Modul 3: Differentialligninger af 1. orden

KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Oversigt
Mest repetition med fokus på de sværeste emner.
God tid til at regne opgaver.
Modul 3:
Differentialligninger af 1. orden
Matematik og modeller 2012
Thomas Vils Pedersen
Institut for Grundvidenskab og Miljø
1
3 simple typer differentialligninger
Eksponentiel vækst (med konstantled)
Logistisk vækst (med variationer)
2
Separation af de variable
3
Lineære 1. ordens differentialligninger
“Panserformlen”
“Nålestiksmetoden”
4
Eksistens- og entydighed af løsninger
5
Ligevægt og stabilitet
[email protected]
21. maj 2012 — Dias 1/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 2/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Kort oversigt over kurset
Eksponentiel vækst (med konstantled)
Sætning Eksponentiel vækst
Differentialligningen for eksponentiel vækst
• Lineære differensligninger: xt +1 = axt + bt
(Modul 2)
dy
• Generelle differensligninger: xt +1 = f (t , xt ) (Modul 2)
• Lineære systemer af differensligninger: xt +1 = Axt + bt
dx
hvor r er en konstant, har den fuldstændige løsning
(Modul 1, 2)
y = y (x ) = ce rx
• Generelle systemer af differensligninger: xt +1 = f(t , xt ) (Modul 2)
• Lineære differentialligninger: x ′ = ax + b (t ) (Modul 3)
• Generelle differentialligninger:
x′
(c ∈ R)
Sætning Eksponentiel vækst med konstantled
Differentialligningen for eksponentiel vækst med konstantled
= f (t , x ) (Modul 3)
dy
• Lineære systemer af differentialligninger: x′ = Ax + b(t ) (Modul 4)
• Generelle systemer af differentialligninger: x′ = f(t , x)
= ry ,
dx
= ry + q ,
(Modul 5)
hvor r 6= 0 og q er konstanter, har den fuldstændige løsning
q
y = y (x ) = − r + ce rx
Dias 3/20
(c ∈ R)
Dias 4/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Eksponentiel vækst med konstantled – fortsat
Bemærkning
dy
dx
= ry + q kan omskrives til
dy
dx
Logistisk vækst
= r (y − y ∗ ) og omvendt.
Sætning Logistisk vækst
Den logistiske differentialligning
Sætning Eksponentiel vækst med konstantled (alternativ)
dy
Differentialligningen for eksponentiel vækst med konstantled
dy
dx
dx
= r (y − y ∗ ),
y = y (x ) = y + ce
rx
K
hvor r og K er konstanter, har den fuldstændige løsning
hvor r og y ∗ er konstanter, har den fuldstændige løsning
∗
y
= ry 1 −
,
y = y (x ) =
(c ∈ R)
K
Konstanten K kaldes bærekapaciteten.
Bemærkning Når r < 0, vil y (x ) → y ∗ når x → ∞ (y ∗ er en ligevægt)
1
0.8
r=3
r=2
y(0)>y*
r=1
0.6
Grafer for
y = y ∗ + ce rx
når r < 0
(c ∈ R)
1 + ce −rx
y
0.4
y
r=0.5
y*
0.2
y(0)<y*
0
1
2
3
x
4
5
6
Grafer for y = y (x ) når K = 1, y (0) = 0.1 og forskellige værdier af r
x
Dias 5/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Logistisk vækst – fortsat
Hvis c > 0 så er c = e
med x0 =
y (x ) =
ln c
.
r
Model for sygdomsepidemi
y (x ) =
Omskrivning af den logistiske løsningsfunktion
rx0
Dias 6/20
K
1 + ce
K:
N = N (t ):
:
−rx
Dermed er
Antagelser om smitteraten
K
1 + e −r (x −x0 )
Bemærkning
• Vi har y (x0 ) = K2 så halvdelen af bærekapaciteten er nået, når
x = x0 . Derfor kaldes x0 nogle gange for halvmætningskonstanten.
y (x0 )
K
=r·
K
2
1−
1
2
=
dN
:
dt
dN
dt
•
er proportional med N (antallet af smittede)
[Sygdommen breder sig langsomt, så længe der kun er få smittede]
•
dN
dt
er proportional med K − N (antallet af ikke-smittede)
[Sygdommen breder sig langsomt, når der kun er få tilbage, som ikke er
smittede]
Fører til (med r = aK )
• Man kan vise, at y ′ (x ) har maksimum i x = x0 , dvs. x0 er det
“tidspunkt”, hvor væksten er størst. Denne største vækstrate er
y ′ (x0 ) = ry (x0 ) 1 −
Befolkningens størrelse
Antal smittede til tiden t
dN
dt
rK
N
N
= rN 1 −
= aN (K − N ) = aKN 1 −
K
K
dvs. en logistisk differentialligning med “bærekapacitet” K .
4
Dias 7/20
Dias 8/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Eksempel på modificeret logistisk model
Model for sygdomsepidemi – taleksempel
Antager at væksten aftager med tiden f.eks.
• Influenzaepidemi i en befolkning på 2000 med r = 1.5, dvs.
dN
dt
= 1 .5 N 1 −
N (t ) =
• Fuldstændig løsning
N
2000
dN
dt
N
t
= rN 1 −
1−
K
T
• T er et “sluttidspunkt” (bemærk at N ′ (T ) = 0).
2000
(c ∈ R)
1 + ce −1.5 t
• Kan f.eks. benyttes til at beskrive sygdomsvækst på en plante, der med
tiden bliver mere modstandsdygtig over for sygdommen.
K
• Fuldstændig løsning: N (t ) =
(c ∈ R)
t2
1 + c exp −r t − 2T
• Til tiden t = 0 er der to smittede, dvs. N (0) = 2.
2000
Dette giver c = 999 og dermed N (t ) = 1+999
e − 1. 5 t
2000
1800
• Løsningskurver (K = 1 og T = 1):
1600
1400
1
1200
1000
N
0.8
800
0.6
600
y
400
0.4
200
0.2
0
1
2
3
4
t
5
6
7
8
0
• Vi har t0 =
ln c
r
=
ln 999
1.5
≃ 4 .6
og N ′ (t0 ) =
rK
4
=
1.5·2000
4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
= 750
Bemærk at N (t ) ikke har tid til at nå (tæt på) bærekapaciteten.
Dias 9/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 10/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Separation af de variable
Sætning Separation af de variable
En differentialligning af formen
En anden slags modificeret logistisk differentialligning
dy
(Indgår i miniprojektet)
dx
dy
løses ved at bruge følgende fire trin:
y α = ry 1 −
dt
hvor r , K , α er positive parametre.
= f (x )g (y )
(1) Separér de variable:
K
1
g (y )
dy = f (x ) dx
(2) Sæt integraltegn på ligningen:
R
1
g (y )
dy =
R
f (x ) dx
(3) Find stamfunktioner på begge sider af ligningen (husk int.konstant)
Den normale logistiske differentialligning svarer til α = 1.
(4) Løs ligningen: find y udtrykt ved x
Bemærkning “Separation af de variable” er en metode:
• For en konkret differentialligning går man igennem de fire trin nævnt i
sætningen.
• Man sætter ikke ind i formlerne i sætningen.
Dias 11/20
Dias 12/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Lineær 1. ordens differentialligning
Definition Lineær 1. ordens differentialligning
Homogen lineær 1. ordens differentialligning
En lineær 1. ordens differentialligning er en differentialligning af formen
dy
dx
Sætning Homogen lineær 1. ordens differentialligning
+ f (x )y = g (x )
Den homogene lineære 1. ordens differentialligning
hvor f (x ) og g (x ) er givne funktioner.
dy
Differentialligningen kaldes homogen når g = 0; ellers inhomogen.
dx
har den fuldstændige løsning
Bemærkning Differentialligninger på formen
dy
dx
skal først omskrives til
dy
dx
+ f (x )y = 0
y = y (x ) = ce −F (x )
= h (x )y + g (x )
(c ∈ R)
hvor F ′ (x ) = f (x ).
− h (x )y = g (x )
før de følgende resultater kan benyttes.
Dias 13/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 14/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
“Panserformlen”
Fortolkning af ligningen
Sætning “Panserformlen”
y(x) = y0 (x) + ce−F(x)
Den inhomogene lineære 1. ordens differentialligning
dy
dx
• FIL = fuldstændig inhomogen løsning y (x )
• FHL = fuldstændig homogen løsning ce −F (x )
+ f (x )y = g (x )
Så er
har den fuldstændige løsning
y = y (x ) = e
−F (x )
Z
FIL = y0 (x ) + FHL
e
F (x )
g (x ) dx
hvor y0 (x ) er en partikulær løsning til den inhomogene ligning.
hvor F ′ (x ) = f (x ).
I ord
“Fuldstændig inhomogen løsning =
partikulær løsning [y0 (x )] + fuldstændig homogen løsning”
Hvor er konstanten “c” i den fuldstændige løsning?
y (x )
Z
Z
=
e −F (x )
=
e −F (x ) (u0 (x ) + c ) = y0 (x ) + ce −F (x )
e F (x ) g (x ) dx = e −F (x )
e F (x ) g (x ) dx + c
• Uddybes i “nålestiksmetoden” (“gættemetoden”).
• Gælder også for (systemer af) lineære differensligninger (Modul 1 og 2)
og systemer af lineære differentialligninger (Modul 4).
Dias 15/20
Dias 16/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
“Nålestiksmetoden” (“gættemetoden”)
Eksistens og entydighed af løsninger
• I eksemplerne indtil nu har vi set følgende:
Sætning “Nålestiksmetoden”
I den fuldstændige løsning indgår en konstant “c”, som bestemmes ud
fra en begyndelsesbetingelse ϕ(x0 ) = y0 .
Differentialligningen (NB: f (x ) = a er konstant)
dy
dx
+ ay = g (x )
• Gælder det altid, at der er netop én løsning ϕ(x ) med ϕ(x0 ) = y0 ?
har den fuldstændige løsning
Sætning Eksistens og entydighed
y = y (x ) = y0 (x ) + ce −ax
(c ∈ R)
(dvs. FIL = y0 (x ) + FHL)
Gennem et givet punkt (x0 , y0 ) går netop én løsning til diff.ligningen
hvor man som y0 (x ) “gætter” på en funktion “af samme slags” som g (x ):
dy
I skemaet er α, β osv.
givne konstanter, mens
A, B osv. er konstanter,
der skal bestemmes
således at y0 (x ) er løsning.
g (x )
y0 (x )
polynomium
pol. af samme grad
β eα x (α 6= −a)
Ae α x
−
ax
βe
Axe −ax
β1 cos α x + β2 sin α x A cos α x + B sin α x
dx
= 8(x , y )
(“et udtryk i x og y ”)
(hvis funktionen 8(x , y ) er “tilstrækkeligt pæn”)
dvs. der findes netop én funktion y = ϕ(x ) således, at
(a) ϕ ′ (x ) = 8 (x , ϕ(x ))
(b) ϕ(x0 ) = y0
Dias 17/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 18/20
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Ligevægt og stabilitet
Ligevægt og stabilitet – fortsat
Definition Autonom differentialligning
En 1. ordens differentialligning af formen
dx
dt
Definition Stabil ligevægt
= f (x )
(“et udtryk i x”)
En ligevægt x ∗ kaldes stabil, hvis der gælder
x (t ) → x ∗
kaldes autonom (fordi t ikke indgår på højresiden).
for t → ∞
for alle løsninger x = x (t ), der ikke “starter for langt fra x ∗ ”
Definition Ligevægt
En værdi x ∗ kaldes en ligevægt for den autonome differentialligning
dx
dt
Sætning Stabil ligevægt
= f (x )
hvis
∗
f (x ) = 0 .
En ligevægt x ∗ for differentialligningen
dx
dt
= f (x ) er
• stabil hvis f ′ (x ∗ ) < 0
Når x ∗ er en ligevægt, så vil den konstante funktion x (t ) = x ∗ være en
løsning til differentialligningen.
• ustabil hvis f ′ (x ∗ ) > 0
(Ingen generel konklusion hvis f ′ (x ∗ ) = 0)
Bemærk forskellen til differensligninger: x ∗ er en ligevægt for
differensligningen xt +1 = f (xt ), hvis f (x ∗ ) = x ∗ .
Dias 19/20
Dias 20/20