Microblaze C reference/cheat sheet

Matematisk Modellering 1
Cheat Sheet
By a team of brave computer scientists:
Mads P. Buch, Tobias Brixen, Troels Thorsen,
Peder Detlefsen, Mark Gottenborg, Peter Krogshede
Q3 - 2013
1
Matematisk Modellering 1
Cheat Sheet
Q3
2013
Contents
1 Basalt
1.1 Varianser . . .
1.2 Middelværdier
1.3 α . . . . . . . .
1.4 β . . . . . . . .
1.5 F-test . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
3
3
3
observationsrække
Main points . . . . . . . . . . .
Fraktildiagram . . . . . . . . .
Estimer varians og middelværdi
Konfidensinterval . . . . . . . .
SAS . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
4
4
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
5
5
6
4 Flere Observationsrækker
4.1 Main points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
5 Lineær regression
5.1 Main points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
6 Multinomialfordelingen
6.1 Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
7 Likelihood teori
7.1 Likelighood ligning . .
7.2 Handy formler . . . .
7.3 Ln regneregler . . . . .
7.4 Maksumum likelihood
7.5 Differentiering . . . . .
7
7
7
7
7
8
2 En
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 To observationsrækker
3.1 Main points . . . . . . . . . .
3.2 Homogenitet . . . . . . . . .
3.3 Estimater . . . . . . . . . . .
3.4 Konfidensintervaller . . . . .
3.5 SAS . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 Lommeregner
8
9 Fordelinger
8
Side 2 af 8
Matematisk Modellering 1
Cheat Sheet
1
Q3
2013
Basalt
1.1
Varianser
estimerede varians = emperisk varians, man siger
σ 2 ← s2 ∼∼ σ 2 χ2 (f rihedsgrader)/f rihedsgrader
Variansen er ogs˚
a kendt som mean square.
se s. 78 og/eller 125.n
1.2
Middelværdier
estimerede middelværdi
µ←x
¯. ∼∼ N (µ, σ 2 /n)
se side 78
1.3
α
fordeling s. 155, gider ikke skrive den ind :/
1.4
β
Fordeling s. 155, gider ikke skrive den ind :/
1.5
F-test
tester hvor langt to fordelinger er fra hinanden P obs = 1 − F (f02 − f01 , f01 )
hvor f02 er fra ”fraModellen” og f01 er fra ”tilModellen”
2
En observationsrække
2.1
Main points
Findes p˚
a side 78.
Her er lidt ekstra facts:
• S er sum af observationer
• s2 er estimat af varians (empiriske varians)
• σ er spredning
• σ 2 er varians
2.2
Fraktildiagram
Beregningsskema p˚
a s. 31. OBS! Det p1 der bruges i Φ−1 er p1 i den forg˚
aende
søjle divederet med 100.
Side 3 af 8
Matematisk Modellering 1
Cheat Sheet
Q3
2013
Virtuel test for normaldata
Det kan antages at data er normalfordelte hvis de ikke afviger systematisk fra
en ret linje p˚
a sandsynlighedspapir.
Middelværdien kan ca aflæses som x værdien ved y = 0. Her ca 10
(beregnet til 10.82)
2.3
Estimer varians og middelværdi
Se fordelinger i main points
Middelværdi
Varians
Første formel p˚
a s. 64
Formel fra side 64 for s2
s2 =
1
S2
(U SS −
)
n−1
n
Frihedsværdier: f = n − 1
2.4
Konfidensinterval
For 95% konfidensinterval skal α = 0.05 s˚
a (1 − α) = (1 − 0.05) = 0.95.
For fomler se main points.
2.5
SAS
Her skal være et ScreenShot af fra en aflevering med ring om hvad vi kan læse
ud fra det.
Side 4 af 8
Matematisk Modellering 1
Cheat Sheet
3
3.1
Q3
2013
To observationsrækker
Main points
Findes p˚
a side 94.
3.2
Homogenitet
Test for homogenitet for σ 2 og µ findes i main points.
3.3
Estimater
Alt efter model, kan man bruge disse estimater:
σi2 ← s2(i) =
1
S2
(U SSi − i ) ∼∼ σ 2 χ2 (f(i) )/f(i)
ni − 1
ni
µi ← x
¯i. =
σ 2 ← s21 =
σ2
Si
∼∼ N (µi , i )
ni
ni
2
f(1) s2(1) + f(2) f(2)
∼∼ σ 2 χ2 (f1 )/f1
f(1) + f(2)
Hvor f1 = f(1) + f(2) = n. − 2
µ←x
¯.. =
3.4
S1 + S2
σ2
∼∼ N (µ, )
n1 + n2
n.
Konfidensintervaller
Brug formlerne fra ´en observationsrække p˚
a side 79.
Fælles varians
C95% (σ 2 ) =
h
f1 s21
f1 s21 i
,
χ20.975 (f1 ) χ20.025 (f1 )
Forskellig varians
C95% (σi2 ) =
h
f(i) s2(i)
,
f(i) s2(i)
i
χ20.975 (f(i) ) χ20.025 (f(i) )
Fælles (og forskellig) middelværdi (varians ukendt)
s
s
h
i
s21
s21
C95% (µ(i) ) = x
¯i. −
t0.975 , x
¯i. +
t0.975
ni
ni
Hvis der er fælles middelværdi, brug da x
¯..
Side 5 af 8
Matematisk Modellering 1
Cheat Sheet
3.5
4
Q3
2013
SAS
Flere Observationsrækker
4.1
Main points
Findes p˚
a side 114.
Udregninger med USS, S & n findes p˚
a side 116.
5
Lineær regression
5.1
Main points
Findes p˚
a side 155.
comparison of regression lines: s. 187
5.2
Test
Ens varians for 2 regressioner:
Vi g˚
ar fra modellen M0 til M1 ved at lave F-test fra Main Points s. 94.
Skema til beregninger og i lineære regressioner og fordelinger for parametre
findes p˚
a s. 125.
Side 6 af 8
Matematisk Modellering 1
Cheat Sheet
6
6.1
Q3
2013
Multinomialfordelingen
Test
først skal der regnes en -2lnQ(x) værdi, til det kan formlem p˚
a side 344 bruges.
Pobs er herefter = 1−FX 2 (k−1−a) (−2lnQ(x)) (Hvilket svarer til CDF(ChiSquareDistribution(k1-a)),-2lnQ(x))
6.2
Likelihood
for at finde likelihood funktionen for en Multinomial distribution, se s.305m ,
husk at brøken kan forkortes som p˚
a s.301m
7
Likelihood teori
Likelighood funktionen er sandsynlighedsfunktionen (PDF). Hvis dert er over
flere, er det produktet af sandsynlighedsfunktionerne.
7.1
Likelighood ligning
differentier logarritmen til likelihood funktionen
7.2
Handy formler
3 1/2·3 1 3/2
1 3 1 3 −1·1/2
−1
=
=
y
=
y
=
√
y
y
y 1/2
Likelihood funktionen er tæthedsfunktionerne ganget samme. Tæthedsfunktionen for en normalfordeling:
fX (x) = √
7.3
1
2πσ 2
e−
(x−µ)2
2σ 2
Ln regneregler
ln(ex ) = x
eln(x) = x
ln(x · y) = ln(x) + ln(y)
ln(x / y) = ln(x) − ln(y)
ln(xy ) = y · ln(x)
ln(1) = 0
7.4
Maksumum likelihood
Udled Log(L(x)) (Log likelihood), find derefter maksimum af funktionen: Dette
kan gøres ved at sætte den differentierede funktion til 0, og ulede variablen
derefter. Husk at tjekke at resultatets differentiering er ¡ 0 for at tjekke af det
er maksimum funktionen.
Side 7 af 8
Matematisk Modellering 1
Cheat Sheet
7.5
Q3
2013
Differentiering
Bl.a. flip af param inde i ln
8
Lommeregner
Generelt for TI-89:
Catalog =⇒ F3 =⇒ Brug alpha til at finde funktionen
Funktion
Φ−1 (p)
Φ(p)
Fχ2 (k−1) (Ba)
FF (k−1,n.−k) (F )
t1−α/2 (f )
u1−α/2
χ21−α/2 (f)
9
TI-89
invNorm(p)
normCdf(-∞,p)
chi2Cdf(0,Ba,k-1)
FCdf(-∞,F,k-1,n.-k)
inv t(-∞,α/2,f)
invNorm(α/2,0,1)
invChi2(1-α/2,f)
TI-Tobias
placeholder
placeholder
placeholder
placeholder
placeholder
placeholder
placeholder
Fordelinger
¯ ∼ N (u, o/n)
Hvis det gælder at X. ∼ N (u, o) ⇒ X.
Side 8 af 8