Nuffeld 342 460 - Trente Vindmoelle

Opgavesamling til kurset
MIA – Matematik i anvendelse
Tomas Højgaard & Peter Limkilde
Roskilde Universitet, foråret 2010
Indhold
1
2
3
Opgaver om matematisk symbolbehandlingskompetence og matematisering
1.1 Introduktionsopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ligninger med én ubekendt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Sammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Stokastiske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Sandsynlighedsmodeller: Binomialfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Sandsynlighedsmodeller: Test for uafhængighed . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
5
6
8
9
10
10
13
Opgaver om matematisk modelleringskompetence
2.1 Introduktionsopgaver . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Om formler og overslagsberegninger . . . . . .
2.3 Om at bygge modeller . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Om at udøve modelkritik . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
16
17
19
.
.
.
.
20
20
20
21
23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Oplæg til miniprojekter
3.1 Mål: Udvikling af matematisk symbolbehandlingskompetence . . . . . . . .
3.2 Mål: Udvikling af matematisk modelleringskompetence, produktiv del . . .
3.3 Mål: Udvikling af matematisk modelleringskompetence, undersøgende del
3.4 Krav til miniprojekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referencer
.
.
.
.
25
1
1 Opgaver om matematisk symbolbehandlingskompetence og
matematisering
1.1
Introduktionsopgaver
MIA 11.1 I en judoklub for børn er der D drenge, P piger, T trænere og L ledere. Hvad betyder
følgende formler (Matematrix 7, side 18)?
a) D = P
b) T < L
c) D = 2P
d) T > 0
e) P = D + 10
f)
1
2 (D
+ P) = 45
MIA 11.2 Opskriv formler, som beskriver følgende sammenhænge (Matematrix 7, side 18):
a) Der er en træner flere, end der er ledere.
b) Der er 10 drenge flere, end der er piger.
c) Der er 10 gange så mange drenge som piger.
d) Der er en træner for hver 10 drenge.
e) Der er en træner for hver 10 medlemmer.
f) Der er dobbelt så mange medlemmer, som der er voksne (trænere og ledere).
MIA 11.3 Sæt den størst mulige faktor uden for parentes. Det kan både være tal og bogstaver
(Matematrix 8, side 25).
a) 3a + 3 · 5b
b) 4a + 22b
c) 6d − 15c
d) 3b − 12bd
e) 4a + 18ab
f) 3ab + 4ac
g) 8cd − 20bc
h) 6abc + 15ab
i) 3de − 12e f + 6d f
2
1.2
Variable
MIA 12.1 Et rektangel har en højde på 1 cm og en bredde på 4 cm.
a) Hvor stor bliver omkredsen?
b) Hvor stort bliver arealet?
Nu fordobles både højde og bredde.
c) Hvor meget større bilver omkredsen?
d) Hvor meget større bliver arealet?
Nu ganges både højde og bredde med k.
c) Hvor meget større bilver omkredsen?
d) Hvor meget større bliver arealet?
MIA 12.2 Et rektangel har en omkreds på 10 cm. Dets højde er 1 cm.
a) Hvor stor er bredden?
Nu fordobles højden mens omkredsen holdes fast.
b) Hvor stor bliver bredden nu?
c) Hvor stort bliver arealet?
Nu ønskes et rektangel der er k gange større.
a) Hvor stor bliver omkredsen?
MIA 12.3 På X-købing Universitet er der Sx studerende, heraf Mx mænd. Angiv forholdet
mellem antal kvinder og antal mænd.
MIA 12.4 På Y-købing Universitet, hvor der er Sy studerende, er forholdet mellem antallet af
kvinder og antallet af mænd 3 : 2. Hvor mange kvinder går der?
MIA 12.5 Reducér mest muligt:
2x
x
7x
+
−
a
3a 2a
3a 5a
+
5b 3b
x + y 2x − 5y
−
2m
4m
4a + 3 2a − 4
−
2b
3b
MIA 12.6 Reducér mest muligt:
6x − 5y 2x − 3y 4y − x
−
−
4
3
6
a + b 2a + b 5a + 2b
+
+
c
3c
12c
8y − 3 y + 2 5y + 17
−
+
5n
2n
n
3
12x − 5
10
−
2x − 4
x−2
MIA 12.7 Sæt fælles faktorer uden for parentes:
xyz + x2 y − xy2
a2 b + ab2 − 3ab
3ax − 3bx + ay − by
2ax + 2bx + ay + by
MIA 12.8 Forkort følgende brøker:
8a2 b3 c
12a3 bc3
8ab2 c3
6a3 b2 c
20a − 12b
25a − 15b
24a2 bc3
36ab2 c2
6ab − 2b
9ac − 3c
MIA 12.9 Forkort følgende brøker:
4ab − 12b
8ac − 24c
6a2 bc2
15ab2 c
3ab2 c
12a2 bc2
MIA 12.10 Forkort følgende brøker:
27ab2 − 18a2 b
10ab2 − 15a2 b
b2 − 2ab + 3b
4b − 8a + 12
6ac − 9ab
−8c2 + 12bc
MIA 12.11 Reducér mest muligt:
4m − ((2m + n) − (4m − 7n) + (2m − 8n))
22x − ((10x + 5y) − (7x − 4y) + ( x − 9y))
MIA 12.12 Reducér mest muligt:
a − (2b − 9) a − (b − 5) a + (b − 4)
−
+
a − 2b
a − 2b
a − 2b
4a + (2c − 3b) 3a − (4c + 2b) 2a − (3c − 4b)
−
+
a−b
a−b
a−b
6a + (3c − 2b) 4a − (3c + b) 2a − (c − 4b)
−
+
a − 2b
a − 2b
a − 2b
MIA 12.13 Reducér mest muligt:
a − 3b 2a − (b + 3a) −5a + (b − a) −7a + 2b
−
−
+
a−b
a−b
a−b
a−b
x − (−2y + (− x − y)) 3x + 2y − ( x − y)
−
x−y
x−y
4
MIA 12.14 Reducér mest muligt:
(2a − 5b)( a + b) − ( a − b)(2a + 5b)
(5n + 2m)( a − b) − ( a + b)(5n − 2m)
(4a − 3b)( a + 2b) − (4a + 3b)( a − 2b)
MIA 12.15 Reducér mest muligt:
2a 5a 4a
4·
+
+
3
7
21
7·
3x 2x 5x
+
+
4
12
6
MIA 12.16 Reducér mest muligt:
18x + 2 5x − 1
−
4y
3y
1.3
4x + 4 7x + 15
−
3m
2m
Ligninger med én ubekendt
MIA 13.1 Hvis søslangen i Loch Ness er 40 meter lang plus halvdelen af sin egen længde,
hvor lang er den så?
MIA 13.2 En flaske vin koster 43,- kr. inklusive pant for flasken. Indholdet koster 40,- kr. mere
end panten. Hvad meget er panten?
MIA 13.3 Arne, Bent og Curt har en tipsklub, hvor de deler gevinster efter deres indsats. Af
en gevinst får Arne halvdelen, Bent en fjerdedel og Curt en sjettedel – mens de bestemmer
at give resten på 2500 kr. til Røde Kors. Hvor stor er gevinsten?
MIA 13.4 I disse CD-tider er du blevet træt af din samling af skrattende LP-plader, og beslutter derfor at forære dem væk. Din mor forærer du halvdelen af pladerne plus 12 . Din far
får halvdelen af, hvad der er tilbage, plus 12 . Den sidste plade får postbuddet. Hvor mange
LP-plader havde du?
MIA 13.5 På en mark, der er 20 meter på hver led, vil man anlægge to grusstier, der går tværs
over marken på hver sin led.
a) Hvor brede stier kan man anlægge, hvis man kun har grus nok til at dække 15% af
markens areal?
b) Hvor brede kan stierne være, hvis man kun lægger gruset i et halvt så tykt lag?
c) Hvorfor er svaret ikke det dobbelte af før?
MIA 13.6 En fabrik planlægger at starte en produktion af smølfikokker. Der skal investeres
150 000 kr. i nye maskiner, og herefter koster det 28 kr./stk. at producere dem. Salgsprisen for smølfikokker på det danske marked er 46 kr./stk. Hvor mange enheder skal der
sælges, før produktionen giver overskud?
5
MIA 13.7 To biler A og B holder ved den samme vej. De sætter begge igang samtidig og kører
i samme retning, A med 80 km./time, B med 60 km./time. Hvor længe er A bag B, hvis A
fra starten holdt 5 km. længere nede ad vejen?
MIA 13.8 Et firma har påtaget sig at udføre et arbejde på 50 dage og benytter i begyndelsen
66 mand til arbejdet. Efter 28 arbejdsdage er netop halvdelen af arbejdet udført. Med hvor
mange mand skal arbejdsstyrken øges, for at arbejdet kan afsluttes rettidigt?
MIA 13.9 En tur med en rulletrappe tager 20 sekunder hvis man lader rulletrappen gøre hele
arbejdet og 10 sekunder hvis man løber op ad den rullende trappe. Hvor lang tid tager
det at løbe op hvis rulletrappen står stille?
MIA 13.10 To løbere træner på en 400 meter bane rundt om stadion. Den ene kan løbe tre
gange rundt, mens den anden løber to gange. Hvis de starter på samme punkt af banen
og løber hver sin vej, mødes de efter 40 sekunder. Hvor hurtigt løber hver af dem?
MIA 13.11 Forestil dig, at du er på vej over en smal jernbanebro, og netop i det øjeblik, du
er nået 3/8 af vejen over broen, hører du bagfra et tog komme i det fjerne. For at forsøge
at komme af broen inden toget kommer, kan du nu enten løbe tilbage mod toget eller
løbe videre over broen. Du kan løbe 25 km/t, og med den fart viser det sig, at du i begge
tilfælde lige akkurat kan nå til enden af broen samtidig med toget. Hvor hurtigt kører
toget?
MIA 13.12 Du får valget mellem to opsparingskonti: Den ene giver 8 % om året i rente, den
anden giver 110 kr. om året i rente. Hvilken konto foretrækker du? Begrund svaret.
MIA 13.13 Et teater hæver billetprisen med 30%. Det medfører, at den samlede billetindtægt
stiger med 17%. Med hvor mange procent har publikumstallet ændret sig?
Afhænger svaret af størrelsen af hhv. billetpris, billetindtægt og publikumstal? Begrund
svaret.
MIA 13.14 Hvis man til et tal lægger et bestemt antal procent, og derefter trækker det samme
antal procent fra resultatet, ender man ikke med det tal, man startede med. Hvorfor ikke?
Hvis det tal, man slutter med, er 84% af det tal, man startede med, hvor mange procent
har man så lagt til og derefter trukket fra?
1.4
Formler
MIA 14.1 En cykel og en bil passerer hinanden i modsatrettede kørebaner. Cyklen har farten
vc og bilen har farten vb . Sammenhængen mellem deres fart er
vb =
Beskriv sammenhængen med ord.
6
vc
3
MIA 14.2 Nogle kræftforskere mente, at der var 10 gange så stor risioko for at en ryger fik
lungekræft som der var for at en ikke-ryger blev angrebet af lungekræft. Hvis hypotesen
er rigtig, og den forventede procentdel af rygere, der rammes af lungekræft kaldes pr ,
men den forventede andel af ikke-rygere der rammes af sysgdommen kaldes pi , hvordan
er så sammenhængen mellem pr og pi skrevet som formel?
MIA 14.3 På en cykel er forholdet mellem antal pedalomdrejninger og hjulomdrejninger 2 : 5.
a) Er det pedalerne eller hjulene, der foretager flest omdrejninger?
b) Skriv sammenhængen som en formel
MIA 14.4 Strontium-90 er et radioaktivt stof, der henfalder således at der forsvinder 2, 45%
per år. Et laboratorium har i 2009 10 gram af stoffet.
a) Indfør passende variable og opstil et udtryk, de beskriver hvor mange gram af stoffet, der er tilbage et givet antal år efter 2009.
b) Hvor mange år går der indtil der kun er 1 gram tilbage af stoffet?
MIA 14.5 En trekant og en cirkel skal have samme areal.
a) Indfør passende variable og opskriv en formel, der udtrykker denne sammenhæng.
b) Udtryk radius i cirklen ved trekantens højde og grundlinje.
MIA 14.6 En persons Body-Mass-index, BMI, beregnes ved at dividere vægten i kg med kvadratet på højden målt i meter.
Indfør passende variable og opstil en formel for BMI.
MIA 14.7 Normalvægt er defineret til at BMI ligger i intervallet fra 18, 5 til 24, 9. En kvinde
er 170 cm høj. Opstil en funktion, der angiver BMI som funktion af denne kvindes vægt
og undersøg, hvilket vægtinterval denne persons vægt skal ligge indenfor, hvis hun vil
holde en normalvægt.
MIA 14.8 Studerende fra X-klassen og Y-klassen skal have tovtrækning. Inden konkurrencen
måler man de kræfter X og Y kan trækkke med, kaldet FX og FY . Sammenhængen mellem
kræfterne viser sig at være
FY = FX · 2
Beskriv denne sammenhæng med ord.
MIA 14.9 Tyngdekraften ved jordoverfladen Fj er 6 gange så stor som tyngdekraften FM på
månen. Skriv denne sammenhæng som en formel.
MIA 14.10 Kølesystemet i en bil rummer 5 liter. Der er hældt kølervæske på, så den udgør 15%
af indholdet. På grund af udsigt til streng frost vil bilens ejer forøge andelen af kølervæske.
Det gør hun ved at tappe en vis mængde af og fylde op med ren kølervæske.
7
a) Hvor stor bliver andelen af kølervæske, hvis hun aftapper 2 liter og fylder op med
ren kølervæske?
b) Hvor meget skal hun tappe af, hvis andelen af kølervæske skal være 25%?
c) Opstil en formel der beskriver sammenhængen mellem andelen af kølervæske i den
færdige blanding, og mængden der aftappes og erstattes med ren kølervæske.
MIA 14.11 Under udsalg får man ofte rabat som en procentdel af varens normale pris. Er det
smartest at bede om at få rabatten trukket fra før eller efter momsen lægges til prisen?
Begrund svaret.
MIA 14.12 Fra man får sin løn til man står med en vare i hånden betaler man først
indkomstskat og siden moms. Hvordan afhænger den samlede skat, man betaler, af
indkomstskatte-procenten og moms-procenten?
MIA 14.13 Isoler M i formlen for universel gravitation F =
m· M
.
r2
MIA 14.14 Isoler m i Einsteins energiligning E = m · c2 .
MIA 14.15 Et legemes kinetiske energi er proportional med produktet af massen og kvadratet
på hastigheden. Proportionalitetsfaktoren er 1/2. Oversæt dette til en formel.
MIA 14.16 Isoler R i formlen U = R · I.
MIA 14.17 Isoler K0 i formlen Kn = K0 (1 + r )n .
MIA 14.18 Isoler r i formlen Kn = K0 (1 + r )n .
1.5
Sammenhænge
MIA 15.1 Hvilken sammenhæng er der mellem længden af en række mursten og antallet af
mursten man bruger?
MIA 15.2 Hvilken sammenhæng er der mellem arealet af en muret væg og antallet af mursten
i den?
MIA 15.3 Hvilken sammenhæng er der mellem antallet af mursten i en stabel og hvor mange
kræfter man skal bruge på at lave stablen?
MIA 15.4 En kasse har en kvadratisk bund (og låg) med en given sidelængde. Kassen har et
rumfang på 200 cm3 . Angiv kassens samlede ydre overflade som funktion af sidelængden.
Vurder i hver af nedenstående tilfælde hvad der er den bedste representation af den mulige
sammenhæng, og giv så et eksempel på hvordan denne repræsentation kunne se ud.
MIA 15.5 Alder og højde på et menneske.
MIA 15.6 Areal og sidelængde i et kvadrat.
8
MIA 15.7 Alder og højde af børn der skal til børneundersøgelse.
MIA 15.8 Tid og antal fisk i en sø.
MIA 15.9 Tid og temperatur i et hus.
MIA 15.10 Tid og temperatur i en køletaske.
MIA 15.11 Tid og forbrug af naturgas til opvarmning af en bolig.
MIA 15.12 Tid og hastighed af en bil der accelererer.
MIA 15.13 Tid og indestående på en opsparingskonto.
MIA 15.14 Tid og tilbagebetaling af et lån med rente.
1.6
Grafer
MIA 16.1 Skitsér en graf, der viser hvordan temperaturen i et glas isvand udvikler sig.
MIA 16.2 Skitsér en graf, der viser hvordan dagens længde varierer gennem året.
MIA 16.3 Skitsér en graf, der viser hvordan din økonomi udvikler sig.
MIA 16.4 Skitsér en graf, der viser hvordan et menneskes højde udvikler sig.
MIA 16.5 Skitsér en graf, der viser to svømmere, hvor den hurtige overhaler den langsomme
kort før mål.
MIA 16.6 Skitsér en graf, der viser hvordan en opsparing vokser, når der ingen rente er på
kontoen, og der indsættes samme beløb pr. tidsenhed (fx 100 kr. hver måned).
MIA 16.7 Skitsér en graf, der viser hvordan en opsparing vokser når der indsættes et stort
startbeløb, og der er rente (fx 10% p.a.) på kontoen.
MIA 16.8 Skitsér en graf, der viser hvordan arealet af et kvadrat vokser når sidelængden af
kvadratet vokser.
MIA 16.9 Skitsér en graf, der viser hvordan sidelængden af et kvadrat vokser når arealet af
kvadratet vokser.
MIA 16.10 skitsér en graf, der ikke kan være graf for en funktion.
MIA 16.11 Vend tilbage til de foranstående graf-opgaver. For hver af de skitserede grafer skal
du nu i samme koordinatsystem skitsere en graf der viser væksthastigheden.
9
1.7
Stokastiske variable
MIA 17.1 Repetér: Hvordan kan man med hverdagssprog forklare hvad en variabel er?
MIA 17.2 Hvordan kan man med hverdagssprog forklare hvad det det vil sige at noget er
stokastisk?
MIA 17.3 Giv nogle eksempler fra din hverdag på
a) en konstant.
b) en variabel.
c) noget stokastisk.
d) noget deterministisk (»ikke-stokastisk«).
e) en stokastisk variabel.
MIA 17.4 Formuler en opgave hvor man arbejder med statistisk sandsynlighed.
MIA 17.5 Formuler en opgave hvor man arbejder med teoretisk sandsynlighed.
MIA 17.6 Byt de selvformulerede opgaver med en anden på kurset, og prøv at løse hinandens
opgaver.
MIA 17.7 Beskriv et eksperiment der involverer tilfældighed.
a) Hvordan kan begreberne udfaldsrum og hændelse forstås med dette eksperiment som
eksempel?
b) Definer en eller flere stokastiske variable knyttet til eksperimentet.
c) Angiv en sandsynlighedsmodel for eksperimentet.
MIA 17.8 Gentag forrige opgave med et nyt selvvalgt eksperiment som udgangspunkt.
1.8
Sandsynlighedsmodeller: Binomialfordelinger
MIA 18.1 En terning har seks sider. Hvad er sandsynligheden for at slå en 3’er? Hvad er sandsynligheden for at slå et lige tal?
MIA 18.2 En anden terning har fire sider. Hvad er sandsynligheden for at slå en 3’er? Hvad
er sandsynligheden for at slå et lige tal?
MIA 18.3 En tredje terning har tyve sider. Hvad er sandsynligheden for at slå en 3’er? Hvad
er sandsynligheden for at slå et lige tal?
MIA 18.4 Hvad er mest sandsynligt: At få mindst én sekser ved samlet kast med seks normale
terninger eller at få mindst to seksere ved samlet kast med 12 normale terninger?
MIA 18.5 I et skrabelottospil er der en sandsynlighed på 0, 2 for gevinst på et enkelt lod. Hvad
er sandsynligheden for at få en eller flere gevinster når man køber ti lodder på en gang?
10
MIA 18.6 En almindelig mønt kastes 5 gange. Bestem sandsynligheden for
a) netop at få 2 krone.
a) at få højst 2 krone.
c) at få flere end 2 krone.
MIA 18.7 Et spil har gevinstchance på 10%. En spiller vælger at spille 20 gange. Bestem sandsynligheden for
a) netop at få 2 gevinster.
b) at få højst 2 gevinster.
Hvert spil koster 5 kr. Gevinsten ved et vundet spil er 25 kr.
c) Hvor meget kan spilleren forvente at vinde/tabe ved de 20 spil?
d) Ville binomialfordelingen være relevant at bruge, hvis den samme stikprøve blev
gennemført for den samme vare, nu blot ikke masseproduceret, men kun fremstillet
i fx 200 eksemplarer?
MIA 18.8 En studerende prøver at smage forskel på to cola-typer ved med bind for øjnene at
smage på i alt 14 glas cola. Hvert glas er ved tilfældig lodtrækning fyldt med cola af type I
eller type II.
a) Hvad er sandsynligheden for ved rent gætteri at få 10 rigtige?
b) Hvor mange glas skal den studerende gætte rigtigt før sandsynligheden for sådan et
»heldigt« gæt eller bedre er mindre end 5%?
MIA 18.9 Under påfyldning af kaffe i poser opdages det at en del af poserne ikke fyldes helt
op. For at få et skøn over hvor mange, det drejer sig om, laves der en stikprøvekontrol. På
den baggrund formulerer man hypotesen
Højst 15% af poserne er fejlbehæftede.
Et supermarked har modtaget 1200 poser kaffe og modtager 232 klager fra kunderne om
at poserne ikke holdt den anførte vægt. Hvordan stemmer dette resultat med ovenstående
hypotese?
MIA 18.10 En fabrik har fået problemer med komponenter, der leveres af en underleverandør.
Defekte komponenter kan returneres, men de forårsager driftstop. Fabrikken har netop
fået 20 000 komponenter leveret og vil undersøge leverancen. Der udtages derfor en stikprøve på 100 stk., og det viser sig at der er 15 defekte komponenter i stikprøven.
a) Opstil og begrund en stokastisk model, der kan beskrive antal defekte i stikprøven
b) Leverandøren påstår, at andelen af defekte højst er 10%. Hvis det er rigtigt, hvad er
så sandsynligheden for at få 15 eller flere defekte i en stikprøve på 100?
11
MIA 18.11 Producenten af et rengøringsmiddel planlægger en serie TV-reklamer af 30 sekunders varighed. Som tommelfingerregel anslås det, at sandsynligheden for at en tilfældig
person i målgruppen (husmødre mellem 30 og 50 år) ser reklamespottet er 0, 20. Der er
råd til ialt ti spots.
a) Hvor mange gange vil en person i målgruppen i gennemsnit se spottet?
b) Hvor stor en andel af målgruppen vil se spottet mindst en gang?
c) Diskuter forudsætningerne for de anvendte modeller og de foretagne beregninger.
MIA 18.12 En virksomhed producerer elektriske komponenter. Der udtages dagligt en tilfældigt valgt stikprøve på 25 af de eletriske komponenter. De udtagne komponenters kvalitet
undersøges.
Hvis der er 4 eller flere komponenter i stikprøven som ikke kan opfylde kvalitetskravene,
bliver hele dagens produktionen sendt til eftersyn.
Når produktionen kører som den skal er der ca. 10% af komponenterne, der ikke opfylder
kvalitetskravene.
Lad X være antallet af komponenter i stikprøven, der ikke opfylder kvalitetskravene.
a) Hvilken sandynlighedsfordeling følger X? Hvad er forudsætningerne?
b) Beregn sandsynligheden for, at hele dagens produktion bliver sendt til gennemsyn,
når produktionen kører som den skal.
MIA 18.13 I forbindelse med en undersøgelse af unge livsvilkår påtænke man en spørgeskemaundersøgelse med spørgsmål om beskæftgelse, rådighedsbeløb og fritidsaktiviteter.
Man overvejede at udsende skemaet til 2 500 studerende. For at afprøve spørgeskemaet
udvalgte man tilfældigt 100 studerende, som skulle udfylde og returnere skemaet inden
to uger. Efter to uger havde man modtaget 61 skemaer.
a) Hvilken sandynlighedsfordeling kan anvendes til at beskrive antal returnerede skemaer blandt de 2500 udvalgte?
b) Giv et skøn over sandsynligheden for, at mere end 1500 blandt de 2500 elever vil
returnere skemaet.
MIA 18.14 På en fødeafdeling fødes en aften 6 børn. Bestem sandsynligheden for, at det bliver
lige mange drenge og piger, når sandsynligheden for dreng og pige sættes til henholdsvis
0, 513 og 0, 487 (løsning findes her1 ).
1 Basiseksperimentet er her en fødsel, hvor vi frit kan vælge om »succes« skal betegne en drenge- eller pigefødsel.
p er hhv. 0, 531 og 0, 487. Antallet af gentagelser er 6, så n = 6. X er her antallet af drenge (eller piger) på disse seks
fødsler. Lige mange drenge og piger betyder præcis tre af hver køn, så j = 3 uanset om vi vælger at tælle antallet
af drenge eller piger. Indsættes disse værdier i formlen beregnes sandsynligheden for lige mange drenge og piger
som
6!
P ( X = 3) =
0, 5313 (1 − 0, 531)6−3 = 0, 312
3!(6 − 3)!
12
MIA 18.15 Hver tredje dansker har bil. Bestem sandsynligheden for, at der i en forsamling på
12 tilfældige danskere er
a) højst 4 der har bil.
b) netop 4 der har bil.
c) mindst 4 der har bil.
MIA 18.16 Det oplyses, at 70% af alle biler har lygtefejl. Det antages derfor, at sandsynligheden for, at en bil har lygtefejl, er 0, 70. En mekaniker skal undersøge 50 tilfældige biler for
lygtefejl. Bestem sandsynligheden for, at
a) højst 30 har lygtefejl.
b) mindst 30 og højst 35 har lygtefejl.
c) netop 35 har lygtefejl.
MIA 18.17 Om en bestemt masseproduceret vare gælder, at sandsynligheden for, at en vareenhed er defekt, er 0, 05 (løsning findes her2 ).
a) Bestem sandsynligheden for, at der i en stikprøve på 100 stk. af den pågældende vare
er netop én defekt.
b) Kan du se nogen problemer med at opfylde forudsætningerne for at kunne bruge
binomialfordelingen her?
1.9
Sandsynlighedsmodeller: Test for uafhængighed
MIA 19.1 Brug tabellen i Malmberg (1995, s. 38-41) til at finde 0, 95-fraktilen og 0, 99-fraktilen
i en chi-i-anden fordeling med én frihedsgrad ( f = 1) og med to frihedsgrader ( f = 2).
MIA 19.2 Hvis signifikansniveauet i et chi-i-anden test er 5% hvilken fraktil skal så bruges
som den kritiske værdi?
Og hvis det er 1% hvilken fraktil er det så, der bruges som kritisk værdi?
MIA 19.3 A, B og C har udfordret hinanden på pistol. A træffer dødeligt med 100% sikkerhed,
B med 80% og C kun med 50%. De stiller sig op i en ligesidet trekant og må nu skyde et
skud af gangen efter tur. Der trækkes lod om startrækkefølgen.
Hvad er hver af de tre personers chance for at overleve?
2
Her er basiseksperimentet »at undersøge om en tilfældigt udvalgt vare er defekt«. p = 0, 05 og n = 100. Indsættelse i formlen giver P( X = 1) = 0, 031.
Det der måske kan give problemer i forhold til at regne med, at sandsynlighederne her er binomialfordelt,
er, at de enkelte basiseksperimenter bliver mere og mere afhængige af, om de andre udtrukne varer har været
defekte eller ej, jo større en del af den samlede produktion de ialt 100 udtrukne enheder udgør. Det skyldes, at den
resterende produktions sammensætning af defekte og ikke-defekte naturligvis afhænger af, om dem vi allerede
har udtrukket er defekte eller ej. Hvis den udtrukne vare lægges tilbage og blandes med de øvrige, før næste
basiseksperiment udføres, undgås dette problem.
Med en produktion på kun 200 eksemplarer og en stikprøve på 100 eksemplarer, er denne afhængighed afgjort
for stor til, at binomialfordelingen er bare tilnærmelsesvist en god beskrivelse af situationen.
13
MIA 19.4 En bestemt kabale går gennemsnitligt kun op hver tyvende gang, og det synes ivrige Iben er for lidt. Hun har derfor fundet på en måde at snyde der gør, at kabalen gennemsnitligt går op hver anden gang. Ivrige Iben er dog tilfreds hvis kabalen gennemsnitligt
går op hver tiende gang, så hun slipper for at snyde hver gang.
Hvor tit er det nødvendigt at snyde?
MIA 19.5 Lad os antage at en god tennisspiller lykkes med 2/3 af sine server hvis han eller
hun satser og slår igennem, mens 9/10 af de blødere og mere skruede server kommer i
spil.
a) Hvad er risikoen for dobbeltfejl hvis der satses på både første- og andenserven?
b) Hvad er risikoen hvis der serves blødt og skruet på begge server?
c) Hvad er risikoen hvis der satses på førsteserven og serves blødt og skruet på andenserven?
d) Hvor sikker skal serverne være i hver af tilfældene a), b) og c) hvis risikoen for dobbeltfejl skal ned under 10%?
MIA 19.6 En stor virksomhed har indført et nyt lønsstem for at fremme produktiviteten. Virksomheden er interesseret i at vide, hvordan medarbejderne opfatter lønsystemet og indsamler følgende talmateriale ved hjælp af en tilfældigt valgt stikprøve.
Tilfredshed
Funktionærer og ledelse
Arbejdere
Tilfreds
Ikke tilfreds
Total
121
21
142
139
119
258
Total
260
140
400
Undersøg ved et statistisk test med 5% signifikansniveau, om der er ufafhængighed mellem tilfredsheden med det nye system og medarbejdernes stilling i virksomheden.
MIA 19.7 Et slagteri har gennem nogle år produceret dåsemad til dyr. Slagteriet vil nu forbedre produktet gennem en ændret sammensætning i maden. Efter et vist tidsrum testes
kundernes indstilling til det ny produkt i frohold til det gamle. Et antal kunder i hovedstadsområdet og i provinsen blev spurgt om de foretrækker det ny produkt. Resultaterne
fremgår af følgende tabel:
Område
Hovedstadsområdet
Provinsen
Total
foretrækker NY
foretrækker GAMMEL
85
152
237
15
48
63
Total
100
200
300
Vælg et signinfikansniveau og undersøg med et test, om der er forskel i indstillingen til
de to produkter i de to områder.
14
MIA 19.8 I en undersøgelse af potentialet i handel på nettet foretog man en undersøgelse, der
bygger på 437 tilfældigt udvalte personer med følgende resultat:
Alder
under 35
over 35
Total
Interesseret
53
48
101
Uinteresseret
140
196
336
Total
193
244
437
Afgør med et chi-i-anden test om der er grundlag for at antage, at der er afhængighed
mellem personernes alder og deres interesse for internethandel.
Opfylder data forudsætningerne for at bruge chi-i-anden test?. (Stikprøvens størrelse skal
være mindst 30 og ingen rubrik må have en forventet værdi under 5)
MIA 19.9 En ny vaccine testes ved at vaccinere 40 tilfældigt udvalgte børn mod en hyppigt
tilbagevendende sygdom. En kontrolgruppe bestående af 60 børn fik ingen vaccine. Antallet af sygdomstilfælde i løbet af det følgende år blev opgjort med følgende resultat:
Antal sygeperioder
under 3
over 3
Total
Vaccinerede børn
33
7
40
Kontrolgruppe
38
22
60
Total
71
29
100
Afgør med et chi-i-anden test om man kan forkaste hypotesen H0 : vaccinen har ingen
effekt.
Opfylder data forudsætningerne for at bruge chi-i-anden test?
2
2.1
Opgaver om matematisk modelleringskompetence
Introduktionsopgaver
Hvordan opleves udfordringen i følgende opgaver? Sæt nogle ord på.
MIA 21.1 For ø-gruppen Galapagos gælder, at antallet af arter af landplanter på den enkelte
ø med god tilnærmelse kan beregnes ud fra øens areal x, målt i square miles, ved hjælp af
en funktion N ( x ). Om funktionen N oplyses, at N (15) = 68 og N (174) = 149, og at dens
forskrift er af formen N ( x ) = b x a .
Beregn tallene a og b.
Beregn forholdet mellem antal arter af landplanter på to forskellige øer, hvor den ene ø
har et areal, der er 2, 5 gange så stort som arealet af den anden ø.
MIA 21.2 Fra man får sin løn til man står med en vare i hånden betaler man først indkomstskat
og siden moms. Hvordan afhænger den samlede skat, man betaler, af indkomstskatteprocenten og moms-procenten?
MIA 21.3 Hvor langt fremme ad vejen skal der være fri bane for at man sikkert kan overhale?
15
2.2
Om formler og overslagsberegninger
Opgaverne her handler om at regne sig frem til et kvalificeret gæt på størrelsen af noget. Meningen er at man forsøger at svare på hvert spørgsmål ved at
• vælge nogle størrelser, som man mener svaret afhænger af.
• bygge en formel, som viser hvordan man skal regne med disse størrelser.
• gætte kvalificeret på værdien af hver størrelse.
• lave beregninger med disse værdier og beregne et cirka-svar på spørgsmålet.
• vurdere svaret: Virker cirka-svaret fornuftigt i forhold til spørgsmålet, eller skal formlen
og/eller nogle af de kvalificerede gæt på talværdierne laves anderledes?
MIA 22.1 Hvor mange på jeres undervisningshold har fødselsdag i denne måned?
MIA 22.2 Hvor mange på jeres undervisningshold har fødselsdag i juleferien?
MIA 22.3 Hvor mange kuglepenne er der i rummet til jeres undervisningssessioner?
MIA 22.4 Hvor mange computere er der i rummet til jeres undervisningssessioner?
MIA 22.5 Hvor mange studerende kan der være på RUC?
MIA 22.6 Hvor mange undervisere er der brug for på RUC?
MIA 22.7 Hvor meget maling skal der til at male undervisningslokalet?
MIA 22.8 Hvor mange popcorn skal der til at dække gulvet i klasseværelset?
MIA 22.9 Hvor mange sukkerknalder kan der være i en sodavandsflaske?
MIA 22.10 Hvor meget fylder en million kapsler?
MIA 22.11 Hvor meget luft indånder du på en nat?
MIA 22.12 Hvor mange soveværelser luft svarer det til?
MIA 22.13 Hvor meget drikker du på et år?
MIA 22.14 Hvor mange brusebade svarer det til?
MIA 22.15 Hvor mange blade er der på et træ?
MIA 22.16 Hvor mange cornflakes er der i en pakke?
MIA 22.17 Hvor mange timer bruger du på matematik i løbet af hele livet?
MIA 22.18 Hvor mange penge bruger du i løbet af hele livet?
MIA 22.19 Hvor meget vokser du på en dag?
16
MIA 22.20 Hvor meget vokser dit hår på en dag?
MIA 22.21 Hvor meget vokser dine negle på en dag?
MIA 22.22 Hvor mange omdrejninger når et hjul på en cykel at lave?
MIA 22.23 Hvor mange omdrejninger når et hjul på en bil at lave?
MIA 22.24 Hvor meget benzin når en bil at bruge?
MIA 22.25 Hvad er dem samlede omkostning ved at have haft en bil?
MIA 22.26 Hvor meget skrald kommer der fra din familie i løbet af et år?
MIA 22.27 Hvor meget skrald kommer der fra din by i løbet af et år?
MIA 22.28 Hvor mange børn lever i fattigdom?
2.3
Om at bygge modeller
MIA 23.1 Modellér hvor mange gange man kan børste tænder med en tube tandpasta.
MIA 23.2 Modellér hvor stort Danmark er.
MIA 23.3 Modellér hvor lang den længste køretur mellem to byer i Danmark er.
MIA 23.4 Modellér hvor lang tid før du skal møde du skal hjemmefra om morgenen.
MIA 23.5 Modellér hvor langt fremme ad vejen der skal være fri bane for at man sikkert kan
overhale.
MIA 23.6 Modellér hvor langt væk horisonten er.
MIA 23.7 Modellér hvor meget ekstra et forældrepar skal tjene for at have et eller flere børn
boende.
MIA 23.8 Modellér hvor meget en kran kan løfte.
MIA 23.9 Når to personer sammen skal bære en stige (eller en anden lang genstand), vil man
normalt tage fat i hver sin ende. Hvis de to personer ikke er lige stærke kan den stærkeste
imidlertid aflaste den mindre stærke ved at tage fat længere inde på genstanden.
Modellér hvordan fordelingen af belastningen afhænger af hvor den stærkeste tager fat.
MIA 23.10 Modellér hvor det er bedst at stå, når man skal se på et maleri.
MIA 23.11 Modellér – og diskuter på baggrund af modellen – hvornår det er rimeligt at anvende plangeometri til beregning af afstande på jorden.
MIA 23.12 Modellér hvor meget kørebanen skal hælde i et vejsving.
17
MIA 23.13 Modellér hvor lang en stige man kan få rundt om et hjørne.
MIA 23.14 Modellér hvilken vej en livredder, som befinder sig et stykke oppe på en strand,
skal vælge ud til en person som er ved at drukne.
MIA 23.15 Modellér ved hvilken vinkel et skævt tårn vælter.
MIA 23.16 Modellér hvor langt nålen bevæger sig under afspilning af en grammofonplade.
MIA 23.17 Modellér hvor højt et snapseglas skal skænkes for at være halvt fyldt.
MIA 23.18 Ved at rulle to stykker papir sammen til rør, så det ene kan glide frem og tilbage
inden i det andet, kan man lave et »teleskop« med forskelligt synsfelt.
Modellér hvor stort et synsfelt man kan se på denne måde.
MIA 23.19 To cyklister er lige hurtige. De kører selvfølgelig begge hurtigere i plant terræn
end i bakket.
Modellér forskellige mulige forløb for afstanden mellem dem som funktion af tiden på en
given rute med begge typer terræn, når nummer to starter med et forspring.
MIA 23.20 Modellér hvilken form en tagrende skal have.
MIA 23.21 Modellér hvor meget man skal drikke af en dåseøl for at minimere risikoen for, at
den vælter.
MIA 23.22 Modellér hvor meget større en hønsegård kan blive hvis man har en mur at bygge
opad ift. hvis man bygger den fritstående.
MIA 23.23 I forbindelse med et stort byggeri skal en masse jord køres væk efterhånden som
det bliver gravet op.
Modellér hvor store lastbiler det kan betale sig at leje til formålet.
MIA 23.24 Et stakit skal deles i to dele, som skal danne en lukket indhegning ved at blive
anbragt ind imod en mur.
Hvordan skal de deles og anbringes for at indhegningen bliver så stor som muligt?
MIA 23.25 DSB offentliggør med mellemrum en statistik over hvor forsinkede togene har været på en given station i en given periode. For Roskilde station så tallene sådan ud i januar
2002:
0 –
2 min.
86,7 %
3 –
5 min.
8,9 %
6 – 15 min.
3,3 %
16 – 30 min.
0,9 %
30 <
min.
0,2 %
Modellér hvad risikoen er for at misse en forbindelse, hvis du ankommer med et tog, som
du ifølge køreplanen lige netop kunne nå et andet tog med.
18
2.4
Om at udøve modelkritik
MIA 24.1 I gamle dage målte man ofte en vintøndes indhold ved at måle diagonalen med en
stok. Kommentér denne metodes anvendelighed.
MIA 24.2 Nogle studerende vil undersøge om ingefær styrker helbredet hos ældre. Over en
periode på 6 måneder besøger de nogle tilfældigt udvalgte beboere på et plejehjem og
serverer ingefær-te for dem. Efter de 6 måneder viser det sig, at de beboere, der fik serveret
ingefær-te, faktisk har færre sygedage, end de, der ikke fik serveret noget. De studerende
publicerede undersøgelsen under overskriften: "Ingefær styrker helbredet hos de ældre"
Stil mindst tre kritiske spørgsmål til undersøgelsen.
MIA 24.3 Forskere i Kræftens Bekæmpelse har fulgt 770 danske patienter, som fik konstateret
tarmkræft i perioden 1985-1990, med henblik på at afdække, om det sociale netværk har
betydning for patienternes evne til at overleve sygdommen. Undersøgelsen viser ifølge
forskerne, at tarmkræftpatienter, der er blevet enlige på grund af skilsmisse eller dødsfald,
før sygdommen bliver konstateret, har hele 40% større risiko for at dø sammenlignet med
patienter, der har en partner. Undersøgelsen præsenteres i en avis, hvor der fremsættes
følgende påstand: »Det er en rigtig god idé at finde en at leve sammen med. Ægteskaber
redder kræftpatienter.« (Urban, 10. januar 2007)
Kommentér denne påstand og den bagvedliggende undersøgelse, fx ved at formulere tre
kritiske spørgsmål.3
MIA 24.4 I Hite-rapporten om amerikanske kvinders seksualitet er en af konklusionerne:
»Amerikanske kvinder er langt mere frigjorte, end hidtil antaget.« Undersøgelsen byggede på spørgeskemaer, der var udsendt til 100 000 kvinder, hvoraf 4500 svarede.
Giv nogle kritiske kommentarer til denne påstand.
MIA 24.5 En politisk ungdomsorganisation ønskede at dele materiale ud på en skole med 800
elever. Da skolens ledelse sagde nej, bad organisationen eleverne tilkendegive, om de er
for eller mod dette. 127 afgav deres stemme og heraf støttede 92 forslaget. Organisationen
skriver derefter på deres hjemmeside: »En undersøgelse blandt eleverne viser, at over 70%
af eleverne støtter de politiske organisationers ret til at uddele materialer på skolen«.
Kommenter denne påstand med kritisk brug af statistiske begreber som fx population,
stikprøve, systematiske fejl og skjulte variable.
MIA 24.6 »En ny rapport fra Københavns Politi tegner et dystert billede. Mennesker af udenlandsk herkomst udgør 16 procent af indbyggerne i København, men står for 42 procent
af voldssagerne« (Aktuelt 26. november 1999).
Hvor mange gange mere voldelige er mennesker af udenlandsk herkomst end mennesker
af dansk herkomst i gennemsnit ifølge disse oplysninger?
3
Opgaven her er fra den skriftlige eksamen i maj 2007 på det almene gymnasiums B-niveau.
19
3
3.1
Oplæg til miniprojekter
Mål: Udvikling af matematisk symbolbehandlingskompetence
MIA 31.1 Vælg en formelholdig tekst som I opfatter som central for jeres videre studier, og
analyser styrker og svagheder ved den aktuelle og potentielle brug af formler i teksten.
MIA 31.2 Afkod og analysér symbolbehandlingen i teksten Pearce & Turner (1990), som handler om økonomiske perspektiver på forurening.
MIA 31.3 Afkod og analysér symbolbehandlingen i teksten Christensen, Thomas Alslev and
Jeppe Christensen and Helge Pedersen and Stramer, Tore Damgaard (2008), som handler
om et såkaldt Keynesiansk perspektiv på økonomi.
MIA 31.4 Udfold matematisk symbolbehandlingskompetence med afsæt i teksten Ejrnæs
(2008), som analyserer forholdene for danske indvandrere i forbindelse med en økonomisk afmatning.
3.2
Mål: Udvikling af matematisk modelleringskompetence,
produktiv del
MIA 32.1 Vælg en problemstilling som I opfatter som central for jeres videre studier og gennemfør en matematisk modellering heraf.
MIA 32.2 Hvad er sandsynligheden for at et barn får misbrugsproblemer?
MIA 32.3 Bliver der mange indvandrere i fremtiden?
MIA 32.4 Stemmer mænd og kvinder forskelligt?
MIA 32.5 Er der forskel på mænd og kvinders løn?
MIA 32.6 Er mænd og kvinder lige religiøse?
MIA 32.7 Hvad er forskellen mellem mænds og kvinders arbejdstid?
MIA 32.8 Bliver man mere lykkelig af at købe oplevelser end af at købe ting?
MIA 32.9 Hvordan fastsættes prisen på en vare?
MIA 32.10 Hvad bestemmer prisen på et hus?
MIA 32.11 Forsvinder regnskoven?
MIA 32.12 Hvordan bliver udviklingen i antallet af kinesere med den nuværende etbarnspolitik, hvor det gøres meget besværligt at have mere end ét barn?
MIA 32.13 Kan man motionere sig slank?
20
MIA 32.14 Kan man se Storebæltsbroen fra Mols Bjerge?
MIA 32.15 Hvad er sammenhængen mellem ens indkomst og den skat man betaler?
MIA 32.16 Hvor mange elevatorer skal der være i et hum.bas.-hus?
MIA 32.17 Hvad er den optimale form på en konservesdåse?
MIA 32.18 Hvilken transportform er bedst?
MIA 32.19 Hvor mange vindmøller skal der bygges i Danmark?
MIA 32.20 Hvor lang tid før man ønsker at drikke den, skal en øl sættes i køleskabet?
MIA 32.21 Hvilken vinkel skal en solfanger anbringes i?
MIA 32.22 Hvordan skal en række trafiklys langs en stor befærdet vej være indstillet for at
flest mulige bilister oplever »grøn bølge«?
MIA 32.23 Hvad er forholdet mellem erhvervsfrekvens, beskæftigelsesfrekvens og arbejdsløshedsprocent?4
MIA 32.24 Kan en matematisk model forklare forskellen i huspriser på baggrund af oplysninger om grundareal, boligareal, alder, land/by og forekomsten af kælder?5
MIA 32.25 Opstil en matematisk model der beskriver sammenhængen mellem GNP (LEXP)
og levealder med levealder som den afhængige variabel.6 .
MIA 32.26 Er udviklingen i ledighedsprocenten afhængig af hvilket land man kigger på?7
3.3
Mål: Udvikling af matematisk modelleringskompetence,
undersøgende del
MIA 33.1 Vælg et matematikholdigt udsagn som I opfatter som central for jeres videre studier, gennemfør en kritisk »baglæns« matematisk modellering heraf og diskuter mulige
konksekvenser af den valgte matematiske fremstillingsform.
MIA 33.2 Find, forklar og diskutér en matematisk model af grundmekanismen i keynesiansk
økonomisk teori (Christensen, Thomas Alslev and Jeppe Christensen and Helge Pedersen
and Stramer, Tore Damgaard; 2008).
4 En mulighed er at beregne arbejdsløshedsprocenten på baggrund af erhvervs- og beskæftigelsesfrekvensen med
data fra www.statistikbanken.dk/statbank5a. Klik på arbejdsmarked og Befolkningens tilknytning til arbejdsmarkedet, (RAS) og RAS1F.
5 Fil: Copy of DS3Tabel03 04.xls
6 Fil: Socecon.xls
7 Med fokus på Danmark, Spanien og Tyskland kan man via http://epp.eurostat.ec.europa.eu downloade tal fra
Eurostat.
21
MIA 33.3 Find, forklar og diskutér en matematisk model af forureningsregulering (Pearce &
Turner; 1990).
MIA 33.4 Find, forklar og diskutér en matematisk model for beregning af boligtilskud.
MIA 33.5 Find, forklar og diskutér en matematisk model der kan bruges til at udregne intelligenskvotienten ud fra en test.
MIA 33.6 Er bodyage en god model?
MIA 33.7 Er G-faktoren en god model?
MIA 33.8 Hvordan virker en cykel-computer?
MIA 33.9 Hvordan virker GPS-navigering?
MIA 33.10 I forbindelse med en kampagne for at nedsætte farten i byerne bruges sloganet
»10 = 44«. Hvad er meningen?
MIA 33.11 Hvor hurtigt svinger et pendul?
MIA 33.12 Hvor sikker er en vejrudsigt?
MIA 33.13 Hvad kan matematiske modeller sige om forskellen mellem mænds og kvinders
arbejdstid?
MIA 33.14 Kommenter en matematisk model der beskriver sammenhængen mellem GNP
(LEXP) og levealder med levealder som den afhængige variabel.8
8
Fil: Socecon.xls
22
3.4
Krav til miniprojekter
Målet med miniprojekterne er at I som studerende skal udvikle dækningsgraden (Niss & Jensen; 2002, s. 64-66) af de matematiske kompetencer der hører til de enkelte moduler. Heri ligger
at I selv skal tilrettelægge og arbejde med så stor en del af den enkelte kompetence som muligt.
I forhold til dette mål er det ikke hensigtsmæssigt at formulere detaljerede krav til form eller
indhold for den projektrapport som skal dokumentere kompetencebesiddelsen. Omvendt er
der brug for at kommunikere om hvad det vil sige at besidde en bestemt matematisk kompetence med høj dækningsgrad, og det er som bidrag hertil det nedenstående skal læses. Det
er således udtryk for højere dækningsgrad i kompetencebesiddelsen hvis arbejdet involverer
mange af nedenstående elementer.
Matematisk symbolbehandlingskompetence
Indsigtsfuld parathed til at kunne behandle matematiske symboler i forbindelse med beskrivelse/modellering/analyse af en problemstilling, herunder at kunne
• oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog,
• afkode – dvs. forklare betydningen for sig selv og andre – hvad de anvendte symboler står
for og hvilke enheder de måles eller angives i, samt
• behandle symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler.
I forhold til alle disse tre elementer er det udtryk for høj dækningsgrad hvis man både selv
kan gennemføre de nævnte former for handling og forholde sig kritisk undersøgende til når
andre forsøger at gøre det samme.
Matematisk modelleringskompetence
Indsigtsfuld parathed til både selv at gennemføre og forholde sig kritisk undersøgende til
en matematisk modelleringsproces som helhed. Med reference til den efterfølgende figur kan
denne proces beskrives ved hjælp af følgende delprocesser:
• En formulering af og begrundelse for de(t) spørgsmål, det er hensigten at belyse ved hjælp
af modellen.
• Sproglig og diagrammatisk beskrivelse af det system der søges modelleret og begrundelser for den valgte systematisering.
• Præsentation og beskrivelse af eventuelle data: Hvordan er de fremkommet, hvad viser
de, og hvordan kan de bruges i modelleringsprocessen?
• Beskrivelse af en matematisk repræsentation af systemet og den bagvedliggende matematisering, herunder
– en forklaring på hvad de anvendte symboler står for og hvilke enheder de måles eller
angives i.
23
– gennemgang af modellens parametre og analyse af mulighederne for at estimere deres værdi (samt hvis muligt gennemførelse af en sådan estimering).
• Numerisk behandling af modellen, dokumenteret med og forklaret ud fra udskrifter fra
eventuelt anvendte computerprogrammer.
• Matematisk analyse af en eller flere af de matematiske sammenhænge, der er opstillet i
modellen.
• Fortolkning og diskussion af modellens resultater sammenholdt med såvel den matematiske analyse som det oprindelige spørgsmål.
• Evaluering af modellens status og anvendelighed (herunder informationstab)og af den
bagvedliggende modelleringsproces.
Figur 1 En model af den matematiske modelleringsproces (Højgaard; 2009).
24
Referencer
Christensen, Thomas Alslev and Jeppe Christensen and Helge Pedersen and Stramer, Tore Damgaard (2008). Nationaløkonomi på dansk, 9. edn, Samfundslitteratur, København.
Side 235-254.
Ejrnæs, A. (2008). Analyse: Nitte. Nedturen rammer indvandrerne Først, Politiken 14. marts: 10.
Højgaard, T. (2009). Modellering versus problemløsning – om kompetencebeskrivelser som
kommunikationsværktøj, MONA 2: 37–54.
Malmberg, A. C. (1995). Erlang S: Statistiske tabeller, GAD, København. Side 38-41.
Niss, M. & Jensen, T. H. (eds) (2002). Kompetencer og matematiklæring – Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark, number 18 in Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie (334 sider), Undervisningsministeriet, København. Side 43-72.
Se http://nyfaglighed.emu.dk/kom.
Pearce, D. W. & Turner, R. K. (1990). Economics of Natural Resources and the Environment, Harvester Wheatsheaf, London, UK. Side 61-69.
25