MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta Tentti 5.3.2014 / Kimmo
Transcription
MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta Tentti 5.3.2014 / Kimmo
MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta Tentti 5.3.2014 / Kimmo Vattulainen • Vastaa jokainen tehtävä eri konseptille. • Funktiolaskin sallittu. 1. Henkilöt A, B ja C aikovat viettää peli-illan. He tulevat paikalle toisistaan riippumattomasti siten, että A :n saapumistodennäköisyys on 0.50, B:n 0.60 ja C:n 0.80. a) Millä todennäköisyydellä peli-ilta onnistuu eli vähintään kaksi henkilöä tulee paikalle? b) Huoneessa on valot, joten ainakin joku on tullut paikalle. Millä todennäköisyydellä B on paikalla? c) Neljäs henkilö D sanoo tulevansa mukaan todennäköisyydellä 0.70, jos kaikki muutkin tulevat. Muulloin D tulee todennäköisyydellä 0.40. Millä todennäköisyydellä D tulee paikalle? 2. Henkilön tuli olla 60 minuutin päästä töissä. Hänellä on 3 eri matkustustapaa A, B ja C. Millä tavalla matkustaen henkilö ehtii suurimmalla todennäköisyydellä ajoissa töihin? Muut matkaan kuuluvat ajat (kävelyajat pysäkille ym.) sisältyvät ilmoitettuihin aikoihin. Tapa A: Bussi kulkee säännöllisesti 30 minuutin välein, mutta henkilö ei tiedä aikataulua. Bussimatka kestää 35 minuuttia. Tapa B: Taksiasemalle tulee keskimäärin 4 taksia tunnissa. Saapuvien taksien lukumäärä noudattaa Poisson-jakaumaa. Taksimatka kestää 30 minuuttia. Tapa C: Kävellen matka kestää keskimäärin 50 minuuttia, mutta olosuhteista johtuen aika vaihtelee, varianssin ollessa 100. Kävelyaika oletetaan normaalisti jakautuneeksi. 3. Laske odotusarvo E(X 2 ) ja todennäköisyys P (X 2 > 4), kun a) X noudattaa diskreettiä jakaumaa, jonka tiheysfunktio f (x) = b) X ∼ Bin(3, 0.4) c) X noudattaa jatkuvaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio f (x) = d) X ∼ N(2, 9) x , x ∈ Ω = {1, 2, 3, 4} 10 2x , x ∈ Ω = [1, 4] 15 4. Sähköyhtiö myy pörssisähköä, jolloin sähkön hinta vaihtelee päivittäin ja on kiinteän hintainen aina yhden vuorokauden ajan. Kuluttaja on todennut pörssisähkön hinnan X (euroa/100 kWh) noudattavan jakaumaa f (x) = 3 2 x , x ∈ ΩX = [3, 5] 98 Kuluttajan oman vuorokausikulutuksen Y (100 kWh/vrk) jakauma on 2 g(y) = y, y ∈ ΩY = [1, 2] 3 Oletetaan, että kulutus on riippumaton sähkön hinnasta. a) Mikä on yhden vuorokauden kulutuksen hinnan odotusarvo? b) Keskimäärin kuinka monena päivänä vuodessa (365 päivää) vuorokauden kulutus maksaa 6.00 euroa tai enemmän? MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta Tentti 5.3.2014 / Ratkaisut 1. Merkitään tapahtumia A="A tulee paikalle", B="B tulee paikalle", C="C tulee paikalle", D="D tulee paikalle". Nyt P (A) = 0.50, P (B) = 0.60, P (C) = 0.80. a) Ainakin kaksi tulee paikalle, jos kaikki 3 tulevat tai joku pareista AB, AC, BC tulee paikalle ja kolmas ei tule. Koska tulemiset (ja myös poisjäämiset) ovat toisistaan riippumattomia, saadaan kysytyksi todennäköisyydeksi P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) = 0.50 · 0.60 · 0.80 + 0.50 · 0.60 · 0.20 + 0.50 · 0.40 · 0.80 + 0.50 · 0.60 · 0.80 = 0.700 b) Kysytty todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys P (B) P (B ∩ (A ∪ B ∪ C)) = P (A ∪ B ∪ C) 1 − P (A ∩ B ∩ C) 0.60 = = 0.625 1 − 0.50 · 0.40 · 0.20 P (B | A ∪ B ∪ C) = c) Tehtävässä on annettu ehdolliset todennäköisyydet P (D | A ∩ B ∩ C) = 0.70 ja P (D | A ∩ B ∩ C) = 0.40. Kokonaistodennäköisyyden avulla saadaan kysytty todennäköisyys P (D) = P (D | A ∩ B ∩ C)P (A ∩ B ∩ C) + P (D | A ∩ B ∩ C)P (A ∩ B ∩ C) = 0.70 · 0.50 · 0.60 · 0.80 + 0.40 · (1 − 0.50 · 0.60 · 0.80) = 0.472 2. Tapa A: Bussi kulkee 30 minuutin välein, mutta hän ei tiedä aikataulua. Tällöin odotusaika X ∼ Tas(0, 30). Kun bussimatka kestää 35 minuuttia, henkilö ehtii ajoissa töihin, jos bussi tulee 25 minuutin kuluessa eli jos X ≤ 25. P (X ≤ 25) = 25 = 0.833 30 Tapa B: Taksiasemalle tulee 4 taksia tunnissa. Saapuvien taksien lukumäärä noudattaa Poisson-jakaumaa. Koska taksimatka kestää 30 minuuttia, pitäisi ainakin yhden taksin tulla 30 minuutin kuluessa. 30 minuutissa saapuu keskimäärin 2 taksia. Kun X ="saapuvien taksien lukumäärä 30 minuutissa", X ∼ Poi(2) ja kysytty todennäköisyys on P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 20 −2 e = 0.865 0! Tapa C: Kävellen matka kestää keskimäärin 50 minuuttia, mutta olosuhteista johtuen aika vaihtelee, varianssin ollessa 100. Kävelyaika oletetaan normaalisti jakautuneeksi. Nyt kävelyaika X ∼ N(50, 100) ja kysytty todennäköisyys on X − 50 60 − 50 P (X ≤ 60) = P = Φ(1.00) = 0.841 ≤ 10 10 Varmin tapa ehtiä töihin on mennä taksilla. 3. Laske odotusarvo E(X 2 ) ja todennäköisyys P (X 2 > 4), kun x a) X noudattaa diskreettiä jakaumaa, jonka tiheysfunktio f (x) = , x ∈ Ω = {1, 2, 3, 4} 10 Nyt 2 3 4 1 + 22 · + 32 · + 42 · = 10 E(X 2 ) = 12 · 10 10 10 10 7 P (X 2 > 4) = P (X = 3) + P (X = 4) = 10 b) X ∼ Bin(3, 0.4) E(X 2 ) = 02 · 0.63 + 12 · 3 · 0.4 · 0.62 + 22 · 3 · 0.42 · 0.6 + 32 · 0.43 = 2.160 P (X 2 > 4) = P (X = 3) = 0.43 = 0.064 c) X noudattaa jatkuvaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio f (x) = Z 2 E(X ) = 1 2 4 2x x · dx = 15 2 2x , x ∈ Ω = [1, 4] 15 1 .4 x4 2x3 255 dx = = = 8.500 15 30 30 Z 4 Z 4 1 P (X > 4) = P (X > 2) = 2 .4 x2 2x 12 dx = = = 0.800 15 15 15 1 d) X ∼ N(2, 9). Koska Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 on E(X 2 ) = Var(X) + [E(X)]2 = 9 + 4 = 13 −2 − 2 2−2 X −2 X −2 < > +P P (X > 4) = P (X < −2) + P (X > 2) = P 3 3 3 3 = Φ(−1.333) + Φ(0) = (1 − 0.9082) + 0.5000 = 0.5918 2 4. a) Yhden vuorokauden kulutuksen hinta on satunnaismuuttuja XY . Sen odotusarvo E(XY ) = E(X)E(Y ), koska X ja Y ovat riippumattomia satunnaismuuttujia. Määritetään erikseen odotusarvot E(X) ja E(Y ) Z 5 E(X) = 3 Z E(Y ) = 1 .5 3 3 204 3 2 x4 = (625 − 81) = = 4.163 x · x dx = 98 392 392 49 3 2 .2 2 2 2 14 y· y= y 3 = (8 − 1) = = 1.556 3 9 9 9 1 ja kulutuksen hinnan odotusarvo E(XY ) = 204 49 · 14 9 = 136 21 = 6.476 b) Lasketaan todennäköisyys P (XY ≥ 6). Tätä varten tarvitaan yhteisjakauman tiheysfunktio, joka riippumattomille satunnaismuuttujille X ja Y on f (x, y) = f (x)g(y) = 3 2 2 1 x · y = x2 y 98 3 49 Otosavaruus ΩXY = {(x, y) | 3 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 2} Kysytty todennäköisyys on Z 5Z 2 Z 5 .2 1 2 1 2 2 6 P (XY ≥ 6) = P Y ≥ = x y dydx = y x dx X 98 3 6/x 49 3 6/x Z 5 Z 5 .5 1 2x3 1 36 1 2 2 = (2x − 18) dx = − 18x 4 − 2 x dx = x 49 3 3 98 3 49 3 1 250 88 = − 90 − 18 + 54 = = 0.599 49 3 147 Vuodessa on siis 0.599 · 365 = 218.6 ≈ 219 päivää, jolloin kulutetun sähkön hinta on yli 6.00 euroa.