MAA8.2 koe ja ratkaisut välivaiheineen (PDF)

MAA8 Koe 25.3.2014
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan 1h aikaa suorittaa AOsio. Laske seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi.
Laskettuasi kaksi tehtävää, palauta A-osio opettajalle, jolloin saat ottaa laskimen käyttöön ja siirtyä
tekemään B-osiota.
A1
a. Laske:
log3 45  log3 10  log3 2 (2p)
log 2 ( x  3)  log 2 ( x  5)  3
b. Ratkaise yhtälö
(4p)
6p
A2
a. Mikä on funktion
b.
A3
Ratkaise yhtälö:
ln( x 2  9)
f ( x) 
5 x  2 määrittelyjoukko? (2p)
3e6 x 1  2 (4p)
6p
Derivoi funktiot f(x) ja g(x):
a.
b.
f ( x)  3 ln(3x 3  2 x)
g ( x)  e3 x
2
4x 1
6p
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Mallikuva tehtävään B8:
MAA8 Koe 25.3.2014
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
B-Osio, saa käyttää laskinta. Laske tehtävistä B4-B8 neljä:
B4
a. Ratkaise yhtälö:
2x 2  4x  6  2  2x
b. Määritä funktion f(t) suurin ja pienin arvo, kun
f (t )  3 25  t 2
6p
B5
a. Osoita, että funktio f (x) =
x ln x + 1 saa vain positiivisia arvoja.
b. Määritä funktion f ( x)  x 2 ln x ääriarvokohdat ja ääriarvot. Anna molemmista tarkat
arvot.
6p
B6
Erittäin radioaktiivisen radiumin määrä
N (t )  N0  ebt
N 0 (=määrä alussa) pienenee määrään N kaavan
mukaisesti, missä t on aika vuosina ja b on radiumin vähenemiseen liittyvä
vakio. Radiumin puoliintumisaika on 1580 vuotta.
a. Kuinka kauan kestää radiumin määrän pieneneminen kymmenesosaan alkuperäisestä?
b. Jos radiumia pääsee luontoon 5 kg, määritä millä nopeudella tämä määrä vähenee 10
vuoden kuluttua päästöstä.
6p
B7
Äänenvoimakkuutta L (yksikkö desibeli dB) mitataan kaavalla
I
 I 
L  10 lg   , missä
 I0 

12
ja I 0  1, 0 10
(niin sanottu kuulokynnyksen verrokkiluku). P = äänen teho (W) ja A =
A
pinta-ala jolle ääni kohdistuu. Kuulon kipukynnys on 120dB.
Autostereoiden teho on 12 W ja äänen voi ajatella auton sisällä kohdistuvan 8m2 alalle.
Kuinka suuri on äänenvoimakkuus? Ilmoita tarkka vastaus sekä likiarvo yhden
kymmenyksen tarkkuudella.
b. Mikä stereoiden teho pitäisi olla, jotta kuulon kipukynnys ei ylittyisi? 6p
a.
B8
Järven yli kulkee suora jäätie. Matti lähtee moottorikelkalla rannasta tavoitteena saari, jonka
lyhin etäisyys jäätiestä on 800 m. Tämä lähin kohta jäätiestä on puolestaan 3,4 km päässä
rannasta. Moottorikelkka kulkee jäätiellä 65 km/h ja tien ulkopuolella 45 km/h. Mikä on
nopein reitti rannasta saareen ?
6p
Bonustehtävä +3p:
Määritä funktion
määrittelyjoukko.
f ( x)  ln(e x  2) käänteisfunktio ja esitä käänteisfunktion
MAA8 Koe 25.3.2014
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
Ratkaisut:
A1 a)
log 3 45  log 3 10  log 3 2  log 3
 log 3
45
45
 log 3 2  log 3 (  2)
10
10
90
 log 3 9  2
10
b)
log 2 ( x  3)  log 2 ( x  5)  3
log 2 (( x  3)( x  5))  3
log 2 ( x 2  8 x  15)  3  23  x 2  8 x  15
8  x 2  8 x  15
(8)  (8) 2  4 1 7
0  x  8x  7  x 
2
8  64  28 8  36 8  6  x1  7




2
2
2
 x2  1
2
A2 a)
ln( x 2  9)
f ( x) 
5x  2
Logaritmia ei voi ottaa negatiivisesta luvusta, joten x
luvusta, sekä lisäksi jakaja ei saa olla 0, eli 5x  2  0
1)
x2  9  0
2
9  0
ja neliöjuurta ei voi ottaa negatiivisesta
=> Ratkaisu kuvaajasta. Ylöspäin aukeava parabeli, jonka nollakohdat ovat:
x2  9  0  x  3 tai x  3 => x2  9  0 kun x  3 tai 3  x
2) 5 x  2  0  5 x  2  x 
2
5
Yhdistetään kohdat 1) ja 2) => f(x) on määritelty, kun x  3
MAA8 Koe 25.3.2014
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
b)
3e6 x 1  2 : 3
e6 x 1 
2
ln
3
ln e6 x 1  ln
2
2
2
 (6 x  1) ln e  ln  6 x  1  ln
3
3
3
2
 1  6 x  ln 2  ln 3  1 : 6
3
ln 2  ln 3  1
x
6
6 x  ln
A3 a)
f ( x)  3ln(3x3  2 x)
9 x 2  2 27 x 2  6
f '( x)  3  3

3x  2 x 3x3  2 x
b)
g ( x )  e3 x
2
g '( x)  De
 6 xe
B4 a)
3 x2
4x 1
3 x2
 4x 1  D 4x 1  e
3 x2
 De
3 x2
1
2
 4 x  1  D(4 x  1)  e3 x
1

2
2
1
2
4 x  1  (4 x  1) 2  4  e3 x  e3 x (6 x 4 x  1 
)
2
4x 1
2x 2  4x  6  2  2x
Määritelty kun neliöjuuren sisus ei ole negatiivinen ja neliöjuuren vastaus ei ole negatiivinen:
2 x2  4 x  6  0 ja 2  2 x  0
2 x2  4 x  6  0 vastaus kuvaajasta! Ylöspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat laskimesta: Ei
nollakohtia. => Neliöjuuren sisusta on aina posit. kaikilla x:n arvoilla. (paraabeli ylöspäinaukeava, ei
nollakohtia => pakko olla aina x-akselin yläpuolella eli funktion arvot aina positiivisia).
Näin ainoa määrittelyehto on, että 2  2 x  0  2  2 x  1  x
Ratkaistaan yhtälö:
2
MAA8 Koe 25.3.2014
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
2 x 2  4 x  6  2  2 x () 2
2 x 2  4 x  6  (2  2 x) 2
2x2  4x  6  4  8x  4 x2

 x1  1  2
2 x  4 x  2  0  

 x2  1  2
2
Määrittelyehdon toteuttaa ainoastaan x1, joten vastaus: x  1  2
b) Ääriarvot
f (t )  3 25  t 2
Funktio on määritelty, kun neliöjuuren sisusta ei ole negatiivinen: 25  t 2  0
Ratkaisu kuvaajasta! Alaspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat -5 ja 5. Funktio saa positiivisia arvoja
välillä [-5,5] , joten ääriarvoja haetaan tältä suljetulta väliltä. Ääriarvot derivaatan nollakohdista:
1
2 2
f (t )  3 25  t  3(25  t )
2
1

1
2 2
f '(t )  3  (25  t )  (2t )  3t 
2
3t
25  t 2
1
1
2 2
(25  t )

3t
25  t 2
 0  3t  0  t  0 Yksi derivaatan nollakohta. Tutkitaan merkkikaaviossa, mikä ääriarvo on
kyseessä. sijoitetaan derivaattaan jotakin mielivaltaisia kokeiluarvoja nollakohdan t=0 läheisyydestä:
f’(-3)=
3  (3)
25  (3)
2

9
ja f’(3)=
4
3  3
25  3
2

9
4
MAA8 Koe 25.3.2014
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
On löydetty siis max. kohta kun t=0 => Max arvo:
f (0)  3 25  02  3  5  15
Minimikohdat näyttävät olevan suljetun välin päätepisteissä. Tarkastetaan laskemalla funktion arvot
päätepisteissä t=-5 ja t=5.
f (5)  3 25  (5) 2  3  0  0
=> Min. arvo f(-5)=f(5)=0.
f (5)  3 25  52  3  0  0
B5
a) Funktio on jatkuva ja määritelty muuttujan arvoilla x > 0
f (x) =
⟹
x ln x + 1
⟺
ln x = – 2
ln x
1
ln x  2
ln x
x


=
=
=0
x
2 x
2 x
x
2 x
ln x + 2 = 0
1
e2
––––
++++
Funktio saa pienimmän arvonsa muuttujan arvolla x =
1
f  2 =
e 
⟺
1
e2
x=
0
f ’(x)
f (x)
f ’(x) =
1
e2
2
1
1
+ 1 ≈ 0,264 > 0
ln 2 + 1 =
2
e
e
e
Funktion pienin arvo on positiivinen, joten sen kaikki arvot ovat positiivisia.
Vastaus: Väite on osoitettu oikeaksi
b)
Ratkaisu: Funktio on jatkuva ja derivoituva määrittelyjoukossaan x>0. Mahdollinen pienin arvo
löytyy derivaatan nollakohdasta, mikäli pienin arvo on olemassa.
f `( x)  2 x ln x  x 2 
1
 x(2 ln x  1) . Derivaatta on nolla, kun x=0 tai 2lnx+1=0 (tulon
x
nollasääntö). Saadaan x=0 tai x  e

1
2

1
e
 0,61. Vain jälkimmäinen kuuluu
määrittelyjoukkoon. Koska f`(0,1)<0 ja f`(1)>0, niin ko. nollakohta on ainoana miniminä pienin arvo
ja se on f (e

1
2

1
2
)  (e ) ln e
2

1
2
1
1
 e 1  ( )   .
2
2e
MAA8 Koe 25.3.2014
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
B6
N (t )  N0  ebt . Määrä puolittuu 1580 vuodessa =>
1
N  N  e  b1580 : N
2
1
 e  b1580 ln
2
1
1
ln  ln e  b1580  ln  b1580 ln e  ln1  ln 2  b1580 : (1580)
2
2
0  ln 2
ln 2
bb
( 0, 0004387)
1580
1580
Käytetään b:n tarkkaa arvoa, jotta saadaan vastauksista tarkkoja:
a) kymmenesosaan:
ln 2

t
1
N  N  e 1580 : N
10
ln 2

t
1
 e 1580 ln
10
ln 2

t
1
1
ln 2
ln 2
ln 2
ln  ln e 1580  ln  
t ln e  ln1  ln10  
t : (
)
10
10
1580
1580
1580
0  ln10
1580 ln10
tt 
( 5248, 65)
ln 2
ln 2

1580
Eli aineen väheneminen kymmenesosaan alkuperäisestä kestää noin 5249 vuotta. Sitkas pirulainen!
b) Alkumäärä N0 on 5kg. Vähenemisen nopeus on muutosnopeutta, eli derivoidaan funktio
N (t )  5  e
N '(t )  5e


ln 2
t
1580
ln 2
t
1580
ln 2
t
ln 2
5ln 2 1580
 (
)
e
1580
1580
Ja lasketaan nyt muutosnopeus, kun t=10:
ln 2
ln 2
1
10
ln 2
5ln 2 1580
ln 2 158
ln 2 158
ln 2 ln 2158
e

e

e

e
1580
316
316
316
1
ln 2 158
ln 2 1
ln 2

2

 1 
( 0, 002184)kg / vuosi
316
316 158 316  158 2
2
1
N '(10)  
No joo, sieventäminen riistäytyi mulla hieman hallinnasta. Kunhan N’(10) on jokin järkevä tarkka
muoto ja desimaali on kohdillaan, niin saa pisteet.
 12 


12
L  10 lg  812   10(lg  lg1012  10(lg12  lg 8  ( 12) lg10)
B7 a)
8
 10 


 10(lg12  lg 8  12)  120  10 lg12  10 lg 8  121,8dB
MAA8 Koe 25.3.2014
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
b)
 P 


P
120  10 lg  812   120  10(lg  lg1012 )  120  10(lg P  lg 8  12)
8
 10 


 120  10 lg P  10 lg 8  120 120  0  10 lg P  10 lg 8  10 lg 8  10 lg P :10
 lg 8  lg P 10() korotetaan 10 potensseihin
 10lg8  10lg P  8  P
Tehon täytyy olla pienempi kuin 8W.
B8 Ratkaisu:
Olkoon piste A se jäätien piste, josta käännytään kohti saarta. Olkoon S saari, R rannan piste, josta
jäätie alkaa, ja L jäätien lähinnä saarta oleva piste. Valitaan muuttujaksi x  AL .
Tällöin RA  3,4  x ja AS 
x 2  0,82 (suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan
lauseella).
Nyt voimme muodostaa funktion, joka ilmoittaa kokonaisajan rannasta saareen:
3,4  x
t ( x) 



65
45
65
RA
AS
1
x 2  0,8 2 3,4 1
1 2
2 2

 x  ( x  0,8 ) .
45
65 65
45
t (x) on määritelty ja derivoituva kaikkialla, mutta riittää tutkia suljettua väliä 0;3,4 .
t ( x)  

65 x  45 x 2  0,64
1
1 1
1
x
  ( x 2  0,64) 2  2 x   

 0 , kun
65 45 2
65 45 x 2  0,64
65  45 x 2  0,64
1
45 x 2  0,64 = 65 x . Koska yhtälön molemmat puolet ovat tarkasteltavalla välillä ei- negatiivisia,
niin yhtälö voidaan korottaa puolittain neliöön. Tällöin saadaan
MAA8 Koe 25.3.2014
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
2025x 2  1296  4225x 2 ja edelleen x 2 
1296 162
162
, joten x  

 0,76752
2200 275
5 11
( negatiivinen nollakohta ei ole tarkasteltavalla välillä ).
Lasketaan lopuksi funktion arvo sekä välin päätepisteissä että derivaatan nollakohdassa:
t (0)  0,070 , t (3,4)  0,078 ja t (
162
5 11
)  0,065 . Siis funktion pienin arvo on derivaatan
nollakohdassa, jolloin 3,4km – 0,77km = 2,63km.
Vastaus: Matin kannattaa ajaa jäätietä 2630 metriä ja kääntyä siitä suoraan kohti saarta.
Bonustehtävä:
f ( x)  ln(e x  2)  y  ln(e x  2)  e y  e x  2
e x  e y  2 ln
ln e x  ln(e y  2)
x  ln(e y  2)
Joten käänteisfunktio f 1 ( y)  ln(e y  2) . Logaritmia ei voi ottaa negatiivisesta luvusta, joten
käänteisfunktio on määritelty, kun
ey  2  0
e y  2 ln
ln e y  ln 2
y  ln 2