Formler, ligninger, funktioner og grafer

Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Omskrivning af ligninger og formler .......................................... 39
To ligninger med to ubekendte ................................................... 44
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 38
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Omskrivning af ligninger og formler
1: Claus og Christina skal dele 100 kr. De behøver ikke at få lige mange penge.
Claus’ beløb kaldes x. Christinas beløb kaldes y.
a: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
0
10
20
30
y
….
100
….
Sammenhængen mellem x og y kan beskrives ved ligningen x + y = 100
b: Omskriv ligningen til en lineær funktion.
c: Tegn en graf for funktionen.
Prøv også at forklare hvad de forskellige punkter på grafen betyder.
Brødkiosken
2: Lars vil købe kager og minirugbrød for 50 kr.
Antal kager kaldes x. Antal minirugbrød kaldes y.
a: Hvor mange kager kan han højst få?
Kager............... 10 kr.
b: Hvor mange minirugbrød kan han højst få?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
0
1
2
3
4
5
Minirugbrød ....... 5 kr.
y
d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion.
e: Tegn en graf for funktionen.
Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder.
Frugt og grønt
3: Mette skal købe æbler og pærer for 75 kr.
Antal kg æbler kaldes x. Antal kg pærer kaldes y.
Æbler
15 kr. pr. kg.
a: Hvor mange kg æbler kan hun højst få?
b: Hvor mange kg pærer kan hun højst få?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
0
1
2
3
osv.
Pærer
20 kr. pr. kg.
y
d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion.
e: Tegn en graf for funktionen.
Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder.
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 39
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
4: Hvilke formler passer sammen?
a: y = x + 2
A: x = y : 2
b: y = x − 2
B: x = y 2
c: y = 2 ⋅ x
C: x = y
d: y = x : 2
D: x = y + 2
e: y = x 2
E: x = 2 ⋅ y
f:
y= x
I formlerne med ”i anden” og
kvadratrod skal du kun tænke
på x og y som positive tal.
Hvis opgaverne er svære, kan du
starte med at tænke på R, S og T
som tal, der passer sammen.
Fx som tallene 12, 7 og 5 i a:
F: x = y − 2
5: Hvilke formler passer sammen?
R
T
a: R = S + T
A: S =
b: R = S − T
B: S = R ⋅ T
bb: T = R − S
c: R = S ⋅ T
C: S = R − T
cc: T =
S
R
d: R = S : T
D: S = R + T
dd: T =
R
S
aa: T = S − R
6: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen?
a: − 10x + 5y = 20
A: y = −4 x + 2
b: − 8x + 2y = −6
B: y = 4 x − 3
c: 2 x + 0,5y = 1
C: y = x − 2
d: 2x − 6y = 12
D: y = 2 x + 4
1
3
7: Omskriv disse ligninger til lineære funktioner:
a: 4x + 4y = −8
b: x − 2y = 3
c: 5y − 3x = x + 4y
Tegn evt. også graferne for funktionerne (ligningerne).
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 40
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
8: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen?
a: x ⋅ y = 24
b:
x
= 24
y
A: y = − x + 24
C: y =
24
x
c: x + y = 24
d: x − y = 24
B: y = x − 24
D: y =
x
24
e: y − x = 24
f:
y
= 24
x
E: y = 24 ⋅ x
F: y = x + 24
9: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen?
a: 3x − 6y + 8 = x − 5 y + 5
A: y = 0,5x − 3
b: y − 4x = 3y − 5x + 6
B: y = −2 x − 2,5
c: − x + 5y = x − y
C: y = 2 x + 3
d: 2 x + 5 = 2y + 6x + 10
D: y = x
1
3
10: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen?
1
2
a: 4 x + 2y − 7 = 5(2x − 3)
b:
A: y = − x + 2
6x + 12y
=8
3
B: y = 2 x + 6
c: 3(x + 2) = 2(y − 3) − x
d:
C: y = −3x
5x + 3y
= 2x + y
4
D: y = 3x − 4
11: Omskriv formlen for rumfanget (V) af en kasse V = l ⋅ b ⋅ h så..
a: …længden (l) står alene
b: …bredden (b) står alene
12: Omskriv formlen for arealet (A)
1
af en trekant A = ⋅ h ⋅ g så..
2
c: …højden (h) står alene
13: Omskriv formlen for arealet (A)
1
af et trapez A = ⋅ h ⋅ (a + b) så..
2
a: …højden (h) står alene.
a: …højden (h) står alene.
b: …grundlinien (g) står alene.
b: …siden a står alene.
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 41
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
14: Formlen for omkredsen (O)
af en cirkel O = 2 ⋅ π ⋅ r
skal omskrive,
så radius (r) står alene.
r=
O
2⋅π
r = O :2⋅π
r
r = O : (2 ⋅ π)
r = O:2:π
O = 2⋅π⋅r
a: Hvilke af formlerne til højre kan bruges?
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem radius og omkreds:
Radius (r) i cm
0
1
2
3
……
11
12
Omkreds (A) i cm
c: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem radius og omkreds.
d: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem omkreds og radius:
Omkreds (A) i cm
0
5
10
15
……
70
75
Radius (r) i cm
e: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem omkreds og radius.
f: Marker på begge grafer det punkt, som svarer til:
- en cirkel med radius 3,5 cm
- en cirkel med omkreds 22 cm
15: Formlen for arealet (A) af en cirkel A = π ⋅ r 2
skal omskrive så radius (r) står alene.
r=
a: Hvilken af formlerne til højre kan bruges?
A
2⋅π
r=
A
π
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem radius og areal:
Radius (r) i cm
Areal (A) i cm
0
1
2
3
……
r
A = π ⋅ r2
9
10
2
c: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem radius og areal.
d: Lav og udfyld en tabel der sammenhængen mellem areal og radius:
Areal (A) i cm2
0
50
100 150 200 250 300
Radius (r) i cm
e: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem areal og radius.
f: Marker på begge grafer det punkt, som svarer til:
- en cirkel med radius 5,5 cm
- en cirkel med areal 95 cm2
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 42
Opgaver til niveau F, E og D
16: Rektangel – længde, bredde og areal
Rektangel
a: Find arealet af et rektangel med
længden 8 m og bredden 5 m.
A = l⋅b
længde
b: Et rektangel har arealet 30 cm2 og længden 7,5 cm.
Hvad er bredden?
bredde
Matematik på AVU
c: Omskriv formlen således, at længden står alene.
d: Omskriv også formlen således at bredden står alene.
Forestil dig nogle forskellige rektangler, som alle har arealet 24 cm2.
e: Lav og udfyld en tabel der viser nogle mulige sammenhænge mellem længde og bredde:
Længde (l) i cm
……
6
7
8
9
……
Bredde (b) i cm
f: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem l og b.
17: Rektangel – længde, bredde og omkreds
Rektangel
a: Find omkredsen af et rektangel med
længden 10 m og bredden 5 m.
O = 2⋅l + 2⋅b
længde
b: Formlen for omkredsen af et rektangel
skal omskrives, således at længden står alene.
Hvilke af disse formler er rigtige?
l=
O - 2⋅b
2
l = (O - 2 ⋅ b) : 2
l = O - 2⋅b : 2
l=
O
−b
2
l=O-
bredde
g: Lav en tilsvarende tabel og graf for et rektangel på 150 m2.
b
2
c: Omskriv selv formlen, således at bredden står alene.
Forestil dig nogle forskellige rektangler, som alle har omkredsen 30 cm.
d: Lav og udfyld en tabel der viser nogle mulige sammenhænge mellem længde og bredde:
Længde (l) i cm
……
8
9
10
11
……
Bredde (b) i cm
e: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem l og b.
18: Omskriv disse formler
så x kommer til at stå alene:
a: y = 5 ⋅ x 2 + 4
b: y =
5
+4
x
Formler, ligninger, funktioner og grafer
19: Omskriv disse formler så x og y kommer til
at stå alene. Der er altså to svar pr. opgave:
a: z = 5 ⋅ x + 4 ⋅ y
b: y = 5 ⋅ x 2 + 4 ⋅ y
Side 43
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
To ligninger med to ubekendte
Fredes Frugtbod
20: Line skal købe 30 stykker frugt til sin klasse.
Hun må købe for 100 kr., og hun vil gerne have
flest mulige appelsiner.
Antal bananer kaldes x. Antal appelsiner kaldes y.
Bananer
3 kr. pr. stk.
Appelsiner
4 kr. pr. stk.
a: Sammenhængen mellem x og y kan beskrives
ved to af disse ligninger.
x + y = 30
x + y = 100
3x + 4 y = 30
3x + 4 y = 100
Find de rigtige ligninger:
b: Omskriv de rigtige ligninger til lineære funktioner
c: Lav x-y-tabeller og tegn grafer for funktionerne
d: Hvor mange appelsiner og hvor mange bananer kan Line købe?
21: Peter skal købe 40 flasker vin til en stor fest.
Han må købe for 1.500 kr., og han vil gerne have
flest mulige flasker af den dyre vin.
Fine vine
a: Opstil to ligninger, der kan bruges til at finde ud af
hvor mange flasker af hver slags, han kan købe.
b: Find ud af hvor mange flasker af hver slags, han kan købe.
Château Henri
Pr. flaske kun 30 kr.
Château Superb
Pr. flaske kun 50 kr.
22: Mahmut er i byen. Det er blevet sent, den sidste bus er kørt, og han har meget langt hjem.
Han ringer hjem til sin kone, som lover at hente ham i bil, hvis han går hende i møde.
Konen begynder at køre samtidig med, at Mahmut begynder at gå.
Du skal finde ud af, hvor på turen de mødes. Den strækning, Mahmut når at gå, kaldes x.
Den strækning, Mahmuts kone når at køre, kaldes y.
5 km/t
75 km/t
20 km
a: Hvor mange min. tager det Mahmut
at gå en km?
b: Hvor lang tid tager det Mahmuts kone
at køre en km?
c: Find x og y ved at løse disse to ligninger:
x + y = 20
Den tid det tager at gå x km = Den tid det tager at køre y km
d: Hvor lang tid går der fra, at Mahmut begynder at gå, til at han er helt hjemme?
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Side 44
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
23: Løs (nogle af) disse ligningssystemer.
Du kan både løse dem ved at tegne grafer og beregne løsningerne.
a:
− x + y =1
b:
− x + 2y = 8
c: 3x + y = 7
−x+y=3
d: − x + y = 2
2x + y = 5
e:
3x + 2y = 16
x + 5y = 10
f:
− x + 4y = 4
g: − 2x + y = 3
2x − y = 3
x − 4 y = −20
2x − y = 2
h: − x + 2 y = 4
2 x − y = −3
i:
2x − y = 0
− x + 2y = 2
j:
2x + y = 8
2x + y = 7
8x − 2y = 1
24: Løs disse ligningssystemer.
Du kan kun løse dem ved at tegne grafer.
a: 2x + y = 16
b: 4x − y = 1
x ⋅ y = 24
y − x2 = 2
25: Løs (nogle af) disse ligningssystemer.
Du kan både løse dem ved at tegne grafer og beregne løsningerne.
a: x − 2y = 6
b: 2x + y = 2
2x + y = 2
c: 2x − 10 y = −10
x − 2y = −6
d: 4x − 4y = 3
3x + 5y = 35
e:
x + 3y + 7 = 4x + y − 7
x + 2y = 6
f:
2x + 5y + 1 = 3x + y + 3
g: 3x + 2y − 2 = 2(2x − 3)
3x + 2y = −12
Formler, ligninger, funktioner og grafer
2x + 6y = 4x + y + 1
2x + 2y + 3 = y + 10
h:
− x + 8y = 2(2x − y) + 2
5(x + 2 y) = −2,5x + 5y + 7
Side 45