VAT Brevpapir

Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Geometri
Længdemål og omregning mellem længdemål ........................... 56
Omkreds og areal af rektangler og kvadrater .............................. 57
Omkreds og areal af andre figurer .............................................. 58
Omregning mellem arealenheder ................................................ 62
Nogle geometriske begreber og redskaber. ................................. 63
Målestoksforhold og ligedannethed ............................................ 66
Rumfang ...................................................................................... 68
Omregning mellem rumfangsenheder......................................... 69
Massefylde .................................................................................. 70
Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning) ........ 71
Rumfang (2) ................................................................................ 72
Regne baglæns ............................................................................ 74
I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang.
På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne.
Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling.
Geometri
Side 55
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Længdemål og omregning mellem længdemål
Vi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), men
standardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i:
- decimeter (dm). Der går 10 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del.
- centimeter (cm). Der går 100 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del.
- millimeter (mm). Der går 1000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del.
Bemærk: Det er kun cm og mm, der er tegnet i den rigtige størrelse herunder.
1 m = 10 dm
1 cm = 10 mm
1 dm = 10 cm
Her er sammenhængen mellem
måleenhederne stillet op i en tabel:
1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm
1 dm =
10 cm =
100 mm
1 cm =
10 mm
1 mm
Hvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer.
- en kilometer (km) er 1.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde.
Der er altså samme størrelsesforhold mellem en km og en m, som der er mellem en m og en mm.
Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder.
Eksempler på opgaver
Omregn 97,5 cm til mm.
Omregn 1.250 m til km.
I skemaet står der ” ⋅ 10 ” fordi,
hver cm svarer til 10 mm.
I skemaet står der ” : 1.000 ” fordi,
hver km svarer til 1.000 m.
Man får:
97,5 cm = 97,5 mm ⋅ 10 = 975 mm
Man får:
1.250 m = 1.250 km : 1.000 = 1,250 km
Geometri
Side 56
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Omkreds og areal af rektangler og kvadrater
Et rektangel er en firkant, hvor:
- siderne er parvis lige lange
- hjørnerne er rette vinkler
Et kvadrat er en firkant, hvor:
- alle sider er lige lange
- hjørnerne er rette vinkler
Eksempler på rektangler:
Eksempler på kvadrater:
Et kvadrat er et særligt ”pænt” rektangel
Eksempler på opgaver
Find omkreds og areal af et rektangel med
længden 4 m og bredden 3 m.
Find arealet af et rektangel med
længden 350 cm og bredden 2,50 m.
Omkredsen findes ved:
- enten at sige: 4 m + 3 m + 4 m + 3 m = 14 m
Man kan ikke regne med både m og cm, så
350 cm laves om til 3,50 m.
- eller at sige: 2 ⋅ 4 m + 2 ⋅ 3 m = 14 m
Man får: A = 3,50 m ⋅ 2,50 m = 8,75 m 2
Arealet findes ved at bruge formlen:
Tegningen viser, at resultatet er rimeligt.
Hvis du tæller de hele, de halve og den kvarte
kvadratmeter sammen, så får du 8,75 m2.
Areal = længde ⋅ bredde eller blot A = l ⋅ b
Man får: A = 4 m ⋅ 3 m = 12 m 2
3m
Geometri
350 cm = 3,50 m
2,50 m
Tegningen viser, at rektanglet svarer til
12 kvadrater, som måler 1 m på hver led.
Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter (1 m2)
4m
Hvis du er usikker på, hvorledes man
omregner længdemål, så blad en side
tilbage. Der er et par eksempler.
Side 57
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Omkreds og areal af andre figurer
Eksempel på opgave
12 m
For at finde arealet må huset opdeles i rektangler.
Det kan f.eks. gøres således:
10 m
6m
Tegningen til højre er en skitse af et hus.
Find husets areal.
7m
Der mangler tilsyneladende
nogle mål for det nederste rektangel,
men ved at kikke på tallene på skitsen
kan man regne ud at:
- arealet af det øverste rektangel må være: A = 12 m ⋅ 6 m = 72 m 2
- arealet af det nederste rektangel må være: A = 5 m ⋅ 4 m = 20 m 2
92 m 2
I alt er huset derfor:
Arealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder.
Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måder
Ud over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler.
I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud.
Eksempel på opgave
Find arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde 3 cm.
Man får: A =
1
⋅h ⋅g
2
=
1
⋅ 5 cm ⋅ 3 cm
2
= 7,5 cm 2
Tegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelen
af arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden 3 cm.
A=
1
⋅h ⋅g
2
højde
grundlinie
Den lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde ”uden for”.
Geometri
Side 58
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Eksempel på opgave
Find arealet af et parallelogram med grundlinie 4 cm og højde 3 cm.
Man får: A = h ⋅ g = 4 cm ⋅ 3 cm = 12 cm 2
A = h ⋅g
Tegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer til
arealet af et rektangel, med længden 4 cm og højden 3 cm.
Du klipper venstre ende af
og flytter stykket mod højre.
højde
grundlinie
Eksempel på opgave
Find arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og 3 cm
og højden er 4 cm.
Man får: A =
1
⋅ h ⋅ (a + b)
2
1
2
= ⋅ 4 cm ⋅ (6 cm + 3 cm) = 18 cm 2
Tegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves om
til et rektangel, med længden 4,5 cm og højden 4 cm.
A=
1
⋅ h ⋅ (a + b)
2
a
højde
b
Den lille tegning viser, at trapezer godt kan være ”skæve”.
Geometri
Side 59
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Eksempel på opgave
Find omkredsen af en cirkel med en radius på 1,5 cm.
(Det svarer til en diameter på 3 cm)
O = π⋅d
Man får:
- enten O = π ⋅ d = π ⋅ 3 cm = 9,4 cm
eller
- eller O = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ 1,5 cm = 9,4 cm
O = 2⋅π⋅r
radius
diameter
Tegningerne viser en cirkel, der ”rulles ud”.
Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren.
Dette tal kaldes π (læses pi).
radius
diameter
π er et uendeligt decimaltal, som starter med 3,14…
Mange regnemaskiner har en π -knap.
radius
diameter
omkreds
Eksempel på opgave
Find arealet af en cirkel med en radius på 2,5 cm.
Man får: A = π ⋅ r 2 = π ⋅ 2,5 2 = 19,6 cm 2
På regnemaskinen tastes: π
X
A = π ⋅ r2
2,5 x2 =
radius
På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt ”omvendt”.
Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere.
Resultatet vil ligne et rektangel.
Længden bliver en halv omkreds - altså π ⋅ 2,5 cm ≈ 7,85.. cm
Højden bliver lig med radius - altså 2,5 cm
Arealet bliver derfor π ⋅ 2,5 ⋅ 2,5 = π ⋅ 2,5 2 = 19,6 cm 2
Geometri
Side 60
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Eksempel på opgave
Skitsen viser en lille løbebane.
Banen (det grå område) er 10 m bred.
35 m
45 m
35 m
Find banens længde langs indersiden
og banens areal.
Indersiden består af to halvcirkler og to linjestykker.
Banens omkreds bliver:
Omkreds af cirkel: O = π ⋅ d = π ⋅ 35 ≈ 110 m
Linjestykker:
2 ⋅ 45 = 90 m
Omkreds i alt
200 m
Når man skal finde banens areal, må man først finde arealet af hele området (hvid + grå)
og derefter trække midten (hvid) fra. Begge dele består af to halvcirkler med et rektangel i midten.
Prøv selv at beregne målene på hele området, og se om dine tal passer med tallene herunder.
Man får:
Areal af det midterste område:
Areal af hele området:
Cirkel:
2
2
A = π ⋅ r = π ⋅ 27,5 = 2.376 m
2
Rektangel: A = l ⋅ b = 45 ⋅ 55 = 2.475 m2
4.851 m2
Areal i alt:
Cirkel:
A = π ⋅ r 2 = π ⋅ 17,5 2 =
962 m2
Rektangel: A = l ⋅ b = 45 ⋅ 35 = 1.575 m2
Areal i alt:
2.537 m2
Arealet af banen bliver derfor: 4.851 - 2.537 m2 = 2.314 m2
Eksempel på opgave
Find arealet af en trekant, hvor sidelængderne er 5 cm, 6 cm og 7 cm.
Man kan ikke bruge den almindelige formel for arealet
af en trekant ( A =
1
⋅ h ⋅ g ), fordi man ikke kender en højde.
2
a
Men man kan i stedet for bruge Herons formel.
Først findes den halve omkreds.
a + b + c 5 + 6 + 7 18
Man får: s =
=
=
= 9 cm
2
2
2
Derefter findes arealet.
b
c
A = s ⋅ (s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c)
Hvor s er den halve omkreds:
a+b+c
s=
2
Man får: A = s ⋅ (s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c)
= 9 ⋅ (9 − 5) ⋅ (9 − 6) ⋅ 9 − 7 ) = 9 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 216 = 14,7 cm2
Geometri
Side 61
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Omregning mellem arealenheder
Man skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder.
Når der skal 10 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 10 dm2 til en m2,
men tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 = 100 dm2 til en m2.
Bemærk: Det er kun cm2 og mm2, der er tegnet i den rigtige størrelse.
1 m2 = 100 dm2
1 cm2 = 100 mm2
1 dm2 = 100 cm2
1 mm2
Her er sammenhængen mellem
arealenhederne stillet op i en tabel:
1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
1 dm2 =
100 cm2 =
10.000 mm2
1 cm2 =
100 mm2
Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder.
Eksempler på opgaver
Omregn 2500 cm2 til m2.
Omregn 3,5 cm2 til mm2.
I skemaet står der ” : 10.000 ” fordi,
hver m2 svarer til 10.000 cm2.
I skemaet står der ” ⋅ 100 ” fordi,
hver cm2 svarer til 100 mm2.
Man får:
Man får:
2500 cm 2 = 2500 m 2 : 10.000 = 0,25 m 2
Geometri
3,5 cm 2 = 3,5 mm 2 ⋅ 100 = 350 mm 2
Side 62
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Nogle geometriske begreber og redskaber.
Når man arbejder med geometriske figurer, har man ud over lineal
ofte brug for en passer og en vinkelmåler.
Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kan
også anvendes til andre tegneopgaver.
Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler.
Når man arbejder med geometriske figurer, kan man i dag også bruge
et computerprogram som fx Geogebra i stedet for at tegne og måle i hånden.
Et bestemt sted kaldes på matematik-sprog et punkt.
Et punkt fylder ingenting - det har ingen størrelse.
Men i praksis er man nødt til at tegne et kryds eller en prik som vist her.
Et punkt kan også være et hjørne i fx en trekant eller en firkant.
Man giver punkter bogstav-navne med store bogstaver.
B
A
En linje er en lige streg, der i princippet er uendelig lang,
men det kan man naturligvis ikke tegne.
Q
Et linjestykke er en lige streg, der går fra et punkt til et andet.
Altså en streg med en bestemt længde.
Linjestykket på tegningen hedder PQ, fordi det går fra P til Q.
Hvis man skriver |PQ|, betyder det længden af PQ.
P
To linjer - eller linjestykker - kan være parallelle,
hvis der er et fast afstand mellem dem.
Ligesom et par togskinner.
To linjer - eller linjestykker - kan stå vinkelret på hinanden,
hvis de danner en ret vinkel (se næste side).
Randen af en cirkel kaldes cirklens periferi.
Afstanden fra periferi til periferi gennem centrum
kaldes cirklens diameter.
Afstanden fra centrum til periferi kaldes radius.
Man skal kende radius for at tegne cirklen
med en passer.
Et linjestykke fra periferi til periferi, der er mindre
end diameteren, kaldes en korde.
En linje, der lige akkurat rører en cirkel i et punkt,
kaldes en tangent.
Geometri
Periferi
Korde
Radius
Diameter
Tangent
Side 63
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsen
af et ”hjørne” (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant.
En cirkel måler 360°
(læses 360 grader)
hele vejen rundt.
Et ”lige” hjørne
måler 90° og kaldes
en ret vinkel.
Det er en kvart cirkel.
En vinkel på mindre
end 90° kaldes
en spids vinkel.
Den viste vinkel er 60°
En vinkel på mere
end 90° kaldes
en stump vinkel.
Den viste vinkel er 120°
Nogle særligt ”pæne” trekanter har specielle navne:
I en ligesidet trekant er
alle siderne lige lange, og
alle vinklerne er 60°.
I en ligebenet trekant er
to af siderne lige lange og
to af vinklerne lige store.
I en retvinklet trekant er en
af vinklerne ret - altså 90°.
E
Tegningen til højre viser, at de tre vinkler i en trekant
altid er 180° tilsammen. ∠A = ∠D, ∠B = ∠E og ∠C =∠F.
Og ∠D, ∠E og ∠F svarer tilsammen til halvvejs rundt i en cirkel.
Man kan altid dele en firkant op i to trekanter som
vist nedenfor. På den måde kan man vise, at vinklerne
i en firkant altid er 2·180° = 360° tilsammen.
F
D
C
A
B
Man kan fortsætte og opdele en femkant i tre trekanter osv.
På den måde kan man vise, at der gælder denne formel
for vinklerne i en mange-kant:
v = (n − 2) ⋅180
hvor v er vinkelsummen (alle vinklerne lagt sammen),
og n er antal kanter.
En mange-kant kaldes også en polygon.
Geometri
Side 64
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Særligt ”pæne” figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler:
Regulær
sekskant
I en regulær figur
er alle sider og alle
vinkler lige store.
Symmetrisk figur med
vandret symmetriakse
(eller spejlingsakse).
Man tegner nogle gange disse linjer i trekanter:
Midtnormaler
Midtnormaler går gennem
midtpunktet på siderne, og
de står vinkelret på siderne.
Vinkelhalveringslinjer
Vinkelhalveringslinjerne
deler vinklerne op i
to lige store vinkler.
Medianer
Medianerne går fra
vinkelspidserne til midten
af de modstående sider.
Alle tre typer af linjer mødes i et punkt. Det gælder også for højderne i en trekant.
Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel, og vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for den indskrevne cirkel. Prøv selv at tegne.
Eksempel på opgave
C
Konstruer en trekant ABC som vist på skitsen,
hvor a = 4,5 cm, c = 6 cm og ∠A = 40°.
b
A
2) Derefter afsættes
∠A = 40°, og
siden b skitseres
som vist.
A
40°
1) Først tegnes c = 6 cm.
Geometri
a
c
B
C
3) Derefter tegnes
en cirkelbue med
centrum i B og
radius på 4,5 cm.
B
a = 4,5 cm
A
40°
c = 6 cm
B
4) Til sidst tegnes siden a, og de
overflødige steger viskes ud.
Side 65
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Målestoksforhold og ligedannethed
Man bruger målestoksforhold, når man arbejder med fx arkitekttegninger og kort.
Tegningerne og kortene er præcise formindskede kopier af virkeligheden, selv om man
naturligvis ikke altid kan få alle detaljer med, når man laver tegninger og kort.
Et målestoksforhold skrives fx således: 1 : 100 . Det betyder at en længdeenhed (mm, cm…)
på tegningen eller på kortet svarer til 100 længdeenheder i virkeligheden.
Eksempel på opgave
Tegningen viser et hus i målestoksforhold 1:200.
Grundrids af hus
Find husets længde og bredde.
Find også husets areal.
1:200
Først måles længde og bredde på tegningen.
Man får 7,5 cm og 4,0 cm.
Så beregnes de rigtige mål ved at gange med 200.
Man får:
- længde: 7,5 cm ⋅ 200 = 1.500 cm = 15,00 m
- bredde:
4,0 cm ⋅ 200 = 800 cm = 8,00 m
Arealet beregnes til:
15 m ⋅ 8 m = 120 m 2
På tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 200 gange mindre end i virkeligheden.
Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 200 gange større end på tegningen.
Men arealet af det rigtige hus er 200 ⋅ 200 = 40.000 gange større end arealet af tegningen.
Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor!
Eksempel på opgave
En byggegrund har form som et rektangel.
Længden er 30 m og bredden er 20 m.
Lav en tegning i målestoksforhold 1:500
Tegningens mål findes ved at dividere med 500.
- bredde: 20 m : 500 = 0,04 m = 4 cm
20 m
Man får:
- længde: 30 m : 500 = 0,06 m = 6 cm
1:500
Tegningen ser ud som til højre.
Hvis man vil skrive mål på tegningen, skal
det være de rigtige mål - ikke de tegnede mål.
Geometri
30 m
Side 66
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Nogle gange kan tegningen godt være større end virkeligheden.
Eksempel på opgave
Tegningen viser et tværsnit af en knappenål.
10 mm
I hvilket målestoksforhold er tegningen lavet?
Først måler man på tegningen. Man får:
- ”hovedets” diameter: 5 cm = 50 mm
8 mm
- ”nålens” længde: 4 cm = 40 mm
Nu kan man finde målestoksforholdet på to måder:
Enten som 50 : 10 = 5 : 1 eller som 40 : 8 = 5 : 1
Bemærk: Når tegningen er større end virkeligheden, skriver man det største tal først.
I eksempler passer det jo med at 5 mm på tegningen svarer til 1 mm i virkeligheden.
Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede kopier af hinanden, siger man,
at de er ligedannede. Vinklerne er ens i de to figurer.
Eksempel på opgave
II
De to trekanter I og II er ligedannede.
Find længden af c og d.
I
Det er lettest at omregne forholdet til et tal.
Man får:
e : b = 5 : 4 = 1,25
f = 13 cm
d
Størrelsesforholdet er 4:5 (eller 5:4).
Det betyder, at hver gang man har 4 længdeenheder
på trekant I, så har man 5 længdeenheder på trekant II.
a = 9,6 cm
Først finder man størrelsesforholdet ved at
sammenligne siderne b og e.
c
b = 4 cm
e =5 cm
Siderne i trekant II er altså 1,25 gange større
end siderne i trekant I.
Derefter får man: d = 1,25 ⋅ a = 1,25 ⋅ 9,6 = 12 cm og c = f : 1,25 = 13 : 1,25 = 10,4 cm
Bemærk: Når man arbejder med målestoksforhold, arbejder man også med ligedannethed.
Tegningen og den virkelige ting er jo præcise formindskede/forstørrede kopier af hinanden.
Geometri
Side 67
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Rumfang
Eksempel på opgave
Ladet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen.
Hvor mange m3 (kubikmeter) kan det rumme?
7m
Rumfang = længde ⋅ bredde ⋅ højde eller blot V = l ⋅ b ⋅ h
2m
Rumfanget findes ved at bruge formlen:
2m
(Bogstavet V bruges for rumfang)
Man får: V = 7 m ⋅ 2 m ⋅ 2 m = 28 m 3
Det betyder, at ladet kan rumme 28 terninge-formede kasser,
som måler 1 m på hver led.
En sådan terning kaldes en kubikmeter (m3).
28 X 1 m3
Eksempel på opgave
3
Liter er det samme som kubikdecimeter (dm ).
(se evt. næste side om rumfangsenheder)
Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen.
40 cm
En kasse har de mål, som er vist på skitsen.
Hvor mange liter kan den rumme?
30 cm
75 cm
Man får: V = 7,5 dm ⋅ 3 dm ⋅ 4 dm = 90 dm 3 eller 90 liter
Eksempel på opgave
5 cm
9 cm
En dåse har de mål, som er vist på skitsen.
Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme?
Milliliter er det samme som kubikcentimeter (cm3)
og dåsen har form som en cylinder.
Man får: V = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ 5 2 ⋅ 9 = 707 cm 3 eller 707 ml
På regnemaskinen tastes: π
X
5 x2 X 9 =
Geometri
højde
Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder.
Der findes en række andre formler, som du også
kan få brug for, når du regner opgaver med rumfang.
V = π ⋅ r2 ⋅ h
radius
Side 68
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Omregning mellem rumfangsenheder
Der bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder.
Tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1.000 dm3 til en m3.
1 dm3 = 1.000 cm3
1 m3 = 1.000 dm3
Her er sammenhængen mellem
rumfangsenhederne vist i en tabel:
1 cm3
1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3 = 1.000.000.000 mm3
1 dm3 =
Man måler også rumfang med liter-enheder:
liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml).
Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang.
1.000 cm3 =
1.000.000 mm3
1 cm3 =
1.000 mm3
1 liter
Det er vigtigt at vide, at:
1 dl
1 cl
1 ml
- 1 dm3 er det samme som en liter (l)
- 1 cm3 er det samme som en milliliter (ml)
1 liter = 10 dl = 100 cl = 1.000 ml
Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne:
1 dl =
10 cl =
100 ml
1 cl =
10 ml
Eksempel på opgave
Omregn 3,5 m3 til liter.
En liter er det samme som en dm3. Derfor skal man gange med 1.000.
Man får:
3,5 m 3 = 3,5 dm 3 ⋅ 1.000 = 3.500 dm 3 = 3.500 liter
Geometri
Side 69
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Massefylde
Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang.
Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed.
Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlen
kan også omskrives som vist herunder:
Vægt = Rumfang · Massefylde eller
Massefylde =
Vægt
Rumfang
Vægt
Massefylde
Rumfang =
Hvis et materiale har massefylden 2,5 g pr. cm3, betyder det,
at en cm3 (en kubikcentimeter-terning) vejer 2,5 g.
Massefylde er vægt
pr. rumfangsenhed.
Fx vægt pr. cm3.
Vand har en massefylde på 1 g pr. cm3.
Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under 1 g pr. cm3.
Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller),
har en massefylde på over 1 g pr. cm3.
Når man regner med massefylde, er det vigtigt at have
styr på både rumfangsenhederne (se forrige side) og
vægtenhederne.
1 ton = 1.000 kg = 1.000.000 g
1 kg =
1 ton
1.000 g
1 kg
1g
Eksempler på opgaver
En metalklods vejer 323 g
og har et rumfang på 85 cm3.
Hvad er massefylden?
Hvor meget vejer 5 m3 grus,
når massefylden for gruset
er 2,3 tons pr. m3?
Hvor meget fylder 0,5 kg
alkohol, når massefylden
er 0,8 kg pr. liter?
Man får:
Man får:
Man får:
Massefylde =
323 g
85 cm 3
= 3,8 g pr. cm 3
Vægt = 5 m 3 ⋅ 2,3 tons pr. m 3
= 11,5 tons
Rumfang =
0,5 kg
0,8 kg pr. liter
= 0,625 liter
I eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit.
Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp.
Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret!
Geometri
Side 70
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning)
c = 5 cm
A
a = 3 cm
Det mest enkle eksempel er en såkaldt 3-4-5-trekant.
Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler 3 cm,
4 cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet.
Det gælder naturligvis også, hvis man bruger
andre måleenheder. Fx 3 m, 4 m og 5 m.
b = 4 cm
C
Man navngiver hjørner
med store bogstaver og
sider med små bogstaver.
Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømte
regneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen.
Han levede i Grækenland for mere end 2.000 år siden.
B
Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder:
a 2 + b2 = c2
Hvis du regner efter, får du at: 3 2 + 4 2 = 5 2 eller 9 + 16 = 25,
og det er jo ganske rigtigt.
Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter.
Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel.
Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b.
Eksempler på opgaver
Tegningen viser en retvinklet trekant.
c=
a = 12 cm
B
b = 5 cm
A
C
Find den manglende sidelængde c.
Man sætter ind i formlen a 2 + b 2 = c 2
og løser en ligning:
12 2 + 5 2 = c 2
Skitsen viser en stige,
der er stillet op ad
en høj mur.
Stigens længde
er 4,50 m.
110 cm
Hvor højt når
stigen op?
Stigen, muren og jorden danner en retvinklet
trekant, hvor c = 4,50 m og en af de korte sider
er 110 cm = 1,10 m. Denne side kaldes a.
Siden langs muren kaldes b og findes således:
144 + 25 = c 2
1,10 2 + b 2 = 4,50 2
169 = c 2
1,21 + b 2 = 20,25
c = 169 = 13 cm
b 2 = 20,25 − 1,21 = 19,04
b = 19,04 = 4,36 m
Geometri
Side 71
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Rumfang (2)
Her er et eksempel på en mere kompliceret opgave med rumfang og overfladeareal:
Eksempel på opgave
9 cm
5 cm
Skitserne viser to kaffekrus.
Det ene er sammensat af en cylinder
og en halvkugle. Det andet har form
som en keglestub.
8 cm
8 cm
Sammenlign rumfang og indvendig
overfladeareal på de to krus.
Først finder man de nødvendige
formler. De er vist til højre undervejs.
6 cm
Rumfang cylinder:
Vi starter med at finde rumfanget af kruset til venstre.
Man får:
Rumfang af cylinder: V = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ 4 2 ⋅ 5
Rumfang af halvkugle: V =
V = π ⋅ r2 ⋅ h
= 251,3 cm3
1 4
2
⋅ ⋅ π ⋅ r 3 = ⋅ π ⋅ 4 3 = 134,0 cm3
2 3
3
385,3 cm3
Rumfang i alt:
Krum overflade af cylinder:
O = 2⋅π⋅r⋅h
h er højden
r er radius
Man kan naturligvis også skrive rumfanget som 385,3 ml,
da cm3 og ml jo er det samme.
radius
højde
Nu finder vi overfladearealet af kruset til venstre.
Man får:
Krum overflade af cylinder:
O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ 5 = 125,7 cm2
1
Overflade af halvkugle: O = ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 = 2 ⋅ π ⋅ 4 2 = 100,5 cm2
2
Overflade i alt:
226,2 cm2
Når man regner på overfladen af en cylinder, skal man være
opmærksom på, at formlen giver ”den krumme overflade”.
Top og bund er ikke med.
I denne opgave skal man heller ikke bruge top og bund,
men det skal man måske i andre opgaver.
Pas på med ikke at lade dig snyde af formlen.
Geometri
Rumfang kugle:
V=
4
3
⋅π⋅r
3
Overflade af kugle:
O = 4⋅ π ⋅r2
r er radius
radius
Side 72
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Nu finder vi rumfanget af kruset til højre.
Rumfang af keglestub:
Man får:
1
V = ⋅ π ⋅ h ⋅ (R 2 + r 2 + R ⋅ r)
Rumfang: V = 1 ⋅ π ⋅ h ⋅ (R 2 + r 2 + R ⋅ r)
3
1
= ⋅ π ⋅ 9 ⋅ (4 2 + 3 2 + 4 ⋅ 3)
3
3
Krum overflade af keglestub:
O = π ⋅ (R + r) ⋅ s
= 348,7 cm 3
h er højden
Her kan man naturligvis også skrive 348,7 ml.
R er den store radius
r er den lille radius
Beregningen ovenfor er lidt kompliceret.
Man kan godt indtaste
1
⋅ π ⋅ 9 ⋅ (4 2 + 3 2 + 4 ⋅ 3)
3
s er den skrå side
i en beregning på regnemaskine på denne måde:
1 ÷ 3 X π X 9 X ( 4 x
2
+ 3 x
2
R
+ 4 X 3 ) =
højde
Men hvis du er usikker på, hvorledes du skal gøre,
kan du roligt dele beregningen op i flere dele.
skrå
side
r
Nu finder vi overfladearealet af kruset, men først må vi finde den skrå side.
Det gør vi på denne måde vha. Pythagoras’ sætning:
Man kan lave en retvinklet trekant i siden af kruset som vist.
Den skrå side er hypotenusen. Den ene katete er højden,
og den anden katete er forskellen på R og r.
8 cm
s
h
9 2 + (4 - 3) 2 = s 2
9 cm
Man får: h 2 + (R − r) 2 = s 2
81 + 1 = s 2
82 = s 2
R-r
6 cm
s = 82 = 9,055.... cm
Det er fristende blot at runde af til 9 cm eller 9,1 cm, men man bør medtage
nogle flere decimaler i sine mellemregninger.
Nu er vi parate til at finde overfladearealet af kruset til højre.
Her skal vi være opmærksomme på, at der både er en krum overflade og en bund.
Man får:
Krum overflade af keglestub: O = π ⋅ ( R + r) ⋅ s = π ⋅ (4 + 3) ⋅ 9,055... = 199,1 cm2
Areal af bund: A = π ⋅ r 2 = π ⋅ 3 2
Overflade i alt:
= 28,3 cm2
227,4 cm2
Til sidst skal vi sammenligne tallene, og man får, at rumfanget af kruset til venstre er
385,3 - 347,8 = 37,5 cm3 større end kruset til højre. Overfladearealerne er næsten lige store,
men arealet af kruset til højre er dog 227,4 - 226,2 = 1,2 cm2 større end kruset til venstre.
Geometri
Side 73
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Regne baglæns
Formlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang.
Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfang
og det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning) som vist herunder.
Der findes dog også andre metoder end den viste. Man kan fx prøve sig frem i et regneark.
Eksempler på opgaver
Find bredden af et rektangel med
arealet 12 m2 og længden 4,8 m.
Find højden af en kasse, der rummer 0,87 m3
og har længden 145 cm og bredden 80 cm.
Formlen for arealet af et rektangel er: A = l ⋅ b
Man sætter de kendte tal ind i formlen og
regner baglæns (løser en ligning):
Rumfangs-formlen lyder: V = l ⋅ b ⋅ h
For at enhederne kan passe sammen laves 145 cm
om til 1,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m
A = l⋅b
12 = 4,8 ⋅ b
12
=b
4,8
2,5 = b
b = 2,5 m
V = l⋅b⋅h
0,87 = 1,45 ⋅ 0,80 ⋅ h
0,87 = 1,16 ⋅ h
0,87
=h
1,16
0,75 = h
h = 0,75 m = 75 cm
Eksempler på opgaver
Find arealet af en cirkel der har
en omkreds på 44 cm.
Find radius i en cylinder der er
60 cm høj og kan rumme 118 liter.
Der er ingen formel, der direkte forbinder
omkreds og areal, men man kan finde radius
med denne formel: O = 2 ⋅ π ⋅ r
Rumfangs-formlen lyder: V = π⋅ r 2 ⋅ h
For at enhederne kan passe sammen laves 60 cm
om til 6 dm (husk at 1 liter = 1 dm3).
44 = 2 ⋅ π ⋅ r
44 = 6,283 ⋅ r
44
=r
6,283
r = 7,0 cm
Nu findes arealet med formlen: A = π ⋅ r 2
A = π ⋅ r 2 = π ⋅ 7,0 2 = 153,9 cm 2
Geometri
V = π⋅ r 2 ⋅ h
118 = π⋅ r 2 ⋅ 6
118 = 18,85 ⋅ r 2
118
= r2
18,85
6,26 = r 2
r = 6,26 = 2,5 dm = 25 cm
Side 74