Fourier`n integraalimuunnoksesta

f (n )
n
4. Fourier’n integraalimuunnoksesta
Luentomonisteessa [1, §11.4] Fourier-muunnos mainitaan lyhyesti. Koska muunnos on sovellusten kannalta tärkeä ja sen ominaisuudet ovat erityisen eleganttteja
Hilbertin avaruuden L2 (Rn ) tapauksessa, selvitellään muunnosta hieman tarkemmin.
Lähteinä [2, §VIII.4], [3, luku 9], [4, luku V], [5, §V.2], [6, §VI.1].
Olkoon aluksi f ∈ L1 (Rn ). Funktion f Fourier’n integraalimuunnos määritellään
kaavalla
Z
1
(1)
F1 f (ξ) := fˆ(ξ) :=
f (x) e−iξ·x dx, ξ ∈ Rn ,
n/2
(2π)
Rn
missä ξ · x on vektoreiden ξ, x ∈ Rn sisätulo.
Koska integroitavalla on integroituva majorantti, seuraa dominoidun konvergenssin lauseesta
Lause 4.1. Kuvaus F1 : L1 (Rn ) → Cb (Rn ) on jatkuva lineaarikuvaus.
Tässä Cb (Rn ) on kaikkien jatkuvien ja rajoitettujen funktioiden g : Rn → C Banachin avaruus sup-normilla varustettuna. Pitää paikkansa enemmänkin: F1 (L1 (Rn )) ⊂
C0 (Rn ) = {g ∈ Cb (Rn ) | g(ξ) → 0, kun kξk → ∞} (ks. [5, Satz V.2.2] tai [3, Theorem 9.6]). Fourier’n muunnoksen kuvajoukon karakterioiminen on kutakuinkin mahdotonta. Sen takia tarkastellaan aluksi muunnoksen rajoittumaa osajoukkoon, jossa
Fourier’n muunnos ”toimii hyvin”.
Merkintöjä: Kun α ∈ Nn ja x ∈ Rn , asetetaan |α| := α1 + . . . αn , xα := xα1 1 · · · xαnn
ja Dα := ∂1α1 · · · ∂nαn .
Sanotaan, että funktio f : Rn → C on nopeasti vähenevä, jos jokaiselle α ∈ Nn
on xα f (x) → 0, kun kxk → ∞. Yhtäpitävästi f on nopeasti vähenevä, jos jokaiselle
k ∈ N on (1 + kxkk ) f (x) → 0, kun kxk → ∞. Joukko
S := S(Rn ) := {f : Rn → C | Dβ f on nopeasti vähenevä kaikille β ∈ Nn }
on ns. Schwartzin avaruus.1 Funktion f ∈ S Fourier’n muunnosta merkitään Ff .
Lause 4.2. Kaikille f ∈ S ja α ∈ Nn on
Dα (Ff )(ξ) = (−i)|α| F(xα f )(ξ)
F(Dα f )(ξ) = i|α| ξ α Ff (ξ)
Todistus. Olkoon α = ej .
Koska f on nopeasti vähenevä, on
Z
Z
∂
1
1
−iξ·x
f (x) (−ixj ) e−iξ·x dx.
∂j (Ff )(ξ) =
(f (x) e
) dx =
(2π)n/2 Rn ∂ξj
(2π)n/2 Rn
Yleinen tulos seuraa induktiolla.
1Tarkkaan
ottaen S on Schwartzin avaruus vasta, kun siihen määritellään sopiva topologia.
2
Vastaavalla tavalla kuin edellä
Z
1
F(∂j f )(ξ) =
∂j f (x) e−iξ·x dx
(2π)n/2 Rn
Z
1
f (x) iξj e−iξ·x dx
=
(2π)n/2 Rn
osittaisintegroidaan xj :n suhteen
ja käytetään Fubinin lausetta
sijoitustermin raja-arvot,
kun xj → ±∞, häviävät
Yleinen tulos seuraa jälleen induktiolla.
Seuraus 4.3.
F(S) ⊂ S.
1
Lause 4.4. Kaikille f ∈ S on
(2π)n/2
Z
fˆ(ξ) eix·ξ dξ = f (x).
Rn
Todistus. Osoitetaan aluksi, että kaikille f , g ∈ S on
Z
Z
ix·ξ
ˆ
(2)
g(ξ) f (ξ) e dξ =
ĝ(y) f (x + y) dy.
Rn
Rn
Yhtälön vasen puoli on
Z
Z
ix·ξ
ˆ
g(ξ) f (ξ) e dξ =
Z
1
−iξ·y
f (y) e
dy eix·ξ dξ
g(ξ)
n/2
(2π)
Rn
Rn
Z Z
1
(∗)
−iξ·(y−x)
g(ξ) e
dξ f (y) dy
=
(2π)n/2 Rn Rn
Z
ĝ(y − x) f (y) dy,
=
Rn
Rn
josta muuttujanvaihdolla y − x = z saadaan kaavan (2) oikea puoli. Kohdassa (∗) on
käytetty Fubinin lausetta, mikä on sallittua, koska funktio
(y, ξ) 7→ g(ξ) f (y) e−iξ·y eix·ξ on integroituva joukossa Rn × Rn .
Sijoitetaan kaavaan (2) g(ξ) := h(ε ξ), missä ε > 0 ja h valitaan tarkemmin
myöhemmin. Muuttujanvaihdolla ε ξ =: z saadaan
Z
Z
1
1
−iξ·y
−n
ĝ(y) =
h(ε ξ) e
dξ = ε
h(z) e−iz·y/ε dz = ε−n ĥ(y/ε).
(2π)n/2 Rn
(2π)n/2 Rn
Kaavasta (2) saadaan muuttujanvaihdolla y/ε =: z
Z
Z
Z
ix·ξ
−n
ˆ
h(ε ξ) f (ξ) e dξ = ε
ĥ(y/ε) f (x + y) dy =
ĥ(z) f (x + ε z) dz.
Rn
Rn
Rn
−kzk2 /2
. Kun ε → 0+, saadaan dominoidun konvergenssin
Z
ix·ξ
ˆ
f (ξ) e dξ = f (x)
ĥ(z) dz.
Rn
Rn
R
Tässä h(0) = 1 ja ĥ(z) = h(z). Lisäksi Rn h(z) dz = 1.2
Valitaan nyt h(z) := e
lauseen nojalla
Z
h(0)
Seuraus 4.5. F on bijektio S → S ja (F−1 g)(x) = Fg(−x).
2Todistus
jää harjoitustehtäväksi. Vihjeitä: laske ensin
√ tapaus n = 1; derivoi ĥ(z) z:n suhteen;
R
0
saat differentiaaliyhtälön ĥ (z) = −z ĥ(z). Rn h(z) dz = 2π on ”What every young mathematician
should know”. Siinäpä se.
3
Seuraus 4.6 (Parseval/Plancherel). Kaikille f , g ∈ S on
Z
Z
ˆ
(3)
g(ξ) f (ξ) dξ =
ĝ(y) f (y) dy
Rn
Rn
Z
Z
f (x) g(x) dx =
(4)
fˆ(−ξ) ĝ(−ξ) dξ
Rn
Rn
Todistus. Kaava (3) seuraa kaavasta (2) sijoittamalla x = 0.
Kaava (4) seuraa kaavasta (3), koska F g(ξ) = Fg(−ξ).
Lause 4.7. Fourier’n integraalimuunnos F : S → S laajenee isometrisesksi isomorfismiksi F2 : L2 (Rn ) → L2 (Rn ).
Todistus. Osoitetaan aluksi, että S on tiheä avaruudessa L2 (Rn ),
Osoitetaan yleisemmin:
n
p
n
Lemma. Kun 1 ≤ p < ∞, joukko C∞
c (R ) on tiheä avaruudessa L (R ).
Tässä
n
∞
n
C∞
c (R ) := {u ∈ C (R ) | supp u on kompakti}
ja jatkuvan funktion u kantaja supp u := {x | u(x) 6= 0}.
Olkoon f ∈ Lp (Rn ). Voidaan olettaa, että riittävän isolle R > 0 on f (x) = 0, kun
kxk > R. Nimittäin,
jos g(x) := f (x), kun kxk ≤ R, ja g(x) := 0, kun kxk > R, on
R
kf − gkpp = kxk>R |f (x)|p dx → 0, kun R → ∞, koska |f |p ∈ L1 (Rn ).
∞
n
R Olkoon nyt ϕ3 ∈ C (R ) sellainen, että ϕ ≥−n 0, ϕ(x) = 0, kun kxk > 1, ja
ϕ(x) dx R= 1. Kun ε > 0, olkoon ϕε (x) := ε ϕ(x/ε). Tällöin ϕε (x) = 0, kun
Rn
kxk > ε, ja Rn ϕε (x) dx = 1.
R
R
Asetetaan fε (x) := (f ∗ ϕε )(x) = Rn f (x − y) ϕε (y) dy = Rn f (z) ϕε (z − x) dz.
Jos nyt f (x) = 0, kun kxk > R, on fε (x) = 0, kun kxk > R + ε. Parametrista
n
riippuvan integraalin differentiointilauseen nojalla fε ∈ C∞ (Rn ). Siis fε ∈ C∞
c (R ).
0
Olkoon p luvun p konjugaattieksponentti. Oletetaan, että 1 < p < ∞, jolloin
1 < p < ∞ ja p1 + p10 = 1. Tapaus p = 1, p0 = ∞ on hieman helpompi ja jää lukijan
tehtäväksi.
Nyt
Z
1/p
1/p0 |fε (x)| = f (z) ϕε (z − x)
ϕε (z − x)
dz Rn
Z
1/p Z
1/p0
Hölder p
≤
|f (z)| ϕε (z − x) dz
ϕε (z − x) dz
.
Rn
Siis
Z
p
|fε (x)| dx ≤
Rn
Koska
Rn
Z Z
Rn
Rn
p
Fubini
|f (z)| ϕε (z − x) dz dx = kf kpp .
R
ϕε (y) dy = 1, on
Z
Z
fε (x) − f (x) =
(f (x − y) − f (x)) ϕε (y) dy =
(Ty f (x) − f (x)) ϕε (y) dy,
Rn
Rn
3Tällaisia
Rn
on olemassa: esimerkiksi ϕ(x) := c ψ(1 − kxk2 ), missä ψ(t) := e−1/t , kun t > 0, ja
ψ(t) := 0, kun t ≤ 0, ja c valitaan sopivasti.
4
missä Ty f (x) := f (x − y). Kuten edellä saadaan
Z
p
kfε − f kp ≤
kTy f − f kpp ϕε (y) dy.
Rn
Voidaan osoittaa, että kTy f −f kp → 0, kun y → 0 (ks. [3, Theorem 9.5]). Jokaiselle
η > 0 voidaan valita ε > 0 siten, että kTy f − f kp ≤ η, kun kyk ≤ ε. Koska ϕε (y) = 0,
kun kyk > ε, on
Z
Z
p
p
η p ϕε (y) dy = η p .
kTy f − f kp ϕε (y) dy ≤
kfε − f kp ≤
Rn
kyk≤ε
Erityisesti, joukko S on tiheä avaruudessa L (R ).
2
n
Lemma
Kun F : S → S on L2 -normin suhteen isometrinen bijektio ja S on tiheä avaruudessa L2 (Rn ), on suhteellisen helppoa määritellä laajennus F2 ja osoittaa se isometriseksi
bijektioksi L2 (Rn ) → L2 (Rn ). Tämä tehdään myöhemmin yleisemmin.
Lause
Huomautus 4.8. Koska L2 (Rn ) 6⊂ L1 (Rn ), funktion f ∈ L2 (Rn ) Fourier’n muunnosta ei voi laskea integraalina (1). Koska S on tiheä yhtälailla avaruudessa L1 (Rn ),
on helppo osoittaa, että jos g ∈ L2 (Rn ) ∩ L1 (Rn ), on F2 g = F1 g. Erityisesti, jos funktiolle f ∈ L2 (Rn ) asetetaan fR (x) := f (x), kun kxk ≤ R, ja fR (x) := 0, kun kxk > R,
on fR ∈ L2 (Rn ) ∩ L1 (Rn ) ja F1 fR → F2 f avaruudessa L2 (Rn ).
Kirjallisuutta
[1] Lauri Kahanpää: Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua – osa II, Jyväskylän yliopisto,
Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, 2004.
[2] Serge Lang: Real and functional analysis, kolmas laitos, Graduate Texts in Mathematics 142,
Springer-Verlag, 1993. Aiemman laitokset ovat nimiltään Analysis II, Addison-Wesley, 1969;
Real analysis, Addison-Wesley, 1983.
[3] Walter Rudin: Real and complex analysis, toinen laitos, Tata McGraw-Hill, 1979.
[4] Laurent Schwartz : Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Collection Enseignement des Sciences 3. Hermann, 1998.
[5] Dirk Werner: Funktionalanalysis, 4., überarbeitete auflage, Springer, 2002.
[6] Kôsaku Yosida: Functional analysis, neljäs laitos, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band
123, Springer-Verlag, 1974. Kirjan kuudes laitos vuodelta 1980 uudelleenjulkaistu sarjassa Classics in Mathematics, 1995.