Aarsplan 5-6 kl matematik_1-2 halvar.pdf

Transcription

ØVEHÆFTE
FOR MATEMATIK C
EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG
INDHOLDSFORTEGNELSE
1 Formelsamling ............................................................................................................................. side 2
2 Grundlæggende færdigheder ........................................................................................................ side 4
2a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r) ............................................. side 4
2b Opstille en regneforskrift ud fra b og p (eller r) ............................................................ side 5
2c Bestemme a og b ud fra to punkter ................................................................................... side 6
2d Bestemme y, når du kender x ............................................................................................ side 8
2e Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning ........................................... side 9
2f Bestemme gennemsnitlig procentvis ændring ................................................................. side 11
2g Bestemme procentvis ændring over forskellige periodelængder ..................................... side 12
2h Bestemme fordoblings- og halverings-konstant............................................................... side 13
2i Give en fortolkning af tallene a og b................................................................................ side 16
2j Opstille en model ud fra en tekst ..................................................................................... side 17
3 Opgaver med flere af begreberne................................................................................................ side 18
4 Eksamensopgaver ...................................................................................................................... side 20
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng
Side 2 af 21
Eksponentiel vækst y = b ∙ ax
Foruden ved ”gentagne ændringer” bruges formlen for eksponentiel vækst, y = b∙ax i situationer med jævne,
kontinuerlige stigninger, hvor der er lige stor procentisk vækst i hver tidsenhed (f. eks. en årlig stigning på
4%). Her antager x ikke bare hele tal som værdier: 0, 1, 2, 3, … men også decimaltal: 0.7 eller 3.25 o.s.v.
Man kan f. eks. spørge: Hvor stor er vægten af bakteriekolonien efter 2.7 dage?
y = b ∙ ax
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
,
a og b positive,
hvor (ofte)
x
y
tid
(slut)værdi
b
p
begyndelsesværdi
procenttilvækst pr. x-enhed
Fremskrivningfaktor pr. x-enhed:
(x2 ,y2)
a


1


 ( x2  x1 ) 
 
y2
y1
eller
a
x2  x1 y2
y1
(x1 ,y1)
Omformning af
Betydning i eksponentiel model af a og b
y = b ∙ ax :
Af a beregnes vækstprocent pr tidsenhed:
p = (a-1)100

Når
x=0
, er
y=b

Når x stiger med 1, vil y ganges med a
(dvs. y ændres p procent,
hvor p=(a-1)100 )
--y-ændring over flere x-enheder:
Fremskrivningsfaktor for y, når x forøges
fra x1 til x2
F 
y2
y1
 ah hvor h  x2  x1
Procentændring for hele perioden py=(F – 1 )∙100
Vækstegenskab
Funktionen er voksende, når a > 1
- og så har den en fordoblingskonstant
Funktionen er aftagende, når 0 < a < 1
- og så har den en fordoblingskonstant
----------------------------------------------
Side 3 af 21
y fordobles, når x forøges med
Fordoblingskonstant
fordoblingskonstanten (T eller T2)
T2 = x2 − x1
(Hvis x-værdier kan aflæses på graf,
se til venstre)
2y
y
Omformninger
x1
x2
Halveringskonstant
y halveres, når x forøges med
halveringskonstanten (T eller T½)
T 1  x2  x1 (Hvis x-værdier kan aflæses på graf,
2
y
se til venstre)
½y
x1
x2
Gennemsnitlig vækstprocent ved uregelmæssig
vækst
Omformninger
Gennemsnitlig vækstprocent
Hvis størrelsen y på uregelmæssig måde er vokset
fra y1 til y2 fra år
x1 til år x2, sammenligner vi
med den stabile eksponentielle vækst, der ville
starte og slutte i de samme to punkter:
pgennemsnit =(a- 1)∙100,
Logaritmefunktionen
(
)
hvor
( )
f.eks.
log(1000) = 3 ,
da
Potensligninger
( )
( )
√
Side 4 af 21
2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER
2a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og evt. p og vækstprocent)
Eksempler:
y = 200 . 1,025x
Løsninger:
b = 200
a =1.025
p =( a  1)∙100
=( 1.025  1)∙100
=2.5
vækst 2.5% pr. x-enhed
Opgaver:
201
y = 800 . 1,04x
b=
a=
y = 7,5 . 0,93x
b = 7,5
a = 0.93
p =( a  1)∙100 =
=( 0.93  1)∙100
=-7
Fald 7% pr. x-enhed
y = 350 . 0,87x
b=
a=
p = (a  1)∙100=
p = (a  1)∙100
Vækst
Fald
202
y = 5.2 . 1,0014x
b=
a=
p=
Vækst
y = 7850 . 0,066x
b=
a=
p=
Fald
203
y = 0.75 . 3,54x
b=
a=
y = 27 . 0,9991x
b=
a=
p=
p=
2b Opstille en regneforskrift ud fra p og b
Eksempel 1:
Løsning:
Begyndelsesværdien er 1500 og y vokser med 2.5% per tidsenhed.
Bestem en formel for y som funktion af tiden, x
b = 1500
p=2.5
Regneforskriften er y = 1500 . 1,025x
Eksempel 2:
Løsning:
Begyndelsesværdien er 1500 og y aftager med 2.5% per tidsenhed
b = 1500
p = -2.5
Regneforskriften er y = 1500 . 0,975x
Opgaver:
204
Begyndelsesværdien er 8,7 og y vokser med 3% per enhed
b=
p=
Regneforskriften er y =
205
Begyndelsesværdien er 15 og y aftager med 3% per enhed
b=
p=
206
Begyndelsesværdien er 3500 og y vokser med 2.85% per enhed
b=
p=
207
Begyndelsesværdien er 427 og y aftager med 5.95% per enhed
b=
p=
Side 5 af 21
2c Bestemme a og b ud fra to punkter
Side 6 af 21
-
(bestemme y som funktion af x)
Formler for a og b :
1
 y  x2  x1
a=  2
 y1 
eller
x 2 -x1
y2
y1
og
b=
y1
a x1
Eksempel 1 :
Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (5 , 190) og (9 , 214)
Løsning:
a=
x 2 - x1
220
y2
=
y1
9 5
1
(9, 214)
200
(5, 190)
180
1
2
3
4
5
6
7
8
4
214
190
1
 y  x2  x1  214  95
eller a   2 
= 1.030184576


 190 
 y1 
y
190
b = x1 =
= 163.7488978
1
1.030184576 5
a
y = 163.75 . 1.0302x
Regneforskriften er
160
214
=
190
9 10
Eksempel 2:
Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (3 , 10) og (5 , 8)
Løsning :
a=
x 2 - x1
14
y2
=
y1
5- (-3)
8
=
10
8
8
= 0.9724924725
10
1
12
10
(-3, 10)
8
(5, 8)
 y  x2  x1
=…
 y1 
y1
10
b=
6
a x1
=
0.9724924725 3
= 9.197265957
4
Regneforskriften er
2
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y = 9.20 . 0.9725x
Opgaver:
208
Side 7 af 21
1
a=
b=
x 2 - x1
y1
a x1
y2
=
y1
=
=
Regneforskriften er
209
 y  x2  x1
=
 y1 
y=
Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (3 , 3) og (7 , 8)
1
a=
b=
x 2 - x1
y1
a x1
y2
=
y1
=
Regneforskriften er
210
=
 y  x2  x1
=
 y1 
y=
1
a=
b=
x 2 - x1
y1
a x1
Regneforskriften er
211
y2
=
y1
=
 y  x2  x1
=
 y1 
=
y=
a=
b=
Regneforskriften er
y=
Side 8 af 21
2d Bestemme y når du kender x
Eksempel:
100
y = 22 . 1.18x
Bestem den y-værdi der svarer til x = 6
80
Løsning:
60
y = 22 . 1.186 = 59.39
40
20
-10 -8 -6 -4 -2
Opgaver:
212
y = 85.3 . 1.137
x
bestem den y-værdi der svarer til x = 5
213
y = 56 . 0.76x
Bestem den y-værdi der svarer til x = 8
2
4
6
8 10
Side 9 af 21
2e Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning
Eksempel:
y = 22 . 1.18x
(9.1480, 100)
100
Bestem den x-værdi der svarer til y = 100
80
Metode 1
Opstil og løs ligningen
100 = 22 . 1.18
22 . 1.18
x
x
60
eller baglæns:
40
= 100
20
(
)
(
)
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x= 9.1480
Metode 2
Metode 3
 y
log  
 b  = 9.1480
Brug direkte formlen x =
log(a )
Brug lommeregnerens/computerens solver.
x
”Ligningen 100 = 22 . 1.18
indtastes i lommeregneren Casio FX-991X, og løses med
hensyn til x med ”Solve”-funktionen (x=1 som udgangspunkt).
Løsningen er x = 9.1480”
Opgaver:
Brug alle tre metoder og find ud af hvilken der passer dig bedst. Tag tid, (evt med www.cubetimer.com)
214
Metode 1
x
y = 85.3 . 1.137
. Bestem den x-værdi der svarer til y = 500
Metode 2
Metode 3
b=
y=
a=
 y

log   log 
b 

x
log(a)
log(
tid (sek):
tid (sek):



)
tid (sek):
215
Metode 2
b=
y=
a=
y = 56 . 0.76x
Side 10 af 21
Metode 1
Metode 3
x=
tid (sek):
216
Metode 3
tid (sek):
y = 500 . 1.16x
tid (sek):
217
Metode 2
tid (sek):
Metode 1
Metode 2
tid (sek):
y = 63 . 0.993x
tid (sek):
tid (sek):
Metode 3
Metode 1
tid (sek):
tid (sek):
Side 11 af 21
2f Bestem gennemsnitlig procentvis ændring
Eksempel:
Løsning:
En størrelse ændrer sig med en fast årlig procentvis ændring. I 1990 er størrelsen 3000 og i
2000 er størrelsen 3300. Hvad er den årlige procentvise ændring?
Vi har to oplysninger om størrelsen og det svarer til at vi har to punkter (0 , 3000) og
(10 , 3300). Vi bruger formlen til at bestemme fremskrivningsfaktoren a og derefter
bestemmer vi procenttallet, p, for ændringen pr. x-enhed.
a=
x 2 - x1
y2
=
y1
y 
3300
10
eller  2 
3000
 y1 
 1 


 x2  x1 
1
 
 3300  10 
= 1.0096


 3000 
p = (a – 1)∙100 = (1.0096 – 1)∙100 = 0.96
Dvs. den årlige procentiske stigning er 0.96 %
Opgaver:
218
I 1995 er en størrelse 550 og i 1999 er den 613. Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise
ændring.
219
I 1955 er en størrelse 2600 og i 1965 er den 1600. Bestem den gennemsnitlige årlige
procentvise ændring.
220
Ved start var en størrelse 351 og efter 7 timer var den 511. Bestem den gennemsnitlige
procentvise ændring per time.
221
Ved nul grader er en størrelse 273 og ved 25 grader er den 115. Bestem det gennemsnitlige
procentvise fald per grad.
2g Bestemme procentvis ændring over forskellige periodelængder
Eksempel:
y = 350 . 0.93x
Bestem procentvis ændring på 1 x-enhed
-og på 10 x-enheder.
Løsning:
a = 0.93
p = (a – 1)∙100 = (0.93 – 1) ∙100 = – 7
Dvs. y aftager med 7% når x vokser med 1
Hvis x vokser med 10 :
Enten: Vi sætter b=100% i y = b∙ax = 100% . 0.9310 = 48,40%, d.v.s.
y falder med 100% - 48,40% = 51,60%
Eller: Fremskrivningsfaktor og procentændring for en x-periode på h=10 enheder:
= 0.9310 = 0.4840 og
py = (F – 1) ∙ 100 = (0.4840 – 1) ∙ 100 = – 51.60
Konklusion: y aftager med 51.60% når x vokser med 10
Opgaver:
222
y = 550 . 1.045x
a=
p=
y vokser med
når x vokser med 1
Hvis x vokser med 12, hvor mange procent vokser y så med ?
223
y = 56 . 0.88x
a=
p=
y aftager med
når x vokser med 1
Hvis x vokser med 5, hvor mange procent aftager y så med ?
224
y = 20. 1.009x
a=
p=
y vokser med
når x vokser med 1
Hvis x vokser med 8, hvor mange procent vokser y så med ?
225
y = 0.87 . 0.998x
a=
p=
y aftager med
når x vokser med 1
Hvis x vokser med 40, hvor mange procent aftager y så med ?
Side 12 af 21
Side 13 af 21
2h Bestemme fordoblings- og halverings-konstant
Fordoblingskonstanten T2 er den x-tilvækst der svarer til en fordobling af y
Metode 1:
Fordoblingskonstanten kan aflæses på grafen:
1. Start i et vilkårligt punkt på grafen (x1 , y1)
2. Udregn 2 . y
1
3. Find 2 . y1 på y-aksen og gå vandret ud til grafen til punktet (x2 , 2 .y1 )
4. Fordoblingskonstanten er T2 = x2  x1
Eksempel:
6
5
1. Start i punktet (3 , 2)
2. Udregn 2 . 2 = 4
3. Find 4 på y-aksen og gå vandret ud til grafen
til punktet (9 , 4)
4. Fordoblingskonstanten er T2 = 9  3 = 6
4
(9., 4)
3
2
(3., 2)
1
-1
Metode 2:
Fordoblingskonstanten kan beregnes, når man kender a
T2 =
1
2
3
4
5
6
-1
log(2)
log(a)
Eksempel:
x
Bestem fordoblingskonstanten for sammenhængen y = 45 . 1.09
Løsning:
a = 1.09
T2 =
log(2)
log(2)

= 8.04
log(a) log(1.09)
Opgaver:
226
Aflæs fordoblingskonstanten T 2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
7
8
9 10
227
Side 14 af 21
Beregn fordoblingskonstanten for følgende sammenhænge:
y = 365 . 1.23
x
y = 7.2 . 1.005
y = 71 . 1.67
a=
x
a=
x
a=
log(2)
=
log(
)
log( )
T2 =
=
log(
)
log( )
T2 =
=
log(
)
T2 =
Halveringskonstanten
T½ er den x-tilvækst der svarer til en halvering af y
Metode 1:
Halveringskonstanten kan aflæses på grafen:
1. Start i et vilkårligt punkt på grafen (x1 , y1)
2. Udregn ½ . y
1
3. Find ½ . y1 på y-aksen og gå vandret ud til grafen til punktet (x2 , ½.y1 )
4. Halveringskonstanten er T½ = x2  x1
Eksempel:
10
1. Start i punktet (3 , 8)
2. Udregn ½ . 8 = 4
3. Find 4 på y-aksen og gå vandret
ud til grafen til punktet (9 , 4)
4. Halveringskonstanten er T½ = 9  3 = 6
9
(3, 8)
8
7
6
5
(9, 4)
4
3
2
1
Metode 2:
Halveringskonstanten kan beregnes, når man kender a
T½ =
log(½)
log(a)
eller
-1
1
-1
log(0.5)
log(a)
Eksempel:
Bestem halveringskonstanten for sammenhængen y = 45 . 0.89
Løsning:
a = 0.89
T½ =
log(0.5) log(0.5)

= 5.95
log( a) log(0.89)
x
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Side 15 af 21
Opgaver:
228
Aflæs Halveringskonstanten T½
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
229
Beregn halveringskonstanten for følgende sammenhænge:
y = 365 . 0.73
x
y = 7.2 . 0.215
y = 71 . 0.99
x
x
a=
a=
a=
log(0.5)
=
log(
)
log( )
T½ =
=
log(
)
log( )
T½ =
=
log(
)
T½ =
Opgavetype 3
Beregning af fordoblings- eller halveringstid ud fra sproglige oplysninger om p eller r
Eksempel
I en klump af det radioaktive stof tritium henfalder 5,5% af tritiumatomerne pr. år.
Bestem tritiums halveringstid.
Løsning:
p = -5.5 (procenttallet er negativt, da tritiummængden aftager).
(den årlige fremskrivningfaktor)
T½ =
log(0.5)
log(0.5)

 12.25 (halveringstiden)
log( a) log(0.945)
Konklusion: Tritiums halveringstid er 12.25 år.
Dvs. efter 12.25 år er der kun det halve antal tritiumatomer tilbage.
(Den anden halvdel er “henfaldet” ved ved beta-processer og blevet til et andtstof (helium)).
Opgaver:
229b
(1) Huspriserne falder med 4% årligt. Bestem halveringstiden.
(2) Benzinpriserne stiger med 7,2% årligt. Bestem fordoblingstiden.
(3) Prisen på TV falder med 18,2% om året. Bestem halveringstiden.
Side 16 af 21
2i Give en fortolkning af tallene a og b
I regneforskriften for en eksponentiel sammenhæng indgår konstanterne a og b
b er begyndelsesværdien og angiver y- værdien der svarer til x = 0
a er fremskrivningsfaktoren og fra den kan man bestemme den procentvise ændring per enhed ved at
udregne p = (a – 1)∙100 .
Eksempel:
Løsning:
Opgaver:
230
y = 550 . 1.045x , hvor x er antal år efter 1990 og y er antal diabetikere.
Angiv betydningen i modellen af tallene 550 og 1,045.
Her betyder b = 550 at der var 550 diabetikere i 1990 (hvor x=0)
Af tallet a = 1.045 får vi procenttallet p = (a – 1)∙100 = (1.045 – 1)∙100 = 4.5
Dvs. antallet af diabetikere voksede med 4.5% om året ifølge modellen.
y = 550 . 1.045x , hvor x er antal år efter 2000 og y er antal gymnasieelever.
Hvad betyder tallene 550 og 1.045 her?
231
y = 4670 . 0.95x , hvor x er antal år efter 2000 og y er antal posthuse i Danmark.
232
En beholder med varm væske anbringes i et kølerum. Væskens temperatur afhænger af hvor
længe den har været i kølerummet.
Udviklingen i væskens temperatur kan udtrykkes ved formlen
y = 100 . 0.98x
hvor x er antal minutter væsken har været i kølerummet og y er væskens temperatur.
Side 17 af 21
2j Opstille en model ud fra en tekst
Ud fra en beskrivelse af en udvikling kan man opstille en regneforskrift for en eksponentiel udvikling.
Eksempel:
Kilometerprisen for turistkørsel er i perioden fra 1990 til 2000 i gennemsnit steget med 3%
om året. I 1990 var kilometerprisen 12 kr.
Opstil en model der angiver sammenhængen mellem kilometerprisen og antal år efter 1990.
Løsning:
Først defineres variable
x : antal år efter 1990
y : kilometerprisen.
Så konstanter:
b = 12 (begyndelsesværdien for y (når x=0) og her altså prisen i 1990 som var 12 kr.)
p = 3 (procenttallet for den årlige stigning). Hera udregnes
Nu kan modellen y = b∙ ax opstilles:
Facit:
y = 12 . 1.03x ;
x : antal år efter 1990 ;
y : kilometerprisen (kr.)
.
Opgaver:
233
Lønnen for en sygeplejerske er i perioden fra 1950 til 1970 i gennemsnit steget med 2.8% om
året.
I 1950 var lønnen 52000 kr
Opstil en model der angiver sammenhængen mellem lønnen og antal år efter 1950.
234
I 1995 var Nepals befolkningstal 20.1 millioner. Det antages at befolkningstallet vokser med
2.1% om året.
Opstil en regneforskrift der angiver sammenhængen mellem befolkningstallet i Nepal og antal
år efter 1995.
235
Antallet af skomagerværkseteder er i perioden fra 1975 til 2000 i gennemsnit aftaget med
4.5% om året.
I 1975 var der 799 skomagerværksteder.
Opstil en model der angiver sammenhængen mellem antal skomagerværksteder og antal år
efter 1975.
3 OPGAVER MED FLERE AF BEGREBERNE
301.
Grafen for en eksponentiel funktion går gennem punkterne P(20 , 45) og Q(28 , 64)
Bestem konstanterne a og b i regneforskriften.
Bestem vækstraten d.v.s. hvor mange procent y vokser med når x vokser med 1
Bestem y når x er 100
Bestem x når y er 100
Bestem fordoblingskonstanten
Bestem hvor mange procent y vokser med når x vokser med 9
302.
Grafen for en eksponentiel funktion går gennem punkterne P(5 , 45) og Q(12 , 11)
Bestem konstanterne a og b i regneforskriften.
Bestem vækstraten d.v.s. hvor mange procent y aftager med når x vokser med 1
Bestem y når x er 25
Bestem x når y er 6
Bestem halveringskonstanten
Bestem hvor mange procent y aftager med når x vokser med 5
Side 18 af 21
303.
Side 19 af 21
Et husdyr får en indsprøjtning med et lægemiddel mod lungebetændelse.
Sammenhængen mellem koncentrationen af lægemidlet i dyrets blod målt i μg/ml og antal
timer efter indsprøjtningen kan beskrives ved regneforskriften:
y = 0.33 . 0.91
x
hvor x er antal timer efter indsprøjtningen
Forklar hvad tallene 0.33 og 0.91 fortæller om koncentrationen af lægemidlet i dyrets blod.
Bestem halveringstiden.
304.
Prisen på offentlig transport er i perioden fra 1990 til 2007 steget med 8% om året.
I 1990 var prisen 5 kr.
Opstil en model der angiver sammenhængen mellem prisen og antal år efter 1990.
Hvad er prisen i 2007 ifølge denne model?
Hvornår vil prisen ifølge denne model komme op på 50 kr.?
Kommenter modellens holdbarhed, når det oplyses (fra en synsk person) at prisen i 2011 er 25
kr.
Side 20 af 21
4 EKSAMENSOPGAVER
401
Befolkningstallet i Sudan er i årene 1950 – 2000 med god tilnærmelse vokset med 2.58% 0m året.
I 1950 var befolkningstallet 9.2 mio.
a) Opstil en model, der beskriver udviklingen i Sudans befolkningstal i årene 1950 – 2000.
b) I hvilket år nåede befolkningstallet i Sudan op på 24 mio?
402
Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden 2000 – 2003, beskrives ved
modellel
y = 6410 . 1.06x ,
hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter 2000.
a) Hvad fortæller tallene 6410 og 1.06 om antal elever i 9. klasse på efterskole?
b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen?
Kommenter modellen, når det oplyses, at antallet af elever i 2004 var 8118.
Side 21 af 21
403
Antallet af danskere over 100 år er vokset fra 158 personer i 1980 til 628 personer i 2005. Det antages, at
antallet af personer over 100 år kan beskrives ved en eksponentiel model y = b.ax ,
Hvor x er antal år efter 1980, og y er antal personer over 100 år.
a) Bestem tallene a og b.
b) Hvornår vil antallet af danskere over 100 år ifølge modellen nå op på 2500?
c) Bestem fordoblingskonstanten, og kommenter oplysningen om en firdobling på 25 år.
404
Antallet af indbyggere i USA vil i 2006 bryde igennem den historiske grænse på 300 millioner.
USA’s indbygger nummer 200 millioner blev registreret i 1967.
a) Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i befolkningstallet i USA i perioden 1967 –
2006
405
En person har indtaget amfetamin. Mængden af amfetamin i kroppen kan beskrives ved modellen
y = 15 . 0.84x ,
hvor x er tiden efter indtagelsen (målt i timer), og y er amfetaminmængden i kroppen (målt i mg).
a) Hvad fortæller tallene 15 og 0.84 om amfetaminmængden i kroppen?
b) Bestem amfetaminmængden i kroppen efter 2.0 timer.
Bestem halveringstiden for amfetaminmængden i kroppen.

Aarsplan 5-6 kl matematik_1-2 halvar.pdf

Transcription

Similar documents

Afleveringsopgaver skævvinklede trekanter - sæt 2

Trekantsopgaver

Opgaverne 1101 – 1159 – Logaritmefunktioner

DVI hjemmeside - Luft

Udlån - Sparekassen Fyn

Matematik B - Webmatematik

SOLON 230/07

De små vandhelte

December 2013

2.t ÅRSPRØVE MATEMATIK A

Page 1 KGLGNIHAVER | DANIVIARK QKGNGMI