Opgaver Forbrugerteori - Unge Talenter Region Syd

Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet
Workshop
Text
Opgave 1
Antag at en forbrugers nyttefunktion er givet ved u(x1 , x2 ) = x31 x2 . Forbrugeren har
derudover følgende budgetbetingelse: p1 x1 + p2 x2  m, hvor m er indkomsten, p1 er prisen
på vare x1 og p2 prisen på vare x2 .
1. For hvilke værdier af x1 og x2 opfylder nyttefunktionen u(x1 , x2 ) = x31 x2 monotonicitet?
2. Er præferencerne for x1 og x2 strengt konvekse?
3. Er u(x1 , x2 ) kontinuert differentiabel?
4. Hvad kan vi konkludere når en forbrugers præferencer er monotone, strengt konvekse
og nyttefunktionen kontinuert differentiabel?
5. Anvend Lagrange multiplikatormetoden til at finde det optimale forbrug (x⇤1 , x⇤2 ), når
m = 1000, p1 = 25 og p2 = 5. Vis alle udregninger.
6. Hvad er nytteværdien under det optimale forbrug?
7. Illustrer grafisk budgetlinjen og den optimale indifferenskurve. Indiker x1 og x2 ’s
skæring med akserne samt det optimale forbrug (x⇤1 , x⇤2 ).
8. Vis at det marginale subsitutionsforhold (M RS) i det optimale forbrug (x⇤1 , x⇤2 ) og
hældningen på budgetlinjen er identiske.
9. Hvad er u(x1 , x2 ) på budgetlinjen når x1 = 10? Sammenlign nytteværdien med
resultatet fra opgave 1.6.
10. Hvad er M RS når den tangerer budgetlinjen givet x1 = 10? Sammenlign denne
M RS med værdien af M RS i opgave 1.8. Brug værdierne af de to M RS til at
forklare hvordan forbrugeren vil afvige fra x1 = 10 til et punkt på budgetlinjen.
1
Opgave 2
I denne opgave analyserer vi Cobb-Douglas nyttefunktionen som er givet ved u(x1 , x2 ) =
x↵1 x12 ↵ . Det antages at forbrugeren har samme budgetbetingelse som opgave 1, således
p1 x1 + p2 x2  m.
1. Under hvilke betingelser opfylder u(x1 , x2 ) monotonicitet?
2. Er præferencerne for x1 of x2 strengt konvekse?
3. Er u(x1 , x2 ) kontinuert differentiabel?
4. Anvend Lagrange multiplikatormetoden til at finde det optimale efterspørgsel (x⇤1 , x⇤2 ).
Vis alle udregninger.
5. Vi foretager følgende monotone transformation af Cobb-Douglas funktionen:
ln x↵1 x12 ↵ = ↵ ln x1 + (1 ↵) ln x2 . Vis at det optimale forbrug (x⇤1 , x⇤2 ) er det
samme som hvad vi fandt i opgave 2.4.
Opgave 3
Regeringen vil gennemføre et nyt uddannelsesprojekt som de vil finansiere gennem ekstra
beskatning af borgerne. Som finansiel rådgiver for regeringen er du blevet bedt om at analysere hvorvidt det er bedst at beskatte borgerne på en specifikt vare eller på deres indkomst.
For at simplificere analysen, antag at alle borgere kun forbruger to varer givet ved x1 og x2
og at deres nyttefunktion er givet ved Cobb-Douglas funktionen u(x1 , x2 ) = x↵1 x12 ↵ . Det
antages at forbrugeren har samme budgetbetingelse som opgave 1, således p1 x1 +p2 x2  m.
1. Indsæt ↵ = 0, 5 i den optimale efterspørgsel (x⇤1 , x⇤2 ) fundet i opgave 2.4.
2. Lad u(x⇤1 , x⇤2 ) = (x⇤1 )↵ (x⇤2 )1 ↵ betegne den indirekte nyttefunktion. For p1 = 1,
p2 = 4, m = 8 og ↵ = 0, 5, indsæt (x⇤1 , x⇤2 ) i den indirekte nyttefunktion og beregn
nytteværdien for de angivne parametre samt den optimale efterspørgsel.
3. Hvis en skat på 1 kr. var indført på vare x1 (dvs. p01 = p1 + 1), beregn den indirekte
nytteværdi, den nye efterspørgselværdi af (x1 , x2 ) og beregn skatteindtægten R =
(p01 p1 )x⇤1 for forbrugeren.
4. Forstil dig at du i stedet opkræver samme skatteindtægt R ved at trække denne
direkte fra forbrugerens indkomst, dvs. nettoindkomsten er m0 = m R. Beregn den
indirekte nytteværdi i dette tilfælde samt den nye efterspørgselværdi.
5. Sammenlign nytteværdien for delopgave 2, 3 og 4 og vis den grafiske forskel på
budgetlinjer, indifferencekurver og efterspørgselsværdier.
6. Forklar den underliggende intuition for hvorfor vi ser forskellen i nytteværdi.
2