Esitelmä

Transcription

Esitelmä
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäisten todennäköisyysjakaumien
vaikutuksista vakuutusmatemaattisiin
malleihin
Jaakko Lehtomaa
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Helsingin yliopisto
20.10.2015
Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous
Paksuhäntäiset jakaumat
Esityksen Sisältö
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Motivaatio
Diskonttausmalli
Yhdistetty Malli
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Yhteenveto
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Sisältö:
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Motivaatio
Diskonttausmalli
Yhdistetty Malli
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Yhteenveto
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Määritelmä
I
Reaaliarvoinen satunnaismuuttuja X on paksuhäntäinen
tai noudattaa paksuhäntäistä jakaumaa, jos
E(esX ) = ∞
kaikilla s > 0
I
Tyypillisiä esimerkkejä: Pareto, Weibull ja lognormaalit
jakaumat
I
Intuitio: Häntäfunktio vähenee hitaammin kuin
eksponettifunktio
I
Jos satunnaismuuttuja ei ole paksuhäntäinen, niin se on
kevythäntäinen
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Vaihtoehtoinen Ekvivalentti Määritelmä
I
Paksuhäntäisyys perustuu nimensä mukaisesti
häntäfunktion F (x) := P(X > x) ominaisuuksiin
I
Vaihtoehtoinen määritelmä: satunnaismuuttuja X on
paksuhäntäinen täsmälleen silloin, kun
lim inf
x→∞
− log P(X > x)
= 0.
x
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Esimerkki (Weibull)
I
Jos
α
F (x) = e−x ,
missä x ≥ 0 ja α > 0, niin
I
I
I
häntä on paksu, kun α ∈ (0, 1) ja
häntä on kevyt, kun α ≥ 1
Perustelu:
xα
− log P(X > x)
=
→ 0 ⇐⇒ α ∈ (0, 1)
x
x
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Paksuhäntäisten Muuttujien Ilmeneminen, Esimerkki
I
Paksuhäntäisiä satunnaismuuttujia muodostuu stokastisiin
malleihin satunnaismuuttujien tulojen kautta.
I
Olkoot X1 ja X2 riippumattomia ja samoin jakautuneita.
I
X1 ∼ Exp(1), eli F X1 (x) = e−x , kun x ≥ 0.
√
Nyt P(X1 X2 > x) ≥ P(X1 > x)2 , joten
I
−2 log P(X1 >
− log P(X1 X2 > x)
≤
x
x
I
√
x)
→ 0.
Siis satunnaismuuttuja X1 X2 on paksuhäntäinen.
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Motivaatio
Sisältö:
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Motivaatio
Diskonttausmalli
Yhdistetty Malli
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Yhteenveto
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Motivaatio
Mihin Paksuhäntäisiä Muuttujia Tarvitaan?
I
Paksuhäntäisillä satunnaismuuttujilla voidaan mallintaa
stokastisia ilmiöitä
I
Monet reaalimaailman ilmiöt vaikuttavat sisältävän
paksuhäntäisiä osia
I
Kevythäntäisellä muuttujalla X pätee
P(X > x) ≤ C1 e−C2 x
I
joillakin C1 , C2 > 0
Eksponentiaalinen vähenemisvauhti vahinkojen hännälle
vaikuttaa epäuskottavalta ainakin:
I
I
I
Tietyssä palovakuutusdatassa
Tulvapatojen vesimäärien mallinnuksessa
Katastrofivakuutuksessa
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Motivaatio
Paksuhäntäisiä Ilmiöitä
1. Jäljellä oleva odotusaika ei välttämättä lyhene, vaikka on
odotettu jo kauan:
P(X > y + x|X > x) =
P(X > y + x)
→ 1,
P(X > x)
x →∞
2. Summa ja maksimi voivat olla suunnilleen yhtä vaarallisia
(subexponentiaalisuus):
P(max(X1 , X2 ) > x)
→ 1,
P(X1 + X2 > x)
x →∞
3. Todennäköisin tapa, jolla summa ylittää suuren kiinteän
tason on se, että tasan yksi summan jäsen yksin ylittää
tason (yhden suuren hypyn periaate)
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Motivaatio
Esitelmän Tavoite
I
Tarkastella kahden yleisen vakuutusmatemaattisen mallin
asymptoottista käyttäytymistä, kun jotkut mallin osat ovat
paksuhäntäisiä
I
I
I
I
Tarkastelu tehdään momenttien tasolla
Todistukset ohitetaan
Keskitytään rajoittamattoman aikajänteen tarkasteluihin
Tarkastella yleistä paksuhäntäisille satunnaismuuttujille
tyypillistä ominaisuutta yksinkertaisimmassa
mahdollisessa viitekehyksessä
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Sisältö:
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Motivaatio
Diskonttausmalli
Yhdistetty Malli
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Yhteenveto
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Klassinen Satunnaiskulkumalli
I
Tarkastelee satunnaiskulun
Sn = B1 + B2 + . . . + Bn
todennäköisyyttä ylittää ennalta annettu taso U0 > 0
I
Satunnaiskulku esittää tappiota ja U0 (tai lyhyemmin x)
alkuvarallisuutta
I
(Bi )∞
i=1 i.i.d.
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Vararikkotodennäköisyydet Klassisessa Mallissa
I
Kiinnostuksen kohteina ovat vararikkotodennäköisyydet:
I
I
I
P(Sk > x jollakin 1 ≤ k ≤ n) ja
P(Sk > x jollakin k )
Täsmällinen vararikkotodennäköisyyksien laskeminen on
haastavaa
I
I
Vararikkotodennäköisyydelle muodostetaan arvioita
Luonnollisin oletuksin päädytään Cramérin-Lundbergin
arvioihin
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Yleinen Vararikkomalli
I
Tarkastellaan klassisen satunnaiskulkumallin sijasta
yleisempää mallia
I
Vuoden n kokonaistappio on muotoa
Yn = B1 + A1 B2 + A1 A2 B3 + . . . + A1 . . . An−1 Bn
I
Satunnaisesti painotettu versio satunnaiskulusta
I
Palautuu satunnaiskulkumalliin valinnalla Ai = 1 kaikilla i
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Yleisen Vararikkomallin Motivointi
I
Alkupääoma U0 > 0 ja vuoden n lopun pääoma Un
I
Pääoman kehitys määräytyy rekursiivisesti:
Un = (1 + rn )(Un−1 − Bn ),
n = 1, 2, . . . ,
missä rn kuvaa tuottoa ja Bn kokonaisvahinkomäärää.
I
Prosessin (Un ) avulla voidaan määrätä vararikkohetki T :
TU0 = inf{n : Un < 0}.
Toisaalta, jos asetetaan An = 1/(1 + rn ), niin oletuksella
rn > −1 pätee
TU0 = inf{n : Yn > U0 }.
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Yleisen Vararikkomallin Tulkinta
Vuosiin n = 1, 2, 3 . . . liitetään satunnaismuuttujat:
Bn Vuoden n kokonaisvahinkomäärä vakuutustoiminnasta
An Vuoteen n liittyvä finanssiriski
Yn Vuoteen n liittyvä kokonaistappio,
Y0 := 0, Yn =
n
X
i=1
Bi
i−1
Y
j=1
Aj
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Siis:
Yn =
n
X
i=1
Bi
i−1
Y
Aj
j=1
Esimerkiksi:
Y1 = B1
Y2 = B1 + A1 B2
Y3 = B1 + A1 B2 + A1 A2 B3
..
.
Satunnaismuuttujien Ai ja Bi EI tarvitse olla riippumattomia
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Täsmälliset Oletukset
I Jono ((Ai , Bi ))∞
i=1 Koostuu i.i.d. vektoreista.
II Jonon (Ai )∞
i=1 jäsenet ovat aidosti positiivisia, eikä Ai ole
vakio 1.
III Jonon (Bi )∞
i=1 jäsenet ovat reaaliarvoisia ja P(B > 0) > 0.
I
Oletukset II ja III ovat minimaaliset:
I
I
I
Sijoitustoiminnassa voi menettää korkeintaan sijoittamansa
määrän
Jos A ≡ 1, niin tilanne palautuu klassiseen
satunnaiskulkumalliin
Jos B ≤ 0 melkein varmasti, niin vararikko on mahdoton
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Vararikkohetket
I
Oletetaan, että x > 0 on kiinteä alkuvarallisuus
I
Määritellään (rajoittamaton) vararikkohetki kaavalla
τ (x) = inf{n ∈ N : Yn > x}
I
I
Rajoitetun aikavälin vararikkohetki vastaavasti τn (x)
Määritellään suurimpia arvoja kuvaavat muuttujat
I
I
I
Ȳ = supk∈N {Yk }
Ȳn = sup1≤k≤n {Yk }
Nyt
{τ (x) < ∞} = {Ȳ > x} ja {τn (x) < ∞} = {Ȳn > x}
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Vararikko Hännän Avulla
Siis:
I
P(Yk > x jollakin k ) = P(τ (x) < ∞) = P(Ȳ > x)
I
P(Yk > x jollakin 1 ≤ k ≤ n) = P(τ (x) ≤ n) = P(Ȳn > x)
Seuraus:
I
Vararikkotodennäköisyyksien arviointi voidaan palauttaa
häntäfunktioiden P(Ȳ > x) ja P(Ȳn > x) tarkasteluun
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Vararikkotodennäköisyydestä
I
Tavoitteena on selvittää miten vararikkotodennäköisyys
muuttuu, kun alkuvarallisuus kasvaa
I
Mitä vauhtia vararikon mahdollisuus pienenee
alkupääoman kasvaessa?
I
Monien paksuhäntäisten riskien tapauksessa oikea
vähenemisvauhti vararikkotodennäköisyydelle on
polynominen
I
Kiinnostavat suureet ovat tällöin:
lim inf
x→∞
log P(Ȳ > x)
log x
ja
lim sup
x→∞
log P(Ȳ > x)
log x
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Vararikkotodennäköisyydestä
I
Jos
lim sup
x→∞
log P(Ȳ > x)
= −α,
log x
missä α ∈ (0, ∞), niin
P(Ȳ > x) ≤ x −α+
jokaisella > 0, kun x on riittävän suuri
I
Ylärajat tärkeimpiä vararikkoteoriassa
I
Kysymys: Miten paras vauhti α voidaan saada selville?
I
Vastaus: Momentti-indeksien avulla!
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Mikä On Momentti-indeksi?
I
Olkoon X satunnaismuuttuja. Asetetaan
I(X ) := sup{s ≥ 0 : E((X + )s ) < ∞}
I
Suure I(X ) on satunnaismuuttujan X momentti-indeksi
I
I(X ) ∈ [0, ∞]
Huomaa:
I
I
I
I
I
Momentti-indeksi on aina määritelty
Arvot 0 ja ∞ mahdollisia
E((X + )I(X ) ) voi olla äärellinen tai ääretön
Tulkinta: Pieni momentti-indeksi tarkoittaa korkeaa riskiä
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Tulos:
Satunnaismuuttujan Ȳ momentti-indeksi on esitetyin oletuksin
ja pienen teknisen lisäehdon vallitessa mahdollista laskea:
I(Ȳ ) = min(I1 (A), I(B)) ,
missä
I1 (A) = sup{s ∈ [0, ∞) : E(As ) ≤ 1}
ja
I(B) = sup{s ∈ [0, ∞) : E((B + )s ) < ∞}.
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Diskonttausmalli
Johtopäätökset Diskonttausmallista
1. Momentti-indeksit riippuvat vain satunnaismuuttujien
hännistä, joten koko jakaumaa ei tarvitse tietää
2. Momentti-indeksi I(B) ja Lundbergin eksponentti I1 (A)
määräävät suureen
lim sup
x→∞
log P(Ȳ > x)
= −I(Ȳ )
log x
3. Yleisin oletuksin:
I(Ȳ ) = min(I1 (A), I(B))
4. On löytetty paras vähenemisvauhti α diskonttausmallissa
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhdistetty Malli
Sisältö:
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Motivaatio
Diskonttausmalli
Yhdistetty Malli
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Yhteenveto
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhdistetty Malli
Yhdistetty Muuttuja
I
(Sn ) satunnaiskulku
I
N kokonaislukuarvoinen satunnaismuuttuja
SN = X1 + X2 + . . . + XN
I
Millä tavalla SN voi saavuttaa suuria arvoja, eli mikä
aiheuttaa suurvahingot yhdistetyssä mallissa?
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhdistetty Malli
Yhdistetyn muuttujan motivaatio
I
I
Miten muuttujan SN jakauma riippuu lisäyksistä ja
pysäytysmuuttujasta?
Vastaako muuttujan SN häntä funktiota
I E(N)P(X > x) vai funktiota
II P(E(X )N > x)?
I
Miten suuret kokonaisvahingot syntyvät?
I
I
I
Muutamasta suuresta vahingosta
Suuresta määrästä pieniä vahinkoja
Tarkastellaan muuttujan SN asymptotiikkaa momenttien
tasolla
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhdistetty Malli
Tavoite ja Oletukset
I
Tavoitteena löytää paras α ≥ 0, jolla lopulta
P(X1 + X2 + . . . + XN > x) ≤ x −α
I
Miten luku α riippuu muuttujista X ja N, kumpi dominoi?
I
Oletukset:
I Jonon (Xi ) jäsenet riippumattomia ja samoin jakautuneita
II Pysäytysmuuttuja N riippumaton jonosta (Xi )
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhdistetty Malli
Pysäytetyn summan momentit
Jos
1. Sn → ∞, kun n → ∞
2. Ainakin toinen odotusarvoista E(X ) tai E(N) on äärellinen,
niin
I(SN ) = min(I(X ), I(N))
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhdistetty Malli
Johtopäätökset Yhdistetystä Mallista
I
Tulkinta: Momenttien tarkkuudella muuttujan SN häntä
määräytyy täysin sen perusteella, kumpi muuttujista X ja N
on paksuhäntäisempi
I
Tulos on tätä yleisempi, yleisin oletuksin
satunnaismuuttujan SN häntä muistuttaa asymptoottisessa
mielessä sen jakauman X tai N häntää, joka vähenee
hitaammin, eli on paksumpi
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Sisältö:
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Määritelmät
Motivaatio
Diskonttausmalli
Yhdistetty Malli
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Yhteenveto
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Yhden Suuren Hypyn Periaate
I
Idea: Todennäköisin tapa, jolla summa on suuri on se, että
vain yksi muuttuja on suuri ja muut pieniä
I
Esiintyy subeksponentiaalisten muuttujien yhteydessä
I
Määritellään ilmiön tutkimista varten
satunnaismuuttujaperhe (Zd )d>0 seuraavasti:
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Prosessin Zd Määritelmä
I
Olkoot X1 ja X2 positiivisia ja i.i.d.
I
Asetetaan
X1 {X1 + X2 = d}
d
Tutkitaan muuttujan Zd käyttäytymistä rajalla d → ∞.
Zd :=
I
I
Tulkinta: Zd kuvaa ensimmäisen muuttujan X1 osuutta
summasta X1 + X2 , kun koko summan tiedetään olevan
suuri luku d.
Kuva: Muuttujan X1 |{X1 + X2 = 8} tiheys, kun X1 ∼ Weibull(a)
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Konvergenssityypit I ja II
I
Määritellään seuraavat konvergenssimahdollisuudet
prosessille (Zd ):
I) L(Zd ) → 12 δ0 + 12 δ1 ja
II) L(Zd ) → δ 1
2
I
L(Zd ) on muuttujan Zd jakauma
I
δx tarkoittaa pistemassaa pisteessä x ∈ {0, 1/2, 1}
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Konvergenssityyppien Tulkinta
I
Tyyppi I muistuttaa paksuhäntäistä käyttäytymistä:
I
I
I
L(Zd ) → 12 δ0 + 12 δ1
Jos summa X1 + X2 on suuri, niin toinen muuttujista on
suuri
Tyyppi II vastaa kevythäntäistä käyttäytymistä:
I
I
L(Zd ) → δ 1
2
Molemmat muuttujista X1 ja X2 tuottavat suunnilleen puolet
summasta
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Tavoite:
I
Etsiä muuttujien X1 ja X2 tiheysfunktioon f perustuva ehto,
josta käyttäytymistyypin voi määrätä
I
Lähestymistapa: tutkitaan muuttujan Zd tiheyttä fZd , jonka
voi laskea tiheyden f perusteella
Muuttujan Zd jakauma ei välttämättä suppene mihinkään
I
I
I
Miten voidaan päätellä, että Zd suppenee johonkin?
Miten voidaan päätellä rajajakauma?
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Tulos:
Oletus: X1 :n tiheys f on kahdesti derivoituva ja lopulta vähenevä
I
Jos
L := lim sign
x→∞
ja
d2
log f (x)
dx 2
∈ {−1, 1}
0
f (dx) f 0 (d(1 − x)) = ∞,
−
lim d
f (d(1 − x)) d→∞ f (dx)
niin Zd konvergoi joko tyypin I tai II mukaisesti.
I
I
Jos L = 1, eli f on log-konveksi −→ Tyyppi I
Jos L = −1, eli f on log-konkaavi −→ Tyyppi II
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Tulkinta
I
I
Pienen teknsisen lisäehdon vallitessa tiheysfunktion
log-konkaavisuus tai log-konveksisuus määrää onko yhden
suuren hypyn periaate voimassa vai ei
Tiheysfunktion log-konkaavisuus/konveksisuus on
vakuutusmatematiikassa tuttu vaatimus monissa
yhteyksissä:
I
I
f log-konkaavi → IFR
f log-konkaavi → DFR
Paksuhäntäiset jakaumat
Paksuhäntäiset todennäköisyysjakaumat
Yhden Suuren Hypyn Ilmiö
Johtopäätökset
I
Yhden suuren hypyn ilmiö on liitetty lähes yksinomaan
subeksponentiaalisiin jakaumiin
I
I
I
Kaikki paksuhäntäisiä
Prosessi (Zd ) kuvaa yhden suuren hypyn periaatetta
selvemmin
(Zd ) tarjoaa konkreettisen alustan ilmiön tutkimukselle
I
I
Tyypit I ja II liittyvät funktion log f konkaavisuuteen tai
konveksisuuteen
Ilmiö voi esiintyä myös paksuhäntäisten muuttujien luokan
ulkopuolella
Paksuhäntäiset jakaumat
Yhteenveto
Yhteenveto Tuloksista
Edellä tarkasteltiin:
I
Diskonttausmallia
I(Ȳ ) = min(I1 (A), I(B))
I
Yhdistettyä mallia
I(SN ) = min(I(X ), I(N))
I
Yhden suuren hypyn periaatetta yleisesti
I
Määräytyy tiheyden log-konkaavisuudesta tai
log-konveksisuudesta pienen teknisen lisäehdon vallitessa
Paksuhäntäiset jakaumat
Yhteenveto
Keskeiset Ajatukset
I
Paksuhäntäisiä satunnaismuuttujia pidetään
epäintuitiivisina ja hankalina
I
Koska klassinen teoria on johdettu kevythäntäisille
muuttujille ja intuitio perustuu tähän
I
Todellisuudessa paksuhäntäiset muuttujat mahdollistavat
monien sellaisten arkipäiväisten ilmiöiden matemaattisen
mallintamisen, joita ei voi kuvata kevythäntäisillä muuttujilla
I
Paksuhäntäisten satunnaismuuttujien matemaattinen
käsittely on täysin mahdollista, mutta aiempia malleja
täytyy miettiä uudelleen
Paksuhäntäiset jakaumat
Yhteenveto
Kiitos Mielenkiinnosta!
Esitys perustuu artikkeleihin:
Lehtomaa, J., 2015. Asymptotic behaviour of ruin
probabilities in a general discrete risk model using moment
indices. J. Theoret. Probab.
DOI:10.1007/s10959-014-0547-y.
Lehtomaa, J., 2015. Limiting behaviour of constrained
sums of two variables and the principle of a single big jump.
Statist. Probab. Lett. 107, 157-163.
DOI:10.1016/j.spl.2015.08.017.
Lehtomaa, J., 2015. Logarithmic asymptotics of tails of
independently stopped random walks. Preprint.

Similar documents