Ratkaisut
Transcription
Ratkaisut
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien tunnusluvut Avainsanat: Desiili, Diskreetti jakauma, Diskreetti satunnaismuuttuja, Huipukkuus, Insidenssikuvaus, Jatkuva jakauma, Jatkuva satunnaismuuttuja, Kertymäfunktio, Keskusmomentti, Kvantiili, Kvartiili, Mediaani, Momentti, Moodi, Odotusarvo, Origomomentti, Painopiste, Piste, Pistetodennäköisyys, Pistetodennäköisyysfunktio, Prosenttipiste, Puu, Puutodennäköisyys, Reitti, Rinnan kytkentä, Sarjaan kytkentä, Satunnaismuuttuja, Standardipoikkeama, Särmä, Tiheysfunktio, Todennäköisyysjakauma, Todennäköisyysmassa, Toimintatodennäköisyys, Toimintaverkko, Tulosääntö, Tunnusluku, Varianssi, Verkko, Vinous, Yhteenlaskusääntö Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta ∆ : A → V ×V jossa V ≠ ∅ , A ≠ ∅ , A ∩V = ∅ Insidenssikuvaus ∆ kertoo mitkä verkon pisteistä ovat särmien yhdistämiä. Verkkoja tarkastellaan tässä suunnattuina verkkoina, millä tarkoitetaan sitä, että verkon jokaisella särmällä on suunta, joka osoittaa särmän alkupisteestä särmän loppupisteeseen. Kuviossa oikealla V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 , v9 , v10 , v11} A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 } ja esimerkiksi ∆(a5 ) = (v6 , v3 ) Reitti Särmät {a1 , a2 ,… , ak −1} muodostavat reitin pisteestä v1 pisteeseen vk , jos on olemassa pisteet v1 , v2 , … , vk siten, että TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset ∆(ai ) = (vi , vi +1 ) , i = 1, 2,… , k − 1 Jos pisteestä v1 pisteeseen vk on reitti, sanotaan, että reitti vie pisteestä v1 pisteeseen vk tai, että pisteestä v1 pääsee pisteeseen vk . Kuviossa yllä särmät a1, a3, a7, a8 muodostavat reitin pisteestä v1 pisteeseen v6. Puu Verkko on puu, jonka juurena on piste v1, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) Verkko on yhtenäinen. (ii) Verkossa ei ole silmukoita. (iii) Jos w ≠ v1 on mielivaltainen verkon piste, pisteestä v1 pisteeseen w pääsee täsmälleen yhtä reittiä pitkin. Yllä olevan kuvion verkko ei ole puu, koska siinä on silmukoita ja se ei ole yhtenäinen. Sen sijaan oikealla olevan kuvion verkko on puu. Puudiagrammin konstruointi satunnaisilmiölle Satunnaisilmiötä voidaan kuvata puudiagrammilla, jos ilmiö osataan esittää seuraavassa muodossa: (i) Ilmiöllä on yksi alkutila ja yksi tai useampia lopputiloja. (ii) Ilmiö koostuu vaihtoehtoisista tapahtumajonoista. (iii) Tapahtumajonoissa edetään vaiheittain tapahtumasta toiseen lähtien ilmiön alkutilasta ja päätyen johonkin ilmiön lopputiloista. (iv) Jokaisessa vaiheessa kohdataan yksi tai useampia tapahtumavaihtoehtoja, joista yksi realisoituu ja johtaa uusin tapahtumavaihtoehtoihin. Satunnaisilmiötä vastaava puudiagrammi konstruoidaan seuraavalla tavalla: (i) Asetetaan puun juuri vastaamaan ilmiön alkutilaa. (ii) Asetetaan puun loppupisteet (”oksien kärjet”) vastaamaan ilmiön lopputiloja. (iii) Asetetaan puun pisteet (”oksien haarautumiskohdat”) vastaamaan ilmiön tapahtumia. (iv) Viedään puun jokaisesta pisteestä särmä (”oksa”) kaikkiin sellaisiin pisteisiin, joita vastaavat tapahtumavaihtoehdot ovat ilmiön siinä vaiheessa mahdollisia. (v) Liitetään jokaiseen pisteestä lähtevään särmään siinä vaiheessa mahdollisten tapahtumavaihtoehtojen todennäköisyydet. Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydellä tarkoitetaan todennäköisyyttä päästä puun alkupisteestä yhden tai useamman muun puun pisteen määräämään yhdistettyyn tapahtumaan. Pisteen todennäköisyys saadaan määräämällä alkupisteestä ko. pisteeseen vievän reitin todennäköisyys. Reitin todennäköisyys saadaan soveltamalla reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksiin tulosääntöä. Usean pisteen määräämän yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan soveltamalla ko. pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksiin yhteenlaskusääntöä. TKK @ Ilkka Mellin (2008) 2/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Puutodennäköisyyksien tulosääntö Reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö Jos useita (loppu-) tiloja yhdistetään yhdeksi tapahtumaksi, näin saadun yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. tiloihin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Toimintaverkot Toimintaverkko on systeemi, joka koostuu komponenteista, jotka on kytketty rinnan tai sarjaan. Alla olevat kytkentäkaaviot kuvaavat kahden komponentin K1 ja K2 muodostamia sarjaan- ja rinnankytkentöjä. Sarjaan kytkennän toimintatodennäköisyys Oletetaan, että komponentit K1 ja K2 on kytketty sarjaan ja oletetaan lisäksi, että komponentin K1 toiminta (tai toimimattomuus) ei riipu komponentin K2 toiminnasta (ja kääntäen). Komponenttien K1 ja K2 muodostama sarjaan kytkentä toimii, jos komponentti K1 toimii ja komponentti K2 toimii. Määritellään tapahtumat A1 = ”Komponentti K1 toimii” A2 = ”Komponentti K2 toimii” Olkoot tapahtumien A1 ja A2 todennäköisyydet p1 = Pr(A1) p2 = Pr(A2) Koska tapahtumat A1 ja A2 ovat oletuksen mukaan riippumattomia, saadaan komponenttien K1 ja K2 muodostama sarjaan kytkennän toimintatodennäköisyydeksi riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan Pr(Komponentti K1 toimii ja komponentti K2 toimii) = Pr(A1∩A2) = Pr(A1)Pr(A2) = p1p2 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 3/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset = Pr(Komponentti K1 toimii)Pr(Komponentti K2 toimii) Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys Oletetaan, että komponentit K1 ja K2 on kytketty rinnan ja oletetaan lisäksi, että komponentin K1 toiminta (tai toimimattomuus) ei riipu komponentin K2 toiminnasta (ja kääntäen). Komponenttien K1 ja K2 muodostama rinnan kytkentä toimii, jos komponentti K1 toimii tai komponentti K2 toimii (tai molemmat toimivat). Määritellään tapahtumat A1 = ”Komponentti K1 toimii” A2 = ”Komponentti K2 toimii” Olkoot tapahtumien A1 ja A2 todennäköisyydet p1 = Pr(A1) p2 = Pr(A2) Koska tapahtumat A1 ja A2 ovat oletuksen mukaan riippumattomia, saadaan komponenttien K1 ja K2 muodostama rinnan kytkennän toimintatodennäköisyydeksi yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan Pr(Komponentti K1 toimii tai komponentti K2 toimii) = Pr(A1∪A2) = Pr(A1) + Pr(A2) – Pr(A1∩A2) = Pr(A1) + Pr(A2) – Pr(A1)Pr(A2) = p1 + p2 – p1p2 = Pr(Komponentti K1 toimii) + Pr(Komponentti K2 toimii) – Pr(Komponentti K1 toimii)Pr(Komponentti K2 toimii) Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttuja Olkoon ( S , F, Pr) todennäköisyyskenttä, jossa S = otosavaruus (perusjoukko) F = otosvaruuden S osajoukkojen joukossa määritelty σ-algebra Pr = σ-algebran F alkioille määritelty todennäköisyysmitta Jos ξ on otosavaruuden S reaaliarvoinen (mitallinen) funktio eli ξ :S → niin ξ on satunnaismuuttuja. Jos siis s∈S niin ξ ( s) ∈ TKK @ Ilkka Mellin (2008) 4/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Todennäköisyysjakauma Satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysjakaumalla tarkoitetaan kuvauksen ξ :S → reaalilukujen joukkoon indusoimaa todennäköisyysmittaa. Diskreetti satunnaismuuttuja Olkoon ξ :S → satunnaismuuttuja. Jos otosavaruus S on äärellinen tai numeroituvasti ääretön, jolloin myös funktion ξ arvoalue on äärellinen tai numeroituvasti äärellinen, sanotaan satunnaismuuttujaa ξ diskreetiksi. Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio Olkoon ξ :S → diskreetti satunnaismuuttuja. Olkoon satunnaismuuttujan ξ arvojen joukko T = {x1, x2, x3, … , xn} jos arvojen joukko on äärellinen tai T = {x1, x2, x3, … , xn, … } jos arvojen joukko. Reaaliarvoinen funktio f määrittelee diskreetin satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktion, jos (1) f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) kaikille xi ∈ T (2) f ( xi ) ≥ 0 kaikille xi ∈ T (3) ∑ i xi ∈T f ( xi ) = 1 Todennäköisyys Pr(ξ = xi ) = f ( xi ) = pi , i = 1, 2,3,… on satunnaismuuttujan ξ arvoa xi vastaava pistetodennäköisyys. Diskreetti todennäköisyysjakauma Jos f on diskreetin satunnaismuuttujan ξ :S → pistetodennäköisyysfunktio, sanomme, että satunnaismuuttuja ξ noudattaa diskreettiä todennäköisyysjakaumaa, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f. TKK @ Ilkka Mellin (2008) 5/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Pistotodennäköisyysfunktio ja reaaliakselin välien todennäköisyydet Olkoon ξ :S → diskreetti satunnaismuuttuja ja f vastaava pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin reaaliakselin välin [a, b] todennäköisyys on Pr(a ≤ ξ ≤ b) = ∑ i xi ∈[ a ,b ] f ( xi ) = ∑ i xi ∈[ a ,b ] Pr(ξ = xi ) Jatkuva satunnaismuuttuja Olkoon ξ :S → satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja ξ on jatkuva, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (i) Satunnaismuuttuja ξ saa kaikki reaalilukuarvot joltakin reaaliakselin väliltä. (ii) Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja ξ saa minkä tahansa yksittäisen arvon = 0. Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio Olkoon ξ :S → jatkuva satunnaismuuttuja. Reaaliarvoinen funktio f määrittelee satunnaismuuttujanξ tiheysfunktion, jos (1) f ( x) on x:n jatkuva funktio (2) f ( x) ≥ 0 kaikille x +∞ (3) ∫ f ( x)dx = 1 −∞ b (4) Pr(a ≤ ξ ≤ b) = ∫ f ( x)dx a Jatkuva todennäköisyysjakauma Jos f on jatkuvan satunnaismuuttujan ξ :S → tiheysfunktio, sanomme, että satunnaismuuttuja ξ noudattaa jatkuvaa todennäköisyysjakaumaa, jonka tiheysfunktio on f. Tiheysfunktio ja reaaliakselin välien todennäköisyydet Olkoon ξ :S → jatkuva satunnaismuuttuja ja f vastaava tiheysfunktio. Tällöin reaaliakselin välin [a, b] todennäköisyys on TKK @ Ilkka Mellin (2008) 6/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset b Pr(a ≤ ξ ≤ b) = ∫ f ( x)dx a Huomaa, että Pr(ξ = x) = 0 kaikille x ∈ . Kertymäfunktio Kertymäfunktio Olkoon ξ :S → satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on reaaliarvoinen funktio F ( x) = Pr(ξ ≤ x) Funktio F: → [0,1] on kertymäfunktio, jos ja vain jos (1) lim x →−∞ F ( x) = 0 (2) lim x →+∞ F ( x) = 1 (3) F on ei - vähenevä: F ( x1 ) ≤ F ( x2 ), jos x1 ≤ x2 (4) F on jatkuva oikealta: lim h → 0+ F ( x + h) = F ( x) Jos funktio F: → [0,1] on kertymäfunktio, niin (5) (6) Pr(ξ > x) = 1 − F ( x) Pr( a < ξ ≤ b) = F (b) − F ( a) Diskreetin jakauman kertymäfunktio Olkoon ξ :S → diskreetti satunnaismuuttuja ja f vastaava pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on F ( x) = Pr(ξ ≤ x) = ∑ i xi ≤ x f ( xi ) = ∑ i xi ≤ x Pr(ξ = xi ) ja kääntäen TKK @ Ilkka Mellin (2008) 7/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) = F ( xi ) − F ( xi −1 ) Diskreetin jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jolla on hyppäys jokaisessa pisteessä xi, jossa f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) > 0 Hyppäyskohtien välillä diskreetin jakauman kertymäfunktio saa vakioarvon. Diskreetit jakaumat ja reaaliakselin välien todennäköisyydet Olkoon ξ :S → diskreetti satunnaismuuttuja, f vastaava pistetodennäköisyysfunktio ja F vastaava kertymäfunktio. Tällöin reaaliakselin välin (a, b] todennäköisyys on Pr(a < ξ ≤ b) = F (b) − F (a) = ∑ i xi ∈( a ,b ] f ( xi ) = ∑ i xi ∈( a ,b ] Pr(ξ = xi ) Jatkuvan jakauman kertymäfunktio Olkoon ξ :S → jatkuva satunnaismuuttuja ja f vastaava tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on F ( x) = Pr(ξ ≤ x) = x ∫ f (t )dt −∞ ja kääntäen f ( x) = F ′( x) = d F ( x) dx Reaaliakselin välien todennäköisyydet Olkoon ξ :S → jatkuva satunnaismuuttuja, f vastaava tiheysfunktio ja F vastaava kertymäfunktio. Tällöin reaaliakselin välin (a, b] todennäköisyys on b Pr(a < ξ ≤ b) = F (b) − F (a) = ∫ f ( x)dx a Huomaa, että jatkuvalle satunnaismuuttujalle pätee: Pr(a < ξ ≤ b) = Pr(a ≤ ξ < b) = Pr(a < ξ < b) = Pr(a ≤ ξ ≤ b) TKK @ Ilkka Mellin (2008) 8/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Jakaumien tunnusluvut Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo Olkoon f ( xi ) = Pr( X = xi ) = pi , i = 1, 2,3,… diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X ja sitä vastaavan todennäköisyysjakauman odotusarvo on ei-satunnainen vakio E( X ) = µ X = ∑ xi f ( xi ) = ∑ xi Pr( X = xi ) = ∑ xi pi i i i Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvo Olkoon f ( x) jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X ja sitä vastaavan todennäköisyysjakauman odotusarvo on ei-satunnainen vakio +∞ E( X ) = µ X = ∫ xf ( x)dx −∞ Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan painopiste. Olkoon a vakio. Tällöin E(a) = a Olkoot Xi , i = 1, 2, … , n satunnaismuuttujia ja ai , i = 1, 2, … , n vakioita. Tällöin n n E ∑ ai X i = ∑ ai E( X i ) i =1 i =1 Diskreetin satunnaismuuttujan funktion odotusarvo Olkoon f ( xi ) = Pr( X = xi ) = pi , i = 1, 2,3,… diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Olkoon g reaaliarvoinen funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(X) odotusarvo on ei-satunnainen vakio E( g ( X )) = µ g ( X ) = ∑ g ( xi ) f ( xi ) = ∑ g ( xi ) Pr( X = xi ) = ∑ g ( xi ) pi i i i Jatkuvan satunnaismuuttujan funktion odotusarvo Olkoon f ( x) jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Olkoon g reaaliarvoinen funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(X) odotusarvo on ei-satunnainen vakio TKK @ Ilkka Mellin (2008) 9/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset +∞ E( g ( X )) = µ g ( X ) = ∫ g ( x) f ( x)dx −∞ Varianssi Olkoon satunnaismuuttujan X odotusarvo E( X ) = µ X Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on ei-satunnainen vakio D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 = E[( X − µ X ) 2 ] Varianssi voidaan laskea myös kaavalla D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 = E( X 2 ) − µ X2 jossa E( X 2 ) = satunnaismuuttujan X 2.momentti Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi Olkoon f ( xi ) = Pr( X = xi ) = pi , i = 1, 2,3,… diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 = E[( X − µ X ) 2 ] = ∑ ( xi − µ X ) 2 pi i Jatkuvan satunnaismuuttujan varianssi Olkoon f ( x) jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on +∞ D ( X ) = Var( X ) = σ = E[( X − µ X ) ] = 2 2 X 2 ∫ (x − µ X ) 2 f ( x)dx −∞ Standardipoikkeama Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on ei-satunnainen vakio D( X ) = σ X = E[( X − µ X ) 2 ] Varianssin ominaisuuksia Satunnaismuuttujan X varianssi ja standardipoikkeama kuvaavat satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen E( X ) = µ X ympärillä. TKK @ Ilkka Mellin (2008) 10/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Olkoon a vakio. Tällöin D 2 (a) = Var(a) = 0 Olkoot Xi , i = 1, 2, … , n riippumattomia satunnaismuuttujia ja ai , i = 1, 2, … , n vakioita. Tällöin n n D 2 ∑ ai X i = ∑ ai2 D 2 ( X i ) i =1 i =1 Markovin epäyhtälö Olkoon g(X) satunnaismuuttujan X positiivinen reaaliarvoinen funktio, jonka odotusarvo on E(g(X)) Tällöin jokaiselle reaaliselle, ei-satunnaiselle vakiolle a > 0 pätee Markovin epäyhtälö: Pr( g ( X ) ≥ a) ≤ E( g ( X )) a Tshebyshevin epäyhtälö Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E(X) = µ ja varianssi on Var(X) = σ 2 Tällöin pätee Tshebyshevin epäyhtälö: Pr(| X − µ | ≥ kσ ) ≤ 1 k2 Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavasta seuraa, että Pr(| X − µ | < kσ ) = 1 − Pr(| X − µ | ≥ kσ ) ≥ 1 − 1 k2 Momentit Olkoon X satunnaismuuttuja. Tällöin satunnaismuuttujan Xk odotusarvo E( X k ) = α k , k = 0,1, 2,… on satunnaismuuttujan X k. momentti eli k. momentti origon suhteen. Erityisesti: α0 = 1 α1 = E( X ) = µ Siten satunnaismuuttujan X 1. momentti origon suhteen on satunnaismuuttujan X odotusarvo. Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E( X ) = µ TKK @ Ilkka Mellin (2008) 11/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Tällöin satunnaismuuttujan ( X − µ ) k odotusarvo E ( X − µ ) k = µk , k = 0,1, 2,… on satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti eli k. momentti painopisteen µ suhteen. Erityisesti: µ1 = 0 µ2 = E ( X − µ )2 = σ 2 = Var( X ) = D 2 ( X ) Siten satunnaismuuttujan X 1. keskusmomentti häviää ja 2. keskusmomentti on satunnaismuuttujan X varianssi. Momenttien olemassaolo Satunnaismuuttujan X k. origomomentti on olemassa, jos E(| X |k ) < ∞ Satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti on olemassa, jos vastaava origomomentti on olemassa. Voidaan osoittaa, että jos E(| X |n ) < ∞ jollekin n ∈ , niin E(| X |k ) < ∞ kaikille k < n. Jos siis satunnaismuuttujalla on n. origomomentti, niin sillä on myös kaikki alempien kertalukujen momentit. Vinous Tunnuslukua γ1 = µ3 µ23/ 2 käytetään todennäköisyysjakaumien vinouden mittana. Jos todennäköisyysjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava: γ1 < 0: Jakauma on negatiivisesti vino eli vino vasemmalle, jolloin jakauman vasen häntä on pitempi kuin oikea häntä. γ1 = 0: Jakauma on symmetrinen. γ1 > 0: Jakauma on positiivisesti vino eli vino oikealle, jolloin jakauman oikea häntä on pitempi kuin vasen häntä. Huomautus: Normaalijakaumalle γ1 = 0. Huipukkuus Tunnuslukua γ2 = TKK µ4 −3 µ22 @ Ilkka Mellin (2008) 12/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset käytetään todennäköisyysjakaumien huipukkuuden mittana. Jos todennäköisyysjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava: γ2 > 0: Jakauma on huipukas (normaalijakaumaan verrattuna). γ2 = 0: Jakauma on yhtä huipukas kuin normaalijakauma. γ2 < 0: Jakauma on laakea (normaalijakaumaan verrattuna). Huomautus: Normaalijakaumalle γ2 = 0. Kvantiilit Olkoon X satunnaismuuttuja. Olkoon lisäksi 0<p<1 Jos luku xp toteuttaa ehdot Pr(X ≤ xp) ≥ p Pr(X ≥ xp) ≥ 1 − p sanomme, että xp on satunnaismuuttujan X ja sen jakauman kvantiili kertalukua p. Siten kvantiili xp toteuttaa epäyhtälöt Pr(X < xp) ≤ p ≤ Pr(X ≤ xp) Kvantiilit voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole momentteja. Kvantiilit eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä: (i) Diskreettien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat usein monikäsitteisiä. (ii) Jatkuvien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat yksikäsitteisiä. Olkoon F(x) = Pr(X ≤ x) jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X kvantiili xp toteuttaa yhtälön F(xp) = p Kvantiili xp jakaa satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta p×100 % on kvantiilista xp vasemmalla ja (1 − p)×100 % on kvantiilista xp oikealla. Tilastolliset taulukot ja kvantiilit Useimmissa todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen oppikirjoissa on taulukoituna keskeisten tilastollisessa päättelyssä käytettävien jatkuvien jakaumien (standardoidun normaalijakauman tjakauman, χ2-jakauman ja F-jakauman) kvantiileja xp ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p ja useimmissa tilastollisissa tietokoneohjelmissa on aliohjelmia, jotka laskevat em. jakaumien kvantiileja xp ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p. TKK @ Ilkka Mellin (2008) 13/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Prosenttipisteet Jos p on muotoa p = q/100 , q = 1, 2, … , 99 kvantiilia xp kutsutaan q. prosenttipisteeksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. prosentti-piste jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta q% on q. prosenttipisteestä vasemmalla ja (100 − q) % on q. prosenttipisteestä oikealla. Desiilit Jos p on muotoa p = 10×q/100 , q = 1, 2, … , 9 kvantiilia xp kutsutaan q. desiiliksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. desiili jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta 10×q % on q. desiilistä vasemmalla ja (100 − 10×q) % on q. desiilistä oikealla. Kvartilit Jos p on muotoa p = 25×q/100 , q = 1, 2, 3 kvantiilia xp kutsutaan q. kvartiiliksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. kvartiili jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta 25×q % on q. kvartiilista vasemmalla ja (100 − 25×q) % on q. kvartiilista oikealla. Kvartiileja merkitään tavallisesti symboleilla Q1, Q2, Q3 ja sanotaan, että Q1 = alakvartiili Q2 = keskikvartiili Q3 = yläkvartiili TKK @ Ilkka Mellin (2008) 14/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kvartiilit jakavat jakauman todennäköisyysmassan neljään yhtä suureen osaan: 25 % massasta on kvartiilista Q1 vasemmalle 25 % massasta on kvartiilien Q1 ja Q2 välissä 25 % massasta on kvartiilien Q2 ja Q3 välissä 25 % massasta on kvartiilista Q3 oikealle Mediaani Jos p = 0.5 kvantiilia xp kutsutaan mediaaniksi. Mediaania merkitään tavallisesti symbolilla Me. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa mediaani Me jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen yhtä suureen osaan niin, että massasta 50 % on mediaanista vasemmalla ja 50 % on mediaanista oikealla. Jakauman mediaani ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Jakauman mediaani yhtyy jakauman 50. prosenttipisteeseen, 5. desiiliin ja keskikvartiiliin Q2. Mediaani voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa. Jos satunnaismuuttujan X jakauma on symmetrinen suoran x = a suhteen, niin jakauman mediaani yhtyy pisteeseen a: Me = a Jos symmetrisellä jakaumalla on odotusarvo E(X) = µ, niin jakauman mediaani yhtyy pisteeseen µ: Me = µ Moodi Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f(x) = Pr(X = x) Piste Mo on diskreetin satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos pistetodennäköisyysfunktio f(x) saavuttaa maksiminsa pisteessä x = Mo: f ( Mo) = max f ( x) x Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f ( x) Piste Mo on jatkuvan satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos tiheysfunktio f(x) saavuttaa maksiminsa pisteessä x = Mo: f ( Mo) = max f ( x) x TKK @ Ilkka Mellin (2008) 15/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Jakauman moodi ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Moodi voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa. TKK @ Ilkka Mellin (2008) 16/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Tehtävä 3.1. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa kuulaa. Poimitaan kummastakin uurnasta satunnaisesti yksi kuula sekä asetetaan uurnasta A poimittu kuula uurnaan B ja uurnasta B poimittu kuula uurnaan A. Poimitaan tämän jälkeen uurnasta B satunnaisesti kuula. Mikä on todennäköisyys, että poimittu kuula on valkoinen? Ohje: Konstruoi tehtävän ratkaisemista varten tarkoitukseen sopiva puumainen verkko. Tehtävä 3.1. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemista puumaisten verkkojen avulla. Tehtävä 3.1. – Ratkaisu: Tehtävän satunnaisilmiön tulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraava puuverkko: 4/10 6/10 6/10 4/10 6/10 4/10 7/10 Vaihe 1 6/10 3/10 5/10 4/10 5/10 6/10 Vaihe 2 4/10 Vaihe 3 ↑ Puun konstruktio perustuu siihen, että voidaan ajatella, että kuulat poimitaan kolmessa vaiheessa: Vaihe 1: Poimitaan kuula uurnasta A. Vaihe 2: Poimitaan kuula uurnasta B. Vaihe 3: Poimitaan kuula uurnasta B sen jälkeen, kun vaiheessa 1 uurnasta A poimittu kuula on pantu uurnaan B ja vaiheessa 2 uurnasta B poimittu kuula on pantu uurnaan A. Tarkastellaan puun konstruktiosta esimerkkinä reittiä, joka päättyy nuolella merkittyyn valkoiseen kuulaan: Vaihe 1: Uurnasta A poimitaan musta kuula; todennäköisyys = 6/10 Vaihe 2: Uurnasta B poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 6/10 Uurnasta A poimittu musta kuula pannaan uurnaan B ja uurnasta B poimittu valkoinen kuula pannaan uurnaan B. Tämän jälkeen uurnassa A on 5 valkoista ja 5 mustaa kuulaa ja myös uurnassa B on 5 valkoista kuulaa ja 5 mustaa kuulaa. Vaihe 3: TKK Uurnasta A poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 5/10 @ Ilkka Mellin (2008) 17/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Yo. puu koostuu 8 reitistä ja niistä 4 päättyy valkoiseen kuulaan. Todennäköisyys nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla: (i) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan jokaisen valkoiseen kuulaan päättyvän reitin todennäköisyys saadaan laskemalla ko. reitin särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien tulosääntö on yleisen tulosäännön sovellus. (ii) Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan valkoisiin kuuliin päättyvistä reiteistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön sovellus. Valkoiseen kuulaan vaiheessa 3 johtavat reitit yo. puudiagrammissa: VVV, VMV, MVV, MMV jossa V = valkoinen kuula M = musta kuula Siten todennäköisyydeksi nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 saadaan 4 6 6 4 4 7 6 6 5 6 4 6 580 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = 0.58 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1000 Tehtävä 3.2. Mies aikoo pelata uhkapeliä, jonka jokaisella kierroksella joko voittaa tai häviää euron. Kun mies aloittaa pelin, hänellä on yksi euro. Mies päättää pelata kunnes hänellä on kasassa 4 euroa tai kunnes hänen rahansa loppuvat, mutta kuitenkin korkeintaan 5 pelikierrosta. Millä todennäköisyydellä miehellä on lopettaessaan pelin kasassa täsmälleen 2 euroa, kun voiton todennäköisyys on kullakin pelikierroksella 1/4? Ohje: Konstruoi tehtävän ratkaisemista varten tarkoitukseen sopiva puumainen verkko. Tehtävä 3.2. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemista puumaisten verkkojen avulla. Ks. myös tehtävää 3.1. TKK @ Ilkka Mellin (2008) 18/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Tehtävä 3.2. – Ratkaisu: Konstruoidaan miestä pelissä kohtaavista vaihtoehdoista ensin puuverkko: 1 1/ 1/ 3/ 2 0 3/ 3 1/ 3/ 4 2 1/ 3/ 3 3/ 2 0 1/ 1 3/ 3/ 2 3/ 3 4 1/ 2 1/ 1/ 1 1/ 0 1 3/ 4 2 1/ 3/ 2 0 Luvut puuverkon pisteisiin asetetuissa neliöissä ilmaisevat miehen pääoman pelin eri vaiheissa ja luvut puuverkon särmien vieressä ilmaisevat eri vaihtoehtojen todennäköisyydet kussakin pelin vaiheessa. Tiedämme, että Pr(Mies voittaa euron) = 1/4 Pr(Mies häviää euron) = 1 – 1/4 = 3/4 Näemme, että mahdollisia lopputiloja, joissa miehellä on täsmälleen 2 euroa, on 4 kappaletta. Todennäköisyys, että miehellä on lopettaessaan pelin täsmälleen 2 euroa, voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla: TKK (i) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan jokaisen valkoiseen kuulaan päättyvän reitin todennäköisyys saadaan laskemalla ko. reitin särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien tulosääntö on yleisen tulosäännön sovellus. (ii) Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan valkoisiin kuuliin päättyvistä reiteistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön sovellus. @ Ilkka Mellin (2008) 19/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Saamme: Pr(Miehellä on lopettaessaan pelin täsmälleen 2 euroa) 1 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9 9 9 = 4⋅ 5 = 4 = ≈ 0.0352 256 4 4 Tehtävä 3.3. Seuraava kuva esittää sähköistä verkkoa, jossa on 5 komponenttia, joista jokaisen toimintatodennäköisyys on p. Oletetaan, että komponenttien vikaantumiset ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia. Mikä on todennäköisyys, että verkko toimii, ts. virta kulkee verkon läpi? 1 2 4 5 3 Tehtävä 3.3. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan toimintaverkon toimintatodennäköisyyden määräämistä. Tehtävä 3.3. – Ratkaisu: Kaavion toimintaverkko koostuu seuraavista sarjaan kytketyistä osista: Osa 1: Komponenttien 1, 2 ja 3 muodostama rinnankytkentä, joka voidaan purkaa komponenttien 1 ja 2 muodostamaksi rinnankytkennäksi, joka on kytketty rinnan komponentin 3 kanssa. Osa 2: Komponentti 4 Osa 3: Komponentti 5 Olemme olettaneet, että toimintaverkossa yhdenkään komponentin toiminta tai toimimattomuus ei riipu muiden komponenttien toiminnasta. Tällöin toimintaverkon toimintatodennäköisyys saadaan soveltamalla seuraavia sääntöjä: (i) Jos komponentit A ja B on kytketty rinnan, kytkennän toimintatodennäköisyys on yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii tai B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) – Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) – Pr(A toimii)Pr(B toimii) TKK @ Ilkka Mellin (2008) 20/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B (ii) 3. harjoitukset Jos komponentit A ja B on kytketty sarjaan, kytkennän toimintatodennäköisyys on riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii)Pr(B toimii) Komponenttien 1 ja 2 muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä p + p − p × p = 2 p − p2 Komponenttien 1, 2 ja 3 muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä 2 p − p 2 + p − (2 p − p 2 ) × p = 3 p − 3 p 2 + p 3 Koska tehtävän kaavion kuvaama toimintaverkko koostuu komponenttien 1, 2 ja 3 rinnan kytkennän kytkennästä sarjaan komponenttien 4 ja 5 kanssa, verkon toimintatodennäköisyydeksi saadaan: (3 p − 3 p 2 + p 3 ) × p × p = 3 p 3 − 3 p 4 + p 5 Tehtävä 3.4. Olkoon asetelmana sama kuin tehtävässä 3.2., mutta mies päättää pelata peliä korkeintaan 3 kierrosta. Olkoon satunnaismuuttuja X = Miehen pääoma hänen lopettaessaan pelin (a) Määrää todennäköisyydet tapahtumille X = 0, 1, 2, 3, 4 puuverkkoa käyttäen ja määrittele niiden avulla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja paperille. (b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja paperille. (c) Mikä on tapahtuman X = 1.5 todennäköisyys? (d) Määrää tapahtuman X > 1 todennäköisyys pistetodennäköisyysfunktion avulla. (e) Määrää tapahtuman X > 1 todennäköisyys kertymäfunktion avulla. (f) Määrää satunnaismuuttujan X odotusarvo. (g) Määrää satunnaismuuttujan X varianssi. Tehtävä 3.4. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan diskreetin satunnaismuuttujan määrittelemistä yksinkertaisen esimerkin tapauksessa sekä ko. satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktion ja kertymäfunktion konstruoimista sekä odotusarvon ja varianssin määräämistä ko. satunnaismuuttujalle. Tehtävä 3.4. – Ratkaisu: (a) Jos olet onnistunut konstruoimaan tehtävän 3.2. puuverkon oikein, voit lukea verkosta seuraavien tapahtumien todennäköisyydet. Pr(Miehelle jää 0 euroa) = 1 3 3 3 57 ⋅ ⋅ + = ≈ 0.8906 4 4 4 4 64 Pr(Miehelle jää 1 euro) = 0 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 21/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Pr(Miehelle jää 2 euroa) = 3. harjoitukset 1 1 3 1 3 1 6 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ≈ 0.0938 4 4 4 4 4 4 64 Pr(Miehelle jää 3 euroa) = 0 Pr(Miehelle jää 4 euroa) = 1 1 1 1 ⋅ ⋅ = ≈ 0.0156 4 4 4 64 Siten diskreetin satunnaismuuttujan X = Miehen pääoma lopettaessaan pelin pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: x f(x) = Pr(X = x) 0 57/64 1 0 2 6/64 3 0 4 1/64 Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja: Pistetodennäköisyysfunktio f(x) 1.0 f(x) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 (b) 2 3 4 x Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio voidaan määritellä kaavalla F ( x) = ∑ Pr( X = x ) i xi ≤ x TKK 1 i @ Ilkka Mellin (2008) 22/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Summassa lasketaan yhteen kaikki pistetodennäköisyydet Pr( X = xi ) joille pätee xi ≤ x Siten diskreetin satunnaismuuttujan X = Miehen pääoma lopettaessaan pelin kertymäfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: x F(x) <0 0 0≤x<2 57/64 2≤x<4 63/64 4≤x 1 Kertymäfunktion kuvaaja välillä [–1, 5]: Kertymäfunktio F(x) 1.0 F(x) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 (c) 1 2 3 4 x Koska tapahtuma X = 1.5 on mahdoton, Pr(X = 1.5) = 0 (d) Tapahtuman X>1 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 23/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset todennäköisyys saadaan satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiosta laskemalla niiden tulosvaihtoehtojen pistetodennäköisyydet yhteen, joissa mies voittaa enemmän kuin 1 euron. Siten Pr(X > 1) = Pr(X = 2) + Pr(X = 3) + Pr(X = 4) = 6/64 + 0 + 1/64 = 7/64 (e) Tapahtuman X>1 todennäköisyys saadaan satunnaismuuttujan X kertymäfunktiosta seuraavalla tavalla: Pr(X > 1) = 1 – Pr(X ≤ 1) = 1 – F(1) = 1 – 57/64 = 7/64 (f) Jos satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X odostusarvo E(X) saadaan kaavalla: E( X ) = ∑ xi Pr( X = xi ) i Siten E( X ) 4 = ∑ i Pr( X = i ) i =0 = 0 × Pr( X = 0) + 1× Pr( X = 1) + 2 × Pr( X = 2) + 3 × Pr( X = 3) + 4 × Pr( X = 4) 57 6 1 = 0 ⋅ + 1⋅ 0 + 2 ⋅ + 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 64 64 64 1 = 4 Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan painopiste. (g) Käytetään satunnaismuuttujan X varianssin laskemiseen kaavaa Var( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 Jos satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X 2. origomomentti E(X2) saadaan kaavalla: TKK @ Ilkka Mellin (2008) 24/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset E( X 2 ) = ∑ xi2 Pr( X = xi ) i Siten E( X 2 ) 4 = ∑ i 2 Pr( X = i ) i =0 = 02 × Pr( X = 0) + 12 × Pr( X = 1) + 22 × Pr( X = 2) + 32 × Pr( X = 3) + 42 × Pr( X = 4) 57 6 1 = 0 ⋅ + 1⋅ 0 + 4 ⋅ + 9 ⋅ 0 + 16 ⋅ 64 64 64 5 = 8 Satunnaismuuttujan X odotusarvoksi saatiin (f)-kohdassa E( X ) = 1 4 Siten 2 5 1 9 Var( X ) = E( X ) − [E( X )] = − = = 0.5625 8 4 16 2 2 Satunnaismuuttujan X varianssi kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen suhteen. Tehtävä 3.5. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on muotoa ax 2 − 2ax , kun 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 0 , muulloin (a) Määrää vakion a < 0 arvo. (b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. (c) Määrää tapahtuman X = 0.5 todennäköisyys. (d) Määrää tapahtuman 0 ≤ X ≤ 0.25 todennäköisyys tiheysfunktion avulla. (e) Määrää tapahtuman 0 ≤ X ≤ 0.25 todennäköisyys kertymäfunktion avulla. Tehtävä 3.5. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktiota ja kertymäfunktiota. Tehtävä 3.5. – Ratkaisu: (a) Kaikille tiheysfunktioille f(x) pätee +∞ ∫ f ( x)dx = 1 −∞ TKK @ Ilkka Mellin (2008) 25/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Siten saamme yhtälöstä 1 1 2 1 1 = ∫ (ax − 2ax)dx = ax 3 − ax 2 = − a 3 3 0 0 2 ratkaisuksi a = –3/2 Satunnaismuuttujan X tiheysfunktion yhtälöksi saadaan siten 3 2 − x + 3x , 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 2 0 , muulloin Tiheysfunktion kuvaaja välillä [0, 1]: Tiheysfunktio f(x) 1.5 f(x) 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x (b) Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), sen kertymäfunktio saadaan kaavalla x F ( x) = ∫ f (t )dt −∞ Koska tehtävän tapauksessa 3 2 − x + 3x , 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 2 0 , muulloin saadaan kertymäfunktioksi välillä [0, 1] x x 3 3 3 3 3 F ( x) = ∫ − t 2 + 3t dt = − t 3 + t 2 = − x3 + x 2 2 2 0 6 2 6 0 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 26/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Lisäksi F(x) = 0 , jos x ≤ 0 F(x) = 1 , jos x ≥ 1 Kertymäfunktion kuvaaja välillä [0, 1]: Kertymäfunktio F(x) 1.5 F(x) 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x (c) Koska jatkuvilla jakaumilla jokaisen yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, Pr(X = 0.5) = 0 (d) Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), välin [a, b] todennäköisyys saadaan kaavalla b Pr(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx a Siten välin [0, 0.25] todennäköisyydeksi saadaan: 0.25 Pr(0 ≤ X ≤ 0.25) = ∫ 0 (e) 0.25 3 2 3 3 3 − x + 3 x dx = − x + x 2 0 2 6 = 33 ≈ 0.0859 384 Jos jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on F(x), välin [a, b] todennäköisyys saadaan kaavalla Pr(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a ) Siten välin [0, 0.25] todennäköisyydeksi saadaan (koska F(0) = 0): 3 2 31 31 33 Pr(0 ≤ X ≤ 0.25) = F ( ) − F (0) = − + = ≈ 0.0859 6 4 2 4 384 1 4 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 27/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Tehtävä 3.6. Määrää tehtävän 3.5. todennäköisyysjakauman odotusarvo ja varianssi. Tehtävä 3.6. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan odotusarvon ja varianssin määräämistä tehtävän 3.5. jatkuvalle satunnaismuuttujalle. Tehtävä 3.6. – Ratkaisu: Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) saadaan kaavalla: +∞ E( X ) = ∫ xf ( x)dx −∞ Siten 1 1 5 3 3 E( X ) = ∫ x − x 2 + 3 x dx = − x 4 + x3 = = 0.625 2 8 0 8 0 Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan painopiste. Käytetään varianssin laskemiseen kaavaa D 2 ( X ) = E( X 2 ) − [ E( X ) ] 2 jossa E( X ) = satunnaismuuttujan X odotusarvo E( X 2 ) = satunnaismuuttujan X 2. momentti Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X 2. origomomentti E( X 2 ) saadaan kaavalla: +∞ ∫x E( X ) = 2 2 f ( x)dx −∞ Siten 1 1 3 9 3 3 E( X ) = ∫ x − x 2 + 3 x dx = − x 5 + x 4 = 4 0 20 2 10 0 2 2 Satunnaismuuttujan X odotusarvoksi saatiin edellä E( X ) = 5 8 Siten satunnaismuuttujan X varianssi on 2 9 5 19 Var( X ) = E( X ) − [E( X )] = − = ≈ 0.0594 20 8 320 2 TKK 2 @ Ilkka Mellin (2008) 28/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Satunnaismuuttujan X varianssi kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen suhteen. Tehtävä 3.7. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on muotoa 0, x ≤ 0 2 F ( x) = − x + bx, 0 ≤ x ≤ 1 1, x ≥ 1 (a) Määrää vakion b arvo. (b) Määrää tapahtuman X = 0.5 todennäköisyys. (c) Määrää tapahtuman 0.25 ≤ X ≤ 0.5 todennäköisyys. (d) Määrää satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tehtävä 3.7. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktiota ja kertymäfunktiota. Tehtävä 3.7. – Ratkaisu: (a) Koska tehtävän kertymäfunktiolle F(x) pätee F(1) = 1, saadaan yhtälöstä –1 + b = 1 ratkaisuksi b = 2. (b) Koska jatkuvalla jakaumalla jokaisen yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, Pr(X = 0.5) = 0 (c) Jos jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on F(x), välin [a, b] todennäköisyys saadaan kaavalla Pr(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a ) Siten tapahtuman 0.25 ≤ X ≤ 0.5 todennäköisyydeksi saadaan Pr(0.25 ≤ X ≤ 0.5) = F(0.5) – F(0.25) = 5/16 (d) Jos jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on F(x), niin sen tiheysfunktio saadaan kaavalla f ( x) = d F ( x) dx Siten tehtävän satunnaismuuttujan X tiheysfunktioksi saadaan välillä [0, 1]: TKK @ Ilkka Mellin (2008) 29/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B f ( x) = 3. harjoitukset d d F ( x ) = ( − x 2 + 2 x ) = −2 x + 2 dx dx Tämän välin ulkopuolella: f(x) = 0 Tehtävä 3.8. Määrää tehtävän 3.7. todennäköisyysjakauman odotusarvo ja standardipoikkeama. Tehtävä 3.8. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan odotusarvon ja standardipoikkeaman määräämistä tehtävän 3.7. jatkuvalle satunnaismuuttujalle. Tehtävä 3.8. – Ratkaisu: Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) saadaan kaavalla: +∞ E( X ) = ∫ xf ( x)dx −∞ Siten +∞ 1 1 2 1 E( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ x(−2 x + 2)dx = − x3 + x 2 = ≈ 0.333 3 0 3 0 −∞ Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan painopiste. Standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri. Määrätään siksi ensin satunnaismuuttujan X varianssi. Käytetään varianssin laskemiseen kaavaa D 2 ( X ) = E( X 2 ) − [ E( X ) ] 2 jossa E( X ) = satunnaismuuttujan X odotusarvo E( X 2 ) = satunnaismuuttujan X 2. momentti Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X 2. origomomentti E( X 2 ) saadaan kaavalla: +∞ E( X 2 ) = ∫x 2 f ( x)dx −∞ Siten +∞ 1 1 2 1 2 E( X ) = ∫ x f ( x )dx = ∫ x ( −2 x + 2)dx = − x 4 + x 3 = 3 0 6 4 −∞ 0 2 TKK 2 2 @ Ilkka Mellin (2008) 30/31 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 3. harjoitukset Satunnaismuuttujan X odotusarvoksi saatiin edellä E( X ) = 1 3 Siten satunnaismuuttujan X varianssi on D 2 ( X ) = E( X 2 ) − [ E( X ) ] 2 2 1 1 − 6 3 1 = ≈ 0.0555 18 = Satunnaismuuttujan X varianssi kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen suhteen. Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri: D( X ) = TKK 1 3 2 ≈ 0.236 @ Ilkka Mellin (2008) 31/31