Alle skoler ti 1 27 fr 1 ma 1 36 on 1 lø 1 ma 1 49 on 2 lø 2 ti 2 to 2 sø

Transcription

Flugtveje
[1]
A312
Jens Stokholm Høngaard
Kristian Pilegaard Jensen
Thomas Birch Mogensen
Niels Asger Aunsborg
Nicolai Vesterholt Søndergaard
Daniel Agerskov Heidemann Jensen
24. maj 2010
I
II
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basis˚
ar
Naturvidenskab
Strandvejen 12-14
Telefon 96 35 97 31
Fax 98 13 63 93
http://tnb.aau.dk
Synopsis:
Rapporten omhandler hvordan man kan
finde den optimale flugtvej ud af en bygning. For at finde den flugtvej har vi givet
et overblik over grafteori, og kigget p˚
a nogle algoritmer om korteste vej problemet. De
er blevet sammenlignet for at finde den algoritme vi har brug for. Vi har ogs˚
a interviewet en arkitekt om flugtveje er noget de
tager højde for n˚
ar de designer bygninger.
Til sidst har vi lavet et program der kan
finde den optimale vej ud af en bygning.
Titel:
Flugtveje
Tema:
Algoritmer og netværk
Projektperiode:
P2, for˚
arssemesteret 2010
Projektgruppe:
A312
Deltagere:
Jens Stokholm Høngaard
Vejledere:
Kristian Pilegaard Jensen
Hans H¨
uttel og Marion Berg Christiansen
Thomas Birch Mogensen
Oplagstal: 1
Niels Asger Aunsborg
Sidetal: 50
Bilagsantal og –art: 1 tekst
Nicolai Vesterholt Søndergaard
Afsluttet den 25. Maj 2010
Daniel Agerskov Hejdemann Jensen
Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) m˚
a kun ske
efter aftale med forfatterne.
III
IV
Indhold
1 Problemanalyse
1
1.1
Initierende problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Menneskelig adfærd ved brand . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
Arkitektværktøjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3.1
Samlet vurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Interview med arkitekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4.1
Selve interviewet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Afgrænsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
1.5
2 Grafteori
2.1
2.2
6
Anvendelse af grafteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.1
Knuder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.2
Kanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Eksempel p˚
a repræsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Flugtvejsproblemet
9
3.1
Definitioner af parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Gevinsten af en flugtplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.1
9
Det konkrete flugtvejsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Korteste-vej algoritmer
12
4.1
Tidskompleksitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2
Store O-notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3
Justering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4
Dijkstras algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4.1
4.5
Tidskompleksitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Bellman-Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.5.1
4.6
APSP algoritmer generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.7
Floyds algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
V
4.8
4.7.1
Eksempel p˚
a Floyds algoritme
. . . . . . . . . . . . . . . 17
4.7.2
Valg af algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Største strømnings-problemet
20
5.1
Strømningsnetværk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2
Ford-Fulkersons metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2.1
Pseudokode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2.2
Kompleksiteten af Ford-Fulkersons algoritme . . . . . . . 22
6 Overvejelser ved egen kode
23
7 Implementationens struktur
24
7.1
OptimalPathFramework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.2
Edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.3
Node . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.4
Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.5
Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.6
PathFinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.6.1
Implementering af Dijkstras algoritme . . . . . . . . . . . 26
7.6.2
Implementering af Ford-Fulkersons algoritme . . . . . . . 28
8 Forsøg p˚
a algoritmer til at finde optimale flugtveje
8.1
Tanker om algortimen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8.1.1
8.2
30
Tidskompleksiteten af algoritmen . . . . . . . . . . . . . . 31
Vores algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.2.1
Koden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.2.2
Kritik af algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9 Modeldannelse
38
9.1
Opdeling af bygningen i knuder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.2
Tilføjelse af kanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.3
Længde og kapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.4
Kilder og dræn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.5
Eksekvering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.6
kopieret fra metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10 Brugervenlighed
41
Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A Spørgsm˚
al fra interview:
43
VI
B Interviewet
44
C Vigtige ord og begreber
49
C.1 Grafteori
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
C.2 tidskompleksitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
C.3 O-notation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
VII
Kapitel 1
Problemanalyse
1.1
Initierende problem
Det sker med jævne mellemrum, at folk dør i brand. Ifølge sikkerhedsstyrelsen
omkom 90 mennesker ved brande i 2008[?]. Dette er et problem og at mindske
antallet af omkomne ville være en lettelse for samfundet. For at gøre dette m˚
a
man overveje, hvor de mest effektive omr˚
ader ville være at sætte ind. En vigtigt
problem er at mennesker tit vælger den forkerte udgang, n˚
ar brandalarmen
lyder[2]. Et af problemerne er alts˚
a at den menneskelige psykologi ikke tillader
mennesker at handle rationelt i forhold til den m˚
ade flugtplaner er opbygget p˚
a.
En effektiv m˚
ade at mindske antallet af dødsbrande p˚
a, ville være at afhjælpe
dette problem. Man skal derfor se p˚
a, hvorfor mennesker vælger de forkerte
udgange og hvordan man kan hjælpe dem til at vælge den rigtige.
1.2
Menneskelig adfærd ved brand
Det første man ville tro er, at folk ville g˚
a i panik og dermed ikke tænke rationelt. Men i følge Norman Groner PhD, er det dog ikke det, som sker, n˚
ar
en brand opst˚
ar. Han siger, at det er en myte, for ved terrorangrebet p˚
a World Trade Center brugte de fleste lang tid p˚
a at finde ud af, hvad der skete og
p˚
a at søge infomation om situationen. Ved faretruende situationer er mennesket skeptiske[3]. Enten kan historien om en brand eller lignende være for
absurd eller s˚
a tager man det ikke seriøst. Nogen ville m˚
aske tro, det bare var
en brandøvelse og fortsætte deres arbejde. S˚
a det vil alts˚
a sige, at mennesker
forholder sig roligt under brand.
Hvis folk generelt tager det roligt, n˚
ar de skal ud, hvorfor er det s˚
a væsenligt
at designe bygningerne anderledes end, man har gjort tidligere? Det har ved
et forsøg vist sig, at folk som regel tager den samme vej ud, som de kommer
ind af selv under disse specielle omstændigheder. Det er et problem, fordi det
øger presset p˚
a nogle flugtveje, og efterlader andre ubenyttede. Ved et forsøg[?]
foretaget i en IKEA, imiterede man en brandøvelse. Testpersonerne skulle, n˚
ar
alarmen gik igang, finde ud af bygningen. Her viste det sig at over halvdelen
af forsøgspersonerne valgte at tage den vej, som de kom ind ad ogs˚
a selvom,
1
denne udgang var dobbelt s˚
a langt væk som den nærmeste branddør.
Det lader dermed til at folk tager den kendte vej ud. Det vil ud fra denne
antagelse ikke gøre en bygning mere sikker, hvis der er mange flugtveje, fordi
folk alligevel tager den flugtvej, de kender. For at undg˚
a det flaskehalsproblem
der opst˚
ar, vil en bedre løsning være at fokusere p˚
a f˚
a flugtudgange, men med
en stor kapacitet.
Den sidste ting man skal tage højde for er, hvordan folk bevæger sig i grupper som ”flokdyr”, for hvis en flugtvej siger, at 5 personer skal løbe den ene vej
for at komme ud og en anden person skal løbe en anden vej for at komme ud,
vil de s˚
a gøre det eller vil de alle sammen løbe den samme vej? I et forsøg[4] har
man taget en gruppe personer og sagt til dem, at de ikke m˚
a snakke sammen
og at de skulle g˚
a med en arms længde til hinanden, ellers skulle de bare g˚
a
rundt i en hal. I den gruppe havde man givet nogle af personerne instruktioner
p˚
a, at de skulle g˚
a en bestemt vej.
Da forsøget startede blev der uden at de snakkede sammen, lavet en kæde af
mennesker som fulgte de personer, der havde f˚
aet at vide, hvor de skulle g˚
a.
Forsøget blev gentaget flere gange med flere og flere personer og færre og færre
personer, der fik at vide, hvor de skulle g˚
a.
Det viste sig at en flok p˚
a 200 personer eller flere, hvor 5 % af de personer fik at
vide, hvor de skulle g˚
a hen, var de 5 % nok til at kunne bestemme, hvor flokken
skulle g˚
a hen.
Det vil være upraktisk at skulle forsøge at ændre menneskers adfærd, f.eks.
ved kurser, vil en bedre løsning være at optimere bygninger, s˚
a der i højere
grad tages højde for optimale flugtveje. Det er derfor oplagt at sætte ind der
hvor bygninger bliver tegnet. Arkitekter vil derfor være den primære m˚
algruppe
for projektet. Det vil derfor være en god idé at se p˚
a hvad arkitekter gør for
at sikre flugtplaner, og hvordan man vil kunne hjælpe dem til at sørge for at
flugtplanerne benytter de optimale veje.
1.3
Arkitektværktøjer
For at f˚
a en bedre ide om hvordan arkitekter designer bygninger, vil vi her se p˚
a
nogle forskellige arkitektprogrammer lavet til plantegning og design af bygninger. Det vi vil se p˚
a er, hvilke features programmerne har og om de tager højde
for flugtveje. Alle de programmer vi har undersøgt er CAD programmer. CAD
st˚
ar for Computer-Aided Design og er betegnelsen for en bred række af design
værktøjer, som arkitekter bruger. CAD programmerne har en fælles standard,
der gør at arkitekter, der bruger forskellige programmer kan se hinandens tegninger. For at f˚
a et udvalg af forskellige CAD programmer har vi valgt at se p˚
a
programmer, som koster vidt forskelligt, g˚
aende fra omkring 4000 $ til et gratis
program. De tre programmer vi har undersøgt er ArchiCAD 13, SmartDraw
2010 og Google Sketchup.
2
ArchiCAD 13 er det dyreste program, vi har undersøgt. Programmet har
rigtig mange funktioner, hvilket vi følte virkede meget uoverskueligt. N˚
ar man
designer bygninger i programmet ses det i 3D, dog er det ikke muligt at se m˚
al
p˚
a bygningen, man har tegnet. Selvom programmet indeholdte mange funktioner kunne vi ikke finde en m˚
ade at tegne flugtplaner eller p˚
a nogen m˚
ade finde
optimale flugtveje. I programmet fandtes der ikke en funktion til at lave flugtplaner eller beregne optimale flugtveje.
I modsætning til ArchiCAD 13 s˚
a er SmartDraw 2010 et simplere program
og nemmere at sætte sig ind i. Det skal dog siges, at det s˚
a heller ikke har nær
s˚
a mange funktioner som ArchiCAD 13. Derudover kan man heller ikke se sin
bygning i 3D, det man ser er en plantegning, hvilken kan give problemer i følge
Erik Falck Jørgensen
Man opdager ting tidligere ved at lave det i 3D. Eksempelvis opdagede vi, at udgangsdøren for en af vores flugtveje sad lige bag ved
rampen, s˚
a man ikke ville kunne komme ud den vej. S˚
a m˚
atte vi
flytte den. Det ville have været svært at opdage i en 2D-tegning.
[5]. I SmartDraw 2010 er der en masse eksempler p˚
a bygninger til r˚
adighed.
Et par af disse eksempler er flugtplaner, hvor der sørges for at f˚
a alle ud fra
bygningen og endda ud af flugtveje, som ser ud til at være de optimale. Der
er alts˚
a i Smartdraw 2010 tænkt p˚
a flugtveje, dog kan man ikke lave optimale flugtveje i sin egen bygning. SmartDraw 2010 er billigere end ArchiCAD 13.[6]
Google SketchUp er et gratis program, hvor der dog kan købes en PRO
udgave. Vi har valgt at tage Google SketchUp med for at vise et gratis tilbud
til arkitekter. Dette program er ligesom SmartDraw 2010 meget simpelt og lige
til at g˚
a til. I Google SketchUp kan man b˚
ade lave plantegninger og tegne i 3D.
I forhold til flugtveje, har vi ikke fundet nogen funktioner, der giver brugeren
mulighed for at lave flugtveje.[7]
1.3.1
Samlet vurdering
Disse tre programmer udgør et udvalg af, hvad der er p˚
a marked af CAD programmer. Selvom vi har et begrænset kendskab til CAD programmerne konkluderer vi, at der ikke bliver taget højde for flugtveje i disse programmer. Dette
undrer vi os over da planlægningen af flugtveje m˚
a være en væsentlig del af
bygningers design. Hvordan kan det være, at det ikke er muligt at planlægge
flugtveje i de programmer vi har testet? Er det fordi det udvalg vi har valgt
ikke normalt bliver brugt af arkitekter eller kan det være at arkitekter ikke
mener der er brug for det? Udfra disse overvejelser har vi valgt at interviewe
en arkitekt.
3
1.4
Interview med arkitekt
M˚
alet med dette interview er at finde ud af om, arkitekter har behov for et
program, der kan hjælpe med at finde optimale flugtveje ud af en bygning. I
den sammenhæng vil det ogs˚
a være relevant at finde ud af, hvad de gør for at
designe bygninger p˚
a en m˚
ade, s˚
a folk kan komme sikkert ud og om menneskelig
adfærd bliver medregnet. Det vil ogs˚
a være relevant for os at høre hvilke love,
der er vigtige, n˚
ar man skal designe bygninger, da der kunne ske at være nogle
ting, vi m˚
atte tage højde for. Til sidst vil vi gerne finde ud af, hvilke krav en
arkitekt har til et flugtvejsprogram.
1.4.1
Selve interviewet
Arkitekten der blev interviewet var Jan Refsgaard Jepsen chef for produktionen ved Friis & Moltke. I interviewet fandt vi ud af, at arkitekter arbejder
tæt sammen med brandingeniører og brandmyndighederne. Tidligere fungerede
brandsikringen ved at arkitekterne tegnede en bygning og derefter henvendte
sig til brandmyndighederne for godkendelse. Den arkitekt vi snakkede med har
aldrig oplevet, at brandmyndigehederne har afvist en bygning. Dog mente han,
at der ikke var behov for en strammere lovgivning, da lovgivningen hele tiden
bliver ændret i forhold til de ulykker der sker. Dette kan hænge sammen med
deres tætte samarbejde med brandmyndighederne. Man benytter stadig den
gamle godkendelsesmetode ved mindre bygninger i dag, men ved større bygninger arbejder arkitekter sammen med brandingeniører ved desitagn af bygningen.
Ved udarbejdelsen af en bygnings flugtveje, er der udlagt nogle specifikke
krav til bygningen, eksempler p˚
a disse krav kan være afstanden mellem trapper
og bredden p˚
a gangene. Kravene skifter alt efter hvilken slags bygning der er tale
om. Jepsen lavede dog ikke nogen overordenet analyse af flugtveje, som f.eks. at
køre tests p˚
a hvor mange personer der ville kunne komme ud af bygningen p˚
a
en given tid. De har en brandteknisk analyse, de g˚
ar ud fra. Den brandtekniske
analyse simulerer en brand, hvor den kigger p˚
a brandens og røgensudvikling,
men den tager ikke højde for beregningen af den optimale vej.
Som sagt beregner arkitekter ikke flugtveje, men de benytter programmer,
der kan tegne bygninger med m˚
al, s˚
a beregning af flugtveje skulle være lige til og
oplagt at implementere. Jepsen benyttede programmerne fra Autodesk og havde
ikke prøvet at beregne flugtveje i programmerne, men han mente, at de godt
kunne. Han kunne godt se, at det kunne være relevant at udregne flugtveje, da
det kunne mindske den nødvendige kontakt med brandmyndighederne. I forhold
til deres brandtekniske analyse, der kan tage flere dage om at beregne, hvordan
branden udvikler sig og hvordan røgen bevæger sig, kunne et program forholdvis
hurtig beregne optimale flugtveje, evt. køre samtidigt med en brandteknisk
analyse.
Alt i alt m˚
a man sige, at en program til udregning af optimale flugtveje kunne være ideelt til at hjælpe arkitekter med design af bygninger. Jan
Refsgaard Jepsen mente at kravene for flugtveje var, at de havde en bredde p˚
a
1,5 meter og dette mente han ikke kunne være et problem i forhold til flaskehalse i en bygning. Dog kan dette nemt være et stort problem, som er vigtigt
4
at forholde sig til ved design af bygninger. Man kunne forestille sig at 500 mennesker skulle bevæge sig igennem en gang, der er 1,5 meter bred, dette vil uden
tvivl skabe et flaskehals problem. Ved et spørgsm˚
al om lovgivningen p˚
a dette
omr˚
ade var for stramt, svarede han, at det mente han ikke, men desuden nævnte
han ændringer i lovgivningen ofte sker efter ulykker. Derfor kunne man tænke sig at der kom love ikke blot vedrørende m˚
al, men ogs˚
a vedrørende strømning.
1.5
Afgrænsning
Nu da vi har analyseret os frem til et egenligt problem, kan vi se videre p˚
a,
hvordan det evt. kan løses. En m˚
ade var, at man i selve designet af bygninger
tog højde for optimale flugtveje. Da det er tilfældet, at arkitekter benytter sig
af software til design af bygninger[5], kan det m˚
aske være muligt at implementere dette i softwaren. Vi vil derfor udvikle en optimal flugtvejs algoritme og
undersøge om, der er en idé i at implementere den i arkitekt software eller lave
den til et selvstændigt stykke software. Dette leder os frem til følgende problemformulering.
Problemformulering
• Hvordan finder man optimale flugtveje?
– Hvordan kan man finde optimale flugtveje vha. grafteori?
– Hvordan kan vores optimale flugtvejs algoritme være til gavn for
arkitekter?
5
Kapitel 2
Grafteori
Inden vi kan gribe problemet om flugtveje an, m˚
a vi først se p˚
a grafteori. Da det
bliver brugt til at finde og lave grafer i vores m˚
ade at finde flugtvejs problemet.
Det første vi har valgt at definere er orienterede grafer.
Definition 1. En orienteret graf G er et par G = (V, E), hvor V er en mængde
af knuder, E er en mængde af kanter. En kant e ∈ E er et ordnet par e = v1 , v2 ,
hvor v1 ∈ V, v2 ∈ V . Vi siger, at e starter i v1 og slutter i v2 .
En orienteret graf best˚
ar alts˚
a af en mængde kanter og knuder. N˚
ar man
tegner en graf, tegner man som regel knuder som prikker og kanter som streger,
der forbinder to knuder. Man angiver en kants orientering med en pil.
Definition 2. En ikke-orienteret graf G er et par G = (V, E) hvor V er en
mængde af knuder og E er en mængde af kanter. En kant er et uordnet par
e = {v1 , v2 }, hvor v1 ∈ V, v2 ∈ V .
Definition 3. Lad G = (V, E) være en orienteret graf. En vej er en følge af
knuder v1 , ..., vk , hvor for alle vi , vi+1 ∈ E for alle i, hvor 1 ≤ i ≤ k − 1.
2.1
Anvendelse af grafteori
Vi vil i dette afsnit forklare hvordan vi afbilder knuder og kanter i en model
over en bygning.
2.1.1
Knuder
Vi definerer knuder som steder, hvor man kan opholde sig. Den enkelte knude vil
derfor repræsentere et rum eller en del af et rum. Den mængde plads en knude
repræsenterer er varierende, men svarer cirka til et gennemsnitligt grupperum p˚
a
30 kvadratmeter. Alle grupperum kan alts˚
a vises som en enkelt knude og større
arealer. Som gange bliver repræsenteret som en række knuder. Vi vælger at dele
store rum og gange op i flere knuder. Havde vi valgt at hele gangene kun var en
knude, skulle alle de flygtende mennesker hen til denne ene knude, det ville der
for være svært at sige noget præcist om afstanden fra et bestemt gruppe rum
til udgangen, da gangen ville repræsentere et stort omr˚
ade. Vi deler de store
6
lokaler op, for at gøre modellen mere præcis. Man kunne nemlig forestille sig,
at alle ville vælge den samme flugtvej, hvis de befandt sig i et lokale, hvor der
kun g˚
ar en kant ud fra. Da disse lokaler har flere døre, virker det ogs˚
a naturligt
at udnytte dette, da flere knuder ville give de flygtende mulighed for at kunne
tage forskellige veje.
2.1.2
Kanter
I flugtplanen repræsenterer kanter mulige veje mellem knuderne. Hvis vi havde
valgt kun at bruge enkelte knuder ved gange og større rum, ville vi f˚
a kanter som
gik igennem væggene. Da vi har valgt at dele rummene op, f˚
ar vi ikke kanter
der g˚
ar igennem væggene og derfor en model, der grafisk giver mere mening.
2.2
Eksempel p˚
a repræsentation
Vi har taget udgangspunkt i Bygningen p˚
a Strandvejen 12-14, og har derfor
dette eksempel p˚
a hvordan repræsenterer en bygning grafteoretisk. Længden p˚
a
kanterne er ikke realistiske, men det skulle give en grafisk forst˚
aelse af hvordan
grafteori afspejler virkeligheden.
Figur 2.1: Strandvejen 12-14, 2. etage
• I grafen repræsenterer Gx en del af en gang.
• Ux er udgange.
7
• Tx er toiletter.
• Depx er depoter.
• Numrene som 312 er grupperum og kontorer.
• Vx efter et rum angiver, at rummet er delt op i forskellige dele.
• De firkantede knuder repræsenterer gange, men der er ikke nogen praktisk
forskel p˚
a dem og de cirklede.
8
Kapitel 3
Flugtvejsproblemet
I hele dette kapitel antager vi, at følgende er givet:
• Givet en ikke-orienteret graf G = (V, E)
• Kilder S ⊆ V afløb D ⊆ V
• Passagefunktion t : E → R+
• Strømningsfunktion f : E → R+
• Befolkningsfunktion b : S → N
En flugtplan P er en mængde af veje i G, der alle er p˚
a formen.
(s, ..., d) hvor s ∈ S og d ∈ D.
3.1
Definitioner af parametre
I dette afsnit vil vi definere de parametre vi benytter
Definition 4. Vi antager dette givet.
• G = (V, E), ikke-orienteret graf
• Passagetidsfunktionen t : E → R+
• En vej θ i G.
Vi vil nu definere passagetiden T (θ)
• T (θ) er et tal.
• T (θ) er defineret s˚
aledes det opfylder
T (θ) =
T (θ) angiver den tid en vej θ tager.
9
P
e∈θ
t(e)
• Strømningsfunktion f : E → R+
• En vej θ i G.
Vi vil nu definere strømningen F (θ)
• F (θ) er et tal.
• F (θ) er defineret s˚
aledes det opfylder
F (θ) = min f (e)
e∈θ
I forhold til flugtvejsproblemet skal kilder forst˚
as som de knuder, hvor de
flygtende starter deres flugt og nødudgangene er her afløbene. Vi finder den
mindste kapacitet for en flugtrute, da en flugtrute er begrænset af sit smalleste
sted. Den mindste kapacitet fortæller derfor, hvor mange personer en given
flugtrute kan rumme.
• Befolkningsfunktion b : S → N
Vi vil nu definere befolkningen B(S)
• B(S) er defineret s˚
aledes at
B(S) =
X
b(s).
s∈S
Nu har vi de parametre, der gør, at vi kan finde gevinsten for en flugtplan.
3.2
Gevinsten af en flugtplan
• En vej θ i G.
• Strømningen F (θ)
• Passagetiden T (θ)
Vi vil nu definere gevinsten C(θ)
10
• C(θ) er et tal.
• C(θ) er defineret s˚
aledes det opfylder
C(θ) = F (θ) · T (θ)
Gevinsten angiver, hvor mange mennesker der kan komme igennem en given
vej.
Den totale gevinst f˚
as ved at summere gevinsten af alle vejene i en flugtplan
P:
C(P ) =
X
C(θ)
θ∈P
Den totale gevinst skulle s˚
a angive, hvor mange mennesker en flugtplan kan
rumme. Men dette er der et problem med, det kræver nemlig at alle kanterne i
alle vejene i flugtplanen er kant disjunkt. De m˚
a alts˚
a ikke have nogle kanter til
fælles. Hvis flugtplanerne har fælles kanter kan de ikke blot summeres. S˚
a hvis
man ønsker at finde hvor mange mennesker der totalt kan komme igennem en
given graf kan man kigge p˚
a største strømnings-problemet, som vi kommer ind
p˚
a i et senere kapitel??.
3.2.1
Det konkrete flugtvejsproblem
Det første vi vil gøre er at finde ud af, om en given flugtplan P kan f˚
a sin
befolkning ud p˚
a en tid under m.
• Givet en graf G = (V, E)
• Passagetid T (θ)
• Befolkning B(S)
• En tidsgrænse m
• Gevinsten C(P )
Vi vil nu definere kravet for en flugtplan P . P er tilstrækkelig hvis
• T (θ) ≤ m.
X
•
C(θ) ≥ B(S)
θ∈P
Da gevinsten af en optimal flugtvej er kompliceret at regne p˚
a vil vi prøve
at forsimple problemet. Hvis man ser bort fra kapaciteten i første omgang, vil
den korteste vej altid være den optimale. Derfor har vi valgt at starte med at
kigge p˚
a flugtvejsproblemet som et korteste vej-problem. Alts˚
a har vi valgt at
sætte kapaciteten af alle kanter i grafen til ∞. Vi vil nu kigge lidt p˚
a nogle
algoritmer, som omhandler korteste vej-problemet.
11
Kapitel 4
Korteste-vej algoritmer
I vores projekt har vi tænkt os at finde den optimale flugtvej. Som beskrevet
i afsnittet før best˚
ar vores flugtvejsproblem af et maksimal strømningsproblem
og et korteste-vej problem. I dette afsnit vil vi gennemg˚
a forskellige kortestevej algoritmer og derefter finde frem til hvilken algoritme, vi vil bruge. For
at kunne vurdere hvilken algoritme vi vil bruge, vil vi ogs˚
a komme ind p˚
a
tidskompleksiteten af algoritmerne.
4.1
Tidskompleksitet
Tidskompleksiteten T (n) m˚
aler antallet af væsentlige operationer som en funktion af n, hvor n er størrelsen af input. For at beskrive tidskompleksiteten
anvendes ordene worst-case,average-case eller best-case kompleksitet.
• Worst-case kompleksitet beskriver det størst mulige antal væsentlige operationer ved et vilk˚
arligt input n.
• Average-case kompleksitet beskriver det gennemsnitlige mulige antal væsentlige operationer ved et vilk˚
arligt input n.
• Best-case kompleksitet beskriver det mindst mulige antal væsentlige operationer ved et vilk˚
arligt input n.
Ved beskrivelsen af algoritmerne er vi dog kun interesseret i en worst-case analyse. Dette er der flere grunde til, best-case scenariet er ofte ikke interessant,
dette kunne være at opgaven algoritmen skulle løse var løst p˚
a forh˚
and. Grunden til at vi ikke laver en average-case analyse er at gennemsnitlig input kan
være svært at definere.
4.2
Store O-notation
Store O-notation anvendes til at give en øvre grænse for vækstraten af en given
funktion.
Definition 9. Lad f : N → N og g : N → N være funktioner. Vi skriver at
f = O(g) hvis der findes et tal C > 0 og et tal n0 ∈ N s˚
aledes at
12
f (n) ≤ c · g(n) for alle n ≥ n0
Store O resultater m˚
a overholde disse regler:
1. Hvis f = O(g) og k > 0, da har vi f = O(kg)
2. Hvis i ≤ j, da har vi ni = O(nj )
3. Hvis f = O(g), da har vi f + g = O(g)
Vi vil nu bevise at de tre p˚
astande er sande.
I den første p˚
astand skal vi vise, at hvis f = O(g) og k > 0, s˚
a har vi at
f = O(kg). Det vil sige, at vi skal vise, at der findes en konstant C1 og et tal n1
s˚
aledes at f (n) ≤ C1 · g(n) for alle n ≥ n1 . Hvis man sætter C1 = k og n1 = n0 .
I den anden p˚
astand skal vi vise, at der findes en konstant C og et n0 s˚
a
ni ≤ Cnj , n˚
ar n ≥ n0 . Hvis man vælger C = 1 og n0 = 1, f˚
ar man ni ≤ nj ,
hvor n ≥ 1. Da i ≤ j vil dette passe i henhold til overst˚
aende definition.
I den tredje p˚
astand skal vi finde et C1 og et n1 s˚
aledes at f (n) + g(n) ≤
c1 · g(n) n˚
ar n ≥ n0 . Da f = O(g) har vi, at der findes en C0 og et n0 . S˚
a
vi har f (n) + g(n) ≤ C0 · g(n) + g(n) = (C0 + 1)g(n) n˚
ar n ≥ n0 . S˚
a vi har
f (n) + g(n) ≤ C0 · g(n) + g(n) = (C0 + 1)g(n) n˚
ar n ≥ n0 . S˚
a vælg C1 = C0 + 1
og n1 = n0 .
Den sidste p˚
astand er især vigtig for vurderingen af korteste vej algoritmerne da den tillader at vi kan smide led af mindre orden væk. Vi vil bruge store
O-notation til at bedømme hvilken af de følgende tre algoritmer vi vil bruge,
ved at forsimple worst-case kompleksiteten s˚
aledes at vi nemt kan bedømme
hvilke algoritme der er optimal. Dog skal det nævnes at dette kan være upræcist. Da det er tilladt at smide led af mindre orden væk kan to algoritmer der
begge er O(n3 ) have forskellig tidskompleksitet, hvis der er tale om specifik
tidskompleksitet.
4.3
Justering
Fælles for alle korteste vej algoritmer er, at der er en del, som g˚
ar igen i alle
algoritmerne.
J u s t e r ( u , v , w)
Hvis
L(u, v) > L(u, w) + L(w, v)
S˚
a
L(u, v) := L(u, w) + L(w, v)
Denne del af algoritmen tjekker om en vej fra u til v er større end en vej fra
u til w plus vejen fra w til v.
Hvis dette er tilfældet, skal den lave vægten p˚
a vejen/kanten fra u til v om
13
til længden fra u til v gennem w. Vi har valgt at kigge p˚
a tre algoritmer, som
er Dijkstras, Bellman-Fords og Floyds algoritme, som alle bruger den her del i
algoritmen.
4.4
Dijkstras algoritme
Dijkstras algoritme blev udviklet af Edsger Wybe Dijkstra i 1959 og er en
algoritme, der kan finde den korteste vej fra ét punkt til samtlige andre punkter.
Algoritmen kan anvendes p˚
a uorienterede grafer med positive vægte, men kan
nemt laves om til brug ved orienterede grafer[8].
Har vi en orienteret vægtet graf med positive vægte, anvendes Dijkstras
algoritme s˚
aledes. Man starter med at vælge en startknude v1 ∈ V . Vi betegner længden fra v1 til en vilk˚
arlig knude vk som L(v1 , vk ), desuden betegner vi
vægten kanten mellem to knuder vi og vj som w(vi , vj ). En mængde af knuder
S, beskriver hvilke knuder vi har gennemløbet.
Algoritmen starter med at sætte længden mellem v1 og alle v ∈ V til uendelig, dog sættes længden v1 til nul, da længden til startpunktet er nul. S sættes
til at være tom.
Givet en vægtet i k k e −o r i e n t e r e t g r a f G(V, E)
med p o s i t i v e vægte , hvor v1 ∈ V
er startpunktet
f o r i := 1 t o n
L(vi ):= ∞
L(v1 ) := 0
S:=∅
Herefter kører en while-løkke, der først stopper, n˚
ar alle v ∈ V er v ∈ S.
Ville man have en version af Dijkstras algoritme, som kunne finde korteste vej
mellem to knuder, kunne man i stedet for stoppe loopet, n˚
ar en given knude
var indeholdt i mængden S. Loopet startes ved at en given knude vk med
L(vk ) mindst tilføjes til S. Her vil v1 altid blive tilføjet i første iteration, da
L(v1 ) = 0. Derefter sker der en sammenligning af vægtene af alle kanterne
g˚
aende fra u til naboknuderne. Findes der at L(u)+w(u, v) < L(v), s˚
a opdateres
L(v) := L(u) + w(u, v).
while a l l e v ∈
/ S
begin
u := v − v e r en knude som i k k e l i g g e r i
S med L( u ) mindst mulig .
u tilføjes i S
f o r a l l e knuder v ∈
/ S
J u s t e r L(u, v, v1 )
end ( A l l e mærkerne L(v)f orv ∈ V ) e r o p d a t e r e t s˚
a
de e r k o r t e s t m u l i g e )
14
4.4.1
Tidskompleksitet
Givet input n knuder:
While-løkke: Alle n knuder gennemløbes til de alle er indholdt i S
Alle knudens højest n − 1 naboer gennemsøges
T (n − 1)
2
Vi har at worst case er
T (n) = n · (n − 1) = n − n
Hvilket giver os at T (n) = O(n2 )
4.5
Bellman-Ford
Bellman-Ford algoritmen kan finde den korteste vej fra en knude til alle andre
knuder i en graf[9]. Kravet for grafen er, at der ikke findes nogle negative kredse. En negativ kreds er en kreds, hvor summen af alle vægtene p˚
a kanterne i
kredsen er negativ. Dette krav medfører ogs˚
a, at grafen skal være orienteret.
Ellers har vi en negativ kreds for hver kant med negativ vægt. S˚
a Bellman-Ford
skal tjekke for alle knuder til alle knuder, for at se om alle veje er positive fra
alle kanter til alle kanter.
Algoritmen starter som Dijkstras algoritme med at sætte længden fra startknuden til alle andre knuder til uendelig. Længden til startknuden sættes til
0.
Givet en vægtet o r i e n t e r e t g r a f G(V, E) ,
hvor v1 ∈ V
er startpunktet
f o r i := 1 t o n
L(vi ):= ∞
L( v 1 ) :=0
Det næste trin i algoritmen er, at alle længderne fra startpunktet til alle
andre knuder opdateres s˚
aledes, at de er kortest mulig. En af forskellene mellem
Bellman-Ford og Dijkstras algoritme er, at denne algoritme ikke gr˚
adigt vælger
en knude, der i øjeblikket er kortest hen til, men opdaterer alle længderne. Dette
er grunden til, at den kan h˚
andtere negative vægte.
f o r i = 1 t o |V | − 1
f o r a l l e k a n t e r (u, v) ∈ E
J u s t e r L(u, v)
Det sidste trin tjekker om grafen indeholder nogen negative kredse. Ved
dette trin bør alle de korteste veje fra startknuden til alle andre knuder være
fundet. Hvis der ved, dette trin kan findes en kortere vej, betyder det, at der
findes en negativ kreds i grafen.
i f L(u) + w(u, v) < L(v)
15
T (n)
S˚
a f i n d e s d e r en n e g a t i v k r e d s .
4.5.1
Tidskompleksitet
Givet input p˚
a n knuder og m kanter Alle n knuder gennemløbes
Alle m kanter justeres
m
Vi har at worst case er
T (n) = n · m
n
Da vi er interesseret i worst-case af algoritmen skal vi finde hvad m er i
worst-case. For n knuder der hver har n − 1 naboer, vil m = n ∗ (n − 1). Vi
f˚
ar derfor en worst-case beskrevet kun med n til T (n) = n3 − n2 . Dette giver
T (n) = O(n3 )
4.6
APSP algoritmer generelt
’All pairs shortest path’-problemet drejer sig om, at beregne afstande og korteste veje mellem samtlige par af knuder i en graf af formen G = (V, E). V er
mængden af alle knuder i grafen og E er mængden af alle kanter i grafen.[10]
Efter kørsel af en APSP-algoritme f˚
ar man to n × n − matricer, hvor n er antallet af knuder i grafen. Lader vi (u, v) beskrive et par af knuderne, s˚
a kan den
ene matrix betegnes ved D(u, v) og er en vægtet nabo matrix, hvilket vil sige,
at den indeholder alle afstande mellem samtlige par af knuder i grafen. Den
anden matrix kaldes R(u, v). Mens den første matrix holder styr p˚
a afstande,
s˚
a fortæller den anden matrix os i hvilken retning, alts˚
a til hvilken nabo, man
skal g˚
a til, for at følge den korteste vej.
4.7
Floyds algoritme
Et eksempel p˚
a en APSP-algoritme er Floyds algoritme. I det følgende er den
beskrevet i pseudokode, hvor R betegner matrixen med naboer, som vi i det
foreg˚
aende blev beskrevet med R(u, v) og N , som opdateres med korteste afstande mellem knudepar (u, v), som vi tidligere kaldte D(u, v)[11]. Denne udgave af
Floyds algoritme tager højde for negative længder med if-sætningen ’if N(i,j) >
N(i,k) + N(k,j) then’.
p r o c e d u r e Floyd (G) ;
begin
N:= R;
f o r k in 1 . . n loop
f o r u in 1 . . n loop
f o r v in 1 . . n loop
J u s t e r L(k, u, v)
end i f ;
end l o o p ;
end l o o p ;
16
end l o o p ;
end Floyd ;
Algoritmen starter med at kigge p˚
a løkken v, og tjekker alle andre knuder
om, det er muligt at lave en kortere vej fra denne knude. Efter den har gjort
det, vil den g˚
a videre med u for at tjekke om, der er kommet nogle nye steder,
hvor det er blivet muligt at lave en kortere vej fra u til de andre knuder og det
vil den blive ved med, indtil den er kommet igennem alle knuderne[12].
4.7.1
Eksempel p˚
a Floyds algoritme
Figur 4.1: Ikke-orienteret vægtet graf
[8]

 
∞ 4 2 ∞ ∞ ∞
(a, a)
 4 ∞ 1 5 ∞ ∞  (a, b)

 
 2 1 ∞ 8 10 ∞  (a, c)

 
∞ 5 8 ∞ 2 6  = (a, d)

 
∞ ∞ 10 2 ∞ 3   (a, e)
∞ ∞ ∞ 6 3 ∞
(a, z)
Grafen 4.1 i

1 2
1 2

1 2

1 2

1 2
1 2
(b, a)
(b, b)
(b, c)
(b, d)
(b, e)
(b, z)
(c, a)
(c, b)
(c, c)
(c, d)
(c, e)
(c, z)
(d, a)
(d, b)
(d, c)
(d, d)
(d, e)
(d, z)
(e, a)
(e, b)
(e, c)
(e, d)
(e, e)
(e, z)

(z, a)
(z, b) 

(z, c) 

(z, d)

(z, e) 
(z, z)
matrixform. D(0)

3 4 5 6
3 4 5 6

3 4 5 6

3 4 5 6

3 4 5 6
3 4 5 6
R(0) matrixen
N˚
ar man kører Floyds algoritme første gang, kigger man p˚
a i = 1. Værdien
af i bruges til at markere den korteste vej gennem en knude. Alle de steder i
17
R, hvor der st˚
ar 1, skal man g˚
a igennem knuden a for at finde den korteste
vej. Havde i været 2, skulle vi g˚
a igennem 2. Floyds algoritme for i = 1 starter
alts˚
a med at kigge p˚
a a, derfor kigger man p˚
a første række og kolonne. S˚
a løber
man igennem for at finde alle de nye korteste vej gennem a. I første række og
kolonne, alts˚
a (2, 1) og (1, 2), ser vi tallet 4, kigger man i (2, 2) er tallet ∞, da
summen af (2, 1)+(1, 2) er 8 og da 8 < ∞ s˚
a sættes den nye korteste vej i (2, 2) til
8. S˚
a opdateres R(2, 2) til 1 da i = 1. Ligeledes opdateres D(3, 3) og R(3, 3)[13].
Hvordan R matricen bruges til at finde den korteste vej, kommer vi tilbage
til i slutningen af dette afsnit. Til at starte med beskæftiger vi os med at f˚
a den
til at indeholde de rigtige veje.


∞ 4 2 ∞ ∞ ∞
 4 8 1 5 ∞ ∞


 2 1 4 8 10 ∞


∞ 5 8 ∞ 2 6 


∞ ∞ 10 2 ∞ 3 
∞ ∞ ∞
Figur 4.1 i

1 2
1 1

1 2

1 2

1 2
1 2
6
3
∞
matrixform. D(1)

3 4 5 6
3 4 5 6

1 4 5 6

3 4 5 6

3 4 5 6
3 4 5 6
R(1) matricen
S˚
adan forsætter man til i = 6 er løbet igennem, da har man de færdige
matricer. Grunden til det er, at i = 6 er fordi, der er 6 knuder i grafen, s˚
a
man gennem løber løkken en gang per knude til, at man ikke har flere knuder
i grafen. De færdige matricer ser s˚
aledes ud:


4 3 2 8 10 13
 3 2 1 5 7 10


 2 1 2 6 8 11


8 5 6 4 2 5


10 7 8 2 4 3 
13 10 11 5 3 6
Grafen figur 4.1 i matrixform. D(6)
18

3
3

1

2

4
5
3
3
2
2
4
5
3
3
2
2
4
5
3
4
2
2
4
5
4
4
4
5
4
5

5
5

5

5

6
5
R(6) matrixen
Hvis man gerne vil finde den korteste vej fra a til z, starter man i R(6) med
at kigge p˚
a (6, 1), svarende til z, hvor der st˚
ar 5, hvilket betyder, at man skal
g˚
a til e alts˚
a (5, 1) bemærk, at v ikke ændrer sig, da vi stadig ønsker at finde
vejen til a. Dette fortsættes ind til, at man f˚
ar det samme tal i u som i v. Vejen
bliver alts˚
a a, c, b, d, e, z med en længde p˚
a 13.
4.7.2
Tidskompleksitet
Har vi et input p˚
a n knuder, s˚
a har vi en tidskompleksitet p˚
a T (n) = n·n·n = n3 ,
fordi algoritmen gennemløber tre løkker n gange. Hvilket giver at T (n) = O(n3 ).
4.8
Valg af algoritme
Den første algoritme vi kiggede p˚
a var Dijkstras algoritme. Den havde den
ulempe, at den ikke kan regne p˚
a negative kanter. Men da vi ikke har negative
vægtede kanter i grafer over bygninger, kan vi se bort fra dette. Tidskompleksiteten for Dijkstras algoritme er O(n2 ).
En af forskellene ved Bellman-Ford algoritmen og Dijkstras algoritme er, at
Bellman-Ford kan tage negative kanter, som tidligere nævnt har vi ikke brug
for negative kanter. Dijkstras algoritme har tidskompleksiteten O(n2 ), mens
Bellman-Ford har tidskompleksiteten p˚
a O(n3 ). En anden vigtig forskel p˚
a de
to algoritmer er, at Dijkstras algoritme er en gr˚
adig algoritme.
Den sidste algoritme vi har beskæftiget os med er Floyds algoritme. Den har
en tidskompleksiteten O(n3 ). Den største forskel p˚
a Floyds algoritme i forhold
til Dijkstras, er at mens Dijkstras kun finder korteste vej fra en knude til alle
andre, s˚
a finder Floyds korteste vej mellem alle knuder. Det kommer derfor an
p˚
a hvor mange kilder og dræn vi har i vores graf. Har vi mange knuder kan
Floyds algoritme være en fordel. Vi vil her se p˚
a grafen, som vi har lavet over
Strandvejen 12 i figur 2.1 for at se hvilken algoritme, der vil være optimal i
forhold til kilder og dræn. Her kan vi se, at der kun er tre dræn, hvilket betyder
at Dijkstras algoritme vil tage O(3 · n2 ). Hvis vi vælger Floyds algoritme til
at finde alle korteste veje, vil det tage O(n3 ) tid. Da Dijkstras algoritme har
en lavere kompleksitet end de to andre algoritmer, har vi valgt at bruge den
algoritme.
Nu da vi har kigget p˚
a kortestevej delen af vores problem, kan vi g˚
a videre
til at se p˚
a strømningsproblemet.
19
Kapitel 5
Største strømnings-problemet
Vi vil gerne finde ud af, hvor stor strøming en flugtplan tillader. Strømningen
for en flugtplan kan fortælle os, om alle menneskerne i flugtplanen kan komme
ud. Herunder vil vi ogs˚
a gennemg˚
a Ford-Fulkersons metode.
5.1
Strømningsnetværk
Et strømningsnetværk er en vægtet orienteret graf G = (V, E), hvor alle e ∈ E
har en positiv vægt, kaldet kapaciteten c(u, v), hvor u ∈ V og v ∈ V . To knuder
s ⊆ V og d ⊆ V kaldes for kilder og dræn.
For et strømningsnetværk skal der gælde:
Strømingen for en given kant m˚
a ikke overstige dens kapacitet:
For alle u, v ∈ V skal c(u, v) ≥ f (u, v)
For alle knuder skal den strømning, der kommer ind være lig den strømning,
der g˚
ar ud, undtagen for kilder og dræn:
X
For alle v ∈ V \{s, t} skal
f (v) = 0
v∈V
Bevæger vi os modsat orienteringen f˚
ar vi en strømning med negativt fortegn:
For alle u, v ∈ V skal f (u, v) = −f (v, u)
Definition 10. Givet er:
• Et strømningsnetværk G = (V, E)
• En strømningsfunktion f : E → R+
Her er den samlede strømning af et strømningsnetværk |f | defineret som:
X
|f | =
f (e)
e∈E
Definition 11. Givet er:
20
• Et strømningsnetværk G = (V, E)
• En strømningsfunktion f : E → R+
Her er den resterende kapacitet cr defineret som:
cr (u, v) = c(u, v) − f (u, v)
Finder vi for et strømningsnetværk G = (V, E), den resterende kapacitet
for alle kanter, kan vi lave et nyt strømningsnetværk, hvor c(u, v) = cr (u, v) for
alle (u, v) ∈ E. Dette netværk kalder vi et rest-netværk Gr = (V, E). En vej fra
en kilde til et dræn i s˚
adan et strømningsnetværk kalder vi en rest-vej pr .
5.2
Ford-Fulkersons metode
Vi vil her beskrive Ford-Fulkersons metode, som kan finde den største strømning
for en given graf G = (V, E). Ideen bag metoden er at lave et rest-netværk for
den givne graf og derefter forøge strømningen gennem grafen indtil der ikke kan
findes flere rest-veje. Dette skulle give os den største strømning gennem grafen.
Vi vil her vise at dette er sandt, her følger beviset:
Givet er et strømningsnetværk G = (V, E) og en afledt rest-graf Gr = (V, E).
Lad os antage, at vi har fundet den største strømning |f | for G, men at der
stadig er en rest-vej tilbage i Gr . S˚
a vil |f | + fr , hvor fr er den strømning,
der kan g˚
a igennem rest-vejen, være større end den antagede største strømning.
Vi har derfor at den største strømning af G f˚
as, n˚
ar der ikke er flere rest-veje
tilbage.
5.2.1
Pseudokode
Her kommer en meget basal implementering af Ford-Fulkersons metode.
Givet e t s t r ø m n i n g s n e t v æ r k G = (V, E) .
En k i l d e og e t dræn .
f (u, v) = 0
f (v, u) = 0
w h i l e d e r e k s i s t e r e r en r e s t −v e j mellem
k i l d e n og drænet i r e s t −g r a f e n Gr
f o r a l l e r e s t −v e j e θ i Gr
f o r a l l e k a n t e r (u, v) ∈ θ
f (u, v)+ = F (θ)
f (v, u) = −f (u, v)
Som beskrevet her kan denne algoritme kun finde strømningen fra en kilde
til et dræn. Da vi i vores projekt vil finde veje mellem flere kilder og dræn skal
vi have rettet den. For flere dræn og kilder ændrer man ikke p˚
a koden, men til
21
gengæld p˚
a grafen.
For at reducere et strømningsnetværk med flere kilder og dræn til et strømningsnetværk
med én kilde og ét dræn. Tilføjer vi en superkilde til mængden af kilder og et
superdræn til mængden af dræn. S˚
a tilføjer vi en orienteret kant fra superkilden
til alle kilder, hvor kapaciteten er uendelig. Det samme gør vi for superdrænet
til alle dræn. Derved kan man finde strømningen mellem superkilden og superdrænet for at finde største strømning.
5.2.2
Kompleksiteten af Ford-Fulkersons algoritme
I Ford-Fulkersons metode havde vi en while-løkke der fandt veje mellem kilden
og drænet i rest-grafen. Alt efter hvordan der findes veje er kompleksiteten af
Ford-Fulkersons algoritme forskellig. Til at finde veje anvender vi Dijkstras algoritme.
Givet input n knuder og den maksimale strømning f ∗ :
Hver gang vi finder rest-veje anvendes Dijkstras algoritme: n2 − n
Hvis hver vejs mindste kapacitet er p˚
a 1 kører løkken s˚
a mange gange som der
∗
er strømning:
f
I alt har vi T (n) = n2 − n · f ∗
Derved f˚
ar vi at T (n) = O(n2 · f ∗ )
22
Kapitel 6
Overvejelser ved egen kode
Vi har nu kigget p˚
a flere forskellige problemstillinger s˚
a som strømning, kortestevej algoritmer og flugtvejproblemet. Dem vil vi bruge i vores program, vi
har fundet ud af at det ikke matematisk muligt at gøre. En af de ting er, at
folk bevæger sig i en flok, s˚
a hvis vi har to grupper af mennesker der skal ud
af to forskellige udgange. De grupper møder s˚
a en fælles gang, s˚
a er der gode
muligheder for at de vil sl˚
a sig sammen til en stor gruppe[?]. Det kan vi ikke
tage højde for, da det er svært at programmere adfærd ind i et program.
23
Kapitel 7
Implementationens struktur
I dette afsnit vil vi omtale vores stuktur i koden med det form˚
al at give en
bedre forst˚
aelse af vores program. Pga. vores kursus om Java har vi valgt at
programmere programmet i dette. Vores oprindelige ide om et program, var et
program der, kunne kører p˚
a h˚
andholdte enheder. Her ville Java være optimal,
da Java kan køre p˚
a mange forskellige enheder inklusiv de fleste mobiltelefoner.
Vi vil her gennemg˚
a de forskellige klasser som definere datastrukturerne,
OptimalPathFrameWork, Edge, Node, Graph, Path og PathFinder.
7.1
OptimalPathFramework
Denne klasse er vores main, hvor vi kører alle de andre dele fra. Den indeholder
ingen metoder eller constructors.
7.2
Edge
Edge klassen bliver brugt til at lave nye kanter. Kantens propeties er target,length,flow og capacity. S˚
a vi er i stand til at bestemme, hvor kanten g˚
ar
hen, hvad den er vægtet med og dens strømning. N˚
ar vi skal lave en ny kant,
anvender vi disse to constructors:
p u b l i c Edge ( S t r i n g fromNode , S t r i n g toNode , Graph graph ,
d o u b l e lengthOfEdge , d o u b l e c a p a ci t y O fE d g e )
{
Node from = graph . getNode ( fromNode ) ;
Node t o = graph . getNode ( toNode ) ;
from . n e i g h b o u r s . add ( new
Edge ( to , lengthOfEdge , c ap a c i t yO f E dg e ) ) ;
t o . n e i g h b o u r s . add ( new
Edge ( from , lengthOfEdge , c a p ac i t y Of E d g e ) ) ;
}
p u b l i c Edge ( Node toNode , d o u b l e lengthOfEdge , d o u b l e
c a pa c i t y Of E d g e )
24
{
t a r g e t = toNode ;
l e n g t h = lengthOfEdge ;
c a p a c i t y = c a p ac i t y O fE d g e ;
}
N˚
ar man laver en kant anvender man den øverste constructor. Man fortæller
om vægtningen og hvilken knude den g˚
ar fra og til og i hvilken graf. I denne
constructor tilføjer vi de to knuder som naboer til hinanden ved at kalde den
anden constructor, som s˚
a tilføjer en kant mellem knuderne for begge veje.
7.3
Node
Denne klasse gør os i stand til at lave knuder.
Klassens properties er disse: name, neighbours, previous, minDistance og flow.
name er knudens navn som angives hver gang, man laver en ny knude.
Knudens naboer lagres i form af en liste af kanter kaldet neighbours. Previous
og minDistance anvendes, n˚
ar vi skal finde korteste veje og flow angiver vejens
samlede strømning. Dens constructor kræver kun, at vi angiver et navn i form
af en String.
Den eneste metode klassen indeholder er printNeighbours(), den er som navnet
antyder i stand til at fortælle os, hvilke naboer knuden har i form af kanter.
7.4
Graph
Graph-klassen gør os i stand til at lave grafer. Denne klasse repræsenterer en
graf G = (V, E) Grafens property nodes er en liste med knuder, som fortæller
hvilke knuder, der er indeholdt. For at fjerne kanter anvendes deleteEdges, hvor
input er to knuder, s˚
a fjernes kanterne imellem dem. For at tilføje nye kilder
og dræn bruger vi addSourcesAndDrains input, til denne er to String arrays,
et String array for hvilke knuder, som er dræn og det andet for hvilke, som er
kilder. Hvis vi vil kopiere en graf, benytter vi copyGraph, inputtet er den graf,
man vil kopiere. For at f˚
a fat i en given knude i en graf anvendes getNode(String
name). Metoden virker ved at alle knuder gennemløbes indtil den knude med
navnet givet som input findes. Denne knude returneres.
p u b l i c Node getNode ( S t r i n g nodeName )
{
f o r ( Node node : nodes )
{
i f ( node . name == nodeName )
{
r e t u r n node ;
}
}
return null ;
}
25
7.5
Path
Path-klassen gør os i stand til at lave veje. Vejen bliver lagret i propertien
nodes i form af en liste af knuder. Da vi ikke har lagret kanterne i form af en
liste, anvender vi metoden getEdge til at finde en kant mellem to knuder i en
vej. Klassens andre metoder gør os i stand til at udregne en vejs længde, den
mindste resterende kapacitet og gevinsten.
Her vil vi forklare, hvordan getEdge fungerer, da vi anvender den ret ofte.
Metodens input er to knuder. Den første knudes naboer gennemløbes indtil der
findes en kant, der g˚
ar mod den anden knude.
p u b l i c Edge getEdge ( Node from , Node t o )
{
f o r ( Edge edge : from . n e i g h b o u r s )
{
i f ( edge . t a r g e t == t o )
{
r e t u r n edge ;
}
}
return null ;
}
7.6
PathFinder
Denne klasse indeholder de metoder, vi bruger til at finde veje med. De metoder vi har er shortestPaths, maxFlow og optimalPaths. shortestPath er en
implementering af Dijkstras algoritme. MaxFlow er en implementering af FordFulkersons metode, som dog ikke finder veje, men som bliver brugt i optimalPaths, der kan finde optimale veje fra en mængde af kilder til en mængde dræn.
7.6.1
Implementering af Dijkstras algoritme
Vi vil her forklare, hvordan vi har implementeret Dijkstras algoritme. Input for
metoden er graph, startNode og targetNodes, som er henholdvis en given graf,
en startknude og alle knuderne vi vil have veje til. Metoden returnerer en liste
af veje.
Det første trin for Dijkstras algoritme er initialisering.
f o r ( Node node : graph . nodes )
{
node . minDistance = Double . POSITIVE INFINITY ;
}
s t a r t N o d e . minDistance = 0 . ;
Her beskriver minDistance længden fra startknuden til denne knude. I afsnittet om Dijkstras algoritme blev dette beskrevet med L(u), hvor u er en
vilk˚
arlig knude.
26
Det næste trin er Dijkstras while-løkke. Denne løkke ender først, n˚
ar nodesSearched.containsAll(targetNodes). Den første del af løkken er at bestemme, hvilken
knude vi skal gennemsøge. Denne knude bliver derefter lagret i nodesSearched.
minDistance = Double . POSITIVE INFINITY ;
f o r ( Node node : graph . nodes )
{
i f ( n o d e s S e a r c h e d . c o n t a i n s ( node ) )
{
continue ;
}
e l s e i f ( node . minDistance < minDistance )
{
currentNode = node ;
minDistance = node . minDistance ;
}
}
n o d e s S e a r c h e d . add ( currentNode ) ;
For at sikre os at der kan findes en vej, tjekker vi om den knude vi skal til
at gennemsøge er den samme, som den knude, vi lige har gennemsøgt. Er dette
sandt, er der ikke nogen veje ellers sætter vi den nyfundne knude til at være
den forrige knude.
i f ( currentNode == p r e v i o u s N o d e )
{
return null ;
}
else
{
p r e v i o u s N o d e = currentNode ;
}
Herefter kommer justeringstrinet. Dog vil vi ikke justere, hvis naboen er
indeholdt i mængden af allerede gennemsete knuder.
f o r ( Edge n e i g h b o u r : currentNode . n e i g h b o u r s )
{
i f ( nodesSearched . contains ( neighbour . t a r g e t ) )
{
continue ;
}
i f ( ( currentNode . minDistance + n e i g h b o u r . l e n g t h )
< n e i g h b o u r . t a r g e t . minDistance )
{
n e i g h b o u r . t a r g e t . minDistance =
( currentNode . minDistance +
neighbour . length ) ;
n e i g h b o u r . t a r g e t . p r e v i o u s = currentNode ;
27
}
}
Normalt for Dijkstras algoritme bliver vejen hen til knuderne ikke lagret. N˚
ar
vi justerer minDistance, gemmer vi desuden hvorfra hvilken knude, man kom
fra. Derved kan vi gennemløbe alle de forrige knuder, startende ved slutknuderne
til vi har startknuden. For at have vejene i den rigtige rækkefølge anvender vi
Collections.reverse(), som vender rækkefølgen i en liste. Til sidst returnerer vi
alle de korteste veje.
f o r ( Node t a r g e t : t a r g e t N o d e s )
{
Path path = new Path ( ) ;
f o r ( Node node = t a r g e t ; node != n u l l ; node =
node . p r e v i o u s )
{
i f ( node . name != ” s u p e r S o u r c e ” &&
node . name != ” s u p e r D r a i n ” )
{
path . nodes . add ( node ) ;
}
}
C o l l e c t i o n s . r e v e r s e ( path . nodes ) ;
path . c a l c u l a t e L e n g t h ( ) ;
s h o r t e s t P a t h s . add ( path ) ;
}
return shortestPaths ;
7.6.2
Implementering af Ford-Fulkersons algoritme
I dette afsnit beskrives vores implementation af Ford-Fulkersons algoritme lavet
som metoden maximumFlow. Der er givet en start knude, slut knude og en graf.
Ford-Fulkersons algoritmens første trin er at tømme strømningen for alle kanter.
f o r ( Node node : copyOfGraph . nodes )
{
f o r ( Edge n e i g h b o u r : node . n e i g h b o u r s )
{
neighbour . flow = 0 ;
}
}
Derefter følger en while-løkke, det er det trin hvor vi finder rest-veje indtil der
ikke kan findes flere og den største strømning er fundet. Vi anvender Dijkstras
algoritme til at finde veje, da vores implementation af denne algoritme tager
en liste af slutknuder som input laver vi en ny liste og tilføjer slutknuden givet
som input til maximumFlow metoden.
28
Denne del finder korteste veje mellem start og slutknuden, hvis der ikke
kan findes nogen returneres den fundne strømning. Findes der nogle veje vælges den første vej ud, da hvilken vej vi vælger ikke har nogen betydning for
at finde største strømning. Den vejs mindste resterende kapacitet tilføjes til
maximumFlow.
pathsFromSourceToDrain =
s h o r t e s t P a t h s ( copyOfGraph , startNode , endNode ) ;
i f ( pathsFromSourceToDrain == n u l l )
{
maximumFlowFound = t r u e ;
graph . f l o w = maximumFlow ;
r e t u r n maximumFlow ;
}
Path path = pathsFromSourceToDrain . g e t ( 0 ) ;
path . calculateMinimumRemaingCapacity ( ) ;
L i s t <Node> edgesToBeRemoved = new
A r r a y L i s t <Node >() ;
maximumFlow += path . getMinRemainingCapacity ( ) ;
Da vi anvender Dijkstras algoritme til at finde veje med bliver vi nød til at
fjerne kanter fra grafen, hvis strømningen er lig kapaciteten for en given kant.
Dette gør vi s˚
aledes at Dijkstras algoritme ikke bruger disse veje igen. For at
slette en kant tilføjer vi knuderne som kanten g˚
ar fra og til til en liste som vi
bagefter sletter med metoden deleteEdges.
f o r ( i n t i = 0 ; i < path . nodes . toArray ( ) . l e n g t h −1; i ++)
{
Edge e =
path . getEdge ( path . nodes . g e t ( i ) , path . nodes . g e t ( i +1) ) ;
e . f l o w += path . getMinRemainingCapacity ( ) ;
i f ( ( e . c a p a c i t y −e . f l o w ) <= 0 )
{
edgesToBeRemoved . add ( path . nodes . g e t ( i ) ) ;
edgesToBeRemoved . add (
path . nodes . g e t ( i +1) ) ;
}
}
f o r ( i n t i = 0 ; i <edgesToBeRemoved . toArray ( ) . l e n g t h −1; i +=2)
{
copyOfGraph . d e l e t e E d g e s ( edgesToBeRemoved . g e t ( i ) . name ,
edgesToBeRemoved . g e t ( i +1) . name ) ;
}
29
Kapitel 8
Forsøg p˚
a algoritmer til at
finde optimale flugtveje
Vi har i forrige kapitel set p˚
a implementeringen af Dijkstras algoritme og FordFulkersons metode. Vi vil bruge disse algoritmer til at finde optimale flugtveje.
Hvordan kan dette gøres og hvilke problemer kan der opst˚
a? Bruger vi kun
Dijkstras algoritme f˚
ar vi veje som er de korteste, men som ikke tager hensyn til kapaciteten af flugtvejene. Ford-Fulkersons metode tager kun hensyn til
strømningen, hvilket kan give en lang evakueringstid. Koger vi det ned er det
store problem at finde forholdet mellem at vælge veje der er korte og veje som
kan f˚
a folk ud.
Vi har i dette afsnit givet et bud p˚
a hvordan dette kan gøres og derefter
give noget kritik af det.
8.1
Tanker om algortimen
Det kan hænde at kapaciteten for en bygning er mindre end antallet af flygtende. Det vil derfor nogle gange være nødvendig at skulle have mennesker ud i
flere omgange. Praktisk set vil kapaciteten være ledig allerede efter en enkelt
tidsenhed, da menneskerne vil have flyttet sig fra det stykke af gangen. N˚
ar
menneskerne har løbet igennem en kant, og skal tage en ny kant, vil de optage
denne gangs kapacitet. Det vil sige at man konstant skal holde styr p˚
a hvor
menneskerne befinder sig, for ikke at bruge den samme kapacitet flere gange
samtidig. Dette vil være utrolig svært, og vi vil derfor forsimple dette i vores
algoritme ved først at sende den næste gruppe mennesker afsted n˚
ar hele den
første menneskemængde er blevet evakueret, og der ikke er mere strømning i
grafen. Vi har forsøgt at omskrive vores ideer til pseudokode over algoritmen.
f u n k t i o n o p t i m a l V e j ( Graf , K i l d e r )
g r a f T i l B r u g = Graf ;
batches = 0;
vejeBrugt [ ] ;
Vælg r æ k k e f ø l g e a f k i l d e r ;
30
while ( a l l e ikke er evakueret )
f o r a l l e ( knuder i g r a f )
gendan ;
for alle ( kilde i graf )
tømer f l o w ;
for alle ( kilder i graf )
FordFulkersons t i l kilden er
tom ; // B e n y t t e r D i j k s t r a s t i l
at f i n d e v ej e
v e j e B r u g t [ Vejene gemmes ] ;
i f ( Der i k k e e r f l e r e v e j e )
batch++;
f o r a l l e ( veje i vejeBrugt )
beregn e v a k u e r i n g s t i d ;
Retuner e v a k u e r i n g s t i d og b a t c h e s
8.1.1
Tidskompleksiteten af algoritmen
Da det er en kompliceret algoritme, vil vi prøve finde store O til tidskompleksiteten.
Givet input n knuder, m kanter, den maksimale strømning f ∗ og et antal
omgange l der angiver hvor mange runder det tager at f˚
a menneskerne ud.
Den først løkke er while løkken som er hovede løkken i algoritmen, den
gennemløbes ind til alle er evakueret, hvilket kan være op til f ∗ . Her efter
gendannes grafen dette kan ske op til f ∗ gange, da dette er antallet af gange
while loopet gennem løbes. For hvergang vi gendanner skal vi løbe alle knuder
igennem igen hvilket højest kan være n. Derfor skal n ganges p˚
a f ∗ . Efter
gendannelse tømmes flowet for alle kanter dette sker m gange. S˚
a f˚
ar vi f ∗ ·
(m + n).
Der efter køres Ford Fulkersons højest en gang for hver vej f ∗ . Men da vi
benytter dijkstras algortime til at finde vej i Ford Fulkersons bliver den i stedet
f ∗ gange n2 , grundet store O for dijkstras er n2 , som det kan ses i afsnit 4.4.1.
S˚
a f˚
ar vi f ∗ · m + n · f ∗ · n2 hvilket giver (f ∗ )2 · n2 · (n + m), hvilket er det samme
som (f ∗ )2 · n2 · (n + n · (n − 1)), s˚
a man kan alts˚
a skrive store O som (f ∗ )2 · n4 .
∗
2
4
Vi f˚
ar derfor worst-case T (n) = O()f ) · n ).
Vi kan nu begynde at skrive vores program i java, og kommer i det næste
afsnit ind p˚
a hvordan den virker efter den blev implementeret.
31
8.2
Vores algoritme
N˚
ar vi starter vores algoritme, er det første skridt at vælge, hvilken rækkefølge
kilderne skal komme i. Grunden til at vi gør dette er at den kilde vi starter ved,
kan f˚
a de bedste veje ud af grafen p˚
a daværende tidspunkt. N˚
ar vi n˚
ar til de
sidste kilder vil det svært at finde rest-veje igennem da kapaciteten er opbrugt
mange steder. Vi har diskuteret bredt hvordan dette skulle ske. Er det mest
retfærdigt starte med dem vi kan f˚
a hurtigst ud, dem der tilfældigvis ligger
først i en liste eller fra den kilde hvor det er muligt at f˚
a flest ud? Vi har valgt
to m˚
ader at sortere kilderne p˚
a. Enten bliver de valgt efter hvilken kilde, der
har den mindste strømning eller s˚
a bliver de valgt ud fra, hvor stor befolkningen er ved kilden. Grunden til dette er at vi ved kilder med mindste strømning
gerne vil have dem ud først fordi de har den største ulempe for at komme ud.
Vi vælger at sortere kilderne efter befolkning for at f˚
a flest ud hurtigst muligt.
Desuden bliver der noteret hvor mange mennesker, der skal evakueres.
S˚
a bruger vi en kombination af korteste vej og Ford-Fulkersons til at finde
alle de optimale vej. Vi starter med den første kilde efter vi har sorteret dem
og kører Dijkstras algoritme fra kilden til alle dræn. Derefter udvælges den
optimale vej fra en kilde til et dræn. Vejen udvælges udfra enten højeste gevinst
eller den der er kortest. Den første gang algoritmen kører finder den kun veje i
forhold til hvor korte de er og anden gang vælger de veje i forhold til gevinsten.
N˚
ar vi har to mængder af veje sammenlignes de til sidst udfra hvor mange
omgange vi fik menneskerne ud p˚
a, hvor mange veje det krævede og den samlede
evakuringstid. Her betyder evakuringstiden den længste tid af den mængde af
optimale veje vi har.
N˚
ar vejen er valgt ud finder vi den mindste resterende kapacitet p˚
a vejen
og sender mest muligt strømning igennem. Hvis ikke alle er kommet ud g˚
ar
vi videre og undersøger om, det er muligt at f˚
a flere ud fra denne kilde nye
rest-veje. Kan dette ikke lade sig gøre, g˚
ar vi videre til at undersøge om, det er
muligt at evakuere flere via andre kilder. N˚
ar dette er gjort og der ikke er mere
kapacitet at tage af g˚
ar vi videre.
Hvis det ikke er muligt at finde flere rest-veje starter vi forfra med en ny
evakueringsrunde. Der regnes igen flugtveje og de sammenlignes igen som tidligere. Evakueringstiden som denne runde tager bliver s˚
a lagt sammen med den
tid fra første runde. S˚
adan fortsættes der indtil, alle er evakueret fra alle kilder.
N˚
ar alle mennesker er blevet evakueret, udskriver algoritmen hvor mange mennesker der er blevet evakueret, hvor lang tid det tog, og i hvor mange omgange
der skulle til for at f˚
a alle ud.
8.2.1
Koden
N˚
ar vi starter vores algoritme er det første skridt at vælge hvilken rækkefølge
kilderne skal komme i.Der er to ting de kan blive valgt p˚
a baggrund af. Enten
bliver de valgt efter hvilken kilde der har den største strømning, ellers bliver
de valg ud fra hvor stor befolkningen er ved kilden. Desuden bliver der noteret
hvor mange mennesker der skal evakueres.
32
// Noting t h e number o f p e o p l e we a r e e v a c u a t i n g
i n t numberOfPeople = 0 ;
graph . s o u r c e s = s e l e c t S o u r c e O r d e r ( 2 , graph . s o u r c e s , graph ) ;
f o r ( i n t i = 0 ; i <f l o w L e f t I n S o u r c e s . l e n g t h ; i ++)
{
f l o w L e f t I n S o u r c e s [ i ] = graph . s o u r c e s . g e t ( i ) . f l o w ;
numberOfPeople += graph . s o u r c e s . g e t ( i ) . f l o w ;
}
selectSourceOrder er funktionen der faktisk vælger rækkefølgen af kilder. Som
tideligere nævnt er der to forskellige modes den kan vælge kilder efter. Mode 1
som ses her vælger ud fra hvilke kilder der har det højeste flow.
L i s t <Node> s e l e c t S o u r c e O r d e r ( i n t mode , L i s t <Node>
s o u r c e s , Graph graph )
{
i f ( mode == 1 )
{
Graph maximumFlowGraph = new Graph ( new Node [ ] { } ) ;
for ( int i = 0;
i <graph . s o u r c e s . toArray ( ) . l e n g t h ; i ++)
{
maximumFlowGraph . nodes . c l e a r ( ) ;
maximumFlowGraph . s o u r c e s . c l e a r ( ) ;
maximumFlowGraph . d r a i n s . c l e a r ( ) ;
maximumFlowGraph . copyGraph ( graph ) ;
f o r ( Node d r a i n : maximumFlowGraph . d r a i n s )
{
maximumFlowGraph . nodes . add ( new
Node ( ” s u p e r D r a i n ” ) ) ;
d r a i n . n e i g h b o u r s . add ( new
Edge ( maximumFlowGraph
. getNode ( ” s u p e r D r a i n ” ) , 0 ,
Double . POSITIVE INFINITY ) ) ;
}
maximumFlowGraph . s o u r c e s . g e t ( i ) . f l o w =
maximumFlow ( maximumFlowGraph ,
maximumFlowGraph . s o u r c e s . g e t ( i ) ,
maximumFlowGraph
. getNode ( ” s u p e r D r a i n ” ) ) ;
}
f o r ( Node s o u r c e : maximumFlowGraph . s o u r c e s )
{
f o r ( Node node : graph . s o u r c e s )
33
{
i f ( node . name == s o u r c e . name )
{
s o u r c e . f l o w = node . f l o w ;
}
}
}
f o r ( i n t k = 0 ; k<maximumFlowGraph . s o u r c e s
. toArray ( ) . l e n g t h −1;k++)
{
i f ( maximumFlowGraph . s o u r c e s . g e t ( k ) . f l o w
>maximumFlowGraph . s o u r c e s
. g e t ( k+1) . f l o w )
{
Node temp =
maximumFlowGraph . s o u r c e s
. g e t ( k+1) ;
. s e t ( k+1,
. get (k) ) ;
maximumFlowGraph . s o u r c e s . s e t ( k ,
temp ) ;
}
}
r e t u r n maximumFlowGraph . s o u r c e s ;
}
Det andet mode er hvor de bliver valgt efter hvor stor befolkningen er ved
de forskellige kilder. Der hvor der er flest mennesker der skal ud, bliver valgt
som den første osv.
e l s e i f ( mode == 2 )
{
for ( int i =
0 ; i <graph . s o u r c e s . toArray ( ) . l e n g t h −1; i ++)
{
i f ( graph . s o u r c e s . g e t ( i ) . f l o w
>graph . s o u r c e s . g e t ( i +1) . f l o w )
{
Node temp =
graph . s o u r c e s . g e t ( i +1) ;
graph . s o u r c e s . s e t ( i +1,
graph . s o u r c e s . g e t ( i ) ) ;
graph . s o u r c e s . s e t ( i , temp ) ;
}
}
}
34
r e t u r n graph . s o u r c e s ;
Tredje skridt en vej udvælges efter største strømning som set her eller efter
befolkningen ved hver kilde.
i f ( p a t h s S t o r e d == t r u e )
{
// A l l p a t h s have been found − r e t u r n i n g t h e
p a t h s with t h e s m a l l e s t e v a c u t i o n t i m e
i f ( profitPathsEvacutionTime ·
p r o f i t P a t h E v a c u t i o n T i m e P a t h s . toArray ( ) . l e n g t h
< shortestPathsEvacutionTime ·
shortestPathEvacutionTimePaths
. toArray ( ) . l e n g t h )
{
graph . evacutionTime =
profitPathsEvacutionTime ;
f o r ( Path path :
profitPathEvacutionTimePaths )
{
path . p r i n t ( ) ;
}
return profitPathEvacutionTimePaths ;
}
}
Efter befolkningen ved hver kilde er som set her.
e l s e i f ( mode == 2 )
{
f o r ( i n t i = 0 ; i <graph . s o u r c e s . toArray ( )
. l e n g t h −1; i ++)
{
i f ( graph . s o u r c e s . g e t ( i ) . f l o w
>graph . s o u r c e s . g e t ( i +1) . f l o w )
{
Node temp =
graph . s o u r c e s . g e t ( i +1) ;
graph . s o u r c e s . s e t ( i +1,
graph . s o u r c e s . g e t ( i ) ) ;
graph . s o u r c e s . s e t ( i , temp ) ;
}
}
}
S˚
a finder vi alle de korteste vej og alle de veje med størst gevinst.
// Finds a path with e i t h e r minimum l e n g t h o r maximum
profit
35
i f ( s e a r c h F o r P r o f i t P a t h s == t r u e )
{
f o r ( Path path : s h o r t e s t P a t h s T o D r a i n s )
{
path . c a l c u l a t e P r o f i t ( ) ;
i f ( path . g e t P r o f i t ( ) > maximumProfit )
{
s h o r t e s t P a t h = path ;
maximumProfit = path . g e t P r o f i t ( ) ;
}
}
}
else
{
f o r ( Path path : s h o r t e s t P a t h s T o D r a i n s )
{
path . c a l c u l a t e L e n g t h ( ) ;
i f ( path . g et L e ng t h ( ) < minimumLength )
{
s h o r t e s t P a t h = path ;
minimumLength = path . ge t L en g t h ( ) ;
}
}
}
// Finds out how much f l o w we can g e t through t h i s path
s h o r t e s t P a t h . calculateMinimumRemaingCapacity ( ) ;
// Determing how mush f l o w t o add
i f ( s h o r t e s t P a t h . getMinRemainingCapacity ( ) > s o u r c e . f l o w )
{
flowToAdd = s o u r c e . f l o w ;
}
else
{
flowToAdd =
s h o r t e s t P a t h . getMinRemainingCapacity ( ) ;
}
s o u r c e . f l o w −= flowToAdd ;
//Adds t h e path t o t h e l i s t o f o p t i m a l p a t h s
o p t i m a l P a t h s . add ( s h o r t e s t P a t h ) ;
36
8.2.2
Kritik af algoritme
Algoritmen tager ikke højde for hvordan mennesker reagerer ved brand, som
man kunne ønske, da den godt nok forsøger at f˚
a folk ud, flest mulige fra en kilde
af gangen. Men der kan opst˚
a scenarier hvor et antal mennesker skal bevæge
sig samlet i en retning, for s˚
a at dele sig op i to og g˚
a hver deres vej. Dette
er imod den gruppe mentalitet vi tidligere har snakket om. Desuden mener vi
ikke at algoritmen favoriserer et lille antal af veje godt nok. F.eks. vil den sige
at 19 veje er bedre end 20 veje, dog kan dette godt være utrolig mange veje for
en gruppe p˚
a 20. N˚
ar en flygtende mængde mennesker flygter tager vi heller
ikke højde for at n˚
ar de bevæger sig igennem grafen bliver kapaciteten ledig bag
dem. Som algoritmen fungerer nu skal de hele vejen ud for at kapacitet bliver
ledig igen.
37
Kapitel 9
Modeldannelse
Nu da vores algoritme virker og vi kan finde flugtveje ud af en bygning, kan
vi begynde at kigge lidt p˚
a, hvordan implementationen i et arkitekt program
kunne foreg˚
a. Det smarteste ville være, hvis der i programmet var en knap, som
grafisk kunne vise, om det kunne lade sig gøre at f˚
a alle ud og hvor der kunne
opst˚
a flaskehalsproblemer. For at det ville kunne lade sig gøre, skal programmet
først generere en graf over bygningen med længde og kapacitet p˚
a alle kanter.
9.1
Opdeling af bygningen i knuder
Knuder har vi tidligere defineret, som steder man kan opholde sig. N˚
ar arkitekten har tegnet en bygning, skal programmet kunne genkende rum og tildele
dem en knude. Men dette er ikke helt nok som vi snakkede om i afsnit 2.1.1,
skal større rum deles i flere knuder. Da de arkitekt programmer vi har kigget
p˚
a, alle kan finde frem til arealet af et rum, kan vi indføre en standard for, hvor
stort et areal en knude højest m˚
a repræsentere. Det samme gør sig gældende
for gange, da disse ogs˚
a er steder, man kan opholde sig.
9.2
Tilføjelse af kanter
N˚
ar grafen er delt op i knuder, kan man g˚
a videre til at forbinde dem med
kanter. Kanter er beskrevet i afsnit 2.1.2 som veje mellem knuder. Det vil sige,
at hvis to knuder ligger i samme rum eller er adskilt af en dør, skal der være en
kant imellem. Arkitekt tegninger af bygninger indeholder allerede døre. Derfor
skal man først finde de rum, hvor der er mere end en knude, er der mere end en,
skal der være en kant imellem dem, hvis de er inden for en bestemt afstand af
hinanden. Afstanden skal sikre at kun knuder, der ligger lige op af hinanden er
naboer, s˚
a to knuder i hver ende af et meget stort rum f.eks. ikke er naboer. N˚
ar
dette er gjort for alle knuder, kan man g˚
a videre til at forsøge at finde knuder,
som kun er adskilt af en dør, igen skal der tjekkes om knuderne er inden for den
forudbestemte afstand, men ikke i samme rum. Hvis dette er tilfældet skal, der
tjekkes om en evt kant vil krydse en dør, er dette ogs˚
a opfyldt, skal der være
en kant.
38
9.3
Længde og kapacitet
N˚
ar vi skal tilføje længden af kanter, kan vi tage udgangspunkt i rummenes m˚
al,
som vi kender fra arkitekt programmet. Derefter skulle det være muligt ud fra
nogle matematiske beregninger at finde frem til længden. Som et eksempel kan
man se p˚
a et rektangulært rum, der er delt op i to knuder. Afstanden fra knuderne, som begge er placeret i midten af hver deres lige store del af firkanten,
hvor hver af de to dele er 5 · 5 meter, vil kanten være 2 · 12 · 5.
N˚
ar der skal sættes kapacitet p˚
a kanterne var en mulig løsning, at de forskellige dør typer som allerede findes i arkitektprogrammerne allerede har en
tilknyttet kapacitet. Derved er det blot at tjekke om en kant g˚
ar gennem en
dør, hvis den gør skal kapaciteten sættes til dørens prædefinerede kapacitet.
Hvis ikke skal kapaciteten sættes i forhold til en udregning, som kunne være
rummets størrelse dividered med antallet af knuder ganget med hvor mange
mennesker, der nomalt kan g˚
a gemmen et rum p˚
a den størrelse, alt efter loft
højde og bredden p˚
a rummet.
9.4
Kilder og dræn
Kilder er en af de f˚
a ting, vi ikke uden videre kan sætte programmet til at ordne
automatisk, som vi ser p˚
a nu, m˚
a arkitekten selv sætte knuderne i de rum, som
er kilder til at indeholde et antal personer. Vi kunne hjælpe arkitekten godt p˚
a
vej ved, at antallet af personer bare skal sættes for et rum, s˚
a kan vi fordele
antallet af personer p˚
a de forskellige knuder og hvis en knude indeholder personer, n˚
ar flugtvejsalgoritmen eksekveres er det en kilde.
Dræn m˚
a arkitekten ogs˚
a selv sætte ind, ved at markere nogle knuder og
sætte det til dræn.
9.5
Eksekvering
N˚
ar programmet eksekveres er vores forestilling, at bygningen bliver markeret
med hvor stor en del af kapaciteten der bliver brugt i de forskellige kanter. Som
en følge deraf vil man kunne se hvor, der er flaskehalse, og derved hvor man
skal sætte ind hvis man vil forbedre flugtplanen. Det er vores forestilling, at
dette vil kunne hjælpe arkitekter med at forbedre deres bygning og gøre dem
sikrer uden alt for meget ekstra arbejde.
9.6
kopieret fra metode
Rapporten best˚
ar af en datalogisk og en matematisk vinkling. Da vi ønsker at
finde en optimal vej ud af en bygning, er det oplagt at benytte grafteori. Grafteori gør os i stand til at modellere bygninger og der er lavet mange forskellige
algoritmer til at beregne den korteste vej. Desuden findes algoritmer som kan
39
finde strømningen igennem en graf. Dog er dette vi ønsker at finde ikke de korteste veje, men de optimale veje.
Hvad forst˚
ar man ved den optimale vej? Er den optimale vej, den man kender eller den som er kortest? Det er svært at sige og der er ogs˚
a flere ting at
tage højde for. Hvis man har en flugtvej, der kun ligger fem meter væk, er det
ikke nødvendigvis den optimale flugtvej. Denne flugtvej kan være s˚
a snæver, at
folk ikke kan komme hen til udgangen. En optimal flugtvej afhænger derfor ikke
kun af dens længde, men ogs˚
a af dens kapacitet. Den optimale flugtvejrute kan
alts˚
a opdeles i to problemer, navnligt at finde veje i forhold til længde og veje
i forhold til kapacitet.
Igen m˚
a vi ind og definerer hvad det vi præcist skal forst˚
a ved en flugtvejs
længde og kapacitet. En flugtvejs længde definerer vi som længden mellem start
stedet og udgangen. Kapacitet er et vanskligere term at forklare.
Bredden af en flugtvej definerer vi som kapacitet og m˚
ales i hvor mange
mennesker, der kan komme igennem per sekund. Kapacitet kan være defineret
p˚
a forskellige m˚
ader. Er det gangen hen til flugtdøren, man taler om eller er
det selve dørens kapacitet? Man kan iagttage to forskellige flugtveje.
• En flugtvej der har en gang med høj kapacitet og en dør med lille kapacitet.
• En flugtvej der har en gang med lav kapacitet og en dør med høj kapacitet.
Ved den første type vil gangen have en højere kapacitet end døren. Her vil
mange mennesker kunne komme hen til en nødudgang, men pga. dørens lave kapacitet vil der opst˚
a en flaskehals-situation. Her kunne det ske, at de flygtende
ville trampe hinanden ned. Med den anden type vil dørens kapacitet kunne rumme flere af de flygtende mennesker. Vi vil derfor ikke f˚
a flaskehals-problemet,
som ved den forrige løsning. Er denne løsning s˚
a bedre? De flygtende vil m˚
aske
ikke trampe hinanden ned i selve udgangen, men der er derimod en fare for, at
det vil ske i gangen med den lave kapacitet. Alts˚
a er typen, hvor vi har en gang
med lavere kapacitet være lige s˚
a d˚
arlig som den første type. Dog kan man sige,
at s˚
adan et design aldrig vil forekomme, hvor døren har en højere kapacitet end
den gang, der fører hen til den. Vi vil derfor kun koncentrere os om den første
type og vil definere kapaciteten af flugtvejen som kapaciteten af de døre, man
g˚
ar igennem. Det kan ikke udelukkes, at gangenes kapacitet har betydning for
den optimale rute, men vi har valgt at se bort fra det.
40
Kapitel 10
Brugervenlighed
Vi mener det er vigtigt, hvis programmet blev en realitet, at det er nemt at
bruge. Med nemt at bruge mener vi at det skal være simpelt at starte, som i tryk
p˚
a en knap, og det skal kunne bruges uden at have modtaget undervisning p˚
a
forh˚
and. Grunden til vi mener dette er fordi arkitekterne skal have kunstnerisk
frihed, det er i forvejen ikke den samme fri hed ved at skitsere p˚
a computer
som man har i h˚
anden, derfor bør vores program ikke være med til at gøre det
yderligere kompliseret. Vi mener det er en god ide at det kan bruges uden at
have haft undervisning da arkitekterne derfor ikke skal bruge tid p˚
a at tage p˚
a
kurser eller forlænge den nuværende uddanelse, og derved tage fokus fra det de
reelt vil arbejde med.
41
Litteratur
[1] A. Matthes. [Online]. Available: http://altermundus.com/downloads/
examples/graph/Complet-16.png
[2] J. Wiley, “Fire and materials.” [Online]. Available: http://www3.
interscience.wiley.com/journal/71000844/issue
[3] L. Winerman, “Fightin fire with psycholology.” [Online]. Available:
http://www.apa.org/monitor/sep04/fighting.aspx
[4] R. H. PHD, “Herd mentality explained,” 2008. [Online]. Available: http://
psychcentral.com/news/2008/02/15/herd-mentality-explained/1922.html
[5] U. Andersen, “H˚
an, r˚
ab og hurtigt arbejde.” [Online]. Available:
http://ing.dk/artikel/81316-haan-raab-og-hurtigt-arbejde
[6] Smartdraw, “Smartdraw
smartdraw.com/
2010.”
[Online].
Available:
http://www.
[7] Google, “Google sketch-up.” [Online]. Available: http://sketchup.google.
com/
[8] K. H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications Sixth Edition.
McGraw-Hill, 2007.
[9] C. E. Leiserson, “Introduction to algorithms, lecture 18.” [Online]. Available: http://www.cs.arizona.edu/classes/cs445/spring05/ShortestPath2.
prn.pdf
[10] M.-Y. Kao, Encyclopedia of Algorithms.
LLC, 2008.
[11] J.-C. Fournier, Graph Theory and Applications. John Wiley and Sons Inc,
2009.
[12] R. Sedgewick, Algorithms in Java Third Edition Part 5: Graph Algorithms.
Addison Wesley, 2003.
[13] P.
Symonds,
“floyds[1].”
[Online].
Available:
http:
//www.excellencegateway.org.uk/media/ferl and aclearn/ferl/resources/
colleges/petersymonds/filedownload/dhand/floyds/floyds[1].ppt
42
Bilag A
Spørgsm˚
al fra interview:
1. Hvilke faktorer tager I højde for n˚
ar I tegner en bygning?
2. Tager i højde for flugtveje? Hvordan tager I højde for det?
3. Hvilke love og retningslinjer overvejer i? Og hvorfor? Hvorfor netop dem?
Er det alle retningslinjer omkring flugtveje, eller er der nogle I kan fravælge?
4. Er det nogensinde sket at I har tegnet en bygning og brandmyndighederne
har afvist den? Og hvorfor?
5. Hvad gør I for at forhindre dette?
6. Laver i beregninger p˚
a flugtruter og evakueringstider? Og hvordan gør I
det?
7. Føler i nogensinde at det er nødvendigt at g˚
a p˚
a kompromis for at sikre
flugtruter?
8. Føler i at lovgivningen er for stram eller burde ændres? P˚
a hvilke omr˚
ader
og hvorfor?
9. Hvor meget og hvordan arbejder I sammen med brandmyndighederne?
10. Der findes en del værktøjer til udregning af optimale flugtveje (her kan I
godt nævne et par eksempler), er det nogle I benytter jer af?
11. Hvis ja, hvad hedder dette program, og hvorfor har I valgt at bruge det?
12. Hvilke forbedringer kunne I ønske jer af programmet?
13. Hvis nej, har I overvejet dette? Og hvorfor bruger I ikke et værktøj?
14. Hvad skulle et program minimum kunne afhjælpe for at I ville bruge det?
15. Overvejer I menneskelig psykologi og adfærd ved krisesituationer, n˚
ar I
tegner bygninger? Og hvordan?
43
Bilag B
Interviewet
Her vedlægges transcriptionen af selve interviewet. Det har været svært at f˚
a
alle ting med pga. d˚
arlig lydkvalitet.
Intervieweren: Hvilke faktorer tager I højde for n˚
ar i tegner en bygning?
Jan Refsgaard Jepsen: Hvilke faktorer?
Intervieweren: Ja i forhold til flugtveje og s˚
adan noget?
Jan Refsgaard Jepsen: Jamen der tager vi udgangspunkt i bygningsreglementets krav. Til hvor langt der skal være mellem rammerne hvor brede gangene skal være, det er afhængigt af om det er et sygehus eller et forsamlingslokale eller en bolig eller hvad det er.
Intervieweren: Hvad for nogle faktorer kan der være n˚
ar man skal lave s˚
adan
nogle flugtveje?
Jan Refsgaard Jepsen: Som regel er det afstanden mellem trapperne hvis det
er et sygehus og der er nogle specielle forhold der gør sig gældende som
f.eks. trapper.
Intervieweren: Er det tit s˚
adan i tager højde hvis nu det er s˚
adan der er et
sted p˚
a en gang der er smallere, s˚
a der tit kunne være en flaskehals hvor
der bliver proppet?
Jan Refsgaard Jepsen: Næh... der er jo minimumskrav for bredder.
44
Intervieweren: Ja okay.
Jan Refsgaard Jepsen: og n˚
ar den er opfyldt s˚
a er det okay.
Intervieweren: Hvad er det for nogle minimumskrav?
Jan Refsgaard Jepsen: ja jeg mener det er minimum 1 meter og 30.
Intervieweren: Hvilke regler og retningslinjer overvejer I?
Jan Refsgaard Jepsen: Alts˚
a i forbindelse med det?
Intervieweren: Ja..
Jan Refsgaard Jepsen: I mange af vores projekter, som er større projekter, er
der som regel en brandingeniør med, som tager hele den der forhandling
med brandmyndighederne, og skal lægge s˚
adan en brandstrategi. Man kan
handle lidt p˚
a de der emner; hvis man opfylder nogle ting bedre end andre
s˚
a kan man m˚
aske slække lidt p˚
a nogle andre omr˚
ader.
Intervieweren: Har I nogensinde tegnet en bygning hvor brandmyndighederne
har afvist den eller s˚
adan noget?
Jan Refsgaard Jepsen: Nej, det har vi ikke.
Intervieweren: S˚
a der er egentlig rimelig store..
Jan Refsgaard Jepsen: Ja, det vil sige, tidligere kom man med en række forslag,
til hvordan flugtvejene var og s˚
a gik vi ned til brandmyndighederne og
handlede det af med dem.
Intervieweren: Er det nogle meget ˚
abne krav der er?
Jan Refsgaard Jepsen: Det er s˚
adan rimelig billigt og aflæse bygningsreglementet hvordan det skal være, alts˚
a de kan jo tolkes p˚
a mange m˚
ader og
det kan ogs˚
a være at brandvæsnet har nogle andre forhold.
Intervieweren: Du sagde at det var det i gjorde tidligere?
45
Jan Refsgaard Jepsen: Ja, i dag kræver de jo endnu mere at der er en brandstrategi, det er ikke nok at der er en flugvejsplan, s˚
a skal der være en
brandstrategi, der skal være en strategi for hvor mange folk der er i huset.
Man skal ogs˚
a nogle gange lave en CFD alts˚
a en flugtvejsanalyse. I kender
godt de programmer hvor man sætter s˚
a og s˚
a mange mennesker ind i alle
rummene og siger udgangen den er herovre. Hvor lang tid det tager det
s˚
a at komme ud.
Intervieweren: Det er faktisk lidt præcist det vi forsøger at lave
Intervieweren: Nu er vi jo meget interesserede i at finde flugtveje, hvad gør I
for s˚
adan noget alts˚
a i forhold til evakueringstid.
Jan Refsgaard Jepsen: Det gør vi i samarbejde med ingeniørene, men hvis det
er mindre sager kan vi gøre det p˚
a den gode gammeldags m˚
ade, køre ned
til brandmyndighederne, men hvis det er en større sag vil brandmyndighederne ikke acceptere det. S˚
a skal der dokumentation p˚
a det.
Intervieweren: Har I nogensinde følt i har været nødsaget til at g˚
a p˚
a komprimis med noget for at sikre flugtveje, det kunne f.eks. være design.
Jan Refsgaard Jepsen: Nej det mener jeg ikke.
Intervieweren: Det virker p˚
a os at lovgivningen ikke er s˚
a stram p˚
a dette
omr˚
ade, men hvad mener du, er lovgivningen for stram, burde den ændres p˚
a nogle omr˚
ader.
Jan Refsgaard Jepsen: Nej... Jeg kan ikke sige om den er for stram, det tror
jeg sgu ikk den er.
Intervieweren: Den er meget godt tilpasset eller hvad?
Jan Refsgaard Jepsen: Ja, den bliver jo justeret hele tiden. N˚
ar tingene sker
rundt omkring, ulykker osv. s˚
a bliver den jo tilpasset. Det er selvfølgelig
tragisk at der skal ske ulykker før lovgivningen bliver strammet op.
Intervieweren: Hvor meget arbejder i egentlig sammen med brandmyndighederne?
46
Jan Refsgaard Jepsen: Dem arbejder vi tit sammen med, og for eksempel musikens hus vi lige har sendt ud her, der holder vi løbende møder hver m˚
aned,
hvor brandvæsnet ogs˚
a er inviteret med. Ogs˚
a under skitseringsforløbet.
Intervieweren: Der findes en del værktøjer til at udregne optimale flugtveje
som f.eks. ArchiCAD 13 og SmartDraw 2010 og Google SketchUp. Hvilke
benytter I, og hvorfor?
Jan Refsgaard Jepsen: Google SketchUp.. Det er almindelige CAD programmer du tænker p˚
a, ik’ ?
Intervieweren: Jo, jeg har ikke kigget p˚
a dem.
Jan Refsgaard Jepsen: Jamen der bruger vi Revit fra autodesk og autodesk
ACA fra men ogs˚
a lidt google, men det er mest i skitseringsfasen.
Intervieweren: Ok.
Jan Refsgaard Jepsen: Til Revit der ved jeg der kan f˚
as et overbygningsprogram til at lave evakueringsløsninger.
Intervieweren: Kan de udregne optimale flugtveje?
Jan Refsgaard Jepsen: Jeg har ikke set det i brug, jeg har bare hørt det er
kommet.
Intervieweren: Er det noget i gør, alts˚
a udregner optimale flugtveje?
Jan Refsgaard Jepsen: Nej alts˚
a vi har ikk nogle programmer der g˚
ar ind og
finder ud af det. Vi tegner ud fra de krav der er til flugtveje.
Intervieweren: Er det relevant med s˚
adan et program der kan finde optimale
flugtveje? Tror du det er noget i kunne bruge?
Jan Refsgaard Jepsen: Alts˚
a hvis det kan lave de der CFD analyser hvor man
kan se evakueringstider, s˚
a kunne vi selv lave de der brandstrategier.
47
Intervieweren: Hvilke ting skulle der være i det, udover den skal kunne regne
hvor lang tid det skulle tage. For eksempel kunne den beregne hvor mange
mennesker der kunne kunne komme ud p˚
a et vist antal tid.
Jan Refsgaard Jepsen: Ja, det ville stort set ville være det den skal.
Intervieweren: Overvejer i n˚
ar I tegner s˚
adan nogle bygninger, menneskelig
psykologi og adfærd og s˚
adan noget ved krisesituationer.
Jan Refsgaard Jepsen: Jamen det gør vi da, specielt p˚
a sygehuse, der er man
jo nødt til at tage hensyn til sengeliggende patienter, finde ud af hvordan
og hvorledes de kommer op og ned af trapper. Det skal der selvfølgelig
ogs˚
a tages højde for i det program hvis det skal bruges til det.
48
Bilag C
Vigtige ord og begreber
C.1
Grafteori
• Dræn - En kant som symboliserer udgange, n˚
ar en eller flere personer har
n˚
aet denne knude er de ude af bygningen.
• Ikke-orienteret graf - En graf hvor kanterne ikke er retningsbestemte.
• Kapacitet - Hvor mange mennesker der kan bevæge sig langs en kant.
• Kanter E - Forbinder en eller flere knuder. Kaldes p˚
a engelsk Edges. Se
punkt 2.1.2.
• Kilder - En knude hvor folk opholder sig ved starten af branden.
• Knuder V - Et sted folk kan opholde sig. Kaldes p˚
a engelsk Vertices. se
punkt 2.1.1.
• Længde - Hvor lang en kant er.
• Orienteret graf - En graf hvor kanterne er retningsbestemte.
• Vægt - En værdi der kan tilknyttes en kant. Kan bruges til at beskrive
tider, længder osv.
• Vægtet graf - En graf hvor alle kanterne har en eller flere vægte.
• Vej - En sekvens af kanter.
C.2
tidskompleksitet
• operationer
C.3
O-notation
• Algoritme - En følge af operationer som kan løse et specifikt problem [8].
49
• Hukommelsesforbrug - I denne sammenhæng er det, hvor meget plads i
hukommelsen der er brugt efter en algoritme at kørt.
• Udførelsestid - I denne sammenhæng er det, hvor lang tid det tager for
algoritmen at køre.
• Øvre grænse - Maksimumsværdien af algoritmens vækstrate.
• Underestimering - Minimumsværdien af algoritmens vækstate.
50

Alle skoler ti 1 27 fr 1 ma 1 36 on 1 lø 1 ma 1 49 on 2 lø 2 ti 2 to 2 sø

Transcription

Similar documents

KNUDELØSEREN - Journalist Ida Ydo

Kandidatuddannelsen i Politik & Administration

486 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Brobygningsskema (pdf - nyt vindue)

Indmeldelse Undertegnede søger hermed om optagelse i

HOLD HJERTET I GANG - Sundhedscenter Skive

Del I - Designskolen Kolding

Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver om brug af R

Algoritme til diagnosticering af slapt spædbarn

cv - Amitai Romm

Høringssvar fra Skolebestyrelsen på Lynghøjskolen

Få mere ud af dit netværk med SmartShare