geometri - karentius.dk

Bord nr. 19.
Beskrivelse af Bord nr. 19, med indledende betragtninger over Niels Bohrs
komplementaritetsprincip.
Med kvantemekanikken i den atomare verden, formulerede Niels Bohr sit
komplementaritetsprincip. Princippet betød, at man aldrig vil kunne anskue verden objektivt. Man
kan ikke tale om anskuelige årsager, om konsekvenser eller om objektive sandheder. Enhver måling
vil blive påvirket af den, som måler. Målingen siger ikke noget entydigt om det målte objekt.
Eksemplet er en elektron, som i målingen kan fremtræde både som en partikel og som en bølge.
Elektronen kan fremtræde som begge dele, men tilsyneladende vilkårligt og man kan ikke
kontrollere hvor eller hvornår det sker.
Man kan heller ikke, samtidigt, måle elektronens hastighed og position.
Videnskab ved jeg ikke noget om. Men som bekendt var Niels Bohr et intuitivt menneske, og at
han, ikke mindst med den intuitive indstilling, var foregangsmand for en større indsigt i den
atomare videnskab. - Men som videnskabsmand måtte han nødvendigvis søge belæg for sine
intuitive indfald i begrebsmæssige tankebaner.
Her mener jeg Niels Bohrs problem lå: Den bag omliggende bevægegrund for fysikken, som vi ikke
har tilegnet os begreber om, kan ikke bedømmes, og tænkes sammen, med de forstands begreber,
”med vore tilvante anskuelsesformer” (med Niels Bohrs egne ord) som vi hidtil har anskuet verden
med.
Denne binding betød, at Niels Bohr måtte beskrive verden med fænomener, som gensidigt
udelukker hinanden; som klare modsætninger: Altså som komplementære nødvendigheder.
Modsat Niels Bohr havde jeg ingen begrebsmæssig begrænsninger i mit lange arbejde med
bordprocessen. Den var alene funderet i min intuitive vurdering af formernes, herunder også
konstruktive, sammenhæng.
Resultatet viste sig på en opmåling af Bord nr.19 – i en ordinær projektionstegning, hvor det
vandrette og det lodrette billede sammenbandt bordet i en fremmed geometri. Den flade tegning,
hvor det fysiske bord var tegnet abstrakt sammen med to billeder, som lå oven på hinanden, viste en
geometri, hvor det fysiske bord var beskrevet ensidigt.
Ingen af de to tegninger var løsrevet (i sig selv) beskrivende for bordet, men den sammensatte
tegningen viste alle bordets fysiske mål.
Med det geometriske resultat tænker jeg på om de afvigende tilstande, som elektronen optræder på,
kunne beskrives med et entydigt begreb, såfremt elektronen blev afkodede med den matematik, som
kunne udledes af den geometri, der blev resultatet af min intuitive indsats.
Og kunne en ny matematisk fortolkning også blive sporen til den indsigt i tilværelsen gåde, som
filosoffer og videnskabsmænd, siden Platon, netop har søgt i den matematiske betragtning.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bord nr. 19.
For mange år siden fik jeg svendebrev som møbelsnedker. Senere fik jeg eget værksted, i 1975, og
dertil en bred indføring i arkitekturen fra et længere studie på Kunstakademiets Arkitektskole, fra
1972 til 1980.
1
Dette blev fundamentet for mit livsprojekt: Jeg ville kende livets mening, og jeg så den mulighed i
et arbejde med kunsten. Jeg forestillede mig, at hvis jeg – som de markante kunstnere i vor kultur,
som betød noget for mig – kunne sammensætte materialerne rigtigt, så ville resultatet give mig en
erkendelse – en viden om livets mysterium. Kunsten skulle altså være det værktøj, jeg reflekterede
min tanker i. Og da jeg var snedker og bordets formelementer og størrelse passede mig, blev bordet
(betragtet som skulptur) mit objekt.
Det blev til en produktion af unikke borde - 20 i alt. Mange af dem med stort timeantal - på 1000
timer og mere - og dertil betydelige beløb til materialer.
Da jeg – som arkitekt - havde beskæftiget mig med den æstetiske geometri, men efterhånden fundet
den hæmmende for min frie udfoldelse, valgte jeg tidligt denne binding fra i arbejdsprocessen.
Bordene skulle underlægges gode konstruktive elementer og samlinger, og det æstetiske
formtilskud skulle alene gribes ved mit intuitive skøn.
Sådan blev det. Og det gav mange oplevelser, både gode og dårlige, i den årrække som blev brugt
på disse borde.
I foråret 1997 (22 år efter jeg startede projektet) var Bord nr. 19 udført, men uden det ønskede
resultat om en erkendelse.
Om efteråret blev bordet fotograferet og jeg tænkte på, hvordan de forskellige elementer egentligt
hang sammen. Jeg tegnede bordets sammenhængende former op på en stor krydsfiner. Det førte til
en gådefuld opdagelse. Der lå, utilsigtet, en underlig geometrisk sammenhæng flettet ind i bordets
former.
Da dette bord var en videreførelse af de forrige borde, havde jeg kun tegnet ganske få skitser, og
den konstruktive tegning blev nu udført efter det fysiske bord stod færdigt. Den type tegning hedder
i fagsproget en projektionstegning, fordi man overfører/projekterer møblets størrelser sammen på et
enkelt stykke papir. Det vil sige, at de tre billeder - plan, front og side (i det aktuelle tilfælde kun to,
da bordet var rund) – tegnes oven i hinanden, og helst i sande mål. (En variant kan også tegnes
delvist med fulde størrelser – eller tegningerne kan være skilt ad, omkring et centralt
projektionskryds).
Projektionstegningen på krydsfineren rummede bordets mål i fuld størrelse. Som supplement
udførte jeg flere tegninger i mindre mål, dertil rumlige computergengivelser, så jeg kunne få det
fulde overblik af bordets sammenhængende mål.
Da jeg udførte bordet, havde jeg, som nævnt, intet fokus på nogen form for æstetisk geometri. Det
er centralt for bedømmelse af det resultat, jeg nu så, da bordet flere måneder efter blev optegnet i
den ordinære dobbelt retvendte projektion. Her viste det sig, at bordets former forbandt sig meget
præcist, men ganske usædvanligt, i en almindelig geometrisk opdeling af et kvadrat. Centrale
punkter på bordet, som størrelser; samlingspunkter eller afgrænsninger, skar de trekanter, cirkler og
akser i en ordinær inddeling af kvadratet.
Dertil fandt jeg yderligere sammenfald med cirkelslag, der med center i kvadratets midte - også
betragtede som en rumlig kube – skar de to store akser og kvadratets sider, med efterfølgende
linjeskæringer til bordets forskellige dele.
Ud over dette, fremkom der nogle få markante centre - frit ude i luften - som også forbandt sig
mangesidigt med mit bord.
En ikke mindre væsentlig opdagelse var også, at bordets mulige indspændte tilstand (dvs. hvis
bordets tre ben blev forankret i et fundament) tillige blev vist ved sammenfald med den ordinære
geometri.
2
Geometrien viste altså bordets to mulige tilstande: Den mobile, som jeg havde udført, og den
stationære tilstand ved en momentkurve, som også var aktuel i min formgivning. Momentkurven
(efterfølgende udregnet af en ingeniør, som angiver det tænkte stationære kraftforløb) viste sig
tillige i benenes fulde svaj - når momentkurven blev drejet og spejlvendt, og lagt oven på benets
lodrette forside.
Det bemærkelsesværdige er ikke mindst, at foreningen af mit tredimensionelle bord og geometrien
udtrykte sig på den flade todimensionale tegning/krydsfiner. Denne (ret beset) naturstridige flade
tegning, der under normale omstændigheder fungerer som et praktisk, teknisk værktøj, henviser her
- med sit flade billede - til en dimension, som går ud over de tre kendte. Det er som om
forbindelserne imellem dimensioner sker igennem en yderligere dimension.
Med få undtagelser (som stængernes diameter og den skrå smig under pladens ydre diameter) har
jeg kunne eftervise bordets form, størrelse og volumen i en sammenhæng med den ordinære
geometri. Bordets geometri viser sig ’indflettet’ den traditionelle geometri. Fremkomsten af den
’nye geometri’ var altså betinget af den ordinære geometri i forbindelse med mit bord. Uden disse
forudsætninger havde jeg ikke været i stand til at opdage en anden geometrisk synsvinkel.
Det betyder, at den traditionelle geometri danner et nødvendigt grundlag. Men også, at mere
geometrisk information, beskrevet matematisk (som jeg ikke har forudsætninger for), kunne
indhentes fra menneskets uudnyttede hjerne – når og hvis vi, med professionel indsigt, tænkte
utraditionelt og fremadrettet.
Det er ikke en umiddelbart synlig og håndgribelige geometrisk sammenhæng, man bliver vidne til,
når man betragter det fysiske bord. Med tegningen er det anderledes. Det er som om en anden
verden udtrykker sig, som en abstraktion på det flade tegneunderlag. – På næsten samme måde som
tegningen af udsigten fra et vindue, mod fx et plankeværk; et træ og forskellige elementer bagved,
som hustage mv. der på papiret danner flade figurere, men som er meget forskellige fra den
udstrakte verden, de flade figurer umiddelbart synes at illustrerer. Få millimeter på tegningen kan
henvise til en afstand på flere kilometer - i samspil med andre henvisninger til vinkler og indbyrdes
forhold med flere fysiske mål, som kunne synes ganske tilfældige og uvæsentlige.
Som jeg umiddelbart kan overskue problemkomplekset, så er forskellen på et landskabsbillede og
bordet at dets former indeholdes i det ordinære geometriske kvadrat. Bordets former kan beskrives i
en defineret geometri, som tilsyneladende ikke ligger i landskabstegningen.
Et overskueligt eksempel på geometrien vises omkring de tre ben, som både har skrå forløb vandret
mod midten, og lodret op fra gulvet. Dette eksempel viser geometriens direkte berøring med
benenes sider:
Hvis man presser to store skiver ind på benenes skrå sider, ville disse skiver, ved gulvet, ramme
hinanden 60 cm fra benets bagkant, der også er målet på en tænkt cirkel som ville ligge indvendigt
på de tre ben, og som viser sig som pladens indvendige runde cirkel (der også afgrænser
glaspladen). Og i højden ville skiverne mødes 170 cm. over gulvet, som er målet på pladens runde
ydre diameter. Disse tre store usynlige, rumlige trekanter om de tre ben ville dertil krydse hinanden
omkring kubens lodrette akse i højden 68 cm (X2 på tegningerne). Og disse 68 cm beskriver også
benenes højde over gulvet.
Disse store trekanter rammer en anden skæring, som ligger på benets indvendige lodrette
forlængelse. Her viser der sig også en trekant (altså tre trekaner) mere, som ligger på benenes
indvendige side. Mellem disse trekanters toppunkter ligger en vandret linje, 136 cm, over gulvet,
(linjen K,K1 på tegningerne). Og på denne linje befinder der sig flere geometriske fjernpunkter fra
3
benene fysiske form, og fx en markering af de tre stængers møde med benenes inderside (N på
tegningerne).
I de følgende år har jeg fundet flere komplekse og underlige geometriske sammenhænge. Og det er
blevet til adskillige tegninger og et utal af skrevne sider med mål og optegnelser af geometrien - alt
sammen uhyre nøjagtigt. Det hele passer på millimeter.
Bord nr. 19 er 73 cm højt og diameteren 170 cm. Pladen er en rødlakeret MDF plade, benene
sortlakeret træ og stellet guldpålagt massivt messing.
Tegningerne viser, trin for trin, hvordan bordet passer ind i geometrien.
4
Tegning nr. 1
Projektionstegningen af bordets lodrette og vandrette billede lagt ind i kvadratet. De fem trekanter
D,G,F,E og H (fra A, B, og C på kvadratets bund), rammer tre punkter på X-aksen: X1 (kuglens og
stængernes center, 60 over gulv), X2 (benenes højde, 68 over gulv), og X3 (pladens højde, 73 over
gulv).
Linjen AID afgrænser benet udvendigt. Linjen BEF afgrænser benet indvendigt. O afgrænser benets
bredde længst væk fra centret på linjen AHG.
Den ligebenede trekant, LBT1, skærer K (og K1 på pladens diameter på linjen 136 (dvs. 68 fra Xaksen) også 136 over kvadratets bund). Ligeledes skære LBT1 punktet N, som angiver stængernes
indgang i benene, 60 over gulv. Forbindelsen mellem stellet og de tre ben markeres altså ved
punktet N, og disse tre forbindelser er forudsætningen den stabile konstruktion i det mobile bord.
Linjerne fra M (pladens berøring med kvadratet) og det spejlvendte M1 til et fælles punkt i C1,
følger benenes skrå flader ved gulvet. C1 markerer pladens og benenes indvendige diameter på 60.
Radius 68 (diameter 136) fra med center i CT skærer I.
LBT1 med N og målet 68 synes centralt i denne første registrering.
5
Tegning nr. 2 viser den ligesidede trekant, LST1 (som fremkommer ved radius 170 fra X4) skærer
T1 på Y-aksen (diameter 98 om CT).
Diameter 98 (radius 49) seksdeles, hvorved T8 og T9 fremkommer, via centre i T15 og T16.
LST1 skærer P, som angiver monentkurven fra A, såfremt bordets var indspændt i et fundament.
Momentkurven fra A til P og spejlet fra P til O er næsten identisk med benest udvendige svaj fra PT
til O.
P vises også med radius 60 fra X1 (med center i X4).
Beregningen af momentkurven og dermed P er foretaget af ingenør Jørgen Nielsen. Beregningen
vises på min hjemmeside.
LST1 med P synes central i denne tegning.
6
Tegning nr 3.
De to linjer fra T8 til M og fra T9 til M1 skærer benenes bredde 68 oppe. Fra de sammen punkter,
T8 og T9, skærer to andre linjerne til T10 (diameter 136) benenes bredde ved gulvet.
7
Tegning nr. 4 (uden T8, T15 og T16, og radius 49 om CT - af hensyn til overskuelighed).
Den ligebenede trekant, LBT5 (fra center i X4) fremkommer ved cirkelslag fra LST1 gennem L.
LBT5 skærer Y-aksen i T12 som henviser til T23 og til BS (stangens afslutning på den anden side
af N). Endvidere korrespondancer fra LBT5 (via T12) til T5 og T30, som er en del af trekanten med
den tredje vinklespids i X4, Den trekant rammer LY på Y-aksen.
Et mærkværdigt punkt, T22, ligger på skæringen mellem:
1. Diameter 68 om CT;
2. linjen T9 (også med skæring i N) til M;
3. radius 120 (gennem CT) fra center i KV4;
4. den lodrette projektion fra T26 (der med X4 som center kommer fra/til T27A, som er den
vandrette projektion fra/til PT).
Der er flere aspekter, som er udelukket her grundet for mange streger. Det bør dog nævnes, at en
lille vandret liggende ligebenet trekant med en vinkelspids i P, i en lodret projektion rammer G og
dermed også centret i den lodrette bespænding, som forbinder pladen med benet.
8
Tegning nr. 5
Radius 49’ berøringer i kvadratet.
9
Tegning nr. 6
Perspektivisk tegning af bordet inde i kuben, her med de hidtil flade trekanter om benene i rumlig
gengivelse.
I midten er dele af geometrien i den flade projektionstegning angivet sporadisk.
10
I fortælling om Timaios fabulerer Platon om indsigt i verdens sammenhæg ved en analyse af
geometriske strukturer:
Hvis derfor nogen kan fortælle, at han har fundet en, der bedre egner sig til Konstruktionen af disse
Legemer, besejre han os som en Ven, ikke som en Fjende.
Men vi for vor Del ser bort fra de øvrige Typer og antager, at der er én Trekant, der er smukkere
end de mange andre, den nemlig, hvoraf to lagt sammen udgør den ligesidede Trekant.
Grunden dertil er for lang en Historie, men hvis en eller anden undersøger Sagen og finder ud af,
at det ikke er, som jeg siger, overlader jeg ham med Glæde Prisen.
Siden har filosoffer og videnskabsmænd op i gennem vor historie – som Descartes, Pascal, Spinoza
og Galilei og Newton – taget Platons tanke op om livserkendelse ved den rene matematiske indsigt.
Men, som jeg ser det, så har problemet været den manglende muligheden for at forstå matematikken
til bunds med de begreber, man dengang definerede verden med. - Og det var i fravalget af disse
hæmmende begreber jeg intuitivt manifesterede den avancerede geometri, som lå indflettet bordets
former.
Hermed er mit biddrag (og moralen) at kunsten – når den bevidst (hvilket må være centralt)
håndteres med ønsket om eksistentiel viden – er det intuitive redskab, der kan spore os ind i vor
uudnyttede hjerne, med resultater som videnskaben efterfølgende kan udrede med en ny avanceret
matematik.
Denne matematik kunne ikke opfattes af fortidens tænkere, måske bedst formuleret af Imanuel
Kant. Han sagde, at matematikken gælder for tingene, som de fremtræder for os. Men da vi ikke
kan opfatte ’tingen i sig selv’, men kun det billede af tingen, som vor menneskelige organisation
tillader, så kan matematikken ikke udtrykke noget objektivt om verdens sammenhæng.
Hvilket jeg ikke er enig i, da jeg mener en objektiv aflæsning af ’tingen i sig selv’ i dag kunne blive
mulig, med en intuitivt anlagt matematiske forståelse af den atomare verden, som Niels Bohr
indledte.
Sådan ville kunsten opfylde sin rette bestemmelse.
11