PROPOSITIONER

MatC&B
De tre a-formler
1) Formlen for hældningskoefficienten, a, i en lineær funktion.
a=
y2 − y1
x2 − x1
hvor ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er to punkter på en ret linje
Bevis: Se i C-bogen side 123-125 eller B-bogen 237-238. Se alternativt bevis på side 4 i denne note.
2) Formlen for fremskrivningsfaktoren, a, i en eksponentiel funktion.
a = x2 − x1
y2
y1
hvor ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er to punkter på grafen for en eksponentiel funktion
Vi starter med at argumentere ud fra et konkret taleksempel for at illustrere strukturen i beviset.
Eksempel: ( x1 , y1 ) = ( 2,5 ) og ( x2 , y2 ) = ( 7,30 )
y = b ⋅ a x vi vil beregne a.
Regneforskriften for en eksponentiel funktion:
Indsæt ( 2,5 ) og
( 7,30 )
i regneforskriften:
Divider ligning (1) op i ligning (2):
Forkort brøken på højre side:
Brug potensregneregel på højre side:
Uddrag den 5’te rod på begge sider:
(1)
5 = b ⋅ a2
( 2)
og
30 = b ⋅ a 7
30 b ⋅ a 7
=
vi vil nu løse denne ligning mht. a.
5 b ⋅ a2
30 a 7
=
(divider i tæller og nævner med b)
5 a2

ar
30
7−2
5
r −s 
=a =a
 Potensregneregel : s = a 
5
a


5
30
=a
5
dvs. a =
5
30
= 1, 431
5
Bevis:
y = b ⋅ ax
Regneforskriften for en eksponentiel funktion:
Indsæt ( x1 , y1 ) og
( x2 , y2 )
i regneforskriften:
(1)
Divider ligning (1) op i ligning (2):
y2 b ⋅ a x2
=
y1 b ⋅ a x1
Forkort brøken på højre side:
y2 a x2
=
y1 a x1
Brug potensregneregel på højre side:
y2
= a x2 − x1
y1
Uddrag den x2–x1’te rod på begge sider:
x2 − x1
y1 = b ⋅ a x1
og
( 2)
vi vil nu isolere a i denne ligning.

ar
r −s 
 Potensregneregel : s = a 
a


y2
=a
y1
Vi har nu bevist formlen:
y
a = x2 − x1 2
hvor ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er to punkter på grafen for y = b ⋅ a x
y1
Side 1 af 4
y2 = b ⋅ a x2
MatC&B
De tre a-formler
3) Formlen for a i en potensfunktion.
a=
log ( y2 ) − log ( y1 )
hvor ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er to punkter på grafen for en potensfunktion
log ( x2 ) − log ( x1 )
Vi starter igen med at argumentere ud fra et konkret taleksempel for at illustrere strukturen i beviset.
Eksempel: ( x1 , y1 ) = ( 2,5 ) og ( x2 , y2 ) = ( 7,30 )
Regneforskriften for en potensfunktion:
Indsæt ( 2,5 ) og
( 7,30 )
y = b ⋅ x a vi vil beregne a.
i regneforskriften:
Divider ligning (1) op i ligning (2):
Forkort med b på højre side:
Brug potensregneregel på højre side:
Brug log på begge sider:
Brug regneregel for log på højre side:
7
Divider med log   :
2
(1)
5 = b ⋅ 2a
30 b ⋅ 7 a
=
5 b ⋅ 2a
30 7 a
=
5 2a
og
( 2)
30 = b ⋅ 7 a
vi vil nu løse denne ligning mht. a
r

pr  p  
 Potensregneregel :
=  
r

q
 q  

  7 a 
 30 
log   = log    
 2  
 5 


 30 
7
log   = a ⋅ log   , Regneregel : log ( p q ) = q ⋅ log ( p )
 5 
2
 30 
log  
 5  =a
7
log  
2
30  7 
= 
5 2
a
(
 30 
log  
 5  = 1, 430
Dvs: a =
7
log  
2
OBS: Der gælder følgende regneregel for logaritmer:
 p
log   = log ( p ) − log ( q )
q
 30 
log  
 5  = log ( 30 ) − log ( 5 )
Derfor kan udtrykket for a omskrives: a =
log ( 7 ) − log ( 2 )
7
log  
2
Så er vi rustede til det rigtige bevis for formlen.
Side 2 af 4
)
MatC&B
De tre a-formler
Bevis:
Regneforskriften for en potensfunktion:
Indsæt ( x1 , y1 ) og
( x2 , y2 )
y = b ⋅ x a vi vil beregne a.
i regneforskriften:
(1)
y1 = b ⋅ x1a
Divider ligning (1) op i ligning (2):
y2 b ⋅ x2 a
=
y1 b ⋅ x1a
Forkort brøken på højre side:
y2 x2 a
=
y1 x1a
Brug potensregneregel på højre side:
y2  x2 
= 
y1  x1 
Brug log på begge sider:

log 

Omskriv højreside:
x 
Divider med log  2  :
 x1 
Venstre side omskrives:
log ( x2 ) − log ( x1 )
( 2)
y2 = b ⋅ x2 a
vi vil nu isolere a i denne ligning.
r

pr  p  
 Potensregneregel :
=  
r

q
 q  

  x a 
y2 
2
 = log    
y1 
x
 1  
 x2 
y2 
q
 = a ⋅ log   , Regneregel : log ( p ) = q ⋅ log ( p )
y1 
 x1 
a

log 

y 
log  2 
 y1  = a
x 
log  2 
 x1 
log ( y2 ) − log ( y1 )
og
=a
(


 p
 Regneregel : log   = log ( p ) − log ( q ) 
q


Vi har nu bevist formlen:
a=
log ( y2 ) − log ( y1 )
log ( x2 ) − log ( x1 )
hvor ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er to punkter på grafen for y = b ⋅ x a
Side 3 af 4
)
MatC&B
De tre a-formler
4) Formlen for hældningskoefficienten, a, i en lineær funktion.
a=
y2 − y1
x2 − x1
hvor ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er to punkter på en ret linje
Alternativt bevis:
Ideén i beviset er det samme som i de to foregående beviser.
Vi starter med at argumentere ud fra et konkret taleksempel for at illustrere strukturen i beviset.
Eksempel: ( x1 , y1 ) = ( 2,5 ) og ( x2 , y2 ) = ( 7,30 )
y = a ⋅ x + b vi vil beregne a.
Regneforskriften for en lineær funktion:
Indsæt ( 2,5 ) og
( 7,30 )
i regneforskriften:
Træk ligning (1) fra ligning (2):
Reducer på venstre side:
(1)
5 = a⋅2+b
( 2)
og
30 = a ⋅ 7 + b
30 − 5 = 7a + b − ( 2a + b ) vi vil nu løse denne ligning mht. a.
25 = 7a + b − ( 2a + b )
(30 – 5 =25)
Hæv minusparentesen på højre side: 25 = 7 a + b − 2a − b (skift fortegn på leddene inde i parentesen)
Reducér og isoler a:
25 = 7 a + b − 2a − b
25 = 5a
25
=a
5
a=5
Dvs a =
30 − 5
7−2
Bevis:
Regneforskriften for en lineær funktion:
Indsæt ( x1 , y1 ) og
( x2 , y2 )
y = a ⋅ x + b vi vil beregne a.
i regneforskriften:
(1)
y1 = a ⋅ x1 + b
og
( 2)
y2 = a ⋅ x2 + b
Træk ligning (1) fra ligning (2):
y2 − y1 = a ⋅ x2 + b − ( a ⋅ x1 + b ) .
Hæv minusparentesen på højre side:
y2 − y1 = a ⋅ x2 + b − a ⋅ x1 − b (skift fortegn inde i parentesen)
Reducér:
y2 − y1 = ax2 − ax1
(+ b og – b går ud)
Sæt a udenfor parentes på højre side:
y2 − y1 = a ⋅ ( x2 − x1 )
(OBS: ax2 − ax1 = a ⋅ ( x2 − x1 ) )
Dividér med ( x2 − x1 ) på begge sider:
a ⋅ ( x2 − x1 )
y2 − y1
=
( x2 − x1 ) ( x2 − x1 )
Reducér på højre side:
y2 − y1
=a
( x2 − x1 )
Vi har nu bevist formlen a =
y2 − y1
x2 − x1
hvor ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er to punkter på en ret linje
Side 4 af 4