x - matx.dk

matx.dk
Algebra
Dennis Pipenbring, 10. februar 2012
nøgleord
andengradsligning, komplekse tal,
ligningsløsning,
ligningssystemer,
nulreglen, reducering
Indhold
1 Forord
4
2 Indledning
5
3 De
3.1
3.2
3.3
grundlæggende regler
7
Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Regnearterneshiraki
10
4.1 Bogstavregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Logik
15
5.1 Argumenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 Hvad er et bevis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Kvadratsætningerne
16
7 Brøkregning
19
8 Potensregneregler
22
9 Ligninger
9.1 Ligningsløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 To ligninger med to ubekendte . . . . . . . . . . . .
9.3 Andengradsligninger . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
29
31
10 Komplekse tal
35
10.1 Regning med komplekse tal . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Geometrisk repræsentation af komplekse tal . . . . . 40
2
Svar til opgaverne
41
Litteratur
44
3
1
Forord
Faglige mål og kernestof
- Regningsarternes hierarki, det udvidede potensbegreb, rationale
og irrationale tal, ligningsløsning med analytiske metoder.
- Gennemføre simple matematiske ræsonnementer og beviser
Supplerende stof
- Kompleksetal med vægt på ræsonnement og bevisførelse.
4
2
Indledning
Algebra er regning med symboler og bogstaver. Grundet til at regne
med bogstaver, er for at komme frem til nogle generelle regler, som er
rigtige for alle tal. På denne måde kan en masse udregninger undgås.
Det vigtigste man bruger algebra til er beregninger på en computer.
Da ønskes at det skal gå så hurtigt som muligt, derfor er det vigtigt
at reducere udtryk så de bliver nemmere for computeren at udregne.
F.eks. skal computerne udregne
3 · (a + b)2 − 6 · a · b − 3 · b2
kan dette reduceres til
3 · a2
Hvis der indsættes tal i stedet for a og b f.eks. 5 ind i stedet for a og
2 ind i stedet for b bliver det første udtryk til
3 · (5 + 2)2 − 6 · 5 · 2 − 3 · 22 = 3 · 72 − 60 − 3 · 4
= 3 · 49 − 60 − 12
= 147 − 60 − 12
= 75
og det andet udtryk bliver til
3 · 52 = 3 · 25 = 75
Det er hurtigere for computerne og bruge det andet udtryk, og det
er derfor det er vigtigt at reducerer så antallet af beregninger nedsættes. Computeren laver rigtigt mange udregninger hele tiden, derfor
vil alt gå langsommere på computerne hvis regneudtrykkene ikke var
reduceret.
Der er en hel række af regler og love som skal overholdes, hvis ikke
bliver reduceringen forkert. Her er et eksempel på en forkert reducering.
3 · (a + b) = 3 · a + b
5
og computerne skal udregne dette med a lig 5 og b lig 2, bliver det
første til
3 · (5 + 2) = 3 · 7 = 21
og det andet bliver
3 · 5 + 2 = 15 + 2 = 17
og det er bestem ikke sådan at 21 og 17 er det samme tal. Metode med
at sætte tal ind kan også bruges når for at undersøge om reduceringen
er rigtigt. Metoden er ikke helt sikker for det er ikke sikkert at hvis
det er rigtigt med nogle tal så er der rigtigt for alle tal, men ofte vil
det være tilfældet især hvis der bruges forskellige tal og gerne primtal
dvs. (2,3,5,7,11)
6
3
De grundlæggende regler
Der er 10 grundlæggende regler for regning med symboler.
Definition 3.1 Regler for addition, subtraktion, multiplikation, division og paraenteser.[3, s. 9-10]
1.
Den kommutative lov for
addition
v+w =w+v
2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for
addition
3.
v+0=v
Den additive identitet
4.
v + (−v) = 0
Den additive inverse
5.
r(v + w) = rv + rw
Den distributive lov
6.
(r + s)v = rv + sv
Den distributive lov
7.
v·w =w·v
Den kommutative lov for
multiplikation
8.
r(sv) = (rs)v
Den associative lov for
multiplikation
9.
1·v =v
Den multiplikative identitet
10.
v · v −1 = 1
Den multiplikative inverse
Ved at tage udgangspunkt i disse grundlæggende regler kan udledes
en hel masse generelle regler, som gælder for alle tal.
3.1
Tal
Hvad er et tal? Der findes mange tal f.eks. 4, 5, 9378, I, III, IV, DC,
10110, 100110. Fældes for alle disse tal er, at de repræsenterer en
7
værdi. Symbolet "4"repræsentere værdien 4, men det gør symbolet
"IV"og "100"også. Dvs. Et tal er et symbol, som repræsenterer en
værdi. Ofte vil symbolet være efterfulgt af en betegnelse for den værdi
som det repræsenterer f.eks. 4 kr eller 4 kg. I matematik undlade
denne betegnelse ofte.
Tal inddeles i typer. En type af tal er tallene 0,1,2,3,4,. . . , disse tal
kaldes for de naturlige tal og symbolet for disse tal er N. Ud fra de
naturlige tal kan f.eks. −11 og −5 konstrueres ved at sætte − (minus)
foran tallet. På denne måde fås tallene . . . , − 2, − 1,0,1,2, . . . Disse
tal kaldes for de hele tal og symbolet for disse tal er Z. Ud fra de hele
3
7
tal kan f.eks. og
konstrueres. Tal af denne type hedder brøker
6
11
og disse tal kaldes for de rationelle tal og symbolet for disse tal er
Q. Ud fra de
√ rationelle tal kan de reelle tal konstrueres. Det er de tal
som f.eks. 2 og π. Symbolet for de reelle tal er R. Ud fra de reelle
tal kan de kompleks tal konstrueres. Det er tal som 2 + 1i. Symbolet
for de kompleks tal er C.
3
5
3
N
Z
−5
2i − 3
Q
R
√
C
2
8
3.2
Regning
Det er muligt at lave forskellige operationer med tallene. Én operation
er at lægge to tal samme, denne operation kaldes addition. Symbolet
for en addition er + (plus). F.eks.
4+2
De to tal som adderes kaldes led , symbolet kaldes en operator. F.eks.
plus operator
z}|{
4
+
2
|{z}
|{z}
led
led
Ved en addition fås et resultat der kaldes en sum, for at vise at der
er tale om et resultat skrives = (ligmed) foran. F.eks.
plus operator
z}|{
4
+
2 = |{z}
6
|{z}
|{z}
led
led
sum
En anden operation er multiplikation eller at gange som det også
kaldes. Ved en multiplikation af to tal eller bogstaver skrives · mellem
de to tal eller bogstaver, som multipliceres. F.eks. 4 · 3 betyder 4
gange 3 og 4 og 3 kaldes for faktorer. Resultatet af en multiplikation
kaldes et produkt. F.eks.
gange operator
produkt
·
z}|{
4
3 =
z}|{
|{z}
12
|{z}
faktor
faktor
Addition og multiplikation kan også kombineres.
plus operator
a
|{z}
led
z}|{
+
led
}|
gange operator
z
4
|{z}
·
z}|{
faktor
{
z
3·e·y+6
9
{
b = a + 4b
|{z}
faktor
Der er 3 faktorer og 2 led i dette udtryk
sum
}|
De tre faktorer er 3, e og y og de to led er 3 · e · y og 6. Ofte undlades
· hvis det er tydeligt at der skal være ·. F.eks. Vil der istedet for at
skrive 3 · e · y bare skrive 3ey, mens hvis der stod 3 · 4 kan der ikke
skrives 34 fordi det ville betyde fireogtredive og ikke tre gange fire.
3.3
Potenser
Udregninger skal skrives på den mest simple måde og derfor indføres
en måde som beskriver det samme tal ganget med sig selv f.eks.
3 · 3 · 3 · 3 = 34
og det udtales ’tre i fjerde’ eller ’tre opløftet i fjerde’.
−53 = −5 · 5 · 5
Mens
(−5)3 = −5 · −5 · −5
4
Regnearterneshiraki
Når man skal udregne et udtryk med flere en to tal er det vigtigt at
være opmærksom på i hvilken rækkefølge udregningen skal foretages.
Eksempel 4.1 I udtrykket 2 + 3 · 5 skal 3 · 5 udregnes først fordi
· (gange eller multiplikation) skal udregnes inden + (plus eller addition). Udregningen kommer til at se således ud:
2 + 3 · 5 = 2 + 15 = 17
10
Definition 4.2 Regnearterneshiraki er
1. Parenteser
2. Eksponenter
3. Potenser
4. Multiplikationer og divisioner
5. Additioner og subtraktioner
Eksempel 4.3 I udtrykket 23+2 ·4 skal eksponenten 2+3 = 5 udregnes først og derefter skal potensen 25 = 32 og til sidst skal multiplikationen 32 · 4 = 128 udregnes. Udregningen kommer til at se således
ud:
23+2 · 4 = 25 · 4 = 32 · 4 = 128
Opgave 4.4 Regn følgende udtryk ud.
(3 + 3)
1. 2 + 3 · 4
5.
3
2+1
2. (2 − 5) · 2
6. 4 − (2 · 3) · 2
(2 − 5)3−1
3. 4 − 2 · 2
7.
+4
3
1
4. 32 − 3 · 2
8. (2 + 3)2+1 ·
5
4.1
Bogstavregning
Der kan også regnes med bogstaver, her er nogle enkle eksempler som
alle følger af matematikkens grundlæggende love.
a
=1
a + a = 2a
a−a=0
a · a = a2
a
Her er nogle flere, de er lidt mere komplicerede
a + b + a = 2a + b
a − b + 2b = a + b
11
a · b · a = a2 b
Her kombineres plus og gange
a+(b·c) = a+bc
a·(b+c) = ab+ac
b·(a+b+c) = ab+b2 +bc
Her kombineres alle regnearterne
a · (b + c)
=b+c
a
ac + bc ac
=
+c
b
b
ac + bc
=a+b
c
Opgave 4.5 Regn følgende udtryk ud.
a
1. a + a + a
5. 2
a
ab − ac + ad
+c
2. ab − a · b + a
6.
a
2
a
3.
7. a · (a + a)
a
4. a · (b + c) − ab
8. (a + b) · c − (c + b) · a
4.2
Parenteser
Meget ofte er det praktisk at regne med parenteser, der er to ting
operationer, det ene er at gange ind i parenteser det andet er at
sætte udenfor parentes.
Et typisk eksempel er, hvis der er 15% rabat på en vare, da kan prisen
udregnes på følgende måde:
før prisen − 15% af før prisen = prisen
og det udregnes som f.eks
60 kr. − 15% · 60 kr. = 51 kr.
fordi 15% = 0,15 og 0,15 · 60 = 9. Dette kan også udregnes som
60 · 85% fordi
60 − 0,15 · 60 = 60 · (1 − 0,15) = 60 · 0,85
12
Hvis et tal eller bogstav skal ganges ind i en parentes, skal tallet eller
bogstavet ganges med hvert led i parentesen f.eks.
5 · (3 + c − a) = 5 · 3 + 5 · c − 5 · a
dette kan reduceres til
15 + 5c − 5a
Er der to parenteser, som skal ganges ind i hinanden (parenteserne
ganges ud) skal hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden
f.eks.
(x + y + z) · (a + b + c) = (x + y + z) · a + (x + y + z) · b +
(x + y + z) · c
= xa + ya + za + xb + yb + zb +
xc + yc + zc
Der kommer 9 led ud af at gange parenteserne ud, der er fordi der er
3 led i hver af parenteserne og 3 · 3 = 9. Hvor mange led kommer der
ud af at gange disse to parenteser ud (a + b)(x + y)?
Her er en liste over de mest typiske udregninger.
Regel
Eksempel
a + ba = (b + 1)a
a + 4a = (1 + 4)a
ca + ba = (b + c)a
a
·b=a
b
a(b + c) = ab + ac
2a − 4a = (2 − 4)a
4
·7=4
7
3(b + c) = 3b + 3c
Eksempel 4.6 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i
hinanden) (2x + 4) · (3y + z).
(2x+4)·(3y+z) = (2x+4)·3y+(2x+4)·z = 2x·3y+4·3y+2x·z+4·z
13
Eksempel 4.7 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i
hinanden) (2x + y)2 · (5 + z).
Først omskrives (2x + y)2 til (4x2 + y 2 + 4xy), nu ses at der er to
parenteser og ingen potenser
(4x2 + y 2 + 4xy) · (5 + z)
nu kan det ganges ud.
(4x2 + y 2 + 4xy) · (5 + z) = (4x2 + y 2 + 4xy) · 5 +
(4x2 + y 2 + 4xy) · z
= 4x2 · 5 + y 2 · 5 + 4xy · 5 +
4x2 · z + y 2 · z + 4xy · z
= 20x2 + 5y 2 + 20xy + 4x2z + y 2z + 4xyz
Opgave 4.8 Gang følgende parenteser ud.
1. (x + y) · (x + y)
5. (x − y) · (x + y)
2. (x + y) · (2x + y)
6. (x − 3y) · (x + y)
3. (x + 2) · (2 + y)
7. (x − y) · (x + y) · (z + 5)
4. (5x + 4y) · (2x + 3y)
8. (3x + 5y + 3) · (2x + 4)
At skal sætte udenfor parentes, betyder at det som to eller flere led
har tilfældes kan placeres udenfor en parentes.
Eksempel 4.9 Sæt udenfor parentes i følgende udtryk.
2x + 5xy
begge led indeholder x derfor kan det sættes udenfor parentes
2x + 5xy = x · (2 + 5y)
bemærk at x er fjernet fra begge led.
14
Opgave 4.10 Sæt så meget som muligt udenfor parantes.
1. 3x + 4xy
5. 3a + 6ba2
2. 2x + 6xy
6. 2x + 6xy
3. 3x2 + 6xy
7. 3xy 2 − 9xy
4. 4a + 6b + 8c
8. 14x4y 3 − 21x3y 4
5
Logik
Logik er en metode til at bestemme om et udsagn er rigtigt / sandt
/ logisk.
5.1
Argumenter
Et argument er sammensat af to ting: Et eller flere udsagn og en konklusion. Et udsagn kan f.eks. være "alle mennesker er fejlbarlige"eller
"du er et menneske"eller "månen lavet af ost". Ved at sammensætte
udsagnene er det muligt at drage / udlede en konklusion. F.eks.
Fordi alle mennesker er fejlbarlige og fordi du er et menneske
så er du fejlbarlig. Her er udsagnene fremhævet. Foran udsagnene
står fordi, dette kaldes en udsagnsmarkør dvs. et ord som markerer at nu kommer der et udsagn. Der findes mange udsagnsmarkører
f.eks."eftersom, fordi, for, idet, følger af, hvis, som vist ved, som antydet, grunden er, med den begrundelse, som kan sluttes fra, afledes fra,
deduceres fra, i lyset af den kendsgerning"[2, s. 19-20]. De markører
som oftest bruges i en videnskabelig sammenhæng er i kursiv.
15
5.2
Hvad er et bevis?
Et bevis er en serie af argumenter, som tilsammen giver anledning til
den ønskede konklusion - det der skulle bevises. F.eks. hvis man vil
bevise at
(a + b) · (a + b) = a2 + b2 + 2ab
bruges følgende argumenter: 1. Der følger af den distributive lov, at
(a + b) · (a + b) = (a + b) · a + (a + b) · b
2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger
der, at
(a + b) · a + (a + b) · b = a2 + ab + ab + b2
3. Ved at reducer på ovenstående fås, at
a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende:
(a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
Det er meget vigtigt at forstå hvad der sker i hver eneste argument,
derfor skal man være meget omhyggelig og læse et argument af gangen og være helt sikker på at man forstå det. Et sådan resultat formuleres i en ’sætning’ - der er en matematikers betegnelse for en
betydningsfuld konklusion, meget ofte vil der være tale om en formel
med visse betingelser.
6
Kvadratsætningerne
Der findes tre varianter af kvadratsætningerne, alle tre varianter vil
senere vise sig at være nyttige, fordi de forekommer så ofte i andre
udregninger.
16
Sætning 6.1 Hvis a og b ∈ R så vil
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + b2 + 2ab
Sætning 6.2 Hvis a og b ∈ R så vil
(a − b)2 = (a − b) · (a − b) = a2 + b2 − 2ab
Sætning 6.3 Hvis a og b ∈ R så vil
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
Disse tre sætninger kaldes for de tre kvadratsætninger.
Opgave 6.4 Bevis at
1.
2.
Hvis a og b ∈ R så vil
Hvis a og b ∈ R så vil
(a + b) · (a + b) = a2 + b2 + 2ab (a − b) · (a − b) = a2 + b2 − 2ab
3.
4.
Hvis a og b ∈ R så vil
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
Hvis a og b ∈ R så vil
(a+b)3 = a3 +3a2b+3ab2 +b3
Eksempel 6.5 Udregn følgende: (2 + 3) · (2 + 3), først finder vi ud
af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står
+ i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen
siger så at
(5 + 3) · (5 + 3) = 52 + 32 + 2 · 5 · 3 = 25 + 9 + 30 = 64
Meget ofte vil regnens ikke med tal, men med bogstaver. Derfor kommer der her et eksempel med bogstaver.
Eksempel 6.6 Udregn følgende: (x + y) · (x + y), først finder vi ud
af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står
17
+ i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen
siger så at
(x + y) · (x + y) = x2 + y 2 + 2 · x · y
Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.
Eksempel 6.7 Udregn følgende: (2x + y) · (2x + y), først finder vi
ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står
+ i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen
siger så at
(2x + y) · (2x + y) = (2x)2 + y 2 + 2 · (2x) · y = 4x2 + y 2 + 4 · x · y
Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.
Opgave 6.8 Regn følgende opgaver ved brug af kvadratsætningerne
1. (3 − 5) · (3 − 5)
5. (x − r) · (x − r)
2. (3 − 5) · (3 + 5)
6. (2x − r) · (2x − r)
3. (t + r) · (t + r)
7. (3x + 4y) · (3x + 4y)
4. (t − r) · (t + r)
8. (2x − 3y) · (2x + 3y)
Opgave 6.9 Regn følgende opgaver ved brug af kvadratsætningerne
1. (3x − 5y) · (3x − 5y)
5. (3x − 3r) · (3x − 3r)
2. (3x − 5y) · (3x + 5y)
6. (2x − r2) · (2x − r2)
3. (3t + r) · (3t + r)
7. (3x2 + 4y) · (3x2 + 4y)
4. (t − 4r) · (t + 4r)
8. (2x3 − 3y 2) · (2x3 + 3y 2)
Nu har vi set på hvad et bevis er og hvad man kan bruge en sætning
til, nu skal vi arbejde videre med nogle flere grundlæggende sætninger
og deres anvendelser.
18
7
Brøkregning
En brøk består af to dele en tæller og en nævner, meget ofte skrives
det således
tæller
nævner
Der skrives altså tælleren i toppen og nævneren nederst. F.eks.
12a
3ab
Her er 12a tælleren og 3ab er nævneren.
En brøk kan forkortes, hvilket betyder at tæller og nævner divideres
med samme tal eller bogstav. F.eks. kan følgende brøk forkortes med
a
12a 12
=
3ab 3b
En brøk kan forlænges med et tal eller et bogstav, dette betyder at
både tæller og nævner ganges med tallet eller bogstavet. F.eks. her
forlænges med 4:
12a 4 · 12a
=
3ab 4 · 3ab
Definition 7.1 Regneregler for brøker.
a·b
a c
b
·
=
a· =
c
c
b d
a·b
b
a c
=
:
=
a·c
c
b d
a
a·c
a
·c =
:c =
b
b
b
a
c·b
a c
c:
=
+
=
b
a
b d
a c
a+c
+ =
b b
b
19
a·c
b·d
a·d
b·c
a
b·c
a·d+b·c
b·d
Opgave 7.2 Regn følgende opgaver ved brug af regneregler for
brøker
2·3
x 3
1.
5. ·
2·4
2 y
2·x
b x
2.
6. +
2·y
c c
b x
a·3
7. :
3.
a·4
c a
b x
3 3
8. +
4. ·
2 4
c a
Eksempel 7.3 Opgaven er at skrive følgende udtryk om til et udtryk
med 2 parenteser (faktorisering)
9x2 + y 2 + 6xy
Det første man ser efter er det dobbelte produkt dvs. ’2vw’, hvis der
står plus foran så er det 1. kvadratsætning, hvis der står minus så er
det 2. kvadratsætning og hvis der ikke er noget dobbelte produkt så
er det 3. kvadratsætning. I dette tilfælde står der plus (+6xy), der er
altså 1. kvadratsætning der skal bruges.
(v + w)(v + w) = v 2 + w2 + 2vw
Eftersom der står 9 foran x2 må det betyde at v = 3x efter som
v 2 = (3x)2 = 9x2, da der ikke står noget foran y må det betyde at
w = y efter som w2 = (y)2 = y 2. Nu kan udtrykket 9x2 + y 2 + 6xy
faktoriseres
9x2 + y 2 + 6xy = (3x + y)(3x + y)
20
Opgave 7.4 Faktoriser følgende udtryk.
1. x2 + 8xy + 16y 2
5. 9x2 − 12xy + 4y 2
2. 4x2 + 4xy + y 2
6. x4 − 4x2y + 4y 2
3. 4x2 − 12xy + 9y 2
7. 4x2 − 9y 2
1
8. x2 − 9y 2
4
4. 9x2 + 24xy + 16y 2
Opgave 7.5 Forkort følgende
x2 + 8xy + 16y 2
1.
x + 4y
4x2 − 12xy + 9y 2
2.
2x − 3y
4x4 + 12x2y + 9y 2
3.
2x2 + 3y
16x2 − 9y 2
4.
4x − 3y
brøker.
x2 − 5y
5. 4
x − 25y 2
3x3 − 2ax2
6.
9x − 6a
3x4y − xy 3
7.
12x3 − 4y 2
9x2 + y 2 + 6xy
8.
9x + 3y
Opgave 7.6 Reducer følgende to udtryk.
2
2
x
y
−
x−y x−y




x y
1
− ·
y x (x + y)(x − y)
21
8
Potensregneregler
Definition 8.1 Regneregler for potenser. Hvor x og y er forskellige
fra 0.
xs
s
t
s+t
= xs−t
x ·x = x
t
x
s t
s·t
(x ) = x
(x · y)s = xs · y s
 s
xs
x
 
= s
x0 = 1
y
y
√
1
1
s
x = x s , hvor x > 0
x−s = s
x
√
t
s
xt = x s , hvor x > 0
Eksempel 8.2 Følgende udtryk x3 ·x6, kan reduceres ved at anvende
reglen xs · xt = xs+t, så fås at x3 · x6 = x3+6 = x9.
Eksempel 8.3 Følgende udtryk x
reglen (xs)t = xs·t, så fås at x3
6
3 6
, kan reduceres ved at anvende
= x3·6 = x18.
x3
Eksempel 8.4 Følgende udtryk 6 , kan reduceres ved at anvende
x
s
3
x
x
reglen t = xs−t, så fås at 6 = x3−6 = x−3. Som ifølge reglen
x
x
1
1
x−s = er lig x−3 = 3 .
x
x
Ofte forventes det at mere komplicerede udtryk kan overskues.
Eksempel 8.5 Følgende udtryk
x6 · y 4
x3 · y
xs
kan reduceres ved at anvende reglen t = xs−t to gange, først på x
x
x6
og derefter på y. Når regelen anvendes på x fås at 3 = x6−3 = x3
x
22
y4
= y 4−1 = y 3 - Bemærk at y = y 1.
og når den anvendes på y fås at
y
Og disse to resultater kan så sættes sammen.
x6 · y 4
= x3 · y 3
3
x ·y
Dette kan reduceres yderligere ved brug af reglen (x · y)s = xs · y s.
x3 · y 3 = (x · y)3
Eksempel 8.6 Følgende udtryk
√
5 8 2
x · x · x−3
√
√
t
8
s
t
s
x
=
x
på
x2, så fås at
kan
reduceres
ved
at
anvende
reglen
√
2
8
x2 = x 8 det betyder at
√
2
5 8 2
x · x · x−3 = x5 · x 8 · x−3
reglen xs · xt = xs+t anvendes på alle tre faktorer så
2
2
x5 · x 8 · x−3 = x5+ 8 +(−3)
2
2 16 2 18 9
Og da 5 + + (−3) = 2 + =
+ =
= , så fås at
8
8
8
8
8
4
2
9
x5+ 8 +(−3) = x 4
Opgave 8.7 Reducer følgende udtryk. Antag at x, y og a ikke er
0.
√
x4
3 5 10
5. x · x , hvor x > 0
1. 2
x
√
x2
2 3 6
2. 4
6. a · x · a−5 , hvor x > 0
x
√
3 4 2
2
4
x ·y
2x · x · 5a3
√
3. 2 2
7.
, hvor x >
4
2
−4
x ·y
10a · x · x6
0
x2 · x · y 2
14x4y 3 − 21x3y 4
4.
8.
x3 · y 3
7x3y 3
23
9
Ligninger
I dette kapitel omhandler ligninger. En ligning er et udtryk som indeholder et =. Tidligere er = anvendt i forbindelse med udregninger
f.eks.
4(x + 2y) − 2x + 4 = 4x + 8y − 2x + 4
= 2x + 8y + 4
Men dette lighedstegn er i selve udtrykke det ser f.eks. således ud
2x = 8y + 4
Her er = i udtrykke fra starten af. En sådan ligning siges at have
løsninger, det betyder at der findes x’er og y’er som gør at 2x faktisk
er lig 8y + 4. Det kunne f.eks. være hvis x = 12 og y = 2. Meget ofte
vil man kende f.eks. y, og ønske at finde x. Som med algebra ønsker
man at reducerer udtrykket, så meget som muligt, for at det bliver
letter at foretage udregningerne. Men når man arbejder med ligninger
vil man ikke bare reducerer, man vil finde en bestemt ubekendt som
f.eks. x, dette kalder man at isolerer. Isoleres x i ligningen 2x = 8y+4
betyder det at x kommer til at stå alene, i dette tilfælde divideres med
2 på begge sider af lighedstegnet.
2x = 8y + 4 ⇔ x = 4y + 2
Tegnet ⇔ betyder at de to ligninger på hver side har de samme
løsninger.
9.1
Ligningsløsning
Med ligningsløsning menes at ved hjælp af en eller flere udregninger
findes den ’ubekendte’. F.eks. at finde x i ligningen
5x = 15
24
betyder at finde den værdi af x som gør udtrykke sandt. Først divideres
begge sider med 5.
5x 15
=
5
5
og ved udregning ses at
x=3
Eksempel 9.1 Løs ligningen 2x + 4 = 8.
2x + 4 = 8
Først trækkes 4 fra på
begge sider.
⇔ 2x + 4 − 4 = 8 − 4 Det kan reduceres til.
⇔ 2x = 4
2x 4
=
2
2
⇔ x=2
⇔
Så divideres med 2 på
begge sider.
Dette kan reduceres.
Løsningen er L = {2}
Løsningen kan kontrolleres ved at sætte den ind i ligningen, som man
skulle løse. Her sættes x = 2 og så fås
2·2+4=8
Og det betyder at løsningen er rigtigt.
2
Eksempel 9.2 Løs ligningen x + 4 = 3.
3
25
2
x+4=3
3
Først trækkes 4 fra på
begge sider.
2
x + 4 − 4 = 3 − 4 Derefter ganges med 3
3
på begge sider.
2
⇔ 3 · x = −1 · 3
Dette kan reduceres.
3
⇔ 2x = −3
Så divideres med 2 på
begge sider.
3
3
⇔ x=−
Løsningen er L = {− }
2
2
⇔
Opgave 9.3 Løs ligningerne.
1. 6x = 3
5. 9x + 4 = 5x
2. 3x + 4 = 5
3
3. x + 4 = 5
2
1
4. x + 4 = 5x
2
6. x − 2 = 2x + 5
7. 5x − 4 = 2x + 5
8. 7x + 3 = x − 5
Ofte vil der være mere end en ubekendt i en ligning, hvis der er det
kan ligningen ikke løses. Istedet kan en af de ubekendte isoleres, f.eks.
kan x isoleres i ligningen
3y = 5x + 7
dvs. få x til at stå alene på den ene side at lighedstegnet.
3y − 7 = 5x + 7 − 7 Først trækkes 7 fra på
begge sider.
⇔ 3y − 7 = 5x
3y − 7 5x
=
5
5
3y − 7
⇔
=x
5
⇔
Derefter dividerer med
5.
Dette reduceres.
Nu er x isoleret.
26
Opgave 9.4 Isoler x i ligningerne.
1. 3x = 6y
5. 3 − ax = 4x
2. b = 2 − x
6. ax = 4x − c
2c
7. a =
x−d
8. y = 3x + 5
3. 2q = 3x + 7
4. 8x = 4x − 7
Opgave 9.5 Løs ligningerne.
1. 2x − 3 = x + 5
2. 7x + 3 = 4(x + 2) − 2
3. 3(14 + x) = 9
5
−15
4. x =
7
2
13
−15
x=
2
2
1
7
6. − x = −
8
4
1
7. (1 + x) = 7
2
5.
8. (x − 1)(x + 2) = 0
En anden type af ligninger er dem som er bygget op af faktorer og
som er lig 0 f.eks.
(x + 3)(x − 5) = 0
her er løsningen nem at finde ved at bruge nulreglen .
Sætning 9.6 Et produkt er 0 hvis og kun hvis mindst en af faktorerne er 0.
x·y =0⇔x=0∨y =0
Eksempel 9.7 Ligningen (x + 3)(x − 5) = 0 kan løses ved brug af
nulreglen.
(x + 3)(x − 5) = 0 ⇔ x + 3 = 0 ∨ x − 5 = 0
⇔ x = −3 ∨ x = 5
Eksempel 9.8 Ligningen 3 · (x − 2)(8 + x) = 0 kan løses ved brug
27
af nulreglen.
3 · (x − 2)(8 + x) = 0 ⇔ x − 2 = 0 ∨ 8 + x = 0
⇔ x = 2 ∨ x = −8
Eksempel 9.9 Ligningen (x2 + 3)(x − 4) = 0 kan løses ved brug af
nulreglen.
(x2 + 3)(x − 4) = 0 ⇔ x2 + 3 = 0 ∨ x − 4 = 0
⇔ x2 = −3 ∨ x = 4
⇔x=4
Da x2 aldrig kan være negativ så har ligningen kun denne ene løsning.
Eksempel 9.10 Ligningen x · (x2 − 7)(x + 4) = 0 kan løses ved brug
af nulreglen.
x · (x2 − 7)(x + 4) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x2 − 7 = 0 ∨ x + 4 = 0
⇔ x = 0 ∨ x2 = 7 ∨ x = −4
√
√
⇔ x = 0 ∨ x = − 7 ∨ x = 7 ∨ x = −4
√
√
Da både 7 og − 7 løser ligningen x2 = 7, har ligningen fire løsninger.
Opgave 9.11 Løs ligningerne.
1. (x − 2)(x + 1) = 0
5. (x2 − 9)(x + 2) = 0
2. (x + 5)(x − 9) = 0
6. (x + 5)(x − 7)(x + 1) = 0
3. 5(x − 3)(x + 1) = 0
7. (x2 + 2)(x2 + 3) = 0
4. x(x + 2)(x − 5) = 0
8. x(x + 2)(x2 + 2)(x3 − 1) = 0
28
9.2
To ligninger med to ubekendte
En anden type ligningsløsning er to ligninger og to ubekendte, hvor
både x og y skal findes i disse to ligninger:
1
x+ y =3
2
∧
2x − 3y = −2
Sådanne to (eller flere) ligninger kaldes for et ligningssystem. Der
er flere måde at løse sådanne et problem, her bruges den metode hvor
man udnytter de samme metoder som man brugte ved ligningsløsning.
Metoden til at løse sådanne problemer er på 4 trin.
1. x eller y isoleres i den ene af
de to ligninger.
3. Den fundene værdi indsættes i den første ligning og
den anden ubekendte beregnes.
2. Den isolerede variabel indsættes i den anden ligning
og værdien af den ubekendte
udregnes.
4. Resultatet opskrives på
formen (x,y) =(x-værdien,yværdien)
Eksempel 9.12 Løs følgende ligningssystem
1
x + y = 3 ∧ 2x + 3y = −2
2
Trin 1
x isoleres i den første ligning.
1
x+ y = 3⇔
2
1
x = 3− y
2
Trin 2
29
x substitueres i den anden ligning og y-værdien udregnes.
1
2 3 − y  + 3y
2
6 − y + 3y
2y
y


= −2 ⇔
= −2 ⇔
= −8 ⇔
= −4
Trin 3
Den fundne y værdi indsættes i den første ligning
x=3−
1
· (−4) = 3 + 2 = 5
2
Trin 4
Løsning på ligningssystemet er (x,y) = (5, − 4).
Opgave 9.13 Løs ligningssystemerne.
1. y = 3x − 3 ∧ y = 2x − 1
5. y − 13 = 2x ∧ y + x = 4
2. y = x + 1 ∧ y = 2x − 2
6. y + 2x + 5 = 0 ∧ y = 3x
3. y = 4x − 6 ∧ y = −4x + 2 7. y − 2x = 8 ∧ y = 2x − 3
4. y = 2x + 13 ∧ y = −x + 4 8. y = 4x ∧ y = 5x
30
9.3
Andengradsligninger
Andengradsligningen er en ligning på formen ax2 + bx + c = 0,
hvor a,b og c er reelle tal og hvor a 6= 0. Et eksempel kunne være
2x2 − 2x − 4 = 0, her er a = 2 og b = −2 og c = −4. Det er
interessant at kunne løse sådanne ligninger fordi mange problemer kan
reduceres til sådanne ligninger f.eks. at finde mængden af et bestemt
stof i en opløsning, eller at bygge en bro eller at bestemme hvor en
bombe vil lande osv. Da der er så mange forskellige problemstillinger
så vil vi løse problemet en gang for alle, og det gør vi ved at bevis at
løsningen hvis der er en kan findes ved formlen
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Dette er formuleret i denne sætning.
Sætning 9.14 Hvis a,b,c,x ∈ R og a 6= 0 så vil andengradsligningen
ax2 + bx + c = 0
med diskriminanten d = b2 − 4ac have løsningerne
√
−b ± d
x=
2a
hvis d ≥ 0 og ligningen vil ikke have nogen løsninger hvis d < 0.
Bevis.
Beviset tager udgangspunkt i andengradsligningen, og ønsker så at
isolere x.
ax2 + bx + c = 0
Først ganges med 4a på alle led.
ax2·4a + bx·4a + c·4a = 0·4a
Derefter lægges b2 − 4ac til på begge sider, bemærk at b2 − 4ac er
31
diskriminanten d.
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 − 4ac = 0 + b2 − 4ac
Så reduceres
4a2x2 + 4abx + b2 = d
Venstre side omskrives ved brug af kvadratsætningen (p + q)2 =
p2 + q 2 + 2pq. I dette tilfælde er b = q og 2ax = p.
(2ax + b)2 = d
Antag at d < 0. Da vil ligningen (2ax + b)2 = d ikke have nogle
løsninger, fordi der er ikke noget reelt tal som i anden bliver negativt.
Antag derfor at d ≥ 0. Kvadratroden kan derfor tages af begge sider.
r
√
2
(2ax + b) = d
r
Da gælder at p2 = ±p
√
2ax + b = ± d
Nu kan x isoleres. Først trækkes b fra.
2ax = −b ±
Derefter divideres med 2a.
√
d
√
x=
−b ± d
2a
Q.E.D.
Eksempel 9.15 Løs ligningen 2x2 − 2x − 4 = 0.
Først identificeres hvad a,b og c er:
a=2
b = −2
c = −4
Så udregnes d:
d = b2 − 4ac
= (−2)2 − (4 · 2 · −4) = 4 − (−32) = 36
32
Da d > 0 er der to løsninger:
√
√



d
−(−2)
+
36 2 + 6
−b
+




=
=
=2


2a
2
·
2
4
√
√
x = 

−b
−
d
−(−2)
−
36 2 − 6




=
=
= −1

2a
2·2
4
Så løsningen er L = {−1,2}.
Eksempel 9.16 Løs ligningen 3x2 + 12x + 12 = 0.
Først identificeres hvad a,b og c er:
a=3
b = 12
c = 12
Så udregnes d:
d = b2 − 4ac
= (12)2 − (4 · 3 · 12) = 144 − (144) = 0
Da d = 0 er der en løsning:
x=
−b −12
=
= −2
2a
2·3
Så løsningen er L = {−2}.
Eksempel 9.17 Løs ligningen x2 − 3x = 0.
Først identificeres hvad a,b og c er:
a=1
b = −3
c=0
Så udregnes d:
d = b2 − 4ac
= (−3)2 − (4 · 1 · 0) = 9 − (0) = 9
Da d > 0 er der to løsninger:
√
√



−b + d −(−3) + 9 3 + 3




=
=
=3


2a
2
·
1
2
√
√
x = 

−b − d −(−3) − 9 3 − 3




=
=
=0

2a
2·1
2
Så løsningen er L = {0,3}.
33
Eksempel 9.18 Løs ligningen x2 − 3x + 4 = 0.
Først identificeres hvad a,b og c er:
a=1
b = −3
c=4
Så udregnes d:
d = b2 − 4ac
= (−3)2 − (4 · 1 · 4) = 9 − (36) = −27
Da d < 0 er der ingen løsninger. Så løsningen er L = ∅.
Opgave 9.19 Løs ligningerne.
1. x2 + x − 6 = 0
5. x2 + 6x + 8 = 0
2. x2 − 4 = 0
6. x2 − 2x − 15 = 0
3. x2 − 5x + 6 = 0
7. x2 + 4x + 4 = 0
4. x2 − 6x + 8 = 0
8. x2 + x + 7 = 0
Opgave 9.20 Løs følgende ligninger.
1. 2x + 8 = 3x − 8
1
2. x + 5 = 3x − 10
2
3. 3x2 + 4x − 15 = 0
4. x2 + 2x − 15 = 0
5. y = 3x + 4 ∧ y = 2x − 2
6. 2y = 3x + 4 ∧ y = 2x + 3
7. 3x2 − 5x − 2 = 0
1
8. 2y − 5x = −4 ∧ y = x − 7
2
34
10
Komplekse tal
Da man fik formaliseret løsningerne til anden- og trejdegradsligningerne
√
i miden af 1500-tallet, var en del af løsningerne på formen a + b −1,
hvor a og b var reelle tal.[1, s. 1] Det drejer sig f.eks. om løsningen
på andengradsligningen
x2 + 2x + 5 = 0
Diskriminanten beregnes
D = b2 − 4ac ⇒
D = 22 − 4 · 1 · 5
= 4 − 20
= −16
Normalt ville udregningen stoppe her fordi hvis diskriminanten er negativ, så er der ingen løsningen til ligningen. Dette er i midlertidig ikke
helt rigtigt, den korrekte formulering er at der ikke er nogle reel løsning
til ligningen. Hvis beregningen forsættes...
√
√
−b − D
−b + D
x =
⇒
x =
⇒
2a√
2a√
−2 + −16
−2 − −16
x =
x =
2 √
2 √
−2 + 4 · −1
−2 − 4 · −1
=
=
2√
2√
= −1 + 2 −1
= −1 − 2 −1
√
Men hvad er −1? Kvadratroden af et negativt tal er ikke noget hvor
der findes en løsning. Men prøv at sammenligne det med løsningen til
denne ligning
x2 + 2x − 7 = 0
35
Diskriminanten beregnes
D = b2 − 4ac ⇒
D = 22 − 4 · 1 · (−7)
= 4 + 28
= 32
Derefter beregnes x.
√
√
−b + D
−b − D
⇒
x =
⇒
2a√
2a√
−2 + 32
−2 − 32
x =
x =
2√
2√
−2 + 2 · 16
−2 − 2 · 16
=
=
2 √
2 √
−2 + 4 · 2
−2 − 4 · 2
=
=
2√
2√
= −1 + 2 2
= −1 − 2 2
√
√
Da hverken −1 eller 2 kan omskrives til et rationelt tal, er der
ikke den store forskel
typer af løsning. Det er først hvis man
√ på de to
√
ønsker at omregne 2 eller −1, at der opstår problemer.
x =
Det var først med Descartes og Euler i miden af 1800-tallet at man
lavede opdelingen af tal i reelle og imaginære.[1, s. 1] De imaginære
tal var nogle tal som kun eksisterede i tankerne mens de reelle tal var
i virkeligheden. Dette er naturligvis noget vrøvl, tal er kun noget der
er i tankerne. Ingen tal eksistere på samme måde som f.eks. fugle. Da
Euler delte de komplekse tal op i en real del og en imaginær del gav
√
√
han samtidig −1 symbolet i. Så −1 − 2 −1 blev til −1 − 2i.
Det var Gauss der fik det matematiske samfund til igen at acceptere
de komplekse tal ved at give dem en geometrisk repræsentation. Dette
gjorde han ved at associere det komplekse tal a+bi med punktet (a,b)
36
hvor han kalde y-aksen for imaginær aksen og x-aksen for real aksen.
10.1
Regning med komplekse tal
Det vil være bedst om der gælder de samme regler for regning med
komplekse tal som med reelle tal. Reglerne for de reelle tal er følgende.
Definition 10.1 Hvis v, w, r, s ∈ R så gælder følgende regler.
1.
v+w =w+v
Den kommutative lov for addition
2. (v + w) + s = v + (w + s) Den associative lov for addition
3.
v+0=v
Den additive identitet
4.
v + (−v) = 0
Den additive inverse
5.
r(v + w) = rv + rw
Den distributive lov
6.
(r + s)v = rv + sv
Den distributive lov
7.
v·w =w·v
Den kommutative lov for
multiplikation
8.
r(sv) = (rs)v
Den associative lov for multiplikation
9.
1·v =v
Den multiplikative identitet
10.
v · v −1 = 1
Den multiplikative inverse
Hvis der skal gælde de samme regler så betyder det f.eks. at
(2 + 3i) + (−1 + 5i) = (−1 + 5i) + (2 + 3i)
Eller sagt på en anden måde skal addition og multiplikation med
kompleksetal defineres så regel 1 til 10 er opfyldt.
37
Definition 10.2 Hvis a,b,c,d ∈ R så er addition og multiplikation
defineret ved følgende ligninger.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(1)
(2)
Eksempel 10.3
(2 + 3i) + (−1 + 5i) = (2 − 1) + (3 + 5)i = 1 + 8i
Eksempel 10.4
(2 + 3i) · (−1 + 5i) = (2 · (−1) − 3 · 5) + (2 · 5 + 3 · (−1))i = −17 + 7i
Opgave 10.5 Udregn følgende komplekse tal.
1. (1 + 4i) + (8 − 3i)
5. (2 + 1i) + (−2 + 1i)
2. (8 − 3i) + (1 + 4i)
6. (5 + 2i) − (3 + 2i)
3. (7 − 3i) + (4 − 1i)
7. (2 + 1i) · (3 − 4i)
4. (4 − 1i) + (7 − 3i)
8. (3 + i) · (1 + 3i)
Nu vises at regel 1 gælder for komplekse tal.
Sætning 10.6 Hvis a,b,c,d ∈ R er addition kommutativ for de
komplekse tal v = (a + bi) og w = (c + di). Det vil sige, at
(a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi)
Bevis.
Først udregnes venstreside
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Dernæst udregnes højreside
(c + di) + (a + bi) = (c + a) + (d + b)i
38
(3)
Da a og c er reelle tal gælder regel 1 for dem, og derfor er a+c = c+a
og tilsvarende for b og d, derfor er
(a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i
og hermed er regel 1 vist for komplekse tal.
Q.E.D.
Opgave 10.7 Vis at reglerne 2,7,8,5 og 6 fra definition 10.1 også
gælder for komplekse tal.
Definition 10.8 Den additive identitet (nul) for de komplekse tal
er
0 + 0i
Opgave 10.9 Vis at regel 3 fra definition 10.1 også gælder for komplekse tal.
Opgave 10.10 Bestem den additive inverse for komplekse tal (regel
4).
Definition 10.11 Den multiplikative identitet (én) for de komplekse tal er
1 + 0i
Opgave 10.12 Vis at regel 9 fra definition 10.1 også gælder for
komplekse tal.
Opgave 10.13 Bestem den multiplikative inverse (regel 10).
39
10.2
Geometrisk repræsentation af komplekse tal
De komplekse tals geometriske repræsentation[1, s. 4] åbner op for
en række forskellige begreber.
Definition 10.14 Den absolutte værdi af det komplekse tal a + bi
hvor a, b ∈ R er
√
|a + bi| = a2 + b2
Definition 10.15 Den konjugerede værdi af det komplekse tal a +
bi hvor a, b ∈ R er
a + bi = a − bi
Definition 10.16 Argumentet af det komplekse tal a + bi hvor
a, b ∈ R er vinklen, v, mel
lem x-aksen og den rette linie mellem punkterne (0,0) og (a,b). v
er så defineret som det tal hvorom der gælder, at
cos(v) = √
a
b
√
og
sin(v)
=
a2 + b2
a2 + b2
40
Svar til opgaverne
Opgave 4.4.
1. 14, 2. −6, 3. 0, 4. 3, 5. 2, 6. 52, 7. 7, 8. 25.
Opgave 4.5.
1
1. 3a, 2. a, 3. a, 4. ac, 5. , 6. b + d, 7. 2a2, 8. bc − ab.
a
Opgave 4.8.
1. x2 + 2xy + y 2,
2. 2x2 + 3xy + y 2,
3. 2x + 2y + xy + 4,
4. 10x2 + 23xy + 12y 2,
5. x2 − y 2,
6. x2 − 2xy − 3y 2,
7. x2z − y 2z + 5x2 − 5y 2, 8. 6x2 + 10xy + 18x + 20y + 12.
Opgave 4.10.
1. x(3 + 4y), 2. 2x(1 + 3y), 3. 3x(x + 2y), 4. 2(2a + 3b + 4c),
5. 3a(1 + 2ba), 6. 2x(1 + 3y), 7. 3xy(y − 3), 8. 7x3y 3(2x − 3y).
Opgave 6.8.
1. 4, 2. −16, 3. t2 + r2 + 2tr, 4. t2 − r2, 5. x2 + r2 − 2xr,
6. 4x2 + r2 − 4xr, 7. 9x2 + 16y 2 + 24xy, 8. 4x2 − 9y 2.
Opgave 6.9.
1. 9x2 + 25y 2 − 30xy, 2. 9x2 − 25y 2, 3. 9t2 + r2 + 6tr, 4. t2 − 16r2,
5. 9x2 + 9r2 − 18xr, 6. 4x2 + r4 − 4xr2, 7. 9x4 + 16y 2 + 24x2y,
8. 4x6 − 9y 4.
Opgave 7.2.
x
3
9
3x
b+x
b·a
b·a+c·x
3
1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6.
, 7.
, 8.
.
4
y
4
8
2y
c
x·c
a·c
41
Opgave 7.4.
1. (x + 4y)(x + 4y), 2. (2x + y)(2x + y), 3. (2x − 3y)(2x − 3y),
4. (3x + 4y)(3x + 4y), 5. (3x − 2y)(3x − 2y), 6. (x2 − 2y)(x2 − 2y),
1
1
7. (2x + 3y)(2x − 3y), 8. ( x + 3y)( x − 3y).
2
2
Opgave 7.5.
1. x + 4y, 2. 2x − 3y, 3. 2x2 + 3y, 4. 4x + 3y, 5.
1
, 6. , 7. ,
x2 + 5y
8. .
Opgave 8.7.
1
1. x2, 2. x−2, 3. y 2, 4. , 5. x5, 6. a−3 · x2, 7. x6 · a, 8. 2x − 3y.
y
Opgave 9.3.
1
2
8
1
1. x = , 2. x = , 3. x = , 4. x = , 5. x = −1, 6. x = −7,
2
3
3
9
4
7. x = 3, 8. x = − .
3
Opgave 9.4.
2q − 7
7
3
, 4. x = − , 5. x =
,
3
4
4+a
2c + ad
y−5
c
6. x = −
, 7. x =
, 8. x =
.
a−4
a
3
1. x = 2y, 2. x = 2 − b, 3. x =
Opgave 9.11.
1. L = {−1,2}, 2. L = {−5,9}, 3. L = {−1,3}, 4. L = {−2,0,5},
5. L = {−3, − 2,3},
6. L = {−5, − 1,7},
7. L = ∅,
8. L = {−2,0,1}.
Opgave 9.13.
1. (2,3), 2. (3,4), 3. (1, − 2), 4. (−3,7), 5. (−3,7), 6. (−1, − 3),
7. Ingen løsning, 8. (0,0).
42
Opgave 9.19.
1. L = {−3; 2}, 2. L = {−2; 2}, 3. L = {2; 3}, 4. L = {2; 4},
5. L = {−4; −2}, 6. L = {−3; 5}, 7. L = {−2}, 8. L = ∅.
Opgave 9.20.
5
1. x = 16, 2. x = 6, 3. −3, , 4. (−5,3), 5. (x,y) = (−6, − 14),
3

 1 
6. (x,y) = (−1, − 2), 7. − ,2, 8. (x,y) = (−24, − 62).
3


Opgave 10.5.
1. 9+i, 2. 9+i, 3. 11-4i, 4. 11-4i, 5. 2i, 6. 2, 7. 10-5i, 8. 10i.
43
Litteratur
[1] Joseph Bak and Donald J. Newman. Complex Analysis. Springer,
2 edition, 1997. ISBN 0-387-94756-6.
[2] Hans Fink, Carsten Bengt-Petersen, and Niels Thomassen. Menneske, Samfund, Natur - indføring i filosofi. Gyldendal, 2 edition,
1993. ISBN 87-00-20948-1.
[3] Robert Messer. Linear Algebra - Gateway to Mathematics. HaperCollins Collage Publishers, 1994. ISBN 0-06-501728.
44