Ratkaisut

Transcription

Ratkaisut

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
4. harjoitukset
4. harjoitukset / Ratkaisut
Aiheet:
Diskreettejä jakaumia
Avainsanat:
Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma,
Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio, Negatiivinen binomijakauma, Odotusarvo, Otanta,
Otanta palauttaen, Otanta palauttamatta, Otantasuhde, Pistetodennäköisyysfunktio, Poissonjakauma, Standardipoikkeama, Varianssi
Diskreettejä jakaumia
Diskreetti tasainen jakauma
Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot ovat
x1 , x2 , … , xn
Oletetaan, että satunnaismuuttujan X mahdollisiin arvoihin x1, x2, … , xn liittyvät todennäköisyydet
ovat yhtä suuria:
Pr( X = xi ) =
1
, i = 1, 2,… , n
n
Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa, jonka pistetodennäköisyysfunktio on
f ( xi ) = Pr( X = xi ) = pi =
1
, i = 1, 2,… , n
n
Diskreetin tasaisen jakauman tunnusluvut
Odotusarvo:
E( X ) = µ X = x =
1 n
∑ xi
n i =1
2. momentti:
E( X 2 ) =
1 n 2
∑ xi
n i =1
Varianssi:
D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 =
1 n
( xi − x ) 2 = E( X 2 ) − [E( X )]2
∑
n i =1
Standardipoikkeama:
D( X ) = σ X =
TKK
1 n
( xi − x ) 2
∑
n i =1
@ Ilkka Mellin (2008)
1/27
4. harjoitukset
Bernoulli-jakauma
Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon
Pr(A) = p
Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (= tapahtuma A ei satu) Ac todennäköisyys on
Pr(Ac) = 1 – p = q
Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X seuraavalla tavalla:
1, jos tapahtuma A sattuu
X =
0, jos tapahtuma A ei satu
Tällöin satunnaismuuttujan X jakauma on
Pr( X = 1) = p
Pr( X = 0) = 1 − p = q
ja satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on
f ( x) = p x q1− x , 0 < p < 1 , q = 1 − p , x = 0,1
Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrilla p ja käytämme
tästä merkintää:
X ∼ Bernoulli( p)
Bernoulli-kokeet ja diskreetit todennäköisyysjakaumat
Toistetaan toisistaan riippumatta samaa Bernoulli-koetta ja tarkastellaan tapahtuman A sattumista
toistojen aikana.
(i)
Binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu x kertaa,
kun koetta toistetaan n kertaa.
(ii)
Geometrinen jakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu
ensimmäisen kerran x:ssä koetoistossa.
(iii) Negatiivinen binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A
sattuu r. kerran x:ssä koetoistossa.
(iv) Poisson-jakauma voidaan johtaa binomijakauman raja-arvona, kun koetoistojen lukumäärän
annetaan tiettyjen ehtojen vallitessa kasvaa rajatta. Siten Poisson-jakauma kuvaa harvinaisten
tapahtumien todennäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa.
Binomijakauma
Pr(A) = p
Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (A ei tapahdu) Ac todennäköisyys on
Pr(Ac) = 1 – p = q
Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa n kertaa, jossa n on
kiinteä (ei-satunnainen), ennen koetoistojen tekemistä päätetty luku. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia.
TKK
2/27
4. harjoitukset
Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärää
koetoistojen joukossa.
Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p:
X ∼ Bin(n, p)
ja sen pistetodennäköisyysfunktio on
n
f ( x) = Pr( X = x) =   p x q n − x , 0 < p < 1 , q = 1 − p , x = 0,1, 2,… , n
 x
Binomijakauman tunnusluvut
Odotusarvo:
E( X ) = µ X = np
Varianssi:
D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 = npq
Standardipoikkeama:
D( X ) = σ X = npq
Binomijakauma ja Bernoulli-jakauma
Olkoot X1, X2, … , Xn ovat riippumattomia, samaa Bernoulli-jakaumaa Bernoulli(p) noudattavia
diskreettejä satunnaismuuttujia:
X 1 , X 2 ,… , X n ⊥
X i ∼ Bernoulli( p ) , i = 1, 2,… , n
Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja
n
X = ∑ Xi
i =1
noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p:
X ∼ Bin(n, p)
Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma
Olkoot X1, X2, … , Xn ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat binomijakaumia
parametrein (n1, p), (n2, p), … , (nk, p):
X 1 , X 2 ,… , X k ⊥
X i ∼ Bin(ni , p ) , i = 1, 2,… , k
TKK
3/27
4. harjoitukset
k
X = ∑ Xi
i =1
noudattaa binomijakaumaa parametrein n = n1 + n2 + ⋅⋅⋅ + nk ja p:
X ∼ Bin(n, p)
Geometrinen jakauma
Pr(A) = p
Pr(Ac) = 1 – p = q
Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa kunnes tapahtuma A
havaitaan 1. kerran. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia.
Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tehtyjen koetoistojen lukumäärää, kun
tapahtuma A havaitaan 1. kerran. Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa geometrista jakaumaa
parametrilla p:
X ∼ Geom( p)
f ( x) = Pr( X = x) = q x −1 p , 0 < p < 1 , q = 1 − p , x = 1, 2,3,…
Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on
F ( x) = Pr( X ≤ x) = 1 − (1 − p)[
x]
jossa
[x] = suurin kokonaisluku, joka ≤ x
Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan
Pr( X > x) = 1 − Pr( X ≤ x) = 1 − F ( x) = (1 − p)[
x]
Geometrisen jakauman tunnusluvut
Odotusarvo:
E( X ) = µ X =
1
p
Varianssi:
D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 =
TKK
q
p2
4/27
4. harjoitukset
Standardipoikkeama:
q
p
D( X ) = σ X =
Negatiivinen binomijakauma
Pr(A) = p
Pr(Ac) = 1 – p = q
Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa kunnes tapahtuma A
havaitaan r. kerran. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia.
Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tehtyjen koetoistojen lukumäärää, kun
tapahtuma A havaitaan r. kerran. Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa negatiivista binomijakaumaa parametrein r ja p:
X ∼ NegBin(r , p)
 x − 1 x − r r
f ( x) = Pr( X = x) = 
 q p , 0 < p < 1 , q = 1− p
 r −1
r = 1, 2,3,… ; x = r , r + 1, r + 2,…
Negatiivisen binomijakauman tunnusluvut
Odotusarvo:
E( X ) = µ X =
r
p
Varianssi:
D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 =
rq
p2
Standardipoikkeama:
D( X ) = σ X =
rq
p
Hypergeometrinen jakauma
Olkoon perusjoukon S alkioiden lukumäärä
n(S) = N
TKK
5/27
4. harjoitukset
Tarkastellaan perusjoukon S ositusta joukkoon A ja sen
komplementtiin Ac ja olkoon
n(A) = r
n(Ac) = N – r
Valitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B ja
olkoon
n(B) = n
Perusjoukon S ositus joukoiksi A ja Ac indusoi joukon B
osituksen joukoiksi B∩A ja B∩Ac ; ks. kuvaa oikealla.
Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa
joukossa B olevien joukon A (eli joukon B∩A) alkioiden
lukumäärää. Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa
hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n:
X ∼ HyperGeom( N , r , n)
 r  N − r 
 

x n− x
f ( x) = Pr( X = x) =  
, max[0, n − ( N − r )] ≤ x ≤ min(n, r )
N
 
n
Hypergeometrisen jakauman tunnusluvut
Odotusarvo:
E( X ) = µ X = n
r
N
Varianssi:
D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 = n
r 
r  N − n 
1 −  

N  N   N −1 
Standardipoikkeama:
D( X ) = σ X = n
r 
r  N − n 
1 −  

N  N   N −1 
Hypergeometrisen jakauman ja binomijakauman yhteys
Hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla, jos otantasuhde
n/N
jossa
n = n(B) = otoskoko
N = n(S) = perusjoukon koko
on kyllin pieni. Näin on käytännössä, jos
TKK
6/27
4. harjoitukset
n/N < 0.05
Huomaa, että jos perusjoukon S koko N lähestyy on ääretöntä, otantasuhde konvergoi nollaa
kohden ja siten hypergeometrinen jakauma lähestyy binomijakaumaa.
Otanta takaisinpanolla ja ilman takaisinpanoa
Poimitaan perusjoukosta satunnaisesti otos (osajoukko) arpomalla alkiot perusjoukosta otokseen
yksi kerrallaan. Otoksen poiminta voidaan toteuttaa joko palauttamalla (eli takaisinpanolla) tai
palauttamatta (ilman takaisinpanoa):
(i)
Otannassa palauttaen perusjoukon alkiot arvotaan otokseen yksi kerrallaan niin, että alkiot
palautetaan välittömästi jokaisen arpomisen jälkeen takaisin perusjoukkoon, jolloin sama
alkio voi tulla poimituksi otokseen useita kertoja.
(ii)
Otannassa palauttamatta alkiot arvotaan otokseen yksi kerrallaan niin, että alkioita ei
palauteta arpomisen jälkeen takaisin perusjoukkoon, jolloin sama alkio voi tulla poimituksi
otokseen vain kerran.
Olkoon perusjoukon S koko
N = n(S)
Tarkastellaan perusjoukon S osajoukkoa A, jonka koko on
r = n(A)
Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B, jonka koko on
n = n(B)
Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja
X = ”A-tyyppisten alkioiden lukumäärä otoksessa B”
Jos otos poimitaan perusjoukosta palauttaen eli takaisinpanolla, satunnaismuuttuja X noudattaa
binomijakaumaa parametrein n ja p:
X ∼ Bin(n, p)
Jos otos poimitaan perusjoukosta palauttamatta eli ilman takaisinpanoa, satunnaismuuttuja X
noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n:
X ∼ HyperGeom( N , r , n)
Poisson-jakauma
Toistetaan samaa satunnaiskoetta ja oletetaan, että toistot ovat toisistaan riippumattomia.
Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista toistojen aikana. Oletetaan, että tapahtuman A
tapahtumaintensiteetti eli keskimääräinen lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden on λ.
Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:
X = Tapahtuman A esiintymisten lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden
Tietyin oletuksin satunnaismuuttuja X noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λs:
X ∼ Poisson(λs)
jossa
TKK
7/27
4. harjoitukset
s = ajanjakson pituus aikayksiköissä (tilavuusyksiköiden lukumäärä)
λ = tapahtuman A esiintymisten keskimääräinen lukumäärä
aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden
f ( x) = Pr( X = x) =
e − λ s (λ s ) x
, x = 0,1, 2,…
x!
Poisson-jakauman tunnusluvut
Odotusarvo:
E( X ) = µ X = λ s
Varianssi:
D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 = λ s
Standardipoikkeama:
D( X ) = σ X = λ s
Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma
Olkoot X1, X2, … , Xn ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat Poisson-jakaumia
parametrein λ1, λ2, …, λk :
X 1 , X 2 ,… , X k ⊥
X i ∼ Poisson(λi ) , i = 1, 2,… , k
k
X = ∑ Xi
i =1
noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λ = λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λk :
X ∼ Poisson(λ )
Poisson-jakauma ja eksponenttijakauma
Olkoon
X = tapahtumien lukumäärä aikayksikköä kohden
Oletetaan, että
X ∼ Poisson(λ)
ja olkoon
Y = odotusaika 1. tapahtumalle (tai tapahtumien väliaika)
Tällöin Y on jatkuva satunnaismuuttuja, joka noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla λ (ks. 5.
harjoitukset):
Y ∼ Exp(λ)
jolloin
TKK
8/27
4. harjoitukset
E(Y) = 1/λ
Voidaan osoittaa, että jakaumien välinen yhteys toimii molempiin suuntiin: ts. jos satunnaismuuttuja
X = odotusaika 1. tapahtumalle (tai tapahtumien väliaika)
noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla λ:
X ∼ Exp(λ)
niin satunnaismuuttuja
Z = tapahtumien lukumäärä aikayksikköä kohden
noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λ:
Z ∼ Poisson(λ)
TKK
9/27
4. harjoitukset
Tehtävä 4.1.
Pelaaja heittää virheetöntä noppaa kymmenen kertaa. (Virheettömässä nopassa jokaisella
silmäluvulla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi.)
(a)
Laske silmälukujen summan odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama.
(b)
Pelaaja saa voittona silmälukujen summan euroina kymmenkertaisena.
Mikä on voiton odotusarvo ja standardipoikkeama?
Kannattaako peliin osallistua, jos osallistuminen maksaa 400 euroa?
Tehtävä 4.1. – Mitä opimme?
Tehtävässä sovelletaan diskreettiä tasaista jakaumaa.
Yleistietoja diskreeteistä satunnaismuuttujista ja jakaumista sekä jakaumien
tunnusluvuista: ks. 3. harjoitukset.
Tehtävä 4.1. – Ratkaisu:
Pelaaja heittää virheetöntä noppaa. Koska noppa oletettiin virheettömäksi, voidaan olettaa,
että nopanheiton tulos X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa diskreettiä tasaista
jakaumaa.
Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio:
f(x) = Pr(X = x) = 1/6 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Satunnaismuuttujan X odotusarvo:
6
E( X ) = ∑ x Pr( X = x) =
x =1
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 21
=
= 3.5
6
6
Satunnaismuuttujan X 2. momentti:
6
E( X 2 ) = ∑ x 2 Pr( X = x) =
x =1
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 91
= ≈ 15.17
6
6
Satunnaismuuttujan X varianssi:
2
91  21  105
D ( X ) = E( X ) − [ E( X ) ] = −   =
≈ 2.917
6 6
36
2
2
2
Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama:
D( X ) = 2.917 ≈ 1.708
Kun noppaa heitetään n kertaa, jokaisen heiton tulos Xi , i = 1, 2, … , n on satunnaismuuttuja,
joka noudattaa edellä määriteltyä diskreettiä tasaista jakaumaa. Lisäksi voimme olettaa, että
heittojen tulokset ovat toisistaan riippumattomia.
(a)
Heittotulosten summa
10
Z = ∑ Xi
i =1
TKK
10/27
4. harjoitukset
on diskreetti satunnaismuuuttuja, joka on riipputtomien, samaa (edellä määriteltyä)
diskreettiä tasaista jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien Xi , i = 1, 2, … , 10
summa.
Summan Z odotusarvo on
E( Z ) = E
(∑
10
i =1
)
X i = ∑ i =1 E( X i ) = 10 × 3.5 = 35
10
Huomaa, että satunnaismuuttujien summan odotusarvo on satunnaismuuttujien
odotusarvojen summa, vaikka ko. satunnaismuuttujat eivät olisi riippumattomia.
Summan Z varianssi on
D2 (Z ) = D2
(∑
)
X i = ∑ i =1 D 2 ( X i ) ≈ 10 × 2.917 = 29.17
i =1
10
10
Huomaa, että satunnaismuuttujien summan varianssi on satunnaismuuttujien
varianssien summa vain, kun ko. satunnaismuuttujat ovat riippumattomia.
Summan Z standardipoikkeama on
D( Z ) = 29.17 ≈ 5.401
Huomaa, että
D(Z) ≠10×D(Xk)
ts. satunnaismuuttujien summan standardipoikkeama ei ole satunnaismuuttujien
standardipoikkeamien summa. Tämä johtuu siitä, että (positiivisten lukujen) summan
neliöjuuri ei ole ko. lukujen neliöjuurien summa.
(b)
Pelaajan saama voitto
Y = 10×Z
on diskreetti satunnaismuuttuja.
Voiton odotusarvo:
E(Y) = 10×E(Z) = 350 €
Voiton varianssi:
D2(Y) = 102×D2(Z) ≈ 2917 €2
Voiton standardipoikkeama:
D(Y) ≈ 54.01 €
Koska peliin osallistuminen maksaa 400 €, pelaajat kärsivät jokaisessa pelissä tappion,
jonka suuruus on keskimäärin
400 − E(Y) = 400 − 350 = 50 €
TKK
11/27
4. harjoitukset
Tehtävä 4.2.
Kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2. Eräänä päivänä kone tekee 10 tuotetta.
(a)
Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy täsmälleen 2 kpl?
(b)
Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy vähintään 1 kpl?
(c)
Mikä on odotusarvo viallisten tuotteiden lukumäärälle?
Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa.
Tuotteita valmistava kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2.
Päivän aikana tehtyjen viallisten tuotteiden lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka
noudattaa binomijakaumaa:
X ∼ Bin(n, p)
jossa
n = 10
p = 0.2
Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on
10 
f ( x) = Pr( X = x) =   p x (1 − p)10− x , p = 0.2 , x = 0,1, 2,… ,10
x
(a)
Todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy täsmälleen 2 kpl on
10 
Pr( X = 2) =   × 0.22 × 0.88 = 0.302
2
(b)
Tapahtumana se, että viallisia tuotteita löytyy vähintään 1 kpl voidaan esittää
tapahtumana seuraavassa muodossa:
{ X > 0} = { X = 1} ∪ { X = 2} ∪
∪ { X = 10}
Määrätään todennäköisyys tälle tapahtumalle soveltamalla komplementtitapahtuman
todennäköisyyden kaavaa:
 10 
Pr( X > 0) = 1 − Pr( X = 0) = 1 −   × 0.20 × 0.810 = 1 − 0.107 = 0.893
0
(c)
Odotusarvo viallisten ruuvien lukumäärälle on
E(X) = np = 10×0.2 = 2
TKK
12/27
4. harjoitukset
Tehtävä 4.3.
Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on
oltava tietyllä välillä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen. Kuulien laadunvalvonta on toteutettu
niin, että joka sadas valmistettu kuula mitataan. Jos mitatun kuulan halkaisija ei ole ko.
välillä, koneen toiminta keskeytetään tarkistusta varten.
Oletetaan, että koneen valmistamista kuulista keskimäärin 1/10 on käyttökelvottomia.
(a)
Mikä on todennäköisyys, että joudumme tutkimaan vähintään 10 kuulaa ensimmäisen
käyttökelvottoman löytämiseksi?
(b)
Oletetaan, että olemme tutkineet 9 kuulaa löytämättä yhtään käyttökelvotonta kuulaa.
Mikä on todennäköisyys, että joudumme tutkimaan vähintään 4 kuulaa lisää
ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi?
(c)
Mikä on odotettavissa oleva lukumäärä kuulille, jotka joudumme tutkimaan ennen
ensimmäisen käyttökelvottoman löytymistä?
Tehtävässä sovelletaan geometrista jakaumaa.
Poimitaan kuulia tutkittaviksi yksi kerrallaan. Ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan
järjestysnumero X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa geometrista jakaumaa:
X ∼ Geom(p)
jossa
p = 0.1
on todennäköisyys löytää käyttökelvoton kuula.
f ( x) = Pr( X = x) = q x −1 p , p = 0.1 , q = 1 − p , x = 1, 2,3,…
(a)
Todennäköisyys, että joudutaan tutkimaan vähintään 10 kuulaa ensimmäisen
käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi on
Pr( X ≥ 10) = Pr ( X > 9 )
= 1 − Pr ( X ≤ 9 )
= 1 − F (9)
= 1 − 1 − (1 − p )9 
= (1 − p )9
= 0.99 = 0.387
TKK
13/27
(b)
4. harjoitukset
Oletetaan, että olemme tutkineet 9 kuulaa löytämättä yhtään käyttökelvotonta tuotetta.
Tällöin ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan järjestysnumeron on oltava 10 tai
suurempi. Se, että joudumme tutkimaan vähintään 4 kuulaa lisää ensimmäisen
käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi merkitsee sitä, että joudumme kaikkiaan
tutkimaan vähintään 13 kuulaa.
Siten kysytty todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys
Pr( X ≥ 13 ja X ≥ 10)
Pr( X ≥ 10)
Pr( X ≥ 13)
=
Pr( X ≥ 10)
1 − F (12)
=
1 − F (9)
Pr ( X ≥ 13 X ≥ 10 ) =
=
A∩ B ⊂ B
0.912
= 0.93 = 0.729
0.99
Toisaalta todennäköisyys, että joudutaan tutkimaan vähintään 4 kuulaa ensimmäisen
käyttökelvottoman löytämiseksi on
Pr( X ≥ 4) = Pr( X > 3) = 1 − Pr( X ≤ 3) = 1 − F (3) = 0.93 = 0.729
Se, että
Pr( X ≥ 13 | X ≥ 10) = Pr(X ≥ 4)
ei ole sattumaa, vaan tulos voidaan yleistää seuraavaan muotoon:
Jos satunnaismuuttuja X noudattaa geometrista jakaumaa, niin
Pr( X ≥ a + b | X ≥ a) = Pr( X ≥ 1 + b)
Tulos merkitsee sitä, että geometrisella jakaumalla on ns. unohtamisominaisuus:
Todennäköisyys joutua tutkimaan vähintään b kuulaa lisää ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi ei riipu siitä, kuinka monta kuulaa on jouduttu
tutkimaan löytämättä yhtään käyttökelvotonta. Voimme ilmaista tämän sanomalla,
että prosessi on unohtanut oman ”historiansa”.
(c)
Odotettavissa oleva lukumäärä kuulille, jotka joudutaan tutkimaan ennen ensimmäisen
käyttökelvottoman löytymistä, on
E(X) = 1/p = 1/0.1 = 10
Tehtävä 4.4.
Tehdas valmistaa tuotetta, jolla on erittäin korkeat laatukriteerit. Keskimäärin vain 60 %
tuotteista täyttää kriteerit. Valitaan tuotteita satunnaisesti yksi kerrallaan tarkastettavaksi,
kunnes on löydetty 3 kelvollista tuotetta.
TKK
(a)
Mikä on todennäköisyys, että joudutaan tarkastamaan enemmän kuin 4 tuotetta?
(b)
Kuinka monta tuotetta joudutaan keskimäärin tarkastamaan?
14/27
4. harjoitukset
Tehtävässä sovelletaan negatiivista binomijakaumaa.
Poimitaan tuotteita tarkastettavaksi satunnaisesti yksi kerrallaan. Kolmannen kelvollisen
tuotteen järjestysnumero X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa negatiivista
binomijakaumaa:
X ∼ NegBin(r, p)
jossa
r=3
p = 0.6
 x − 1 x −3 3
f ( x) = Pr( X = x) = 
 q p , p = 0.6 , q = 1 − p , x = 3, 4,5,…
 2 
(a)
Todennäköisyys joutua tarkastamaan enemmän kuin 4 tuotetta on
Pr ( X > 4 ) = 1 − Pr( X ≤ 4)
= 1 − Pr( X = 3) − Pr( X = 4)
 3
= 1 − 0.63 −   × 0.4 × 0.63
 2
= 1 − 0.216 − 0.2592
= 0.5248
(b)
Odotettavissa oleva tuotteiden lukumäärä, jotka joudutaan tarkastamaan ennen
kolmannen kelvollisen tuotteen löytämistä on
E( X ) =
r
3
=
=5
p 0.6
Tehtävä 4.5.
Pakkauksessa on 100 tuotetta, joista 30 on viallista.
TKK
(a)
Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa.
Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen tuote?
(b)
Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi takaisinpanolla.
Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen tuote?
15/27
4. harjoitukset
Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa ja hypergeometrista jakaumaa otantaan
takaisinpanolla (palauttaen) ja ilman takaisinpanoa (palauttamatta).
Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja
X = ”Viallisten lukumäärä tarkastettujen 5:n tuotteen joukossa”.
Satunnaismuuttujan X jakauma riippuu siitä poimitaanko otos ilman takaisinpanoa
(palauttamatta) tai takaisinpanolla (palauttaen): Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, X
noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otos poimitaan takaisinpanolla, X noudattaa
binomijakaumaa.
Huomaa, että tehtävän tapauksessa otantasuhde
n/N = 0.05
joten binomijakauman pitäisi melko hyvin approksimoida hypergeometrista jakaumaa.
(a)
Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa,
X ∼ HyperGeom(N, r, n)
jossa
N = 100
r = 30
n=5
Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen on
 30   100 − 30 
 1  5 −1 
 = 0.365
f (1) = Pr( X = 1) =   
100


 5 


Vertaa tulosta (b)-kohdan tulokseen.
(b)
Jos otos poimitaan takaisinpanolla,
X ∼ Bin(n, p)
jossa
n=5
p = r/N = 0.3
TKK
16/27
4. harjoitukset
Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen on
 5
f (1) = Pr( X = 1) =   × 0.3 × 0.7 4 = 0.360
1
Vertaa tulosta (a)-kohdan tulokseen.
Tehtävä 4.6.
Tehdas väittää, että korkeintaan 1 % sen tuotteista on viallisia. Ostat 1000 tuotetta ja poimit
satunnaisesti ilman takaisinpanoa ostamiesi tuotteiden joukosta 25 tuotetta tarkastettavaksi.
Mikä on todennäköisyys, että löydät tarkastettujen tuotteiden joukosta enemmän kuin 2
viallista, jos valmistajan väite on oikeutettu?
Tehtävässä tarkastellaan hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksien
approksimoimista binomitodennäköisyyksillä.
Poimitaan ostettujen tuotteiden joukosta 25 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa.
Viallisten lukumäärä X tarkastettujen tuotteiden joukossa on diskreetti satunnaismuuttuja,
joka noudattaa hypergeometrista jakaumaa:
jossa
N = 1000
r = 1000/100 = 10
n = 25
Koska otantasuhde
n/N = 25/1000 = 0.025 < 0.05
niin hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla:
X ∼a Bin(n, p)
jossa
n = 25
p = 0.01
TKK
17/27
4. harjoitukset
Siten todennäköisyys löytää enemmän kuin 2 viallista on (approksimatiivisesti)
Pr ( X > 2 ) = 1 − Pr( X ≤ 2)
= 1 − Pr( X = 0) − Pr( X = 1) − Pr( X = 2)
= 1 − f (0) − f (1) − f (2)
 25 
 25 
 25 
= 1 −   × 0.010 × 0.9925 −   × 0.01× 0.9924 −   × 0.012 × 0.9923
0
1
2
= 0.00195
Tehtävä 4.7.
Puhelinkeskukseen tulee keskimäärin 3 puhelua minuutissa.
(a)
Mikä on todennäköisyys, että 30 sekunnissa ei tule yhtään puhelua?
(b)
Mikä on todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 4 puhelua?
(c)
Mikä on todennäköisyys, että seuraavan minuutin aikana ei tule yhtään puhelua, jos
edellisenä minuuttina puheluita oli 4?
(d)
Mikä on odotettavissa olevien puheluiden lukumäärä yhden tunnin aikana?
Tehtävässä sovelletaan Poisson-jakaumaa.
Oletetaan, että ajanjaksona, jonka pituus on s minuuttia, puhelinkeskukseen tulevien
puheluiden lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa:
X ∼ Poisson(λs)
jossa
s = ajanjakson pituus minuutteina
λ = minuutissa keskukseen tulevien puheluiden keskimääräinen lukumäärä = 3
f ( x) = Pr( X = x) =
(a)
e −3 s (3s ) x
, x = 0,1, 2,…
x!
Nyt
s = 0.5 min
joten
λs = 3×0.5 = 1.5
TKK
18/27
4. harjoitukset
Siten todennäköisyys, että 1/2 minuutissa ei tule puheluita, on
Pr( X = 0) =
(b)
e −1.5 (1.5)0
= 0.223
0!
Nyt
s = 1 min
joten
λs = 3×1 = 3
Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 4 puhelua, on
4
Pr( X ≤ 4) = ∑ Pr( X = x)
x =0
e − λ s (λ s ) x
x!
x =0
4
=∑
 30 31 32 33 34 
= e −3  + + + + 
 0! 1! 2! 3! 4! 
= 0.0498 × (1 + 3 + 4.5 + 4.5 + 3.375)
= 0.0498 × 16.375
= 0.8153
(c)
Olkoon
Xi = minuutin i aikana tulleiden puheluiden lukumäärä, i = 1, 2.
Satunnaismuuttujia X1 ja X2 voidaan pitää riippumattomina ja lisäksi kumpikin
noudattaa Poisson-jakaumaa:
Xi ∼ Poisson(λs)
jossa
s = 1 min
λ=3
Riippumattomuuden nojalla
Pr ( X 1 = 0 | X 2 = 4 ) = Pr( X 1 = 0) =
(d)
e −3 30
= e −3 = 0.0498
0!
Nyt
s = 60 min
joten
λs = 3×60 = 180
TKK
19/27
4. harjoitukset
Siten odotettavissa oleva puheluiden määrä tunnin aikana on
E(X) = λs = 180
Tehtävä 4.8.
Pikkupullaan käytetään 1 dl taikinaa. Kuinka monta rusinaa 10 litraan taikinaa on vähintään
sekoitettava, jotta satunnaisesti valitussa pullassa olisi vähintään 1 rusina suuremmalla
todennäköisyydellä kuin 0.95?
Oletetaan, että hyvin sekoitetussa taikinaerässä, jonka koko on s dl, rusinoiden lukumäärä X
on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa:
X ∼ Poisson(λs)
jossa
s = taikinaerän koko desilitroina
λ = rusinoiden keskimääräinen lukumäärä desilitrassa taikinaa
Todennäköisyys, että taikinassa on vähintään 1 rusina tilavuusyksikössä on
Pr ( X ≥ 1) = 1 − Pr( X < 1) = 1 − Pr( X = 0) = 1 −
λ0
0!
e− λ = 1 − e− λ
Asetetaan tälle todennäköisyydelle ehto
Pr ( X ≥ 1) = 1 − e − λ ≥ 0.95
joka toteutuu, jos
λ≥−
log(0.05)
= 2.996
log(e)
10 litrassa taikinaa on 100 dl. Koska
100×2.996 = 299.6
taikinaan pitää sekoittaa vähintään 300 rusinaa, jotta satunnaisesti valitussa pullassa olisi
vähintään 1 rusina suuremmalla todennäköisyydellä kuin 0.95.
Tehtävä 4.9.
Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Poimitaan korkeakoulun opiskelijoiden joukosta
satunnaisesti 20 opiskelijaa.
TKK
(a)
Mikä on todennäköisyys, että poimituksi tulee vähintään 5 naisopiskelijaa?
(b)
Mikä on odotettavissa oleva naisopiskelijoiden lukumäärä?
20/27
4. harjoitukset
Tehtävässä tarkastellaan hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksien
approksimoimista binomitodennäköisyyksillä.
Oletetaan, että otokseen poimitut 20 opiskelijaa poimitaan kaikkien korkeakoulun
opiskelijoiden joukosta satunnaisesti ilman takaisinpanoa. Tällöin naisopiskelijoiden
lukumäärää X otoksessa on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka noudattaa hypergeometrista
jakaumaa.
Jos korkeakoulun opiskelijoiden lukumäärä on kyllin iso, satunnaismuuttujan X jakaumaa
voidaan approksimoida binomijakaumalla:
X ∼a Bin(n, p)
jossa
n = 20
p = 0.2
(a)
Todennäköisyydeksi, että valituiksi tulee vähintään 5 naisopiskelijaa, on
komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan ja toisensa poissulkevien
tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla (approksimatiivisesti):
Pr( X > 4) = 1 − Pr( X ≤ 4)
4
= 1 − ∑ Pr( X = i )
i =0
4
 20 
= 1 − ∑   × 0.2i × 0.820−i
i =0  i 
= 1 − 0.011529 − 0.057646 − 0.136909 − 0.205364 − 0.218199
= 1 − 0.629648
= 0.370352
Esimerkiksi:
 20 
20!
Pr( X = 1) =   × 0.2 × 0.820−1 =
× 0.2 × 0.819 = 0.057646
1!19!
1
(b)
Odotettavissa oleva naisopiskelijoiden lukumäärä on
E(X) = np = 20×0.2 = 4
TKK
21/27
4. harjoitukset
Tehtävä 4.10.
Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Oletetaan, että opiskelijat tulevat koulun
opiskelijaravintolaan täysin satunnaisesti.
(a)
Mikä on todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 5 opiskelijaa ennen
ensimmäistä naisopiskelijaa?
(b)
Mikä on ensimmäisen ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo?
Tehtävässä sovelletaan geometrista jakaumaa.
Ravintolaan ensimmäisenä tulevan naisopiskelijan järjestysnumero X on diskreetti
satunnaismuuttuja, joka noudattaa geometrista jakaumaa:
X ∼ Geom(p)
jossa
p = 0.2
(a)
Todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 5 opiskelijaa ennen ensimmäistä
naisopiskelijaa on
Pr ( X > 5 ) = 1 − Pr ( X ≤ 5 )
= 1 − F (5)
= 1 − 1 − (1 − p)5 
= (1 − p )5
= 0.85
≈ 0.328
(b)
Ensimmäisen ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo on
E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5
Tehtävä 4.11.
Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Oletetaan, että opiskelijat tulevat koulun
opiskelijaravintolaan täysin satunnaisesti.
TKK
(a)
Mikä on todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 10 opiskelijaa ennen
toista naisopiskelijaa?
(b)
Mikä on toisena ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo?
22/27
4. harjoitukset
Tehtävässä sovelletaan negatiivista binomijakaumaa.
Ravintolaan toisena tulevan naisopiskelijan järjestysnumero X on diskreetti
satunnaismuuttuja, joka noudattaa negatiivista binomijakaumaa:
X ∼ NegBin(r, p)
jossa
r=2
p = 0.2
(a)
Todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 10 opiskelijaa ennen toista
naisopiskelijaa on komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan ja toisensa
poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla:
Pr ( X > 10 ) = 1 − Pr( X ≤ 10)
10
= 1 − ∑ Pr( X = i )
i=2
10
 i − 1  i−2 2
= 1− ∑
 0.8 0.2
i = 2  2 − 1
= 1 − 0.04 − 0.064 − 0.0768 − 0.08192 − 0.08192
−0.78643 − 0.0734 − 0.067109 − 0.060398
= 1 − 0.62419
= 0.37581
Esimerkiksi:
 4 − 1
3!
4− 2
2
Pr( X = 4) = 
× 0.82 × 0.22 = 0.0768
 × 0.8 × 0.2 =
2!1!
 2 − 1
(b)
Toisena ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo on
E( X ) =
TKK
r
2
=
= 10
p 0.2
23/27
4. harjoitukset
Tehtävä 4.12.
(a)
Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi käyttämällä poimintaa
takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän
kuin 2 viallista tuotetta?
(b)
Mikä on odotettavissa oleva viallisten lukumäärä?
Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa.
X = ”Viallisten lukumäärä tarkastettujen 6:n tuotteen joukossa”
binomijakaumaa.
(a)
Koska otos poimittiin takaisinpanolla,
X ∼ Bin(n, p)
jossa
n=6
p = r/N = 30/100 = 0.3
Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista on
Pr( X < 2) = Pr( X = 0) + Pr( X = 1)
6
6
=   × 0.30 × 0.76 +   × 0.31 × 0.75
0
1
= 0.118 + 0.303
= 0.421
Vertaa tulosta tehtävän 4.13. tulokseen.
(b)
Koska otos poimittiin takaisinpanolla,
E(X) = np = 6×0.3 = 1.8
TKK
24/27
4. harjoitukset
Tehtävä 4.13.
(a)
Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi käyttämällä poimintaa ilman
takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin
2 viallista tuotetta?
(b)
Mikä on odotettavissa oleva viallisten lukumäärä?
Tehtävässä sovelletaan hypergeometrista jakaumaa.
X = ”Viallisten lukumäärä tarkastettujen 6:n tuotteen joukossa”
binomijakaumaa.
(a)
Koska otos poimittiin ilman takaisinpanoa,
jossa
N = 100
r = 30
n=6
Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista on
Pr( X < 2) = Pr( X = 0) + Pr( X = 1)
 30  100 − 30   30  100 − 30 
 
  

0  6 − 0   1  6 − 1 

=
+
100 
 100 




 6 
 6 
= 0.110 + 0.305
= 0.415
(b)
Koska otos poimittiin ilman takaisinpanoa,
E( X ) = n
TKK
r
30
= 6×
= 1.8
N
100
25/27
4. harjoitukset
Tehtävä 4.14.
Palvelujonoon tulee keskimäärin 3 asiakasta minuutissa.
(a)
Mikä on todennäköisyys, että 30 sekunnissa tulee täsmälleen yksi asiakas?
(b)
Mikä on todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 2 asiakasta?
(c)
Mikä on todennäköisyys, että seuraavan minuutin aikana tulee korkeintaan 2 asiakasta,
jos edellisenä minuuttina asiakkaita oli 3?
(d)
Mikä on odotettavissa olevien asiakkaiden lukumäärä 30 minuutin aikana?
Oletetaan, että ajanjaksona, jonka pituus on s minuuttia, palvelujonoon tulevien asiakkaiden
lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa:
X ∼ Poisson(λs)
jossa
s = ajanjakson pituus minuutteina
λ = minuutissa jonoon tulevien asiakkaiden lukumäärä keskimäärin = 3
(a)
Nyt
s = 0.5 min
joten
λs = 3×0.5 = 1.5
Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee 1 asiakas, on
Pr( X = 1) =
(b)
e −1.5 (1.5)1
= 0.335
1!
Nyt
s = 1 min
joten
λs = 3×1 = 3
TKK
26/27
4. harjoitukset
Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 2 asiakasta, on
2
Pr( X ≤ 2) = ∑ Pr( X = x)
x =0
e − λ s (λ s ) x
x!
x =0
2
=∑
 30 31 32 
= e −3  + + 
 0! 1! 2! 
= 0.0498 × (1 + 3 + 4.5)
= 0.0498 × 8.5
= 0.423
(c)
Olkoon Xi = minuutin i aikana tulleiden asiakkaiden lukumäärä, i = 1, 2.
Koska satunnaismuuttujat X1 ja X2 ovat riippumattomia, vastaus on sama kuin (b)kohdassa.
(d)
Nyt
s = 30 min
joten
λs = 3×30 = 90
Siten odotettavissa oleva puheluiden määrä 30 minuutin aikana on
E(X) = λs = 90
TKK
27/27

Ratkaisut

Transcription

Similar documents

2. viikon laskuharjoitus B - MyCourses - Aalto

MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta Tentti 5.3.2014 / Kimmo

Ratkaisut

Ratkaisut

pdf - Suomen gastroenterologiahoitajat ry

Ratkaisut

Ratkaisut

Riskien arviointi työpaikalla –kansion päivitys

1(8) HELSINGIN SEUDUN MONIKKOPERHEET RY

Lääkkeiden turvallisuus, Jyri Saastamoinen

Todennäköisyyslaskentaa sivuaineopiskelijoille