Tryk her for at hente PDF
Transcription
Tryk her for at hente PDF
MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER I oldtiden regnede man med 7 underværker, hvilket var seværdigheder, som man fremhævede på grund af deres størrelse, skønhed og udseende. Kun et enkelt af disse underværker står stadigvæk, næsten som da den blev bygget: Kheopspyramiden i Giza i Egypten. I skal nu i denne opgave arbejde med pyramider - herunder den mest kendte af dem alle, Keopspyramiden i Giza i Egypten. Kheops-pyramiden Problemstilling (1) Giv jeres vurdering af Kheops-pyramidens størrelse på baggrund af de oplysninger, I får i faktaboksene til højre herfor. Diskuter hvordan begrebet størrelse skal forstås, når vi taler om størrelsen af en pyramide Sammenlign størrelsen af Kheopspyraminden med en bygning, I kender, f.eks. et parcelhus. Undersøg, hvad der er sket med pyramidens størrelse siden den blev bygget i år 2560 f.kr. Fakta om Kheopspyramiden i Giza Højde oprindelig: 146,70 m Sidelængde oprindelig: 230,50 m Gennemsnitligt rumfang af en sten: 1 m3 Pyramidens vægt (anslået): 6,25 mill. ton Højde i dag: 138,75 m Sidelængde i dag: 225 m © 2015 www.dagsberg.dk Side 1 MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER Gamle egyptiske måleenheder Problemstilling (2) Vis med nogle eksempler, hvordan man kan omregne fra de gamle egyptiske måleenheder til metersystemet. Vis, hvordan man kan lave en formel eller en funktion, der viser sammenhængen mellem de egyptiske længdemål og metersystemet. Vis, hvordan man kan illustrere sammenhængen mellem de egyptiske længdemål og metersystemet på grafisk form, f.eks. ved anvendelse af et dynamisk tegneprogram. Vis, hvordan man kan anvende jeres illustration til at omskrive mellem egyptiske længdemål og meter. Fakta om gamle ægyptiske længdemål: 1 Cubit = 52,388 cm 1 Cubit = 7 Shesep (håndbredder) 1 Shesep = 4 Djeba (Fingre) © 2015 www.dagsberg.dk Side 2 MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER Knæk-pyramiden i Dahshur Knækpyramiden i Dahshur er bygget under farao Sneferu, der regerede 2575 -2551 før Kristus. Problemstilling (3) Vis, hvordan man kan beregne rumfanget af Knækpyramiden. På grund af problemer med underlaget - og fordi pyramiden blev bygget for stejlt - måtte man gøre vinklen mindre, da man havde bygget pyramiden op i en vis højde (ca. 49 meter). Vis, hvordan man kunne finde højden af pyramiden, hvis man havde valgt at bygge den uden knækket. Denne pyramide har fået flere øgenavne, og den kaldes i dag mest ”The Bent Pyramide” Se illustrationerne til venstre. Undersøg om der er en matematisk sammenhæng mellem vinklen i knækket (herover 44o) og højden af pyramiden © 2015 www.dagsberg.dk Side 3 MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER Egypternes vinkelmål Problemstilling (4) Undersøg, om det er korrekt, at en seked på 15 Djeba giver en vinkel på 61,8o. Kan I lave en tabel over sammenhængen mellem seked og grader som den er beskrevet i faktaboksen? Brug f.eks. et regneark eller et andet elektronisk værktøj til denne undersøgelse. Ægypterne regnede ikke med vinkler, som vi kender det i dag. I stedet regnede de ved ”ikke-lodrette” (skrå) sider med, hvor meget siden var forskudt i forhold til lodret. Dette kaldte ægypterne seked (sqd) Metode: Man måler 1 Cubit lodret opad, og derefter hvor mange Djeba, Shesep eller Cubit, siden er forskudt. På skitsen nedenfor kan man se, at en seked (forskydning) på 6 Djeba giver en vinkel på 77,9o og at en seked på 15 Djeba giver en vinkel på ca. 61,8o. En seked på 1 Cubit = en vinkel på 45o En seked på 1 Djeba = en vinkel på ca. 88o 1 Cubit = 28 Djeba 6 Djeba © 2015 www.dagsberg.dk 1 Cubit = 28 Djeba 15 Djeba Side 4 MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER Lav jeres egen pyramide: Problemstilling (5) Fremstil en pyramide på følgende måde: Anvend et stykke kvadratisk papir (på f.eks. 20x20 cm), og find nu midtpunktet af hver af siderne (se nedenfor). Undersøg hvilken sidelængde i grundfladen, der kan give det største rumfang for en pyramide, der klippes ud langs linjerne. Grundflade © 2015 www.dagsberg.dk Side 5 Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag Problemstilling 1: Giv jeres vurdering af Kheops-pyramidens størrelse på baggrund af de oplysninger, I får i faktaboksene til højre herfor. ”Størrelse” er et vidt begreb, men der kan bl.a. være tale om følgende (regnet i metermål): Højde: 146,70 m Sidelængde: 230,50 m Grundflade: 230,50·230,50 = 53.130,25 m2 Rumfang: 146,70·53130,25/3 = 2.598 069,225 m3 Højden i sidefladen: √115,252+146,702 = 186,55 m Overflade: 4·0,5·186,55·230,50 = 85.999,55 m2 Diskuter hvordan begrebet størrelse skal forstås, når vi taler om størrelsen af en pyramide Se i beregningerne ovenfor… Sammenlign størrelsen af Kheops-pyraminden med en bygning, I kender, f.eks. et parcelhus. Med et parcelhus på 160 m2 og i gennemsnit 5 m højt (rumfang: 800 m3) er Keopspyramiden ca. 2,6 mill./800 = 3250 gange større. Undersøg, hvad der er sket med pyramidens størrelse siden den blev bygget i år 2560 f.kr. Pyramiden er sunket noget sammen (vind og vejr?) Ændring i højden: 146,70-138,75 = 7,95 m - i procent: 5,42 % Ændring i sidelængden: 230,50-225 = 5,50 m - i procent: 2,39 % © 2015 www.dagsberg.dk Side 6 Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag Problemstilling 2: Vis med nogle eksempler, hvordan man kan omregne fra de gamle egyptiske måleenheder til metersystemet. F.eks: 1 Shesep = 52,388/7 = 7,484 cm 1 Djeba = 7,484/4 = 1,871 cm Vis, hvordan man kan lave en formel eller en funktion, der viser sammenhængen mellem de egyptiske længdemål og metersystemet. Et egyptisk mål kan opgives som et tocifret decimaltal: a,bc - hvor a = Cubit, b = Shesep og c = Djeba Et mål på a,bc omregnes til (i meter) y = (a·52,388 + b·7,484 + c·1,871) cm Ganger man Shesep med 4, får man et udtryk, der kun består af Cubit og Djeba, idet 1 Cubit = 28 Djeba. Vis, hvordan man kan illustrere sammenhængen mellem de egyptiske længdemål og metersystemet på grafisk form, f.eks. ved anvendelse af et dynamisk tegneprogram. Der kan opstilles en lineær funktion (ligefrem proportionalitet) til omregning mellem Cubit (x) og meter (y), idet man får y = 0,52388·x Meter Cubit © 2015 www.dagsberg.dk Side 7 Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag Problemstilling 3: Vis, hvordan man kunne finde højden af pyramiden, hvis man havde valgt at bygge den uden knækket. Højden = 94,3·tan(54,5) = 94,3·1,402 = 132,2 m Vis, hvordan man kan beregne rumfanget af Knækpyramiden. Først findes længden af det røde linjestykke herunder: x = 49,07/tan(54,5) = 35 m Sidelængden øverst = 188,6 - 2·35 = 118,6 m Rumfanget af Knækpyramiden findes nu som summen af to rumfang; nederst en pyramidestub, øverst en pyramide. Pyramide: 118,62·56/3 = 262.565 m3 Stub: 49,07·(188,62 + 118,62 + √188,62·118,62)/3 = 1.177.743 m3 Rumfang i alt = 272564 + 1177743 = 1.450.307 m3 Kan I finde en matematisk sammenhæng mellem vinklen i knækket (herover 44o) og højden af pyramiden? © 2015 www.dagsberg.dk Højden af Knækpyramiden: HøjdeI alt = HøjdeNederst + HøjdeØverst HøjdeI alt = 49,07 + 118,6/2·tan(v) HøjdeI alt = 49,07 + 59,3·tan(v) Side 8 Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag Problemstilling 4: Undersøg, om det er korrekt, at en seked på 15 Djeba giver en vinkel på 61,8o. <A = tan-1(a/b) <A = tan-1(28/15) <A = tan-1(1,8667) <A = 61,82o Ja, det er korrekt Kan I lave en tabel over sammenhængen mellem seked og grader? Tabellen ses herunder. Denne kan også udvides til flere Djeba (= mindre vinkler) Tabellen laves på baggrund af følgende udregninger, idet x = antal Djeba: <A = tan-1(28/x) © 2015 www.dagsberg.dk Djeba Grader Djeba Grader 1 87,95 15 61,82 2 85,91 16 60,26 3 83,88 17 58,74 4 81,87 18 57,26 5 79,88 19 55,84 6 77,91 20 54,46 7 75,96 21 53,13 8 74,05 22 51,84 9 72,18 23 50,60 10 70,35 24 49,40 11 68,55 25 48,24 12 66,80 26 47,12 13 65,10 27 46,04 14 63,43 28 45,00 Side 9 Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag Problemstilling 5: Sæt sidelængden i den kvadratiske grundflade til x. Når papiret er 20 cm i bredden, vil højderne i de små trekanter blive (20 - x)/2 = 10 - 0,5·x cm (Se illustrationen øverst til venstre). Højden i de små trekanter er ikke den samme som højden i pyramiden, idet de små trekanter foldes ind over den kvadratiske grundflade. Dermed skal højden af pyramiden findes ved brug af Pythagoras, jf. skitsen nederst til venstre: Højden (h) findes ved Pythagoras: b2 = c2 - a2 h2 = (10 - 0,5·x)2 - (0,5·x)2 h2 = 100 - 10·x h = √(100 - 10·x) Rumfanget af pyramiden kan nu findes som: V = G·h/3 V = x2· √(100 - 10·x) /3 Denne formel indtastes som en funktion i Geogebra, hvorved man får nedenstående kurve. Bruges værktøjet Maks, kan man få Geogebra til at angive punktet (8 , 95.41) som ”toppunkt”. Man får altså det største rumfang, når sidelængden i grundfladen er 8 cm. Og herved fås rumfanget 95,41 cm3. Ved papirer af andre størrelser fås det største rumfang, når sidelængden er 8/20 af bredden, altså udgør 40% af bredden. © 2015 www.dagsberg.dk Side 10