Repetition til eksamen

Repetition til eksamen
fra Thisted Gymnasium
20. oktober 2015
Kapitel 1
Introduktion til matematikken
1. Fortegn
Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division
2. Hierarki
Lær sætningen om regnearternes hierarki udenad og vær sikker på, at du forstår
den.
3. Grundlæggende regneregler
Slå de grundlæggende regneregler op og skim dem igennem.
4. Reducering
Reducér følgende udtryk, idet du husker din lærdom om hhv. plus- og minusparenteser.
(a) 3x − (4x + 2)
(b) 2 + (6x + 3)
5. Faktorer
Opløs i faktorer
(a) 3a + 60b
(c) a2 bc − ab2 c3
(b) 27ax2 − 9a2 x
(d) 11a − 22b + 55
6. Kvadratet på en toleddet størrelse
Udregn ved brug af formlerne for kvadratet på en toleddet størrelse:
(a) (s + t)2
(c) (4a − 3b)2
(b) (3x + 2y)2
(d) (5u + 3v)(5u − 3v)
1
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL MATEMATIKKEN
2
7. Brøkregneregler
Slå brøkregnereglerne op og udregn
(a)
(b)
3
4
5
x
+
−
2
3
2
y
(c)
(d)
3x+1
4
· x−7
y
3
2+a
: 4−b
b
(e) 2 +
(f) 3 ·
3
x
4
y
(g)
a
b
:7
(h) a +
a
b
8. Rødder
Slå regnereglerne for rødder op og udregn derefter i hovedet
»
√
√
√
(a) 9
(c) 100
(e) 3 8
(g) 5 32
16
√
√
√
√
√
(b) 25 + 49
(d) 0, 64
(f) 3 125
(h) 3 27
9. Potensregneregler
(a) Bevis regnereglen am · an = am+n , for m, n ∈ N
(b) Bevis regnereglen
am
= am−sn for
an
m n
mn
(c) Bevis regnereglen (a ) = a
m > n og m, n ∈ N.
for m, n ∈ N
(d) Udvid potensbegrebet, så der kan stå 0 i eksponenten.
(e) Udvid potensbegrebet, så der kan stå negative tal i eksponenten.
(f) Udvid potensbegrebet, så der kan stå brøker i eksponenten.
(g) Fremfør for en kammerat, som du ikke plejer at arbejde sammen med.
10. Ligninger
Forklar, hvad en ligning er og gør rede for begreberne grundmængde og løsningsmængde.
11. Løsning af ligninger
Gør rede for reglerne for løsning af en ligning og løs ligningerne herunder idet
du grundigt gennemgår alle fire trin
(a) 3x − 4 = 7
(b) −2x − 5 = 4x + 3
12. Andengradsligninger
(a) Bevis løsningsformlen for en andengradsligning og giv et eksempel på
anvendelse heraf. Gør desuden rede for betydningen af koefficienterne a,
b og c.
(b) Løs generelt ligningerne ax2 + c = 0 og ax2 + bx = 0.
(c) Gør rede for Viéts sætning og anvend den til at løse ligningen x2 −x−6 = 0
(d) Løs ligningen x6 − x3 − 12 = 0
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL MATEMATIKKEN
3
13. To ligninger med to ubekendte
Løs ligningssystemet 3x − 2y = 7 og −6x + y = 11
14. Maple og skriftlig eksamen
Ligninger opstår i alle mulige slags eksamensopgaver. Det skal være problemfrit
for jer at løse dem til skriftlig eksamen. Bemærk syntax i Maple:
(a) Løsning af en ligning med én ubekendt (som ikke indeholder trigonometriske funktioner): solve(f (x) = g(x))
(b) Flere ligninger med flere ubekendte løses:
solve({ligning 1, ligning 2}, {variabel 1, variabel 2}).
Løs ligningerne fra øvelsen ovenfor i Maple.
Kapitel 2
Geometri
1. Vinkelsummen i en trekant
Bevis, at vinkelsummen i en trekant er 180◦ .
2. Nabovinkler
Bevis, at en nabovinkel til en vinkel i en trekant er summen af trekantens to
andre vinkler.
3. Navngivning af sider i en trekant
Forklar, hvordan man navngiver en trekants sider i forhold til en vinkel.
4. Navngivning af vinkler i en trekant
Forklar, hvordan man navngiver en trekants vinkler i forhold til en side.
5. Kongruenssætningerne
Lær kongruenssætningerne udenad.
Forklar, sammenhængen mellem kongruenssætningerne og trekantsberegning i
trigonometri - det er en rigtig god idé, at fremhæve dette til eksamen.
6. Størrelser i en trekant
Tegn en stor trekant og indtegn hhv. højde, median, midtnormal og vinkelhalveringslinje for en af dens vinkler.
7. Ensvinklethed og ligedannethed.
(a) Definér ensvinklethed.
(b) Definér ligedannethed.
(c) Bevis, at ensvinklede trekanter er ligedannede.
(d) Bevis, at ligedannede trekanter er ensvinklede.
4
KAPITEL 2. GEOMETRI
5
8. Pythagoras’ sætning.
(a) Vis Pythagoras’ sætning, som Bhaskara gjorde det.
(b) Vis Pythagoras’ sætning ved at regne på samme figur som Bhaskara tegnede.
(c) Vis Pythagoras’ sætning, højde- og katetesætningerne vha. ensvinklede
trekanter.
(d) Hvad siger Den omvendte Pythagoras sætning?
Frivilligt: Kan du bevise den?
(e) Hvor mange hele tal passer ind i Pythagoras sætning?
Kan du bevise det?
9. Eksempel. Maple og skriftlig eksamen
Til skriftlig eksamen begrænser geometrien sig stort set til løsning af ligninger,
som opstilles ud fra ligedannet hed eller Pythagoras’ læresætning.
(a) Pythagoras’ sætning.
I ∆ABC skal den manglende side findes, når a = 7, c = 11 og C = 90◦ .
Siden b findes nu ved at indsætte i Phytagoras’ sætning og derpå løse
ligningen.
solve(7.2 + b2 = 11.2 ) → 8, 485. Vi får altså b = 8, 485.
(b) Ensvinklede trekanter
Om de ensvinklede trekanter ∆ABC og ∆A1 B1 C2 gælder
a1 = 7, b1 = 11 og a2 = 13.
Vi finder b0 ved at huske, at ensvinklede trekanter er ligedannede. Dermed
er forholdet mellem de tilvarende sider konstant og vi kan finde b0 ved at
løse den fremkomne ligning:
solve
Ä
13.
7.
=
b2
11
ä
→ 20, 4286. Vi får altså b2 = 20, 4286
Kapitel 3
Analytisk Geometri
1. Afstandsformlen
Lær afstandsformlen udenad og giv et eksempel på anvendelse heraf.
2. Midtpunkt
Bevis formlen for midtpunkt og giv et eksempel på anvendelse heraf.
3. Cirklen
(a) Cirklens ligning
Bevis cirklens ligning.
(b) Bestemmelse af centrum og radius
Bestem centrum og radius for cirklen x2 − 4x + y 2 + 12y + 36 = 9
(c) Bestemmelse af ligningen for en cirkel gennem tre punkter.
Opstil de tre ligninger, der skal til for at finde ligningen for cirklen gennem
punkterne A(4, 2), B(6, −1) og C(1, 2)
(d) Bestemmelse af cirklens skæringspunkt med akserne.
Opstil ligningen, som skal løses, hvis du vil finde skæringspunkter mellem
cirklen x2 − 4x + y 2 + 12y + 36 = 9 og x-aksen.
Opstil endvidere ligningen der skal til for at finde skæringspunkter mellem
cirklen (x − 5)2 + (y − 3)2 = 72 og y-aksen.
(e) Bestemmelse af ligningen for tangenten til en cirkel.
Lad en cirkel have ligningen (x − 3)2 + (y + 7)2 = 169. Vis, at P (6, 5) er
et punkt på cirklen og find tangenten til cirklen i P .
4. Den rette linje
(a) Bestemmelse af ligningen for en skrå ret linje.
Bevis formlen y = ax + b for en skrå ret linje både ud fra ensvinklede
trekanter og ud fra foldning.
6
KAPITEL 3. ANALYTISK GEOMETRI
7
(b) Betydningen af konstanterne a og b.
Forklar konstanterne a og b’s betydninger.
(c) Formlen for stigningstallet.
Bevis formlen for stigningstallet.
(d) Etpunktsformlen.
Bevis etpunktsformlen og anvend den til at bestemme den rette linje
gennem P (4, 7) med stigningstal a = 32 .
(e) Den generelle ligning for en ret linje.
Vis den generelle ligning for en ret linje og find en ligning for linjen
gennem A(2, 5) og B(4, −7) på generel form.
(f) Ortogonale linjer.
Bevis, at to linjer er ortogonale, når produktet af deres stigningstal er −1
(g) Afstand fra punkt til linje, hvis y = ax + b.
Vis formlen for afstand mellem l : y = ax+b og P (x1 , y1 ) og find afstanden
mellem l : y = 2x − 4 og P (7, 6).
(h) Afstand fra punkt til linje, hvis ax + by + c = 0.
Vis formlen for afstand mellem l : ax + by + c = 0 og P (x1 , y1 ) og find
afstanden mellem l : −4x + 2y − 5 = 0 og P (1, −3).
5. Parablen
(a) Definitionen af en parabel
Gør rede for, hvordan vi har indført parablen.
(b) Ligningen for en parabel.
Gør rede for at ligningen for en parabel er y = ax2 + bx + c
(c) Bestemmelse af toppunktet for en parabel.
Bevis formlen for toppunktet for en parabel og bestem på to forskellige
måde toppunktet for parablen y = ax2 + bx + c
(d) En parabels skæringspunkter med akserne.
Gør rede for bestemmelse af en parabels skæringspunkt mht. til hhv. xog y-aksen.
6. Punktledelinje egenskaben for parabel, ellipse og hyperbel.
Gør rede for punktledelinjeegenskaben for hhv. parablen, ellipsen og hyperblen.
7. Ligningen for parabel, ellipse og hyperbel.
Hvad er ligningen for hhv. en parabel en ellipse og en hyperbel?
8. Bestemmelse af skæringspunkter.
Skim eksemplerne på bestemmelse af skæringspunkt igennem med henblik på
at se, hvordan man opstiller de relevante ligninger.
KAPITEL 3. ANALYTISK GEOMETRI
8
9. Maple og skriftlig eksamen
(a) Bestemmelse af centrum og radius
Lav et eksempel til bestemmelse af centrum og radius for en cirkel. Brug
kommandoen kvadrat.
(b) Ligning for cirklen gennem tre punkter
Lav et eksempel til bestemmelse af ligningen for en cirkel gennem tre
punkter.
(c) Cirklens skæringspunkter med akserne
Lav et eksempel til bestemmelse af en cirkels skæringspunkt med akserne.
(d) Cirkeltangentens ligning
Lav et eksempel til ligningen for en tangent til en cirkel
(e) Den rette linje gennem to punkter
Lav et eksempel til bestemmelse af den rette linje gennem to punkter.
(f) Etpunktsformlen
Lav et eksempel til bestemmelse af ligningen for en ret linje vha. etpunktsformlen.
(g) Ligningen for en linje ortogonal på en anden
Lav et eksempel til bestemmelse af ligningen for en linje, som er ortogonal
med en anden.
(h) Toppunktet for en parabel
Lav et eksempel til bestemmelse af toppunktet for en parabel.
(i) Skæringspunkter
Lav et eksempel til bestemmelse af skæringspunktet mellem
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
to linjer
en linje og en cirkel
en linje og en parabel
en linje og en ellipse
en linje og en hyperbel
to cirkler
en cirkel og en parabel
en cirkel og en ellipse
ix. en cirkel og en hyperbel
x. to parabler
xi. en parabel og en ellipse
xii. en parabel og en hyperbel.
xiii. to ellipse
xiv. en ellipse og en hyperbel
xv. to hyperbler
Kapitel 4
Trigonometri
1. Radian
Indfør vinkelmålet radian.
2. De trigonometriske funktioner
Definer funktionerne sin(t), cos(t) og tan(t).
3. Trigonometriske grundligninger
(a) Løs ligningerne sin(t) = 0, 7, cos(t) = −0, 3 og tan(t) = −1, 2 generelt og
i intervallet [0; 5π[
(b) Løs ligningerne sin(v) = −0, 4, cos(v) = 0, 6 og tan(v) = 0.6 generelt og
i intervallet [0; 720◦ [
4. Den retvinklede trekant
(a) Indfør sinus, cosinus og tangens i en retvinklet trekant.
(b) Beregn alle sider og vinkler i ∆ABC, når ∠B = 90◦ og
i. ∠A = 25◦ og a = 5
ii. a = 4 og b = 13
iii. a = 2 og c = 6
9
KAPITEL 4. TRIGONOMETRI
5. Den vilkårlige trekant
(a) Bevis sinusrelationerne.
(b) Bevis cosinusrelationerne.
(c) Fem trekantstilfælde
i. I ∆ABC er A = 4, B = 6 og C = 5, 7.
Tegn en skitse og beregn vinklerne.
ii. I ∆ABC er a = 16, b = 20 og C = 30◦ .
Tegn en skitse og beregn c, A og B.
iii. I ∆ABC er A = 30◦ , a = 3, 5 og b = 5.
Tegn en skitse og beregn B, C og c.
iv. I ∆ABC er A = 50◦ , B = 60◦ og c = 15.
Tegn en skitse og beregn C, a og c.
v. I ∆ABC er A = 35◦ , B = 70◦ og b = 10.
Tegn en skitse og beregn C, a og c.
10
Kapitel 5
Funktioner
1. Funktioner
Defininér en funktion og forklar begreberne ens funktioner, injektiv, graf, definitionsmængde, værdimængde, surjektiv, bijektiv.
2. Omvendt funktion.
Bestem den omvendte funktion til funktionen f (x) = 3x − 4
3. Sammensat√funktion.
Lad f (x) = 2x − 4 og g(x) = 3x2 − 5x − 1. Find f ◦ g og g ◦ f .
4. Monotoniforhold
Undersøg betydningen af ordet monotoniforhold.
5. En funktions begrænsning Undersøg betydningen af hhv. opadtil og nedadtil
begrænset. Hvad betyder begrænset?
6. Største- og mindsteværdi.
Undersøg betydningen af hhv. størsteværdi og mindsteværdi.
7. Lineære funktioner
(a) Egenskaber
Lær lineære funktioners egenskaber udenad.
(b) Regneforskrift ud fra to punkter.
Find ligningen for den rette linje gennem punkterne A(4, 3) og B(2, 7)
uden brug af lommeregner.
11
KAPITEL 5. FUNKTIONER
12
(c) Regneforskrift ud fra mange punkter I forbindelse med optagelse på
et College i USA blev der afholdt en test1 . Herunder er testresultaterne
angivet som funktion af antal år efter 1963.
Tidspunkt
Resultat
t/år 0
R
502
4
492
7
488
11 14
480 470
i. Tegn en perfekt graf, som viser testresultatet som funktion af tiden.
Husk Titel (med ord), aksetitler (med symboler og evt. enhed) og
regneforskriften (angivet med de korrekte symboler t og R).
ii. Redegør for, at testresultatet med god tilnærmelse afhænger linjeært
af tidspunktet.
iii. Angiv regneforskriften på formen R = a · t + b
8. Rentesregning
(a) Fremskrivningsfaktor
Find fremskrivningsfaktoren, når en værdi aftager fra 7 til 3.
(b) Fremskrivningsformlen. Bevis fremskrivningsformlen og isoler hhv.
K0 , K, n og r.
9. Logaritmer
(a) Definition
Defininér loga (b), log(b) og ln(b).
(b) Logaritmeregneregler
Bevis logaritmeregnereglerne
(c) Ligninger
Løs ligningerne
i.
ii.
iii.
iv.
v.
log(x) = 3.
log(x + 2) = 2
10x = 0, 001
5x = 200
2 · 7x = 30.
(d) Logaritmisk skala
Indfør den logaritmiske skala.
(e) Enkelt og dobbeltlogaritmisk papir
Indfør hhv. enkelt logaritmisk og dobbelt logaritmisk papir
1
Opgaven er taget fra vejledende eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010. Opgave 9.044.
KAPITEL 5. FUNKTIONER
13
10. Eksponentiel udvikling
(a) Egenskaber
Lær egenskaberne for en eksponentiel udvikling udenad.
(b) Graf
Præsentér Tegn de forskellige mulige grafer for en eksponentiel udvikling
og gør rede for, at grafen for en eksponentiel udvikling er en ret linje på
enkelt logaritmisk papir.
(c) Bestemmelse af a-værdien
Vis formlen for a-værdien i en eksponentiel udvikling.
(d) Bestemmelse af b-værdien
Vis formlen for b-værdien i en eksponentiel udvikling.
(e) Regneforskrift ud fra to punkter
Bestem ligningen for en eksponentiel udvikling gennem A(2, 12) og B(4, 48)
(f) Regneforskrift ud fra mange punkter
Tabellen herunder2 viser antallet af børn der blev behandlet for ADHD
som funktion af antal år efter 1997.
t/år 0
A
511
1
697
2
954
3
4
1305 1525
5
1921
6
2490
7
8
3284 4452
9
5804
i. Tegn en perfekt graf, som viser antallet af behandlede børn som funktion af tiden.
Husk Titel (med ord), aksetitler (med symboler og evt. enhed) og
regneforskriften (angivet med de korrekte symboler t og A).
ii. Redegør for, at antallet af behandlede børn med god tilnærmelse
afhænger eksponentielt af tidspunktet.
iii. Angiv regneforskriften på formen A = b · at
(g) Bestemmelse af y, når x er kendt
Lad y = 4 · 2x . Beregn y, når x = 2.
(h) Bestemmelse af x, når y er kendt
Lad y = 2 · 10x . Beregn x, når y = 2000.
(i) Procentvis stigning
Vis formlen f (x + h) = ah · f (x) og brug dette til at beregne den procentvise stigning i børn behandlet for ADHD i løbet af 6 år i eksemplet
ovenfor (se 5).
2
Opgaven er taget fra vejledende eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010. Opgave 9.077.
KAPITEL 5. FUNKTIONER
14
(j) Fordoblingskonstant
Vis formlen for fordoblingskonstant og beregn fordoblingskonstanten i
tilfældet f (x) = 3 · 1, 7x .
(k) Mundtlig eksamen
Foretag en mundtlig eksamen i eksponentielle udviklinger sammen med
en kammerat, idet din kammerat er eksaminator og bestemmer hvilke(n)
af taleksemplerne, du skal regne.
11. Potensudviklinger
(a) Egenskaber
Lær potensudviklingers egenskaber udenad
(b) Graf på almindeligt og dobbelt logaritmisk papir
Tegn de forskellige grafer for potensudviklinger og gør rede for, at grafen
for en potensudvikling er en ret linje på dobbeltlogaritmisk papir.
(c) Bestemmelse af regneforskrift ud fra to punkter
i. Vis formlerne for bestemmelse af hhv. a- og b-værdi for en potensudvikling.
ii. Find forskriften for potensudviklingen, hvis graf indeholder punkterne A(4, 2 og B(5, 13)
(d) Bestemmelse af regneforskrift ud fra de procentvise tilvækster
i. Vis formlen f (qx) = q a f (x)
ii. Bestem regneforskriften for den potensudvikling, som opfylder f (7) =
18 og at f vokser med 15%, når x vokser med 22%.
(e) Bestemmelse af forskriften ud fra mange punkter
Tabellen viser sammenhængen mellem tovværks diameter D målt i mm
og dets brudstyrke B målt i kg.
5
8
14
20
26
D/mm
B/kg 400 1000 3200 6000 10000
i. Tegn en perfekt graf, som viser Brudstyrken som funktion af diameteren. Husk titel (med ord) aksetitler (med symboler og evt. enhed)
og regneforskriften (angivet med de korrekte symboler B og D)
ii. Redegør for, at der er tale om en potensudvikling.
iii. Angiv regneforskriften på formen B = b · Da
(f) Bestemmelse af B, når D er kendt
Beregn brudstyrken, når diameteren er 17.
(g) Bestemmelse af D, når B er kendt
Beregn diameteren, når brudstyrken er 5000.
KAPITEL 5. FUNKTIONER
15
(h) Procentvis stigning
Bestem den procentvise stigning for brudstyrken, hvis diameteren stiger
med 25%.
(i) Mundtlig eksamen
Foretag en mundtlig eksamen i potensudviklinger sammen med en kammerat, idet din kammerat er eksaminator og bestemmer hvilke(n) af taleksemplerne, du skal regne.
12. Trigonometriske funktioner og svingninger
(a) Cosinus, sinus og tangens
Præsentér funktionerne cosinus, sinus og tangens, idet du bruger så mange
ord fra funktionsterminologien som muligt.
(b) Løsning af trigonometriske grundligninger
Løs ligningerne
i. sin(t) = 0, 6, hvor t ∈ [0; 2π[
ii. cos(t) = −0.3, hvor t ∈ [−π; 3π[
iii. tan(t) = 1.3, hvor t ∈ [π; 4π[
(c) Definition af en svingning
Forklar betydningen af alle konstanterne i definitionen for en svingning
(d) Beregninger med svingninger
En svingning har ligningen y = 4 sin(3x + 0, 2) + 2.
i. Bestem i hånden og på Maple de første to tidspunkter, hvor y-værdien
er 2,2.
ii. Angiv konstanterne A, ω, T , B og f for svingningen.