Page 1 KGLGNIHAVER | DANIVIARK QKGNGMI
Transcription
Page 1 KGLGNIHAVER | DANIVIARK QKGNGMI
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition: ............................................................................................................................................................................. 1 Eksempel 1:........................................................................................................................................................................... 1 Begyndelsesværdien b ........................................................................................................................................................... 2 Fremskrivningsfaktoren a ..................................................................................................................................................... 2 Eksempel 2:........................................................................................................................................................................... 2 Formlerne for a og b............................................................................................................................................................. 3 Eksempel 3:........................................................................................................................................................................... 3 Bevis for formlen for a: ......................................................................................................................................................... 3 Bevis for formlen for b .......................................................................................................................................................... 4 Eksempel 4:........................................................................................................................................................................... 5 Tegning af graf for en eksponentiel funktion ........................................................................................................................ 5 Eksempel 5:........................................................................................................................................................................... 5 Logaritmisk skala.................................................................................................................................................................. 6 Forklaring på at grafen er lineær i et enkelt logaritmisk koordinatsystem: ......................................................................... 6 Logaritmeformler .................................................................................................................................................................. 6 Fordoblings- og halveringskonstant ..................................................................................................................................... 7 DIVERSE FORMLER FOR VÆKST ..................................................................................................................................... 8 Lineær vækst ......................................................................................................................................................................... 8 Eksponentiel vækst ................................................................................................................................................................ 8 Potens-vækst ......................................................................................................................................................................... 8 Definition: En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b ax eller y = b ax , idet a og b er positive tal. Eksempel 1: Indiens befolkning var i 1900 ca. 138 millioner, og er siden vokset med ca. 2% om året.. Vi siger, at befolkningstallet hvert år fremskrives med 2%. Den årlige fremskrivningsfaktor er 1,02 Efter 1 år er befolkningstallet: Efter 2 år er befolkningstallet: Efter 3 år er befolkningstallet: Efter 4 år er befolkningstallet: Efter x år er befolkningstallet: 138 mio ·1,02 138 mio ·1,022 138 mio ·1,023 138 mio ·1,024 = = = = 140,8 mio 143,6 mio 146,4 mio 149,4 mio 138 mio ·1,02x Befolkningstallet kan beskrives med funktionen f(x) = 138 · 1,02 Hvor x er antal år efter 1900 © PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 1 /8 x Vi læger mærke til, at befolkningstallet i Indien vokser eksponentielt (næsten). Vi siger, at befolkningstallet kan beskrives med den eksponentielle model: f(x) = 138 ·1,02x. Dette minder meget om kapitalfremskrivning, hvor formlen er: n K = K0 · (1+r) Læg mærke til, at n er et helt tal. I regneforskriften for Indiens befolkning behøver x ikke at være et helt tal. Begyndelsesværdien b b i regneforskriften kaldes begyndelsesværdien, fordi f(0) = b·a0 = b·1 = b Fremskrivningsfaktoren a a i regneforskriften kaldes fremskrivningsfaktoren svarende til en tilvækst i x på1. Ofte siges blot fremskrivningsfaktoren. Hvis a er mellem 0 og 1, er f aftagende. I den eksponentielle model for Indiens befolkning er a = 1,02. Hver gang, der går ét år, fremskrives Indiens befolkning med 2%. Man beregner en fremskrivning på 2% ved at gange med 1,02, nemlig den årlige fremskrivningsfaktor. Den 2-årige fremskrivningsfaktor er 1,02·1,02 = 1,022. Den 7-årige fremskrivningsfaktor for Indiens befolkning er 1,027 Eksempel 2: 50g radioaktivt stof, der henfalder med 5% om dagen kan beskrives med en eksponentiel funktion. Der er en daglig tilvækst på -5% uanset hvilken dag, der betragtes. Det er en eksponentielt aftagende funktion og regneforskriften er. y = 50·0,95 x , hvor x er antal dage siden begyndelsen, da der var 50g. © PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 2 /8 Formlerne for a og b Hvis man kender 2 funktionsværdier, kan man beregne a ved formlen: a = x2 x1 y y 2 1 Herefter kan b findes ved hjælp af formlen: b = y1 · a-x1 eller b= y1 / ax1 Eksempel 3: a 17 x -2 17 y 11 0,9 (2) 0,9 11 = 19 0,9 11 = 0,8766… = 0,877 b = 11·0,8766…-(-2) = 11·0,8766…-(-2) = 11·0,8766…2 = 8,4519… = 8,452 Regneforskriften bliver således: y = 8,452 · 0,877x Bevis for formlen for a: a = x2 x1 y y 2 1 Vi er i den situation, at vi kender 2 funktionsværdier y1 og y2 , svarende til x-værdierne x1 og x2. Det stiller vi op i et sildeben: x y x1 x2 y1 y2 Ud fra regneforskriften fås: y1 = b · ax1 og y2 = b · ax2 © PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 3 /8 Den nederste af de 2 ligninger divideres med y1 b · a x2 y2 --------- = y1 ------------------- y1 x y1 i nævneren til højre erstattes med b · a 1 , der har samme værdi. b · a x2 y2 ---------- = y1 -------------------------x1 b·a Brøken til højre forkortes med b ax2 y2 --------- = y1 --------------x1 a Ved hjælp af potensregler for division fås: y2 = ax2 - x1 --------- y1 Vi tager nu en passende rod på begge sider. Tallet og vi får: x2 x1 y y 2 = a x2-x1 bestemmer hvilken rod vi tager, hvilket skulle bevises. 1 Bevis for formlen for b b = y1 · a-x1 eller b= y1 / ax1 x Vi bemærker, division med a 1 er det samme som multiplikation med a De 2 formler er således faktisk ens og blot skrevet på lidt forskellig måde. Ud fra regneforskriften fås: y1 x1 x1 y1 = b · a /a =b © PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf hvilket skulle bevises. Eksponentiel vækst side 4 /8 -x1 Eksempel 4: Vi betragter 2 funktionsværdier y1 og y2 , svarende til x-værdierne x1 og x2. 5 4 x y a 8 6 = = 4 b = /1,1447… 3 5 (1/3) = 1,1447… = 1,145 1,5 = 1,5 = 2,0350… = 2,035 f(x) = 2,035·1,145x og regneforskriften bliver Herefter kan vi fx beregne f(10) = 2,035 ·1,14510 Tegning af graf for en eksponentiel funktion Hvis man vil tegne en eksponentiel funktion kan man med fordel benytte et såkaldt enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Hertil benyttes enten enkeltlogaritmisk papir eller regneark. Hvis støttepunkterne flugter en linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, kan man konkludere, der med god tilnærmelse er tale om en eksponentiel funktion. Enkelt-logaritmisk koordinatsystem vil blive forklaret lidt senere. Eksempel 5: Ilt-trykket falder, når man kommer op i bjergene. Her ses nogle måleresultater. Højde Ilt-tryk 0 150 x y 500 140 1000 131 1500 123 2000 115 2500 107 3000 100 Disse måleresultater er indtegnet nedenfor i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Det ses, støttepunkterne i dette enkeltlogaritmiske koordinat-system flugter en linje, og vi siger, at ilt-trykket som funktion af højden kan beskrives ved en eksponentiel model. 1000 100 10 0 5 10 15 20 25 30 © PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf 35 Eksponentiel vækst side 5 /8 Logaritmisk skala I et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er tallene på y-aksen placeret således, at grafen for en eksponentiel funktion bliver en ret linje. Hvordan det kan være, skal vi se om lidt. Den tal-skala, der er på y-aksen, kaldes en logaritmisk skala og xaksen er helt sædvanlig. En logaritmisk skala kan defineres på den måde, at den adskiller sig fra en almindelig tal-skala ved, at hvert tal y på skalaen y erstattes med 10 . Bemærk Log(10y) = y 0 er erstattet af 1, som er lig 100 . 3 er erstattet af 103, som er lig 1000 og Log(1000) = 3. Således bliver 1000 placeret i afstanden Log(1000) fra 1. Generelt placeres ethvert positivt tal y i afstanden Log(y) fra 1. Den tal-skala mest til venstre er en sædvanlig tal-skala. Den midterste tal-skala er den tilsvarende logaritmiske-skala. Den 3. tal-skala er magen til den midterste, altså også logaritmisk. Tallene er blot skrevet på en anden måde. Forklaring på at grafen er lineær i et enkelt logaritmisk koordinatsystem: Vi skal kende følgende logaritmeformler: Logaritmeformler Formel Log(a·b) = Log(a) + Log(b) Eksempel Log(5 · 3) = Log 5 + Log(3) Log(ax) = x·Log(a) Log(53) = 3·Log(5) Der gælder: y = b· ax og Log y = Log ( b· ax ) = Log b + Log ( ax ) = Log b + x· Log a Altså: Log y = Log b + x· Log a Hvilket vil sige, at Log y er en lineær funktion af x. Hvis grafpunkterne (x, y) derfor afsættes i afstanden Log y fra 1, bliver grafen en ret linje, og det er netop, hvad vi gør, når vi bruger enkeltlogaritmisk koordinatsystem Derfor gælder, at alle eksponentielle funktioner har en lineær graf i et enkelt logaritmisk koordinatsystem. © PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 6 /8 Der gælder endvidere, at ingen andre funktioner har en lineær graf i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Det vil vi dog ikkebevise. Man kan således ved at tegne en funktion i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem afgøre, om funktionen er eksponentiel. Fordoblings- og halveringskonstant Ved eksponentielt voksende funktioner tales også om en fordoblingskonstant (fordoblingstid) T2. Det er den forøgelse i x, der giver anledning til en fordobling. Tilsvarende tales om en halveringskonstant (halveringstid) T½ ved eksponentielt aftagende funktioner. Fordoblings og halveringskonstanterne kan ofte aflæses direkte af grafen ved at finde den x-tilvækst, der giver anledning til en fordobling/halvering. Der gælder følgende formler: T2 = Log (2) Log (a) og T½ = Log (0,5) Log (a) I ovenstående eksempel 3 findes T½ således: T½ = Log (0,5) / Log(0,8766…) = 5,2610… = 5,261 Bevis for den første formel forløber således. Lad x betegne fordoblingskonstanten for en eksponentiel funktion Der må gælde: 2b = bax 2 = ax Log 2 = Log ax Log 2 = x·Log a Log (2) Log (a) = x Altså fordoblingskonstanten er: Log (2) Log (a) Formlen for halveringskonstanten bevises på tilsvarende måde. © PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 7 /8 DIVERSE FORMLER FOR VÆKST Regneforskrift a Lineær vækst Eksponentiel vækst Potens-vækst y ax b y ba x y bx a a ( y2 y1 ) ( x2 x1 ) a ( x2 x1 ) ( y2 ) y1 a ( Log ( y2 ) Log ( y1 )) ( Log ( x2 ) Log ( x1 )) b T2 Fordoblingskonstant T½ Halveringskonstant Log (2) Log (a) Log (0,5) Log (a) Hvis x fremskrives med p% = r, så er fremskrivningsfaktoren for x: (1+r) og fremskrivningsfaktoren for y: (1+r)a Procentvis ændring af y bliver: ( (1+r)a – 1) · 100% Anbefalet koordinatsystem Sædvanligt Enkelt logaritmisk © PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst Dobbelt logaritmisk side 8 /8