Kommentarer til LIGNINGER
Transcription
Kommentarer til LIGNINGER
Kommentarer til ligninger Faglige mål Kapitlet lægger op til, at eleverne • lærer at udvikle og vælge metoder til at kunne løse ligninger og uligheder – herunder at kunne bestemme løsningerne grafisk. • regner med brøker og inddrager alle fire regningsarter i forbindelse med løsning af ligninger og reduktion af algebraiske udtryk. Kapitlet lægger især op til, at eleverne kan udvikle følgende faglige kompetencer. At kunne… behandle symboler ved at anvende variable, reducere udtryk og omforme ligninger i mange forskellige sammenhænge. Særligt relevante aktiviteter: 20-30 ræsonnere, hvilket især kommer til udtryk, når eleverne selv skal ræsonnere sig frem til metoder og regler for løsning af ligninger. Særligt relevante aktiviteter: 23, 35, 36 behandle problemstillinger med ligninger og uligheder i forbindelse med opgaveløsning. I de fleste opgaver inddrages kontekster fra virkeligheden. Forløbet lægger op til, at eleverne kan løse ligninger på flere forskellige måder. Særligt relevante aktiviteter: 26-32 Matematrix og dette kapitel Eleverne har allerede arbejdet med variabelbegrebet i bogens første kapitel. Det er derfor nærliggende at bygge videre på dette forhåndskendskab, når de skal håndtere algebraiske udtryk i forbindelse med ligningsløsning. Det er vigtigt at pointere, at eleverne ikke skal have serveret færdige metoder til løsning af ligninger. Derimod skal de selv udvikle metoder og regler ud fra egne erfaringer. Disse metoder og regler kan med fordel drøftes i klassen og eventuelt sammenlignes med de sædvanligt anvendte metoder. Gennem ræsonnementer, fejlslutninger og gentagen inspektion bruger eleverne deres ræsonnementskompetence til at udvikle forskellige metoder, som fx ”se, hvad løsningen er, regne baglæns, reducere eller prøve at indsætte forskellige talværdier”. Inspektionsmetoden er en helt acceptabel fremgangsmåde på dette klassetrin. Ved gentagen brug af denne metode oplever eleverne, at løsningen af ligningen er det tal, der gør ligningen til et sandt udsagn. Ved øget kompleksitet vil inspektionsmetoden dog vise sin begrænsning. I syvende klasse lægges der derfor op til, at eleverne også bliver fortrolige med at kunne omforme ligninger effektivt og sikkert. 58 Matematrix 7 · Lærervejledning I Matematrix 6 er der et selvstændigt kapitel om ligninger med fokus på ligningsbegrebet og analogien til ”ligevægt”. Løsningsmetoderne, ”gæt og gør prøve” og ”omformning (i simpel form)” bindes stramt op på begrebet. Desuden er der to kapitler i Matematrix 5 og 6 om formler og sammenhænge, hvor der lægges op til at arbejde med ligninger i praksis. Faktisk har Ligninger været en del af Matematrix allerede fra indskolingsbøgerne i form af opgaver som eksempelvis: Find ”det hemmelige tal” i 10 –__= 8 Hvilket tal passer i kassen: 3 + = 12. RELATEREDE FORLØB TIL LIGNINGER i 7.-9. KLASSE 7 Variable Forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable. Rumfangsberegning Beregning og vurdering af variabelværdier i forhold til en række rumfangsformler. 8 Arealberegning Beregning og vurdering af variabelværdier i forhold til en række arealformler. Ligninger Opstilling og løsning af ligninger – herunder at forholde sig til de tre centrale modelleringsprocesser: Oversættelse, bearbejdning og fortolkning. 9 Matematisk modellering Matematisering ved hjælp af afgrænsning og systematisering af problemfeltet. Grafer Ligningssystemer, to ligninger med to ubekendte. Uligheder. Parabler. Grundbog Arbejdsark Regneark Grundtankerne OVERSIGT: LIGNINGER Geometri- Film: Faglige filer Film: Geometri Intro SIDE 43 Intro aktiviteter SIDE 44-45 Evaluering SIDE 62 21. Uligheder • Faglig (tre stk.) IT Uligheder SIDE 55-57 Udsalgspriser SIDE 58-59 Lejrskole på Bornholm SIDE 60-61 19. Hvad er gået galt i omformningerne? 20. Ligninger og geometriske figurer 22. Budgetskema • Lejrskole • Evalueringsark 6-7 Facitliste: Kopiark Opgaver SIDE 51-54 • Faglig Facitliste: Arbejdsbog Dette kapitel lægger op til, at eleverne skal forstå, at løsningen af en ligning er det tal, der gør ligningen til et sandt udsagn. Desuden skal de arbejde med ligninger i mange forskellige sammenhænge og forstå, at der er flere veje til målet fx regne baglæns, reducere eller prøve at indsætte et tal. Matematrix 7 · Lærervejledning 59 Facitliste: Grundbog Øvelser SIDE 48-50 15. Skålvægte 16. Forklar hvad der er sket fra linje til linje 17. Løs ligninger 18. Find den ubekendte Kommentarer • Ligninger • Faglig (tre stk.) 1-3 • Geometri Gennemgang SIDE 46-47 Hvad er en ubekendt? Ligninger Hvis to figurer i en opgave er ens, skal der stå det samme tal i figurerne. 1 b 7– c d 3∙ e f 54 : 2 4 Hvad skal der stå i den tomme figur for at udsagnet bliver sandt? a Hvordan får man skabt balance i skålvægten? ning? Hvordan skaber man ligevægt i en skålvægt, end en løs g have mere g? hvis der er 1 kg ris i den ene vægtskål, og den Kan en lignin lignin anden er tom? ed en uligh r en Ligne +4=7 =5 + 2 = 10 = 27 :6=7 =9 g Forklar hvad der sker med hver ligning fra linje til linje. : 14 = 5 h 72 : i a =8 ∙ =4 j – 34 = –21 k + l ∙ c = 16 6x + 5 = 2x + 13 6x+ 5 – 5 = 2x + 13 – 5 = 81 2x = 6 – x 2x + x = 6–x+x 3x = 6 3x _ __ 6 3 =3 x=2 6x – 2x = 2x + 8 – 2x 4x = 8 4x __ 4 = _48 Omformning af ligninger kan gøre det nemmere at se, hvad løsningen er, fordi man får den ubekendte til at stå alene på en side af lighedstegnet. Man kan tænke på en ligning som en vægt. Påstanden om lighed svarer så til, at de to vægtskåle er i balance. De to talstørrelser på hver side af lighedstegnet svarer til lodderne i hver af de to vægtskåle. 2x – 4 = –3 2x – 4 + 4 = –3 + 4 Ved omformning af en ligning ændres løsningen ikke. 2x = 1 – 38 –2x + 14 = 11x 38 = 11x – 38+ –2x + 14 + 38 –2x + 52 = 11x = 11x + 2x –2x + 52 + 2x 52 = 13x x=2 Man kan omforme ligningen En ligning består af to talstørrelser på hver sin side af et lighedstegn. Lighedstegnet er en påstand om, at de to talstørrelser er lige store. 2x – 4 + x = –3 + x 2x – 4 + x – x = –3 + x – x 2x __ d 6x = 2x + 8 Reducer følgende udtryk: a 2 æg + 3 æg + 4 høns + 1 æg + 1 høne b 4 æbler + 3 pærer + 2 æbler + 10 pærer – 5 æbler c 10 fluer – 2 myg – 8 fluer + 4 myg + 3 myg – 1 flue d 2x + 3x + 4y + x + y e 4b + 3a + 2b + 10a – 5b f 8x – 2y – 10x + 4y + 3y – x b 2 = _12 3x + 10 = 45 – 3x + 10 – 10 = 2x 45 – 2x – 10 Løsninger kan findes på flere måder: 3x = 35 – 2x 3x + 2x = 35 – 2x + 2x 5x = 35 13x = ___ 13 4=x 52 __ 13 x + 10 = 2x – 3 x – x + 10 = 2x – x – 3 10 = x – 3 10 + 3 = x – 3 + 3 13 = x En løsning til en ligning er et eller flere tal, der kan sættes ind på den eller de ubekendtes plads, så påstanden om, at de to talstørrelser er lige store, er sand. x = _21 e 5x __ 5 16x + 5 – 4x = 229 – 2x 16x + 5 – 5 – 4x = 229 – 5 – 2x 12x = 224 – 2x 12x + 2x = 224 –2x + 2x 14x = 224 14x = 224 14 14 x = 16 Man kan gætte Løs ligningen x + 2 = 5 Her kan du gætte eller tænke dig til, at hvis man skriver 3 på x's plads, så er de to talstørrelser lige store, nemlig 5. 35 = __ 5 x=7 Der trækkes x fra på begge sider Der reduceres på begge sider Der lægges 3 til på begge sider Det ses, at løsningen er 13 Der trækkes 5 fra på begge sider Der reduceres på begge sider Der lægges 2x til på begge sider Der reduceres på begge sider Der divideres med 14 på begge sider Det ses, at løsningen er 16 Man kan prøve sig frem 5 3 SIDE 43 19/06/14 09.56 44 9788723038470_indhold.indd 44 SIDE 44-45 Mathilde har to små søskende. Hun er 2 år ældre end den næstældste og 4 år ældre end den yngste. Tilsammen er de tre søskende 24 år. a Hvilke af ligningerne kan bruges til at finde Mathilde alder? 1 x + (x + 2) + (x + 4) = 24 2 x + (x – 2) + (x – 4) = 24 6 L IG N I NG E R Løs ligningerne: a 2x – 2 = x b 3x + 1 = 9 + x c 13x + 5 = 8x – 15 L IG N I NG E R 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 45 SIDE 43 INTRO Introbilledet forestiller Justitia, som er retfærdighedens gudinde i den romerske mytologi. Hun anvendes ofte som symbol på balance. Når den skålvægt, hun holder i sin venstre hånd, er i balance, så er retfærdigheden sket fyldest. Eleverne kan sikkert huske konkrete aktiviteter med skålvægte fra de mindre klassetrin. Alligevel kan man med fordel anvende skålvægte under introaktiviteterne og i gennemgangen, da de afspejler principperne for ligninger og ligningsløsning på en meget anskuelig måde. Introspørgsmålene lægger da også op til at arbejde konkret med skålvægte og definere ordet balance i betydningen ligevægt. Svaret på det andet spørgsmål kan selvfølgelig være ”et kilo ris”. Det vil dog være mere relevant at pege på, at det blot skal være en eller flere genstande, som vejer det samme som risen – altså et kilo. Lad eleverne tænke med. Kommentarer til de skæve spørgsmål Spørgsmål 1: I matematikken er en ubekendt en værdi, man ikke kender. Eleverne har tidligere oplevet ubekendte symboliseret ved en streg, en figur, en mursten eller ved et bogstav. Spørgsmål 2: En ligning kan godt have to løsninger, fx har andengradsligningen x2 = 4, både 2 og –2 som løsninger. I dette kapitel har ligningerne dog kun et facit. Kapitlet har også et fagligt opslag om uligheder, der jo almindeligvis har flere facitter. Spørgsmål 3: Ja, en ligning og en ulighed ligner i høj grad hinanden – sammenlign fx de to definitioner i grundbogen (side 46 og side 55). SIDE 44-45 INTROAKTIVITETER 1-2 er velkendte aktiviteter fra tidligere klassetrin, som henholdsvis handler om at finde den ubekendte og om at reducere. At reducere vil sige at omskrive et udtryk til den simplest mulige form. Man regner med bogstaver på samme måde som med tal, og ens bogstaver kan lægges sammen, trækkes fra hinanden osv. 3 Lighedstegnet er ikke en garanti for, at udsagnet altid er sandt. Tal fx med eleverne om, hvornår x + 2 = 4 er sandt, og hvornår det er falsk. 4 lægger op til arbejdet med omformning af ligninger. Når man løser ligninger, har man ofte brug for at omforme og reducere dem. Det er en god idé at fokusere på forskellige løsningsstrategier. Formålet med at 60 Matematrix 7 · Lærervejledning Puha! Der er brøker med. 3 x + (x + 2) + (x + 4) = 30 4 x + (x – 2) + (x – 4) = 30 1 2x b Hvor gammel er Mathilde? 1 + 4x det giver A: Jeg prøver med x = 4. B: Så står der 16 = 12. Det blev for meget på den side, hvor der er flest x’er. Prøv med et mindre tal. d 22x – 22 = 11 + 11x e 6 – 10x = 2 – 2x f 2_21 x + 3 = 8 + 2x 45 19/06/14 09.56 A: Så prøver jeg med 1. B: Nu står der 7 = 9. 1 er for lidt. Prøv med et tal mellem 1 og 4. 46 SIDE 46-47 9788723038470_indhold.indd 46 3 4 x. A: Så prøver jeg med 2. Det giver 10 = 10. B: Det lykkedes! Der står det samme på begge sider. x = 2 giver et sandt udsagn. L IG N I NG E R Så kan vi gange med 4 på begge sider. Nu må vi dele med 3 på begge sider. Så er løsningen altså 8. GeoGebra Ligninger GeoGebra Ligninger 1-3 L IG N I NG E R 19/06/14 09.56 Lad os lægge 2 til på begge sider, så x’erne står alene på venstre Dem regner side. vi da bare med. Først lægger vi 14 x til på begge sider. ▲ 43 9788723038470_indhold.indd 43 Hvilke udsagn gælder altid, og hvilke gælder i nogle tilfælde? a en bil er en jaguar b to plus to er 4 c godt vejr er regnvejr d x+2=4 e en elefant og to myg er to myg og en elefant f y∙y=9 g 2 æbler og 1 æble = 3 æbler h 50 g minus 20 g er 30 g i Hvilke af ovenstående udsagn er ligninger? 47 9788723038470_indhold.indd 47 19/06/14 09.56 forenkle ligningen er, at løsningen nemt skal kunne ses, og med dette for øje kan man anvende forskellige strategier og formuleringer. Hvorfor finder man fx på at trække 5 fra på begge sider af lighedstegnet i anden linje i opgave c? Lad eleverne komme med forslag til formuleringer: ”Det færreste antal skal trækkes fra på begge sider”. ”x’erne skal stå alene”. ”Det gælder om at samle x’erne på den ene side og de kendte tal på den anden side af lighedstegnet”. ”Vi skal reducere ligningen, så meget vi kan”. 5 er et eksempel på en kompleks problemstilling fra virkeligheden, der kan løses ved inspektionsmetoden. Der kan dog også opstilles en ligning, som efterfølgende løses: M + (M – 2) + (M – 4) = 24 3M – 6 = 24 3M = 30 M = 10 I 6 kan eleverne enten prøve sig frem eller reducere ligningerne, før de løses. Lær eleverne at skrive lighedstegnene under hinanden, når de reducerer. Derved bliver udregningerne lettere at overskue. SIDE 46-47 GENNEMGANG Indledningsvis præsenteres eleverne for definitionen af en ligning, et billede af en skålvægt samt begreberne balance og ligevægt. Hvis man ønsker det, kan man allerede her inddrage arbejdsark 15 og samtidig visualisere ligningsbegrebet ved hjælp af skålvægte og lodder. Dernæst følger definitionen af løsning til en ligning. På dette klassetrin arbejdes der kun med ligninger med én ubekendt, og derfor er ordet løsning i ental. Lighedstegnet i en ligning gælder kun ved indsættelse af bestemte værdier af den variable. Den variable kaldes derfor ofte for den ubekendte i forbindelse med ligningsløsning. Eleverne præsenteres for tre metoder til at finde løsninger. At gætte eller tænke sig til en løsning er en oplagt metode, hvis ligningen er meget enkel og overskuelig. Inspektionsmetoden, eller at prøve sig frem, kan være anvendelig ved løsningsmængder inden for Z. Hvis løsningsmængden udvides til Q eller R, eller hvis der er tale om en ligning med flere løsninger, bliver metoden oftest uanvendelig. Til gengæld udfordrer denne metode elevernes ræsonnements- x+2=4 B G 10 er ligninger? A = h ∙ _2g C b<a a D En vintergæk = en blomst E Rumfang = l ∙ b ∙ h b h g 11 F G A=y∙y y h l b y Om at gætte løsningen 8 Gæt ligningernes løsninger. a 3x = 9 c 6+x=7 b x+5=8 d 2x + 1 = 6 Find løsningen til ligningerne Ligninger: a 2x = 8 b 2x + 1 = 7 c _21 x = 4 d –2x = 6 e x–3=5 Løsninger: A 8 B –3 C 3 D 2 E 4 Find løsningen til ligningerne Ligninger: a _31 x = 2 b x + 3 = 4 – 2x c 4x – 1 = – x + 9 d –5 = x – 7 e –x = 10 + 4x Løsninger: A 2 B _13 C 6 D _12 E –2 12 13 14 Løs ligningerne: a x + 23 = 48 b 13 + x = 39 c 120 + x = 14 d x + 17 = 15 e 2+x=0 f 0 + x = 20 g 10 + x = –20 h x+4=4 Løs ligningerne: a x – 23 = 48 b –13 + x = 39 c –120 + x = 14 d x – 17 = 15 e –2 + x = 0 f –10 + x = 20 g –10 + x = –20 h x–4=4 Løs ligningerne: a _21 x = 2 e 4 = 0,25x b –4 = 0,5x f 1 _ g 1 _ c 9 Indsæt tal i stedet for x i ligningen og kontroller: a 2x = 8 Er løsningen 1, 2, 3 eller 4 b 3x –2 = 13 Er løsningen 4, 5, 6 eller 7 c –2x = 14 Er løsningen 3, 7, –3 eller –7 d 10 – x = 2x – 2 Er løsningen 0, 2, 4 eller 6 e 2 – 3x = 22 + x Er løsningen 5, –1, 1 eller –5 Er løsningen _21 , 3, 9 eller –2 f _2x = 13,5 – x 48 9788723038470_indhold.indd 48 15 L IG N I NG E R SIDE 48-49 1 _ 3 x=9 16 Løs ligningerne: a 2x + 3 = 13 b 3x + 4 = 16 17 Løs ligningerne: 18 20 e 3x + 12 = 36 f 21 + 2x = 7 a y–2=7 d 4z + 8 = –8 g b 15 + 2z = 21 e 100y + 25 = 50 h 1 _ c 32 = 3y –1 f 20 – z = 10 i 3 _ d 5 = 3 + _51 y g –0,8 + 0,2x = 0,2 y + 4 = 10 3 5x = 25 z – 4 = 12 2 5 b 3x + 3 = 12 4 x–8=4 1 _ z 3x = 15 x=5 x=5 2x c 6x – 2 = 8x – 2 = 2 8x = 4 x= z + 6 = 12 b 6–3 =3 e 1,2 + 6x = –0,6 c 0,4 + 2x = 1,6 f 2 _ 5 h 0,8 – 0,2x = – 0,2 i z–5=3 21 0,5 + 1,5x = 14 1 _ ANNA BENJ AMIN a Løs ligningen 2x – 4 = 12 b Beskriv med ord, hvad du gjorde på hver side af lighedstegnet for at løse ligningen. c Skriv selv en ligning og løs den. d Lad en kammerat løse ligningen og sammenlign jeres løsninger og måder at nå løsningen på. 23 Formuler nogle regler for omformning af en ligning, som ikke ændrer på løsningen. 24 a Hvad er arealet af et rektangel med længden 7 cm og bredden 4 cm? b Hvad er arealet af et rektangel med længden 5 cm og bredden b cm? c Opstil en ligning, der beskriver sammenhængen mellem areal (A), længde (l) og bredde (b). 25 CECILIE a Hvad er længden af et rektangel med arealet 27 cm2 og bredden 3 cm? b Opstil en ligning, så du kan finde (l), hvis du kender (A)og (b). c Omform ligningen, så du kan finde (b), hvis du kender (A) og (l). 26 8 x=2 9 x=2 d –_31 x = –1 1 x h 100 = __ 10 Løs ligningerne: a 2x = 4 b 3x = 12 c 15 = 3x d 69 = 3x e 25 = 2,5x f 2,5x = 50 g 3x = 5 h _23 x = 6 EMIL a Hvad er højden i en trekant, hvis arealet af trekanten er 24 cm2 og grundlinjen er 6 cm? b Hvad er grundlinjen i en trekant, hvis arealet af trekanten er 36 cm2 og højden er 9 cm? c Opstil 3 ligninger for beregninger i en trekant, hvor 1 arealet er den ubekendte 2 grundlinjen er den ubekendte 3 højden er den ubekendte 27 a Hvad er omkredsen af en cirkel med radius 3 cm? b Hvad er diameteren i en cirkel, hvis omkredsen er 44 cm? c Hvad er radius i en cirkel, hvis omkredsen er 44 cm? d Opstil tre ligninger for beregninger i en cirkel, hvor 1 omkredsen er den ubekendte 2 diameteren er den ubekendte 3 radius er den ubekendte 28 a Hvad er arealet af en cirkel med radius 3 cm? b Hvad er radius i en cirkel, hvis arealet er 50 cm2? c Hvad er radius i en cirkel, hvis arealet er 80 cm2? d Opstil to ligninger for beregninger i en cirkel, hvor 1 arealet er den ubekendte 2 radius er den ubekendte l b DANIEL GUSTAV HAMIT g r Husk at reducere først Arbejdsark 18 9788723038470_indhold.indd 49 FREDERIK 19 Løs ligningerne: a 2x – 3 – x = 4x – 12 g 2,5x + 2 = 3 + 2x b 8 – x + 2x = 6 – 3x + 6 h x+4=2–x c 14x – 4 – 6x = 6 + x + 2 – x i 5x – 6 = x – 8 j 20x – 19 = 20 + 10x d 49 19/06/14 09.56 1 _ 2 x + 2 – _23 x = 1,5x – 6 e 3x – 2 + _12 x + x = 21 – 2 + x k 12x + 5 = 3 + 4x f 3x + 4 = 5 + x l J ONAS KASPER LÆRKE Arbejdsark 5x + 7 = 13 + x 50 SIDE 50-51 9788723038470_indhold.indd 50 kompetence, idet de gennem ræsonnementer kan indsnævre løsningsmængden til ligningen (jf. tegneserien nederst side 46). Omformning af en ligning. Denne metode er ny for eleverne på 7. klassetrin. Målet for en omformning er at isolere den ubekendte, således at den ubekendte kommer til at stå alene på den ene side af lighedstegnet, mens der står et tal på den anden. Dette tal vil så repræsentere den værdi, der gør ligningen til et sandt udsagn – altså ligningens løsning. På ethvert trin i omformningen skal løsningen være den samme. I det første eksempel på side 47 skal man altså kunne erstatte x med 13 i alle linjerne og få sande udsagn alle steder i ligningsløsningen. Tegneserien nederst på siden lægger op til en samtale om, hvordan de to elever løser ligningen. Hvilke regler for reduktion af ligninger kan eleverne uddrage? Hvilke regler for reduktion af ligninger gælder alle ligninger? Her kan man eventuelt formulere nogle regler, før spørgsmålet tages op igen i 23. Afslut gennemgangen med en snak om, at man altid har mulighed for at kontrollere løsningen til en ligning. Brug eksemplet fra gennemgangen og foretag kontrol med løsningen x= 8. Er talstørrelserne lige store på begge sider af lighedstegnet? 1 · 8 – 2 = 4 – 14 · 8. 2 Ved reduktion fås: 4 – 2 = 4 – 2, hvilket er ensbetydende med, at 2 = 2 Svaret er altså ”ja”. Løsningen passer. Talstørrelserne er lige store på begge sider af lighedstegnet. SIDE 48-50 ØVELSER Der er fem øvelseskategorier. • Om hvilke udtryk, der angiver en ligning 7 Hvis arbejdsark 15 ikke blev anvendt ved gennemgangen, kan det med fordel bruges som indledning til denne øvelse, hvor eleverne trænes i at genkende en ligning ud fra definitionen. • Om at gætte løsningen 8-9 er træning i at gætte kvalificeret og kontrollere løsningen til en ligning. I 9 gives der flere valgmuligheder. Tal med eleverne om, hvilke strategier de benytter sig af. • Om at prøve sig frem og kontrollere 10-11 er træning i at prøve sig frem til løsninger af de enkelte ligninger ved inspektion og efterfølgende kontrollere resultaterne. • Om at løse ligninger ved omformning 12 er træning i at trække samme tal fra på begge ISAK 20 51 L IG N I NG E R L IG N I NG E R 19/06/14 09.56 29 Familien Hansen vil anlægge en cirkelformet terrasse på græsplænen. Græsplænen er rektangulær og har målene 9,5 m x 10,6 m. Terrassen må højst udgøre halvdelen af græsplænens areal. Find den største diameter terrassen kan have. 30 a Fru Olsen kører 45 km fra København til Helsingør. Gennemsnitsfarten er 60 km/t. Hvor lang tid tager turen? b Opstil en ligning, der viser hvor lang tid (t), fru Olsen har kørt efter x antal km med en gennemsnitsfart på 60 km/t. c Find ud af andre afstande og køretider mellem byer du selv vælger. De variable er afstand (længde på turen), hastighed (gennemsnitsfart) og køretid (hvor lang tid tager turen?) 31 a Peter tænker på et tal, som vi kalder x. Han ganger tallet med 7 og trækker 4 fra. Resultatet bliver 59. Opstil en ligning og find ud af hvilket tal, Peter tænker på. b Laura tænker på et tal, som vi kalder y. Hun lægger 2 til tallet og ganger det hele med 4. Resultatet bliver 64. Opstil en ligning og find ud af hvilket tal Laura tænker på. c Emma tænker på et tal, som vi kalder z. Hun deler tallet med 3 og lægger 15 til. Resultatet bliver 27. Opstil en ligning og find ud af hvilket tal Emma tænker på. d Find selv på flere ”tænk på et tal”, og få din kammerat til at finde tallet. 32 Fordel 225 kr. mellem Mathias og Julie sådan at a Mathias får 65 kr. mere end Julie. b Mathias får 85 kr. mindre end Julie. Arbejdsark 2 Ligningerne nedenfor er løst af elever i 7. klasse. a Hvilke ligninger er løst rigtigt? b Hvilke ligninger er løst forkert? Forklar hvor og hvorfor det er gået galt. A = areal Jeg er ikke rigtig i form til ligninger i dag. Op med humøret! Jeg er lige i stødet til at omforme. 22 +2 19 Løs ligningerne: 3 _ Jeg ved, at man må lægge det samme tal til på begge sider Hvad er der gået galt i disse omformninger? a 4x = 24 2 _ a Når vi nu har matematik – hvorfor bliver du så ved med at tale om formning? Opgaver c 5x – 6 = 14 d 7 + 4x = –5 h L IG N I NG E R 19/06/14 09.56 Om at løse ligninger 17 Om at løse ligninger ved omformning e 4 – x = –1 f x – 3 = 12 Arbejdsark 9788723038470_indhold.indd 51 19/06/14 09.56 52 L IG N I NG E R 9788723038470_indhold.indd 52 SIDE 52-53 53 L IG N I NG E R 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 53 19/06/14 09.56 sider af lighedstegnet. 13 er træning i at lægge samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 14 er træning i at gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet. 15 er træning i at dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet. • Om at løse ligninger 16-18 træner en kombination af to af operationerne fra 12-15. 19 træner yderligere omformning af ligninger. Her er det mest hensigtsmæssigt at starte med at reducere udtrykkene, inden man begynder med omformningerne. SIDE 51-54 OPGAVER 20-30 lægger op til udvikling af elevernes symbolbehandlingskompetence. Eleverne udfordres ved at skulle oversætte frem og tilbage mellem ligninger skrevet med symboler og de tilsvarende sammenhænge udtrykt i hverdagssprog. I 20-21 lægges der vægt på at kontrollere omformningerne linje for linje. Der er gået noget galt i omformningerne, og opgaven er at finde ud af, hvori fejlene består og hvorfor. I 22-23 er der særligt fokus på udvikling af elevernes ræsonnementskompetence. Eleverne skal selv ræsonnere sig frem til metoder og regler for løsning af ligninger. Når eleverne i 22 selv skal skrive en ligning og derefter løse den, kan det være en idé at begrænse deres udfoldelsesmuligheder ved i starten højst at tillade to led på hver side af lighedstegnet. Derefter tre led, fire led osv. Hensigten med 23 er, at eleverne selv får formuleret og skrevet deres regler for omformning af ligninger. Dette kan foregå enten parvis eller i grupper. De regler, som eleverne finder frem til, kan bruges i kapitlets kommende opgaver, når der skal løses komplekse ligninger, der lægger op til reduktion i flere etaper. I 24-28 trænes elevernes problembehandlingskompetence i opgaver med at opstille og løse ligninger fra geometriens verden. I 24-26 drejer det sig om arealberegninger af rektangler og trekanter, og i 27-28 er fokus på areal- og omkredsberegninger af cirkler. I 29-30 skal eleverne opstille og løse ligninger, der tager afsæt i problemer fra virkeligheden. Problemstillingen i 29 er ret kompleks, men opgaven kan dog stadig løses ved hjælp af arealformlen for beregning af cirkler. 30 kan udbygges med yderligere beregninger med en anden gennemsnitsfart eller beregninger af afstande mellem andre byer. Matematrix 7 · Lærervejledning 61 Grundtankerne A A Kommentarer Hvilke af udtrykkene IT 7 Facitliste: Kopiark Om at prøve sig frem og kontrollere Om hvilke udtryk, der angiver en ligning Facitliste: Arbejdsbog 15-16 Facitliste: Grundbog Øvelser Arbejdsark 33 En ulighed kan løses som en ligning. Uligheder Frederik, Jonas og Victor er topscorere på håndboldklubbens drengehold. Frederik har scoret 4 mål flere end Jonas, og han har scoret dobbelt så mange mål som Victor. Tilsammen har de 3 drenge scoret 63 % af holdets mål. Hvor mange mål har hver af drengene scoret, når deres hold har scoret 200 mål i alt? En ulighed består af to talstørrelser på hver sin side af et ulighedstegn. Ulighedstegnet er en påstand om, at den ene talstørrelse er større end den anden. 37 38 Find det mindste hele tal t, der passer i uligheden. a 2t > 4 d 5t > 11 b 3t > 12 e 2t > 49 c _12 t > 4 f t – 1 > 10 g t+2>8 h 2t + 5 > 5 i 10 + 2t > 1 Find det største hele tal t, der passer i uligheden. a 3t < 16 d 8t < 57 b 5t < 21 e _12 t < 3 f t + 2 < 10 c 4t < 35 g t–2<9 h 3t – 5 < 12 i 35 – 2t < 22 Læg 2x til på begge sider Reducer Træk 5 fra på begge sider Reducer Divider med 2 på begge sider Ulighedstegn: > større end. ≥ større end eller lig med. < mindre end. ≤ mindre end eller lig med. Løsningen er alle tal mindre end –2. 40 Jeg kan ikke købe halve pensler, så jeg må runde ned til det nærmeste heltal. Løsningsmængden til x > 2 angivet på tallinje: 2 er ikke med. 35 d 1 + 5x + _21 (x+2) > 12x – 24 e 2(3x – 5) > 2(x + 3) f 4(3x + 1) < 2(4x + 8) –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c x+2=x 54321 54321 ____ d x + ____ 12345 = 12345 54321 54321 ____ e x + ____ 12345 = 12345 + x 54321 f x + ____ 12345 = x Løsningsmængden til x ≤ 5 angivet på tallinje: 5 er med. –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Skriv en ligning, som har a 1.000.000 som løsning. b mere end 1.000.000 løsninger. c mellem 1 og 1.000.000 løsninger. Løsningsmængden til x < 16 angivet på tallinje: 16 er ikke med. 41 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 Løs ulighederne. a 3x + 2 < 5x – 12 b 22 – 4x + 12 > 8x + 10 c _21 x + 3 – x < 2(x + 4) Sandt eller falsk? a Alle ligninger har præcis én løsning. b Alle ligninger har en løsning. c Ingen ligninger har ingen løsninger. d Alle ligninger har præcis to løsninger. 54 39 L IG N I NG E R SIDE 54-55 9788723038470_indhold.indd 54 Løs ulighederne og indtegn løsningen på en tallinje. d 3y < 27 – 6y a x+2>4 g 3x + 18 ≤ 2 – x e 5x + 4 < 24 b x–2<4 h _21 y > 6 – y i 8 < 6x – 4 f 8x – 4,6 < 3,4 c 6y ≥ 72 L IG N I NG E R 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 55 Arbejdsark 21 55 19/06/14 09.56 Simone overvejer, hvor mange farver og pensler hun har råd til. a Hvor mange pastelfarver kan Simone højst købe for 125 kr.? Hun har 500 kr. og køber to træpensler, en plastikpensel og fem pastelfarver. b Hvor mange akrylfarver kan hun købe, for resten af pengene? c Hvor mange penge får hun tilovers? 56 SIDE 56-57 9788723038470_indhold.indd 56 L IG N I NG E R a Hvor stor skal højden være i en trekant, hvis grundlinjen er 10 cm, og arealet mindst skal være 20 cm2? b Hvilken af følgende 3 uligheder kan løse opgave a? 3 h ∙ 10 ∙ _21 ≥ 20 1 h ∙ g ∙ 2 ≥ 20 2 h ∙ 10 ∙ _21 ≤ 20 c Hvor stor skal grundlinjen være i en trekant, hvis højden er 4 cm, og arealet skal være mindre eller lig med 16 cm2? d Opstil en ulighed, der viser opgave c. 44 Nanna køber nye tallerkner. De koster 54 kr./stk. a Hvor mange tallerkner kan hun købe, hvis de tilsammen højst må koste 400 kr.? Nanna køber også nyt bestik. Hun køber 8 skeer til 30 kr. pr. stk., 6 gafler til 28 kr. pr. stk. og nogle knive til 32 kr. pr. stk. b Hvor mange knive kan hun købe, hvis hun i alt har 600 kr. til bestik? c Hvad koster det at købe en tallerken og bestik til 1 person? d Hvis hun vil købe tallerkner og bestik samlet til x antal personer, hvor mange personer kan Nanna så købe til for 1.500 kr.? Normalprisen (n) for et kamera er 1.920 kr. Det sælges under et udsalg med 15 % rabat. Hvilke af nedenstående ligninger kan bruges til at beregne rabatten (r)? n = r ∙ 100 d __ a n ∙ 0,15 = r 15 e n ∙ (100 – 0,15) = r b n ∙ 15 = r 15 =r c n ∙ ___ 100 46 El-biksen holder udsalg på hårde hvidevarer. Sarah sparer 180 kr. på en hårtørrer. Den koster nu 270 kr. a Hvad kostede hårtørreren før? b Hvor mange procent har Sarah fået i rabat? Lukas sparer 305 kr. på en kaffemaskine til sin mor. Han får den samme rabatprocent som Sarah. c Hvad kostede kaffemaskinen før, og hvad koster den nu? Jean køber en barbermaskine, der er nedsat med 40 %. Før-prisen var 399 kr. d Hvad er nu-prisen på barbermaskinen? e Opstil en ligning som du kan bruge til at finde nu-prisen. f Opstil en ligning som kan bruges til at finde besparelsen i kr. g Udfyld et skema som det viste. 9788723038470_indhold.indd 57 OVERSIGT • FAGLIGT: Uligheder • TEMA: Udsalgspriser • TEMA: Lejrskole SIDE 55-57 FAGLIGT OPSLAG ULIGHEDER I dette kapitel er det naturligt at have et fagligt opslag om uligheder. Den nære sammenhæng mellem ligninger og uligheder kommer allerede til udtryk i de indledende definitioner. Eleverne kan anvende mange af de regler, som de lige har trænet i ligningskapitlet, til løsning af uligheder. I 37-38 er der uendeligt mange tal i løsningsmængden, men det er kun det mindste eller det største hele tal, eleverne skal finde. 39-40 er øvelser i at løse uligheder ved omformning. I modsætning til 37-38 skal eleverne angive hele løsningsmængden i de enkelte opgaver. 41-44 vedrører forskellige kontekster fra virkelighedens verden, hvor uligheder kan anvendes til både at kunne overskue og løse problemstillingerne. Talmængdebegrebet er ikke introduceret på dette klassetrin. Som udgangspunkt forudsættes i almindelighed, når andet ikke er angivet, at definitionsmængden er de reelle tal. I alle opgaverne er det derfor vigtigt, at eleverne bliver opmærksomme på, at definitionsmængden er de naturlige tal, N. SIDE 58-59 TEMATISK OPSLAG UDSALGSPRISER Dette opslag har fokus på matematik i anvendelse. Det kan bruges som oplæg til undersøgelsen, Udsalg, eller blot som yderligere træning i opstilling og løsning af ligninger. Når man regner frem og tilbage mellem normalpriser og udsalgspriser, eller når besparelsen skal beregnes, kan det være praktisk at opstille en ligning, der kan anvendes generelt. I sådanne tilfælde er det også oplagt at lade eleverne bygge formler i regneark, som FØR-PRIS VARE Vaskemaskine Tørretumbler Opvaskemaskine L IG N I NG E R 19/06/14 09.56 SIDE 55-61 FAGLIGE OG TEMATISKE OPSLAG Matematrix 7 · Lærervejledning 45 Køle-fryseskab Køleskab Mikroovn Komfur Kaffemaskine El-kedel El-tandbørste 57 19/06/14 09.56 NU-PRIS BESPARELSE c Hvor mange procent sparer man på de andre møbler? d Opstil en ligning, som du kan bruge til at finde den procentvise besparelse fra normalprisen (n) til udsalgsprisen (u). 40% 7.199 kr. 25% 2.799 kr. Ida får et gavekort på 3.000 kr. til møbelbutikken i 18 års fødselsdagsgave. a Hvilke møbler har Ida råd til, hvis hun køber sengen? b Hvilke af ligningerne passer til Idas problem? 1 x + 2.999 = 3.000 2 2.249,25 + x = 3.000 3 x = 3.000 – 2.249,25 c Hvis hun i stedet vælger at købe lænestolen på udsalg, hvilke andre møbler har hun så råd til at købe? d Opstil en ligning, der viser, hvor mange penge Ida har tilbage, hvis hun køber lænestolen på udsalg. 49 I møbelbutikken sælger de også puder, lamper, lysestager og nips-ting. a Hvad tror du, at t er en forkortelse for i denne opgave? b Hvor meget er 3 ∙ t? c Hvor meget er p + g + s? TÆPPE 179 kr. 20% 1.999 kr. SPEJL 239 kr. 40% 6.499 kr. 5% 229 kr. 499 kr. 449,10 kr. 999 kr. 849,15 kr. 1.424,25 kr. 49,90 kr. VASE 47 kr. PUDE 75 kr. 474,75 kr. GULVLAMPE 499 kr. d Hvor mange vaser kan Marie købe for 200 kr.? e Hvor mange tæpper og puder kan Marie få for 1.000 kr., hvis hun køber lige mange af hver? f Opstil en ulighed, der viser Maries indkøb af puder og tæpper for 1.000 kr. En seng koster normalt 2.999 kr. På udsalg koster den 2.249,25 kr. a Hvad er besparelsen i kr.? b Hvad svarer det til i procent? 58 48 BESPARELSE I % 35% 6.599 kr. SKRIVEBORD Normalpris 625 kr. Udsalgspris 450 kr. LÆNESTOL Normalpris 1.995 kr. Udsalgspris 1.495 kr. 20% 3.495 kr. KOMM Norm alpris ODE Udsal gspri 1.099 s 699 kr. kr. REOL Normalpris 1.175 kr. Udsalgspris 875 kr. SKRIVEBORDSSTOL Normalpris 2.595 kr. Udsalgspris 1.595 kr. 35% 6.099 kr. Støvsuger 47 I 31-33 kan eleverne enten prøve sig frem eller løse problemstillingerne ved at opstille ligninger. Opstilling af ligninger gennemgås i 8. klasse, men nogle elever vil finde det spændende selv at stille ligninger op på nuværende tidspunkt. 34-36 udfordrer elevernes ræsonnementskompetence. Med afsæt i elevernes forståelse af, hvad en ligning egentlig er, skal de udvikle og forsvare forskellige påstande om ligninger samt argumentere for eller imod påstande fremført i opgaverne. 62 43 TEM A Udsalgspriser –2x + 1 > 5 Træk 1 fra på begge sider –2x + 1 –1 > 5 –1 Reducer –2x > 4 –2x __ 4 < –2 Divider med –2 på begge sider og vend ulighedstegnet ___ –2 –2 < x Løsningen er alle tal mindre end –2, ligesom ovenfor. Løsningen kan angives på en tallinje. Løs ligningerne a x+2=2 b x+2=2+x Simon og Kasper er blevet lækkersultne. 100 g bland-selv slik koster 12,50 kr. a Kasper køber 396 g slik. Hvad koster det? b Hvor mange gram slik kan Simon højst få, hvis han har 40 kr.? c Opstil en ulighed der viser, hvor mange penge Simon mindst skal have med, hvis han skal betale for x g slik. Den eneste forskel er, at ulighedstegnet skal vendes, når man ganger eller dividerer med et negativt tal. Kontroller om et eller flere af tallene fra løsningsmængden passer i den oprindelige ulighed. En løsning til en ulighed er den mængde af tal, der kan sættes ind på den ubekendtes plads, så påstanden om, at den ene talstørrelse er større end den anden, er sand. 34 42 –2x + 1 > 5 –2x + 1 + 2x > 5 + 2x 1 > 5 + 2x 1 – 5 > 5 + 2x – 5 –4 > 2x –4 __ __ > 2x 2 2 –2 > x L IG N I NG E R SIDE 58-59 9788723038470_indhold.indd 58 L IG N I NG E R 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 59 hurtigt og effektivt kan foretage de enkelte udregninger. Eleverne kan finde aktuelle tal og produkter i de stakke af tilbudsaviser, der hver uge kommer ind gennem brevsprækken, eller ved at søge priser på nettet. I mange af opgaverne kan de givne oplysninger erstattes med elevernes egne oplysninger om fx produkter og priser, hvilket kan tilføre aktiviteterne større relevans. SIDE 60-61 TEMATISK OPSLAG LEJRSKOLE PÅ BORNHOLM Opslaget har fokus på budgetlægning. Tal med eleverne om, hvor vigtigt det er at kunne danne sig et overblik over økonomien i ganske almindelige dagligdagssituationer. Hvilke konsekvenser kan det få, hvis forholdet mellem indtægter og udgifter ikke hænger sammen? Matematik rummer nogle enestående muligheder for at bidrage med at skabe overblik over økonomiske forhold. Mange af mulighederne kan man få et indtryk ved at anvende regneark, og det er oplagt at integrere regneark i opgaveløsningen. I regnearket, Lejrskole, får eleverne mulighed for at arbejde dynamisk med alle opslagets opgaver. Regnearket kan også være et rigtigt godt udgangspunkt for at tale med klassen om budgetlægning. Opslaget kan med fordel bruges som oplæg til undersøgelsen, Klassetur. Opgaverne giver yderligere træning i opstilling og løsning af ligninger. 59 19/06/14 09.57 TEM A Lejrskole på Bornholm 52 7.a skal på lejrskole til Bornholm. Skolen får frirejse til Rønne, men klassen skal selv betale de øvrige udgifter. Til det får de 1.800 kr. pr. elev af skolen. Eleverne går i gang med at lægge et budget. Der deltager 22 elever og to lærere i lejrskolen. 50 Busturen fra Rønne til Sandvig, hvor klassen skal have fire overnatninger, koster 55 kr. pr.person tur/retur. På kolonien i Sandvig koster det 250 kr. pr. elev pr. overnatning i 4 sengs værelser og 340 kr. pr. lærer pr. overnatning i enkeltværelse. Beregn udgifterne for transport og overnatning. 51 Klassen skal selv lave mad og vil købe billigt ind til frokost, aftensmad og morgenmad. De regner med, at hver deltager spiser for 20 kr. pr. måltid. a Hvad koster det for elever og lærere at spise de tre måltider i fem dage? I budgettet afsætter de 7.500 kr. til mad. b Opstil en ligning, der viser, hvor meget hver deltager kan spise for. c Hvor meget kan hver deltager spise for, hvis der kommer seks nye elever i klassen? d Opstil en ligning, der viser, hvor meget x antal personer har at spise for, når budgettet er 7.500 kr. Klassen skal på tur til Hammershus. En vejleder fra skoletjenesten viser rundt på ruinen, og det koster 40 kr. pr. elev. a Opstil en ligning, der viser, hvad en rundvisning på Hammershus koster for x elever. b Hvad ville det koste for din klasse? Evaluering n Hvad er en ligning? n Hvad vil det sige at omforme en ligning? n Hvordan kan du løse en ligning? g rmnin Omfo 7.a vil leje cykler på Bornholm i to dage. De afsætter 2.000 kr. i budgettet til leje af cykler og får to tilbud på leje af cykler: Cykelhandler Hjul udlejer cykler for 40 kr. pr. døgn. Cykelhandler Dæksen udlejer cykler for 45 kr. pr. døgn, men lærernes cykler er gratis. a Hvilket tilbud er billigst for 7.a? b Opstil en ligning, der viser hvor mange cykler, der kan lejes for de 2.000 kr. hos Hjul. c Hvor mange elever kan leje cykler hos Dæksen? 54 Skolen indbetaler 1.800 kr. for hver af klassens 22 elever til lejrskolen. a Hvor mange penge betaler skolen? b Hvor stort er overskuddet i 7.a’s budget? 55 Angiv indtægter og udgifter til klasseturen i et regneark. a Prøv at ændre prisen for mad til 75 kr. pr. person pr. dag og se, hvad overskuddet så bliver. b Prøv derefter at lade skolen indbetale 100 kr. mindre pr. elev og se, hvad der så sker med budgettet. c Foretag selv andre ændringer i budgettet. Lægg e til Balance Gange Lighedstegn og Gætte sten eller en nøgle? t Ligevæg Løsningsmængde 53 Hvad er tungest, en Træ kke fra llere kontro Divide re Løsning Arbejdsark Ubekendt 22 Regneark Evalueringsark l be ria Va Lejrskole 6-7 60 L IG N I NG E R SIDE 60-61 9788723038470_indhold.indd 60 L IG N I NG E R 19/06/14 09.57 9788723038470_indhold.indd 61 61 19/06/14 09.57 62 SIDE 62 9788723038470_indhold.indd 62 19/06/14 09.57 Grundtankerne SIDE 62 EVALUERING Begrebsforståelse Begrebsforklaring: Eleverne skal selv formulere, hvad de forstår ved en ligning. Derudover kan de udtrykke, hvordan man finder løsningen til en ligning. Det kan både ske ved at gætte, at prøve sig frem og ved at omforme ligninger Kommentarer Sammenhængsforståelse: Det er oplagt at lade eleverne arbejde med at beskrive sammenhængen mellem en ligning og en række beslægtede begreber enkeltvist. Det kan fx dreje sig om lighedstegnet, omformning, ubekendt, variabel, balance eller løsning. To eksempler: Udsagn Vurdering indeholder altid et Lighedstegn ”tyder på god forståelse” Ligninger indeholder nogle gange Lighedstegn ”uklart hvad eleven mener” Ligninger indeholder aldrig et Lighedstegn ”tyder på dårlig forståelse” IT Ligninger Ligningens løsning kan findes ved Omformning ”tyder på god forståelse” Ligningens løsning kan ikke altid findes ved Omformning ”uklart hvad eleven mener” Ligningens løsning kan man ikke finde ved Omformning ”tyder på dårlig forståelse” Facitliste: Kopiark Vurdering Facitliste: Arbejdsbog Faglige kompetencer Dette kapitel lægger især op til, at eleverne kan udvikle symbolbehandlingskompetence, ræsonnementskompetence og problembehandlingskompetence. Faglige færdigheder Evalueringen er rettet mod at kende betydningen af ligningsbegrebet og at kunne løse ligninger på forskellige måder, hvilket svarer til kapitlets øvelseskategorier. Matematrix 7 · Lærervejledning 63 Facitliste: Grundbog Udsagn