tung bil opnår, når de alle slippes √
i højden 10m over jordens overflade.
Hvad lægger du mærke til i formlen v2 = 2gh1 ?2
2
For små hastigheder er erkendelsen korrekt. For betydelige hastigheder vil luftmodstanden
spille en rolle, så vil man opdage at hastigheden foruden faldhøjden også afhænger af legemets
form.
Del III
Elektricitet
33
Kapitel 5
Begreber
5.1
Elektrisk ladning
Til beskrivelsen af elektricitet har man brug for begrebet ladning. Det viser, sig, at
der findes to slags ladningner, som vi kalder hhv. positiv ladning 1 og negativ ladning. Ladninger med samme fortegn frastøder hinanden og ladninger med forskellige
fortegn tiltrækker hinanden.
Elektrisk ladning måles i SI-enheden Coulomb (C).
Den mindste ladning, man har målt er den såkaldte elementarladning e.
Størrelsen af elementarladningen er bestemt til e = 1, 602 · 10−19 C.
Elektroner har den negative ladning −e, mens protoner har den positive ladning e.
5.2
Strømstyrke
Elektrisk strøm er ladning i bevægelse. I metal er der tale om elektroners vandring,
i væske kan både positive og negative ioner være årsag til strømmen. Strømstyrken
er et mål for, hvor stor en ladning der pr tidsenhed passerer et tværsnit af f.eks. en
ledning.
Dvs. I =
∆Q
∆t
Enheden for strømstyrke er ampere [I] = Cs = A
Hvis der i løbet af tidsrummet 21s passerer ladningen 7C gennem et tværsnit af en
7C
ledning, så er strømstyrken I = 21s
= 0, 33A
1
Betegnelserne positiv og negativ ladning blev indført af Nordamerikaneren Benjamin Franklin
(1706-1790), som ud over sit arbejde med elektriciteten og opfindelsen af lynaflederen også har
været medforfatter på USA’s uafhængighedserklæring.
34
KAPITEL 5. BEGREBER
5.3
35
Spænding
I et elektrisk kredsløb transporteres via de vandrende ladninger energi. Når ladningerne passerer gennem f.eks. en modstand afgiver de en vis mængde energi. Spændingsfaldet U over modstanden er et mål for tabet i energi pr ladningsenhed.
Energitab
Dvs. U = Den passerede
ladning
Enheden for spændingsfaldet er volt: [U ] =
5.4
J
C
=V
Elektrisk kredsløb
Et elektrisk kredsløb består af en eller flere spændingskilder 2 forbundet med en eller
flere elektriske komponenter 3 .
Det simpleste kredsløb, vi kan forestille os er vist på figuren herunder
U
R
Figur 5.1: Simpelt kredsløb
Kredsløbet består af en spændingskilde U og en modstand4 R. Vi bemærker:
1. I symbolet for spændingen indikerer den længste lodrette streg positiv ladning
og den korteste lodrette streg negativ ladning.
2. Der vil vandre elektroner (med ladningen −e) rundt i kredsløbet, som bliver
frastødt den negative ladningsophobning og tiltrukket af den positive ladningsophobning. Vi siger, at elektronerne vandrer fra minus til plus
3. Vi siger at strømmen går fra plus til minus.
2
Leverandør af elektrisk strøm. Kan f.eks. være et batteri eller lignende.
modstande, spoler, kapacitorer, glødepærer o.l.
4
En modstand eller en resistor er en elektrisk komponent, hvori der afsættes energi, når der går
en strøm gennem den
3
KAPITEL 5. BEGREBER
36
Kredsløbet forsynes med disse oplysninger, som i øvrigt normalt udelades af hensyn
til overskueligheden.
U
−
+
e−
I
R
Figur 5.2: Simpelt kredsløb med oplysninger
5.5
Ohms lov
Der gælder for nogle særligt pæne modstande5 en simpel lov for sammenhængen
mellem spændingsforskellen over den og strømstyrken gennem den. Vi vil eftervise
denne sammenhæng og skal derfor være i stand til at måle hhv. spændingsforskel og
strømstyrke.
5.5.1
Bemærkning. Måling
1. Spændingsforskellen over en modstand måles ved at koble et voltmeter (symboliseret ved et V med en cirkel omkring) på modstanden.
2. Strømstyrken over en modstand måles ved at koble et amperemeter (symboliseret ved et A med en cirkel omkring) i serie med modstanden
U
A
R
V
Figur 5.3: Måling af spændingsforskel og strømstyrke
5
Såkaldte Ohmske modstande.
KAPITEL 5. BEGREBER
5.5.2
37
Ohms lov
Sammenhængen mellem spændingsforskellen U over en modstand R og strømstyrken
I gennem den er U = R · I
5.6
Eksperiment. Ohms lov
Metode Vi anvender den deduktive metode.
Hypotese Vi har fået hypotesen givet: U = R · I
Formål At eftervise Ohms lov samt at bestemme størrelsen af en givet modstand.
Materialer Til forsøget udleveres to multimetre, en modstand, ledninger og en
spændingskilde.
Forsøgsopstilling Se figur 5.3
Forsøgsbeskrivelse Mål 8 sammenhørende værdier af spænding og strømstyrke.
Databehandling
1. Tegn en graf over de målte data, idet du afsætter massen på y-aksen og rumfanget på x-aksen.
2. Observér, at der er en lineær sammenhæng (y = a · x + b) mellem spænding
og strømstyrke og opstil en formel for denne sammenhæng.
3. Er hypotesen bekræftet?
4. Generalisér ud fra det undersøgte specialtilfælde af din hypotese til det generelle (dvs. til at omhandle alle modstande) og ophøj hypotesen til en teori.
5.6.1
Den generelle formel for effekt
Effekten er et mål for, hvor hurtigt energi omdannes. Vi definerer:
P =
∆E
∆t
hvor P er effekten og [P ] = w (watt).
E er energien og [E] = J (joule)
t er tiden og [t] = s (sekunder)
KAPITEL 5. BEGREBER
5.6.2
38
Bemærkning
Man udregner ofte energi i enheden kwh i stedet for joule, fordi prisen på en kwh er
ca. et par kroner. Vi lægger mærke til, at
1kwh = 1000w · 60 · 60s = 3600000J = 3, 6MJ
5.6.3
Formlen for elektrisk effekt
Sammenhængen mellem effekten P (som afsættes i en elektrisk komponent), spændingsforkellen U over komponenten og strømstyrken I gennem komponenten er
P =U ·I
hvor P er effekten og [P ] = w (watt).
U er spændingsforkellen og [U ] = B (volt).
I er strømstyrken og [I] = A
5.6.4
Eksempel
Hvad koster det i Thisted at have lyset tændt i Thisted Gymnasiums lærerværelse
om året.
For at besvare spørgsmålet må vi skaffe os oplysninger, gøre antagelser og til slut
foretage beregninger.
1. Optælling
Der er 12 store lamper, 3 lysstofrør og 15 små lamper i lærerværelset.
2. Undersøgelse
Prisen for el er ca. 2,20kr pr kwh.
3. Antagelser
Lyset er tændt i ca. 8 timer om dagen i de ca. 40 uger, der er skolegang.
De store lamper er forsynet med 40w pærer, lysstofrørene med 25w pærer og
de små lamper med 15w pærer.
4. Beregning
Det samlede effektforbrug er P = 12·40w+3·25w+15·15w = 780w = 0, 78kw
Den samlede tid er t = 40 · 5 · 8h = 1600h
Det samlede energiforbrug er ∆E = P · ∆t = 0, 78kwh · 1600h = 1248kwh
kr
Den samlede pris er pris = 1248kwh · 2, 20 kwh
= 2745, 6kr
KAPITEL 5. BEGREBER
5.6.5
39
Øvelse. Ohms lov og Joules 1. lov
I et elektrisk kredsløb som vist på figuren
U
I
R
er sammenhængen mellem spændingsforskellen U over en modstand R og strømstyrken I gennem modstanden ifølge Ohms lov6 givet ved U = RI. I følge Joules lov7
er den effekt P , som afsættes i modstanden givet ved P = R · I 2 .
1. Kombinér de to formler og find udtryk for hhv. spændingsforskel, strømstyrke
og effekt.
RI
U
R
UI
P
I
Før resultaterne ind i skemaet.
2. Beregn strømstyrken, når effekten er 166W og modstanden er 168Ω.
3. Beregn modstanden, når effekten er 92W og strømstyrken er 0, 057A.
6
Georg Simon Ohm (1787-1854) undersøgte systematisk forskellige materialers modstand og
publicerede sine resultater i Die Galvanische Kette, matematish bearbeidet fra 1827.
7
James Prescotte Joule (1818-1889) vise Joules 1. lov eksperimentielt i 1841 og er også kendt for
at have opdaget sammenhængen mellem varme og mekanisk arbejde, hvilket førte til sætningen om
energibevarelse og senere termodynamikkens 1. hovedsætning. SI-enheden for energi, joule, blev
opkaldt efter ham.
Han arbejdede sammen med Lord Kelvin (1824-1907) med udviklingen af den absolutte temperatur.
KAPITEL 5. BEGREBER
5.7
5.7.1
Opgaver
Øvelse
Beregn effekten
1. Spændingen er 2V og strømstyrken er 0,6A
2. Spændingen er 25V og modstanden er 30Ω
3. Strømstyrken er 0, 7A og modstanden er 65Ω
5.7.2
Øvelse
Beregn spændingen
1. Effekten er 70w og strømstyrken er 0,6A
2. Effekten er 127w og modstanden er 30Ω
3. Strømstyrken er 0, 7A og modstanden er 65Ω
5.7.3
Øvelse
Beregn strømstyrken
1. Spændingen er 2V og effekten er 45w
2. Spændingen er 25V og modstanden er 30Ω
3. Effekten er 168w og modstanden er 65Ω
5.7.4
Øvelse
Beregn modstanden
1. Effekten er 70w og strømstyrken er 0,6A
2. Effekten er 127w og spændingen er 18V
3. Strømstyrken er 0, 7A og spændingen er 10V
40
KAPITEL 5. BEGREBER
5.7.5
41
Øvelse. Elpærer
I et parcelhus er 4 lamper hver forsynet med en 25w pære tændt ca. halvdelen af
året i ca. 7 timer.
1. Beregn Den samlede effekt.
2. Beregn Det samlede energiforbrug målt både i joule og i kwh.
3. Beregn prisen for at have lamperne tændt.
5.7.6
Øvelse. Hvor meget er 1MJ?
1. Hvor langt op skal en mobiltelefon for at opnå en energi på 1Mj?
2. Hvor hurtigt skal mobiltelefonen flyve for at opnå en energi på 1MJ?
3. Hvor lang tid kan en 25w pære lyse hvis den højst må bruge 1MJ?
4. Hvor mange 25w pærer kan der lyse i 5 minutter, hvis der højst må bruges
1MJ?
5. Hvad koster 1MJ?
5.7.7
Øvelse. PC
Undersøg hvad det koster dig om året at bruge din computer.
Del IV
Bølger
42
Kapitel 6
Begreber
6.1
6.1.1
Bølge
Definition. Bølge
Ved en bølge forstås en udbredelse af en foranderlig svingningstilstand i hvilken,
de svingende dele kun flytter sig lidt i forhold til ligevægtstilstanden, mens bølgen
selv kan forplante sig over store afstande1 . Der sker altså ikke nødvendigvis nogen
transport af stof.
6.1.2
Eksempel. Vandbølger
I en vandbølge bevæger vandet sig kun inden for et lille område og følger altså ikke
med i den retning, som bølgen bevæger sig.
Selv om der ikke nødvendigvis sker nogen transport af stof i bølgens udbredelsesretning, så kan der være tale om enorme energitransporter. F.eks. kan en flodbølge
ødelægge hele byer, selv om den vandmængde, der transporteres egentlig er begrænset.
6.1.3
Eksempel. Lydbølger
Lydbølger opstår ved, at der skiftevis dannes områder med fortætning og fortynding
af luftmolekylerne, fordi de bevæger sig frem og tilbage i bølgens udbredelsesretning.
Når lydbølgen er passeret, er molekylerne tilbage i deres udgangsposition igen.
1
Definitionen er inspireret af [3] Heinrich Dörrie, Grundriss der Physic, Zweiter teil, Akustik,
Seite 216
43
KAPITEL 6. BEGREBER
6.2
44
Bølgetyper
Man deler bølger op i to typer.
6.2.1
Definition. Transversalbølge
Hvis svingningerne sker på tværs af bevægelsesretningen kaldes bølgen en transversal
bølge 2 .
6.2.2
Eksempler på transversalbølger
1. Havets bølger bevæger sig i vandets overflade (ca. 1 bølgelængde ned i vandet),
dvs. undervandsbåde mærker ikke bølgerne, mens de dykker.
2. Lydbølger, som udbreder sig i stoffer på fast form.
3. Langsomt bevægende seismiske bølger opstår ved jordskælv og er meget ødelæggende.
4. Elektromagnetiske bølger. F.eks. lys, radiobølger og røntgenstråler
6.2.3
Definition. Longitudinalbølge
Hvis svingningerne sker på langs af bevægelsesretningen, kaldes bølgen en longitudinal bølge 3 .
6.2.4
Eksempler på longitudinalbølger
1. Lydbølger, som udbreder sig i stoffer på gas-, væske- eller fast form.
2. Der findes en type seismiske bølger, som bevæger sig hurtigt og som næsten
ikke er farlige. Disse varsler ofte, at de farlige langsomme kraftige transversalbølger (jordskælv).
3. I 2007 blev det offentliggjort at der findes en nyopdaget svag bølgetype på
metaloverflader, som kaldes akustiske overfladeplasmoner.
4. En del dyr i havet kommunikerer over store afstande via svage bølger halvvejs
rundt om jorden.
2
3
Det latinske ord, ”transversus”, betyder ”som går på tværs”
Det latinske ord, ”longus”, betyder lang
KAPITEL 6. BEGREBER
6.3
45
Harmonisk bølge
Hvis en bølge svinger regelmæssigt, kaldes den harmonisk .
y/m
λ
v
A
x/m
Figur 6.1: Harmonisk bølge 1.
Figuren illustrerer en harmonisk bølge, som bevæger sig fra venstre mod højre og
kan både beskrive en regelmæssig transversal og en regelmæssig longitudinalbølge.
Vi kan også vise bølgens udsving som funktion af tiden
y/m
T
A
t/s
Figur 6.2: Harmonisk bølge 2.
KAPITEL 6. BEGREBER
6.3.1
46
Definitioner. Bølgebegreber
1. Afstanden λ mellem to bølgetoppe kaldes bølgelængden.
Bølgelængden måles i meter [λ] = m
2. Det maksimale udsving A kaldes amplituden.
Amplituden måles i meter [A] = m
3. Den tid, T , det tager bølgen at foretage en hel svingning; f.eks. fra bølgetop
til bølgetop; kaldes svingningstiden .
Svingningstiden måles i sekunder [T ] = s.
4. I løbet af svingningstiden T , bevæger bølgen sig bølgelængden λ frem.
Derfor er bølgens hastighed v givet ved v = Tλ .
Bølgehastigheden måles i meter per sekund ms .
5. Antallet af svingninger, som bølgen foretager på et sekund kaldes frekvensen
Derfor er frekvensen givet ved f = T1 .
Frekvensen måles i Hertz [f ] = s−1 = 1s =Hz
6.3.2
Bølgeformlen
Sammenhængen mellem bølgehastigheden v, bølgelængde λ og frekvens f er
v = λ · f.
bevis
v=
λ
T
=λ·
1
T
= λ · f.
KAPITEL 6. BEGREBER
6.3.3
47
Øvelse
Bestem bølgelængde, amplitude, svingningstid, frekvens og bølgehastighed i eksemplet herunder
y/m
2
1
x/m
1
2
3
4
6
7
8
−1
−2
y/m
2
1
t/s
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−1
−2
6.3.4
Øvelse
Beregn i følgende eksempler på harmoniske bølger de ønskede størrelser (i SI-enheder).
1. λ = 4cm og f = 0, 15Hertz. Beregn bølgenhastigheden og periodetiden.
2. λ = 2m, f = 5min−1 . Beregn bølgens hastighed og periodetid.
3. λ = 0, 47m, T = 0, 75s. Beregn bølgens frekvens og hastighed.
4. v = 0, 15 ms , f = 17Hertz. Beregn bølgelængden og periodetiden.
5. v = 11 cm
, T = 3, 7s. Beregn bølgelængden og frekvensen.
s
6. v = 6 ms , λ = 1, 2m. Beregn bølgens frekvens og periodetid.
KAPITEL 6. BEGREBER
6.3.5
48
Øvelse
1. Laserlys har bølgelængden λ = 632, 8nm og hastigheden c = 3, 0 · 108 ms . Hvad
er frekvensen?
2. Røntgenstråling har en bølgelængde på ca. 1nm og en frekvens på ca. 3·1017 Hz.
Hvor hurtigt bevæger røntgenstråling sig?
3. Kammertonen har en frekvens på 440Hz og hastigheden v = 343 ms . Hvor stor
er dens bølgelængde?
6.3.6
Øvelse
En vanddybde ønskes bestemt vha. ekkolod. Umiddelbart under vandoverfladen placeres en hvilende lydkilde, der udsender et kortvarigt signal. 0, 6s senere ankommer
det fra bunden reflekterede signal til ekkomodtageren, der er placeret samme sted
som lydkilden. Lydens hastighed i vand kan sættes til 1450 ms .
1. Hvor stor er vanddybden det pågældende sted?
2. Signalet har frekvensen 600Hz. Hvor stor er bølgelængden i vand?
Kapitel 7
Lyd
7.1
Lydbølger
Når en lydbølge bevæger sig gennem den atmosfæriske luft er der skiftevis områder
med fortætning og fortynding af luften. Områderne opstår ved at luftmolekylerne
bevæger sig frem og tilbage i bølgens udbredelsesretning. Der er altså tale om en
longitudinalbølge. Efter, at lydbølgen er passeret er luftmolekylerne altså tilbage i
deres udgangspositon igen.
Fortætning
udsving
Fortynding
sted
Figur 7.1: Lydbølge
Figuren ovenfor viser en højtaler, som udsender en regelmæssig lydbølge. I områder
med fortætning af luftmolekylerne siger vi, at udsvinget er stort (højt lufttryk)
og i områder med fortynding af luftmolekylerne siger vi, at udsvinget er lille (lavt
lufttryk)
49
KAPITEL 7. LYD
7.2
50
Hørelsen
Lydens hastighed i atmosfærisk luft afhænger af temperaturen1 , men ved 20◦ C er
den vlyd = 343, 37 ms .
Det menneskelige øre2 kan opfange lyde med frekvenser mellem 15Hz og 20000Hz
(f ∈ [15Hz; 20000Hz]), men det er kun muligt at skelne toner i [15Hz; 17000Hz]
og den øvre grænse sænkes, når vi bliver ældre. Lydbølger med frekvenser på over
20000Hz, som vi altså ikke kan opfatte kaldes ultralyd og lydbølger med frekvenser
på under 15Hz, som vi altså heller ikke kan høre kaldes infralyd .
7.2.1
Øvelse
1. Hvilke bølgelængder kan det menneskelige øre opfange?
2. Hvilke bølgelængder svarer til ultra- og infralyd?
7.2.2
Lydstyrke
Den lydenergi, som passerer et areal på 1m2 i løbet af et sekund, kaldes lydbølgens
intensitet og den svageste lyd det menneskelige øre kan opfange har intensiteten
I0 = 10−12 mw2 . Andre lydintensiteter angives i forhold til denne hørbare intensitet og
på grundlag af dette forhold defineres lydstyrken3 ved
L = 10 · log
Ä
I
I0
ä
dB
I denne skala er lydstyrken for den netop hørbare intensitet 0dB og hvis intensiteten
fordobles, så øges lydstyrken med ca. 3dB.
»
T
Temperaturafhængigheden er givet ved v = 332 ms 273K
, hvor T er den absolutte temperatur.
Se f.eks. [4] Eriksen og Sikjær, Fysik for gymnasiet II, side 166-167
2
Oplysningerne er fra ?? Finn Elvekjær og Børge D. Nielsen, Fysikkens verden 2, Mekanik,
bølger, atom- og kernefysik.
3
Enheden deciBell er opkaldt efter Alexander Graham Bell (1847-1922). Han var en skotskfødt
videnskabsmand og opfinder, som bosatte sig i Amerika.
1
KAPITEL 7. LYD
51
Figuren herunder4 giver en fornemmelse af skalaen.
Høretærskel
Sagte hvisken
Dagligstue
Samtale
80
100
120
140
Smertetærskel
60
Bilhorn
40
Trykluftbor
20
Jævn trafik
0
dB
Figur 7.2: Bell-skalaen
7.2.3
Øvelse
Bølger inddeles i hhv. longitudinalbølger og transversalbølger.
1. Forklar de to begreber.
2. Hvilken type er lyd?
3. Hvordan udbreder lyd sig?
7.2.4
Øvelse
Lyd opdeles i tre typer vha. frekvensen
1. Hvad er afgørende for inddelingen?
2. Angiv frekvenserne svarende til de tre lydtyper.
3. Hvilke bølgelængder svarer dette til?
7.2.5
Øvelse. Flagermus
Hvilke frekvenser og bølgelængder kan en flagermus høre?
7.2.6
Øvelse. øret
1. Find et billede af øret og dets bestanddele på nettet.
2. Navngiv de vigtigste af ørets bestanddele.
3. Notér dig, hvordan øret virker.
4
Oplysningerne stammer fra Databogen i fysik og kemi
KAPITEL 7. LYD
7.2.7
52
Øvelse. Lydens hastighed
Til mundtlig eksamen opgiver vi forsøget med bestemmelse af lydstyrken (stemmegaflen der blev holdt hen over en væskesøjle). På side 95 ser du en anden (og mere
unøjagtig) metode til bestemmelse af lydens hastighed.
1. Læg mærke til, at vi bruger sammenhængen s = vt til beregningen.
2. Forstå i alle detaljer, hvordan lydens hastighed beregnes.
3. Hvor kan du forestille dig, at der kan være problemer i beregningen?
4. Notér dig metoden, så du kan fortælle om den til eksamen.
KAPITEL 7. LYD
7.3
53
Indførelse af stående bølger
Vi skal fastlægge betydningen af begrebet stående bølge og eksperimentelt måle
lydens hastighed.
7.3.1
Definition. Interferens
To bølger, som mødes interfererer som vist på figurerne herunder
Konstruktiv interferens
Destruktiv interferens
før
før
under
under
efter
efter
Figur 7.3: Interferens
Vi ser, at
1. Pulserne fortsætter uændret efter mødet.
2. Når pulserne mødes, bestemmes den resulterende puls ved at lægge de to
pulsudsving sammen.
3. Hvis resultatet bliver et større udsving (begge pulser peger i samme retning)
kaldes fænomenet konstruktiv interferens.
4. Hvis resultatet bliver et mindre udsving (pulserne peger i hver sin retning)
kaldes fænomenet destruktiv interferens.
KAPITEL 7. LYD
7.3.2
54
Definition. Stående bølger
En stående bølge inderholder punkter, hvor der hele tiden er konstruktiv interferens
(buge) og punkter, hvor der hele tiden er destruktiv interferens (knuder ).
Knude
Bug
Knude
Bug
Knude
Bug
Knude
Figur 7.4: Stående bølge
Vi ser, at
1. Afstanden mellem to på hinanden følgende knuder er |KK| = 12 λ
2. Afstanden mellem to på hinanden følgende buge er |BB| = 12 λ
3. Afstanden mellem en knude og den nærmeste bug er |KB| = 41 λ
7.3.3
Bemærkning
Stående bølger kan både dannes ved at "slå en streng an"som f.eks. på en guitar
eller en harpe og ved at sende lydbølger frem og tilbage i rør. I begge tilfælde lyder
bølgen kraftigere, når der dannes en stående bølge. Som vi skal se sker det, når der
er ganske særlige forhold mellem bølgelængden og hhv. snorens eller rørets længde.
KAPITEL 7. LYD
7.3.4
55
Stående bølger i rør
Hvis der dannes stående bølger i rør f.eks. ved at lade en lydbølge bevæge sig frem
og tilbage i røret, så er kravet, at der skal være knude i rørets ende, hvis det er åbent
og bug i rørets ende, hvis det er lukket.
Åbent rør
Halvåbent rør
Lukket rør
L = 12 λ
L = 14 λ
L = 12 λ
Grundtone
L=λ
L = 34 λ
L=λ
1. overtone
L = 32 λ
L = 54 λ
L = 32 λ
2. overtone
L=
n
2λ
L=
2n−1
4 λ
L=
n
2λ
Figur 7.5: Stående bølger i rør
1. Læg mærke til, at der i de tre tilfælde er særlige krav til forholdet mellem
rørets længde og lydens bølgelængde. I formlerne nederst på figur 7.5 skal n
være et naturligt tal n = 1, 2, 3, ...
2. Den tone, som indeholde færrest knuder og buge kaldes grundtonen; tonen
med næstfærrest knuder 1. overtone, så kommer 2. overtone osv.
7.4
Eksperiment. Lydens hastighed og bølgelængde
Formål
Det eksperimentets formål, at måle lydens bølgelængde og hastighed.
Teori
1. Lydens hastighed i atmosfærisk luft ved 20◦ C vlyd = 343, 37 ms .
2. Når en lydbølge sendes ned i et halvåbent resonansrør dannes der stående
bølger, hvis rørets længde opfylder L = 2n−1
λ, hvor λ er lydens bølgelængde
4
og n = 1, 2, 3, ....
KAPITEL 7. LYD
56
3. Sammenhængden mellem bølgehastighed v, bølgelængde λ og frekvens f er
v = λ · f , hvor [v] = ms , [λ] =m og [f ] =Hz.
Materialer
Vi bruger en stemmegaffel, nogle elastikker, et målebånd og et resonansrør som vist
på figuren
1. Læg mærke til, at vandsøjlens højde (og dermed resonansrørets længde) kan
reguleres ved at hæve og sænke vandskålen.
2. Vi skal i forsøget måle bølgelængden for lyden fra en 440Hz stemmegaffel.
Lydens hastighed er jo ca. v = 343 ms . Beregn herudfra et bud på lydens bølgelængde. Brug det til at forudsige de tre første rørlængder (L1 , L2 og L3 ) ved
hvilke, der vil opstå stående bølger.
3. Sæt elastikker omkring resonansrøret i disse tre rørlængder.
4. Anslå nu stemmegaflen mens vandsøjlens højde reguleres for at finde de præcise
værdier af L1 , L2 og L3 . Bemærk, den stående bølge opdages ved at lyden bliver
mærkbart kraftigere ved de rigtige længder.
Databehandling
1. Bestem ud fra L1 , L2 og L3 lydens bølgelængde5 , idet du lægger mærke til, at
L2 − L1 = L3 − L2 = 12 λ.
2. Bestem afvigelse fra tabelværdien.
Selv om man kunne sige, at L1 = 41 λ, så bruger man ikke denne værdi til at bestemme bølgelængden med, fordi den øverste bug ikke som forventet befinder sig præcis ved rørets endepunkt.
I stedet er denne bug et lille stykke ovenover rørets endepunkt.
5
Kapitel 8
Lys
8.1
Elektromagnetisk stråling
Vi har set, at lydbølger udbreder sig i f.eks. atmosfærisk luft og de kan også udbrede
sig i andre gasser eller faste stoffer. Rebbølger udbreder sig i rebet og fjederbølger
udbreder sig i en fjeder. Disse bølger har ikke mulighed for at udbrede sig, hvis
de ikke har et stof at udbrede sig i. Elektromagnetisk stråling er en anden type
bølger, som er i stand til at udbrede sig i vakuum. Der findes forskellige typer af
elektromagnetisk stråling:
1. Radiobølger
Radio- og TV-signaler, radarbølger og mikrobølger.
2. Radarbølger
Bruges i forbindelse med navigation. Man søger at undgå at støde ind i andre
fartøjer eller andre store genstande ved at udsende radarbølger. En genstand
som rammes heraf vil selv blive sat i svingninger og dermed selv udsende
radarbølger. Nu er afsenderen klar over, at der er fare på færde og kan navigere
uden om et objekt som måske ikke er synligt.
3. Mikrobølger
Mikrobølger kaldes også UHF-bølger , hvor UHF står for Ultra High Frequency
eller Ultra Høj Frekvens1 . Mikrobølgerne bruges til at opvarme fødevarer med.
4. Infrarød stråling
Kaldes også varmestråling. Jo varmere et stof er, jo hurtigere vibrerer molekylerne omkring deres ligevægtsstilling og des større bliver frekvensen af
varmestrålingen. Varmestrålingen er som regel ikke synlig (selv om f.eks. glødende jern udsender rødligt lys). Det udnyttes i forbindelse med termografi ,
1
Radarbølger er også UHF-bølger.
57
KAPITEL 8. LYS
58
at varmestrålingens frekvenser hænger sammen med temperaturen. Lyse områder på et termografi afslører de områder på en bygning, som er varmest og
dermed dårligst isoleret. På denne møde ved man, hvor tømreren skal isolere
med størst mulig effekt.
5. Synligt lys
Den del af det elektromagnetiske spektrum, som er synligt for det menneskelige
øje, kaldes synligt lys. Herunder ses en figur, som viser hhv. bølgelængder og
frekvenser for synligt lys.
8.1.1
Øvelse
Herunder det synlige spektrum vist
Figur 8.1: Synligt lys
Beregn bølgelængderne svarende til violet, blåt, grønt, gul, orange og rød lys, idet
du husker, at lysets hastighed er c = 3 · 108 ms og at 1nm = 10−9 m
8.1.2
Frekvenser for elektromagnetisk stråling
Herunder angives frekvenser for elektromagnetisk stråling
Type
f /Hz
λ/m
Radiobølger
3 · 103 − 3 · 1011
10−3 − 105
Infrarød stråling
3 · 1011 − 3 · 1014
10−6 − 10−3
ultraviolet stråling
3 · 1014 − 3 · 1016
10−9 − 10−6
Røntgenstråling
3 · 1016 − 3 · 1019
10−11 − 10−9
Gammastråling
3 · 1019 − 3 · 1020
10−12 − 10−11
Tabel 8.1: Frekvenser og bølgelængder for elektromagnetisk stråling
KAPITEL 8. LYS
8.2
59
Lysets hastighed
Danskeren Ole Christensen Rømer(1644-1710) opdagede, at lyset har en endelig hastighed2 . Lysets hastighed er c = 2, 99792458 · 108 ms eller, hvis man vil være mindre
nøjagtig c = 3 · 108 ms . At lyset ikke udbreder sig øjeblikkeligt spiller en stor rolle
for udarbejdelsen og forståelsen af Einsteins relativitetsteori. I 1999 vakte danskeren Lene Vestergaard hau (1959-?) opsigt, idet hun sammen med sit forskerteam
sænkede lysets hastighed drastisk til 17 ms ved en temperatur omkring det absolutte
nulpunkt. Senere i 2001 lykkedes det Lene og forskerteamet at stoppe en lyspuls og
i 2007 var Lene Hau med til gemme lysets information i stof og derefter ca. 0, 14µm
væk konvertere stofinformationen til lysinformation igen. Hun modtog i 2010 Danes Worldwides årlige hædersbevis "Årets Verdensdansker"fordi hun ifølge Danes
Worldwide eftertrykkeligt og vedholdende har sat Danmark på verdenskortet.
8.3
Lysets natur
Newton og Huygens var de første som fremsatte teorier om, hvad lys er. Newton
hævdede, at lys er partikler, mens Huygens hævdede, at lys er bølger. Nu mener
man, at lys er begge dele. Man taler om partikel-bølge dualiteten af lys, fordi det
nogen gange opfører sig som lys og andre gange som bølger. Vi skal i fysik C se to
eksempler på, at lys opfører sig som bølger.
2
Ole Rømer lagde mærke til, at en af Jupiters måners formørkelse forsinkes, når Jorden i sit
baneløb om solen fjerner sig fra Jupiter. Se mere herom i [5] Eriksen og Sikjær, Fysik for gymnasiet
III, side 142-43.
KAPITEL 8. LYS
8.4
60
Gitterformlen
Når en plan bølge sendes ind gennem et gitter med kun en spalte, så sker der ikke
noget, når spalten er stor i forhold til bølgelængden. Tænk f.eks. på vand, som sendes
ind mod en sluse. Hvis derimod spalten er lille i forhold til bølgelængden, så dannes
der ringbølger på den anden side af spalten.
8.4.1
Plan bølge og gitter
Nu forestiller vi os, at gitteret indeholder mange spalter af samme bredde i afstanden
fra hinanden. I så fald vil der dannes mange ringbølger på den anden side af gitteret.
Stor spaltebredde
Lille spaltebredde
Figur 8.2: Plan bølge sendes mod en spalte
På figur 8.2 ovenfor illustrerer de lodrette streger bølgetoppe. Afstanden mellem
hver af disse streger er altså en bølgelængde λ.
Halvcirklerne på figur 8.2 til højre markerer ligeledes bølgetoppe og afstanden mellem disse er også en bølgelængde λ.
KAPITEL 8. LYS
61
Hvis vi altså sender en plan bølge ind mod et gitter (med mange spalter), så vil der
ved hver af disse spalter dannes ringbølger, som interfererer med hinanden (se figur
8.3).
8.4.2
Øvelse
Hvor på figur 8.3 (se på figuren til venstre) opstår der konstruktiv interferens?
Hvorfor?
Som illustreret (se figuren til højre) dannes der flere bølgefronter svarende til andre
bevægelsesretninger end kun den ene, som vi sendte ind mod gitteret.
A
B
Figur 8.3: Plan bølge sendes mod et gitter
8.4.3
Øvelse
Indtegn på figur 8.3 de andre bølgefronter, som ringbølgerne danner. Hvilke bevægelsesretninger svarer fronterne til?
Vi ønsker at udtale os om retningerne af bølgerne svarende til de fundne fronter.
En af bølgerne går direkte gennem gitteret. Denne retning kaldes 0.te orden (m = 0).
Den næste afbøjning kaldes 1. orden (m = 1) og så fremdeles.
KAPITEL 8. LYS
62
Hvis man altså sender en lysbølge ind mod et gitter vil man altså se følgende:
3. orden
2. orden
θ2
θ1
1. orden
0. orden
Lysstråle
1. orden
2. orden
Gitter
3. orden
Skærm
Figur 8.4: Afbøjningsvinkler
Betragt bølgefronten markeret på figur 8.3 svarende til 1. orden på figur 8.4.
Afstanden mellem to spalter kaldes gitterkonstanten d.
Afstanden mellem to bølgetoppe er jo λ.
A
θ1
m=1
d
C
λ
B
θ1
m=0
top
top
Figur 8.5: Udledning af gitterformlen
I trekant ABC er siden |BC| afstanden mellem to bølgetoppe, så |BC| = λ. Siden
AB er afstanden mellem to spalter i gitteret, så |AB| = d. Endelig kan vinklen θ1
mellem 0. og 1. orden genfindes som vinkel A.
Vi får sin(θ1 ) =
λ
d
KAPITEL 8. LYS
63
Hvis man tegner den samme figur svarende til den anden bølgefront og altså i stedet
ser på den anden orden, så vil man se, at tegningen er magen til. Blot er λ udskiftet
med 2λ og θ1 udskiftet med θ2 .
Så ses let, at sin(θ2 ) =
2λ
.
d
Generelt får vi sin(θm ) =
m·λ
d
Den formel, som vi har vist kaldes gitterformlen
8.4.4
Gitterformlen
Sammenhængen mellem afbøjningsvinkel , orden, bølgelængde og gitterkonstant, når
lys sendes ind gennem et gitter er
sin(θm ) =
m·λ
d
Husk, at gitterkonstanten og bølgelængden skal have den samme enhed. Normalt
bruger vi enhederne [λ] = [d] = nm, hvor 1nm = 10−9 m.
8.4.5
Maksimalt antal ordner
Man kan på figur 8.4 se, at den m-te afbøjningsvinkel skal være mindre end 90◦ og
større end eller lig med 0◦ :
0◦ ≤
θm
< 90◦
⇔
sin(0◦ ) ≤ sin(θm ) < sin(90◦ ) ⇔
0 ≤ sin(θm ) < 1
⇔
0 ≤
m·λ
d
< 1
⇔
0 ≤
m·λ
< d
⇔
0 ≤
m
d
λ
⇔
<
Vi konkludrer, at de mulige ordner er hele tal mellem 0 og λd .
For at anvende gitterformlen har vi brug for at kende gitterkonstanten d.
Herunder gives et eksempel.
KAPITEL 8. LYS
8.4.6
64
Eksempel
Laserlys med bølgelængden λ = 632, 8nm sendes ind mod et optisk gitter med 400
streger pr mm, vi skriver antal = 400.
1. Bestemmelse af gitterkonstanten
1
=
Gitterkonstanten givet ved d = antal
1
mm
400
= 0, 0025mm.
Der skal 106 nm til 1mm, så d = 2500nm
Mere Kompakt d =
1
antal
· 106 nm = 2500nm
2. Det maksimale antal ordner
Det maksimale antal ordner bestemmes m <
d
λ
=
2500nm
400nm
= 3, 95
Altså har vi lysretninger svarende til m = 0, 1, 2, 3.
3. Bestemmelse af afbøjningsvinklerne
Dette giver afbøjningsvinklerne
orden (m)
0
1
2
3
Vinkel
0◦
14, 7◦
30, 4◦
49, 4◦
Hvor f.eks. den anden afbøjningsvinkel bestemmes
θ2 = sin−1
8.4.7
Ä
2·λ
d
ä
= sin−1
Ä
2·632,8nm
2500nm
ä
= 30, 4◦
Øvelse
Lys med bølgelængden 588nm sendes ind mod et gitter med 300 streger pr mm.
1. Bestem gitterkonstanten
2. Hvad er den maksimale orden?
3. Bestem alle afbøjningsvinklerne
(stil det op som i eksemplet ovenfor. Skriv kun én udregning)
KAPITEL 8. LYS
8.4.8
65
Øvelse
Lys med en bølgelængde på λ = 632, 8nm sendes ind gennem et gitter med 300
streger pr millimeter.
1. Hvor mange forskellige afbøjningsvinkler findes der?
2. Beregn vinklen svarende til nulte, første og anden orden.
8.4.9
Øvelse
Isolér hhv. θm , m, λ og d i gitterformlen.
8.4.10
Øvelse
Lys med bølgelængden λ = 600nm sendes gennem et gitter. Anden ordens afbøjningsvinkel er 21, 1◦ .
1. Beregn gitterkonstanten. 2. Hvor mange ordener er der? 3. Beregn alle afbøjningsvinklerne. 4. Hvor mange streger pr. mm skulle der være på gitret, for få en
anden ordens afbøjningsvinkel på 25◦ ? 5. Hvor mange ordener ville det give?
8.4.11
Øvelse
Lys sendes vinkelret ind på et optisk gitter med 5700 streger pr. cm. Første afbøjningsvinkel findes 29,2cm fra 0’te orden på en målestok i en afstand af 1,20m fra
gitteret.
1. Beregn lysets bølgelængde.
2. Beregn lyets frekvens
KAPITEL 8. LYS
8.5
66
Eksperiment. Gitterformlen
Formål
At måle bølgelængden af laserlys og eftervise gitterformlen.
Forsøgsopstilling
m=2
x2
m=1
x1
Laser
L
Lysstråle
Gitter
x1
m=1
x2
m=2
Tavle
Figur 8.6: Eksperiment. Laserlys sendes gennem et gitter
Forsøgsbeskrivelse:
1. Lav den viste opstilling.
2. Sørg for at laserlyset rammer vinkelret på gitteret og at lysstrålen svarende til
0. orden rammer vinkelret på tavlen.
3. Mål afstanden fra gitteret til tavlen.
4. Beregn det maksimale antal ordner.
5. Mål afstanden x1 fra lysstrålen svarende til 0. orden til lysstrålen svarende til
1. orden på tavlen.
KAPITEL 8. LYS
67
6. Mål ligeledes afstanden x2 fra lysstrålen svarende til 0. orden til lysstrålen
svarende til 2. orden på tavlen.
7. Fortsæt således til alle afstandene xi er målt.
Databehandling
1. Mål afstanden mellem gitteret og tavlen og notér antallet af streger pr millimeter på gitteret.
L
antal
2. Angiv måleresultaterne i de viste skemaer
m xm
1
2
3
..
.
θm
sin(θm )
3. Afsæt sin(θm ) som funktion af m i et almindeligt koordinatsystem.
4. Overvej ud fra gitterformlen, at resultatet skal være en ret linje med stigningstal λd .
5. Konkludér, at gitterformlen er eftervist.
6. Bestem bølgelængden.
7. Sammenlign med tabelværdien.
8.6
Brydning
Når lys sendes fra et stof til et andet (her tænkes på overgange mellem f.eks. luft,
glas, ethanol, vand, diamant, acryl eller andre medier, som lys kan bevæge sig i), så
bliver det brudt, fordi lysets hastighed er forskellig i de to medier.
8.6.1
Definition
Vi fastlægger3
3
Bemærk. Vi antager at frekvensen er den samme i de to medier. Antagelsen motiveres af
rimeligheden i, at lige så mange bølgetoppe forlader overgangen, som der rammes af den.
KAPITEL 8. LYS
68
Forklaring
Symbol
Enhed
Bølgelængden i medium 1 er
λ1
[λ1 ] =nm
Bølgelængden i medium 2 er
λ2
[λ2 ] =nm
Bølgens hastighed i medium 1 er
v1
[v1 ] =
Bølgens hastighed i medium 2 er
v2
[v2 ] =
Frekvensen er
f
[f ] = Hz
i
[i] =◦
b
[b] =◦
m
s
m
s
Indfaldsvinklen er vinklen mellem normalen
og lysstrålen i medium 1
Brydningsvinklen er vinklen mellem normalen
og lysstrålen i medium 2
Tabel 8.2: Begreber i forbindelse med brydning
8.6.2
Brydningsloven
Figuren viser en lysstråle som går fra et medium til et andet.
Medium 1
Medium 2
b
i
Normal
Figur 8.7: Brydningrydningsloven
Lysstrålen bliver afbøjet ved overgangen, fordi lysets hastighed ændres.
For indfaldsvinklen og brydningsvinklen gælder
sin(i)
sin(b)
8.6.3
=
λ1
λ2
=
v1
v2
= n12
Absolut og relativt brydningsforhold
Konstanten n12 kaldes det
Ä relativeä brydningsforhold for overgangen fra medium 1 til
medium 2 og afhænger n12 = vv21 af de to materialer.
Det det absolutte brydningsforhold n1 for et medium defineres som det relative brydningsforhold for overgangen fra mediet til vaccum (eller luft): n1 = vc1 .
KAPITEL 8. LYS
Læg mærke til, at
69
n2
n1
=
c
v2
c
v1
=
c
v2
v1
c
·
=
v1
v2
= n12 .
Hvis man altså har de absolutte brydningsforhold for de to medier, så har man også
de relative brydningsforhold for overgange mellem dem4 .
8.6.4
Eksempel
Det absolutte brydningsforhold for hhv. vand og glas er nvand = 1, 34 og nglas = 1, 51.
1. Det relative brydningsforhold for overgangen mellem vand og glas er
1,51
nvand,glas = 1,34
= 1, 127
2. Det relative brydningsforhold for overgangen mellem glas og vand er
1,34
= 0, 887
nglas,vand = 1,51
Udledning af brydningsloven
Hvis vi forstørrer situationen på figur 8.7 voldsomt får vi
Medium 1 Medium 2
C
b
i
A
2
1
B
D
Figur 8.8: Udledning af brydningsloven
Den stiplede linje markerer igen normalen til overgangen mellem medium 1 og medium 2 (den lodrette linje).
Lysstrålerne er markeret med pile og linjer vinkelrette herpå symboliserer bølgetoppe
med relative afstande λ1 i medium 1 og λ2 i medium 2.
4
De absolutte brydningsforhold for forskellige medier kan f.eks. slås op i [8] Erik S. Andersen
m.fl. Databog fysik kemi.
KAPITEL 8. LYS
70
Det overlades til læseren at vise, at hhv. i og b kan genfindes som vist på figur 8.8.
Nu ser vi sin(i) =
Heraf fås
8.6.5
λ1
sin(i)
=
λ1
|BC|
λ2
sin(b)
⇔ |BC| =
⇔
sin(i)
sin(b)
=
λ1
sin(i)
λ1
λ2
=
og sin(b) =
λ1 f
λ2 f
=
v1
v2
λ2
|BC|
⇔ |BC| =
λ2
.
sin(b)
= n12 og brydningsloven er vist5 .
Grænsevinklen
Læg på figur 8.7 mærke til, at den størst mulige brydningsvinkel er bgrænse = 90◦ .
Dette giver
sin(ig )
sin(90◦ )
= n12 ⇔ sin(ig ) = n12 ⇔ ig = sin−1 (n12 )
Formlen kan kun benyttes, hvis n12 < 1. Det viser sig også eksperimentelt, at hvis
dette er tilfældet, så er der mulighed for totalrefleksion altså den situation, hvor al
lyset reflekteres og der altså ikke sker brydning.
5
Både brydningsloven og refleksionsloven (se bemærkning 8.6.7) kan i øvrigt også udledes vha.
af Fermats princip om den travle lysstråle, der siger, at lys hurtigst muligt vil bevæge sig fra et
punkt til et andet.
KAPITEL 8. LYS
8.6.6
71
Eksempel. Glas og vand
Vi ser på lys, som går fra vand til glas eller omvendt.
1. Når lys går fra vand med absolut brydningsforhold nvand = 1, 34 til glas med
nglas
1,51
= 1,34
= 1, 13.
absolut brydningsforhold nglas = 1, 51 har vi nvand,glas = nvand
Dermed er nvand,glas > 1 og der sker brydning ved overgang fra vand til glas,
fordi der ikke er mulighed for totalrefleksion.
2. Når lys derimod går fra glas til vand har vi nglas,vand =
Dermed er der mulighed for totalrefleksion.
1
nvand,glas
= 0, 89 < 1.
Vi kan i den sidste situation afgøre om der sker totalrefleksion ved at se på grænsevinklen ig = sin−1 (nglas,vand ) = sin−1 (0, 89) = 62, 6◦ .
Der sker altså brydning, hvis i < ig og totalrefleksion, hvis i > ig .
Vi illustrerer dette med en figur.
n12 < 1 og i < ig
medium 1
n12 < 1 og i > ig
medium 2
u
b
i
normal
ig
Overgang
i
ig
normal
Overgang
Figur 8.9: Brydning og totalrefleksion
8.6.7
Bemærkning. Refleksionsloven
Udfaldsvinklen er vinklen mellem normalen og lysstrålen efter refleksionen.
Ifølge refleksionsloven gælder i = u.
KAPITEL 8. LYS
8.6.8
72
Eksempel
Hvis to af de tre størrelser i, b og n12 er kendt, så kan den tredje bestemmes.
1. Lad i = 30◦ og b = 25◦ , så er n12 =
sin(i)
sin(b)
=
sin(30◦ )
sin(25◦ )
= 1, 18
2. Lad i = 40◦ og n12 = 1, 3, så har vi
n12 =
sin(i)
sin(b)
⇔
⇔
sin(b)n12 = sin(i)
sin(b) =
sin(i)
n12
⇔
b = sin−1
sin(i)
n12
= sin−1
sin(40◦ )
1,3
= 29, 6◦
3. Lad b = 50◦ og n12 = 0, 8, så har vi
sin(i)
sin(b)
= n12
⇔
sin(i) = n12 sin(b)
⇔
i = sin−1 (n12 sin(b))
= sin−1 (0.8 sin(50◦ )
= 37, 8◦
8.6.9
Øvelse
Ud fra indfaldsvinklen og brydningsvinklen kan strålegangen tegnes.
1. Tegn skitser af strålegangene i de tre tilfælde i eksemplet ovenfor.
2. Læg på skitserne mærke til, hvornår indfaldsvinklen er størst og hvor når
brydningsvinklen er størst.
8.6.10
Eksempel. Beregning af hastigheder og bølgelængder
Vi ønsker at beregne lysets hastighed i glas og ved, at nglas = 1, 34.
Brydningsloven giver
nglas =
c
vglas
sin(i)
sin(b)
=
λ1
λ2
=
v1
v2
= n12 . Specielt har vi altså
⇔ vglas nglas = c ⇔ vglas =
c
nglas
=
3·108 m
s
1,34
= 2, 24 · 108 ms
KAPITEL 8. LYS
8.6.11
73
Øvelse. Anvendelse af brydningsloven
Lys sendes ind i glas med brydningsforholdet nluf t,glas = 1, 61.
1. Bestem brydningsvinklen når indfaldsvinklen er 18◦ .
Tegn en skitse af strålegangen.
2. Bestem indfaldsvinklen, når brydningsvinklen er 27◦ .
Tegn en skitse af strålegangen.
8.6.12
Bemærkning. Brydningsforhold
Tabellen herunder viser en række absolutte brydningsforhold6 .
Stof
Brydningsforhold
Ethanol Vand
1,37
1,34
Glas
1,51
Acryl
1,49
Diamant
2,42
Is
1,31
Tabel 8.3: Tabelværdier for brydning
8.6.13
Øvelse
1. Bestem lysets hastighed i hhv. ethanol, vand, glas, acryl, diamant og is.
2. Lys fra en He-Ne laser har i luft bølgelængden λluft = 632, 8nm.
Bestem bølgelængderne i hhv. ethanol, vand, glas, acryl, diamant og is.
8.6.14
Øvelse
Man har eksperimentelt bestemt grænsevinklen for en lysstråles overgang fra materialet til luft til at være 43◦ . Hvad er det absolutte brydningsforhold7 .
8.6.15
Øvelse
En tyk glasplade (n = 1, 62) ligger på bunden af et kar med vand (n = 1, 33)).
En lysstråle går fra luft ind i vandet i en vinkel på 60◦ med normalen til vandets
overflade.
1. Hvad er lysets vinkel i forhold til normalen vandet?
2. hvad er lysets vinkel i forhold til normalen i glasset?
6
Dataene er fundet i [8] Erik Strandgaard Andersen m.fl. Databog fysik kemi
Denne og de næste tre øvelser er taget fra [2] Paul M. Fishbane m.fl. Physics for Scientists
and engenieers.
7
KAPITEL 8. LYS
8.6.16
74
Øvelse
En lysstråle går fra luft in i en stabel bestående af tre parallelle plader med absolutte
brydningsforhold 1,50; 1,55 og 1,60 i en vinkel på 60◦ med normalen.
1. Hvad er lysstrålens vinkel i forhold til normalen i de tre materialer?
2. Hvad er lysstrålens vinkel i forhold til normalen, når den har passeret de tre
plader?
8.6.17
Øvelse. Forskydning af lysstråle
En lysstråle sendes gennem en glasklods med brydningsforholdet n12 = 1, 51 og
tykkelsen 2cm.
d
1. Bestem forskydningen d af lysstrålen, hvis indfaldsvinklen er i = 60◦ .
8.7
Eksperiment. Brydningsloven
KAPITEL 8. LYS
8.8
75
Øjet
Vi gennemgår ikke i detaljer øjet og dets opbygning. I stedet opfordres du til grundigt
at løse følgende opgaver.
8.8.1
Øvelse. Øjets opbygning
Du opfordres i denne opgave til at søge på nettet eller i de udleverede kopier.
1. Find et godt billede af øjet.
2. Find på figuren
8.8.2
(a) Aflange muskler
(d) Iris
(g) Nethinden
(b) Øjelåg
(e) Linsen
(h) Stave og tappe
(c) Tårekirtler
(f) Glaslegemet
(i) synsnerven
Øvelse. Nærsyn og langsyn
1. Hvad er det, der gør, at folk er nærsynede eller langsynede?
2. Hvordan kompenserer optikerne for det?
3. Hvilket fænomen gør det muligt for at kompensere?
8.8.3
Øvelse. Synligt lys
Ikke alt lys er synligt
1. Undersøg hvilke frekvenser, der er synlige for det menneskelige øje.
2. Hvilke bølgelængder svarer til disse frekvenser?
Del V
Termodynamik
76
Kapitel 9
Varme
9.1
9.1.1
Grundlæggende begreber
Definition. Varme
Varme er den energiform, som pga. temperaturforskelle afgår fra et system til et
andet.
9.1.2
Definition. Termodynamik
Termodynamik 1 er læren om varme og dens omsætning.
Vi behandler gasser, væsker og faste stoffer som makroskopiske objekter2 .
Termodynamikkens vigtigste emner er overførsel af varme fra et system til et andet
og omsætninger mellem varme og andre energiformer.
I denne bog vil vi behandle almindelig opvarmning og faseovergange.
9.1.3
Definition Temperatur
Temperaturen af et stof er den gennemsnitlige kinetiske energi a stoffets molekyler.
Det absolutte nulpunkt for temperaturen er den temperatur, hvor alle molekylerne
står stille. Dermed er den gennemsnitlige kinetiske energi for molekylerne 0J.
1
Den skotske matematiker og fysiker Lord William Thomson Kelvin (1824-1907) formulerede
som den første i 1854 en præcis definition på termodynamik.
2
I modsætning hertil beskæftiger statistisk fysik sig med stoffernes mikroskopiske opbygning af
atomer eller molekyler.
77
KAPITEL 9. VARME
9.1.4
78
Temperaturskalaer
Der findes forskellige temperaturskalaer. To vigtige er celsius skalaen og kelvin skalaen, som vi skal anvende.
I celcius skalaen er det absolutte nulpunkt t0 = −273, 16◦ .
Denne temperatur er valgt som nulpunkt for Kelvin skalaen , dette kan illustreres
sådan:
−273, 16◦ C
0◦ C
0K
273, 16K
Celcius skalaen
Kelvin skalaen
Figur 9.1: Celcius skalaen og Kelvin skalaen
9.1.5
Eksempel. Omregning af temperaturer
Betragt et kar med vand, som opvarmes. Vandets starttemperatur er t1 = 14◦ , dets
sluttemperatur t2 = 45◦ .
1. De tilsvarende kelvintemperaturer findes:
t1 = 14K + 273, 15K = 287, 15K og t2 = 45K + 273, 15K = 318, 15K
2. Temperaturændringen i celciusskalaen findes:
∆t = t2 − t1 = 45◦ − 31◦ = 31◦
3. Temperaturændringen i Kelvinskalaen findes:
∆t = t2 − t1 = 318, 15K − 287, 15K = 31K
Dvs. Når der er tale om temperaturændringer, så er der ingen forskel på de to skalaer!
9.2
Opvarmning af stof
Et stof kan optræde i flere forskellige tilstandsformer eller faser 3 .
1. Fast
2. Flydende (Væske)
3. Gas
3
Ordet fase kommer af det græske phasis, som betyder tilsynekomst. Phasis kommer af phainein,
der betyder vise sig. Dette ord blev egentlig brugt om himmelegemernes stilling i forhold til solen.
KAPITEL 9. VARME
79
Bemærk
1. Hvis stoffet er på fast form sidder molekylerne bundet til hinanden i et gitter.
De ændrer således ikke plads i forhold til nabomolekylerne, selvom de dog
vibrerer periodisk omkring deres ligevægtsposition.
Stoffet kan altså ikke uden videre ændre form eller rumfang.
2. Hvis stoffet er på flydende form er de enkelte molekyler ikke længere bundet til hinanden og kan derfor indbyrdes bevæge sig i forhold til hinanden.
Væsken kan således let ændre form men ikke rumfang.
3. Hvis stoffet er på gas form er molekylerne helt frigjort fra hinanden og kan
således bevæge sig frit. Stoffet kan derfor let ændre form og rumfang.
9.2.1
Eksempel
Stoffet vand H2 O kan findes i hhv. fast form4 dvs. is H2 O(s), flydende form dvs.
vand H2 O(l) og gasform dvs. damp H2 O(g).
Et stof, som under konstant tryk tilføres varme, vil opføre sig som vist på figuren:
Temperatur som funktion af tilført varme
t/◦ C
damp
Kogepunkt
vand + damp
100
50
Frysepunkt
vand
Q/kJ
0
1000
2000
3000
is
−70
is + vand
Figur 9.2: Opvarmning af 1 kg H2 O
4
Betegnelserne s, l og g står for hhv. solidus, liquidus og gas.
KAPITEL 9. VARME
9.2.2
80
Definition. Specifik Varmekapacitet
Hvis et stof i en bestemt fase tilføres varmemængden, Q, vil dets temperatur stige
lineært; hældningskoefficiententen kaldes den specifikke varmekapacitet.
Den specifikke varmekapacitet c for et stof måles i
til for at varme et kilogram af stoffet en grad op.
9.2.3
J
kg·K
og er den energi, som skal
Øvelse
Slå den specifikke varmekapacitet for stofferne herunder op i et tabelværk:
1. Jern
4. Zink
7. Is
2. Kobber
5. Olie
8. Vand
3. Messing
6. Glas
9. Damp
9.2.4
Varmekapacitet
Varmekapaciteten C for et stof måles i
"klump"af stoffet en grad op.
J
kg
er den energi, som skal til at varme en
Sammenhængen mellem specifik varmekapacitet og varmekapacitet er C = m · c
Varmekapaciteten af et fysisk system bestående af to forskellige stoffer med masserne
m1 og m2 er C = m1 c1 + m2 c2
Varmekapaciteten af et fysisk system bestående af n forskellige stoffer er C =
n
X
i=1
9.2.5
Eksempel. Vand i et glas
Et glas vejer 325g og indeholder 417g vand.
kJ
kJ
Den specifikke varmekapacitet er for glasset 0, 84 kgK
og for vandet 4, 186 kgK
.
Da er varmekapaciteten for glasset med vand givet ved
C = mglas · cglas + mvand · cvand
kJ
kJ
= 0, 325kg · 0, 84 kgK
+ 0, 417kg · 4, 186 kgK
= 2, 09 kJ
K
m i ci
KAPITEL 9. VARME
9.2.6
81
Øvelse
1. Find varmekapaciteten af en klump metal bestående af 3kg kobber, 2kg jern
og 4kg zink.
2. Find varmekapaciteten af en halv liter vand i en messingbeholder med massen
200g.
9.3
Opvarmning af et stof, som ikke ændrer fase
Den varme Q, som et stof med massen m og den specifikke varmekapacitet c skal
tilføres for at opnå temperaturtilvæksten ∆T er givet ved Q = m · c · ∆T = C · ∆T .
9.3.1
Øvelse
1. Hvor meget varme skal der tilføres 10L vand for at temperaturen stiger fra
45◦ C til 62◦ ?
2. Hvor stor en energi kræves der for at varme 42kg jern op fra 22◦ C til 67◦ ?
3. Hvilken varmemængde kræver det at varme 2kg is op fra −7◦ C til −1◦ ?
9.4
Faseovergang
Ved en faseovergang er den tilførte varme proportional med massen: Q = m · L, hvor
L er den specifikke smelte- eller fordampningsvarme.
Den stofafhængige konstant L angiver den varmemængde der skal til for at 1kg af
stoffet skifter fase og [L] = kJ
kg
9.4.1
Eksempel
Vand har den specifikke smeltevarme L = 334, 4 kJ
.
kg
Hvis 2kg is, som i forvejen er bragt til smeltepunktet, dvs. temperaturen 0◦ C, så
kan den energi, som skal tilføres for at smelte isen beregnes
Q = m · L = 2kg · 334, 4 kJ
= 668, 8kJ
kg
KAPITEL 9. VARME
9.4.2
82
Opvarming af vand
De relevante konstanter for vand er givet herunder
Specifik varmekapacitet for is
cis
kJ
2, 04 kg·K
Specifik smeltevarme
Lsmelte
334, 4 kJ
kg
Specifik varmekapacitet for vand
cvand
kJ
4, 186 kg·K
Specifik fordampningsvarme
LFordampning
kJ
2257 kg
Specifik varmekapacitet for damp
cdamp
kJ
1, 86 kg·K
Tabel 9.1: Konstanter for opvarmning af vand
9.4.3
Øvelse
1. Hvilken energi frigøres der, når 35L vand med temperaturen 0◦ C omdannes til
is?
2. Hvilken varmemængde kræver det at varme 25kg is op til 27◦ C?
3. Hvor stor en energi frigøres der, når 400g vanddamp nedkøles fra 170◦ C til
−11◦ C?
9.4.4
Eksempel
Hvis 4kg af stoffet H2 O skal opvarmes fra −30◦ C til 120◦ C får vi altså
Opv. fra − 30◦ C − 0◦ C
kJ
· 30K
4kg · 2, 04 kg·K
=
244, 8kJ
Smeltning
4kg · 334, 4 kJ
kg
=
1337, 6kJ
Opv. fra 0◦ C − 100◦ C
kJ
=
4kg · 4, 186 · 100K kg·K
1674, 4kJ
Fordampning
kJ
4kg · 2257 kg
=
9028, 0kJ
=
148, 4kJ
kJ
Opv. fra − 100◦ C − 120◦ C 4kg · 1, 86 kg·K
· 20K
I alt
12433, 6kJ
KAPITEL 9. VARME
9.4.5
83
Øvelse
I denne opgave skal vi regne på 10L alkohol (ethanol).
Massefylde
ρ
0, 789 cmg 3
Smeltepunkt
−114◦ C
Kogepunkt
78, 37◦ C
Ls
109 kJ
kg
Lf
840 kJ
kg
Specifik varmekapacitet, flydende cflydende
kJ
2, 44 kg·K
1. Hvad vejer 10L alkohol?
2. En klump frossent alkohol svarende til 10L på væskeform har temperaturen
−114◦ C.
Hvor stor en varmemængde kræver det at smelte klumpen, opvarme den til
kogepunktet og fordampe den?
9.4.6
Øvelse
En 75kg tung klump jern skal opvarmes fra temperaturen 25◦ C til hele klumpen er
fordampet. Beregn den energi dette kræver, når der for jern gælder:
Smeltepunkt
1538◦ C
Kogepunkt
2861◦ C
Ls
247 kJ
kg
Lf
6090 kJ
kg
Specifik varmekapacitet, fast
cfast
kJ
0, 444 kg·K
Specifik varmekapacitet, flydende cflydende
9.4.7
kJ
0, 770 kg·K
Øvelse
Hvilken varmemængde frigøres der, når 15kg vanddamp med temperaturen 113◦ C
nedkøles til −21◦ C?
KAPITEL 9. VARME
9.5
84
Kalorimetret
Ved eksperimenter med varmemængder anvendes ofte et kalorimeter5 bestående af
en bestående af en messingskål, et isolerende luftlag og en messingkappe.
I skålen hælder man væske, ofte vand, i hvilken man lader den proces foregå, som
man ønsker at undersøge.
kappe
skål
vand
luft
Figur 9.3: Kalorimeter
Kalorimetret er indrettet, så der kun sker en lille udveksling med omgivelserne ved
stråling, ledning, luftstrømning og fordampning. Hvis der anvendes blankpolerede
messingskåle og skålen anbringes i kappen vha. spinkle varmeisolerende spidser, så
skålen omgives af et stillestående luftlag, så bliver varmeudvekslingen med omgivelserne lille. Man kan endvidere reducere fordampningen af kalorimetervæsken ved at
dække skålen med et låg.
Ifølge varmeteoriens 1. hovedsætning har vi ∆Eindre = A+Q, hvor Eindre er systemets
indre energi, A er det på systemet udførte arbejde og Q er den til systemet tilførte
varmemængde og [Eindre ] = [A] = [Q] = J.
Men om de processer, vi betrager i kalorimetret bemærker vi
1. Det på systemet udførte arbejde er A = 0J.
Vi påvirker ikke systemet med nogen kræfter (husk A = F · ∆s).
2. Den til systemt tilførte varmemængde er Q ≈ 0J, fordi vi netop med kalorimetrets indretning har søgt at reducere varmeudvekslingen med omgivelserne
mest muligt.
Vi har altså ∆Eindre = 0J.
5
Afsnittet er inspireret af [9] Frode Andersen, Ole Bostrup, Erik Halkjær og K. G. Hansen,
Fysik 1 for HF, side 120
KAPITEL 9. VARME
9.6
85
Eksperiment. Smeltevarme for is
Formål
Vi ønsker at bestemme den specifikke smeltevarme for is.
Metode
I dette eksperiment anvendes hverken den induktive eller den deduktive metode.
Teori
Vi forudsætter følgende:
1. Ifølge varmeteoriens 1. hovedsætning har vi ∆Eindre = A + Q, hvor Eindre er
systemets indre energi, A er det på systemet udførte arbejde og Q er den til
systemet tilførte varmemængde og [Eindre ] = [A] = [Q] = J.
2. For et stof, som ikke skifter tilstandsform, som opvarmes eller afkøles fra temperaturen Tstart til Tslut , er den tilførte varmemængde
Q = mc∆T .
J
, m er massen og
Bemærk: c er den specifikke varmekapacitet c og [c] = kg·K
[m] = kg, ∆T = Tslut − Tstart er temperaturændringen og [∆T ] = K.
J
3. Isens begyndelsestemperatur er 0◦ og vands specifikke varmekapacitet er 4, 186 kg·K
4. Ved en faseovergang er den tilførte varme proportional med massen Q = m · L,
hvor L er den specifikke smelte- eller fordampningsvarme og [L] = J
Materialer
Til forsøget skal vi bruge
1. En lille klump is (ca. 30-50 gram).
2. Et lille plasticbæger.
3. Et termometer.
4. Vand.
5. En vægt
KAPITEL 9. VARME
86
Forsøgsvejledning
1. Isen afpasses og rulles ind i et viskestykke.
2. Plasticbægeret fyldes trekvart med vand med en temperatur på ca. 5◦ over
stuens.
3. Vandets masse mv bestemmes.
4. Efter omrøring måles kalorimetrets temperatur t1 .
5. Umiddelbart efter sænkes isstykket ned i vandet.
Vha. af omrøreren holdes det under vandets overflade til isen er smeltet.
6. Når al isen er smeltet, bestemmes vandblandingens temperatur t2 efter omrøring.
7. Ved en ny vejning findes systemets masseforøgelse og dermed isens masse mi .
Data og databehandling
1. Udfyld skemaet
t1
t2
mv
mv + mi
mi
2. Vi antager, at der ikke sker en varmeudveksling med omgivelserne, og at varmekapaciteten af bægeret er ringe i forhold til vandets og isens. Så får vi ifølge
varmeteoriens 1. hovedsætning, at
∆Eindre = 0J ⇔
Qsmelte + Qopvarmning af smeltet is + Qvand = 0J ⇔
mi L + mi cv (t2 − 0◦ ) + mv cv (t2 − t1 ) = 0J
Heraf får vi L =
mv cv (t1 −t2 )−mi cv (t2 −0◦ )
mi
3. Beregn den specifikke smeltevarme for is.
4. Vurdér fejlkilder og måleusikkerheder.
5. Hvilken forskel ville det have gjort, hvis vi havde benyttet et rigtigt kalorimeter? (her tænkes på både forsøgets resultat og på de opstillede formler).
KAPITEL 9. VARME
9.7
87
Eksperiment. Bestemmelse af varmekapacitet
Formål Vi ønsker at bestemme den specifikke varmekapacitet et stof og at identificere det.
Metode I dette eksperiment bruger vi hverken den induktive eller den deduktive
metode.
Teori Ifølge Varmeteoriens 1. hovedsætning kommer en ændring i et fysisk systems
termiske energi enten fra ydre kræfters arbejde eller fra en tilført varmemængde dvs.
∆Eindre = Q + A
For et stof, som ikke skifter tilstandsform, som opvarmes eller afkøles fra temperaturen tstart til tslut , er den tilførte varmemængde
Q = mc∆T .
J
, m er massen og [m] = kg,
Bemærk: c er den specifikke varmekapacitet c og [c] = kg·K
∆T = tslut − tstart er temperaturændringen og [∆T ] = K.
Materialer Til forsøget skal vi bruge
1. Et kalorimeter.
4. En vægt.
2. En elkeddel.
5. Et termometer.
3. To lodder.
6. Snor
Forsøgsopstilling
kappe
skål
vand
lod
luft
KAPITEL 9. VARME
88
Forsøgsbeskrivelse
1. Vej skålen og notér dens masse ms .
2. Vej loddet og notér dens masse ml .
3. Fyld skålen 3/4 op med vand og mål ms + mv . Notér mv .
4. Fyld vand i kedlen og bring det i kog.
5. Sænk vha. snoren forsigtigt loddet ned i det kogende vand, så det opnår temperaturen tl = 100◦ C.
6. Mål og notér den fælles temperatur t1 af vand og skål.
7. Flyt loddet over i kalorimeterskålen.
8. Mål løbende systemets temperatur indtil den tydeligt falder igen. Notér den
maksimalt opnåede temperatur t2
Databehandling
1. Da kalorimeteret sikrer, at det fysiske system bestående af vand, skål og lod
tilnærmelsesvist er isoleret og vi ikke udfører et arbejde på systemet giver
varmeteoriens første hovedsætning, at
∆Eindre = Q + Aydre = 0J + 0J = 0J
Altså har vi
∆Eindre = 0J
⇔
Qs + Qv + Ql = 0J
⇔
ms cs ∆Ts + mv cv ∆Tv + ml cl ∆Tl = 0J
⇔
(ms cs + mv cv )∆Tv + ml cl ∆Tl = 0J
⇔
(ms cs + mv cv )(t2 − t1 ) + ml cl (t2 − 100◦ ) = 0J
⇔
(ms cs + mv cv )(t2 − t1 ) = ml cl (100◦ − t2 ) ⇔
(ms cs +mv cv )(t2 −t1 )
ml (100◦ −t2 )
= cl
Beregn den specifikke varmekapacitet for loddet.
KAPITEL 9. VARME
89
2. Mål loddes rumfang ved at sænke det ned i vand.
3. Beregn loddes massefylde.
4. Hvilket stof er der tale om?
(Hint: Find ved at slå op i databogen en række metallers massefylde og specifikke varmekapacitet Regn ud, hvilket stof der er tale om).
5. Sammenlign den beregnede specifikke varmekapacitet med tabelværdien
Del VI
Atomfysik
90
Del VII
Atom- og kernefysik
91
Kapitel 10
Grundlæggende begreber
Vi fastlægger i det følgende afsnit nogle grundlæggende begreber.
10.1
Niels Bohrs Atommodel
Danskeren Niels Bohr (1885-1962) opstillede bl.a. en simpel model for sammensætningen af et atom.
Figur 10.1: Bohrs atommodel
Han forestillede sig, at et atom består af en kerne (i midten) og at elektroner kredser
omkring kernen som består af neutroner og protoner. Vi fastlægger
10.1.1
Notation
1. Antallet af protoner i kernen har symbolet Z.
2. Antallet af neutroner i kernen har symbolet N .
3. Antallet af nukleoner i kernen har symbolet A og er givet ved A = Z + N
En elektron er negativt ladet og en proton positivt ladet.
92
KAPITEL 10. GRUNDLÆGGENDE BEGREBER
10.1.2
93
Definition. Atom og ion
Vi kan skelne mellem atomer og ioner:
1. I et atom er der lige mange elektroner og protoner.
Et atom er elektrisk neutral.
2. I en ion er der ikke lige mange elektroner og protoner.
En ion er enten positiv ladet eller negativ ladet1 .
10.1.3
Notation. Atomer
For at angive et bestemt atom bruges notationerne A
Z X eller A − Z, hvor X betegner
2
grundstoffets kemiske symbol .
10.1.4
1.
Eksempler på atomer
22
23
11 N a, 11 N a
og 24
11 N a er alle betegnelser for natriumatomer. Vi kan også bruge
betegnelserne N a − 22, N a − 23 og N a − 24.
2. 42 He eller He − 4 er et heliumatom.
3.
137
56 Ba
10.1.5
eller Ba − 137 er et bariumatom.
Øvelse
1. Angiv for hvert af stofferne i eksemplet ovenfor antallet af nukleoner, protoner,
neutroner og elektroner.
2. Find 3 stoffer, som du ikke umiddelbart kender i det periodiske system og skriv
dem op med denne nye notation.
10.1.6
Øvelse
1. Hvor mange protoner, neutroner, nukleoner og elektroner indeholder
Br − 80?
89
36 Kr?
2. Hvilke stoffer er der tale om?
10.2
Atomets størrelse
Atomets radius er ca. 10−10 m og kernens radius3 er ca. 10−14 m.
1
Det betyder, at atomkernens udstrækning kun er 10.000
af hele atomets udstrækning.
1
Vi skal mest beskæftige os med atomer.
Se det periodiske system (vedlagt fotokopi).
3
asfdgag
2
10.2.1
94
Øvelse. Grønært
Foretag et tankeeksperiment: Forestil dig, at atomkernen kunne forstøres, så den fik
en ærts størrelse.
Hvor stort ville da hele atomet blive?
10.3
Atomets masse
Et atom er af ringe størrelse. Derfor vejer den meget lidt (i størrelsesorden 10−26 kg).
For at kunne angive overskuelige tal for atommasser indfører vi derfor en ny vægtenhed.
10.3.1
Definition. Unit
Vægtenheden 1u (en unit) defineres
1u =
1
12
· (atommassen for 1 kulstofatom) = 1, 60571 · 10−27 kg
Med den nye enhed for masse vejer en elektron me = 0, 000549u, en proton 1, 007277u
og en neutron 1, 008665u.
Som tommelfingerregel vejer et atom med A nukleoner A units4 .
F.eks. har 52 He vægten 5, 01222u.
10.4
Elementarpartiklernes ladning
Lige som atomets masse er også ladninger af elementarpartiklerne små og de måles
derfor i en særlig enhed. En elektron er som før nævnt negativt ladet. Dens ladninger −e = −1, 6021773 · 10−19 C. En proton er positivt ladet. Dens ladning er
e = 1, 6021773C.
4
Læs mere om atommasser i afsnittet om bindingsenergi.
10.5
Oversigt. Elementarpartiklens egenskaber
Vi sammenfatter
Partikel
Symbol
Masse
Ladning
proton
1
1p
1, 007277u
e
neutron
1
0n
1, 008665u
0C
elektron
0
−1 e
0, 000549u
−e
eller 11 H
Tabel 10.1: Elementarpartiklers egenskaber
95
Kapitel 11
Radioaktive henfald
11.1
Radioaktivitet
Radioaktivitet blev i 1896 opdaget af den franske fysiker Henri Becquerel (18521908). Han lagde nemlig mærke til, at uran udsender gennemtrængende stråling,
som kan tilsværte en fotografisk plade. Vi ved idag, at radioaktiv stråling f.eks. kan
bestå af fotoner (energibundter), elektroner eller heliumkerner. En sådan stråling
kan opstå når radioaktive atomkerner omdannes til andre atomkerner. Sådanne omdannelser kan enten ske spontant eller ved sammenstød mellem atomkerner og/eller
små partikler.
11.2
Stabile og ustabile kerner
For stabile kerner med Z < 20 gælder med god tilnærmelse Z = N .
De kernekræfter, som holder atomet sammen er nemlig stærkere end frastødningskræfterne mellem de positivt ladede protoner i kernen. Når N ≥ 20, bliver frastødningskræfterne mellem de positive ladninger større. Derfor skal der en større
procentdel af neutroner til for at øge den gennemsnitlige afstand mellem protonerne
for således at sikre, at kernen forbliver stabil. Det tungeste stabile atom er 209
83 Bi
eller Bi − 209, et Bismuthatom med 126 neutroner i kernen1 .
1
Se det udleverede kernekort
96
KAPITEL 11. RADIOAKTIVE HENFALD
11.3
11.3.1
97
Kerneprocesser
Bevarelseslove
Når en kerne er ustabil, er der en risiko for, at kernen omdannes. Vi siger, at kernen
henfalder . Ved henfald har det vist sig, at følgende størrelser er bevaret:
Energi
Nukleontal
Ladning
E
N =A+Z
Q = Z + antal elektroner
Tabel 11.1: Bevarelseslove ved henfald
Vi vil i første omgang særligt være opmærksomme på de to sidste af bevarelseslovene.
11.3.2
Forskellige kerneprocesser
En kerne kan henfalde på forskellige måder.
1. α-henfald
Kernen henfalder ved udsendelse af en 42 He-kerne (en såkaldt α-partikel).
Et eksempel på en sådan proces er
238
92 U
4
→234
90 T h +2 He
Her kaldes
239
92 U
moderkernen og
235
90 T h
datterkernen.
2. β − -henfald
En neutron i kernen omdannes til en proton, en elektron og en antineutrino.
90
38 Sr
0
→90
39 Y +−1 e + v
Antineutrinoen v er en elektrisk neutral partikel med meget lille masse, som
sikrer energibevarelsen.
98
3. β + -henfald
En proton i kernen omdannes til en neutron, en positron og en neutrino.
206
83 Bi
0
→206
82 P b +1 e + v.
Neutrinoen v er en elektrisk neutral partikel med meget lille masse.
Positronen 01 er en positiv ladet partikel med samme masse som elektronen
men altså positivt ladet i stedet for negativt.
4. Elektronindfangning
En proton omdannes til en neutron (dvs. et omvendt β + henfald).
40
19 K
+0−1 e →40
18 Ar + v
5. γ-henfald
Et atom kan have en energi, som er højere end den energi, som det pågældende
atom normalt har.
∗
Vi siger, at atomet er exciteret og skriver A
ZX .
137
∗
56 Ba
→137
56 Ba + γ
I et γ-henfald udsendes en foton (et γ-kvant).
11.3.3
Øvelse
Kontrollér, at hhv. ladning og nukleontal er bevaret i alle de ovenfor beskrevne
kerneprocesser.
11.3.4
Øvelse
Find i det periodiske system de af stofferne, som du ikke kender i forvejen og læg
mærke til deres navne.
11.3.5
Øvelse
Find et kernekort og læg mærke til, hvad der sker på kernekortet ved hver af de
ovenfor beskrevne kerneprocesser.
Dvs. læg mærke til, hvordan man skal bevæge sig på kernekortet for at komme fra
moderkerne til datterkerne.
11.3.6
99
Øvelse
1. Skriv henfaldsskemaerne op for følgende radioaktive processer:
(a)
209
84 P o,
(b)
65
28 N i,
når det oplyses, at der sker β − -henfald.
(c)
35
18 Ar,
når det oplyses, at der sker β + -henfald.
(d)
80
35 ,
(e)
77
∗
34 Se ,
når det oplyses, at der sker α-henfald.
når det oplyses, at der sker elektronindfangning.
når det oplyses, at der sker γ-henfald.
2. Find igen de stoffer, som du ikke kender i det periodiske system.
3. Find moderkernenerne på kernekortet og læg mærke til, om de faktisk henfalder med de i denne øvelse angivne henfaldstyper.
11.3.7
Øvelse
1. Fuldstændiggør følgende reaktionsskemaer
(Find A og Z, angiv hvad X og Y står for).
(a)
211
84 X
(b)
A
ZX
(c)
235
93 Bi
(d)
A
ZX
(e)
69 ∗
30 X
4
→A
Z Y +2 .
0
→199
80 Y +−1 e + v
0
→A
Z Y +1 e + v
+0−1 e →56
26 Y + v
→A
Z Y +γ
2. Find igen de stoffer, som du ikke kender i det periodiske system.
3. Find moderkernerne på kernekortet og læg mærke til, om de faktisk henfalder
med de i denne øvelse angivne henfald.
11.3.8
Atombombe
Den store energifrigørelse i en atombombe skyldes, at et stof (f.eks. Uran-235) henfalder. Følg på kernekortet Uran-235 til stabilitet og opskriv kerneprocesserne.
11.4
100
Henfaldsloven
De ovenfor beskrevne kerneprocesser sker på et tilfældigt tidspunkt. Men for hvert
fast tidsrum er der en fast sandsynlighed for, at en ustabil kerne henfalder. Derfor
fremkommer der alligevel en lovmæssighed. Det bliver muligt for os med en vis sikkerhed at forudsige antallet af tilbageværende kerner (som endnu ikke er henfaldet,
idet det viser sig, at antallet af kerner aftager eksponentielt med tiden2 .
Vi begynder med et lille eksperiment
11.4.1
Øvelse. Terninger (praktisk øvelse)
Foretag følgende øvelse med terninger
1. Kast 100 terninger.
2. Frasortér alle seksere og notér antallet af tilbageblevne terninger.
3. Forsæt til du er under 20 terninger.
4. Udfyld på denne måde tabellen herunder
Terninger
Kast
100
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Besvar derefter spørgsmålene
1. Redegør for, at der er tale om en eksponentielt aftagende funktion.
2. Find en regneforskrift for T som funktion af k, hvor T er antallet af tilbageværende terninger og k er antallet af kast.
3. Beregn halveringskonstanten.
4. Hvor mange procent falder antallet af terninger for hvert kast?
5. Sammenlign med sandsynligheden for at slå en sekser.
Hvis vi lader antallet af terninger symbolisere ustabile kerner og antallet af kast symbolisere tiden, ser vi altså at antallet af tilbageværende kerner aftager eksponentielt
og det er netop henfaldsloven.
2
Se Appendiks 17 om eksponentielle udviklinger.
11.4.2
101
Henfaldsloven
Antallet af tilbageværende ustabile kerner er givet ved
N (t) = N0 at = N0 (1 + r)t = N0 e−kt
Hvor N0 er antallet af kerner til tiden t = 0, 0 < a < 1, r er vækstraten, k er henfaldskonstanten, og e = 2, 71828 (grundtallet for den naturlige logaritme). Endvidere
sættes A(t) = kN (t), hvor A(t) er aktiviteten (antallet af kerner, som henfalder pr.
tidsenhed til tiden t).
11.4.3
Bemærkning
Ud fra forskriften kan man (kræver lidt matematik - ikke meget) se, at
1. a = 1 + r = e−k
2. Henfaldskonstanten er k = − ln(a)
3. Halveringskonstanten er T 1 =
2
ln(2)
ln(a)
=
ln(2)
k
4. Henfaldsloven kan også skrives på formen A(t) = A0 e−kt , hvor A0 = kN0 .
11.4.4
Masse, stofmængde, molarmasse
Til beregning har vi ofte brug for formlen fra kemi, som viser sammenhængen mellem
masse, stofmængde og molarmasse:
m = nM , og 1mol = 1, 602 · 1023
hvor [m] = g, [n] = mol og [M ] =
11.4.5
g
mol
Eksempel
Uran-238 henfalder ved udsendelse af α-stråling.
Lad os regne på en mængde uran-238 med massen 20 gram.
1. Stofmængden beregnes
m = nM ⇔ n =
m
M
=
20g
g = 0, 084mol
238 mol
102
2. Antallet af uran-238 kerner bestemmes
N0 = 1, 602 · 1023 · 0, 084mol = 1, 346 · 1022
Dvs. der er 1, 346 · 1022 Uran-238 kerner.
3. Halvveringstiden for Uran-238 slås op.
T 1 = 4, 46 · 109 år
2
4. Henfaldskonstanten bestemmes
T1 =
2
ln(2)
k
T 1 k = ln(2)
2
k =
⇔
⇔
ln(2)
T1
2
=
ln(2)
4,46·109 år
= 1, 55 · 10−10 år−1
5. Regneforskriften for antallet af kerner som funktion af tiden opskrives
vha. henfaldsloven
−10 år−1 ·t
N (t) = N0 · e−kt = 1, 346 · 1022 e−1,55·10
6. Regneforskriften kan bruges til at bestemme antallet af kerner til et givet
tidspunkt; f.eks. efter 1000år og 1000000000år.
−10 år−1 ·1000
N (1000) = 1, 346 · 1022 e−1,55·10
= 1, 346 · 1022 kerner
−10 år−1 ·1000000000
N (1000000) = 1, 346 · 1022 e−1,55·10
11.4.6
= 1, 15 · 1022 kerner
Øvelse. bly
1. Hvilket protontal har bly?
2. Hvor mange forskellige isotoper findes der af bly?
103
3. Hvor mange af isotoperne
(a) er ustabile?
(b) er stabile?
(c) henfalder ved udsendelse af α-stråling?
(d) henfalder ved udsendelse af β-stråling?
(e) henfalder ved udsendelse af β − -stråling?
(f) henfalder ved udsendelse af β + -stråling?
(g) henfalder ved udsendelse af γ-stråling?
4. Isotopen Pb-211 henfalder udsendelse af β − -stråling med en halveringstid på
36,1 minutter.
5. Opskriv kerneprocessen.
6. Hvor mange kerner er der i en prøve med 100 gram af Pb-211?
7. Opskriv regneforskriften for antallet af tilbageværende kerner som funktion af
tiden.
8. Beregn antallet af tilbageværende Pb-211 kerner efter 30 minutter, 20 minutter, 15 minutter og 5 minutter.
11.4.7
Øvelse. Ilt
1. Hvilket atomnummer har ilt?
2. I naturligt forekommende ilt findes isotoperne O − 16, O − 17 og O − 18.
Tabellen herunder viser disse isotopers masser og relative forekomster.
O − 16
relativ forekomst 99, 76%
masse
15, 9949u
O − 17
O − 18
0, 038%
16, 9991u
0, 202%
17, 9992u
Beregn atommassen af naturligt forekommende ilt.
3. Find den ustabile ilt-isotop, som har størst antal neutroner på kernekortet.
4. Hvilken type stråling udsender denne iltisotop?
5. Find iltisotopens halveringskonstant.
6. Find antallet af kerner i en prøve på 25g af stoffet.
104
7. Opskriv regneforskriften for antallet af tilbageværende iltkerner i prøven som
funktion af tiden.
8. Beregn antallet af kerner efter 10 dage.
11.4.8
Øvelse. Titan
1. Hvilket atomnummer har Titan?
2. I naturligt forekommende Titan findes isotoperne Ti-46, Ti-47, Ti-48, Ti-49 og
Ti-50. Tabellen herunder viser disse isotopers masser og relative forekomster.
Ti-46
relativ forekomst 8, 2%
masse/u
45, 953
Ti-47
Ti-48
Ti-49
7, 4%
46, 952
73, 7% 5, 4%
47, 948 48, 948
Ti-50
5, 2%
49, 945
Beregn atommassen af naturligt forekommende titan.
3. Find de naturligt forekommende titan-isostoper på kernekortet.
Hvorfor tror du naturligt forekommende titan netop indeholder disse isotoper?
4. Isotopen titan-51 er ustabil. Hvilken type stråling udsendes?
5. Opskriv kerneprocessen ved henfald af titan-51.
6. Isotopen titan-45 er også ustabil. Hvilken type stråling udsendes?
7. Opskriv kerneprocessen ved henfald af titan-45.
8. Titan-45 har massen 44,958124u.
Find antallet af kerner i en prøve på 50g af stoffet.
9. Halveringskonstanten ved henfald af titan-45 er 3,08h
Opskriv regneforskriften for antallet af tilbageværende titankerner i prøven
som funktion af tiden.
10. Beregn antallet af kerner efter 1 time, 6,16h timer, et døgn.
11. Hvornår er der 1021 kerner tilbage?
11.5
105
Energibetragtninger
For at forstå begreberne massedefekt og bindingsenergi må vi først kende til Einsteins formel for sammenhængen mellem masse og energi.
E = mc2 ,
hvor [E] = J, [m] = kg og c = 3, 0 · 108 ms er lysets hastighed.
Formlen siger, at energi har en masse eller udtrykt på en anden måde, at energi og
masse er ækvivalente.
11.5.1
Eksempel. Energien af en terning
En terning med massen 23g har energien
Ä
E = mc2 = 0, 023kg · 3, 0 · 108 ms
ä2
= 2, 07 · 1015 J.
Til sammenligning bruger en familie med to voksne og to børn i år ca. 2014
Efamilie = 5500kW h = 1, 98 · 1010 årJ
Terningen kunne altså forsyne en gennemsnitsfamilie med energi i ca.
t=
2, 07 · 1015 J
= 105000år,
1, 98 · 1010 årJ
hvis vi altså kunne udvinde al terningens energi.
11.5.2
Øvelse
Beregn den energi din stakkels frustrerede fysiklærer indeholder og overvej, om det
ville være værd at ofre ham for at løse verdens energiproblemer.
11.5.3
Masssedefekt og bindingsenergi
Begtragt en atomkerne (ikke-exciteret) med Z protoner og N neutroner.
Kernen er holdt sammen af kernekræfter og vi vælger nulpunktet for energien, sådan
at systemet har energien 0J, når alle kernens nukleoner er i hvile i det uendeligt
fjerne.
Bindingsenergien Ebinding er den energi, det kræver at ødelægge kernen, så systemet
opnår energien 0J.
106
Når vi har tilført bindingsenergien, så er massen vokset fra mkerne til massen af Z
frie protoner og N frie neutroner. Forskellen mellem massen af de frie nukleoner og
massen af kernen kaldes massedefekten mdefekt .
Vi har altså
mdefekt = (Zmp + N mn ) − mkerne
Ebinding = mdefekt c2
I tabeller findes ofte atomets masse i stedet for kernens.
Der gælder med god tilnærmelse:
mkerne = matom − Zme
Vi er nu rustet til at beregne bindingsenergier, men det viser sig mere praktisk at
angive disse energier i MeV (megaelektronvolt) i stedet for J (joule).
For at lette omregningen oplyses det, at
1uc2 = 931, 5MeV.
11.5.4
Eksempel. Beregning af bindingsenergi
Betragt atomet Beryllium-9 med 5 neutroner og 4 protoner, dvs. mere præcist 94 Be.
Vi kan slå følgende op i en tabel over nukliders masse:
Partikel
9
4 Be
e−
1
1H
1
0N
Masse/u
9, 0121824
5, 4857990 · 10−4
1, 00727647
1, 00866490
Nu kan vi beregne Beryllium kernens massedefekt.
mkerne = 9, 0121824u − 4 · 5, 4857990 · 10−4 u = 9, 00998808u
mdefekt = (Zmp + N mn ) − mkerne
= 4 · 1, 00727647u + 5 · 1, 00866490u − 9, 00998808u
= 0, 0624423u
Endelig kan vi beregne Beryllium kernens bindingsenergi.
Ebinding = mc2 = 0, 0624423uc2 = 0, 0624423 · 931, 5MeV = 58, 165MeV
11.5.5
Vis, at
Vis, at
Øvelse
10
8 O
11.5.6
med atommassen 17, 999160u har bindingsenergien 139,8MeV.
Øvelse
18
10 N e
11.6
107
med atomassen 18, 005710u har bindingsenergien 132,142MeV
Eksperiment. Henfaldsloven
Formål
Vi ønsker at eftervise henfaldsloven samt at bestemme halveringstiden for
∗
137
56 Ba .
Metode
Vi anvender den deduktive metode, idet henfaldsloven fungerer som hypotese.
Teori
Henfaldsloven siger N (t) = N0 e−kt eller A(t) = A0 e−kt .
Bemærk N (t) antallet af tilbageværende kerner, N0 er begyndelsesantallet, k er
henfaldskonstanten [k] = s−1 og t er tiden [t] = s. Desuden er A(t) aktiviteten eller
antal henfald pr. sekund [A] = s−1 mens A0 er begyndelsesaktiviteten [A0 ] = s−1 .
Et datasæt udgør en eksponentiel udvikling hvis og kun hvis punkterne danner en
ret linje på enkeltlogaritmisk papir.
Halveringstiden for en eksponentiel udvikling f (t) = b · e−kt er T 1 =
2
ln(2)
.
k
Materialer
1. Minigenerator med tilhørende sprøjte, lille glas og endnu mindre skål til den
∗
udvaskede 137
56 Ba .
2. Stativ.
3. Geiger-Müller-rør (måler antallet af henfald).
4. Impulstæller
108
Forsøgsopstilling
Impulstæller
Geiger-Müller-rør
Lille skål med
137
∗
56 Ba
Forsøgsbeskrivelse
Minigeneratoren indeholder cæsium-137, som via β − -henfald til exciteret Barium137, som henfalder til grundtilstanden under udsendelse af gammastråling. Halveringstiden for dette sidste henfald har tabelværdien T 1 = 153s.
2
1. Geiger-Müller-røret fastgøres til stativet og tilsluttes impulstælleren.
2. Impultælleren indstilles til at måle baggrundsstrålingen (vi måler i 4 gange et
minut)
3.
137
∗
56 Ba
udvaskes ved at sprøjte noget fortyndet saltsyre gennem minigenerato-
ren.
4. En lille skål med
røret.
∗
137
56 Ba
placeres på stativets fod lige under Geiger-Müller-
5. Impulstælleren indstilles til at måle hvert tiende sekund.
Data og Databehandling
1. Udfyld tabellen
Bagrundsstråling (60s)
B
Måling 1
Måling 2
Måling 3
Måling 4
2. Baggrundsstrålingen for 10s beregnes ud fra målingerne heraf:
B=
1
6
·
B1 +B2 +B3 +B4
4
(Begrund).
109
3. Udfyld tabellen
t/s
10 20 30 · · ·
A(t)
500
4. Afsæt aktiviteten som funktion af tiden i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
5. Konkludér og begrund, at henfaldsloven er eftervist.
6. Aflæs henfaldskonstanten og beregn herudfra halveringstiden.
7. Sammenlign halveringstiden med tabelværdien
Kapitel 12
Energi
Vi indfører i dette kapitel kort og uformelt forskellige energiformer. Herefter vil vi
se på energiomsætninger, energikæder og afslutte med at indføre begrebet energikvalitet.
12.1
Energiformer
12.1.1
Termisk energi
Et stofs molekyler bevæger sig i forhold til hinanden. Dette sker i alle stoffer - også
faste stoffer som jern og diamant. Uanset om molekylerne sidder fast i gitterstrukturer, så vil de bevæge sig omkring deres ligevægts stilling. Den termiske energi er
et mål for, hvor hurtigt molekylerne bevæger sig i forhold til hinanden. Hvis man ser
bort fra såkaldte faseovergange, dvs. overgang mellem hhv. fast, flydende og gasform,
så vil stoffets tempertatur stige, når den termiske energi stiger.
12.1.2
Elektrisk energi
Som vi så under indførelsen af spændingsforskel (se afsnit 5.3), så afsættes der energi i f.eks. en modstand, når der går en strøm igennem den. Denne elektriske energi
omsættes i en modstand til varme eller i en elektrisk pære til varme og lys.
Den elektriske energi afsat i modstand kan beregnes, hvis man kender spændingsfaldet, strømstyrken og tiden: Eelektrisk = U · I · ∆t.
Hvis der i løbet af 100s går en strøm på 0, 4A gennem en modstand med et spændingsfald på 7V , så blev der i modstanden afsat energien
Eelektrisk = 7v · 0, 4A · 100s = 280J.
110
KAPITEL 12. ENERGI
12.1.3
111
Strålingsenergi
Lys, infarød stråling, ultraviolet stråling, radio- og tv-signaler og røntgen stråling
er eksempler på elektromagnetiske bølger . Man siger, at disse strålingstyper opfører
sig både som bølger og som partikler (fotoner) alt efter hvilket fænomen, der ønskes
forklaret. Fotonerne er små mængder energi - strålingsenergi .
12.1.4
Kemisk energi
Nogle kemiske reaktioner forbruger energi, mens andre frigør energi. Ved forbrænding
af f.eks. olie eller benzin eller når maven fordøjer maden så frigøres kemisk energi .
12.1.5
Potentiel energi
Potentiel energi er den energi, et legeme har i kraft af sin beliggenhed. Sammenhængen mellem et legemes potentielle energi, dens masse og dens højde over jordens
overflade er Epot = m · g · h, hvor g = 9, 82 sm2 er tyngdeaccelerationen.
F.eks. kan den potientielle energi af en gennemsnitseleve i højden 3m over jordens
overflade findes Epot = 64kg · 9, 82 sm2 · 3m = 1885J
12.1.6
Kinetisk energi
Kinetisk energi 1 er den energi, som et legeme har pga. dets bevægelse. Sammenhængen mellem et legemes kinetiske energi, dens masse og dens hastighed er givet ved
E = 12 mv.
F.eks. har en en fodbold med massen 400g og farten 8 ms den kinetiske energi Ekin =
1
· 0, 4kg · (8 ms )2 = 12, 8J
2
12.1.7
Mekanisk energi
Summen af den kinetiske energi og den potentielle energi kaldes den mekaniske energi
og kommer senere til at spille en stor rolle. Defor indfører vi Emek = Ekin + Epot .
12.1.8
Energikvalitet
Det er meget let at omdanne mekanisk energi til indre energi men ikke omvendt. Der
findes en øvre grænse for, hvor stor en del af en energiform, der kan omsættes til en
anden. Vi skal opdele energi i former efter egenskaber og evne til at udføre arbejde.
Der kan ske energiomdannelser fra en form til mekanisk energi. Tabellen side 113
viser hvor stor en del af de forskellige energier, som kan omdannes til mekanisk
energi.
1
Kinetik betyder vedrørende bevægelse
85%
(vandværk)
80%
−
(energilager) −
27%
(solcelle)
91%
(tørbatteri)
7%
3%
(termoelement) (pære)
−
−
−
−
−
86%
(vandturbine)
93%
(motor)
−
45%
(muskel)
47%
(dampmaskine)
Tyngdeenergi
Elektrisk
energi
Strålingsenergi
Kemisk
energi
Termisk
energi
100%
(dyppekoger)
−
100%
(bremsetromle)
Termisk
energi
−
−
88%
(keddel)
0, 6%
100%
(fotosyntese) (brændeglas)
72%
(batteri)
−
−
Kemisk
energi
15%
−
(kemisk laser) −
−
40%
(gaslaser)
−
−
90%
(generator)
−
−
Strålingsenergi
Mekanisk
energi
Fra
Elektrisk
energi
Tyngdeenergi
Mekanisk
energi
Til
Grænser for omdannelser af energi fra Christensen, Claussen og Felsager: "Fysikkens Spor", side 65, Gyldendal 1990
KAPITEL 12. ENERGI
112
Del VIII
Verdensbilledet
113
Kapitel 13
Afstande i rummet
13.1
Astrometri
Astrometrien er den del af astronomien, som drejer sig om at bestemme positionerne
af stjernerne og andre himmellegemer i forhold til jorden og hinanden. Dette er en af
de ældste videnskaber, som kan spores tilbage til grækeren Hipparch (2. århundrede
f. Kr.), der udarbejdede et katalog over de stjerner, som var synlige for det blotte øje
og han indførte også størrelsesklasser for stjerner1 . Hipparch udarbejdede desuden
kordetabeller, som var grundlaget for de astrometriske beregninger, indtil Claudios
Ptolemaios’ (ca. 150 e. Kr.) kraftigt forbedrede tabel .
Hipparch
Ptolemaios
Bradley
Bessel
Moderne astrometri blev grundlagt af Friedrich Bessel (1784-1846), som skrev ”Fundamentae Astronomiae” med en oversigt over 3222 stjerners gennemsnitspositioner
observeret mellem 1750 og 1762 af James Bradley (1693-1762). Ud over at give
astronomerne et referencesystem for rapportering af observationer er astrometrien
et vigtigt grundlag for galaktisk astronomi og studiet af himmellegemernes bevægelser. Desuden bliver astrometriske teknikker brugt til identificering af himmellegemer
udfra deres unikke bevægelser og til at beregne parallakser for stjerner i Mælkevejen,
hvilket giver afstandene til disse.
1
Se projekt ??. Fechners Lov.
114
KAPITEL 13. AFSTANDE I RUMMET
115
Bemærkning
Flere af opgaverne herunder er af historisk eller pseudohistorisk karakter, fordi vi
ikke har haft adgang til de relevante kilder. Vi bemærker specielt, at
1. De nævnte personer benyttede kordeværdier i stedet for sinus-, cosinus- og
tangensværdier.
2. Det har ikke været muligt for os at bekræfte, at de benyttede data er autentiske.
3. Afstandene blev målt i forhold til Jordens radius i stedet for som her i enhederne km, lysår og parsec.
Opgaverne går ud på at beregne afstande i rummet ved først at bestemme Jordens
radius, derefter afstanden til Månen, afstanden til Solen og endelig afstanden til de
nærmeste stjerner.
13.1.1
Øvelse. Jordens radius. Eratosthenes
Eratosthenes (ca. 240 f.kr.) observerede, at solen ved sommersolhverv skinnede
lodret ned i en dyb brønd ved Syene (det nuværende Asswan).
I Alexandria, som ligger ca. 800km nord for Syene, målte han, at solstrålerne ved
sommersolhverv dannede vinklen v = 7, 2◦ med lodret.
v
A
Solens stråler
800
S
Eratosthenes
Ud fra disse oplysninger kunne han bestemme Jordens omkreds og herudfra dens
radius.
1. Beregn Jordens omkreds.
2. Beregn Jordens radius.
3. Sammenlign med tabelværdien RJ = 6378km.
Procentvis afvigelse =
målt værdi−tabelværdi
tabelværdi
· 100%
13.1.2
116
Øvelse. Jordens radius – Hipparch og Al-Biruni
Grækeren Hipparch (2. århundrede f. Kr.) og araberen Al-Biruni2 (973-1048) bestemte også Jordens radius. De betragtede en bjergtop, som netop var synlig i horisonten,
idet bjergets højde, h på forhånd var kendt.
h
v
RJ
Hipparch
Al Biruni
1. Opstil vha. cosinus en ligning, hvori RJ , h og v indgår.
2. Vis ved at isolere RJ i ligningen fra 1., at RJ =
h·cos(v)
.
1−cos(v)
3. Find Jordens radius, når h = 4, 5km og v = 2, 23◦ .
4. Sammenlign med tabelværdien RJ = 6378km.
13.1.3
Øvelse. Afstanden til Månen
Når jordens radius er kendt, kan man finde afstanden til Månen.
B
v
A
Måne
Jord
Forestil dig som vist på figuren to observatører A og B på Jorden placeret således,
at når Månen står lodret over A, så ser B månen i horisonten.
Ud fra observatørernes indbyrdes placering bestemmes vinklen v = 89, 05◦ .
1. Bestem afstanden til Månen.
2. Sammenlign med tabelværdien DJM = 384399km.
2
Al-Biruni var meget alsidig og havde kendskab til filosofi og andre spekulative discipliner, men
interesserede sig især for astronomi og astrologi.
Se i øvrigt [?] J. L. Berggren Episodes in Mathematics of Medieval Islam, pp 9-12.
13.1.4
117
Øvelse. Afstanden til Solen - Aristarch
Aristarch (ca. 270 f. Kr.) foretog en observation, som gjorde det muligt at vurdere
afstanden til Solen, når afstanden til Månen er kendt.
Måne
Sol
v
Jord
Aristarch
Ved halvmåne målte han vinklen v mellem sigtelinjen til Månen og til Solen til
v = 87◦ .
1. Hvad ville efter Aristarchs vurdering være afstanden til Solen?
2. I dag måles vinklen mere præcist til 89, 85◦ . Beregn herudfra afstanden til
Solen.
3. Sammenlign med tabelværdien3 .
13.1.5
Øvelse. Parallaksemetoden
Afstanden fra Jorden til de nærmeste stjerner kan findes ved at udnytte Jordens
årlige bevægelse omkring Solen4 .
v
J
3
S
J
Afstanden fra Jorden til Solen kaldes af astronomerne en astronomisk enhed.
Altså 1AE = DJS = 149, 6 millioner km.
4
Det fænomen, at sigtelinjen til et stationært objekt ændrer sig, når man ser det fra forskellige
vinkler, udnyttes af såvel mennesker som dyr til at bedømme afstande.
118
Efter et halvt år har Jorden nemlig bevæget sig halvvejs rundt om Solen som vist
på figuren.
Med moderne måleudstyr er det muligt at måle vinklen v, som kaldes parallaksen,
med en måleusikkerhed på 0, 00001◦ .
1. Barnards stjerne har parallaksen 0, 000151◦ .
Bestem afstanden til Barnards stjerne.
2. Stjernen Sirius befinder sig i afstanden 8, 42 · 1013 km fra Jorden.
Bestem parallaksen for Sirius.
13.1.6
Øvelse. Egen bestemmelse af Månens radius
Prøv selv at lege astronom og bestem som vist herunder radius af Månen.
ADVARSEL
Forsøg ikke med denne metode at måle solens radius.
Man kan blive blind af det.
Øje
Blyant
Måne
1. Hold en blyant ud foran dig således, at dens tykkelse lige netop skjuler månen.
2. Få en hjælper til at måle afstanden fra dit øje til blyanten.
3. Mål selv blyantens diameter.
4. Benyt ensvinklede trekanter til at bestemme månens radius, idet afstanden til
månen er kendt (se øvelse 13.1.3)
5. Sammenlign med tabelværdien RM = 1738km
13.2
Enheder for afstand
Når vi skal beskrive afstande i rummet er der tale om ufatteligt store afstande.
Det er derfor nødvendigt at indføre tilsvarende store afstandsenheder.
13.2.1
119
Definition. Lysår
Længdeenheden lysår er den strækning, som lys bevæger sig i løbet af et år.
Strækningen kan findes vha. formlen s = v · t:
1 lysår = 3 · 108 ms · 365 · 24 · 60 · 60s = 9, 46 · 1015 m = 9, 46 · 1012 m
Altså: 1 lysår = 9, 46 · 1015 m
13.2.2
Definition. Astronomisk enhed
Længdeenheden AE (astronomisk enhed) er afstanden fra Jorden til Solen.
Altså 1AE = 1, 496 · 1011 m.
13.2.3
Definition. Parsec
En parsec er den afstand, en stjerne befinder sig i, hvis den har en årlig parallelakse5
1 ◦
.
på netop 1” (et buesekund), hvor 100 = 3600
13.2.4
Øvelse. Længdeenheden parsec
Vis, at 1 parsec = 3, 086 · 1016 m.
Altså 1 parsec = 3, 086 · 1016 m = 3, 3 lysår = 206265AE.
13.2.5
Øvelse
Beregn afstandene herunder i lysår, astronomiske enheder og parsec6 :
1. Jordens radius
2. Afstanden til månen
3. Afstanden til solen
4. Afstanden til stjernen Sirius
5. Afstanden til Barnards Stjerne
Årsagen til indførelsen af disse enheder var at gøre talværdien for afstandene i rummet mere overskuelige. I hvilke af tilfældene ovenfor giver det mening at bruge lystår,
astronomiske enheder og parsec?
5
6
Se projekt Astrometri
Afstandene er angivet i projekt Astrometri
13.3
120
Universets udvidelse
I 1929 opdagede Edwin Hubble(1889-1953)7 at de store gallakser ikke, som man
hidtil havde troet, lå stille mellem hinanden. I stedet fjerner gallakserne sig fra
hinanden. Figuren viser hastigheden v af gallakserne bort fra os som funktion af
afstanden d til dem.
v
3000
Ä
km
s
ä
2000
1000
d(Mparsec)
5
10
15
20
25
30
35
40
Houbles berømte lov giver, at v = H · d, hvor H = 71 km
pr Mparsec.
s
13.4
Universets alder
Man kan vha. Houbles lov gætte på universets alder, idet man antager, at universet
hele tiden har udvidet sig med samme hastighed som vi kan måle, at den gør i øjeblikket.
Antag, at en gallakse i afstanden d til Jorden har bevæget sig væk fra os med den
konstante hastighed v siden universets skabelse dvs. i hele universets levetid t0 , så er
d = v · t0 ⇔ t0 =
d
v
Men ifølge Houbles lov er v = H · d. Dette indsættes ovenfor, og vi får:
t0 =
d
v
=
d
Hd
=
1
H
71 km
71 km
s
s
Men H =
=
= 2, 3 · 10−18 s−1
Mparsec
3 · 1019 km
Dermed får vi et bud på universets alder:
t0 =
7
1
H
= 4, 35 · 1017 s = 13, 8 · 109 år = 13, 8 milliarder år
Amerikansk astronom
Del IX
Appendices
121
Kapitel 14
Bekendtgørelse fysik C, juni 2013
14.1
14.1.1
Identitet og formål
Identitet
Det naturvidenskabelige fag fysik omhandler menneskers forsøg på at udvikle generelle beskrivelser, tolkninger og forklaringer af fænomener og processer i natur og
teknik. Gennem et samspil mellem eksperimenter og teorier udvikles en teoretisk begrundet, naturfaglig indsigt, som stimulerer nysgerrighed og kreativitet. Samtidigt
giver den baggrund for at forstå og diskutere naturvidenskabeligt og teknologisk baserede argumenter vedrørende spørgsmål af almen menneskelig eller samfundsmæssig
interesse.
14.1.2
Formål
Faget fysik giver på C-niveau eleverne en grundlæggende indsigt i naturvidenskabelige arbejdsmetoder og tænkemåder med vægt på almendannelsen. Eleverne skal
opleve, hvordan fysiske modeller kan fungere som middel til at give kvalitative og
kvantitative forklaringer af fænomener, så de derigennem får kendskab til eksempler
på naturvidenskabelige tolkninger af verden omkring os. Det eksperimentelle arbejde
giver eleverne fortrolighed med samspillet mellem teori og eksperiment, så de kender
betydningen af naturvidenskabs eksperimentelle grundlag.
Eleverne skal arbejde med tekster med teknisk-naturvidenskabeligt indhold, så de
kan reflektere over indhold og argumentation, samtidigt med at de møder perspektiveringer af faget. De faglige problemstillinger skal også åbne for, at eleverne får
indblik i fysiske og teknologiske aspekter af målsætningen om en bæredygtig udvikling.
122
KAPITEL 14. BEKENDTGØRELSE FYSIK C, JUNI 2013
14.2
123
Faglige mål og fagligt indhold
14.2.1
Faglige mål
Eleverne skal:
1. kende og kunne anvende enkle modeller, som kvalitativt eller kvantitativt kan
forklare forskellige fysiske fænomener
2. gennem eksempler kunne perspektivere fysikkens bidrag til såvel forståelse af
naturfænomener som teknologi- og samfundsudvikling
3. kunne beskrive og udføre enkle kvalitative og kvantitative fysiske eksperimenter, herunder opstille og falsificere enkle hypoteser
4. kunne præsentere eksperimentelle data hensigtsmæssigt og behandle dem med
henblik på at afdække enkle matematiske sammenhænge
5. demonstrere viden om fagets identitet og metoder
6. kunne formidle et emne med et elementært fysikfagligt indhold til en valgt
målgruppe
14.2.2
Kernestof
Kernestoffet er følgende:
1. Fysikkens bidrag til det naturvidenskabelige verdensbillede
(a) grundtræk af den nuværende fysiske beskrivelse af universet og dets udviklingshistorie, herunder Det kosmologiske princip og universets udvidelse.
(b) Jorden som planet i solsystemet som grundlag for forklaring af umiddelbart observerbare naturfænomener
(c) atomer som grundlag for forklaring af makroskopiske egenskaber ved stof
2. Energi
(a) beskrivelse af energi og energiomsætning, herunder effekt og nyttevirkning
(b) eksempler på energiformer og en kvantitativ behandling af omsætningen
mellem mindst to energiformer
3. Lyd og lys
(a) grundlæggende egenskaber: bølgelængde, frekvens og udbredelsesfart
124
(b) det elektromagnetiske spektrum og fotoner
(c) eksperimentel bestemmelse af bølgelængde
(d) fysiske egenskaber ved lyd og lys samt deres forbindelse til sanseindtryk
14.2.3
Supplerende stof
Eleverne vil ikke kunne opfylde de faglige mål alene ved hjælp af kernestoffet. Det
supplerende stof, der udfylder ca. 30 pct. af uddannelsestiden, skal vælges, så det
tilgodeser såvel fagets overordnede mål som de faglige mål. Eleverne skal have en
væsentlig indflydelse på valg af supplerende stof. I det supplerende stof skal indgå
aktuelle eller samfundsrelevante problemstillinger, herunder en belysning af fysiske
eller teknologiske aspekter af bæredygtig udvikling.
14.3
14.3.1
Undervisningens tilrettelæggelse
Didaktiske principper
Undervisningen skal tage udgangspunkt i et fagligt niveau svarende til elevernes niveau fra grundskolen. Ved tilrettelæggelsen af undervisningen og ved udvælgelsen af
stoffet og undervisningsmaterialet skal der lægges vægt på, at eleverne får mulighed
for at opleve faget som spændende, relevant og vedkommende. Hovedvægten skal
lægges på brug af fysik som et middel til at skabe naturfaglig indsigt og at vise
fysik som et kvantitativt naturvidenskabeligt fag. Det er ikke hensigten, at formel
matematisk argumentation skal spille en væsentlig rolle i arbejdet med de fysiske
problemstillinger.
Undervisningen skal som hovedregel tilrettelægges i forløb, der hver for sig er styret af et perspektiverende tema, som inddrager forhold uden for fysikken. Der skal
tilrettelægges forløb, som tilgodeser følgende perspektiver:
1. fysik belyst gennem samspillet med historie, religion eller filosofi
2. fysik set i relation til teknologi- og samfundsudvikling og den tilhørende samfundsdebat
3. fysik i tilknytning til et paradigmeskift i den menneskelige erkendelse.
Eleverne skal undervejs i undervisningen møde tekster fra medierne med henblik på
at identificere de naturvidenskabelige elementer i tekstens argumenter.
14.3.2
125
Arbejdsformer
Undervisningen skal tilrettelægges, så der er variation i de benyttede arbejdsformer
under hensyntagen til de mål, der ønskes nået med det enkelte forløb. Valget af
arbejdsformer skal give eleverne lyst til at udvikle og realisere egne ideer og til at
indgå i samarbejde med andre.
Elevernes eksperimentelle arbejde indgår som en integreret del af undervisningen og
skal sikre dem fortrolighed med eksperimentelle metoder og brugen af eksperimentelt
udstyr. Det eksperimentelle arbejde skal rumme eksempler på kvalitative og kvantitative eksperimenter, der giver eleverne mulighed for at arbejde med opstilling og
falsifikation af enkle hypoteser. Omfanget af elevernes eksperimentelle arbejde udgør
ca. 20 pct. af uddannelsestiden.
Mundtlig fremstilling og skriftlighed indgår som en væsentlig del af arbejdet med
faget. Den skriftlige dimension omfatter:
1. rapportering og efterbehandling af eksperimentelt arbejde
2. formidling af naturfaglig indsigt i form af tekster, præsentationer og lignende
3. skriftlige oplæg om et fagligt emne som baggrund for mundtlige fremlæggelse
4. simple numeriske problemer med vægt på træning af de behandlede begreber
og faglige metoder
Den skriftlige dimension i faget skal medvirke til at sikre elevernes fordybelse i faget
med vægt på det eksperimentelle arbejde og formidlingen af faglig indsigt.
Hvis faget har fået tillagt elevtid, skal det skriftlige arbejde planlægges, så der er
progression og sammenhæng til det skriftlige arbejde i de øvrige fag. Progressionen
omfatter såvel fordybelsesgraden som kravene til elevernes selvstændige indsats og
skal sammen med sammenhængen til skriftligt arbejde i især matematik og de andre naturvidenskabelige fag bidrage til udviklingen af den enkelte elevs skriftlige
kompetencer.
I mundtlig fremstilling indgår korte præsentationer af et fagligt emne, gerne med et
perspektiverende udgangspunkt, i såvel fagligt sprog som dagligsprog.
14.3.3
It
Ved tilrettelæggelsen af undervisningen skal der lægges vægt på at inddrage moderne it-hjælpemidler, såvel i forbindelse med det eksperimentelle arbejde som ved
elevernes arbejde med det faglige stof og formidlingen af det. Eleverne skal prøve
126
at benytte it-baserede hjælpemidler til dataopsamling og databehandling, lige som
indsamling af og bearbejdning af faglig information fra internettet indgår i undervisningen.
14.3.4
Samspil med andre fag
Fysik C er omfattet af det generelle krav om samspil mellem fagene og indgår i almen
studieforberedelse i overensstemmelse med de regler, der gælder for dette forløb.
Dele af kernestof og supplerende stof i det obligatoriske fag fysik C skal vælges og
behandles, så det bidrager til styrkelse af det faglige samspil i studieretningen. Der
skal lægges særlig vægt på en faglig koordinering med klassens øvrige naturvidenskabelige fag og med matematik, så undervisningen i fysik er tilpasset elevernes
matematiske kompetencer.
14.3.5
Fysik C i det toårige studenterkursusforløb
Der skal her tilrettelægges to eller flere undervisningsforløb, heraf mindst ét sammen
med matematik, der har som særligt mål at give kursisterne generelle naturvidenskabelige kompetencer. Forløbene skal i særlig grad fokusere på, at kursisterne arbejder
med:
1. de naturvidenskabelige fags empiriske grundlag
2. forskellige repræsentationsformer og deres styrker og svagheder
3. modellering af naturvidenskabelige fænomener, herunder simple matematiske
modeller og deres muligheder og begrænsninger
4. formidling og perspektivering af naturvidenskab, herunder refleksion over naturvidenskabernes og teknologiens rolle i samfundsudvikling
14.4
14.4.1
Evaluering
Løbende evaluering
Elevernes udbytte af undervisningen skal evalueres jævnligt, så der er grundlag for
en fremadrettet vejledning af den enkelte elev i arbejdet med at nå de faglige mål
og for justering af undervisningen.
14.4.2
127
Prøveform
Der afholdes en mundtlig prøve på grundlag af en bredt formuleret opgave, inden
for de områder klassen har arbejdet med, som indeholder et ukendt bilag, der kan
være grundlag for perspektivering af opgavens emne. Opgaverne skal tilsammen
dække undervisningsbeskrivelsen bredt. Opgaverne uden bilag skal være kendt af
eksaminanderne inden prøven.
Opgaven udleveres ved lodtrækning dagen før prøven. Der gives ca. 24 timers forberedelsestid, dog ikke mindre end 24 timer, til udarbejdelse af et oplæg til en mundtlig
præsentation af emnet for opgaven.
Eksaminationstiden er ca. 24 minutter pr. eksaminand. Prøven er todelt.
Første del af prøven udgør ca. 1/3 af eksaminationstiden og består af eksaminandens
præsentation suppleret med uddybende spørgsmål fra eksaminator. Anden del former sig som en samtale mellem eksaminand og eksaminator om opgaven som helhed,
hvor det perspektiverende bilag udleveres og inddrages. Som hovedregel inddrages
både teoretiske og eksperimentelle elementer i eksaminationen.
14.4.3
Bedømmelseskriterier
Bedømmelsen er en vurdering af, i hvilket omfang eksaminandens præstation lever
op til de faglige mål
Der lægges vægt på, at eksaminanden i den faglige samtale:
1. kan inddrage relevante og væsentlige fysiske elementer
2. har evnen til at inddrage fagets perspektiver
3. viser fortrolighed med faglige begreber, modeller og metoder som redskaber til
at følge en faglig argumentation.
4.
Der gives én karakter på basis af en helhedsvurdering af eksaminandens præstation.
Kapitel 15
Fysikrapport
Herunder beskrives indholdet af en fysikrapport. For bedre at forstå, hvorfor en
fysikrapport skal have dette udseende introduceres IMRAD-modellen.
15.1
IMRAD-modellen
Bogstaverne i ordet "IMRAD"er forkortelser for ordene
Introduction:
Hvorfor blev eksperimentet udført?
Hvad var den testede hypotese?
Hvad var formålet?
Methods:
Hvornår, hvor og hvordan blev eskperimentet udført?
Hvilke materialer blev benyttet?
Results:
Hvad var resultatet af eksperimentet?
Analysis
Hvad viser forsøgsresultaterne
Discussion:
Blev den testede hypotese bekræftet?
Hvad betyder resultatet og hvorfor har det betydning?
Hvordan passer resultatet med andres arbejde?
Hvilke perspektiver er der i fremtidige eksperimenter?
Tabel 15.1: IMRAD-modellen
Mange videnskabelige artikler har IMRAD-strukturen som ikke er en tilfældig struktur men snarere et direkte resultat af den proces, som går forud for videnskabelige
opdagelser. Strukturen har sin oprindelse i 1940’erne og anvendes i dag ikke blot i
naturvidenskabelige fag men også i bl.a. psykologi og samfundsfag. IMRADS succes
skyldes, at der hurtigt skabes overblik over artiklens indhold, at informationen bliver præsenteret klart og logisk uden unødvendige detaljer og at læsere hurtigt kan
afgøre om inholdet er relevant for deres studier.
128
KAPITEL 15. FYSIKRAPPORT
129
IMRAD-strukturen bruges i seriøse videnskabelige værker. Vi skal bruge den samme
struktur men udelade nogle elementer, fordi vores fysikrapporter henvender sig til
læreren og til andre elever i stedet for forskere.
15.2
Fysikrapport
En god fysikrapport indeholder følgende:
Forside På forsiden angives
1. Titel og evt. det emne, som overordnet arbejdes med.
2. dato
3. Navn og navnet medlemmerne af den gruppe, som sammen udførte forsøget.
4. Evt. et relevant billede.
Formål Hvad ønsker vi at undersøge i rapporten? Hvad er hypotesen?
Formålet er ofte givet i øvelsesvejledningen.
Teori Præsentér den teori, som læseren forventes at være bekendt med i forvejen.
(Det er rigtig smart at have dette overblik til en evt. eksamenssituation)
Hvis du skal præsentere en formel, så angiv
1. Den sammenhæng som, formlen beskriver
2. Betydningen af de indgående fysiske størrelser og konstanter
3. Enhederne for disse.
Materialer Lav gerne i punktform en liste over de materialer og den apparatur,
som anvendes i eksperimentet.
Forsøgsopstilling Lav en tegning af forsøgsopstillingen
Forsøgsbeskrivelse Lav gerne i punktform en beskrivelse af forsøget.
130
Data og databehandling I databehandlingen fremstilles og anskueliggøres de
målte data:
1. Præsentér de målte data gerne både i tabelform og grafisk.
2. Behandl dataene med henblik på at undersøge hypotesen.
3. Sørg for grundigt at besvare alle i forhold til formålet relevante spørgsmål.
4. Beregn hvis muligt afvigelse fra tabelværdien.
Fejlkilder og måleusikkerheder Lav en liste over
1. Fejlkilder (den samme fejl ved hver eneste måling i den aktuelle forsøgsopstilling)
2. Måleusikkerheder (forskellig fejl, hver gang målingen gentages i den aktuelle
forsøgsopstilling)
Diskussion
1. Diskutér fejlkilder og måleusikkerheders betydning for resultatet.
2. Kan evt. afvigelser forklares vha. fejlkilder og måleusikkerheder?
3. Hvilke fejlkilder og måleusikkerheder har størst betydning?
Konklusion En kortfattet afslutning af rapporten
1. Er formålet opfyldt?
2. Har du eftervist den ønskede formel?
3. Hvad er (meget kortfattet) eksperimentets reslutat(er)?
Vi opsummerer afsnittet:
Forside:
Titel (evt. emne)
Dato
Navn og navne på gruppens medlemmer
Evt. Relevant billede
Formål
Formål, hypotese
Teori
Benyttede formler
Teoretisk udledning
Materialer
Opremsning af materialer og udstyr
Forsøgsopstilling
Tegning
Forsøgsbeskrivelse
Kort og præcist i punktform
Data og databehandling
Præsentation af data
Behandling af data (vis hypotesen)
Afvigelse fra tabelværdi
Fejlkilder og måleusikkerheder
Opremsning
Der skelnes mellem de to begreber
Diskussion
Vurdering af forsøget
Kan afvigelser og fejl forklares?
Konklusion
Er formålet opfyldt?
Er den ønskede formel eftervist?
Ultra kort: Eksperimentets resultater
Tabel 15.2: Indhold af fysikrapporter
131
Kapitel 16
Den retvinklede trekant
16.1
Cosinus, sinus og tangens
16.1.1
Bemærkning
Det viser sig praktisk at navngive siderne ud fra den vinkel, som vi anvender cosinus,
sinus eller tangens på.
u
hypotenuse
modstående
katete
hypotenuse
hosliggende
katete
v
hosliggende katete
modstående katete
Figur 16.1: Beliggenhed af sider og vinkler
Placeringen af hosliggende og modstående katete afhænger af, hvilken vinkel man
går ud fra! Se NØJE på tegningen.
132
KAPITEL 16. DEN RETVINKLEDE TREKANT
16.1.2
133
Sætning. Den retvinklede trekant
Lad ∆ABC være en retvinklet trekant med ∠C = 90◦ .
B
c
A
b
a
C
Figur 16.2: Retvinklet trekant
Da gælder
1. Cosinus til en spids vinkel er forholdet mellem den hosliggende katete og hykatete
potenusen: cos(v) = den hosliggende
.
hypotenusen
b
For trekanten ovenfor er cos(A) = c og cos(B) = ac .
2. Sinus til en spids vinkel er forholdet mellem den modstående kateate og hypokatete
.
tenusen: cos(v) = den modstående
hypotenusen
For Trekanten ovenfor er sin(A) = ac og sin(B) = cb .
3. Tangens til en spids vinkel er forholdet mellem den modstående og den hosmodstående katete
.
liggende katete: tan(v) = den
den hosliggende katete
a
For trekanten ovenfor er tan(A) = b og tan(B) = ab .
4. Vinkelsummen i en trekant er 180◦ .
For trekanten ovenfor er A + B + C = 180◦ .
5. Pythagoras’ sætning.
Summen af kvadraterne på de to kateter er kvadratet på hypotenusen.
(den hosliggende katete)2 + (den modstående katete)2 = hypotenusen2
For trekanten ovenfor gælder a2 + b2 = c2 .
16.1.3
134
Eksempel. Bestemmelse af en side
Lad en trekant være givet, som vist på figuren
Q
67◦
r
P
4
q
R
1. siden q bestemmes (den ukendte side i tælleren)
Læg mærke til, at vi ønsker at bestemme den til ∠Q modstående katete vha. den til
∠Q hosliggende katete. Derfor bruger vi tangens til at finde q:
tan(67◦ ) =
q
4
⇔ q = 4 · tan(67◦ ) = 9, 432
2. Siden r bestemmes (den ukendte side i nævneren)
Læg mærke til, at vi ønsker at bestemme hypotenusen vha. den til ∠Q hosliggende
katete. Derfor bruger vi cosinus til at bestemme r:
cos(67◦ ) =
16.1.4
4
r
⇔ r · cos(67◦ ) = 4 ⇔ r =
4
cos(67◦ )
= 10, 24
Øvelse
Kontrollér de to fundne resultater vha. Pythagoras’ sætning.
16.1.5
135
Eksempel. Bestemmelse af en vinkel
Lad en trekant være givet som vist på figuren.
T
4
R
S
7
1. Vinklen S bestemmes
Læg mærke til, at vi ønsker at bestemme ∠S vha. dens modstående katete og hypotenusen. Derfor bruger vi sinus til at bestemme S:
sin(S) =
4
7
⇒ S = sin−1
Ä ä
4
7
= 34, 85◦
2. vinklen R bestemmes
Læg mærke til, at vi ønsker at bestemme ∠R vha. dens hosliggende katete og hypotenusen. Derfor bruger vi cosinus til at bestemme R.
16.1.6
Øvelse
Bestem ∠R i eksemplet ovenfor.
16.1.7
Øvelse
Kontrollér resultatet fra øvelsen ovenfor vha. vinkelsummen i en trekant.
16.1.8
136
Programmerede opgaver
Læg et stykke papir ovenpå tabellen, så du først ser facit til en opgave, når du har
regnet den. Find de manglende sider og vinkler i trekanten1 .
Opgave
Facit til foregående opgave
8
◦
27
63◦
52◦
4
3, 632
7.128
6
6.497
5
5.120
33.56◦
3
56.44◦
7
38◦
20
3.317
7.616
12
66.80◦
23.20◦
53.13◦
2
36.87◦
3
33◦
16
3.606
56.31◦
33.69◦
4
80
7.344
6.159
30◦
57◦
60◦
5
3.5
44.4◦
10
50
3.571
45.6◦
5
12◦
40
69.3
50.99
78.7◦
11.3◦
78◦
1.040
4.891
1
Opgaven er taget fra [7] Marianne Ibsen m.fl., Programmerede opgaver i matematik med
elevsvar.
16.1.9
137
Øvelse
Skitsér i følgende eksempler trekanterne og bestem de resterende sider og vinkler:
1. I ∆ABC er A = 90◦ , B = 35◦ og c = 11.
2. I ∆P LM er P = 90◦ , L = 30◦ og m = 12.
3. I ∆CKP er C = 90◦ , k = 24 og P = 14◦ .
4. I ∆HSP er H = 31◦ , S = 90◦ og p = 4.
5. I ∆ST N er N = 90◦ , n = 13 og S = 22◦ .
6. I ∆F RN er F = 90◦ , N = 18◦ og n = 12.
7. I ∆N LM er N = 90◦ , n = 14 og m = 2.
Kapitel 17
Eksponentielle udviklinger
17.1
Egenskaber
17.1.1
Definition. Eksponentiel udvikling
Lad a ∈ R+ \ {1}.
Da er N (t) = b · at en eksponentiel udvikling
Grafen for en eksponentiel udvikling afhænger af grundtallet.
N (t)
a>1
17.1.2
N (t)
0<a<1
Bemærkning
Sæt a = ek , dvs. k = ln(a).
Ä äx
Så kan N omskrives til N (t) = b · at = b · ek = b · ekt
Egenskaber ved eksponentielle udviklinger
En eksponentiel udvikling N (x) = b · at har følgende egenskaber:
1. N er voksende, når a > 1 og aftagende, når 0 < a < 1.
2. a =
q
t2 −t1
N2
N1
og b =
N1
at1
138
KAPITEL 17. EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER
139
ln(2)
3. Hvis a > 1, så fordobles N , når t øges med T2 = ln(a)
= ln(2)
.
k
T2 kaldes fordoblingskonstanten.
ln(2)
= − ln(2)
.
Hvis 0 < a < 1, så halveres N , når t øges med T 1 = − ln(a)
k
2
T 1 kaldes halveringskonstanten.
2
4. En mængde punkter danner et ret linje på enkeltlogaritmisk papir hvis og kun
hvis der er tale om en eksponentiel udvikling.
17.1.3
Øvelse
En eksponentiel udvikling har regneforskriften f (x) = 2 · 1, 04x .
1. Hvad er y, når x = 18?
2. Hvad er x, når y = 64?
3. Bestem fordoblingskonstanten for f .
17.1.4
Øvelse. Heste
En flok heste levede vildt i datidens Nordamerika.
Antallet af heste i flokken udviklede sig i en årrække eksponentielt med forskriften
H(t) = 250 · 1, 02t , hvor t er antallet af år efter starttidspunktet.
1. Hvor mange heste var der efter 0år? 1år? 3år? 5år? 10år?
2. Hvor lang tid går der, før der er 400 heste?
3. Hvor lang tid går der før antallet af heste er fordoblet?
17.1.5
Øvelse. Fordoblings- og halveringskonstanter
Bestem fordoblings- eller halveringskonstanterne for f i følgende tilfælde:
1. N (t) = 3 · 0, 7t
2. N (x) = 100 · 0, 93t
3. N (x) = 300 · 1, 02t
17.2
17.2.1
140
Bestemmelse af regneforskrift
ud fra to punkter
Forskriften for den eksponentielle udvikling, som indeholder punkterne A(7, 11) og
B(21, 37) bestemmes:
a-værdien bestemmes: a =
b-værdien bestemmes: b =
q
N2
N1
=
11
1,0917
t2 −t1
N1
at1
=
»
21−7
37
11
= 1, 091
= 5, 998
Dermed bliver regneforskriften: f (x) = 5, 998 · 1, 091x
17.2.2
Øvelse
Bestem en forskrift for den eksponentielle udvikling, som indeholder punkterne:
1. A(4, 6) og B(17, 126)
5. I(12, 17) og J(21, 86)
2. C(0, 6) og D(18, 48)
6. K(18, 16) og L(19, 17)
3. E(7, 50) og F (11, 33)
7. M (7, 32) og N (21, 247)
4. G(16, 40) og H(23, 26)
8. O(22, 51) og P (37, 11)
17.2.3
Eksempel. Ud fra fordoblingskonstanten
Antag, at en eksponentiel udvikling med regneforskriften b · ax går gennem punktet
P (7, 18) og f fordobles, når x øges med 6.
Først indsættes i formlen for fordoblingskonstanten og vi får:
6=
ln(2)
ln(a)
⇔ 6 · ln(a) = ln(2) ⇔ ln(a) =
ln(2)
6
⇔a=e
ln(2)
6
= 1, 22
b-værdien findes ved indsættelse af punktet P i regneforskriften for f :
18 = b · 1, 227 ⇔ b =
18
1,227
= 8, 018
Dermed er regneforskriften for f givet ved f (x) = 8, 018 · 1, 122x
17.2.4
141
Øvelse. Kulstof-14 metoden
lad I0 være forholdet mellem mængderne af kulstof-14 og kulstof-12 i levende organisk materiale. I dødt organisk materiale aftager dette forhold eksponentielt1 med
en halveringstid på 5730 år. I et gammelt stykke træ fra et museum er forholdstallet
60% af I0 . Hvor gammelt er træstykket? (Hint: I = I0 · at og II0 = 0, 6).
17.2.5
Øvelse. Ud fra mange punkter
Endelig ser vi på bestemmelse af regneforskriften for en eksponentiel udvikling ud
fra mange punkter. En række målepunkter er givet herunder
x 3
y 2
5
3
8
8
10
12
13
27
15
46
17
78
Der findes to metoder til bestemmelse af den bedste rette linje gennem punkterne
ovenfor
1. Ved håndkraft
(a) Indtegn punkterne i et koordinatsystem på et enkeltlogaritmisk papir.
Konstatér, at punkterne danner en ret linje i et enkelt logaritmisk koordinatsystem, og at der derfor er tale om en eksponentiel udvikling.
(b) Indtegn med lineal den bedste rette linje gennem punkterne.
(c) Aflæs to punkter på den netop indtegnede linje langt fra hinanden.
(d) Bestem a-værdien for den eksponentielle udvikling.
(e) Aflæs b-værdien som skæringspunktet med y-aksen.
(f) Opskriv regneforskriften for den eksponentielle udvikling.
Bemærk, at denne metode er subjektiv. Der findes en mere objektiv metode.
Den mere objektive metode kan findes i appendiks ??.
Resultatet er f (x) = 0, 877997 · 1, 30220x
2. Vha. regressionsprogram
Lommeregnere og computere har indbyggede programmer til eksponentiel regression. Find ud af, hvordan dine hjælpemidler virker og opnå resultatet ovenfor.
1
Kulstof-14 metoden blev opdaget d. 27. februar 1940 af Martin Kornen og Sam Ruben i
University of California Radiation Laboratory i Berkeley, USA og blev indført i Danmark af Hilde
Levy. Læs f.eks. [10] Torkild Andersen, Dateringen af fortiden om det første danske kulstof-14
laboratorium
17.3
142
Tolkning af koefficienterne
Regneforskriften for en eksponentiel udvikling er jo f (x) = b · ax .
Vi ønsker at give en tolkning af koefficienterne a og b og gør det via et eksempel
17.3.1
Eksempel. Tolkning af koefficienter
En kunde sætter penge i banken. Han kan finde ud af hvor mange kroner han har i
banken efter t år v.h.a. regneforskriften K(t) = 12500 · 1, 035t .
Vi ønsker at tolke betydningen af b-værdien 12500 og a-værdien 1, 035 og ser, at:
1. K(0) = 12500 · 1, 0350 = 12500 · 1 = 12500.
b = 12500 er altså det beløb, der stod i banken efter 0år.
Kunden satte altså 12500kr ind i banken.
2. at a = 1, 035 betyder, at det indsatte beløb vokser med
(1, 035 − 1) · 100% = 3, 5% om året.
17.3.2
Øvelse
Giv en tolkning af koefficienterne i følgende eksponentielle udviklinger:
1. En flok vildt levende kaniner på en lille ø vokser eksponentielt med tiden t
målt i uger, idet antallet af kaniner til tiden t er givet ved N (t) = 12 · 1, 024t .
Giv en tolkning af tallene 12 og 1,024.
2. Planteliv kan kun vokse i de øverste 10 meter af vand.
Den Schweiziske matematiker J. H. Lambert (1728-1777) opdagede i 1760 årsagen hertil; nemlig, at lysets intensitet I i vandet aftager eksponentielt med
vanddybden x. D.v.s. I = I0 · ax . Giv en tolkning af konstanten I0 .
3. Kalium-42 har en halveringstid på 12,36 timer og henfalder2 ved udsendelse
af β − -stråling til calcium-42. En kalium-42 prøve aftager eksponentielt med
tiden, idet N (t) = 1, 8 · 102 4 · 1, 0577t . Giv en tolkning af tallene 1, 8 · 102 4 og
1, 0577.
2
Ifølge henfaldsloven, som blev opstillet i 1902 af den britiske fysiker Ernest Rutherford (18711937) gælder N (t) = N0 · at , hvor t er tiden og N er antallet af kerner.
17.4
17.4.1
143
Opgaver i eksponentielle udviklinger
Øvelse. Andeblade
i et forsøg med andemad har man dagligt optalt antallet af blade (N ).
Resultatet er angivet i tabellen
t/dage 0
N
127
1
171
t/dage 7
8
N
1406 2150
2
233
3
323
9
10
2800 4140
4
452
5
654
11
5760
12
8250
6
918
1. Tegn antallet af blade som funktion af tiden i et almindeligt koordinatsystem.
2. Tegn antallet af blade som funktion af tiden i et enkelt logaritmisk koordinatsystem.
3. Redegør for, at der er tale om en eksponentiel udvikling.
4. Find en regneforskrift for antallet af blade som funktion af tiden på formen
N (t) = b · at .
5. Hvor mange blade kan du forvente, at der er efter 7,5 dage?
6. Beregn fordoblingstiden og genfind den på graferne fra 1. og 2.
7. Giv en tolkning af koefficienterne a og b.
17.4.2
144
Øvelse. Danmarks befolkning
i tabellen herunder er Danmarks befolkningstal (antal tusind indbyggere) vist i perioden 1969 − 1965.
tid/år 1769
N
798
1787 1801 1834 1840 1845 1850 1855 1860
841 929 1231 1289 1357 1415 1507 1608
tid/år 1870 1880 1890 1901 1906 1911 1916 1921 1925
N
1785 1969 2172 2450 2589 2757 2921 3268 3535
tid/år 1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965
N
3551 3706 3844 4045 4281 4448 4585 4768
1. Afsæt N som funktion af tiden efter år 1800 i et almindeligt koordinatsystem.
2. Afsæt N som funktion af tiden efter år 1800 i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
3. Redegør for, at befolkningstallet udviklede sig eksponentielt med tiden.
4. Find en regneforskrift for N (t) på formen N(t) = b · at .
5. Hvor mange indbyggere ville der have været i dag, hvis tendensen fortsatte?
6. Hvornår ville der være 5 millioner indbyggere?
7. Giv en tolkning af tallene a og b.
Kapitel 18
Afleveringsopgave
Gør dig i følgende opgave umage med at forklare din tankegang med fokus på
1. at forklare, hvordan du er kommet frem til dine formler.
Husk opstillingen: Opskriv formel - isolér den ønskede størrelse - indsæt tal
(husk enheder) - resultat.
2. at skrive forklarende tekst, når det er nødvendigt.
3. at minimere antal ord således, at du så kortfattet og præcist som muligt
besvarer opgaven.
4. at tegne figurer, som illustrerer problemstilling, når det er muligt.
Figurer bør forsynes med de samme symboler, som benyttes i besvarelsen af
opgaven.
Opgave 1. Densitet/massefylde
Et en klump af et stof har massefylde 11, 34 cmg 3 . Hvor meget fylder 2kg bly?
Opgave 2. Det frie fald
Flemmings ualmindeligt nyvaskede 1118kg tunge Ford Mondeo (Der er dumpekarakter til enhver som bare tænker på at udtale sig hånende eller nedsættende herom)
bliver ved et katastrofalt uheld skubbet ud over en afgrund. Der er 137m til bunden
af afgrunden, der vælges som nulpunkt for den potentielle energi.
1. Beregn superbilens potentielle energi lige før dens skæbnesvangre fald.
Hvad er statussymbolets kinetiske og mekaniske energi til dette tidspunkt?
2. Hvad er den højt eftertragtede bils potentielle, mekaniske og kinetiske energi
lige inden den rammer jorden? Hvorfor?
145
KAPITEL 18. AFLEVERINGSOPGAVE
146
3. Beregn ud fra den kinetiske energi fra foregående spørgsmål pragtkøretøjets
fart lige inden det rammer jorden.
4. Foretag en direkte beregning af det teknologiske vidunders fart lige inden det
rammer jorden (som vist på side 31).
Sammenlign de to resultater (de skulle selvfølgelig helst være ens).
Opgave 3. Elektricitet
I et elektrisk kredsløb er der en spændingskilde og to modstande R1 og R2 i serieforbindelse.
1. Tegn kredsløbet
2. Det oplyses, at R1 = 118Ω og R2 = 66Ω mens strømstyrken er 0, 63A.
Beregn spændingsfaldet over hver af de to modstande.
3. Hvor stort er det samlede spændingsfald?
4. Hvilken effekt afsættes der i hvert af de to modstande?
5. Hvilken energi afsættes der i de to modstande i løbet af en uge?
Opgave 4. Stående bølger
Lyd med frekvensen 440Hz sendes gennem et åbent rør. Beregn de første 5 længder
af røret for hvilke der dannes resonans og tegn de tilsvarende rør.
18.0.3
Opgave 5. Gitterformlen
Lys med bølgelængden 560nm sendes ind mod et gitter med 300 streger pr mm.
1. Beregn det maksimale antal lysstråler der fremkommer.
(vær omhyggelig med at få besvaret dette spørgsmål rigtigt. Læs, hvad der
står :-))
2. Bestem afbøjningsvinklerne.
3. Hvorfor spaltes lyset?
KAPITEL 18. AFLEVERINGSOPGAVE
147
Opgave 6. Brydning
Lys med bølgelængden 632,8nm sendes fra luft til glas til vand til luft.
Det oplyses, at nluft = 1, nglas = 1, 52 og nvand = 1, 34.
1. Beregn lysets hastighed i hhv. glas og vand.
2. Beregn lysets bølgelængde i hhv. glas og vand.
3. Hvad er lysets frekvens i luft, glas og vand?
4. Det oplyses, at indfaldsvinklen er i = 32◦ .
Foretag de nødvendige beregninger og tegn en nøjagtig skitse af strålegangen.
5. Hvorfor bøjer lyset?
Opgave 7. Termodynamik
Betragt 15kg vanddamp ved temperaturen 118◦ C.
Beregn den energi der frigøres når dampen køles ned til is ved temperaturen −11◦ C.
Opgave 8. Kernefysik
Betragt stoffet Bismuth.
1. Find Bismuth på kernekortet. Tror du Bismuth findes i naturen? Begrund dit
svar.
2. To af Bismuth-isotoperne henfalder ved alfastråling. Opskriv kerneprocesserne.
3. Den Bismuth-isotop, som har størst antal neutroner er ustabil. Hvilken type
stråling udsendes? Opskriv kerneprocessen.
4. Bismuth-213 har en halveringstid på 45,6 minutter og vejer 212,99436u.
(a) Beregn antallet af kerner i en prøve på 21 kg Bismuth-213.
(b) Opskriv regneforskriften for antallet af tilbageværende Bismuth-213 kerner som funktion af tiden.
(c) Beregn antallet af tilbageværende kerner efter 10 minutter, 20 minutter,
30 minutter, 40 minutter og 50 minutter.
(d) Hvornår er der 100 gram tilbage?
Kapitel 19
SI-enheder og konstanter
19.1
SI-enheder for fysiske størrelser
Begreb
Symbol
Enhed
Symbol
m
s2
Acceleration
Arbejde
Areal
Energi
a
A
A
E
Hastighed
Kraft
Ladning
Længde
v
F
Q
l
Newton
Coulomb
Meter
N = kg ·
C
m
Masse
Rumfang
Spænding
Strømstyrke
m
V
U
I
Kilo
Kubikmeter
Volt
Ampere
kg
m3
V =
A=
Tid
Varme
t
Q
Sekund
Joule
s
J
Joule
J
Kvadratmeter m2
Joule
J = kg ·
m
s
m2
s2
m
s2
J
C
C
s
Tabel 19.1: SI-enheder
148
KAPITEL 19. SI-ENHEDER OG KONSTANTER
19.2
149
Fysiske konstanter
Konstant
Værdi
Elementarladningen
e = 1, 602 · 10−19 C
Tyngdeaccelerationen g = 9, 82 sm2
Tabel 19.2: Fysiske konstanter
19.3
Dekadiske præfikser
Symbol
Værdi
Navn
Å
n
−10
10
10−9
Ångstrøm nano
µ
m
−6
10
10−3
mikro milli
c
d
−2
10
10−1
centi deci
Symbol
Værdi
Navn
h
102
hekto
M
106
mega
T
1012
tera
k
103
kilo
G
109
giga
P
1015
peta
Tabel 19.3: Dekadiske præfikser
19.4
19.4.1
Appendiks. Videnskabelig notation
Begrundelse
Under tiden er det upraktisk at skrive tal, sådan som vi er vant til det. Jordens masse er ca. 5.980.000.000.000.000.000.000.000kg, mens en protons diameter
er 0, 000000000000001m. Hvis vi skriver tallene på denne form, kan de virke uoverskuelige; det er ubekvemt at skulle skrive og læse så mange nuller.
19.4.2
Indførelse af videnskabelig notation
Derfor skrives tallene på en anden form - videnskabelig notation. Vi indfører altså
en bekvem og kort måde at skrive meget store eller meget små tal, idet vi bruger
potenser af 10:
Vi skriver, at jordens masse er 5, 98·1024 kg og at diameteren af en proton er 10−15 m.
KAPITEL 19. SI-ENHEDER OG KONSTANTER
19.4.3
150
Regning i videnskabelig notation
Vi har set, at det er lettere at læse tal skrevet vha. videnskabelig notation. Der
er også en anden stor fordel. Den nye skrivemåde gør os undertiden i stand til at
foretage beregninger i hovedet:
4 · 10−4 · 1, 5 · 106 = (4 · 1, 5) · (10−4 · 106 ) = 6 · 10−4+6 = 6 · 102 = 600
Tilsvarende:
7,5·107
2,5·108
=
7,5
2.5
· 107−8 = 3 · 10−1 = 0, 3
Kapitel 20
Oversigt
20.1
Ohms lov
Sammenhængen mellem spændingsforskel U , modstand R og strømstyrke I er
U =R·I
Bemærk: [U ] = V (volt), [I] = A (ampere) og [R] = Ω (Ohm).
20.2
Generel formel for effekt
Effekten P hvormed en energi ∆E i løbet af et tidsrum ∆t omsættes er
P =
∆E
∆t
Bemærk [P ] = w (Watt), [E] = J (Joule) og [t] = s (sekunder).
20.3
Elektrisk effekt
Den effekt P som afsættes i en komponent er givet ved produktet af spændingsforskellen U over komponenten og strømstyrken I gennem komponenten:
P =U ·I
Bemærk [P ] = w (Watt), [U ] = v (volt) og [I] = A (ampere).
151
KAPITEL 20. OVERSIGT
152
20.4
Joules lov
20.5
Forskellige enheder for energi
20.6
Massefylde
Sammenhængen mellem masse m, massefylde ρ og rumfang V er
m=ρ·V
Bemærk: [m] =g (gram), [ρ] =
[V ] = cm3 (kubikcentimeter).
20.7
g
cm3
(gram pr. kubikcentimeter) og
Forskellige enheder for hastighed
Standardenheden (SI-enheden) for hastighed er [v] =
m
.
s
1 ms = 3, 6 km
h
20.8
Bevægelse med konstant acceleration
Når et legeme bevæger sig med konstant acceleration, så er bevægelsesligningerne
givet ved:
Begreb
Ligning
Acceleration a =konstant
Enhed
[a] =
m
s2
m
s
Hastighed
v(t) = a · t + v0
[v] =
Sted
s(t) = 12 at2 + v0 t + s0
[s] = m
Desuden gælder
1. Stigningstallet for tangenten til grafen for s(t) er v(t).
2. Stigningstallet for tangenten til grafen for v(t) giver a.
3. Arealet under grafen for a giver v(t).
4. Arealet under grafen for v(t) giver s(t).
Bemærk: v0 er begyndelseshastigheden og s0 er begyndelsesstedet.
20.9
Tyngdekraft
Sammenhængen mellem tyngdekraften, masse og tyngdeacceleration er
Ft = m · g
Bemærk [Ft ] = N (Newton), [m] = kg og g = 9, 82 sm2 .
20.10
Bølgehastighed
Sammenhængen mellem bølgehastighed v, bølgelængde λ og periodetid T er
v=
λ
T
Bemærk: [v] =
20.11
m
,
s
[λ] = m og [T ] = s
Frekvens og periodetid
Sammenhængen mellem frekvens og periodetid er
f = T1 .
Bemærk: [f ] = s−1 =
20.12
1
s
=Hertz og [T ] =s
Bølgeformlen
Sammenhængen mellem bølgehastighed v, bølgelængde λ og frekvens f er
v =λ·f
Bemærk: [v] =
20.13
m
,
s
[λ] = m og [f ] = s−1
Lydstyrke
Sammenhængen mellem intensiteten I og lydstyrken L for en lydbølge er
L = 10 · log
Bemærk: [I] =
w
,
m2
Ä
I
I0
ä
dB
[L] =dB og I0 = 10−12 mw2
153
20.14
154
Gitterformlen
Sammenhængen mellem afbøjningsvinkel, orden, bølgelængde og gitterkonstant, når
lys sendes ind gennem et gitter er
sin(θm ) =
m·λ
d
Bemærk: [λ] = [d] = nm, hvor 1nm = 10−9 m = 10−6 mm.
Et optisk gitter med et vist antal streger pr mm har gitterkonstanten
d=
1
antal
20.15
sin(i)
sin(b)
=
λ1
λ2
· 106 nm
Brydningsloven
=
v1
v2
= n12 og n21 =
1
n12
Bemærk [λ1 ] = [λ2 ] = nm, [v1 ] = [v2 ] =
Endvidere er n1 =
c
,
v1
så n12 =
n2
n1
m
.
s
og c = 3 · 108 ms
Her er en tabel over forskellige brydningsforhold
Stof
Brydningsforhold, nstof
20.16
Ethanol
1,37
Vand
1,34
Glas Acryl
1,51 1,49
Kelvin skalaen
Temperaturen målt i kelvin er T = t + 273, 16K
20.17
Elementarpartikler
Oversigt over elementarpartikler.
Diamant Is
2,42
1,31
Partikel
Symbol
proton
1
1p
neutron
elektron
20.18
155
Masse
Ladning
1, 007277u
e
1
0n
1, 008665u
0C
0
−1 e
0, 000549u
−e
eller 11 H
Varmekapacitet
Tabeller
1.1
Fakulteternes fokus, materialer og værktøjer . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1
2.2
Tidsrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Afstande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.1
8.2
8.3
Frekvenser og bølgelængder for elektromagnetisk stråling . . . . . . . 58
Begreber i forbindelse med brydning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tabelværdier for brydning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.1
Konstanter for opvarmning af vand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.1 Elementarpartiklers egenskaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.1 Bevarelseslove ved henfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
15.1 IMRAD-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.2 Indhold af fysikrapporter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
19.1 SI-enheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
19.2 Fysiske konstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
19.3 Dekadiske præfikser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
156
Figurer
1.1
1.2
Ohms lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forhold mellem metode, empiri og teori . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
Simpelt kredsløb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Simpelt kredsløb med oplysninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Måling af spændingsforskel og strømstyrke . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1
6.2
Harmonisk bølge 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Harmonisk bølge 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Lydbølge . . . .
Bell-skalaen . .
Interferens . . .
Stående bølge .
Stående bølger i
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
Synligt lys . . . . . . . . . . . . . . .
Plan bølge sendes mod en spalte . . .
Plan bølge sendes mod et gitter . . .
Afbøjningsvinkler . . . . . . . . . . .
Udledning af gitterformlen . . . . . .
Eksperiment. Laserlys sendes gennem
Brydningrydningsloven . . . . . . . .
Udledning af brydningsloven . . . . .
Brydning og totalrefleksion . . . . . .
9.1
9.2
9.3
Celcius skalaen og Kelvin skalaen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Opvarmning af 1 kg H2 O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
. .
. .
. .
. .
rør
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
51
53
54
55
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
et gitter
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
60
61
62
62
66
68
69
71
10.1 Bohrs atommodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
16.1 Beliggenhed af sider og vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
16.2 Retvinklet trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
157
Indeks
absolut brydningsforhold, 66
absolut nulpunkt, 75
acceleration, 18
afbøjningsvinkel, 61
alfa-henfald, 94
ampere, 32
amperemeter, 34
Amplitude, 44
arbejde, 20
astronomisk enhed, 106
atom, 90
atommasseenhed, 91
bølgehastighed, 44
bølgelængde, 44
beta-henfald, 94
bug, 52
celcius skalaen, 76
cosinus, 120
datterkerne, 94
deduktiv metode, 8
densitet, 11
elektrisk energi, 97
elektrisk komponent, 33
elektromagnetisk stråling, 55
elektromagnetiske bølger, 98
elementarladning, 32
empiri, 6
energibevarelse, 27
exciteret atom, 95
fakulteter, 10
fart, 18
faser, 76
Fermats princip, 68
frekvens, 44
frit fald, 8
gitterformlen, 61
gitterkonstant, 60
grundtone, 53
harmonisk bølge, 43
hastighed, 18
henfald, 94
hypotese, 8
induktiv metode, 7
infralyd, 48
Infrarød stråling, 55
intensitet, 48
interferens, 51
ion, 90
ioner, 32
jævn, 24
Kelvinskalaen, 76
kemisk energi, 98
kilogram, 16
kinetisk energi, 25, 98
knude, 52
konstruktiv interferens, 51
kraft, 19
kubikmeter, 16
kvadratmeter, 16
kvalitative metode, 6
kvantitative metode, 6
ladning, 32
longitudinal bølge, 42
158
INDEKS
lydbølge, 47
lysår, 106
massefylde, 11
meter, 16
mikrobølger, 55
moderkerne, 94
neutron, 89
nukleon, 89
Ohms lov, 5, 35
orden, 59
overtoner, 53
parsec, 106
potentiel energi, 25
proton, 89
Pythagoras’ sætning, 120
radarbølger, 55
radiobølger, 55
refleksionsloven, 69
relativt brydningsforhold, 66
retlinet bevægelse, 18
retvinklet trekant, 120
sekund, 15
sinus, 120
spændingsfald, 33
spændingskilde, 33
stående bølge, 52
strømstyrke, 32
strålingsenergi, 98
svingningstid, 44
tangens, 120
temperatur, 75
temperaturskalaer, 76
teori, 4
termisk energi, 97
termodynamik, 75
termografi, 55
tilstandsformer, 76
tilvækst, 17
159
totalrefleksion, 68
transversal bølge, 42
tyngdeacceleration, 19
tyngdefeltet, 25
tyngdekraft, 19
udfaldsvinkel, 69
UHF-bølger, 55
ultralyd, 48
unit, 91
varme, 75
varmekapacitet, specifik, 78
varmestråling, 55
vinkelsum, 120
voltmeter, 34
Litteratur
[1] Henrik Tarp-Johansen,
En introduktion til fysik,
Jul. Gjellerups forlag a-s.
København 1977
ISBN: 87-13-02319-5
[2] Paul M. Fishbane, Stephen Gasiorowicz and Stephen T. Thornton,
Physics for Scientists and Engineers
Prentice Hall, Inc.,
New Jersey 1993,
0-13-663328-6
[3] Heinrich Dörrie,
Grundriss der Physik,
Zweite Ergänzte Auflage
Ferdinand Hirt,
Breslau 1942.
[4] J. K. Eriksen og Søren Sikjær,
Fysik for gymnasiet II,
5. ændrede udgave,
J. H. Schultz forlag,
København 1964.
[5] J. K. Eriksen og Søren Sikjær,
Fysik for gymnasiet III,
4. ændrede udgave,
J. H. Schultz forlag,
København 1965.
[6] Finn Elvekjær og Børge Degn Nielsen,
Fysikkens verden 2
Mekanik, bølger, atom- og kernefysik.
C.E.C. Gad
København 1998.
160
LITTERATUR
161
[7] Marianne Ibsen, Kim Svenningsen og Allan Tarp.
Programmerede opgaver i matematik med elevsvar.
GMT (1977).
[8] Erik Strandgaard Andersen, Paul Jespersgaard og Ove Grønbæk Østergaard.
Databog fysik kemi.
F & K Forlaget, København (1980).
10. udgave, 1. oplag.
ISBN 87-87229-58-7.
[9] Frode Andersen, Ole Bostrup, Erik Halkjær og K. G. Hansen.
Fysik 1 for HF
Gyldendal
København 1969.
[10] Torkild Andersen,
Dateringen af fortiden
Aarhus Universitetsforlag (2007) ISBN: 978-87-7934-322-1

Vinduesvask m/ vandbehandlingsanlæg - rationel

Transcription

Similar documents

Modul 3 – Gasfysik og Opdrift

Kemi-arbejdsark 6.4 Permanganattitrering - Isis Kemi C

Opgaver Forbrugerteori - Unge Talenter Region Syd

i PDF-format.

Mykotoksiner i korn

nr. 1 Marts - Dansk Ultralyddiagnostisk Selskab

Gå til kemisk analyse

Doserings units - Balicí stroje ASTRO Vlašim

Intensiteten af radioaktiv stråling

Det_levende_univers