DOKUMENTATION

KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Oversigt
Forelæsning C3:
Separation af de variable.
Lineære 2. ordens differentialligninger
1
Opsummering af afleveringsopgave C.5
2
Separation af de variable
En generel metode
Anvendelseseksempel C.14: Reaktionskinetik
Anvendelseseksempel C.15: Clausius-Clapeyron
3
Generelt om 1. ordens differentialligninger
4
Lineær 2. ordens differentialligning med konstante koefficienter
Homogen ligning, karakterligning
Inhomogen ligning, nålestiksmetoden
Anvendelseseksempel C.17: Dæmpede svingninger
Matematik og databehandling 2012
Thomas Vils Pedersen
Institut for Matematiske Fag
[email protected]
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
2
8
4
t
6
8
4
10
6
x
2
12
0
8. oktober 2012 — Dias 1/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 2/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Opsummering af afleveringsopgave C.5
Sætning C.3.1 Separation af de variable
Som i Anvendelseseksempel C.8 betragter vi forureningen af en
sø, men antager nu at søens volumen er 4000 m3 , der tilføres 6
gram af det forurenende stof pr. minut, gennemstrømningen er 4
m3 pr. minut samt at der til tiden t = 0 er 8000 gram af det
forurenende stof i søen.
En differentialligning af formen
dy
dx
= f (x )g (y )
løses ved at bruge følgende fire trin:
(a) Bestem mængden af det forurenende stof i søen som funktion
af tiden ...
(1) Separér de variable
1
Løsningsmetoder
• Ved at gå skridtene i i Anvendelseseksempel C.8 igennem
[lærerigt, men lidt tungt]
g (y )
(2) Sæt integraltegn på ligningen:
Z
• Ved at indsætte
V = 4000, S = 6, G = 4 og M0 = 8000
i løsningen i den generelle model fra Anvendelseseksempel C.8(b):
exp − VG t
+ M0 − SV
G
4
= 6·4000
+ 8000 − 6·4000
t
exp − 4000
4
4
M (t ) =
dy = f (x ) dx
SV
G
1
g (y )
dy =
Z
f (x ) dx
(3) Bestem stamfunktioner på begge sider af ligningen;
husk en integrationskonstant.
(4) Løs ligningen: find y udtrykt ved x.
= 6000 + 2000 e−0.001 t
Dias 3/21
Dias 4/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Separation af de variable (fortsat)
Aktivering
Bemærkning
Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen
• “Separation af de variable” er en metode:
dy
• For en konkret differentialligning går man igennem de fire trin
dx
nævnt i sætningen.
• Man sætter ikke ind i formlerne i sætningen.
=
ex
y2
vha. separation af de variable.
• Man kan vise (Sætning C.3.2) at metoden er matematisk korrekt.
Dias 5/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
“Teoretisk” brug af separationsmetoden
Anvendelseseksempel C.14: Reaktionskinetik
• Et stof med koncentrationen [A] omdannes
Bemærkning Metoden “separation af de variable” kan også bruges til at
bevise løsningerne for følgende differentialligninger (forelæsning C1 og C2):
Eksponentiel vækst
Eksponentiel vækst med konstantled
Dias 6/21
dy
dx
dy
dx
• k er hastighedskonstanten
• [A]0 er koncentrationen til tiden t = 0
= ry
d [ A]
(a) 0. ordens kinetik (f.eks. nedbrydning af alkohol):
Løsning:
= ry + q
dt
[A] = [A]0 − kt
d [ A]
(b) 1. ordens kinetik (f.eks. nedbr. af andre rusmidler):
Logistisk vækst
Homogen lineær 1. ordens differentialligning
Inhomogen lineær 1. ordens differentialligning
dy
dx
dy
dx
dy
dx
= ry 1 −
y
Løsning:
K
[ A] = [ A] 0
e −kt
Løsning:
[ A] =
1
kt +
1
[A]0
dt
= − k [ A]
(se Opgave C.2)
(c) 2. ordens kinetik (f.eks. reaktioner A + A → B):
+ f (x )y = 0
= −k
dvs.
1
[ A]
d [ A]
= kt +
dt
1
= − k [ A] 2
[ A] 0
dvs. en lineær sammenhæng mellem [A1 ] og t.
+ f (x )y = g (x )
Dias 7/21
Dias 8/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anv.eks. C.15: Clausius-Clapeyron ligningen
dP
dT
=
Generelt om 1. ordens differentialligninger
Eksempler
1Hvap P
RT 2
hvor
P:
T:
1Hvap :
R:
Vands damptryk
Temperaturen
Vands molære fordampningsenthalpi (en konstant)
Gaskonstanten
dy
dx
= ry
dy
dx
= r (y − y ∗ )
dy
dx
= ry 1 − Ky
dy
dx
= 6 − 10002 +x · y
dy
dx
= −xy + x
dy
dx
= −ky 2
Definition C.4.1 Differentialligning af 1. orden
(a) En differentialligning af 1. orden:
dy
Løsning
1Hvap
P = c exp −
dx
RT
= 8(x , y )
[“et udtryk i x og y ”]
(b) En partikulær løsning:
en konkret funktion y = ϕ(x ), som opfylder differentialligningen, dvs.
Andre anvendelser af separationsmetoden
ϕ ′ (x ) = 8(x , ϕ(x ))
• Opgave C.20 om islaget i en fryser
• Opgave C.21 om priselasticitet
for alle x
(c) Den fuldstændige løsning:
alle de funktioner y = ϕ(x ), der opfylder differentialligningen.
• Opgave C.22 om Åges øl
Dias 9/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 10/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Generelt om 1. ordens differentialligninger (fortsat)
Bemærkning
• I eksemplerne indtil nu har vi set følgende:
I den fuldstændige indgår en konstant “c”, som bestemmes ud fra en
begyndelsesbetingelse ϕ(x0 ) = y0 .
Aktivering
Vis ved indsættelse at
• Gælder det generelt, at der er netop én løsning ϕ(x ) med ϕ(x0 ) = y0 ?
y = x 2 + 3x
er en løsning til differentialligningen
dy
dx
[Vink: Hvad er
dy
dx
Sætning C.4.1 Eksistens og entydighed
=
2y
x
Antag, at funktionen 8(x , y ) er “tilstrækkeligt pæn”.
Gennem et givet punkt (x0 , y0 ) går netop én løsning til differentialligningen
−3
når y = x 2 + 3x ?]
dy
dx
= 8(x , y )
dvs. der findes netop én funktion y = ϕ(x ) således, at
(a) ϕ ′ (x ) = 8 (x , ϕ(x ))
(b) ϕ(x0 ) = y0
Dias 11/21
Dias 12/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Sætning C.6.1 Homogen 2. ordens differentialligning
Definition C.6.1 Lineær 2. ordens differentialligning med
konstante koefficienter
Den fuldstændige løsning til den homogene ligning
d 2y
Homogen ligning
2
d y
+a
dx 2
dy
dx
dx 2
+ by = 0
d 2y
dx 2
+a
dy
dx
+a
+ by = g (x )
dx 2
dy
dx
+ by = 0 :
dx
(1) To rødder λ1 6= λ2 i karakterligningen:
y = c1 e λ1 x + c2 e λ2 x
Observation Funktionen y = e λx er løsning til den homogene ligning
d 2y
dy
λ2 + aλ + b = 0
Løs først karakterligningen
Inhomogen ligning
+a
(c1 , c2 ∈ R)
(2) En dobbeltrod λ i karakterligningen:
y = c1 · x · e λx + c2 e λx
+ by = 0
(c1 , c2 ∈ R)
2
(3) Ingen rødder i karakterligningen,
√ dvs. d = a − 4b < 0:
netop når
α = − 2a
Sæt
λ2 + aλ + b = 0
−d
og β =
2
.
Så er
y = c1 e α x cos(β x ) + c2 e α x sin(β x )
Denne observation er baggrunden for følgende sætning.
(c1 , c2 ∈ R)
Dias 13/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 14/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anv.eks. C.17: Dæmpede svingninger
Newtons 2. lov:
2
Aktivering
m
Betragt differentialligningen
d x
dt 2
+α
dx
dt
m:
α:
k:
x:
+ kx = 0
masse af svingdør
friktionskoefficient
fjederkonstant
afstand fra ligevægtsstilling
Kraftig friktion i forhold til fjederkraft m = 1, α = 3 og k = 2:
d 2x
dt 2
+3
dx
dt
d 2x
+ 2x = 0
dt 2
Fuldstændig løsning
• Løs karakterligningen.
+3
dx
dt
+ 2x = 0
x (t ) = c1 e −t + c2 e −2t
(c1 , c2 ∈ R)
Partikulær løsning
ud fra begyndelsesbetingelserne
x (0) = 30 og x ′ (0) = 0:
• Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen.
x (t ) = 60 e −t − 30 e −2t
Dias 15/21
Dias 16/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anv.eks. C.17: Dæmpede svingninger (fortsat)
Anv.eks. C.17: Dæmpede svingninger (ekstra!)
Svag friktion i forhold til fjederkraft m = 1, α = 2 og k = 5:
d 2x
dt 2
+2
dx
dt
Ingen friktion m = 1, α = 0 og k = 4:
+ 5x = 0
d 2x
dt 2
Fuldstændig løsning
x (t ) = c1 e −t cos(2t ) + c2 e −t sin(2t ) (c1 , c2 ∈ R)
+ 4x = 0
Spørgsmål Hvad forventer man intuitivt, at der sker?
Partikulær løsning
ud fra begyndelsesbetingelserne
x (0) = 30 og x ′ (0) = 0:
Fuldstændig løsning
x (t ) = c1 cos(2t ) + c2 sin(2t ) (c1 , c2 ∈ R)
Partikulær løsning ud fra beg. betingelserne x (0) = 30 og x ′ (0) = 0:
x (t ) = 30 cos(2t )
x (t ) = 30 e −t cos(2t )+ 15 e −t sin(2t )
Bemærkning
Spørgsmål
• Fuldstændig løsning: to konstanter c1 og c2 .
• Hvordan ser grafen ud for den partikulære løsning?
• Partikulær løsning x (t ): konstanterne bestemmes ud fra to
begyndelsesbetingelser, f.eks. hvis man kender x (0) og x ′ (0).
• Hvordan passer det med den intuitive forventning?
Dias 17/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 18/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Sætning C.6.2 “Nålestiksmetoden”
for inhomogen 2. ordens differentialligning
Sætning C.6.2 “Nålestiksmetoden” – fortsat
En partikulær løsning y0 (x ) til den inhomogene ligning
Den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning
d 2y
d 2y
dx 2
+a
dy
dx
dx 2
+ by = g (x )
dy
dx
+ by = g (x )
bestemmes ved at “gætte” på en funktion “af samme slags” som funktionen
g (x ):
er
FIL = y0 (x ) + FHL
hvor
Given funktion g (x )
polynomium
β eαx
β1 cos α x + β2 sin α x
løsning til homogen ligning
• FIL = fuldstændig inhomogen løsning
• FHL = fuldstændig homogen løsning (vha. Sætning C.6.1)
• y0 (x ) er en partikulær løsning til den inhomogene ligning
NB
+a
Ingen panserformel
Vores gæt y0 (x )
polynomium af samme grad
Ae α x
A cos α x + B sin α x
sæt en faktor x på
I skemaet er α, β osv. givne konstanter, mens A, B osv. er konstanter,
der skal bestemmes således at y0 (x ) er en løsning.
Problem Hvis man kender y0 (x ) og FHL så kender man FIL ...
men hvordan bestemmer man y0 (x ) . . . ?
Dias 19/21
Dias 20/21
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Generelt om 2. ordens differentialligninger
Definition C.6.2 2. ordens differentialligning
(a) En differentialligning af 2. orden:
d 2y
dx 2
dy
= 8 x,y,
dx
[“et udtryk i x , y og
dy
dx
]
(b) En partikulær løsning:
en konkret funktion y = ϕ(x ), som opfylder differentialligningen, dvs.
ϕ ′′ (x ) = 8(x , ϕ(x ), ϕ ′ (x )) for alle x
(c) Den fuldstændige løsning:
alle de funktioner y = ϕ(x ), der opfylder differentialligningen.
Sætning C.6.3 Eksistens og entydighed
Givet x0 , y0 og p0 . Hvis 8 er “pæn”, så findes netop én løsning ϕ(x ) som
opfylder
ϕ(x0 ) = y0
og
ϕ ′ (x0 ) = p0
Dias 21/21