486 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Transcription

- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK
Historisk fremkomst og
moderne anvendelse af
grafteori –
et matematikfilosofisk
undervisningsforløb til gymnasiet
Uffe Thomas Jankvist
januar 2012
nr. 486 - 2012
Roskilde University,
Department of Science, Systems and Models, IMFUFA
P.O. Box 260, DK - 4000 Roskilde
Tel: 4674 2263 Fax: 4674 3020
Historisk fremkomst og moderne anvendelse af grafteori –
et matematikfilosofisk undervisningsforløb til gymnasiet
Af: Uffe Thomas Jankvist
IMFUFA tekst nr. 486/ 2012
– 76 pages –
ISSN: 0106-6242
Den nuværende gymnasiale bekendtgørelse for matematik påpeger at elever skal tilegne sig viden om
matematiske anvendelser, matematikkens historiske udvikling og i en vis grad også dens natur som fag.
I KOM-rapporten (Niss & Jensen, 2002) omtales tre former for ’overblik og dømmekraft’ som i nogen
grad modsvarer disse tre ’aspekter’ ved faget matematik: matematikkens faktiske anvendelse i andre
fag- og praksisområder; matematikkens historiske udvikling, såvel internt som i samfundsmæssig
belysning; og matematikkens karakter som fagområde. Et af formålene ved nærværende
undervisningsmateriale har været at forsøge at opstille en ramme for elevers udvikling af disse tre
former for overblik og dømmekraft.
Måden hvorpå dette er søgt gjort er ved sammensætningen af tre originaltekster fra matematikken til et
undervisningsmateriale – én tekst repræsenterende hver af de tre former for overblik og dømmekraft.
Disse tekster præsenteres i dansk oversættelse (i de tilfælde hvor en oversættelse ikke allerede fandtes
er de oversat af undertegnede) og suppleres undervejs med kommentarer og opgaver. Materialet (og
forløbet) er designet således, at eleverne selv kan arbejde sig igennem det i grupper (evt. under
rådføring med deres underviser), for således også at opfylde bekendtgørelsens krav om gruppearbejde.
Samtidig indeholder forløbet en skriftlig dimension, nemlig i forbindelse med den såkaldte afsluttende
essay-opgave. Udover at opfylde bekendtgørelsens krav om større skriftlige produkter tjener denne
opgave også som en ramme for elevernes udvikling af de tre former for overblik og dømmekraft, idet
de tre originaltekster her skal relateres til hinanden såvel som til en række spørgsmål karakteristiske for
KOM-rapportens overblik og dømmekraft.
Den første af de tre originaltekster i dette materiale er Leonhard Eulers Solutio problematis ad
geometriam situs pertinentis fra 1736, der i dag regnes for begyndelsen på grafteori. Den næste og
mere anvendelsesorienterede tekst er Edsger W. Dijkstras A Note on Two Problems in Connexion with
Graphs fra 1959, hvori han bl.a. præsenterer sin algoritme til bestemmelse af korteste vej i en graf. Den
sidste og mere filosofiske tekst består af David Hilberts introduktion til sit foredrag Mathematische
Probleme – Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900, hvori
han diskuterer matematiske problemers rolle.
Nærværende forløb har været implementeret i en 1g-klasse på Ørestad gymnasium i foråret 2010 som
del af et forskningsprojekt finansieret af Det Frie Forskningsråd – Kultur og Kommunikation (FKK)
under Forsknings- og Innovationsstyrelsen. Klassens egen matematikunderviser gennemførte forløbet,
mens jeg observerede og videofilmede implementeringen. Specielt fulgte jeg én gruppe bestående af
fem elever i forbindelse med deres opgaveregning og udarbejdelsen af deres essay-opgave. De
didaktiske forskningsresultater af denne undersøgelse vil blive præsenteret i fremtidige artikler.
Uffe Thomas Jankvist, 2012
Historisk fremkomst
og moderne anvendelse af grafteori
– et matematikfilosofisk undervisningsforløb til gymnasiet
Udformet af
April 2010 ◦ IMADA ◦ Syddansk Universitet
2
Forord
Dette undervisningsforløb er udviklet som del af et postdoc-projekt finansieret af Det Frie Forskningsråd i Kultur og Kommunikation under
Forsknings- og Innovationsstyrelsen. Et af formålene med projektet er
at afsøge mulighederne for samspillet mellem matematik, matematikkens
historie samt matematikkens filosofi og videnskabsteori i den gymnasiale
matematikundervisning – og på længere sigt tværfaglige kombinationer
mellem matematik og humaniora i gymnasiets alment studieforberende
forløb (AT).
Bekendtgørelsen for matematik i gymnasiet stiller i dag krav om en
belysning af faget matematiks ‘samspil med andre fag’:
Når matematik indgår i en studieretning, skal der tilrettelægges et fagligt
samarbejde, som indeholder mere omfattende anvendelse af matematik.
Herved skal eleven opnå en dybere indsigt i matematikkens beskrivelseskraft
og i vigtigheden af at overveje og diskutere forudsætninger for en matematisk
beskrivelse og pålidelighed af de resultater, der opnås gennem beskrivelsen.
Der skal tilrettelægges undervisningsforløb med det hovedsigte at udvikle
elevernes kendskab til matematikkens vekselvirkning med kultur, videnskab
og teknologi. (Undervisningsministeriet; 2008, bilag 35, punkt 3.4)
Sådanne undervisningsforløb kan på naturlig vis placeres under inddragelsen af det såkaldte ‘supplerende stof’:
Eleverne vil ikke kunne opfylde de faglige mål alene ved hjælp af kernestoffet.
Det supplerende stof i faget matematik, herunder samspillet med andre fag,
skal perspektivere og uddybe kernestoffet, udvide den faglige horisont og
give plads til lokale ønsker og hensyn på den enkelte skole.
For at eleverne kan leve op til alle de faglige mål, skal det supplerende stof, der
udfylder ca. 1/3 af undervisningen, bl.a. omfatte: [...] matematik-historiske
forløb. (Undervisningsministeriet; 2008, bilag 35, punkt 2.3)
Udover det ‘faglige mål’ som matematikhistoriske forløb generelt retter
sig mod (i) retter nærværende undervisningsforløb sig mod endnu et (ii):
Eleverne skal kunne [...]:
i. demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den
historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling
ii. demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks
problemstilling (Undervisningsministeriet; 2008, bilag 35, punkt 2.1,
nummerering tilføjet)
For at skitsere nærværende forløb ganske kort er der tale om at I,
eleverne, vil blive introduceret til en matematikhistorisk case, derefter
en konkret moderne anvendelse af matematikken i denne og endelig en
videnskabsteoretisk/-filosofisk perspektivering af disse.
ii
Tilrettelæggelsen af forløbet søger også at tage højde for de arbejdsformer som den gymnasiale matematikundervisning ifølge bekendtgørelsen
(læreplanen) skal bygge på. Om disse hedder det:
En betydelig del af undervisningen tilrettelægges som projekt- eller emneforløb over forskellige dele af kernestoffet og det supplerende stof eller
problemstillinger, der er genstand for fagsamarbejde. For hvert større forløb
formuleres faglige mål, der tages stilling til arbejdsprocessen, og eleverne
udarbejder et skriftligt produkt, som kan dokumentere de faglige resultater
eller konklusioner vedrørende en tværfaglig problemstilling.
En del af undervisningen tilrettelægges som gruppearbejde med henblik på
at udvikle elevernes matematiske begreber gennem deres indbyrdes faglige
diskussion.
Der arbejdes bevidst med den mundtlige dimension, herunder selvstændig
tilegnelse, bearbejdning og præsentation af forelagte matematiske tekster.
I undervisningen lægges der betydelig vægt på opgaveløsning som en afgørende
støtte for tilegnelsen af begreber, metoder og kompetencer. Løsning af opgaver foregår både i timerne og som hjemmearbejde. Endvidere arbejdes der
med større skriftlige produkter som resultat af arbejdet med projekter og
emner. (Undervisningsministeriet; 2008, bilag 35, punkt 3.2)
En essentiel del af dette undervisningsforløb (og -materiale) er derfor
også måden, hvorpå der arbejdes med stoffet. Ideen er at I, eleverne, i høj
grad tilegner jer stoffet på egen hånd og i samarbejde med andre elever –
altså bør forløbet kun omfatte et minimum af ‘traditionel tavleundervisning’
fra underviserens side, f.eks. i form af opsamlinger.
Det vil være hensigtsmæssigt at der allerede ved forløbets begyndelse
bliver dannet et antal elev-grupper, således at man i en given gruppe
arbejder sig igennem forløbet sammen og qua den indbyrdes faglige (og
tværfaglige) diskussion og opgaveløsning opnår en fælles forståelse af stoffet.
I den forstand skal gruppearbejdet tænkes på som værende mere end blot
en arbejdsform, men også en form for ‘metode’ til tilegnelse af stoffet, til
forståelse og til kompetenceudvikling.
Forløbet afsluttes med en større skriftlig opgave, en samling såkaldte
essay-opgaver, som også skal udarbejdes i grupperne og som er essentiel
for dækningen af de faglige mål (i og ii).
I forbindelsen med udarbejdelsen af dette forløb skal følgende personer
takkes for deres faglige bidrag i form af diskussioner, forslag, erfaringsudveksling med mere: Hans Jørgen Munkholm, Bjarne Toft og Jessica
Carter, Syddansk Universitet (SDU) i Odense; Janet Barnett, Colorado
State University (CSU) i Pueblo; Jerry Lodder og David Pengelley, New
Mexico State University (NMSU) i Las Cruces.
April, 2010
IMADA, Syddansk Universitet
Indhold
1
Introduktion
1.1 Overordnet om undervisningsmaterialet . . . . . . . . . . .
1.2 Opbygning af kapitlerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Euler: Königsberg-problemet
2.1 Biografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Optakt til Eulers artikel . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eulers 1736-artikel . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 En moderne version af Eulers sætning og bevis
.
.
.
.
Dijkstra: korteste-vej problemet
3.1 Biografi . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Optakt til Dijkstras note . . . . . .
3.3 Dijkstras 1959-note . . . . . . . . .
3.4 Moderne fremstilling og korrekthed
3.5 Faktiske og praktiske anvendelser .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
algoritme
. . . . . .
3
4
5
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
af Dijkstras
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
3
. 3
. 4
. 5
. 17
.
.
.
.
.
23
23
24
28
35
40
Hilbert: matematiske problemer
4.1 Biografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Optakt til Hilberts foredrag . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Hilberts 1900-foredrag . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Hilberts radiotale, Königsberg 1930 . . . . . . . . . .
4.5 Gödels ufuldstændighedssætninger, Königsberg 1930
4.6 Epilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
45
47
48
58
59
61
Afsluttende skriftlig opgave
5.1 Essay-opgave 1: Matematiske problemer . . . .
5.2 Essay-opgave 2: Matematiske beviser . . . . . .
5.3 Essay-opgave 3: Matematik som videnskabsfag
5.4 Essay-opgave 4: Jeres mening . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
63
64
66
68
Litteratur
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
iii
iv
1
Introduktion
1.1
Overordnet om undervisningsmaterialet
Dette undervisningsmateriale består af i alt fire kapitler, som hver især
har sit fokus og sigte.
I det første kapitel bliver vi introduceret til et faktisk problem, det
såkaldte Königsberg-problem, som blev udgangspunktet for udviklingen af
en ny gren inden for matematikken, der mange år senere blev kendt som
grafteori.
I andet kapitel skal vi se en mere moderne anvendelse af grafteori
til formuleringen af en algoritme som løser endnu et konkret problem,
nemlig det at finde korteste vej – en løsning som internet-sider som f.eks.
www.rejseplanen.dk og www.krak.dk også benytter sig af.
I tredje og fjerde kapitel skal vi se på matematikken mere generelt.
Nærmere bestemt skal den betragtes som videnskabsfag, både som en ren
videnskab og som en anvendt, herunder dens karakter som fagområde,
f.eks. eventuelle måder hvorpå den adskiller sig fra andre discipliner. Tredje
kapitel består i hovedsagen af uddrag fra et inden for matematikken kendt
foredrag, hvori disse aspekter af faget og dets udvikling debatteres. I fjerde
kapitel, som er oplægget til forløbets afsluttende skriftlige gruppearbejde,
består opgaven i at diskutere de i tredje kapitel forelagte problemstillinger
i forhold til den matematik som er blevet introduceret i de to tidligere
kapitler.
1.2
Opbygning af kapitlerne
I hver af de tre følgende kapitler vil vi komme til at se og studere originalkilder fra matematikken, kilder som skal læses og forstås. Da dette ikke
nødvendigvis altid vil være helt ligetil vil der undervejs være kommentarer,
opklarende spørgsmål og opgaver, hvis formål det er at lette den videre
forståelse og som derfor bør forsøges løst inden der læses videre. Disse
spørgsmål og opgaver kan variere i såvel sværhedsgrad som omfang og
nogle af dem vil have karakter af deciderede bevis-opgaver.
For nemmere at kunne adskille hvad der er originalkilde fra hvad der er
kommentarer, spørgsmål og opgaver anvendes der to forskellige skrifttyper:
denne for originalkilder og denne for alt andet.
For yderligere at lette forståelsen af originalkilderne vil der undertiden
optræde forklarende fodnoter, såfremt det ikke kan forventes at det vides
hvad enten bestemte ord eller matematiske begreber, teorier eller problemer
referer til. Fodnoterne kan også blot indeholde referencer til anden litteratur.
Men fælles for alle disse indføjede fornoter er at de optræder i kantede
parenteser som [disse] for at understrege at der ikke er tale om fodnoter
1
2
Introduktion
i den originale tekst. Brugen af kantede parenteser på denne måde: [...],
indikerer derimod at der er udeladt en del originalteksten på dette sted.
De tre originalkilder som vi skal læse i dansk oversættelse er:
• Leonhard Euler, 1736: Løsning af et problem omhandlende beliggenhedsgeometrien.
Originaltitel: Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis.
• Edsger W. Dijkstra, 1959: En note om to problemer relateret til
grafer.
Originaltitel: A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.
• David Hilbert, 1900: Matematiske problemer – foredrag ved den
internationale matematikkongress i Paris, år 1900.
Originaltitel: Mathematische Probleme – Vortrag, gehalten auf dem
internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900.
2
Leonhard Euler (1707-1783)
2.1
Biografi
Leonhard Euler (1707-1783)1 regnes blandt historiens største matematikere.
Samtidig var Euler også en af de mest produktive. Han publicerede utallige
værker indenfor adskillige af matematikkens områder såvel som udenfor
matematikken. En del af forklaringen på dette kan være at Euler levede
i den periode der ofte kaldes ‘l’âge de raison’ eller ‘oplysningstiden’, en
periode i hvilken Europa befandt sig i en intellektuel gæring med videnskab såvel som kunst i blomstrende udvikling. Franske encyklopædister
arbejdede med udgivelsen af det første leksikon, et væld af litteratur blev
udgivet og erkendelsesteoretiske afhandlinger blev fremlagt. Disse gunstige
forhold for intellektuel virksomhed foranledigede oprettelsen af kongelige
akademier i flere europæiske lande. Disse akademier blev financieret af de
enkelte landes herskere og der blev her forsket inden for adskillige retninger
under kongens formynderskab. Således er mange af det 18. århundredes
vigtigste opdagelser og nyskabelser at finde i analerne fra disse akademier,
og det vil ikke være helt urigtigt at sige at der også var en vis konkurrence
akademierne imellem om at tiltrække de dygtigste videnskabsfolk og mest
lovende og anerkendte kunstnere.
1 Denne biografi er baseret på Dictionary of Scientific Biography (1970-80, vol. IV)
samt det omfattende forord i Euler (1770/1972).
3
4
Euler var søn af præsten Paul Euler, som i sin studietid blandt andet
havde fulgt matematikforelæsninger hos matematikeren Jacob Bernoulli
(1654-1705), og derfor kunne lære sin søn elementær matematik inden
påbegyndt skolegang. Det var Paul Eulers ønske at hans søn ligesom
han selv skulle studere teologi på universitetet og blive præst. Som kun
14-årig begyndte Leonhard Euler på universitetet i Basel, hvor han blev
introduceret for den berømte professor Johann Bernoulli (1667-1748), en
af tidens førende matematikere og en af de første til – sammen med
sin bror Jacob Bernoulli – at anvende Leibniz’ infinitesimalregning. Med
Bernoullis hjælp fik Euler tilladelse af sin far til at opgive teologistudiet
og i stedet hellige sig studiet af matematikken. Euler færdiggjorde sine
universitetsstudier i 1726, altså i en alder af kun 19 år, og samme år fik
han udgivet sin første videnskabelige artikel.
Den 24. maj 1727 ankom Euler til Skt. Petersborg, for at udfylde en
stilling på det nyligt stiftede akademi, som han forblev knyttet til resten
af sit liv. I 1731 blev han professor i fysik, men arbejdede også med flere
andre områder, som f.eks. geografiske landkort. Hans vigtigste arbejde var
dog stadig indenfor matematikken, og i 1741 havde han udarbejdet 80-90
artikler m.m. (hvoraf 55 blev udgivet) primært omhandlende matematisk
analyse, talteori og mekanik.
I 1733 giftede Euler sig med Katharina Gsell og fik sønnerne Johann
Heinrich og Karl i hhv. 1734 og 1740. I 1741 flyttede hele familien til Berlin,
hvor Euler havde fået tilbudt en stilling. Her boede de i de næste 25 år og
de fik endnu tre børn, en dreng og to piger. Under sin tid i Berlin fik Euler
produceret 380 arbejder, hvoraf de 275 blev publiceret. I 1766 vendte Euler
tilbage til Skt. Petersborg. Imidlertid havde han i 1738, som følge af en
sygdom, mistet synet på højre øje, og få år efter hans tilbagekomst til Skt.
Petersborg mistede han også næsten hele synet på det venstre; i 1771 var
han fuldstændig blind. På trods af sit manglende syn producerede Euler
næsten halvdelen af sit livs publikationer i perioden efter 1765, med hjælp
fra bl.a. to af sine sønner samt nogle elever. Om aftenen den 18. september
1783 døde Euler af en hjerneblødning.
Som antydet fik Euler fordybet sig i mange områder (mekanik, astronomi, navigation, geografi, hydraulik m.m.), men først og fremmest var han
matematiker. Hans foretrukne område inden for matematikken var den
matematiske analyse (infinitesimalregning m.m.), men han formåede stort
set at berøre alle sin tids kendte områder af matematikken. Euler havde
ikke mange elever, men var, ifølge matematikeren Pierre-Simon Laplace
(1749-1827), en vejleder for alle matematikere af sin tid. Af samme grund
kaldes 1700-tallet inden for matematikken også nogen gange for Eulers
æra, men Eulers indflydelse var ikke kun begrænset til det 18. århundrede,
arbejderne af mange store matematikere i det 19. århundrede udsprang
direkte af Eulers produktion. Og Euler videreudviklede og fordybede sig
ikke kun i allerede eksisterede områder, han bidrog også til fremkomsten
af nye, hvilket artikelen fra 1736 – Løsning af et problem omhandlende
beliggenhedsgeometrien – er et klassisk eksempel på.
2.2
Optakt til Eulers artikel
I 1679 skrev den berømte tyske filosof og matematiker Gottfried Wilhelm
von Leibniz (1646-1716), en af faderne til vore dages infinitesimalregning,
2.3
Eulers 1736-artikel
5
i et brev til den hollandske matematiker Christian Huygens (1629-1695):
Jeg er ikke tilfreds med algebraen, idet den ikke giver os de korteste metoder
ej heller de skønneste geometriske konstruktioner. Derfor tror jeg, at vi har
brug for endnu en anden slags analyse som er decideret geometrisk eller
lineær, og som kan udtrykke situation [beliggenhed] direkte som algebra
udtrykker størrelse direkte. [2 ]
Leibniz’ beliggenhedsgeometri kendes i dag under navnet topologi og
udviklingen af denne tog ikke rigtig fat førend i 1800- og 1900-tallet.
Ovenstående korrespondance mellem Leibiz og Huygens blev ikke
offentliggjort førend i 1833, men allerede samme år blev ‘beliggenhedsgeometrien’ omtalt af endnu en stor matematiker, Carl Friedrich Gauss
(1777-1855):
Hvad angår beliggenhedsgeometrien, som Leibniz igangsatte og som kun
to matematikere, Euler og Vandermonde, har kastet et svagt blik på, har vi
kendskab til og besidder viden der, efter halvandet århundrede, kun udgør
en smule mere end ingenting. [3 ]
Dette ‘svage blik’ som Euler kastede på beliggenhedsgeometrien, og
som i dag regnes for begyndelsen på moderne grafteori, er netop hans
artikel fra 1736.4
2.3
Eulers 1736-artikel
Euler nummererer afsnittende i sin artikel, fra 1 til 21, hvilket gør artiklen
nemmere at overskue. Bemærkninger, kommentarer og opgaver vil således
i det følgende komme ind imellem de enkelte afsnit.
1. Udover den del af geometrien der beskæftiger sig med størrelser, og
som altid studeres med den allerstørste omhu, omtaler Leibniz en anden
del. Skønt det næsten ikke er kendt, var han den første, der gjorde det,
og han kaldte den geometria situs (beliggenhedsgeometri). Ifølge Leibniz
beskæftiger denne del af geometrien sig udelukkende med bestemmelsen af
beliggenhed samt klargørelsen af beliggenhedsegenskaber. Dette er imidlertid ikke tilstrækkeligt til at definere, hvad det er for problemer, der henfører
under denne beliggenhedsgeometri, og hvilken metode der bør anvendes
ved deres løsning. Derfor har jeg, da der i den sidste tid har været en del
tale om et problem, som ser ud til at have med geometri at gøre, men som
er af en sådan art, at det ikke kræver kvantitativ bestemmelse og heller ikke
tillader en kvantitativ løsning gennem beregning, ikke haft den mindste
tvivl ved at henføre det til beliggenhedsgeometrien, især da der ved dets
løsning kun kommer beliggenheder i betragtning, mens beregning er nytteløs. Som eksempel på beliggenhedsgeometrien har jeg følgelig besluttet at
fremstille den metode, jeg har opfundet til løsning af problemer af denne art.
2. Problemet, som man har fortalt mig er ganske velkendt, var da følgende:
I Königsberg i Preussen ligger en ø A kaldet Kneipfhof, omgivet af en flod,
der deler sig i to grene, som det kan ses på figuren [figur 2.1]: grenene
2
Oversat fra Crowe (1967, s. 3).
Oversat fra Przytycki (1998, s. 535).
4 Eulers artikel er at finde på originalsproget latin i Fleischner (1990), som også giver
en engelsk oversættelse. En engelsk oversættelse kan ligeledes findes i Biggs et al. (1976).
Den her danske oversættelse er at finde i Wolff (1967).
3
6
er forsynet med syv broer a, b, c, d, e, f , og g. Der stilles nu følgende
spørgsmål vedrørende disse broer: Kan man følge en vej, således at hver
bro overskrides én gang og kun én gang? Jeg fik fortalt, at der er nogle
der helt benægter, at dette kan lade sig gøre, mens andre betvivler det, og
slet ingen fastslår det som muligt. Udfra dette formulerede jeg følgende
generelle problem: uanset flodens form og uanset fordelingen af dens grene
og uanset antallet af broer at finde ud af, om det er muligt at krydse alle
broer én og kun én gang, eller ikke.
Figur 2.1
Opgave 1
På forsiden af undervisningsmaterialet findes et kort over Königsberg fra
1652. Identificer de syv broer over floden Pregel på dette kort og bekræft
derefter at Eulers fremstilling på figur 2.1 er i overenstemmelse hermed.
Euler begynder således sin analyse af Königsberg-problemet med at udskifte bykortet med et simplere diagram, der kun gengiver de for problemet
relevante informationer. I moderne grafteori foretager man en yderligere
simplificering af dette diagram, således at landmasserne repræsenteres af
punkter og broerne af streger, kaldet kanter. Samlingen af punkter og
kanter og relationerne imellem dem kaldes en graf.
Opgave 2
Oversæt Eulers figur 2.1 til en sådan moderne graf. Sammenlign dernæst
din egen tegning med dine gruppekammeraters. Er tegningerne ens eller
forskellige?
Hvorfor det overhovedet er tilladt at erstatte hele områder (landmasser)
med punkter? Svaret er, at det er det fordi der ikke er nogen principiel
forskel på områder og punkter, når vi betragter dem inden for ‘beliggenhedsgeometrien’ (topologien), idet den beskæftiger sig med egenskaber,
der er invariante overfor ændringer i størrelses- og afstandsforhold. Det
væsentlige ved de fire områder i Königsberg-problemet er at de er helt
uden forbindelse til hinanden, på nær broerne, hvilket er det samme for
fire punkter i rummet. Altså, at fire punkter i rummet ingen indbyrdes
2.3
Eulers 1736-artikel
7
relationer har før vi forbinder dem med linier (svarende til broer i problemet). Når man således kun er interesseret i ‘beliggenheden’ af punkterne
og ikke i afstandene mellem dem, betyder dette også at én og samme graf
kan have mange forskellige billedlige repræsentationer, hvilket foregående
opgave gerne skulle have illustreret.
Vi kan selvfølgelig give en mere formel og moderne matematisk definition af en graf.5
Definition 2.1: Graf
En graf G består af en mængde af punkter P (G) og en mængde af kanter
K(G) samt en funktion ψ, som til hver kant k ∈ K(G) tilordner et par,
kaldet ψ(k), af punkter fra P (G).
Vi betrager kun endelige grafer, det vil sige grafer G hvor såvel P (G) som
K(G) er endelige.
Skal vi være helt formelle, så kan vi også sige, at en graf G således er
at betragte som et tripel
G = (P (G), K(G), ψG ),
hvor ψG angiver at der er tale om funktionen ψ tilknyttet netop G. Ofte
benyttes betegnelsen (x, y), altså et par af punkter x og y i P (G), også som
betegnelse for en kant k med ψG = (x, y). Såfremt en graf har forskellige
kanter k1 og k2 med ψ(k1 ) = ψ(k2 ), siges der at være multiple kanter i
grafen.
Opgave 3
Er der multiple kanter i Königsberg-grafen? Hvilke?
Opgave 4
Angiv for Königsberg-grafen, som vi nu vil kalde K, mængderne P (K)
og K(K) samt de par af punkter, ψ(k), som grafen indeholder. Når du
har gjort dette, betragt da din liste af til hver kant tilordnede par: Er
denne liste en matematisk mængde?6 Hvornår er en sådan liste af til
kanter tilordnede par en matematisk mængde og hvornår er den ikke?
Hvorfor taler vi om K(K) (eller helt generelt om K(G)) som en matematisk
mængde?
Vi vender nu tilbage til Eulers oprindelige artikel, hvori han også selv
foretager yderligere simplifikationer af det givne problem.
3. Da der i Königsberg-problemet er syv broer, kan dette løses ved en
fuldstændig opregning af alle mulige veje, man kan gå; på den måde ville
det blive klart, om der fandtes eller ikke fandtes en vej som den i problemet forlangte. Men på grund af det store antal kombinationsmuligheder
er denne løsningsmetode både for vanskelig og for besværlig, og i andre
problemer med endnu flere broer vil den slet ikke kunne anvendes. Blev
en metode af denne art ført helt til ende, ville man få svar på mange
5 Præsentationen af moderne grafteoretisk notation i dette undervisningsmateriale og
oversættelsen af de engelske begreber til dansk følger overvejende den af Toft (1985)
indførte.
6 En matematisk mængde er en uordnet samling af objekter, også kaldet mængdens
elementer. Det specielle ved en matematisk mængde er at et element må optræde i
denne én og kun én gang.
8
spørgsmål, der slet ikke var stillet; heri ligger utvivlsomt årsagen til mange
af vanskelighederne. Efter at have forkastet denne metode gav jeg mig til
at søge efter en anden, der blot skulle afsløre, om der fandtes en vej eller
ikke; thi jeg havde mistanke om, at en sådan metode ville vise sig langt
simplere.
4. Min hele metode beror på et passende valg af betegnelse for den
enkelte broovergang; hertil bruger jeg de store bogstaver A, B, C, D, som
betegner hvert af de områder, der er adskilt fra hinanden af floden. Det er
nu således, at hvis nogen går fra område A til område B enten over broen
a eller over broen b, da vil jeg betegne denne overgang med bogstaverne
AB. Det første af disse angiver det område, den farende kommer fra, og
det andet det område, han når frem til efter at være gået over broen.
Vil den farende fortsætte fra område B til område D over broen f , da
repræsenteres denne overgang af bogstaverne BD. To på hinanden følgende
overgange AB og BD vil jeg betegne med de tre bogstaver ABD, idet
det midterste bogstav B angiver såvel det område, man kommer til efter
den første overgang, som det område, der forlades ved den anden overgang.
5. Dersom den farende ønsker at fortsætte fra område D til område C
under benyttelse af broen g, vil jeg betegne disse tre på hinanden følgende
overgange med de fire bogstaver ABDC. Af disse fire bogstaver kan det
ses, at den farende først befandt sig i område A, dernæst gik over til
område B, hvorfra han fortsatte til område D for til sidst at nå frem til
område C. Da disse områder imidlertid er adskilt fra hinanden af floden,
må den gående nødvendigvis have passeret tre broer. En passage af fire på
hinanden følgende broer vil analogt kunne beskrives med fem bogstaver,
og dersom den gående passerer et vilkårligt antal broer, da vil antallet af
bogstaver, der giver hans rute, være én større end antallet af broer. En
overgang af syv broer kræver således otte bogstaver til sin betegnelse.
Efter at have afvist at opskrive en udtømmende liste af alle mulige veje
man kan gå, reformulerer Euler problemet i termer af følger af bogstaver
(punkter) repræsenterende landområderne. Derved bliver selve diagrammet
overflødigt for løsningen af problemet.
I moderne grafteori siger man i dag, at to punkter som er forbundet
af en kant er naboer, og referer til en række af nabopunkter som en rute.
På den ene side kan vi, ligesom Euler gør, altså anskue en rute som en
følge af alternerede (nabo)punkter og kanter, f.eks. x1 k1 x2 k3 . . . xn kn , hvor
både rækkefølgen af punkterne og rækkefølgen af kanterne mellem dem er
specificeret. På den anden side kan vi selvfølgelig også give en mere formel
moderne definition.
Definition 2.2: Rute
En rute i en graf mellem punkter x1 og yn er en følge af kanter
[k1 , k2 , k3 , . . . , kn−1 , kn ] ,
hvor ki forbinder xi og yi for i = 1, 2, . . . , n og hvor yi = xi+1 for i =
1, 2, . . . , n − 1.
Hvis x1 = yn kaldes ruten lukket. Hvis x1 6= yn kaldes ruten åben.
2.3
Eulers 1736-artikel
9
Udover at en rute kan være enten åben eller lukket, så findes der også andre
specielle former for ruter. Med udgangspunkt i notationen fra definition
2.2 definerer vi nu disse.
Definition 2.3
• Såfremt alle kanter i en rute er forskellige kaldes den en tur.
• Såfremt punkterne x1 , x2 , . . . , xn og punkt yn alle er forskellige kaldes
ruten en vej, som forbinder x1 og yn .
• Såfremt x1 , x2 , . . . , xn alle er forskellige og x1 = yn , kaldes ruten en
kreds.
Længden af en vej eller en kreds er antallet af kanter i den. Den specielle
form for kant som forbinder et punkt med sig selv kaldes en sløjfe. En
sløjfe er således en kreds af længde 1.
Opgave 5
• Konstruér en rute i Königsberg-grafen, hvor alle kanter benyttes
mindst én gang (samme kant må altså gerne indgå i ruten flere
gange).
• Konstruér en tur af længde 6 i Königsberg-grafen.
• Konstruér en kreds af længde 4 i Königsberg-grafen.
• Hvor lang er den længste vej, man kan konstruere i Königsberggrafen?
Veje og kredse som defineret ovenfor opfattes også gerne som delgrafer.
Definition 2.4: Delgraf
Såfremt punkterne i en graf G1 er en delmængde af punkter i en graf
G2 , skrevet P (G1 ) ⊆ P (G2 ), og kanterne ligeledes K(G1 ) ⊆ K(G2 ) og
ψG1 (k) = ψG2 (k) for alle k ∈ K(G1 ), siges G1 at være en delgraf af G2 .
Opgave 6
Tegn to delgrafer K1 og K2 af Königsberg-grafen K.
I tilfældet med Königsberg-problemet er vi interesseret i at finde en
tur, hvor enhver kant (bro) af grafen benyttes (én og kun én gang) og af
den årsag omtales denne specielle form for tur i dag også som en Euler-tur.
Det mest fordelagtige for en sådan gåtur rundt i Königsberg vil måske nok
være at man ender der hvor man også er begyndt, altså at der er tale om
en lukket Euler-tur, men selve problemet efterspørger i udgangspunktet
kun en Euler-tur (åben eller lukket).
Opgave 7
• Formuler en stringent definition af hvad der forstås ved en Euler-tur
(både en åben og en lukket).
• Kig på definitionerne af rute (åben og lukket), tur, vej, kreds, Eulertur (åben og lukket). Hvilke af disse er defineret på baggrund af
grafens kanter, hvilke på baggrund af grafens punkter, og hvilke på
baggrund af begge?
• Forklar forskellen på en lukket Euler-tur og en kreds. (Giv gerne
understøttende eksempler.)
10
Efter at have omformuleret Königsberg-problemet udelukkende i termer af følger af bogstaver (punkter), betragter Euler nu spørgsmålet om
hvorvidt et vilkårligt ‘bro-problem’ har en løsning eller ej.
6. Ved denne måde at betegne overgangene på tager jeg ikke hensyn til,
hvilke broer der benyttes; thi dersom man ved passage fra et område til
et andet kan benytte flere broer, da er det ligegyldigt, hvilken bro man
betjener sig af, når blot man når til det ønskede område. Som følge heraf
er det klart, at hvis den vej, der fører over figurens syv broer, kan tegnes
på en sådan måde, at hver bro passeres én gang og ingen to gange, da vil
denne vej kunne repræsenteres af otte bogstaver, og disse bogstaver må
være anbragt på en sådan måde, at bogstaverne A og B står lige ved siden
af hinanden to gange, idet der er to broer a og b, der forbinder områderne
A og B; af samme grund skal de to bogstaver A og C optræde to gange i
umiddelbar rækkefølge i denne suite på otte bogstaver; bogstaverne A og
D skal forekomme en gang lige ved siden af hinanden, og det samme må
gælde for bogstaverne B og D, og C og D.
7. Problemet er dermed reduceret til, at man ud fra de fire bogstaver A,
B, C og D skal opstille en række på otte bogstaver, hvori de ovennævnte
bogstavrækkefølger skal optræde netop så mange gange som angivet. Før
man begynder arbejdet med at finde en sådan opstilling, vil det imidlertid
være på sin plads at undersøge, om man overhovedet kan disponere over
disse bogstaver på en sådan måde, at det kan lade sig gøre. Thi kan
det bevises, at en opstilling af den art ikke kan foretages, da vil enhver
bestræbelse i den retning være ganske nytteløs. Jeg har derfor søgt efter
en regel, ved hjælp af hvilken det – såvel i dette som i andre lignende
spørgsmål – let kan afgøres, om en sådan bogstavgruppering eksisterer.
For at udlede denne regel betragter Euler to nye ‘fiktive’ og adskilte
områder, der er forbundet af et antal broer.
8. For at finde denne regel betragter jeg kun området A, hvortil der
fører et vilkårligt antal broer a, b, c, d, . . . osv. [figur 2.2]. Af disse broer
betragter jeg først kun broen a, der fører til området A. Benytter den
farende sig af denne bro ved overgangen, må han nødvendigvis enten have
været i området A før sin overgang eller komme til området A efter sin
overgang. I overenstemmelse med det ovenfor indførte må bogstavet A da
forekomme en gang i betegnelsen for denne overgang. Fører der tre broer
a, b, c til området A, og passerer den farende alle tre, da vil bogstavet A
forekomme to gange i angivelsen af hans rute, hvadenten han startede i A
eller ikke. Analogt vil bogstavet A, dersom der er fem broer, der fører til A,
forekomme tre gange i angivelsen af en vej, der fører over alle fem broer.
Og hvis antallet af broer er et vilkårligt ulige tal, da finder vi antallet af
gange, som bogstavet A forekommer, ved at lægge en til dette antal og
tage halvdelen af resultatet.
I afsnit 8 udleder Euler en regel til bestemmelse af hvor mange gange
et punkt må optræde i repræsentationen af ruten for et givet bro-problem
i det tilfælde hvor et ulige antal af broer fører til området repræsenteret
ved dette punkt. Lav følgende opgave før du læser videre.
2.3
Eulers 1736-artikel
11
Figur 2.2
Opgave 8
Brug Eulers regel til at bestemme, hvor mange gange hvert af punkterne
A, B, C og D vil optræde i repræsentationen af en rute i Königsbergproblemet. Givet Eulers tidligere konklusion (se Afsnit 5) om at løsningen
af Königsberg-problemet kræver en punktrækkefølge af 8 punkter, er en
sådan følge da mulig? Begrund og forklar dit svar.
9. Lad os vende tilbage til problemet med broerne, der skal passeres i
Königsberg. Da der er fem broer, der fører til øen A, må bogstavet A
forekomme tre gange i angivelsen af en vej over disse broer. Da tre broer
fører til området B, må bogstavet B forekomme to gange, og bogstavet
D og bogstavet C må ligeledes forekomme to gange hver. I den række på
otte bogstaver, som skal benyttes ved angivelsen af en rute over de syv
broer, skal bogstavet A følgelig forekomme tre gange og bogstaverne B,
C og D hver to gange. Men dette er umuligt i en række på otte bogstaver.
Der følger heraf, at der ikke findes en vej af den ønskede slags over de syv
broer ved Königsberg.
10. På tilsvarende måde kan vi, når blot antallet af broer, der fører til
hvert område, er ulige, i andre tilfælde afgøre, om hver enkelt bro kan
passeres én og kun én gang. I de tilfælde, hvor summen af alle de gange,
hvert enkelt bogstav skal forekomme, er lig med det totale antal broer plus
en, kan man finde en vej af den forlangte slags. Men sker det som i vort
eksempel, at summen af alle gangene er større end antallet af broer plus
en, da findes der ingen sådan vej. Den regel, jeg har givet til bestemmelse
af antallet af gange, bogstavet A skal forekomme, ud fra antallet af broer,
som fører til området A, er gyldig, hvad enten alle broerne kommer fra det
ene område B, som det er tilfældet i figuren [figur 2.2], eller om de kommer
fra forskellige områder; thi jeg betragter kun området A og spørger kun
efter antallet af gange, som bogstavet A burde forekomme.
11. Er antallet af broer til området A imidlertid et lige tal, da må man
ved overgangen af den enkelte bro vide, hvorvidt den farende påbegyndte
sin vandring i A eller ikke. Thi er der to broer, som fører til A, og begynder
den farende sin rute i A, da må bogstavet A forekomme to gange; thi
det må forekomme én gang som angivelse for en bortgang fra A over den
ene bro, og en gang til som betegnelse for en tilbagekomst til A ad den
anden bro. Begynder den farende derimod sin rute i et andet område, da
vil bogstavet A kun forekomme én gang; thi den ene gang, det er skrevet,
angiver i min notation for en sådan rute såvel ankomst til A som bortgang
fra A.
12
12. Lad der nu være fire broer, som fører til området A, og lad den
farende påbegynde sin rute i A. I betegnelsen for hans rute må bogstavet
A forekomme tre gange, dersom han krydser hver enkelt bro netop én gang.
Påbegynder han derimod sin vandring i et andet område, vil bogstavet A
kun forekomme to gange. Fører der seks broer til området A, da forekommer
bogstavet A fire gange, hvis vandringen tager sin begyndelse i A; men
er den farende ikke i A ved starten, da forekommer det kun tre gange.
I almindelighed gælder altså, at dersom antallet af broer er lige, da vil
halvdelen af dette antal give antallet af gange, bogstavet A vil forekomme,
når ruten ikke tager sin begyndelse i området A; halvdelen af antallet af
broer plus én angiver derimod det antal gange, bogstavet A vil forekomme,
når ruten påbegyndes i A selv.
Opgave 9
Tegn figurer a la Eulers figur 2.2 som illustrerer hver af de ovenstående
situationer som skitseres i Afsnittene 10, 11 og 12, og opskriv for hver af
figurerne den følge af bogstaver som angiver ruten herpå.
13. Men da en vej af den søgte slags kun kan tage sin begyndelse i ét
område, kan jeg bestemme antallet af gange, som det bogstav, der bruges
til betegnelse af det enkelte område, skal forekomme ud fra antallet af
broer, der fører til det pågældende område, som halvdelen af summen af
alle broerne plus én, hvis antallet af broer er ulige, men som halvdelen af
selve antallet af broer, dersom det er lige. I det tilfælde, at det totale antal
bogstavforekomster er lig det totale antal broer plus én, vil den ønskede
rute kunne gennemføres; men starten skal da foregå i et område, hvortil
der hører et ulige antal broer. Er antallet af bogstavforekomster imidlertid
én mindre end antallet af broer plus én, da vil den ønskede rute med held
kunne gennemføres ved at begynde i et område, hvortil der fører et lige
antal broer; thi i det tilfælde forøges antallet af bogstavforekomster med
én.
Som set afhænger Eulers definition af »antallet af forekomster af et
bogstav angivende et område« af om antallet af broer (kanter) førende til
hvert område (punkt) er lige eller ulige. I moderne grafteoretisk notation
kan man opskrive Eulers resultater ved brug af følgende definerede begreb:
Definition 2.5: Valens
Valensen v(x, G) af et punkt x i en graf G er lig a + b, hvor
• a = antallet af kanter, som har x som præcis det ene endepunkt
• b = 2 · (antallet af sløjfer i x).
En anden måde at sige dette på er at valensen af et punkt i en graf er lig
antallet af kanter, der er incidente med punktet. Eftersom sløjfer jo er
incidente med et punkt to gange skal de selvfølgelig tælles dobbelt.
Opgave 10
• Lad der være givet en kreds C og lad en graf G være lig denne kreds,
altså C = G. Hvad er da valensen af alle punkterne i G?
• Lad der være givet en vej V og lad en graf G være lig denne vej,
altså V = G. Kan vi sige noget om valensen af punkterne i G?
2.3
Eulers 1736-artikel
13
• Lad der være givet en tur T og lad en graf G være lig denne tur,
altså T = G. Kan vi sige noget om valensen af punkterne i G?
Opgave 11
Lad der for en graf G være givet punktet x med valensen v(x, G). Med
udgangspunkt i Eulers definition i Afsnit 13 opskriv nu formler for »antallet
af bogstavforekomster« af x i det tilfælde hvor v(x, G) er lige og i det
tilfælde hvor v(x, G) er ulige.
14. Lad os antage, at der er givet en vilkårlig fordeling af vand og broer,
og at vi skal undersøge, om det er muligt at krydse hver bro netop én gang.
Jeg bærer mig da ad på følgende måde: For det første benævner jeg alle
områder, der er skilt fra hinanden af vand med bogstaverne A, B, C osv.
For det andet finder jeg det totale antal broer og lægger én til, hvorefter jeg
anbringer det fremkomne tal i øverste linie for den efterfølgende beregning.
For det tredie skriver jeg ud for bogstaverne A, B, C, D, . . . opskrevet
under hinanden antallet af broer, som fører til det pågældende område. For
det fjerde afmærker jeg de bogstaver, ud for hvilke der står et lige tal, med
en stjerne. For det femte skriver jeg ved siden af alle de lige tal halvdelen
af de pågældende lige tal, og ud for alle de ulige tal et tal, der er lig med
halvdelen af det pågældende ulige tal plus én. For det sjette adderer jeg
tallene i den sidste kolonne. Er denne sum lig med eller én mindre end
antallet af broer plus én, da slutter jeg, at der findes en rute af den ønskede
art. Det må imidlertid bemærkes, at dersom summen er mindre end det tal,
der noteredes i øverste linie, da må ruten nødvendigvis tage sin begyndelse
i et af de med stjerne afmærkede områder, men i et uafmærket område,
dersom summen er lig med det nævnte tal. I Königsberg-tilfældet opstiller
jeg følgende beregning:
Antal broer: 7; nøgletal: 8
A,
B,
C,
D,
Broer
5
3
3
3
3
2
2
2
Da denne beregning resulterer i en sum, der er større end 8, findes der
ingen rute af den ønskede art.
Euler har således løst det oprindelige problem, Königsberg-problemet,
ved at vise at det ikke er muligt at lægge en rute som krydser alle broer én
og kun én gang – altså i moderne terminologi at der ikke findes en Euler-tur
i Königsberg-grafen. (Hvilket også gerne skulle være den konklusion du
var nået frem til i opgave 8.) Euler fortsætter dernæst med at illustrere
sin metode med et noget mere kompliceret eksempel.
15. Lad der være to øer omgivet af vand, og lad dette vand være i
forbindelse med fire floder, således som det er vist på figuren [figur 2.3].
Lad der, for at man kan komme til øerne, være 15 broer, som fører over
floderne og vandet, der omgiver øerne. Spørgsmålet er da, om der findes
en vej, der fører over alle broerne, og det således at ingen bro krydses to
gange.
14
Figur 2.3
Først benævner jeg alle områder, der er skilt fra hinanden af vand, med
bogstaverne A, B, C, D, E, F ; der er seks områder af denne slags. Dernæst
lægger jeg én til antallet af broer, 15, og sætter summen, 16, som overskrift
for følgende beregning:
A*,
B*,
C*,
D,
E,
F *,
8
4
4
3
5
6
16
4
2
2
2
3
3
16
For det tredie skriver jeg bogstaverne A, B, C osv. under hinanden, og
ud for hvert anbringer jeg antallet af broer, der fører til det pågældende
område, otte broer til A, fire til B, osv. For det fjerde afmærker jeg de
bogstaver, ud for hvilke der står et lige tal, med en stjerne. For det femte
skriver jeg i den tredie kolonne halvdelen af de lige tal; men de ulige tal
lægger jeg én til, hvorefter jeg skriver halvdelen af dette. For det sjette
adderer jeg tallene i den tredie kolonne og får summen 16. Da dette tal er
lig med det ovenover beregningen anbragte tal 16, følger det, at broerne
kan passeres på den ønskede måde, når blot ruten tager sit udgangspunkt
enten i område D eller i område E, idet disse ikke er afmærket med nogen
stjerne. En mulig rute er følgende:
E a F b B c F d A e F f C g A h C i D k A m E n A p B o E l D,
hvor jeg har anbragt de ved overgangene benyttede broer imellem de store
bogstaver.
Opgave 12
Hvorfor må man ikke begynde i et område afmærket med en stjerne?
2.3
Eulers 1736-artikel
15
Opgave 13
Tegn figur 2.3 som en moderne graf og kontroller at den af Euler ovenfor
givne rute er en løsning af den ønskede art.
Måske har du allerede lagt mærke til dette, at Königsberg-problemet
og Eulers generelle problem er af den type, der går ud på at tegne en vis
figur i én streg, dvs. uden at løfte blyanten fra papiret og uden at tegne
det samme stykke af figuren to gange – altså at tegne grafen i én ubrudt
streg.
16. Ved at ræsonnere på denne måde kan man let i ethvert – selv nok så
kompliceret – tilfælde afgøre, hvorvidt alle broer kan passeres en og kun
en gang, eller ikke. Jeg skal nu angive en langt lettere måde, hvorpå man
kan afgøre det samme, som man også uden større vanskelighed kan opnå
ved hjælp af den hidtil anvendte metode, men forinden må jeg fremføre
følgende bemærkninger. Jeg bemærker først, at addition af alle broantal i
den anden kolonne efter bogstaverne A, B, C osv. resulterer i et tal, der
er dobbelt så stort som det totale antal broer. Grunden hertil er, at hver
bro i denne beregning, hvor man optæller alle broer, som fører til et givet
område, tælles med to gange, idet hver bro har forbindelse til begge de
områder, den forener.
17. Det følger af denne betragtning, at summen af alle broer, som fører
til hvert enkelt område, er et lige tal, da halvdelen deraf er lig med det
totale antal broer. Det kan derfor aldrig indtræffe, at der blandt antallene
af broer, som fører til de forskellige områder, kun er ét, der er ulige; eller
at tre er ulige, eller fem osv. Hvis nogle af de til bogstaverne A, B, C osv.
knyttede broantal er ulige, må antallet af disse følgelig nødvendigvis være
lige. I Königsberg-eksemplet var der således fire ulige broantal knyttet til
bogstaverne for broerne A, B, C, D, som det kan ses i Afsnit 14. Og i det
foregående eksempel i Afsnit 15 er der to ulige antal knyttet til bogstaverne
D og E.
Opgave 14
Forsøg at konstruere (tegne) en graf der indeholder ét punkt med ulige
valens, f.eks. 3, og hvor alle andre punkter har lige valens. Hvorfor lykkes
det ikke?
Eulers resultat i Afsnit 16 refereres også nogen gange til som ‘The
Handshake Theorem’ (håndtrykssætningen) på grund af det lignende
problem med at tælle antallet af håndtryk der finder sted ved sociale
begivenheder, hvor alle tilstedeværende giver hinanden hånden præcis én
gang. En moderne grafteoretisk formulering af sætningen kunne lyde:
Sætning 2.6
Summen af alle valenser i en graf G er lig med to gange antallet af kanter
i K(G). Vi kan skrive det som:
X
x∈P (G)
.
v(x, G) = 2 · |K(G)|
16
Tegnet Σ er det store græske bogstav sigma og benyttes i matematikken
som symbol for at der skal summeres. Det der i ovenstående tilfælde skal
summeres er valensen af alle punkter x i punktmængden P (G). De lige
streger | . . . | omkring K(G) betyder at der er tale om antallet af elementer
(her kanter) i mængden.
Opgave 15
Forsøg selv at argumentere for hvorfor sætning 2.6 er korrekt.
Brugen af moderne notation i sætningen ovenfor gør selvfølgelig at
vi kan fremstille resultatet på meget mere kompakt vis. Og skulle vi
bevise Eulers resultater ved brug af moderne notation ville beviserne også
være væsentlig kortere. Men dette berører imidlertid ikke korrektheden af
resultaterne: hvis der er argumenteret stringent, er et langt bevis fuld af
‘ord’ lige så gyldigt som et kort og kompakt bevis der benytter moderne
notation og begreber.
Kig igen på Eulers resultat i Afsnit 17. Dette kan i moderne grafteori
formuleres som følgende sætning:
Sætning 2.7
En graf G indeholder altid et lige antal punkter med ulige valens.
Opgave 16
Hvordan ville man argumentere for korrektheden af sætning 2.7 ved brug
af moderne grafteoretiske begreber og notation?
18. Da summen af de tal, der er tilknyttet bogstaverne A, B, C, osv., er
lig med to gange antallet af broer, er det klart, at hvis der til denne sum
lægges 2 og resultatet derefter divideres med 2, da må dette resultere i det
tal, der er anført i beregningens øverste linie. Hvis altså alle de tal, der er
knyttet til bogstaverne A, B, C, D, osv., er lige da vil summen af tallene i
den tredie kolonne, som fremkommer ved, at man tager det halve af hvert
af de førstnævnte tal, være én mindre end nøgletallet, som står øverst. I
disse tilfælde vil der derfor altid findes en vej over broerne. Thi ligegyldigt
i hvilket område ruten tager sin begyndelse, så er der et lige antal broer,
der fører dertil, således som det er forlangt. I Königsberg-tilfældet ville det
således være muligt at finde en vej, der fører to gange over hver bro; hver
bro kunne så at sige deles i to, og antallet af broer til hvert område ville
da være lige.
19. Den ønskede gennemkrydsning vil endvidere kunne foretages, hvis der
kun er to af de til bogstaverne A, B, C osv. knyttede tal, der er ulige, blot
skal ruten påbegyndes i et område, hvortil der fører et ulige antal broer.
Thi hvis man i overenstemmelse med fremgangsmåden halverer de lige tal
og de ulige tal plus én, da vil summen af disse halvdele være én større end
antallet af broer og derfor lig med nøgletallet i den øverste linie.
Heraf ses det, at dersom der er fire, seks eller otte osv. ulige tal i den anden
kolonne, da vil summen af tallene i den tredie kolonne være større end
nøgletallet i overskriften, og den vil overstige dette tal med henholdsvis én,
to, tre osv., hvorfor der ikke findes nogen vej af den søgte slags.
2.4
En moderne version af Eulers sætning og bevis
17
20. Om en gennemkrydsning af alle broerne kan foretages eller ikke, kan
altså nu i ethvert givet tilfælde med lethed erkendes ved hjælp af denne
regel [7 ]:
i. Er der flere end to områder, hvortil der fører et ulige antal broer, da
kan det med sikkerhed fastslås, at den ønskede gennemkrydsning ikke
kan foretages.
ii. Er der imidlertid netop to områder, hvortil der fører et ulige antal
broer, da vil gennemkrydsningen kunne foretages, når blot ruten
begynder i det ene af disse områder.
iii. Er der sluttelig intet område, hvortil der fører et ulige antal broer,
da vil den forlangte gennemkrydsning kunne foretages, ligegyldigt i
hvilket område ruten tager sin begyndelse.
Disse regler løser altså det givne problem til bunds.
Opgave 17
Forsøg at formulere hvert af Eulers tre ovenstående resultater (i, ii og iii)
ved brug af de moderne grafteoretiske begreber og den moderne notation
der er blevet indført indtil nu, så som f.eks. ‘valens’.
21. Men har man fundet ud af, at der findes en vej af den søgte slags,
resterer der stadig det spørgsmål at finde denne vej. Til det formål anvender
jeg følgende regel: I tankerne elimineres parvis de broer, der fører fra et
område til et andet, og dette så mange gange som det kan lade sige gøre.
På den måde vil antallet af broer hurtigt og grundigt formindskes. Dernæst
findes en vej af den ønskede slags over de resterende broer, hvilket let
kan gøres. Når dette er gjort, vil det straks være klart for enhver, der har
fulgt med, at de eliminerede broer ikke griber forstyrrende ind i denne
rute, og jeg anser det ikke for nødvendigt at give yderligere undervisning i,
hvorledes man finder denne rute.
2.4
En helt moderne formulering af Eulers hovedresultat, eller hovedsætning,
kræver endnu en definition.
Definition 2.8
En graf G, hvor der for ethvert par af punkter x og y findes en rute fra x
til y siges at være sammenhængende.
Ovenstående definition implicerer selvfølgelig at der findes grafer som er
ikke-sammenhængende. Sådanne grafer kan opdeles i ikke-overlappende
(disjunkte) delgrafer G1 , G2 , . . . , Gk , som tilsammen indeholder alle den
oprindelige grafs punkter og kanter og som hver for sig selv er sammenhængende.
Vi formulerer nu hovedsætningen fra Eulers 1736-artikel (iii) i moderne
grafteoretiske termer:
Sætning 2.9: Hovedsætning
Lad G være en sammenhængende graf, da indeholder G en lukket Euler-tur
hvis og kun hvis alle punkter i G har lige valens.
7
Nummereringen af resultaterne er tilføjet her og findes ikke i Eulers artikel.
18
Opgave 18
Illustrer hvorfor den moderne formulering af Eulers hovedsætning specificerer at G er sammenhængende ved at give et eksempel på en ikkesammenhængende graf, der udelukkende har punkter af lige valens. Forklar
hvordan du ved at dit eksempel ikke indeholder en lukket Euler-tur.
Den anden sætning (ii) som Euler til slut opskriver i sin artikel lyder
på følgende vis i moderne termer:
Sætning 2.10
Lad G være en sammenhængende graf, da indeholder G en åben Euler-tur
hvis og kun hvis G indeholder netop to punkter af ulige valens.
Opgave 19
Kig igen på Eulers artikel. Hvordan gør Euler brug af antagelsen om at de
grafer han kigger på er sammenhængende?
Sætningerne 2.9 og 2.10 er af den type der også kaldes hvis-og-kunhvis-sætninger. Sådanne sætninger er kendetegnet ved, at de så at sige
‘gælder begge veje’. Ofte anvender man også en dobbeltpil ⇔, også kendt
som en ensbetydende-med-pil, i stedet for udtrykket ‘hvis og kun hvis’. I
tilfældet med sætning 2.9 kan vi altså tænke på det som at vi har givet
præmissen P:
P = (G er en sammenhængende graf).
Nu repræsenterer vi de to andre udtryk i sætningen ved bogstaverne A og
B således:
A = (G indeholder en lukket Euler-tur).
B = (alle punkter i G har lige valens).
Sætning 2.9 kan nu skrives som:
P : A ⇔ B.
Når vi således skal bevise sætning 2.9 skal vi altså både vise at
A ⇐ B og A ⇒ B.
Strengt taget viser Euler i sin artikel kun den ene vej, hvilket vi skal
vende tilbage til lidt senere. Det første publicerede bevis for den anden
vej tilskrives den unge tyske matematiker Carl Hierholzer (1840-1871),
hvis bevis blev publiceret for ham af en kollega i 1873 efter hans alt for
tidlige død. Det menes ikke at Hierholzer selv kendte til Eulers 1736artikel, i stedet henviser han til en artikel af en anden tysk matematiker,
Johann Benedict Listing (1808-1882). At man ikke altid var bekendt med
tidligere resultater og arbejder var ikke så ualmindeligt dengang, hvor
meget matematisk viden blev videregivet enten mundtligt eller i form af
private korrespondancer. Undertiden medførte dette også en vis grad af
usikkerhed med hensyn til hvem der havde udgivet hvad, hvor og hvornår.
Vi skal her se en moderne udgave af Hierholzers bevis for ‘kun hvis’delen, altså hvis der for en sammenhængende graf er givet at alle punkterne
har lige valens så gælder at grafen indeholder en lukket Euler-tur.8
8
Beviset er at finde i Toft (1985).
2.4
19
Bevis (⇐)
Lad x1 være et punkt i grafen G, og lad os begynde en tur i G fra x1 , dvs.
en følge af forskellige kanter:
[(x1 , x2 ), (x2 , x3 ), (x3 , x4 ), . . .]
hvor ingen kant gentages og hvor vi fortsætter turen så længe det er muligt.
Da der kun er et endeligt antal kanter i G kan denne tur ikke fortsætte
i det uendelige, men vil standse i et punkt, som vi vil kalde xn , efter at
have gennemløbet turen T :
T = [(x1 , x2 ), (x2 , x3 ), (x3 , x4 ), . . . , (xn−2 , xn−1 ), (xn−1 , xn )] .
Lad G 0 være den delgraf af G, som disse kanter og deres endepunkter
danner. Da G 0 kan gennemløbes som turen T har alle punkter i G 0 lige
valenser, medmindre x1 =
6 xn hvilket vil betyde at x1 og xn har ulige
valenser. Dette kan imidlertid ikke være tilfældet, hvilket vi kan indse på
følgende vis: Da T standser i xn er alle kanter der er incidente med xn i
G med i T (hvorfor?), hvilket vil sige at xn har lige valens i G 0 , da den
har det i G. Heraf følger at x1 = xn og at alle punkter i G 0 har lige valens.
Hvis vores konstruerede tur T omfatter alle kanter i G er vi nu færdige.
Hvis T ikke omfatter alle kanter i G, kan vi ved at fjerne alle kanterne
i T fra G få én eller flere sammenhængende grafer G1 , G2 , . . . , Gk , hvori alle
punkter har lige valens. Det vil sige, at de opfylder samme forudsætning
som G.
Da G er sammenhængende vil et af punkterne xi fra G 0 ligge i G1 . Når vi
gennemløber turen T kan vi nu standse i xi , derefter foretage en lukket tur
T1 i G1 (fundet ved samme metode som T i G), for så endelig at fortsætte
med resten af T fra xi .
Ved af følge fremgangsmåden ovenfor har vi nu ændret den oprindelige
tur T til en ny tur, vi kan kalde den T ∗ , som indeholder flere af G’s kanter
end T selv. Ved at begynde forfra igen med T ∗ i stedet for T og udføre
ovenstående fremgangsmåde igen og igen opnås til slut en tur indeholdende
alle kanterne i G, altså en lukket Euler-tur.
Opgave 20
Hvordan ved vi at metoden i beviset ovenfor faktisk vil slutte og ikke bare
fortsætter i det uendelige?
En alternativ metode til at føre bevis for ‘kun hvis’-delen (⇐) på er ved
at lade den konstruerede tur T være den overhovedet længst mulige tur i
G fra x1 , og så bevise at T må indeholde alle G’s kanter. I modsætning
til ovenstående bevis vil dette dog ikke være et konstruktivt bevis, men
derimod et modstridsbevis. Første del af beviset vil gå stort set som første
del af det konstruktive bevis ovenfor, men i anden del skal man ved at
antage at T ikke omfatter alle kanter i G føre dette til en modstrid.
Opgave 21 (⇒)
Opskriv et omhyggeligt moderne bevis for den anden vej (⇒). Begynd
med at antage, at G er en sammenhængende graf der indeholder en lukket
Euler-tur. Vis så at alle punkter i G har lige valens.
20
Opgave 22
Giv ligeledes et moderne bevis for sætning 2.10. Husk, da denne er en
hvis-og-kun-hvis sætning skal den også vises begge veje.
I matematik kan man opskrive en såkaldt sandhedstabel for et udsagn.
Lad os se på udsagnet A ⇒ B. Fordi vi både har A og B i spil, og hver
kan være enten sand (S) eller falsk (F), skal vi sammenlagt betragte fire
muligheder. Sandhedstabellen for udsagnet A ⇒ B ser ud som følger:
A
S
S
F
F
B
S
F
S
F
A⇒B
S
F
S
S
En måde at forstå ovenstående tabel på er ved at forestille sig at din
matematiklærer har sagt: »Hvis du svarer 100% rigtigt på alle spørgsmål i
din terminsprøve, så får du 12«, svarende til udsagnet A ⇒ B.
I tilfældet hvor du svarer 100% rigtigt på alle spørgsmål (A Sand)
og får dit 12-tal (B Sand), så vil også udsagnet A ⇒ B være Sandt. I
tilfældet hvor du svarer rigtigt, men hvor din matematiklærer alligevel
ikke giver dig 12 (tilfældet A Sand og B Falsk), så vil du føle dig snydt, da
din matematiklærer ikke overholder sin del af aftalen. Derfor er udsagnet
A ⇒ B Falsk.
I de to sidste tilfælde, altså at du ikke svarer 100% rigtigt, så vil
udsagnet A ⇒ B være Sandt, fordi selve udgangspunktet er Falsk og der
derfor så at sige ingen afhængighed er. Det kan enten være at du, på grund
af andre faktorer, alligevel får dit 12-tal (tilfældet A Falsk og B Sand).
Eller det kan være at du ikke får dit 12-tal, hvilket jo vil være forventeligt
da du ikke har svaret 100% rigtigt (tilfældet A Falsk og B Falsk).
Hvis man ved hjælp af sandhedstabeller kan vise at to udsagn er
ækvivalente, altså at de har samme sandhedstabel, så kan man bevise
matematiske sætninger på denne måde. Det matematiske tegn for ‘ikke’
er ¬, så hvis vi vil skrive ikke-A og ikke-B skriver vi ¬A og ¬B. Ved at
opskrive en sandhedstabel for udsagnet ¬A ⇐ ¬B kan vi vise at dette er
ækvivalent (≡) med udsagnet A ⇒ B, altså
A ⇒ B ≡ ¬A ⇐ ¬B.
Udsagnet ¬A ⇐ ¬B kaldes også gerne for den negerede (eller kontrapositive)
af udsagnet A ⇒ B, fordi samtlige komponenter i førstnævnte så at sige er
‘de modsatte’ af dem i sidstnævnte.
Opgave 23
Udfyld de tomme felter i nedenstående sandhedstabel og vis derved at de
to udsagn er ækvivalente.
A
S
S
F
F
B
S
F
S
F
A⇒B
S
F
S
S
¬B
¬A
¬B ⇒ ¬A
2.4
21
Eulers først opskrevne resultat i Afsnit 20 (i) kan formuleres i moderne
termer således:
Sætning 2.11
Hvis en sammenhængende graf G har mere end to punkter af ulige valens,
så indeholder den ikke en Euler-tur.
Euler beviser hvad der svarer til denne sætning (altså resultat i, Afsnit
20), det hersker der ingen tvivl om. For at få en bedre forståelse af, hvad
det så er han formelt set ikke beviser opskriver vi den kontrapositive af
sætning 2.11.
Opgave 24
• Identificer præmissen P og de to komponenter A og B i sætning 2.11.
• Opskriv i ord hvad der svarer til ¬A og ¬B.
• Opskriv nu i ord den kontrapositive sætning (P:¬B⇒¬A.)
• Hvilken vej svarer denne sætning til i sætning 2.9 (og sætning 2.10)?
Fordi Euler således fører stringent bevis for sætning 2.11 er der altså
også ført bevis for den kontrapositive af denne. Men strengt taget mangler
man i Eulers artikel altså det bevis som først bliver givet af Hierholzer –
altså beviset for at en sammenhængende graf hvor alle punkter har lige
valens indeholder en lukket Euler-tur (og den tilsvarende vej i sætning 2.10).
Det skal dog understreges, at selv om Euler ikke beviser resultatet, så er
det selvfølgelig stadig korrekt. Og blandt matematikhistorikere synes der
da også at være enighed om at Euler udmærket var klar over korrektheden
af sit resultat. Biggs et al. (1976) skriver:
Desværre giver Euler ikke et bevis [...], formentlig fordi han betragtede det som selvindlysende. Denne mangel på stringens var ganske
almindelig blandt det attende århundredes matematikere og førte dem
sommetider ind i fantasiernes verden [...] Ikke desto mindre var Eulers
grafteoretiske intuition korrekt [...] [9 ]
9
Biggs et al. (1976, s. 10, oversat fra engelsk)
22
3
Edsger Wybe Dijkstra (1930-2002)
3.1
Biografi
Edsger Wybe Dijkstra (1930-2002)1 blev født i Rotterdam, Holland den 11.
maj, 1930. Begge hans forældre var veluddannede intellektuelle, hans far
var kemiker og hans mor matematiker. I 1942, i en alder af 12 år, begyndte
Dijkstra i Gymnasium Erasminium, et gymnasium for højtbegavede elever.
Her modtog han undervisning i græsk, latin, fransk, tysk, engelsk, biologi,
kemi og matematik.
Ved krigens slutning i 1945 overvejede Dijkstra at studere jura og
muligvis fungere som hollandsk repræsentant ved de Forenede Nationer
(FN). Grundet sine yderst gode resultater i kemi, matematik og fysik valgte
han dog istedet at studere teoretisk fysik ved universitetet i Leiden. I sommeren 1951 deltog han i en sommerskole ved Cambridge Universitet. Emnet
for denne sommerskole var programmering, en på daværende tidspunkt ny
disciplin. I marts 1952 fik Dijkstra deltidsarbejde ved Matematisk Center
i Amsterdam, et arbejde der kun øgede hans interesse for programmering.
Ønsket om at kunne forfølge programmeringen yderligere fik Dijkstra til
at færdiggøre sin ph.d.-grad i teoretisk fysik så hurtigt som muligt.
Dijkstra fortsatte nu sit arbejde ved Matematisk Center, hvor han var
frem til begyndelsen af 1960erne. Som sagt var programmering i 1950erne
1 Denne biografi er baseret på: http://www.thocp.net/biographies/dijkstra_
edsger.htm
23
24
stadig et nyt fag og officielt var det endnu ikke en anerkendt profession.
Af den årsag var Dijkstra også nødt til at skrive ‘teoretisk fysiker’ under
profession, da hen i 1957 skulle udfylde en ægteskabsformular. I 1962 fik
Dijkstra en stilling ved det matematiske institut på Eindhoven Universitet
– datalogi var nu kommet til at høre ind under matematik. I 1973 rejste
Dijkstra og familien til USA, hvor han først var privatansat forsker ved
Burroughs Corporation, men siden blev professor i datalogi ved Texas
Universitet i Austin (1984). Der blev han frem til sin pension i 2000.
Grundet sygdom vendte han tilbage til Holland i april 2002, den 8. august
samme år døde han af kræft.
Dijkstra modtog adskillige akademiske priser for sine arbejder og resultater inden for datalogi og programmering, herunder den prestigefyldte
ACM Turing Award i 1972. Indenfor programmering begyndte Dijkstra
i 1968 bl.a. den såkaldte ‘go to considered harmful’ movement, hvilket
refererer til at jo flere go to kommandoer der er i et computerprogram,
jo sværere bliver det at finde hoved og hale i programkoden. Men mest
kendt er Dijkstra for sin korteste-vej algoritme, som han udviklede allerede
i 1956, mens han stadig var ved Matematisk Center i Amsterdam. Her var
Dijkstra blevet bedt om at demonstrere hvor kraftfuld centerets computer,
en såkaldt ARMAC, var. Korteste-vej algoritmen finder den korteste vej
imellem to punkter i en graf. Dijkstra benyttede også sin ide til at finde
en måde, hvorpå man kan »lede elektricitet til alle essentielle kredsløb,
mens man benytter mindst muligt dyr kobberledning«, et problem som ingeniørerne der havde designet ARMAC computeren var stødt ind i. Begge
disse løsninger præsenter Dijkstra i sin artikel En note om to problemer
relateret til grafer,2 som vi skal se nærmere på om lidt. Men før vi kan det
må vi lige omkring noget mere grundlæggende grafteori.
3.2
Optakt til Dijkstras note
De grafteoretiske problemer som Dijkstra behandler i sin 1959-note kræver
et par ekstra definitioner, nærmere bestemt en definition af det man forstår
ved en vægtet graf og en definition af den specielle graf man kalder for et
træ.
Definition 3.1: Vægtet graf
En graf G hvor hver kant k ∈ K(G) har en vægt w(k) kaldes en vægtet
graf.
I de tilfælde hvor vi angiver kanten k ved dens punkter x og y kan
selvfølgelig også tale om vægten w(x, y). Det er oplagt at vægtene af
kanterne i en graf kan være et udtryk for længderne af disse, men man
benytter gerne ordet ‘vægt’ i stedet for ‘længde’ da dette er mere generelt.
For udover at være et udtryk for f.eks. den faktiske vægt i kilometer
kan vægten på en kant også være et udtryk for den tid det tager at
traversere (tilbagelægge) kanten i en graf (for eksempel hvis vi har en
graf over busruter rundt i København) eller den kan være et udtryk for
økonomisk omkostning, altså prisen for at traversere kanten (for eksempel
hvis kanterne repræsenterer priserne på internet- og telefonforbindelser)
2 Dijkstras artikel (Dijkstra; 1959) er oversat fra engelsk til dansk af forfatteren til
dette undervisningsmateriale.
3.2
25
og så videre. Ofte bruges ordet ‘længde’ dog tit som synonym for vægt,
hvilket man skal være opmærksom på da der i et sådant tilfælde altså
ikke længere er tale om længden i samme betydning som vi brugte ordet i
sidste kapitel, altså som antallet af kanter i en rute.
Begge de problemer som Dijkstra betragter i sin 1959-note tager
udgangspunkt i en vægtet graf. Når Dijkstras algoritme således søger
en korteste-vej mellem to punkter i en graf, så er det altså den korteste vej
forstået på den måde at det er vejen med den mindste samlede vægt. Det
andet problem som vi omtalte ovenfor, det med at benytte mindst mulig
kobberledning til forbindelse af elektriske kredsløb, er af en lidt anden,
omend relateret, type. Problemet går ud på i en givet graf at konstruere
det såkaldt mindste udspændende træ. Et træ er en speciel form for graf,
der kan defineres på følgende måde.
Definition 3.2: Træ
En sammenhængende (ikke-orienteret)3 graf T uden kredse som delgrafer,
kaldes et træ.
Et udspændende træ kan nu defineres som:
Definition 3.3: Udspændende træ
Et udspændende træ T af en graf G er en delgraf af G, som er et træ og
som indeholder ethvert punkt i P (G).
Hvis vi således har givet en vægtet graf, så består problemet med at finde
det mindste udspændende træ således i at finde det udspændende træ i
grafen som har den mindste samlede vægt.
Opgave 25
Forklar hvordan problemet med at finde det mindste udspændende træ i
en graf er det samme som at finde en måde at forbinde elektriske kredsløb
på, hvor man benytter mindst mulig dyr kobberledning. Tegn eventuelt en
tegning.
Ordet ‘ikke-orienteret’ i definition 3.2 henviser til, at grafer og træer
også kan have en retning på kanterne, altså at der kan være forskel på
kanterne angivet ved punktparrene (x, y) og (y, x), det vil sige kanten
er orienteret. Dette angives gerne på en figur ved at sætte en pil på
selve kanten angivende den retning, hvorved kanten kan traverseres. Vi
skal imidlertid i dette undervisningsforløb begrænse os til studiet af ikkeorienterede grafer. Vi kan indføre endnu et begreb i relation til grafer,
en såkaldt bro (ikke at forveksle med broerne i Königsberg, som jo i
graf-øjemed udgjorde kanter).
Definition 3.4: Bro
En bro i en graf er en kant, som ikke er med i nogen kreds.
Ved brug af begrebet ‘en bro’ kan vi nu give endnu en definition af et træ.
Definition 3.5
Et træ T er en sammenhængende graf, hvor alle kanter er broer.
3
Forklaring følger senere.
26
En vægtet graf kan selvfølgelig have flere forskellige udspændende træer
(med forskellige vægtsummer) og sågar også flere mindste udspændende
træer, men i så fald vil de alle have den samme (mindste) vægt.
Opgave 26
Figur 3.1 forestiller Königsberg-grafen K som denne oftest fremstilles i
bøger om grafteori.
• Konstruér tre forskellige udspændende træer i K.
• Hvor mange forskellige udspændende træer kan man konstruere af
K? (Forklar hvordan du kom frem til dit svar.)
Lad der nu være givet følgende vægte i K: a = 1; b = 2; c = 5; d = 4; e =
2; f = 1; g = 3.
• Find det mindste udspændende træ i K.
• Find det største udspændende træ i K, altså det med den størst
mulige vægt.
Figur 3.1 Königsberg-grafen K.
En graf uden multiple kanter kaldes også gerne for en simpel graf. Man
kan vise følgende sætning om sådanne grafer.
Sætning 3.6
En simpel graf G er sammenhængende hvis og kun hvis den har et udspændende træ.
Bevis (⇒)
Vi antager at G er sammenhængende. Hvis G ikke er et træ må den
indeholde mindst én kreds. Fjern en kant fra en af disse kredse. Den
resulterende delgraf G 0 har én kant mindre, men indeholder stadig alle
punkterne i G. G 0 er stadig sammenhængende fordi når to punkter der er
forbundet af en vej indeholdende den fjernede kant, så er de også forbundet
af en vej som ikke indeholder denne kant. (Hvorfor?) Hvis G 0 ikke er et
træ, indeholder den en kreds; så som før fjerner vi en kant i kredsen.
3.2
27
Denne procedure gentages indtil der ikke er flere kredse tilbage (hvilket er
muligt da grafen er endelig). Dette producerer et træ, da grafen forbliver
sammenhængende under fjernelsen af kanter. Og da dette træ indeholder
ethvert punkt af G er der tale om et udspændende træ.
Opgave 27
Bevis sætning 3.6 den anden vej (⇐), altså antag at en simpel graf G har
et udspændende træ T og vis så at G er sammenhængende.
En anden definition som vi kan have brug for at kende inden vi skal
læse Dijkstras note er den af et undertræ.
Definition 3.7
Et undertræ af et træ T er en delgraf af T , som i sig selv udgør et træ.
De metoder som Dijkstra giver til at løse sine to problemer er hvad
der også gerne betegnes som algoritmer. For at være helt på det rene med,
hvad vi vil forstå ved begrebet en algoritme definerer vi nu dette.
Definition 3.8
En algoritme er en endelig mængde af præcise instruktioner for udførelsen
af en beregning eller løsningen af et problem.
Generelt set opfylder algoritmer gerne en række egenskaber, eller man er i
hvert fald interesseret i at de gør det, da brugbarheden af dem ellers kan
være diskutabel. Disse egenskaber er som følger:
1. Inddata: En algoritme modtager værdier fra en nærmere specificeret
mængde af inddata.
2. Uddata: Fra hver mængde af inddata giver algoritmen uddata fra
en nærmere specificeret mængde af sådanne. Uddata-værdierne er
løsningerne til problemet.
3. Præcision: Skridtene af en algoritme må være præcist defineret.
4. Korrekthed: En algoritme må producere de korrekte uddata-værdier
for hver mængde af inddata-værdier.
5. Terminering: En algoritme må producere det ønskede uddata i løbet
af et endeligt, omend eventuelt stort, antal skridt for en hvilken som
helst mængde af inddata.
6. Effektivitet: Det skal være muligt at udføre hvert skridt i algoritmen
nøjagtigt som tiltænkt og inden for en endelig tidsperiode.
7. Generalitet: Algoritmen bør kunne anvendes for alle problemer af den
ønskede form, ikke kun for en speciel mængde af inddata-værdier.
Dijkstras to algoritmer kan selvfølgelig sættes ind i en historisk sammenhæng både hvad angår Dijkstras egen motivation og hvad angår den
videre brug og udbredelse af algoritmerne, da Dijkstra langt fra er den
eneste der har betragtet disse to problemer. Vi skal imidlertid udsætte
den historiske diskussion til efter præsentationen af Dijkstras artikel, da
denne vil være nemmere at forholde sig til når man først har kendskab til
selve algoritmerne.
28
3.3
Dijkstras 1959-note
Det almindelige ord på engelsk for et punkt i en graf er ‘vertex’, men
undertiden benyttes også ordet ‘node’. Dette ord kan oversættes til det
danske ord knude, og det er det ord som Dijkstra fortrinsvist benytter sig
af i sin tekst. Dijkstra begynder sin fremstilling på følgende vis.
Vi betragter n punkter (knuder) for hvilke nogle eller alle par er forbundet
med en kant; længden af hver kant er givet. Vi begrænser os til det tilfælde,
hvor der findes mindst en vej imellem to vilkårlige knuder. Vi betragter nu
to problemer.
Problem 1. Konstruér træet med den samlede mindste længde imellem
de n knuder. (Et træ er en graf med én og kun én vej imellem to vilkårlige
knuder.)
I fremførelsen af den løsning vi præsenterer her er kanterne underinddelt i
tre mængder:
I. de kanter der sikkert og vist vil tilhøre det træ der skal konstrueres (de
vil danne et undertræ);
II. de kanter fra hvilke den næste kant der skal tilføjes mængde I vil blive
valgt;
III. de resterende kanter (afvist eller endnu ikke betragtet).
Knuderne er underinddelt i to mængder:
A. de knuder der er forbundet af kanter i mængde I,
B. de resterede knuder (én og kun én kant i mængde II vil føre til hver af
disse knuder).
Vi begynder konstruktionen med at vælge en vilkårlig knude som det eneste
medlem af mængde A, og med at placere alle kanter der ender i denne
knude i mængde II. Til at begynde med er mængde I tom. Fra nu af udfører
vi de to følgende skridt gentagende gange:
Skridt 1. Den korteste kant tilhørende mængde II fjernes fra denne mængde
og tilføjes til mængde I. Som resultat overføres én knude fra mængde B til
mængde A.
Skridt 2. Betragt de kanter der går fra knuden, der netop er blevet tilføjet
mængde A, til de knuder der stadig er i mængde B. Hvis den betragtede
kant er længere end den tilsvarende kant i mængde II, afvises den; hvis
den er kortere erstatter den den tilsvarende kant i mængde II og den
sidstnævnte kant afvises.
Vi returnerer da til skridt 1 og gentager processen indtil mængderne II og
B er tomme. Kanterne i mængde I danner da det behøvede træ.
Den her givne løsning er at foretrække frem for løsningen givet af J. B.
Kruskal [4 ] og de givet af H. Loberman og A. Weinberger [5 ].
I deres løsninger er alle – måske 12 n(n − 1) – kanter først og fremmest
sorteret efter deres længde. Selv hvis længderne af kanterne er en beregnbar
funktion af knude-koordinaterne vil deres metoder kræve at data for alle
kanterne bliver gemt på samme tid. Vores metode kræver kun samtidig
lagring af data for højst n kanter, dvs. kanterne i mængderne I og II og
kanten der betragtes i skridt 2.
4
Kruskal jr., J. B. (1956): On the Shortest Spanning Subtree of a Graph and the
Travelling Salesman Problem. Proc. Amer. Math. Soc. 7, s. 48-50.
5 Loberman, H., & A. Weinberger (1957): Formal Procedures for Connecting Terminals
with a Minimum Total Wire Length. J. Ass. Comp. Mach. 4, s. 428-437.
3.3
Dijkstras 1959-note
29
Opgave 28
Hvor gør Dijkstra brug af at den givne graf er sammenhængende? Find
stedet i artiklen, hvor han implicit siger at han kun vil betragte sammenhængende grafer.
Som set benytter Dijkstra sig af en lidt anderledes definition af et træ:
Definition 3.9
Et træ T er en graf med én og kun én vej imellem to vilkårlige knuder.
Opgave 29
Overbevis dig om, at de tre forskellige definitioner af et træ (definition
3.9, definition 3.2 og definition 3.5) alle siger det samme, altså at de er
ækvivalente.
Dijkstra giver ingen eksempler til illustration af sin algoritme, så lad
os se et sådant. Figur 3.2 viser en overskuelig graf med fem punkter og
syv vægtede kanter.
Figur 3.2 En vægtet graf.
Inden vi går i gang med eksemplet skal det påpeges at der i Dijkstras
originalartikel forekommer en mindre uklarhed. Skridt 2 ovenfor burde nok
pædagogisk set have sluttet med en linie der sagde noget i retning af:
De kanter i mængde III der stadig ikke er afvist og som fører til knuder
(punkter) der stadig ikke kan nås via kanterne i mængde II overføres
til mængde II.
Så i det følgende eksempel vil vi altså udføre ovenstående handling som
del af Skridt 2. (Forsøg undervejs at have i baghovedet, hvad der kunne
ske hvis vi ikke gjorde dette.)
Til at begynde med ligger alle punkterne i mængde B og alle kanterne
i III:
B = {p, q, r, s, t} og III = {a, b, c, d, e, f, g, h},
og de øvrige mængder er alle tomme. Det første der sker i algoritmen er en
såkaldt initialisering, hvor et vilkårligt punkt overføres til mængde A og
alle kanter incidente med dette punkt overføres til mængde II. Vi vælger
punkt p og får således
A = {p} og II = {a, b, f }.
30
Når initialiseringen har fundet sted begynder første iteration. Hver iteration består af et Skridt 1 og et Skridt 2 og algoritmen terminerer når
mængderne II og B er tomme.
1. iteration
1. I Skridt 1 overføres den kant med lavest vægt fra mængde II til
mængde I. Dette er kant f og vi får I = {f }. Det punkt som den
overførte kant ender i overføres til mængde A, dvs. punkt q og vi får
A = {p, q}.
2. I Skridt 2 skal vi nu betragte de kanter der går fra det til A netop
overførte punkt, altså q, til de punkter som er i B. Det vil sige
kanterne c og g. Da c giver en vej til punkt r som er 3 lang og derfor
længere end vejen på 2 fra p til r, forkastes kanten c. Kanten g er
endnu ikke afvist og fører til et punkt, nemlig t, som endnu ikke kan
nås via kanter i II. Derfor overføres g til II.
På nuværende tidspunkt er situationen den følgende:
A = {p, q} og B = {r, s, t}
I = {f } og II = {a, b, g} og III = {c, d, e, h}.
2. iteration
1. Kanten med den laveste vægt i II overføres til I, dvs. b. Det
tilsvarende punkt overføres til A, dvs. r.
2. Kanterne incidente med r, som fører til punkter i B, er d og e. Både
d og e giver anledning til kanter af lavere vægt i det foreløbige træ
end de tilsvarende kanter i mængde II, a og g. Derfor forkastes
sidstnævnte og d og e tilføjes mængde II.
Det betyder at billedet nu ser således ud:
A = {p, q, r} og B = {s, t}
I = {f, b} og II = {d, e} og III = {a, c, g, h}.
3. iteration
1. Kanten e overføres til I og punktet t til A.
2. Kanten h er den eneste kant incident med punktet t, som fører til et
punkt i B nemlig s. Kanten h er af lavere vægt end den tilsvarende
kant d ∈ II som fører til t, så d forkastes og h tilføjes II.
A = {p, q, r, t} og B = {s}
I = {f, b, e} og II = {h} og III = {a, c, d, g}.
4. iteration
1. Kanten h overføres til I, altså I = {f, b, e, h}. Det tilsvarende punkt
s overføres til A, altså {p, q, r, t, s}.
2. Mængderne B og II er tomme og algoritmen er tilendebragt.
Opgave 30
• For hver af de fire ovenstående iterationer tegn en skitse der illustrerer
forløbet af algoritmen, dvs. hvilke punkter og kanter der er under
betragtning, hvilke mængder de befinder sig i, det foreløbige træ,
osv.
3.3
Dijkstras 1959-note
31
• Verificer ved inspektion at det endelige træ i 4. iteration også er det
mindste udspændende træ for grafen.
Efter at have set ovenstående eksempel på bestemmelsen af et mindste udspændende træ i en graf og efterfølgende have tegnet et sådant
træ i opgave 30 burde det være til at forestille sig, hvordan et sådant
træ – og algoritmen til at bestemme det – kan bruges til at forbinde
elektriske komponenter anvendende den mindst mulige mængde dyr kobberledning. Komponenterne udgør selvfølgelig punkterne i en graf og de
mulige forbindelser mellem dem udgør kanterne i grafen.
Som set argumenterer Dijkstra ikke specifikt for korrektheden (punkt 4
i listen af de syv egenskaber som algoritmer bør opfylde) af sin algoritme
til bestemmelse af mindste udspændende træ. Og det skal vi heller ikke her
gå i detaljer med, da vores hovedformål med at studere Dijkstras 1959-note
er den anden algoritme han giver – den berømte Dijkstras algoritme til
bestemmelse af korteste vej mellem to punkter i en vægtet graf. Som kort
antydet i kapitel 1 er denne algoritme højst anvendelig i diverse praktiske
situationer, og ganske givet benytter de fleste af os den forholdsvist tit –
uden at være klar over det. Men mere om det senere, lad os nu først se
algoritmen som Dijkstra selv præsenterede den.
Problem 2. Find en vej af samlet minimum længde mellem to givne knuder
P og Q.
Vi benytter den kendsgerning, at hvis R er en knude på den minimale
vej fra P til Q, så vil kendskab til den sidstnævnte medføre kendskab til
den minimale vej fra P til R. I den præsenterede løsning vil de minimale
veje fra P til de andre knuder være konstrueret med hensyn til tiltagende
længder indtil Q er nået.
I fremførelsen af løsningen er knuderne underinddelt i tre mængder:
A. de knuder for hvilke vejen af minimum længde fra P er kendt; knuder vil
blive tilføjet denne mængde i overenstemmelse med tiltagende minimum
vej-længder fra knude P ;
B. de knuder fra hvilke den næste knude der tilføjes til A vil blive valgt;
denne mængde udgøres af alle de knuder som er forbundet med mindst én
knude fra A, men som endnu ikke tilhører A;
C. de resterende knuder.
Kanterne er også underinddelt i tre mængder:
I. de kanter som optræder i de minimale veje fra knude P til knuderne i
mængden A;
II. de kanter fra hvilke den næste kant der tilføjes til mængde I vil blive
valgt; én og kun én kant fra denne mængde vil føre til hver knude i
mængden B;
III. de resterende kanter (forkastet eller endnu ikke betragtet).
Til at begynde med befinder alle knuderne sig i mængde C og alle kanterne
er i mængde III. Vi overfører nu knude P til mængde A og udfører dernæst
gentagende gange de følgende skridt.
32
Skridt 1. Betragt alle kanter r der forbinder knuden som netop blev overført
til mængde A med knuder R i mængderne B og C. Hvis R tilhører mængde
B, undersøger vi hvorvidt brug af kanten r resulterer i en kortere vej fra
P til R end den kendte vej der benytter den tilsvarende vej i mængde II.
Hvis det ikke er tilfældet, afvises kant r; hvis brug af kanten r derimod
resulterer i en kortere forbindelse mellem P og R end tidligere opnået,
erstatter den den tilsvarende kant i mængde II og sidstnævnte kant afvises.
Hvis knuden R tilhører mængde C, tilføjes den til mængde B og kant r
tilføjes til mængde II.
Skridt 2. Hvis vi begrænser os til kanter fra mængde I og én fra mængde II,
vil enhver knude i mængde B kun kunne forbindes til knude P på én måde.
Således vil enhver knude i mængde B have en afstand fra knude P ; knuden
med minimum afstand fra P overføres fra mængde B til mængde A, og
den tilsvarende kant overføres fra mængde II til mængde I. Vi returnerer
da til skridt 1 og gentager processen indtil knude Q overføres til mængde
A. Så vil løsningen være fundet.
Bemærkning 1. Den ovenfor beskrevne proces kan også anvendes i det
tilfælde, hvor længden af en kant afhænger af retningen i hvilken den
traverseres.
Bemærkning 2. For hver kant i mængderne I og II er det tilrådeligt at
gemme information om dens to knuder (i overenstemmelse med tiltagende
afstand fra P ), samt afstanden mellem P og den af kantens knuder der
er længst væk fra P . For kanterne i mængde I er dette den faktiske
minimumsafstand, for kanterne i mængde II er det kun den minimale
afstand fundet indtil videre.
Løsningen beskrevet ovenfor er at foretrække frem for løsningen af L. R.
Ford [6 ] som beskrevet af C. Berge [7 ], for, uanfægtet af antallet af
kanter, behøver vi ikke gemme data om alle kanterne samtidig, men kun
dem for kanterne i mængderne I og II, og dette antal er altid mindre end n.
Endvidere synes mængden af arbejde der skal udføres at være betragtelig
mindre.
Som nævnt af Dijkstra i ‘Bemærkning 1’ kan algoritmen forholdsvis
let udvides til at omfatte grafer med orienterede kanter, men som tidligere
sagt vil vi ikke gøre dette her. Lad os se et eksempel på hvordan Dijkstras
algoritme fungerer. Figur 3.3 viser en graf med seks punkter og syv vægtede
kanter. Vi skal finde en korteste vej fra p til q. For overskuelighedens skyld
er eksemplet forholdsvist simpelt og løsningen kan derfor let verificeres
ved ligefrem inspektion.
Til at begynde med befinder alle punkterne sig i mængde C og alle
kanterne er i mængde III, altså
C = {p, s, t, u, v, q} og III = {a, b, c, d, e, f, g}
og mængderne A, B, I og II er alle tomme. Det første der sker i initialiseringen er at punkt p overføres til mængde A, dvs. A = {p}. Derefter begynder
første iteration, som også her består af et Skridt 1 og et Skridt 2. Algoritmen køres indtil punkt q overføres til A, eller med andre ord sålænge q ∈
/ A.
6
7
Ford, L. R. (1956): Network flow theory. Rand. Corp. Paper, P-923.
Berge, C. (1958): Théorie des graphes et ses applications, s. 68-69. Paris: Dunod.
3.3
Dijkstras 1959-note
33
Figur 3.3 En vægtet graf G.
1. iteration
1. I Skridt 1 bliver vi bedt om at betragte alle kanter r der forbinder
punktet netop overført til mængde A, det vil i dette tilfælde sige p,
med knuder R i mængderne B og C. Vi ser altså på kanterne a og b.
Da punkterne s og t ikke tilhører B (som jo stadig er tom) kan vi se
bort fra den første del af Skridt 1. Derimod ligger s og t i mængden
C, hvorfor de nu tilføjes til B. Da B var tom har vi nu B = {s, t}.
På lignende vis tilføjes kanterne a og b mængde II, som også var
tom, hvorfor II = {a, b}.
2. I Skridt 2 skal punktet med minimum afstand fra p overføres fra
mængde B til mængde A og den tilsvarende kant fra mængde II
skal overføres til mængde I. Det punkt i B der ligger tættest på p er
t, hvorfor vi får A = {p, t}. Den tilsvarende kant er b. Vi får I = {b}.
På nuværende tidspunkt har vi således følgende situation:
A = {p, t} og B = {s} og C = {u, v, q}
I = {b} og II = {a} og III = {c, d, e, f, g}.
2. iteration
1. Sidst overførte punkt til A er t, så vi skal se på kanter der forbinder t
med punkter i B og C. Den eneste sådanne kant er e, som forbinder
t med punktet v. Da v ∈ C tilføjes v til B og kanten e til II, altså
B = {s, v} og II = {a, e}.
2. Den knude i B med minimum afstand til p overføres til A, dvs. s,
da denne jo har afstand 4 til p, hvorimod v har afstand 2 + 3 = 5.
Den tilsvarende kant er a og overføres til I.
Situationen med mængderne nu er da:
A = {p, t, s} og B = {v} og C = {u, q}
I = {b, a} og II = {e} og III = {c, d, f, g}.
3. iteration
1. De kanter der forbinder s med punkter i B og C er c og d og de
tilsvarende punkter er u og v. Da v ∈ B skal vi nu undersøge om
kanten d resulterer i en kortere vej fra p til v end den allerede kendte.
34
Det gør den imidlertid ikke, da en traversering fra p til v ad kant
d giver en samlet vægt på 4 + 3 = 7, hvorimod afstanden fra p til
v ad kant e kun har samlet vægt 2 + 3 = 5. Altså afvises kanten d.
Da u ∈ C tilføjes den nu til B, altså får vi B = {v, u}, og kanten c
tilføjes II, dvs. II = {e, c}.
2. . . .
Opgave 31
• Færdigkør algoritmen på ovenstående eksempel på samme vis som
gjort indtil nu. Begynd med Skridt 2 i 3. iteration og fortsæt derfra.
(Husk at algoritmen terminerer når q bliver tilføjet til A.)
• Hvad er den korteste vej fra p til q og hvordan ved du det? (Vink: se
Skridt 2 i algoritmen.)
Opgave 32
Tegn figurer af hver enkelt iteration for kørslen af Dijkstras korteste-vej
algoritme på grafen i figur 3.3, igen illustrerende hvilke punkter og kanter
der er under betragtning, hvilke mængder de befinder sig i, den foreløbigt
udviklede korteste vej, osv. Verificer til slut ved inspektion at der er tale
om den korteste vej mellem punkterne p og q.
Opgave 33
Kør Dijkstras algoritme på den vægtede graf G i figur 3.4 som gjort i
eksemplet ovenfor og opskriv udfra mængden I de kant-ruter der giver
korteste vej fra punktet p til alle andre punkter i G.
Selv om korteste vej i ovenstående grafer kunne have været fundet
ved simpel inspektion, så er inspektion upraktisk for både mennesker og
computere når en graf indeholder et større antal kanter (forestil dig f.eks.
en graf med 100 punkter og 1000 vægtede kanter).
Nogle af de bemærkninger som Dijkstra giver undervejs i sin note, og
nogle af kommentarerne til andre algoritmer som løser samme eller lignende
problemer, går undertiden på mere datalogiske detaljer i forbindelse med
konkrete implementeringer etc. Vi skal berøre dette sammen med den
historiske diskussion i slutningen af kapitlet. Foreløbig skal vi koncentrere
os om punkt 4 i listen af de syv punkter som algoritmer bør opfylde, nemlig
3.4
Moderne fremstilling og korrekthed af Dijkstras algoritme
35
punktet om korrekthed. Vi skal således i næste afsnit se et matematisk
bevis for at Dijkstras algoritme producerer det ønskede uddata, nemlig en
korteste vej mellem to punkter i en vægtet graf.
3.4
Moderne fremstilling og korrekthed af Dijkstras
algoritme
Som set fører Dijkstra ikke selv et stringent matematisk bevis for korrektheden af sin algoritme i 1959-noten, men der er næppe nogen tvivl om,
at han var helt på det rene med at algoritmen altid finder den korteste
vej. Vi skal i det følgende se en moderne tekstbogsversion af Dijkstras
algoritme og et bevis for korrektheden af denne. For overskuelighedens
skyld (og uden videre tab af generalitet) ser vi på en moderne fremstilling
af Dijkstras algoritme der som inddata tager en simpel sammenhængende
graf (dvs. en sammenhængende graf uden multiple kanter).
I moderne fremstillinger af Dijkstras algoritme opereres ofte med en
form for mærkningsfunktion, som tager sig af mærkningen af punkterne
med deres afstand fra begyndelsespunktet p efterhånden som algoritmen
skrider frem. Denne funktion kalder vi M og til at begynde med mærker
den begyndelsespunktet p med et 0, M0 (p) = 0, og alle andre punkter x
med værdien uendelig, hvilket skrives som M0 (x) = ∞, hvor 0’et i M0
angiver at der er tale om den 0’te iteration (initialiseringen). Disse mærker
er således længderne af de foreløbig fundne korteste veje fra p til de andre
punkter x, men da der til at begynde med ikke er nogen fundne veje er
alle disse mærket med værdien ∞.
Hvor Dijkstra i sin egen fremstilling opererede med flere mængder af
punkter (og kanter), så indgår der i moderne fremstillinger oftest kun en
enkelt punktmængde, som her kaldes St , hvor t’et henviser til at der er
foretaget t iterationer af mærkningsproceduren. Til at begynde med er S
lig den tomme mængde, hvilket skrives S0 = ∅. Mængden St dannes ved
at tilføje et punkt y ∈
/ St−1 med det mindste mærke til mængden St−1
(altså mængden der blev dannet i iterationen lige før iteration t og som
ikke indeholder y).
Så snart y er tilføjet St opdateres mærkerne på alle punkter x ∈
/ St ,
således at Mt (x), mærket på x til tid t, er længden af den korteste vej fra
p til x udelukkende via punkter indeholdt i St .
For et punkt x ∈
/ St bygger opdateringen af mærkningen Mt (x) på
følgende observation: En korteste vej fra p til x udelukkende via punkter i
St er enten en korteste vej fra p til x udelukkende via punkter i St−1 eller
det er en korteste vej fra p til y i iteration t − 1 med kanten (y, x) tilføjet.
Dette kan skrives som
Mt (x) = min{Mt−1 (x), Mt−1 (y) + w(y, x)},
hvor ‘min’ angiver at der er tale om minimum af de to værdier Mt−1 (x),
afstanden mellem p og x til tid t − 1, og Mt−1 (y) + w(y, x), afstanden
mellem p og punktet y plus afstanden (eller vægten) mellem y og x, altså
w(y, x).
Opgave 34
Hvilke(n) mængde(r) i Dijkstras egen 1959-fremstilling af hans algoritme
svarer til mængden S (eller St ) i den moderne fremstilling?
36
input: Sammenhængende simpel graf G uden sløjfer med
punkter p = x0 , x1 , . . . , xn = q og vægte w(xi , xj ) > 0, hvor
w(xi , xj ) = ∞, hvis (xi , xj ) ∈
/ K(G).
[kanter som ikke er med i grafen tildeles uendelig vægt]
output: En mærkning af G’s punkter med vægten af en korteste
vej fra p til q i G.
begin
for i := 1 to n
M (xi ) := ∞;
M (p) := 0;
S := ∅;
[alle mærker er nu initialiseret således, at mærket på p er 0 og
alle andre mærker er ∞, og S er den tomme mængde]
while q ∈
/S
begin
y := et punkt x ∈
/ S med mindste M (y);
S := S ∪ {y};
/ S forbundet med y ved en kant i K(G)
for alle punkter x ∈
if M (y)+w(y, x) < M (x) then M (x) := M (y)+w(y, x);
[dette tilføjer et punkt med mindste mærkning til S og
opdaterer mærkningen af punkter ikke i S]
end
end.
Boks 3.1 Pseudo-kode for moderne formulering af Dijkstras algoritme.
Til opskrivning af selve algoritmen i en moderne fremstilling benytter
man gerne hvad der refereres til som pseudo-kode. Pseudo-kode består af
en række engelske ‘programmeringsorienterede’ termer som for eksempel:
if, then, for, to, while, do, osv. Der er således ikke tale om et egentligt
programmeringssprog, men derimod en række termer som er mere eller
mindre generelle i et hvilket som helst programmeringssprog, og derfor
giver en ide om hvordan en algoritme konkret vil kunne implementeres.
Pseudo-kode er ofte forholdsvis selvforklarende, som vi skal se i eksemplet
med pseudo-koden for en moderne fremstilling af Dijkstras algoritme i boks
3.1.8 Et par kommentarer bør dog knyttes til notationen. For eksempel
når der i pseudo-koden i boks 3.1 står := betyder dette, at noget sættes lig
noget andet. For eksempel sættes mængden S på et tidspunkt lig sig selv
forenet med mængden kun bestående af y, S := S ∪ {y}, altså y tilføjes
til S. Semikoloner betyder, at nu udføres der en handling. Forklarende
kommentarer i boksen er angivet i kantede parenteser [. . .].
Lad os se på eksemplet med Dijkstras algoritme fra tidligere (figur 3.3),
men denne gang udført på baggrund af beskrivelsen i den moderne fremstilling. Vi ønsker altså igen at finde den korteste vej fra punkt p til punkt q.
0. iteration (initialisering)
I initialiseringen sættes mærkerne først til værdien uendelig: M (xi ) := ∞.
Derefter sættes værdien af p’s mærke til nul: M (p) := 0. Og sluttelig sættes
8 Fremstillingen af Dijkstras algoritme i pseudo-kode for simple grafer bygger på den i
Rosen (2003).
3.4
37
S lig den tomme mængde: S := ∅. Situationen er illustreret på figur 3.5.
Figur 3.5 Iteration 0 (initialisering).
1. iteration
I første iteration sættes y først lig punktet med det mindste mærke, dette
er p da M (p) = 0, altså y := p. Dernæst tilføjes y til mængden S og da
denne på dette tidspunkt er tom fås S = {p}. Nu opdateres mærkningen
af punkter som ikke er i S, nærmere bestemt de som er forbundet til y ved
en kant. I 1. iteration på grafen G har vi:
M (p) + w(p, s) = 0 + 4 < ∞
og
M (p) + w(p, t) = 0 + 2 < ∞,
hvilket medfører mærkningerne M (s) = 4 og M (t) = 2. Situationen er nu
som på figur 3.6, hvor ◦ ved punktet p indikerer at denne nu er tilføjet
mængden S. Bemærk at betegnelsen [p] ved punkterne s og t angiver alle
de punkter i S vi er kommet via til dette punkt og således den korteste
rute til dette punkt i den givne iteration.
Figur 3.6 Iteration 1.
Opgave 35
Færdigkør eksemplet ovenfor på samme vis som gjort hidtil ved at bruge
den moderne pseudo-kode fremstilling af Dijkstras algoritme i boks 3.1.
(Husk for hver iteration at angive ruterne i kantede parenteser og husk at
algoritmen terminerer når q tilføjes mængden S.)
38
Hvor vi i Dijkstras originale fremstilling af algoritmen brugte kantmængden I til at fortælle os, hvordan vi kom fra begyndelsespunktet til
de andre punkter i grafen, skal vi altså i den moderne fremstilling holde
styr på dette undervejs (de kantede parenteser ved punkterne i grafen på
figur 3.6). I en konkret implementering af Dijkstras algoritme i et eller
andet computerprogram ville man selvfølgelig sørge for at gemme disse
data undervejs i kørslen af algoritmen, men for simplicitetens skyld er en
sådan procedure ikke en del af pseudo-kode fremstillingen i boks 3.1.
Opgave 36
Kør den moderne fremstilling af Dijkstras algoritme på grafen i figur 3.4
for at bestemme korteste vej fra punktet p til alle andre punkter i grafen.
(Husk igen for hver iteration at angive ruterne i kantede parenteser.)
Vi skal nu bevise, at Dijkstras algoritme rent faktisk finder den korteste
vej mellem to punkter i en sammenhængende vægtet graf. Den form for
bevistype vi skal gøre brug af kaldes for et induktionsbevis. Der er i matematikken flere forskellig former for bevistyper. I er formentlig bekendt med
direkte beviser og med indirekte beviser, det sidstnævnte er der hvor man
antager ét og derefter fører dette til en modstrid, hvorfor sådanne beviser
også kendes under navnet modstridsbeviser. Et induktionsbevis er altså en
tredje type, og historisk set også en væsentligt senere fremkommet type.
Hvor indirekte beviser kan findes for eksempel i Euklids Elementer (ca. 300
f.v.t.) dukker induktionslignende beviser først op i 15-1600 tallet. For eksempel giver den italienske matematiker Francisco Maurolicos (1494-1575)
et bevis der bygger på en ide om induktion i sin Arithmeticorum libri duo
fra 1575, og i 1654 giver den franske matematiker Blaise Pacal (1623-1662)
i sin Traité du Triangle Arithmetique, omhandlende hvad vi i dag kender
som ‘Pascals trekant’, første formulering af selve induktionsprincippet.
Dette princip kræver lidt forklaring.
Bevis ved induktion bruges ofte til at vise at en given sætning er
sand for alle naturlige tal (N). Ideen er, at hvis et eller andet gælder
for n = 1 (eller n = 0 afhængig af hvor man tæller fra), så antager
man at det gælder for n = t og kan man så vise det også gælder for
n = t + 1, så må det gælde for alle n. Det er dette princip der kaldes
for induktionsprincippet. Tilfældet n = 1 kaldes for induktionsbasis og
antagelsen n = t kaldes for induktionshypotesen. Det er vigtigt, at pointere
at selve induktionsprincippet ikke er noget man kan eftervise, deraf navnet
princip. I virkeligheden kan man tænke på det som en form for aksiom,
som indgår i grundlaget for de naturlige tal.
Et billede som man kan have af induktionsprincippet inde i sit hoved, er
det af uendeligt mange dominobrikker opstillet på en lang række. Hvis den
første dominobrik, n = 1, vælter, så vil også den næste, n = 2, vælte. Hvis
dominobrik n = 2 vælter, så vil også dominobrik n = 3 vælte. Og hvis n = 3
vælter, så vil også n = 4 vælte og så kører maskinen. Denne ‘dominoeffekt’
kan vi også tænke på ‘induktionsmotoren’. Vores induktionsbasis er i
dette tilfælde at den første dominobrik vælter, n = 1, hvilket vi vil
kunne stadfæste ved rent faktisk at vælte den. Induktionshypotesen er
at den t’te dominobrik også vælter, n = t. Hvis vi kan godtgøre, at
dominobrik nummer t + 1 ligeledes vælter, så siger induktionsprincippet,
at alle brikkerne vælter.
3.4
39
Men lad os se, hvordan vi kan gøre brug af dette i beviset for korrektheden af Dijkstras algoritme.
Bevis
Vi begynder med at formulere induktionshypotesen. Denne er at vi ved
iteration t har, at
i. mærkningen af ethvert punkt x ∈ S er længden af en korteste vej
fra punkt p til dette punkt x, og
ii. mærkningen af ethvert punkt x ∈
/ S er længden af en korteste vej
fra punkt p til dette punkt x udelukkende indeholdende punkter i S
(på nær x selv).
Vores induktionsbasis for Dijkstras algoritme er selve initialiseringen, altså
den 0’te iteration, t = 0. På dette tidspunkt er S = ∅, så længden af en
korteste vej fra begyndelsespunktet p til et hvilket som helst punkt andet
end p er ∞. Så induktionshypotesen er således sand for basistilfældet.
Nu antager vi, at induktionshypotesen er sand for den t’te iteration.
Lad x være et punkt tilføjet S i den (t + 1)’te iteration, således at x
ved slutningen af den t’te iteration ikke er et punkt i S med den mindste
mærkning (i tilfældet hvor flere punkter har samme mindste mærkning kan
en vilkårlig af disse bruges). Hvis vi nu kan vise, at både (i) og (ii) gælder
for den (t + 1)’te iteration, så har vi bevist korrektheden af algoritmen for
samtlige mulige iterationer.
Vi kigger først på (i). Fra induktionshypotesen har vi, at punkterne
i S før den (t + 1)’te iteration er mærket med længderne af en korteste
vej fra p. Også punktet x må være mærket med længden af en korteste
vej til sig selv fra p. Hvis dette ikke var tilfældet ville der ved slutningen
af iteration t være en vej med længde mindre end Mt (x) indeholdende et
punkt ikke tilhørende S (fordi Mt (x) er længden af korteste vej fra p til
x udelukkende indeholdende punkter i S efter den t’te iteration). Lad y
være det første punkt ikke indeholdt i S tilhørende en sådan vej. Der er nu
en vej med længde mindre end Mt (x) fra p til y udelukkende indeholdende
punkter i S. Men dette er ikke i overensstemmelse med vores valg af x.
Altså kan dette ikke passe og vi får at (i) må være sand ved slutningen af
iteration (t + 1).
Så mangler vi kun (ii). Lad y være et punkt der ikke tilhører S efter de
første (t + 1) iterationer. En korteste vej fra p til y udelukkende bestående
af kanter mellem punkter i S og y indeholder enten x eller indeholder ikke
x. Hvis vejen ikke indeholder x har vi fra induktionshypotesen at dens
længde er Mt (y). Hvis den derimod indeholder x, må den bestå af en vej
fra p til x af kortest mulig længde og udelukkede indeholdende punkter
i S\{x} efterfulgt af kanten fra x til y. I dette tilfælde ville længden af
vejen være Mt (x) + w(x, y). Dette viser at (ii) er sand, da jo
Mt+1 (y) = min{Mt (y), Mt (x) + w(x, y)}.
Dermed er korrektheden af algoritmen bevist.
Opgave 37
Kør Dijkstras algoritme (enten hans egen formulering af denne i 1959-noten
eller den moderne fremstilling i boks 3.1) på grafen G i figur 3.7 med det
formål at bestemme de korteste veje fra punktet p til alle andre punkter i
G.
40
Opgave 38
Bestem korteste vej fra p til q i den vægtede graf G på figur 3.8 ved brug
af den moderne fremstilling af Dijkstras algoritme i boks 3.1.
3.5
Faktiske og praktiske anvendelser
Dijkstras algoritme til bestemmelse af mindste udspændende træ i en
sammenhængende graf kendes i dag gerne under navnet Prims algoritme,
idet den amerikanske matematiker Robert Clay Prim (1921-) beskrev
samme algoritme i 1957. Den første beskrivelse af algoritmen skyldes dog
den tjekkiske matematiker Vojtěch Jarník (1897-1970), som beskrev den
i 1930 som en kommentar til en tidligere – og anderledes – algoritme til
bestemmelse af mindste udspændende træ i en sammenhængende graf
beskrevet af en anden tjekkisk matematiker, Otakar Borůkvas (1899-1995),
i 1926. Borůkva betragtede problemet med at forbinde byer i Tjekkiet
via et elnet på en sådan måde at man minimerede mængden af kabel der
skulle bruges og samtidig forsynede samtlige byer med elektricitet. Dette
problem er selvfølgelig ikke væsensforskelligt fra det der motiverede Dijkstra
til at udtænke sin algoritme for et mindste udspændende træ, nemlig
ARMAC-ingeniørernes problem med at forbinde de elektriske kredsløb og
komponenter i ARMAC-computeren på en måde som gjorde brug af mindst
mulig dyr kobberledning. Havde Dijkstra kendt til Borůkvas og Jarníks
algoritmer kunne han selvfølgelig blot have henvist ingeniørerne til disse.
3.5
41
input: Sammenhængende vægtet graf G med n punkter.
output: Et mindste udspændende træ T af G.
T := en tom graf;
for i := 1 to n − 1;
begin
k := en kant i G med mindst vægt som ikke danner en
kreds når den tilføjes til T ;
T := T ∪ {k};
end.
Boks 3.2 Pseudo-kode for moderne formulering af Kruskals algoritme.
Imidlertid lader det til at de var gået i glemmebogen efter publikationerne
i hhv. 1926 og 1930, muligvis fordi de kun var publiceret på tjekkisk men
muligvis også fordi man på daværende tidspunkt havde svært ved at se de
generelle anvendelsesmuligheder af mindste udspændende træer.
Dette billede ændrede sig dog efter 2. verdenskrig, hvor computeren
blev langt mere fremherskende. Op igennem 1950erne blev der fundet
adskillige algoritmer til løsning af grafteoretiske problemstillinger, hvilket
også fremgår af Dijkstras 1959-artikel, hvor han, som vi har set, henviser til
en håndfuld andre algoritmer (eller metoder) publiceret af forskere i løbet
af 1950erne. En af disse er Joseph Bernard Kruskal (1928-), amerikansk
matematiker, som i 1956 publicerede en algoritme byggende på samme
ide som Borůkvas til bestemmelse af mindste udspændende træ i en graf.9
Denne algoritme adskiller sig fra Prims (Jarníks og Dijkstras) i selve måden,
hvorpå den opbygger det mindste udspændende træ. Hvor Prims algoritme
opbygger et mindste udspændende træ fra roden (begyndelsesknuden) og
hele tiden udvider dette, så følger Kruskals (og Borůkvas) algoritme en
anden strategi. Her finder man hele tiden den kant med mindst vægt og
bygger således undertræer parallelt for til sidst at sammensætte disse til
ét træ (dette kaldes også for en parallel skov-sammensætning). I moderne
pseudo-kode fremstilling ser Kruskals algoritme ud som i boks 3.2.10
Opgave 39
Kør Kruskals algoritme, som givet i boks 3.2, på den vægtede graf givet i
figur 3.2. Følg i din kørsel af Kruskals algoritme samme fremgangsmåde
som benyttet i eksemplet for den moderne pseudo-kode præsentation af
Dijkstras algoritme (se tidligere).
Korrektheden af Kruskals algoritme kan ligesom korrektheden af Dijkstras algoritme for korteste vej bevises ved brug af induktion (og ligeledes
kan korrektheden af Prims), men vi skal ikke bruge tid på dette her. Istedet skal vi dvæle lidt ved en af de syv andre egenskaber som algoritmer
generelt set bør opfylde (jf. listen på side 27), nemlig den omhandlende
effektivitet – som jo også er en af de ting som Dijkstra selv omtaler i sin
artikel i kommentarerne til de tidligere algoritmer (herunder Kruskals).
9
Kurskals algoritme anses gerne som en simplere version af Borůkvas algoritme, som
Kruskal givetvis var bekendt med. Borůkvas algoritme blev efter 1926 genopdaget flere
gange, bl.a. af M. Sollin, hvorfor den også kendes under navnet Sollins algoritme.
10 Fremstillingen af Kruskals algoritme i pseudo-kode bygger på den i Rosen (2003).
42
Når man taler om effektivitet taler man også om algoritmernes køretid
eller kompleksitet.
Definition 3.10
En algoritme, som for et problem af størrelse n, finder uddata i højst
c · f (n) operationer, hvor c er en konstant større end 0 og f er en funktion
af n, siges at have kompleksitet O(f (n)).
Notationen anvendt her ovenfor kendes også som store-O notation. Den
angiver en form for grov øvre grænse for algoritmens køretid, men udgør
et godt sammenligningsgrundlag for algoritmers effektivitet. Funktionen
f (n) kan være af forskellige art. Den kan for eksempel være konstant, dvs.
af formen n. Den kan være polynomial, dvs. nb , hvor b > 0 er en konstant.
Den kan være eksponentiel, dvs. af formen an , hvor a > 1 er en konstant.
Eller det kan være så slemt som n! (fakultet).
Opgave 40
Antag at en computer kan foretage 1000000 operationer i sekundet. Hvor
lang tid vil det tage den at gennemføre henholdsvis n, n2 , n5 , 2n , n!
operationer for n = 20, n = 40 og n = 80?
Opgave 41
• Tegn en skitse i 1. kvadrant af et koordinatsystem af funktionerne: 1
(konstant), n, n2 , 2n og n!. (Vink: For at se udviklingen tydeligst, lad
værdierne på førsteaksen gå fra 2 til 8 og værdierne på andenaksen
stige med potenser af 2, altså 1, 2, 4, 8, 16 osv.)
• Ofte er funktionerne log n og n · log n også relevante for beskrivelse
af algoritmers kompleksitet. Hvor i skitsen fra forrige spørgsmål skal
disse placeres?
Man regner gerne en algoritme for at være god eller effektiv, hvis dens
kompleksitet ikke er værre end at den kan beskrives ved en potensfunktion,
dvs. den er polynomial. Dijkstras algoritme til bestemmelse af korteste vej
mellem to punkter i en graf har netop polynomial kompleksitet.
Kig igen på boks 3.1. Kørslen af algoritmen bruger højst n−1 iterationer,
da et punkt tilføjes til mængden St for hver iteration. Hvis vi nu også kan
estimere antallet af operationer for hver enkelt iteration, så er vi færdige.
I en given iteration kan vi identificere punktet x ∈
/ St med det mindste
mærke ved at foretage højst n − 1 sammenligninger. Derefter bruger vi én
addition og én sammenligning for hvert punkt ikke-tilhørende St , altså 2
operationer. Det vil sige at vi højst bruger 2(n − 1) operation i hver enkelt
af de n − 1 iterationer, hvorfor vi i alt får
2(n − 1) · (n − 1) = 2(n − 1)2 .
(Initialiseringen bidrager kun med et antal som skal lægges til dette,
så denne bliver uinteressant i store-O øjemed.) Vi har således følgende
resultat.
Sætning 3.11
Dijkstras algoritme benytter O(n2 ) operationer (additioner og sammenligninger) til at finde længden af den korteste vej mellem to punkter i en
sammenhængende vægtet graf med n punkter.
3.5
43
Dijkstras algoritme til bestemmelse af mindste udspændende træ, som
beskrevet i hans 1959-note, har også kompleksitet O(n2 ) og ligeledes har
Prims beskrivelse af samme fra 1957.11 Dataloger lægger dog en del arbejde
i at forbedre algoritmers køretider. Dette gøres ved at implementere dem
anvendende smartere datastrukturer, altså de måder hvorpå elementer
gemmes og hentes igen fra skridt til skridt i algoritmen. For eksempel
sorterer visse datastrukturer elementerne på en bestemt vis, som kan
vise sig snedig idet den sænker algoritmens køretid. Ved brug af sådanne
strukturer kan kompleksiteten af Prims algoritme sænkes til O(m log n)
for en graf med n punkter og m kanter og kompleksiteten af Kruskals
algoritme kan kan vises at være O(m log m).12 Det betyder at hvis man
har en graf med få kanter (m) i forhold til antallet af punkter (n), så
vil det være smartest at benytte Kruskals algoritme til bestemmelse af
et mindste udspændende træ. Er der derimod ikke den store forskel på
antallet af punkter og kanter, så vil både Prims algoritme og Kruskals
algoritme være omtrent lige effektive.
En anden ting som Dijkstra også nævner i bemærkningerne i sin 1959note er dataforbrug, altså hvor meget harddiskplads der skal bruges til
for at gemme information undervejs i kørslen af algoritmen. Hvor dette
historisk set var af stor betydning i computerens tidligere år, så er det med
tiden blevet et omend ikke forsvindende problem så i hvert fald et problem
af mindre og mindre betydning. Følgende opgave burde give en ide om
vigtigheden af at økonomisere med sit pladsforbrug på ældre maskiner i
forhold til mere moderne computere.
Opgave 42
Forsøg ved hjælp af søgninger på internettet at finde nogle eksempler på
ældre computere, f.eks. fra 1960erne og 1970erne, og deres specifikationer
(harddiskstørrelse, processorkraft, osv.) og hold dette op imod specifikationerne for din egen laptop (eller sågar din graflommeregner, mp3-afspiller
eller mobiltelefon). (Husk at angive addresser på de internetsider, hvorfra
I får jeres oplysninger.)
Som allerede antydet flere gange så er Dijkstras algoritme til bestemmelse af korteste vej en uhyre udbredt algoritme som finder sin anvendelse
i adskillige applikationer den dag i dag. Når vi går på internettet og
benytter tjenester som f.eks. www.rejseplanen.dk, www.krak.dk eller
http://maps.google.com, så er det en eller anden afart af Dijkstras algoritme som ligger til grund for den rute vi får ud som svar på vores spørgsmål
om at finde vej fra punkt A til punkt B. Disse algoritmer baserer sig på
grafer, hvori vægtene typisk er tider eller længder. Hvis en given ruteplan
for enhver pris forsøger at føre én ad en motorvej, er det formentlig fordi
den baserer sig på en tidsvægtet graf frem for en længdevægtet. Der kan
selvfølgelig også være tale om diverse kombinationer, hvor der indgås en
form for kompromis mellem løsninger til grafer med forskellige vægte. Når
vi f.eks. benytter internettjenester til at finde billige flybilletter, så er vi jo
ikke fuldstændig uinteresserede i at minimere selve rejsetiden også. Endnu
et eksempel er når vi skal udregne befordringsfradrag på Skats hjemmeside
(www.skat.dk), hvilket også baserer sig på en implementering af Dijkstras
11
12
Jf. Schrijver (2003, s. 875-876).
Jf. Rosen (2003, s. 693).
44
algoritme. Faktisk fungerer dette på den måde, at to instanser af Dijkstras
algoritme kører samtidig; én begyndende fra udgangspunktet og en anden
begyndende fra destinationspunktet.13 Når ‘søgeskyerne’ (et andet navn
for mængden af mærkede punkter) for de to instanser af algoritmen møder
hinanden sættes de to fundne ruter sammen.
Ved at ‘fingere’ kantvægtene i en graf kan Dijkstras algoritme også
benyttes til at finde sikre ruter til og fra skole for børn i de små klasser
(hvilken vægt ville man f.eks. give en ‘farlig’ vej i dette tilfælde?). Andre
algoritmer igen kan finde de bedste ruter til avisbude, reklameomdelere,
osv. Og som tidligere nævnt finder algoritmerne til bestemmelse af mindste
udspændende træer, og træer generelt, også deres anvendelser i praksis.
Formålet med de to næste opgaver er at give jer en ide om dette.
Opgave 43
Foretag en søgning på internettet og prøv at finde praktiske applikationer
af mindste udspændende træer (på engelsk: ‘minimum spanning trees’
eller ‘MST’). Hvor bliver de rent faktisk brugt? Og hvis algoritme bliver
der refereret til i disse applikationer: Kruskal, Borůkva, Sollin, Jarník,
Prim, Dijkstra eller eventuelle andre? (Husk at angive addresser på de
internetsider, hvorfra I får jeres oplysninger.)
Opgave 44
Foretag en lignende søgning på internettet, denne gang blot efter applikation af træer helt generelt (ikke kun mindste udspændende træer). Hvilke
resultater giver denne søgning? Udvælg et par applikationer og beskriv
disse. (Husk at angive addresser på de internetsider, hvorfra I får jeres
oplysninger.)
13 Denne implementering er udviklet af firmaet Rapidis (www.rapidis.com) og ovenstående information er baseret på personlig samtale med en af partnerne i firmaet.
4
David Hilbert (1862-1943)
4.1
Biografi
David Hilbert (1862-1943)1 blev født og opvoksede i Königsberg – altså i
byen med de syv broer som var udgangspunktet for Eulers 1736-artikel og
dermed startskuddet for den moderne grafteori. Hilbert kom tidligt i gymnasiet og derefter på universitet i Königsberg, hvorfra fik sin doktorgrad
allerede i 1885. I denne periode blev Hilbert også venner med en anden
senere stor matematiker, som også var doktorant ved Königsberg universitet, nemlig Hermann Minkowski (1864-1909) – et venskab der skulle vise
sig særdeles frugtbart for de to unge mænds matematiske udvikling.
Fra 1886 til 1895 var Hilbert ansat ved universitetet i Königsberg,
først som docent frem til 1892 og siden som professor. I 1895 blev Hilbert
tilbudt et mere attraktiv professorat ved universitetet i Göttingen, hvor
han underviste og forskede frem til sin pension i 1930. For tyske professorer
var det imidlertid mest prestigefyldt at befinde sig ved universitetet i Berlin
og Hilberts eminente position i matematikkens verden efter år 1900 gav
sig da også udslag i at han blev tilbudt et professorat her i 1902. Hilbert
havde imidlertid ikke lyst til at tage til Berlin, men benyttede derimod
1 Denne biografi er baseret på Dictionary of Scientific Biography (1970-80), Katz
(1998) og Hansen (1997).
45
46
tilbudet til at forhandle med Göttingen og overtale dem til at oprette en
ny stilling til hans ven Minkowski. Minkowski bestred denne stilling indtil
sin alt for tidlige død i 1909. Personen Hilbert og det at han valgte at
drive sit virke i Göttingen var stærkt medvirkende til at Göttingen var det
førende universitet for matematik i Tyskland i denne periode – og måske
endda i verden i den første tredjedel af det 20. århundrede.
Hilbert indledte sit virke med at studere algebraiske former; senere arbejdede han med talteori, geometriens grundlag, integralligninger, teoretisk
fysik og endelig matematikkens grundlag.
Hilberts arbejde med geometri regnes for et af de væsentligste siden
Euklids Elementerne, specielt hans Grundlagen der Geometrie fra 1899,
der har haft stor indflydelse på den senere udvikling. Hilberts mål var at
udstyre geometrien med et simplet sæt af uafhængige aksiomer og derfra
udlede de vigtigste geometriske sætninger på en sådan vis, at betydningen
af de enkelte aksiomer stadig stod klart. Et systematisk studie af euklidisk
geometri førte Hilbert til at foreslå 21 aksiomer, hvorefter han analyserede
deres vigtighed. Men selv om Hilberts aksiomatisering var ganske god og
ikke besad de samme problemer som Euklids, er dette ikke hovedårsagen til
at hans 1899-værk regnes for unikt. Det er derimod det faktum, at Hilbert
heri fastslog at enhver matematisk disciplin må tage sit udgangspunkt i en
række udefinerede begreber og nogle aksiomer der beskriver relationerne
imellem dem. Hvor Euklid definerede et punkt som »det, der ikke kan
deles«, uden i øvrigt at forklare hvad han mente med ‘at dele’, betragter
Hilbert – rent abstrakt – tre forskellige systemer af objekter: et system af
objekter hen kalder punkter, et system af objekter han kalder linier, og et
system af objekter han kalder planer. Hilbert sagde selv, at man lige så
godt kunne have kaldt dem borde, stole og ølkrus – så abstrakt var hans
matematik. Til disse begreber knyttes da nogle aksiomer som knytter dem
til hinanden, f.eks. knyttede Hilbert én (og kun én) linie til to punkter.
Bogen udkom i adskillige nye og reviderede udgaver og var en væsentlig
faktor i promoveringen af den aksiomatiske tilgang, som op igennem det
20. århunderede er blevet et karakteristika ved faget matematik.
Hilberts succes med Grundlagen der Geometrie blev hans inspiration
til et meget ambitiøst program, senere kendt som Hilberts program: at
aksiomatisere al matematik. Dette blev begyndelsen på den såkaldte
formalistiske skole indenfor matematikken. Til trods for Hilberts egen
produktivitet var han klar over at han ikke ville kunne udføre et sådant
arbejde alene. Han benyttede derfor chancen for at ‘reklamere’ lidt for
sin sag i sit foredrag ved den internationale matematikkongres i Paris i
år 1900 – et foredrag som vi skal høre nærmere om og læse et uddrag af
senere i dette kapitel.
Udover at være en førende forskningsmatematiker var Hilberts viden
om matematik generelt også ualmindelig omfattende. Hilberts første studerende, matematikeren Ludwig Otto Blumenthal (1876-1944) opsummerede
Hilberts matematiske evner således:
I analysen af matematisk talent må man differentiere mellem evnen til
at skabe nye begreber der genererer nye typer af tankestrukturer og
gaven til at fornemme dybere forbindelser og underliggende enheder. I
Hilberts tilfælde lå hans storhed i en utrolig kraftfuld insigt som trængte
ned i dybderne af et spørgsmål. Alle hans arbejder indeholder eksempler
fra fjerne områder i hvilke kun han kunne se en indbyrdes forbindelse
4.2
Optakt til Hilberts foredrag
47
og sammenhæng med det givne problem. Fra disse sammenstillinger
blev hans kunstværk i sidste ende skabt. Hvad angår det at få nye ideer
vil jeg placere Minkowski højere, og af de klassisk store; Gauss, Galois
og Riemann. Men når det kommer til dybdegående indsigt er der kun
få af de allerstørste der har kunnet måle sig med Hilbert. [2 ]
Iblandt Hilberts andre studerende var også matematikerne Hermann
Weyl (1885-1955) og Ernst Zermelo (1871-1953) samt den berømte skakspiller (og matematiker) Emanuel Lasker (1868-1941), som blev verdensmester i skak i 1894 og beholdt sin titel helt frem til 1921. Men det var
ikke kun matematikere som Hilbert formåede at inspirere. En af de mere
prominente videnskabsmænd som Hilbert influerede var fysikeren Albert
Einstein:
I de tidlige år af sin videnskabelige karriere betragtede Albert Einstein
matematik som værende udelukkende et redskab til at betjene fysisk
intuition. I sine senere år begyndte han dog at regne matematikken for
den egentlige kilde til al videnskabelig kreativitet. Hovedmotivet bag
denne ændring var indflydelsen fra to prominente tyske matematikere:
David Hilbert og Hermann Minkowski. [3 ]
Hilbert døde den 14. februar 1943 i Göttingen. På hans grav står: »Wir
müssen wissen. Wir werden wissen«.
4.2
Optakt til Hilberts foredrag
Den af Hilberts artikler som vi skal kigge nærmere på i dette kapitel er,
som tidligere nævnt, den der er baseret på hans foredrag den 8. august 1900
ved den internationale matematikkongres i Paris. I dette foredrag, med
titlen Mathematische Probleme præsenterede Hilbert en liste bestående af
23 problemer, som han mente ville få en central betydning for udviklingen
af matematikken i det 20. århundrede.
Man siger, at det meste af den matematik, der har set dagens lys i det
20. århundrede på en eller anden vis har været relateret til et af Hilberts
23 problemer. I dag er flere af problemerne enten helt eller delvist løst,
mens en håndfuld stadig står åbne.
Det at holde et foredrag ved den internationale matematikkongress er
i sig selv en hædersbevisning og formentlig givet den årsag havde Hilbert
også svært ved at bestemme sig for, hvad emnet for hans foredrag helt
præcist skulle være – omend elementer af hans matematiske program
om aksiomatisering af matematikken skulle være indeholdt deri. Faktisk
var han så længe om at bestemme sig, at hans fordrag måtte flyttes fra
åbningscermonien til et senere og mindre prestigefyldt tidspunkt midt i
kongressen. Som tidligere beskrevet var Hilbert og Minkowski tætte venner,
men hvad der imidlertid er mindre kendt er at det var Minkowski der
foreslog Hilbert, hvad han burde tale om i Paris. I et brev dateret 5. januar
1900 skriver Minkowski til Hilbert:
Hvad der ville have den største indvirkning ville være et forsøg på at give
en forpremiere på fremtiden, altså at skitsere de problemer som fremtidens
2
3
Oversat fra: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hilbert.html
Oversat fra Corry (1998).
48
matematikere vil beskæftige sig med. På denne måde kan du måske endda
sikre, at folk vil tale om dit foredrag årtier ud i fremtiden. [4 ]
Tiden har i sandhed vist, at Minkowski havde ret. Som eksempel stod
der i en omtale om Hilbert og hans problemer i det danske fagblad for
aktuar, matematik, -økonomi og statistik i 1997:
Der er ingen tvivl om, at Hilbert med sine 23 problemer markerede
indgangen til det 20. århundrede. Problemerne danner ofte grundlag
for matematisk sladder, og af og til går der rygter blandt matematikere,
om at ‘den-og-den har løst en del af Hilberts n’te problem’. Selvom det
af og til bare er rygter, er der i hvert fald ingen tvivl om, at David
Hilbert har foranlediget en enorm mængde matematisk arbejde. [5 ]
Den del af Hilberts foredrag som vi imidlertid skal beskæftige os med
omhandler ikke selve de 23 problemer, men derimod de mere matematikfilosofiske betragtninger om matematiske problemer og matematikkens
natur generelt, som Hilbert indledningsvist gør sig i sit foredrag.6
4.3
Hilberts 1900-foredrag
De enkelte afsnit i Hilberts foredrag er her nedenfor blevet nummereret.
Denne nummerering findes ikke i den originale fremstilling, men er tilføjet
her for overskuelighedens skyld. Da målgruppen for Hilberts foredrag
var andre matematikere, så nævner han i flæng en hel del matematiske
begreber og teorier og henviser løbende til adskillige konkrete matematiske
problemer i sit foredrag. Det forventes ikke at I som gymnasieelever er, eller
skal gøre jer, bekendt med disse, da mange af dem henviser til matematik
på et niveau der givet ligger langt ud over gymnasiets. I de fleste af
tilfældene vil der være indføjet delvist forklarende fodnoter, men det skal
igen understreges at det vigtige ikke er at forstå de avancerede matematiske
detaljer bag Hilberts eksempler, men derimod de generelle betragtninger
som Hilbert gør sig omkring matematikken som disciplin og naturen af
matematiske problemer. Hilbert begynder sit foredrag således:
[01.] Hvem af os ville ikke gerne kunne løfte sløret som fremtiden ligger
gemt bag, for at kunne kaste et blik på de næste fremskridt indenfor
vores videnskab og på hemmelighederne om dens udvikling i de kommende
århundreder? Hvilke særlige mål vil der være som ledende matematiske
sjæle af kommende generationer vil stræbe imod? Hvilke nye metoder og
hvilke nye kendsgerninger i den omfattende og rige verden af matematiske
tanker vil de nye århundreder åbenbare?
[02.] Historien lærer os kontinuiteten i videnskabens udvikling. Vi ved
at hver periode har sine egne problemer, som den næste periode enten
løser eller forkaster som værende ufrugtbare og erstatter med nye. Hvis
vi skulle kunne få en ide om den mulige udvikling af matematisk viden
i den nærmeste fremtid, må vi lade de uafklarede spørgsmål passere for
4 Oversat
fra: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Minkowski.
html
5 Hansen (1997).
6 De udvalgte dele af Hilberts foredrag er oversat til dansk fra tysk Hilbert (1900) og
engelsk Hilbert (1902) af forfatteren til dette undervisningsmateriale og med hjælp fra
Hans Jørgen Munkholm.
4.3
49
vores øjne og kaste et blik på de problemer, som videnskaben af i dag
byder på og hvis løsning vi forventer os af fremtiden. Dagen i dag, her
ved mødet mellem to århundreder, forekommer mig særdeles egnet til en
sådan gennemgang af problemer. For enden på en stor epoke inviterer os
ikke kun til at kaste blikket på fortiden, men også til at rette vores tanker
mod den ukendte fremtid.
[03.] Den store betydning som bestemte problemer generelt set har for
viderebringelsen af matematisk videnskab og den vigtige rolle de spiller for
den individuelle forsker kan ikke benægtes. Så længe et videnskabeligt felt
tilbyder et væld af problemer, så længe er det levedygtigt, mens mangel på
problemer varsler udslettelse eller ophør af uafhængig udvikling. På samme
vis som ethvert menneskeligt forehavende forfølger visse objekter, kræver
matematisk forskning sine problemer. Det er ved løsningen af problemer
at forskeren måler hærdningen af sit stål; han finder nye metoder og nye
udsyn, og opnår en bredere og friere horisont.
[04.] Det er vanskeligt og ofte umuligt at dømme værdien af et problem
på forhånd, for den endelige pris afhænger af den smule som videnskaben
opnår fra problemet. Ikke desto mindre kan vi spørge, om der er nogle
generelle kriterier som markerer et godt matematisk problem.
[05.] En gammel fransk matematiker sagde: ‘En matematisk teori bør ikke
betragtes som fuldstændig førend den kan gøres så tydelig, at man kan
forklare den til den første og bedste mand, man møder på gaden.’ Den
klarhed og tilgængelighed der her insisteres på for en matematisk teori
skulle jeg i højere grad forlange af et matematisk problem, førend det kan
regnes for perfekt; for det der er klart og let at begribe tiltrækker, mens
det komplicerede frastøder.
[06.] Ydermere bør et matematisk problem være vanskeligt for at kunne
friste os, dog ikke fuldstændig utilgængeligt for ikke at håne vores anstrengelser. Det bør være som en vejviser for os på de mange stier til skjult
sandhed, og i sidste ende en påmindelse om vores glæde ved den succesfulde løsning.
[07.] De tidligere århundredes matematikere var vant til at dedikere dem
selv med passionet ildhu til løsningen af et bestemt og svært tilgængeligt
problem. De kendte til værdien af et vanskeligt problem. Jeg minder jer
kun om ‘problemet med den hurtigste faldkurve’ [7 ], fremsat af Johann
Bernoulli. Erfaring viser, forklarer Bernoulli i offentliggørelsen af dette
problem, at ophøjede sind stræber efter fremskridt i videnskaben ved intet
mindre end at betragte vanskelige og på samme tid nyttige problemer,
og at han derfor håber at kunne gøre sig fortjent til taksigelser fra den
matematiske verden ved at følge mænd som Mersenne, Pascal, Fermat,
7 Dette problem er også kendt som det brachistochrone problem, (af græsk brachistos
‘kortest’ og chronos ‘tid’): at bestemme den kurve, ad hvilken en partikel under indvirkning af tyngdekraften vil glide hurtigst fra et givet punkt A til et givet punkt B. I
slutningen af 1600-tallet fandt Johann og Jakob Bernoulli, Isaac Newton og G. W. von
Leibniz uafhængigt af hinanden, at kurven er en såkaldt cykloide.
50
Viviani og andres eksempel ved at forelægge sin tids fremtrædende analytikere et problem mod hvilket de, som en prøvesten, kan teste værdien
af deres metoder og måle deres styrke. Oprindelsen af variationsregningen
[8 ] skyldes dette problem fra Bernoulli og lignende problemer.
[08.] Fermat havde formodet, hvilket er velkendt, at den Diophantiske [9 ]
ligning
xn + y n = z n ,
for alle heltal x, y og z, er uløselig – på nær i visse selvindlysende tilfælde.
Forsøgene på at bevise denne umulighed tilbyder et slående eksempel på
den inspirerende effekt, som et sådant yderst specielt og tilsyneladende
uvæsenligt problem kan have for videnskaben. For ansporet af Fermats
problem blev Kummer ledt til introduktionen af idealiserede tal [10 ] og
loven om den entydige faktorisering af et cirkulært legemes tal i idealiserede primfaktorer [11 ] – en lov der den dag i dag, grundet Dedekinds og
Kronecker s generalisering af den til vilkårlige algebraiske legemer [12 ], står
i centrum for den moderne talteori og hvis betydning rækker langt udover
talteoriens grænser og ind i algebraens og funktionsteoriens domæner.
[09.] For at nævne et ganske anderledes forskningsområde minder jeg jer
om tre-legeme problemet [13 ]. De frugtbare metoder og de vidtrækkende
principper som Poincaré har introduceret i himmellegemernes fysik og som
i dag er anerkendt og anvendt i praktisk astronomi bør vi takke det faktum,
at han påtog sig at behandle det vanskelige problem på ny og at komme
en løsning nærmere.
[10.] De to sidstnævnte problemer – Fermats og tre-legeme problemet –
kan forekomme os som værende nærmest modsatte poler: det førstnævnte
en fri opfindelse af ren og skær ræsonneren, tilhørende den abstrakte
talteoris område; det sidstnævnte påtvunget os af astronomien og nødvendig for en forståelse af de simpleste fundamentale fænomener i naturen.
[11.] Men det sker også ofte, at det samme specielle problem finder sin
anvendelse i de mest forskellige områder af matematisk viden. For eksempel
8 Variationsregningen er en gren af matematikken, som omhandler metoder til bestemmelse af minima eller maksima for funktioner defineret på givne klasser af kurver, flader
eller andre geometriske objekter.
9 Diophantus af Alexandria (ca. 200-284), også nogle gange kaldet ‘faderen af algebra’,
var græsk matematiker og forfatter af en række matematikbøger kaldet Arithmetica.
Disse bøger, hvoraf flere er gået tabt, omhandlede løsning af algebraiske ligninger. I
sit studie af Arithmetica fandt den franske matematiker Pierre de Fermat (1601-1665)
at en bestemt ligning ingen løsninger havde (på nær i visse trivielle tilfælde). Fermat
påstod at han havde et bevis for dette, men nedskrev det ikke. Udsagnet blev kendt som
‘Fermats sidste sætning’ og blev ikke bevist førend i 1995 af den engelske matematiker
Andrew Wiles. Diophantiske ligninger regnes som regel som algebraiske ligninger med
heltalskoefficienter, hvor man søger heltalsløsninger.
10 Se fodnote 34, side 55.
11 Se fodnote 34, side 55.
12 I den abstrakte algebra dækker begrebet legeme over en algebraisk struktur med
operationer tilsvarende addition, subtraktion, multiplikation og division, opfyldende
bestemte aksiomer. De oftest benyttede legemer er legemerne af hhv. rationale, reelle
og komplekse tal, men der findes også endelige legemer, legemer af funktioner osv.
13 Tre-legeme problemet går ud på at bestemme bevægelserne af tre himmellegemer
bevægende sig udelukkende under indflydelse af hinandens gensidige gravitation.
4.3
51
spiller problemet om den korteste kurve en væsentlig og historisk vigtig
rolle i grundlaget for geometrien, i teorien for krumme kurver og flader, i
mekanikken og variationsregningen. Og hvor overbevisende har F. Klein
ikke, i hans bog om ikosaederet [14 ], skildret hvor vigtigt problemet om
regulære polyedre er blevet i den elementære geometri, i gruppe- og ligningsteori og i teorien om lineære differentialligninger.
[12.] For at kaste lidt lys over betydningen af visse problemer, må jeg
også henvise til Weierstrass, der omtalte det som sit utrolige held at han
i begyndelsen af sin akademiske karriere stødte på et så vigtigt problem
som Jacobis inverteringsproblem [15 ], som han kunne arbejde på.
[13.] Efter at have ihukommet os den generelle vigtighed af problemer i
matematikken, lad os da vende os mod spørgsmålet om fra hvilke kilder
denne videnskab afleder sine problemer. Ganske sikkert udspringer de første
og ældste problemer i enhver del af matematikken af erfaring og skyldes
de eksterne fænomeners verden. Selv regnereglerne for heltal må være
opdaget på denne måde på et lavere stadie af den menneskelige civilisation
på samme vis som nutidens barn lærer at benytte disse regler ved brug af
empiriske metoder. Det samme er sandt for geometriens første problemer,
problemerne testamenteret til os af antikken, som for eksempel terningens
fordobling [16 ], cirklens kvadratur [17 ] og de ældste problemer i teorien
for numerisk ligningsløsning [18 ], i teorien for kurver og differential- og
integralregningen, i variationsregningen, teorien om Fourier -rækker [19 ]
og potentialteorien [20 ] – for ikke at nævne den overflod af problemer der
retmæssigt tilhører mekanikken, astronomien og fysikken.
[14.] Men i den senere udvikling af et matematisk område bliver den menneskelige forstand, opmuntret af løsningernes succes, bevidst om områdets
uafhængighed. Det udvikles på baggrund af sig selv, ofte uden betragtelig
14 Ikosaederet (af græsk eikosi ‘tyve’ og hedra ‘flade’) er en lukket geometrisk figur
sammensat af 20 lige store og ligesidede trekanter. Ikosaederet er et af de fem regulære
polyedre, geometriske legemer i rummet som er sammensat af polygonale flader. De
andre er: tetraeder, heksaeder, oktaeder og dodekaeder, der hver især har hhv. 4, 6, 8
og 12 flader.
15 Et komplekst matematisk problem stillet af den preussiske matematiker Carl Gustav
Jacob Jacobi (1804-1851).
16 Problemet om terningens fordobling er et klassisk geometrisk problem, der går
ud på at konstruere en terning, som har et dobbelt så stort rumfang som en given
forelagt terning. I 1837 beviste franskmanden Pierre Wantzel (1814-1848), at problemet
er uløseligt med passer og lineal alene, hvor ‘passer og lineal’ refererer til et sæt af
bestemte tilladte operationer med passer og lineal. Se Lützen (1993).
17 Et andet klassisk geometrisk problem. Dette går ud på at konstruere et kvadrat med
samme areal som en given forelagt cirkel. Også dette problem er uløseligt med passer og
lineal, et resultat fra 1882 som tilskrives Ferdinand Lindemann (1852-1939). Se Lützen
(1993).
18 Der henvises til løsningen af ligninger numerisk i modsætning til algebraisk. For
eksempel vil en lommeregner typisk løse en ligning numerisk.
19 Fourierrækker er en bestemt type af uendelige rækker som blev udtænkt af den
franske matematiker Joseph Fourier (1768-1830). Fourierrækker bruges til at beskrive
periodiske funktioner til videre analyse.
20 Potentialteorien er en matematisk teori som er motiveret af Newtons gravitationslov
om massetiltrækning, men som også kan anvendes på elektriske og magnetiske kræfter.
Teorien udviklede sig op igennem 1900-tallet, bl.a. i takt med udviklingen af integralteori
og funktionsanalyse.
52
indflydelse udefra, ved logiske forbindelser, generalisering, specialisering,
ved at adskille og sammenholde ideer på fordelagtige måder, nye og frugtbare problemer, og fremstår så selv som den egentlige spørger. Således
opstod problemet om primtal og andre af talteoriens problemer, Galois’
teori om ligninger [21 ], teorien for algebraiske invarianter [22 ], teorien
om abelske og automorfe funktioner [23 ]; faktisk opstår alle de pænere
spørgsmål i moderne tal- og funktionsteori på denne vis.
[15.] I mellemtiden, mens den rene tænknings skabende kraft arbejder,
kommer den ydre verden igen i spil, påtvinger os nye spørgsmål fra praktisk
erfaring, åbner nye områder af matematikken, og mens vi forsøger at erobre
disse nye vidensområder for den rene tankevirksomheds kongerige, finder
vi ofte svar på gamle uløste problemer og avancerer således succesfuldt
på samme tid de gamle teorier. Og det forekommer mig, at de talrige og
overraskende analogier og den tilsyneladende i forvejen aftalte harmoni
som matematikken så ofte fornemmer i spørgsmålene, har deres oprindelse
i dette evigt tilbagevendende samspil mellem tanke og erfaring.
[16.] Det står stadig tilbage kort at diskutere hvilke generelle krav der
med rette kan opstilles for løsningen af et matematisk problem. Først skal
jeg dog sige følgende: at det skal være muligt at fastslå korrektheden af
løsningen i et endeligt antal skridt baseret på et endeligt antal hypoteser
der ligger i formuleringen af problemet og som altid skal formuleres præcist.
Denne betingelse for logisk deduktion ved et endeligt antal skridt er ganke
enkelt kravet om stringens i argumentationen. Kravet om stringens, som
er blevet ordsprogsagtigt i matematikken, svarer i sandhed til en universal
filosofisk nødvendighed for vor forstand; og på den anden side er det kun
ved at opfylde dette krav, at problemets tankemæssige indhold og dets
frugtbarhed kommer til fuld gyldighed. Et nyt problem, i særdeleshed når
det kommer fra verdenen af ydre erfaringer, er som en ung kvist der kun
trives og bærer frugt, hvis den podes omhyggeligt i overenstemmelser med
strenge regler om havebrug på den gamle stamme, de etablerede bedrifter
af vores matematiske videnskab.
[17.] Desuden er det en fejl at tro at stringens i et bevis er simplicitetens
fjende. Tværtimod bekræftes det af utallige eksempler at en stringent
21 Ligesom andengradsligningen har en generel løsningsformel, hvor rødderne er udtrykt
ved ligningens koefficienter, har ligninger af grad 3 og 4 det også. Den generelle løsningsformel for andengradsligningen har været kendt i årtusinder, f.eks. med babylonerne, og
løsningsformlerne for tredje- og fjerdegradsligningerne har været kendt siden Cardanos
Ars Magna fra 1545. Da alle ligninger af grad 2, 3 og 4 kan løses generelt var man i
århundreder overbevist om at den generelle femtegradsligning også kunne det. Ikke
førend i 1827 blev det endeligt bevist at der ikke findes en generel løsningformel for
femtegradsligningen (se fodnote 36 side 56). Den unge franske matematiker Évariste
Galois (1811-1832) generaliserede dette resultat ved at indføre hvad der i dag kendes
som en Galoisgruppe, en matematisk konstruktion som gør det muligt at aflæse hvorvidt
en given n’tegradsligning kan løses ved udtryk i koefficienterne eller ej (se fodnote 37
side 56).
22 Invariantteori er en underafdeling af abstrakt algebra. Oprindeligt udsprang denne
teori af spørgsmålet om eksplicitte beskrivelser af polynomiale funktioner der ikke
ændrer sig – altså er invariante – under visse givne transformationer.
23 To slags specielle matematiske funktioner besiddende bestemte egenskaber. Begrebet
‘abelsk’ skyldes den norske matematiker Abel (se fodnote 36, side 56).
4.3
53
metode på samme tid er simplere og lettere at forstå. Selve umagen med
at opnå stringens tvinger os til at udtænke simplere bevismetoder. Jævnligt
fører det også til metoder med større udviklingspotentiale end de gamle og
mindre stringente metoder. Således oplevede teorien om algebraiske kurver
[24 ] en væsentlig simplificering og opnåede større indre sammenhæng ved
hjælp af de mere stringente funktionsteoretiske metoder og den konsistente
introduktion af trancendente hjælpemidler. Beviset for, at potensrækker
[25 ] tillader anvendelse af de fire elementære regningsarter såvel som ledvis
differentiation og integration, og den deraf følgende erkendelse af potensrækkernes betydning, bidrog i væsentlig grad til simplificeringen af al
analyse, i særdeleshed for eliminationsteori [26 ] og teorien om differentialligninger og ligeledes eksistensbeviserne påkrævet i disse teorier. Men
det mest slående eksempel for min påstand er variationsregningen. Behandlingen af første og anden variationer af bestemte integraler krævede
delvist ekstremt komplicerede udregninger og de metoder som de gamle
matematikere anvendte havde ikke den fornødne stringens. Weierstrass
viste os vejen til et nyt og sikkert grundlag for variationsregningen. [...]
[18.] Mens jeg vil insistere på strenghed i beviser som et krav for en perfekt
løsning til et matematisk problem, vil jeg på den anden side modsætte mig
den holdning at kun analysens begreber, eller udelukkende dem fra aritmetikken, er modtagelige for en fuldstændig stringent behandling. Denne
holdning, undertiden advokeret for af fremtrædende mænd, betragter jeg
som fejlagtig. En sådan én-sidet fortolkning af kravet om stringens ville
snart føre til en ignorering af alle begreber opstået på baggrund af geometrien, mekanikken og fysikken, til en standsning af tilførelsen af nyt
materiale fra en udenforliggende verden og endelig, i sandhed som den
sidste konsekvens, til forkastningen af ideerne om kontinuet [27 ] og de
irrationale tal [28 ]. Hvilken vigtig nerve, vital for matematisk videnskab,
ville ikke blive skåret væk ved fjernelsen af geometri og matematisk fysik?
På den anden side tror jeg, set fra et erkendelsesteoretisk synspunkt, at
hvor end i geometrien eller i teorien om naturvidenskab, matematiske ideer
opstår, vil problemet for matematisk videnskab med at undersøge de for
disse ideer underliggende principper melde sig og da også etableringen af
dem på baggrund af et simpelt og komplet system af aksiomer, således at
disse nye ideers præcisionsgrad og anvendelighed til deduktion på ingen
måde skal være de gamle aritmetiske koncepter underlegne.
24 Man kan skelne imellem algebraiske kurver og trancendente kurver (eller funktioner).
De algebraiske er de der i grund og bund er polynomier i en variabel x og dannes ved
et endeligt antal aritmetiske operationer bestående af de fire regningsarter og rodtegn.
De trancendente kan ikke dannes på denne vis, da de vil kræve et uendeligt antal
operationer. Eksempler på trancendente funktioner er sin x, cos
x og ex .
P∞
25 Potensrækker i matematik er uendelige rækker af formen
c xn = c0 + c1 x +
n=0 n
c2 x2 + . . ., hvor koefficienterne c og den variable x kan være vilkårlige reelle eller
komplekse tal.
26 Eliminationsteori er det klassiske navn for algoritmiske tilgange til elimination
mellem polynomier af flere variable. For lineære ligninger håndteres dette i dag oftest
ved brug af såkaldt Gauss-elimination.
27 Ordet kontinuet refererer her til den reelle talakse.
28 Hvor rationale tal er tal der kan skrives på brøkform, altså a/b hvor a og b er heltal
og b =
6 0, er irrationale tal tal der ikke kan skrives på sådan brøkform. Et irrationalt
tal kan
√hverken omskrives til et endeligt eller et periodisk decimaltal. Eksempelvis er
tallet 2 et irrationalt tal.
54
[19.] Til nye begreber hører nødvendigvis også nye tegn. Disse vælger vi
på en sådan måde, at de minder os om de fænomener der var årsagen
til dannelsen af de nye begreber. Så de geometriske figurer er tegn eller
mnemotekniske symboler af rum-intuition og bruges af alle matematikere
som sådan. Hvem anvender ikke altid i følgeskab med den dobbelte ulighed
a > b > c billedet af tre på hinanden følgende punkter på en ret linie
som det geometriske billede af ideen ‘imellem’? Hvem benytter ikke tegninger af liniestykker, eller rektangler, der ligger inden i hinanden, når
det er påkrævet for med perfekt stringens at vise en vanskelig sætning
om kontinuitet af funktioner eller eksistensen af fortætningspunkter [29 ]?
Hvem kunne klare sig uden at tegne en trekant, cirklen med dens centrum
eller krydset med tre vinkelrette akser? Eller hvem ville give afkald på at
forestille sig et vektorfelt [30 ] eller billedet af en kurve- eller fladeskare
med dens indhyllingskurver eller -flader [31 ], forestillinger der spiller en så
vigtig rolle i differentialgeometrien [32 ], i differentialligningernes teori, i
variationsregningens grundlag og i andre rent matematiske vidensområder?
[20.] De aritmetiske symboler er skrevne diagrammer og de geometriske
figurer er grafiske formler, og ingen matematiker kunne undvære disse
grafiske formler hverken mere eller mindre end han i beregninger kunne undvære indførelse og fjernelse af parenteser eller brug af andre analytiske tegn.
[21.] Brugen af geometriske tegn som et middel til stringent bevisførelse
forudsætter eksakt viden og fuldendt beherskelse af de aksiomer der ligger
til grund for figurerne; og for at disse geometriske figurer kan inkorporeres i
den generelle skatkiste af matematiske tegn må der nødvendigvis foretages
en streng aksiomatisk udforskning af deres begrebsmæssige indhold. Ligesom når to tal lægges sammen og man må placere cifrene under hinanden
i den rette rækkefølge, således at kun regnereglerne, dvs. aksiomerne for
aritmetik, bestemmer den korrekte brug af cifrene, således er også brugen
af geometriske tegn bestemt af aksiomerne for geometriske begreber og
deres sammensætninger.
[22.] Overenstemmelserne mellem geometrisk og aritmetisk tankegang viser sig også ved at vi ikke sædvanligvis følger argumentationskæden tilbage
til aksiomerne i aritmetiske ej heller geometriske diskussioner. Tværtimod
anvender vi, specielt første gang vi angriber et problem, en hurtig, ubevidst, ikke fuldstændig sikker kombination der sætter sin lid til en bestemt
29 For en (uendelig) mængde af punkter M i et såkaldt topologisk rum er et fortætningspunkt defineret som et punkt hvorom det gælder at alle dets naboområder indeholder utællelig mange punkter af mængden M .
30 Et vektorfelt er en konstruktion som associerer en vektor (et matematisk objekt med
en retning, som kan skaleres og adderes med andre vektorer) til ethvert punkt i en
delmængde af det euklidiske rum. Vektorfelter anvendes ofte i fysik til at modellere
fænomener, f.eks. hastigheden og retningen af en væske der bevæger sig.
31 En indhyllingskurve er en kurve f knyttet til et system af kurver, hvor f rører hver
enkelt systemkurve i isolerede punkter og har tangent fælles med systemkurven i disse.
Når systemkurverne er rette linjer er de således tangenter til f . Noget tilsvarende gælder
for indhyllingsflader i rummet.
32 Område af matematikken omhandlende undersøgelser af kurver, flader og andre
geometriske former.
4.3
55
aritmetisk fornemmelse for de aritmetiske symbolers opførsel, som vi lige
lidt kunne undvære i aritmetik som den geometriske forestillingsevne i
geometrien. Som et eksempel på en geometrisk teori der opererer stringent
med geometriske ideer og symboler nævner jeg Minkowskis værk (Leipzig
1896, ‘Die Geometrie der Zahlen’).
[23.] Nogle bemærkninger angående de vanskeligheder som matematiske
problemer kan byde på, og midlerne til at overvinde dem, er her på sin plads.
[24.] Hvis vi ikke har succes med at løse et matematisk problem er årsagen
ofte den at vi har fejlet i erkendelsen af det mere generelle synspunkt fra
hvilket vores problem kun er et enkelt led i en kæde af relaterede problemer.
Efter at have fundet og taget dette synspunkt er problemet tit ikke kun
mere tilgængeligt for vores undersøgelser, men vi kommer samtidig til
at besidde en metode som også er anvendelig på relaterede problemer.
Introduktionen af Cauchy s integration langs kurver i den komplekse plan
[33 ] og Kummer s definition af begrebet ‘ideal’ [34 ] i talteorien kan tjene
som eksempler. Denne måde at finde generelle metoder på er i sandhed
den mest anvendelige og sikre; for den som søger efter metoder uden at
have et bestemt problem i tankerne søger mestendels forgæves.
[25.] Når man beskæftiger sig med matematiske problemer er jeg overbevist om at specialisering spiller en stadig vigtigere rolle end generalisering.
I de fleste tilfælde hvor vi forgæves søger svaret til et spørgsmål, er årsagen
til at det mislykkedes måske den, at simplere og nemmere problemer end
det givne enten overhovedet ikke eller kun delvist er løst. Da afhænger alt
af at finde disse nemmere problemer og løse dem ved brug af så perfekte
hjælpemidler som muligt og af begreber der kan generaliseres. Denne regel
er en af de vigtigste løftestænger for at overvinde matematiske problemer
og det forekommer mig at den næsten altid anvendes omend måske ubevidst.
[26.] Undertiden sker det at vi søger efter løsningen under utilstrækkelige
hypoteser eller på en forkert vis og at det derfor ikke lykkes. Da opstår
problemet: at vise umuligheden af en løsning under de givne hypoteser eller
på den tilsigtede vis. Sådanne umulighedsbeviser blev smukt gennemført i
antikken, for eksempel når de viste at forholdet mellem hypotenusen og
siden i en ligebenet retvinklet trekant er irrationalt. I den nyere matematik
spiller spørgsmålet om umuligheden af visse løsninger en fremtrædende
rolle og vi forstår på denne måde at gamle og vanskelige problemer, så som
parallelaksiomets bevis [35 ], cirklens kvadratur eller den algebraiske løsning
33 Den komplekse plan består af den reelle akse (1. aksen) og den imaginære akse (2.
√
aksen). Komplekse tal a + ib, hvor a er realdelen og b imaginærdelen (og i = −1),
afsættes i punktet (a, b) i den komplekse plan.
34 I matematisk ringteori, en del af abstrakt algebra, dækker begrebet et ideal over en
special delmængde af en ring, som er en algebraisk struktur med bestemte egenskaber.
Idealkonceptet generaliserer vigtige egenskaber ved heltal og man kan ligesom man
taler om primtal også tale om og betragte primidealer.
35 Parallelaksiomet i den klassiske euklidiske geometri siger at ensliggende vinkler ved
parallelle linier er lige store. Historisk set har det været meget omdiskuteret om man
kunne undvære dette aksiom i opbygningen af geometrien. Den ungarske matematiker
56
af femtegradsligningen [36 ] ved radikaler [37 ] endelig har fundet fuldt ud
tilfredsstillende og strenge løsninger, selvom det er på en anderledes måde
end oprindelig tiltænkt. Det er formentlig dette vigtige faktum, sammen
med andre filosofiske begrundelser, som er årsag til overbevisningen (som
enhver matematiker deler, men som ingen endnu har givet et bevis for)
om at ethvert nøje afgrænset matematisk problem nødvendigvis må kunne
afgøres, enten i form af et faktisk svar på det stillede spørgsmål eller ved at
bevise umuligheden af dets løsning og derved den nødvendige fejlslagning
af alle forsøg. Tag et vilkårligt nøje afgrænset uløst problem, som for
eksempel spørgsmålet om irrationaliteten af Euler -Mascheroni konstanten
C [38 ], eller eksistensen af et uendeligt antal primtal af formen 2n + 1
[39 ]. Hvor utilnærmelige disse problemer end må forekomme os og hvor
ubehjælpsomme vi end står overfor dem, har vi, ikke desto mindre, en
sikker overbevisning om at deres løsning må følge af et endeligt antal rent
logiske skridt.
[27.] Er dette aksiom angående løsningen af ethvert problem en særegenhed
ved matematisk tænkning alene eller er det muligvis en generel lov iboende
vores tankes væsen, at alle spørgsmål den stiller må kunne besvares? For i
andre videnskaber støder man også på gamle problemer, som er blevet løst
på mest tilfredstillende vis og hvis umulighedsbeviser har vist sig særdeles
brugbare for videnskaben. Jeg erindrer problemet med evig bevægelse. Efter
forgæves at have søgt for konstruktionen af en evighedsmaskine, udforskede
man de relationer der må bestå imellem naturkræfterne, hvis sådan en
maskine skal være en umulighed (Se Helmholtz, ‘Ueber die Wechselwirkung
der Naturkräefte und die darauf bezüglichen neuesten Ermittelungen der
Physik’; foredrag holdt i Königsberg, 1854.) og dette omvendte spørgsmål
førte til opdagelsen af loven om energiens bevarelse, hvilket igen forklarede
umuligheden af evig bevægelse som oprindelig tilsigtet.
János Bolyai (1802-1860) udviklede i første halvdel af 1800-tallet en absolut geometri,
hvori dette aksiom ikke nødvendigvis gælder. Sammen med andre samtidige arbejder
markerer dette begyndelsen til den ikke-euklidiske geometri. Bolyais indsats blev dog
først anerkendt omkring 1870.
36 Som nævnt i fodnote 21 på side 52 findes der ikke generelle løsningsformler for
ligninger af grad større end eller lig 5. Det var dog ikke førend i slutningen af 1700tallet og begyndelsen af 1800-tallet at man begyndte at indse dette og forsøgte at vise
umuligheden af at finde en generel løsningsformel for femtegradsligningen. Dette skete
først med mere eller mindre ukomplette forsøg af den italienske matematiker Paolo
Ruffini (1765-1822) og så med det endelige bevis (publiceret i 1827) af den unge norske
matematiker Niels Henrik Abel (1802-1829).
37 Ordet radikaler dækker over udtryk, hvor koefficienterne i en n’tegradsligning er
sammensat ved brug af de fire basale regneoperationer (addition, subtraktion, multiplikation og division) samt uddragning af n’te rødder (rodtegn). For eksempel udtrykker
den generelle løsningsformel for andengradsligningen dennes rødder ved ligningens
koefficienter sammensat af de fire basale regneoperationer samt kvadratrødder (rodtegn
med n = 2).
38 En matematisk konstant (i modsætning til en variabel) som ofte optræder i matematisk analyse og talteori og som blev defineret under navnet C af Euler i 1735. I dag
kendes den gerne under betegnelsen γ (gamma), som Lorenzo Mascheroni (1750-1800)
gav den i 1790.
39 Primtal af typen 2n − 1, hvor n er heltal, kendes under navnet Mersenne-primtal
efter den franske munk Marin Mersenne (1588-1648). Det er i matematikken stadig et
uløst problem, hvorvidt der findes et uendeligt antal Mersenne-primtal ligeså vel som et
uendeligt antal primtal af typen 2n + 1.
4.3
57
[28.] Denne overbevisning om løsbarheden af ethvert matematisk problem
er et kraftfuldt incitament for arbejdet. Fra inde i os selv hører vi det
evindelige kald: Dér er problemet. Søg dets løsning. Du kan finde den ved
tankens kraft alene, for i matematikken er der ingen ignorabimus.40
[29.] Forsyningen af problemer i matematikken er uudtømmelig og så
snart ét problem er løst myldrer utallige andre frem og tager dets plads.
Tillad mig i det følgende, omend kun forsøgsvist, at nævne visse bestemte
problemer, taget fra forskellige områder af matematikken, hvis behandling
kan føre til fremskridt i videnskaben. [...]
På dette tidspunkt i sit foredrag nævner og diskuterer Hilbert nu sine
siden så berømte 23 problemer. Vi skal ikke her beskæftige os i detaljer
med disse problemer, udover den følgende opgave.
Opgave 45
Foretag en søgning på internettet, f.eks. med søgeordene ‘Hilbert’ og
‘matematiske problemer’ (eller ‘mathematical problems’). Hvor mange af de
23 problemer er blevet løst? Hvor mange af disse blev løst i løbet af Hilberts
egen levetid og hvor mange først senere? Hvor mange af problemerne er
kun delvist løst? Hvor mange er uløste? Hvad er specielt ved Hilberts 10.
problem? (Husk at angive addresser på de internetsider, hvorfra I får jeres
oplysninger.)
Vi springer nu videre til slutningen af Hilberts foredrag – hvor han
har afsluttet sin præsentation og diskussion af de 23 problemer – for at
få hans sidste generelle betragtninger om matematikken og matematiske
problemer med.
[30.] De nævnte problemer er kun et udvalg af problemer, men de er
tilstrækkelige til at vise hvor rig, hvor mangfoldig og hvor vidtstrakt den
matematiske videnskab i dag er, og det foranlediger spørgsmålet om
hvorvidt matematikken er dømt til samme skæbne som de videnskaber
der forlængst har splittet sig op i adskilte områder, hvis repræsentanter
knap nok forstår hvad hinanden siger og hvis samhørighed forekommer
løsere og løsere. Jeg tror det ikke og ønsker det heller ikke. Matematisk
videnskab er efter min mening et udeleligt hele, en organisme hvis vitalitet
afhænger af samhørigheden mellem dens dele. For med al variationen i den
matematiske viden er vi stadig fuldt bevidste om ligheden mellem de logiske
hjælpemidler, sammenhængen mellem ideerne i matematikken som et hele
og de utallige analogier i dens forskellige domæner. Vi bemærker ligeledes,
at des mere en matematisk teori udvikles des mere harmonisk og uniformt
forløber dens konstruktion, og relationer om hvilke vi var intetanende bliver
afsløret mellem hidtidig adskilte dele af videnskaben. Således sker det, at
med udviklingen af matematikken, går dens organiske karakter ikke tabt
men manifesterer sig kun tydeligere.
40
Der henvises her til den latinske frase ignoramus et ignorabimus, der på dansk kan
oversættes til: ‘vi ved det ikke og vi kommer heller ikke til at vide det’, og som var
kendetegnede for en holdning argumenterende for (natur)videnskabernes begrænsning i
1800-tallet.
58
[31.] Men, spørger vi, med udvidelsen af den matematiske viden vil det da
ikke i sidste ende blive umuligt for én enkelt forsker at favne alle områderne
af denne viden? Som svar lad mig da pege på, hvor grundigt det er rodfæstet
i matematisk videnskab, at hvert reelt fremskridt går hånd i hånd med
opfindelsen af skarpere redskaber og simplere metoder som på samme
tid assisterer forståelsen af tidligere teorier og bortkaster ældre og mere
komplicerede resultater. Det er derfor muligt for den individuelle forsker,
når han benytter disse sine egne skarpere redskaber og simplere metoder,
nemmere at finde sin vej gennem de forskellige dele af matematikken end
det er muligt i andre videnskaber. Den organiske enhed i matematikken er
en indgroet del af denne videnskabs natur, thi matematik er grundlaget
for al eksakt viden om naturlige fænomener. For at den kan fuldføre denne
højbårne mission, må det ny århundrede da give matematikken geniale
mestre og mange tjenstivrige og entusiastiske disciple.
4.4
Hilberts radiotale, Königsberg 1930
Endnu en ide om Hilberts syn på matematikken og naturvidenskab kan fås
fra hans senere radiotale. Denne blev givet i forbindelse med hans pension,
hvor han flyttede tilbage til Königsberg. Byen Königsberg gjorde i den
forbindelse Hilbert til æresborger af byen og Hilbert takkede med en tale
den 8. september, 1930 i radioen, hvori han bl.a. udtalte de i matematikken
siden så udødelige ord, der også senere skulle blive hans gravskrift: »Wir
müssen wissen. Wir werden wissen.«41
[a.] Det instrument, der befordrer formidlingen mellem teori og praksis, mellem tænkning og iagttagelse, er matematikken. Den bygger den
forbindende bro og udformer denne stadigt mere bæredygtig. Deraf kommer det, at hele vor nuværende kultur, for så vidt denne beror på åndelig
indtrængen i, og praktisk underlæggelse af, naturen, finder sit grundlag i
matematikken.
[b.] Allerede Galilei siger: ‘Naturen kan kun den forstå, som har lært det
sprog og de tegn at kende, hvormed den taler til os.’ Og dette sprog er
matematikken – dets tegn de matematiske figurer!
[c.] Kant fremsatte denne udtalelse: ‘Jeg påstår, at i enhver særskilt
naturvidenskab træffes egentlig videnskab kun i det omfang matematik er
indeholdt deri.’ I virkeligheden behersker vi ikke en naturvidenskabelig teori,
før vi har skrællet ind til, og fuldstændigt afdækket, dens matematiske kerne.
Uden matematik er nutidens astronomi og fysik umulig. Disse videnskaber
opløser sig, hvad angår deres teoretiske elementer, direkte i matematik.
Det er disse, såvel som talrige andre, anvendelser, matematikken kan takke
for sin anseelse, for så vidt den nyder en sådan hos et bredere publikum.
[d.] På trods heraf har alle matematikere afvist at lade anvendelserne
gælde som værdimåler for matematikken. Gauss taler om den fortryllende
tillokkelse, som har gjort talteorien til de tidligste matematikeres yndlingsvidenskab. For ikke at tale om talteoriens uudtømmelige rigdom, i hvilken
den så langt overtræffer alle andre dele af matematikken. Kronecker sam41 David Hilberts radiotale er oversat fra tysk af Hans Jørgen Munkholm (IMADA, SDU),
se http://topo.math.u-psud.fr/~lcs/Hilbert/hilb_dk2.htm. Bogstavnummerering
er tilføjet i ovenstående udgave.
4.5
Gödels ufuldstændighedssætninger, Königsberg 1930
59
menligner talteoretikerne med lotofagerne [42 ] som, når de en gang har
indtaget denne spise, aldrig mere kan holde sig derfra.
[e.] Den store matematiker Poincaré vendte sig engang med påfaldende
strenghed mod forfatteren Tolstoi, som havde erklæret, at kravet om ‘videnskab for videnskabens skyld’ skulle være tåbeligt. Industriens triumfer, for
eksempel, havde aldrig set dagens lys, hvis kun praktikere havde eksisteret,
og triumferne ikke var blevet fremmet af uinteresserede tåber.
[f.] Den menneskelige ånds ære er, sådan siger den berømte Königsberg
matematiker Jacobi, al videnskabs eneste mål.
[g.] Vi bør ikke tro dem, som i dag med filosofisk mine og overlegen tone
profeterer kulturundergang og finder behag i ignorabimus. For os gives der
intet ignorabimus, og ej heller, efter min mening, for naturvidenskaben i
det hele taget. I stedet for det tåbelige ignorabimus skal vort løsen lyde:
Vi må og skal vide – vi kan og vil vide!
4.5
Gödels ufuldstændighedssætninger, Königsberg 1930
Det er næsten umuligt at fortælle historien om Hilbert uden også at komme
ind på en anden af tidens matematikere, den tjekkisk fødte matematiker
Kurt Gödel (1906-1978). Det forholder sig nemlig således at dagen inden
Hilbert gav sin radiotale havde Gödel i forbindelse med en konference, også
i Königsberg, fremført nogle for matematikken højst uventede resultater
– resultater der skulle få katastrofale følger for Hilberts program om at
aksiomatisere al matematikken (se side 46).
Gödel var ligesom mange andre i tiden inspireret af Hilberts program og
ideer omhandlede udviklingen af såkaldte formelle systemer43 for forskellige matematiske teorier. Selve udviklingen af systemerne var ikke det
vanskeligste, men det var derimod næste skridt i programmet: at bevise at
systemerne var konsistente. Det vil sige, at det ikke er muligt at udlede
både P og P’s negation, altså
P
og ¬P.
Hilbert anså dette skridt i programmet for værende det vigtigste. Gennem sit forsøg på at efterstræbe Hilberts program indså Gödel, at konceptet beviselighed kunne defineres aritmetisk. Dette førte til hans ufuldstændighedssætninger, som ironisk nok kom til at kuldsejle Hilberts program (i hvert fald som oprindeligt fremført).44
Gödels ufuldstændighedssætninger og teorien bag er noget forholdsvis
‘langhåret’ matematik, men vi skal se om vi alligevel ikke kan få en overordnet, omend overfladisk, ide om sætningernes indhold. Ufuldstændighedssætningerne omfatter to sætninger, hvoraf den første var den der blev præsenteret i Königsberg den 7. september 1930. Reaktionerne (ikke altid baseret
42 I Homers Odysseen er lotofagerne et fredsommeligt folk, der levede af frugterne fra
det mytiske lotostræ og tog vel imod Odysseus og hans mænd; da nogle af mændene fik
lotosfrugterne at spise, tabte de al lyst til at vende hjem til Ithaka, og Odysseus måtte
med magt slæbe dem tilbage til skibene.
43 I den formelle logik består et formelt system af et formelt sprog indeholdende en
endelig mængde symboler (et alfabet) som kan bruges til at konstruere formler (endelige
strenge af symboler); en grammatik som fortæller hvordan vi kan danne formler; en
mængde af aksiomer; og en mængde slutningsregler der bruges til at udlede (konkludere)
udtryk udfra aksiomerne og andre udledte udtryk (sætninger).
44 Jf. Shanker (1988, s. 6).
60
på forståelse) på Gödels første ufuldstændighedssætning var umiddelbare, omend varierende fra dybsindig værdsættelse hos den ungarsk fødte
matematiker John von Neumann (1903-1957) over kraftig kritik fra Hilberts
tidligere studerende Ernst Zermelo. Den første ufuldstændighedssætning
lyder omtrent som følger:
Sætning 4.1: Gödels første ufuldstændighedssætning
Givet et (konsistent) formelt system vil dette ikke kunne omfatte alle
sandheder om elementær talteori; der vil altid være sande udsagn som ikke
kan bevises indenfor systemet.
Gödels sætning siger altså, at der i et sådant formelt system altid vil
eksistere udsagn, propositioner P, for hvilke hverken P eller ¬P kan bevises.
I og med at man i matematikken gerne er af den opfattelse, at der om
et arbitrært udsagn P må gælde, at enten P eller ¬P er sand (lad os sige
at det er P der er sand), må der således ifølge sætningen eksistere sande
udsagn P, som ikke er beviselige sætninger indenfor systemet.45
Gödels anden ufuldstændighedssætning fulgte allerede to måneder
efter den første (det første kendskab til den er fra den 20. oktober 1930,
hvor Gödel indleverede et resume af resultatet til universitetet i Wien).46
Sætningen siger i store træk følgende:
Sætning 4.2: Gödels anden ufuldstændighedssætning
En hvilken som helst realistisk matematisk teori er ude af stand til at bevise
sin egen konsistens.
Det vil altså sige, at et konsistensbevis for et formelt system kræver
flere matematiske resurcer end der er til rådighed i systemet selv. Med
‘realistisk’ menes et konsistent system, som indeholder en bestemt mængde
af elementær talteori. Essensen af den anden sætning er, at ligemeget hvor
stort vi gør et matematisk aksiomatisk system, ligemeget hvor meget vi
inkluderer og fylder på, så vil det aldrig kunne bevise sin egen konsistens –
og det ødelagde Hilberts program som dette var tiltænkt.
Gödel publicerede sine resultater i 1931, og hans artikel kom til at bære
titlen Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und
verwandter Systeme. Det bør nævnes at Gödel kun giver beviset for den
første sætning i denne artikel, for den anden skitserer han blot et bevis.
Beviset for den anden sætning skulle følge i del II af artiklen, men Gödel
fik aldrig skrevet denne. Hilbert selv og Paul Isaac Bernays (1888-1977)
udførte dog i 1939 beviset i detaljer for to standardsystemer i talteori.47
For praktiserende matematikere havde (og har) ufuldstændighedssætningerne formentlig ikke den store betydning når der skal bevises matematiske sætninger. Ifald der er noget man ikke kan bevise indenfor et givet
system kan man jo udvide systemet indtil man kan bevise den sætning
man er ude efter – teoretisk set i al fald. Selvfølgelig medfører en sådan
udvidelse at der vil være nye udsagn man ikke kan bevise, men så kan
man jo udvide systemet igen og så fremdeles. De filosofiske konsekvenser
45
Jf. Shanker (1988, s. 6), Harrison (1996, s. 7-8) og van Heijenoort (1967, s. 595).
John von Neumann, som havde udvist stor interesse for Gödels resultat ved kongressen
i Königsberg, viste uafhængigt samme resultat og formidlede dette per brev til Gödel
den 20. november samme år. (Dictionary of Scientific Biography; 1970-80)
47 Jf. Harrison (1996, s. 8) og van Heijenoort (1967, s. 594).
46
4.6
Epilog
61
af Gödels sætninger var langt større, ikke mindst fordi sætningerne introducerede muligheden for at nogle af matematikkens problemer slet ikke
kan løses (at man hverken kan bevise et udsagn eller dets negation) og
der dermed måske alligevel gives ignorabimus48 i matematikken. Mange
opfattede dette som om selve fundamentet for matematikken blev revet
væk. Historien har senere vist at det nok ikke var helt så slemt. Men
ikke desto mindre måtte man revidere opfattelsen af hvad matematik som
videnskab var. Matematikhistorikerne O’Connor og Robertson skriver om
Gödels resultater:
Gödels resultater var en milepæl i det 20. århundredes matematik og
viste at matematik ikke er noget færdigt [og fuldstændigt], hvilket man
tidligere havde troet. Ydermere implicerer det at en computer aldrig
vil kunne programmeres til at besvare alle matematiske spørgsmål. [49 ]
4.6
Epilog
Således ender vores historie der hvor den begyndte, nemlig med ‘kongens
bjerg’: Königsberg.
Königsberg, der med sine syv broer gav anledning til en af alle tiders
største matematikere, Leonhard Eulers, pionerende arbejde indenfor det
der senere skulle blive kendt som grafteori – en disciplin der med bl.a.
Edsgar Dijkstras algoritme fandt sin anvendelse i det 20. århundrede.
Königsberg, der fostrede det 20. århundredes mest prominente matematiker, David Hilbert, og dannede rammen om den radiotale, hvori han så
klart udtrykte sin overbevisning om matematikkens natur.
Og Königsberg, stedet hvor Kurt Gödel annoncerede sine resultater
der skulle styrte Hilberts program i grus og ryste den matematiske verden
i sin grundvold.
48
49
Jf. fodnote 40, side 57 samt Hilberts omtale herom i hans radiotale ovenfor.
Oversat fra: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Godel.html
62
5
I de foregående kapitler er I blevet introduceret til tre matematiske tekster:
Eulers 1736-artikel, der med sin generelle løsning af Königsberg-problemet
regnes for begyndelsen på en helt ny matematisk disciplin, grafteorien;
Dijkstras 1959-note, der danner grundlag for en vigtig moderne anvendelse
af grafteorien til at løse en bestemt type problemer i vores samfund og
hverdag, nemlig korteste-vej problemer; og Hilberts 1900-foredrag, som
fra en mere filosofisk vinkel diskuterer matematiske problemer og deres
betydning for matematikkens udvikling generelt.
I dette sidste kapitel skal vi nu forsøge at trække nogle tråde imellem
disse tre matematiske tekster. Dette gøres gennem et antal såkaldte essayopgaver, hvor vi skal betragte forskellige sider af faget matematik med en
eller flere af de gennemgåede tekster som omdrejningspunkt.
‘Essayet’ i disse opgaver består i, at I i grupper diskuterer de gennemgåede tekster udfra stillede spørgsmål i essay-opgaverne og efter endt
diskussion besvarer disse på essay-form. »Betyder dette at vi skal lave
‘dansk stil’ i matematiktimerne,« tænker I måske nu, og til det er svaret:
Ja, det kan man godt sige, blot en ‘stil’ der omhandler matematik, matematikfilosofi, matematikhistorie og matematikanvendelser.
Samlingen af essays er en gruppeaflevering og skal afleveres elektronisk, dvs. i en pdf-fil, et Word-dokument, el. lign. Husk, som tidligere, at
når I anvender internettet til at indsamle informationer, så skal I angive
adresserne på de sider hvorfra I tager jeres oplysninger (gerne i form af
hyperlinks i fodnoter).
God fornøjelse!
5.1
Essay-opgave 1: Matematiske problemer
Som I sikkert allerede har bidt mærke i er ‘matematiske problemer’ et af
temaerne for dette undervisningsmateriale: vi har stiftet bekendtskab med
to af matematikkens kendte problemer, nemlig Königsberg-problemet og
korteste-vej problemet, og vi har læst en tekst af Hilbert der udelukkende
omhandler matematiske problemer.
Første del
Hilbert udtaler sig meget specifikt om hvad matematiske problemer er.
Det bliver nu jeres opgave at relatere dette til de to andre tekster I har
læst.
a. Gransk Hilberts foredrag nøje og identificer de kriterier han opstiller
for hvad et godt matematisk problem er. (Angiv numrene på de
63
64
afsnit hvorfra I tager jeres informationer og brug evt. citater fra
teksten.)
b. I hvilken grad (og hvordan) opfylder Königsberg-problemet, kortestevej problemet og problemet med det mindste udspændende træ
Hilberts kriterier? Argumenter for jeres svar og giv understøttende
eksempler.
Anden del
Udover matematiske problemer udtaler Hilbert sig i sit foredrag også en
smule om hvordan matematikken generelt set udvikler sig og bliver til.
c. Hvad siger Hilbert i sit foredrag om udviklingen af matematikken
generelt? (Angiv numrene på de afsnit hvorfra I tager jeres informationer og brug evt. citater fra teksten.)
d. Når vi ser på begyndelsen af grafteori (i form af Eulers 1736-artikel)
og dets moderne anvendelse til bestemmelse af korteste vej og mindste
udspændende træer, hvordan stemmer dette så overens med Hilberts
beskrivelse af matematikkens udvikling? Argumenter for jeres svar
og giv understøttende eksempler.
5.2
Essay-opgave 2: Matematiske beviser
Denne næste opgave omhandler matematiske beviser og deres rolle og
består af tre dele, hver indeholdende en række underspørgsmål.
Første del
I første del skal I foretage en søgning på internettet med henblik på at finde
ud af hvad begrebet ‘matematiske beviser’ (eller på engelsk ‘mathematical
proofs’) dækker over. Skriv på baggrund af denne søgning og teksterne i
undervisningsmaterialet et essay der besvarer følgende spørgsmål.
a. Hvad er et matematisk bevis og hvorfor beviser vi ting i matematik?
b. Hvad er forskellen på et bevis og et eksempel? Giv et eksempel til at
illustrerer forskellen.
c. Hvilken rolle tjener modeksemplet i matematikken og i forbindelse
med beviser? (Giv et konkret eksempel.)
d. Hvilke forskellige bevistyper kender I? Giv eksempler fra dette undervisningsmateriale for de typer der anvendes heri.
e. Hvad dækker begrebet umulighedsbevis over (på engelsk ‘proof of
impossibility’, ‘impossibility proof’ eller ‘negative proof’)?
f. Hvad siger Hilbert i sit 1900-foredrag om umulighedsbeviser? Og
hvilke eksempler giver han? (Angiv numrene på de afsnit hvorfra I
tager jeres informationer og brug evt. citater fra teksten.)
g. I hvilken grad synes I, at Eulers bevis for Königsberg-problemet
kvalificerer til betegnelsen et umulighedsbevis?
Anden del
I anden og tredje del skal vi atter have fat i Hilberts tekst og nogle af
de relaterede emner. Som I allerede burde have fået færten af, så ændrer
5.2
Essay-opgave 2: Matematiske beviser
65
standarden for og formen af matematiske beviser sig gennem historien.
Eulers beviser angående Königsberg-problemet er meget anderledes af
natur end de moderne grafteoretiske beviser I også har set (f.eks. den
moderne og konstruktive udgave af Hierholzers bevis, se side 19). Dette
skyldes jo selvfølgelig at vi i nyere beviser kan trække på senere (og måske
snedigere) definitioner og begreber samt mere kompakt notation (herunder
tegn) end Euler kunne i sit første bidrag til grafteorien.
h. Find de steder hvor Hilbert taler om behovet for nye tegn (aritmetiske symboler og geometriske figurer) til nye begreber. Hvad siger
Hilbert om dette? (Angiv numrene på de afsnit hvorfra I tager jeres
informationer og brug evt. citater fra teksten.)
i. Hvordan relaterer det som Hilbert siger om dette sig til brugen af nye
begreber og tegn (aritmetiske såvel som geometriske) i den moderne
grafteori?
j. Hvilke fordele gav det Dijkstra at have et veludviklet grafteoretisk
begrebsapparat til sin rådighed, da han skulle beskrive sin algoritme
i 1959 i forhold til Euler og hans løsning af Königsberg-problemet i
1736? Giv eksempler fra Dijkstras 1959-note og Eulers 1736-artikel.
Tredje del
Som vi fik et indblik i i kapitel 3 spillede fremkomsten af computeren en
vigtig rolle for matematikken i det 20. århundrede. Og det var ikke kun ny
anvendelse af grafteori og anden matematik som computeren førte med
sig, den fik også en betydning for selve det at udføre matematik. Som vi
så i citatet på side 61 medfører Gödels anden ufuldstændighedssætning
godt nok, at vi aldrig vil kunne sætte en computer til at bevise alle
matematiske udsagn, men det at vi i det hele taget kan bruge en computer
til at bevise matematik med er i sig selv interessant. Computere kan
nemlig foretage så komplicerede og lange beregninger (og logiske slutninger)
at disse er svære at efterkontrollere for mennesker. Og dette medfører
selvfølgelig spørgsmålet om hvorvidt man i matematikken vil acceptere et
computerbevis som løsning på et givet matematisk problem eller ej.
Et af de mere kendte eksempler på denne problematik er det såkaldte
firefarve-problem. Om dette skriver Gyldendals åbne encyklopædi, Den
Store Danske:
firefarve-problemet, matematisk problem, der består i at bevise, at
det mindste antal farver, der kræves for at farvelægge et vilkårligt
landkort, så nabolande får forskellige farver, er fire farver (lande, der
ikke støder sammen, må gerne have samme farve). Problemet blev
rejst i 1852 af briten Francis Guthrie (1831-99), og i 1879 publicerede
Arthur B. Kempe (1849-1922) en løsning. I 1890, da Percy J. Heawood
(1861-1955) fandt en fejl i beviset, blev problemet berømt. Kenneth
Appel (f. 1932) og Wolfgang Haken (f. 1928) publicerede i 1976 et bevis
for, at fire farver er nok. Beviset tiltrak sig stor opmærksomhed, fordi
det anvendte computerberegninger i udstrakt grad, men har aldrig
vundet tillid blandt matematikere. Først i 1994 fandt P. Seymour, N.
Robertson, R. Thomas og D. Sanders et computerbevis, der er halvt
så kompliceret som Appels og Hakens, og som i øjeblikket anses for
66
sandsynligvis korrekt. [1 ]
k. Foretag en internetsøgning på firefarve-problemet (på engelsk ‘four
color problem’) og computerbeviser (på engelsk ‘computer-assisted
proof’) og se hvad der siges om dette og i særdeleshed de filosofiske
implikationer som brug af computerbeviser i matematikken måtte
have.
Eftersom ‘matematiske problemer’, temaet for Hilberts 1900-foredrag,
oftest løses netop ved brug af beviser kommer Hilbert også ind på dette i
sin tale.
l. Find de steder hvor Hilbert taler om beviser i forbindelse med løsningen af matematiske problemer. Hvad siger han om dette? (Angiv
numrene på de afsnit hvorfra I tager jeres informationer og brug evt.
citater fra teksten.)
m. Find de steder hvor Hilbert taler om stringens i matematiske beviser
og i forbindelse med løsningen af matematiske problemer. Hvad siger
han om dette? (Angiv numrene på de afsnit hvorfra I tager jeres
n. Med udgangspunkt i Hilberts udtalelser om beviser og stringens,
hvordan tror I så at Hilbert ville forholde sig til problematikken
om brug af computerbeviser i matematikken? Argumenter for og
begrund jeres svar.
5.3
Essay-opgave 3: Matematik som videnskabsfag
Denne sidste essay-opgave omhandler matematikken betragtet som en
videnskabelig disciplin og bl.a. hvordan denne som sådan adskiller sig fra
andre videnskabelige discipliner (både naturvidenskabelige og ikke). Vi
skal igen løbende tage Hilberts syn på sagen som omdrejningspunkt for
vores diskussion og undervejs relaterede dette til de to andre historiske
cases, som vi har stiftet bekendtskab med i dette materiale.
Første del
I denne første del skal I forsøge at give en karakteristik af matematikken
som fag, de problemstillinger den betragter samt anvendeligheden af
eventuelle løsninger til disse.
a. Foretag en søgning på internettet med henblik på at finde definitioner af hvad matematik er, dvs. foretag søgninger på ‘matematik’
eller ‘mathematics’, og beskriv eventuelle sammenfald eller forskelle
mellem forskellige beskrivelser I måtte finde. (Husk som altid at
angive internetadresserne, hvorfra I får jeres informationer.)
b. Med udgangspunkt i Hilberts 1900-foredrag og jeres svar til ovenstående spørgsmål forsøg da at pege på nogle karakteristika ved
matematiske problemstillinger, tankegange og metoder – eventuelt
ved også at pege på forskelle mellem matematik og (andre) naturvidenskabelige fag. (Angiv numrene på de afsnit hvorfra I tager jeres
1 http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_
statistik/Regning,_algebra_og_talteori/firefarve-problemet
5.3
Essay-opgave 3: Matematik som videnskabsfag
67
c. Med udgangspunkt i jeres internetsøgninger, jeres svar til de to
spørgsmål ovenfor og de observationer I gjorde jer i essay-opgave 1,
hvad kan I da sige om hvilken slags resultater matematikken leverer
og hvad disse kan anvendes til? (Angiv igen eventuelle afsnitnumre
og internetadresser.)
Anden del
Med udgangspunkt i Hilberts 1900-foredrag og hans 1930-radiotale i Königsberg, diskuter da følgende spørgsmål:
d. Hvilke fælles træk og hvilke forskelle ser Hilbert imellem matematikken og de andre videnskaber, herunder naturvidenskaber? (Angiv
numrene på de afsnit hvorfra I tager jeres informationer og brug evt.
citater fra teksten.)
e. Hvad er ifølge Hilbert matematikkens forbindelse til de andre videnskabelige discipliner? (Angiv igen numre på afsnit og brug citater.)
f. Er I enige eller uenige med Hilbert i hans synspunkter på ovenstående? Begrund jeres svar og argumentér for jeres egne synspunkter
på baggrund af de observationer I har gjort jer i første del af essayopgave 3 og essay-opgaverne 1 og 2.
Tredje del
Et meget kendt uløst problem i matematikken er den såkaldte Goldbachs
formodning, navngivet efter Christian Goldbach (1690-1764). I et brev af
1742 beretter Goldbach sin formodning til Euler: at han mener, at ethvert
heltal (større end 2) kan udtrykkes som summen af tre primtal. På dette
tidspunkt var det stadig ikke helt afklaret, om det var smartest at regne 1
som et primtal eller ej, og Goldbach regnede således 1 for værende primtal.
Euler var dog ikke sen til at indse, at man kunne opstille den stærkere
formodning, at
ethvert lige tal (større end 2) kan skrives som summen af to primtal
(når man ikke regner 1 for at være et primtal).2
g. Forklar med jeres egne ord, hvad det er som Gödels første ufuldstændighedssætning siger.
h. Hvis vi nu antager, at Goldbachs formodning rent faktisk er et sådant
uafgøreligt udsagn i matematikken som Gödel omtaler (vi ved ikke
om det rent faktisk er det!), hvad ville Gödels første sætning så sige
om denne? (Redegør for hvad der vil svare til P og ¬P.)
i. Find de steder i Hilberts 1900-foredrag og i hans 1930-radiotale hvor
han taler om ignorabimus og forklar hvad der menes med ordet.
(Angiv numrene på de afsnit hvorfra I tager jeres informationer og
brug gerne citater fra teksten.)
j. Forklar med jeres egne ord, hvad Hilberts holdning til ignorabimus i
matematikken og i naturvidenskaberne generelt er, og hvorfor I tror
han havde denne stærke holdning angående dette.
k. Forklar hvordan Gödels første ufuldstændighedssætning er i direkte
modstrid med Hilberts udsagn om ignorabimus i relation til matematikken.
2
Se f.eks. Jankvist (2008b, s. 59-60, 67-68, 75).
68
5.4
Essay-opgave 4: Jeres mening
I denne sidste essay-opgave er der givet plads til jeres egne uforbeholdne,
omend saglige og helst velargumenterede, meninger om de læste tekster:
Hvilken I bedst kunne lide og hvorfor; hvilken I synes I fik mest ud af
og hvorfor netop denne; og andre lignende aspekter som I måtte finde
relevante.
a. Bortset fra problematikken om ‘ignorabimus’, hvad synes I så om
Hilberts 1900-foredrag efter at I har læst og arbejdet med dette?
b. Hvad synes I om Dijkstras 1959-note?
c. Og endelig, hvad synes I om Eulers 1736-artikel?
Litteratur
Barnett, J. H. (n.d.). Early writings on graph theory – Euler circuits and
the Königsberg bridge problem. http://www.math.nmsu.edu/hist_
projects.
Biggs, N. L. (1989). Discrete Mathematics, Revised edn, Oxford Science
Publications, Oxford.
Biggs, N. L., Lloyd, E. K. & Wilson, R. J. (1976). Graph Theory 1736-1936,
Clarendon Press, Oxford.
Corry, L. (1998). The influence of David Hilbert and Hermann Minkowski
on Einstein’s views over the interrelation between physics and mathematics, Endeavor 22(3): 95–97.
Crowe, M. J. (1967). A History of Vector Analysis, Notre Dame University
Press, South Bend.
Den Store Danske – Gyldendals åbne encyklopaedi (2009). http://www.
denstoredanske.dk.
Dictionary of Scientific Biography (1970-80). Charles Scribner’s Sons, New
York. Udkommet i 18 bind.
Dijkstra, E. W. (1959). A note on two problems in connexion with graphs,
Numerische Mathematik 1: 269–271.
Euler, L. (1770/1972). Vollständige Anleitung zur Algebra, Springer Verlag,
Berlin. Engelsk oversættelse Elements of Algebra af John Hewlett fra
1840.
Fleischner, H. (1990). Eulerian Graphs and Related Topics, Elsevier Science
Publishers B.V., Amsterdam.
Hansen, R. B. (1997). David Hilbert, FAMØS – Fagblad for Aktuar,
Matematik, -Økonomi og Statistik 10(4).
Harrison, J. (1996). Formalized Mathematics, Technical Report from Turku
Centre for Computer Science (TUCS) (36): 1–45.
Hilbert, D. (1900). Mathematische Probleme – Vortrag, gehalten auf
dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900, Göttinger
Nachrichten –: 253–297.
Hilbert, D. (1902). Mathematical problems, Bulletin of the American
Mathematical Society 8: 437–479.
Jankvist, U. T. (2008a). Den tidlige kodningsteoris historie – et undervisningsforløb til gymnasiet, Tekster fra IMFUFA, nummer 459, IMFUFA,
Roskilde. http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/pdf/459.pdf.
Jankvist, U. T. (2008b). RSA og den heri anvendte matematiks historie –
et undervisningsforløb til gymnasiet, Tekster fra IMFUFA, nummer 460,
IMFUFA, Roskilde. http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/pdf/460.pdf.
69
70
Litteratur
Jankvist, U. T. (2011). Historisk fremkomst og moderne anvendelse
af Boolsk algebra – et matematikfilosofisk undervisningsforløb til
gymnasiet, Tekster fra IMFUFA, nummer 487, IMFUFA, Roskilde.
http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/pdf/487.pdf.
Katz, V. J. (1998). A History of Mathematics – An Introduction, 2 edn,
Addision-Wesley Educational Publishers, Inc., Reading, Massachusetts.
Kline, M. (1972). Mathematical Thoughts – From Ancient to Modern
Times, Oxford University Press, New York.
Lützen, J. (1993). Cirklens kvadratur, vinklens tredeling og terningens
fordobling – fra oldtidens geometri til moderne algebra, Systime, København.
Niss, M. & Jensen, T. H. (eds) (2002). Kompetencer og matematiklæring –
Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark,
Undervisningsministeriet. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18.
Przytycki, J. H. (1998). Knot theory and its applications: Expository
articles on current research, Chaos, Solitons & Fractals 9(4-5): 531–545.
Rosen, K. H. (2003). Discrete Mathematics and Its Applications, fifth edn,
McGraw Hill, New York.
Schrijver, A. (2003). Combinatorial Optimization – Polyhedra and Efficiency, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
Shanker, S. G. (1988). Gödel’s theorem in focus, Croom Helm Ltd, Provident House, Kent.
Toft, B. (1985). Algoritmisk kombinatorik – et datalogisk orienteret emne
i matematik, Matematiklærerforeningen.
Undervisningsministeriet (2008). Bekendtgørelse af 2008 (læreplan). http:
//www.uvm.dk.
van Heijenoort, J. (1967). From Frege to Gödel – A Source Book in
Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge.
Wolff, P. (1967). Højdepunkter i matematikken, Steen Hasselbalchs Forlag.

486 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Transcription

Similar documents

Kopi af salgsnota, kvittering, servicehæfte eller kassebon

Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver om brug af R

Alle skoler ti 1 27 fr 1 ma 1 36 on 1 lø 1 ma 1 49 on 2 lø 2 ti 2 to 2 sø

Formica® Collection Surface Colours produktbrochure PDF

Skovdyrkeren 35 - september 2015

Hvad er attitude? - persolog danmark

Algoritme til diagnosticering af slapt spædbarn

Formler, ligninger, funktioner og grafer

1 Okasha, kapitel 1

Kunderne vil have eksklusive fliser og sten Nordisk