Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E A1. Tehdään

Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että
kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
massa vesi
sokeri
muu aine
tuore luumu
b
0,73 b 0,08 b = 0,28 a
y
kuivattu luumu
a
x
0,28 a
y
Selvitettävänä on tuoreen luumun massa, eli b. Sokerin massa voidaan ilmoittaa kahdella tavalla.
0,08 = 0,28 || ∶ 0,08
= 3,5
Jotta taulukon alemmalta riviltä voisi ratkaista kuivatun luumun veden massan x, täytyy ensin selvittää
muun aineen massa y. Muodostetaan ylemmältä riviltä yhtälö.
= 0,73 + 0,08 + = − 0,73 − 0,08
= 0,19 || sij. = 3,5
= 0,665
Ratkaistaan x alemmalta riviltä.
= + 0,28 + 0,665
= − 0,28 − 0,665
= 0,055
Vastaus: Massa ennen kuivatusta oli 3,5a ja kuivatun vesipitoisuus on 5,5 %.
A2. a)
− 5 ∙ మ√ = −6
Yhtälön määrittelyehto on
Merk. = మ√ ,
≥ 0.
joten = ଶ ,
Tehdään sijoitukset, jolloin yhtälö saadaan muotoon
ଶ − 5 = −6
ଶ − 5 + 6 = 0
− 2 − 3 = 0
− 2 = 0 tai − 3 = 0
= 2 tai = 3.
≥0
(1)
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
Määritetään ratkaisut yhtälön (1) mukaisesti.
= 1,
= 3,
Vastaus: = 4 tai = 9
= 2ଶ = 4
= 3ଶ = 9
b)
sin 2x = √2cos Käytetään muistikaavaa
sin 2 = 2 sin cos ,
jolloin yhtälö saadaan muotoon
2 sin cos = √2 cos 2 sin cos − √2 cos = 0
cos (2 sin − √2) = 0
2sinx − √2 = 0 tai cos = 0
2 sin = √2 tai = + 2
√2
sin =
2
1
sin =
√2
+ 2
tai = − + 2
4
4
3
= + 2
tai =
+ 2
4
4
=
Vastaus: = ଶ + tai = ସ + 2
tai =
గ
గ
ଷగ
ସ
+ 2
c)
log − 2 − log − 1 < log 2
Epäyhtälö on määritelty, kun
− 2 > 0 ja − 1 > 0
> 2 ja
> 1.
Epäyhtälön määrittelyehto on siis > 2.
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
Käytetään epäyhtälön vasempaan puoleen logaritmikaavaa
log − log = log
Täten yhtälö saadaan muotoon
log −2
< log 2.
−1
Logaritmifunktio on aidosti kasvava, joten epäyhtälö saadaan muotoon
Muodostetaan epäyhtälön merkkikaavio.
−2
<2
−1
−2
−2<0
−1
− 2 2 − 1
−
<0
−1
−1
− 2 − 2 + 2
<0
−1
−
<0
−1
Määrittelyehdosta seuraa, että epäyhtälön ratkaisu on > 2.
A3. Selvitetään käyrien leikkauspisteet.
= − ଶ + 6
= 2 ଶ + 3
(1)
(2)
Sijoitetaan (2) yhtälöön (1).
2 ଶ + 3 = − ଶ + 6
3 ଶ + 3 − 6 = 0 || ∶ 3
ଶ + − 2 = 0
+ 2 − 1 = 0
+ 2 = 0 tai − 1 = 0
= −2 tai
=1
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
Leikkauspisteet ovat
= −2,
= 1,
= −−2ଶ + 6 = 2,
= −1ଶ + 6 = 5,
piste = −2,2
piste = 1,5.
Selvitetään käyrien (paraabelien) huiput, jotta voidaan hahmotella rajattu alue koordinaatistoon.
(1) Paraabelin = − ଶ + 6 huippu on y-akselilla pisteessä (0,6).
(2) Paraabelin = 2 ଶ + 3 huippu on derivaatan nollakohdassa.
ᇱ = 4 + 3
ᇱ = 0
4 + 3 = 0
3
=−
4
Lasketaan huippupiste.
3
=− ,
4
3 ଶ
3
9
= 2 ∙ − + 3 ∙ − = − ,
4
4
8
Hahmotellaan alue koordinaatistoon.
3 9
piste − , − 4 8
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
Kun paraabelin = − ଶ + 6 pisteiden A ja B välinen osa pyörähtää suoran = −2 ympäri, syntyy
pyörähdyskappale, jonka tilavuus on ଵ . Toisaalta paraabelin = 2 ଶ + 3 pyörähtäessä syntyy pienempi
pyörähdyskappale, jonka tilavuus on ଶ . Kysytyn pyörähdyskappaleen tilavuus on näiden erotus, eli
= ଵ − ଶ.
Lasketaan tilavuudet ଵ ja ଶ .
(3)
ଵ
ଵ = ଵ − −2 ଶ
ିଶ
ଵ
= − ଶ + 6 + 2ଶ ିଶ
ଵ
= − ଶ + 8ଶ ିଶ
ଵ
= ସ − 16 ଶ + 64
ିଶ
1
16
= ିଶ /ଵ ହ − ଶ + 64
5
3
1 16
1
16
= −
+ 64 − ∙ −2ହ −
∙ −2ଶ + 64 ∙ −2
5 3
5
3
753
=
5
ଵ
ଶ = 2 ଶ + 3 − −2 ଶ
ିଶ
ଵ
= 2 ଶ + 3 + 2ଶ ିଶ
ଵ
= 4 ସ + 12 ଷ + 17 ଶ + 12 + 4ଶ ିଶ
4
17
= ିଶ /ଵ ହ + 3 ସ + ଷ − 6 ଶ + 4
5
3
132
=
5
Lasketaan kysytty tilavuus yhtälöstä (3).
= ଵ − ଶ =
Vastaus: Pyörähdyskappaleen tilavuus on
଺ଶଵ
.
ହ
753
132
621
−
=
5
5
5
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
A4. a) Testityökalun ohjelmoinnin onnistuminen vaatii, että Seppo on toimistolla ainakin yhtenä päivänä.
= S toimistolla ainakin yksi päivä
= 1 − S ei toimistolla minään päinänä
= 1 − S ei ke ja S ei to ja S ei pe
= 1 − S ei ke ∙ S ei to ∙ S ei pe
= 1 − 1 − 0,92 ∙ 1 − 0,84 ∙ 1 − 0,73
= 0,9965 …
≈ 99,7 %
Vastaus: Testityökalun ohjelmoiminen onnistuu 99,7 % todennäköisyydellä.
b) Tehdään taulukko tapahtumista, jotka johtavat siihen, että käytettävyystesti onnistuu.
1
2
3
ke
työkalu valmis
työkalu valmis
työkalu ei valmis
to
testi tehdään
testiä ei tehdä
työkalu valmis
pe
testi tehdään
testi tehdään
Lasketaan todennäköisyydet. Vaihtoehdossa 1. Sepon täytyy olla toimistolla keskiviikkona, jolloin työkalu
saadaan tehtyä. Lisäksi torstaina Sepon täytyy olla toimistolla tai vaihtoehtoisesti Seppo on poissa ja Paavo
on paikalla, jotta testi voidaan tehdä.
1 = S ke ja S to tai S ei to ja P to
= S ke ∙ S to tai S ei to ja P to
= S ke ∙ S to + S ei to ∙ P to
= 0,92 ∙ 0,84 + 1 − 0,84 ∙ 0,13
= 0,79193 …
Vaihtoehdossa 2. Sepon täytyy olla toimistolla keskiviikkona, jolloin työkalu saadaan tehtyä. Seppo ja Paavo
ovat molemmat poissa torstaina, joten silloin testiä ei voida tehdä. Perjantaina Sepon täytyy olla toimistolla
tai vaihtoehtoisesti Seppo on poissa ja Paavo on paikalla, jotta testi saadaan tehtyä.
2 = S ke ja S ei to ja P ei to ja S pe tai S ei pe ja P pe
= S ke ∙ S ei to ∙ P ei to ∙ S pe + S ei pe ∙ P pe
= 0,92 ∙ 1 − 0,84 ∙ 1 − 0,13 ∙ 0,73 + 1 − 0,73 ∙ 0,93
= 0,12564 …
Vaihtoehdossa 3. Seppo on poissa toimistolta keskiviikkona, joten silloin ei voida tehdä työkalua. Koska
työkalu tehdään torstaina, on Sepon oltava paikalla. Perjantaina Sepon täytyy olla toimistolla tai
vaihtoehtoisesti Seppo on poissa ja Paavo on paikalla, jotta testi saadaan tehtyä.
3 = S ei ke ja S to ja S pe tai S ei pe ja P pe
= S ei ke ∙ S to ∙ S pe + S ei pe ∙ P pe
= 1 − 0,92 ∙ 0,84 ∙ 0,73 + 1 − 0,73 ∙ 0,93
= 0,06592 …
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
Tapahtumat 1, 2 ja 3 ovat toisensa poissulkevia. Kysytty todennäköisyys on siten
= 1 + 2 + 3
= 0,79193 … + 0,12564 … + 0,06592 …
= 0,98349 …
≈ 98,3 %.
Vastaus: Käytettävyystesti saadaan tehtyä 98,3 % todennäköisyydellä.
A5. Piirretään kuva altaasta ja särmiöstä sekä ylhäältä, että sivusta katsottuna. Sivukuva on piirretty niin,
että sitä katsotaan silmän suunnasta.
Ratkaistaan pienemmän ympyrän säde r pohjaneliön sivun a avulla. Pythagoraan lauseesta saadaan
ଶ + ଶ = ଶ
=
.
√2
(1)
Sivukuvasta saadaan yhteys r:n ja särmiön korkeuden h välille.
ଶ = ℎଶ + ଶ || sij. 1 ja = 2
ଶ
4 = ℎଶ + . (2)
2
a) Muodostetaan särmiön tilavuuden lauseke.
= ଶ ℎ
(3)
Yhtälöstä (3) huomataan, että yhtälö (2) kannattaa muokata muotoon, jossa on ratkaistu ଶ ja sijoittaa se
tilavuuden lausekkeeseen.
ଶ
|| ∙ 2
2
ଶ = −2ℎଶ + 8. (4)
4 = ℎଶ +
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
Sijoitetaan (4) yhtälöön (3).
ℎ = −2ℎଶ + 8 ∙ ℎ
= −2ℎଷ + 8ℎ,
missä 0 ≤ ℎ ≤ 2.
Etsitään tilavuuden suurin arvo derivaatan avulla. Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
ᇱ ℎ = −6ℎଶ + 8
ᇱ ℎ = 0
−6ℎଶ + 8 = 0
ℎ = ±
8
6
2
√3
ℎ = 1,1547 …
ℎ ≈ 1,15 (m)
ℎ=±
Negatiivinen arvo hylätään, sillä korkeus on ei-negatiivinen. Lasketaan Tilavuuden arvot välin päätepisteissä
ja derivaatan nollakohdassa.
0 = −2 ∙ 0ଷ + 8 ∙ 0 = 0
2
32√3
= 6,1584 … ← SUURIN ARVO
=
9
√3
2 = 0
Lasketaan vielä särmiön pohjaneliön pituus yhtälöstä (4).
ଶ = −2ℎଶ + 8
= ±−2 ∙ =
4
√3
= 2,3094 …
≈ 2,31 (m)
+8
√3
2
ଶ
Vastaus: Särmiön mitat ovat 2,31 m × 2,31 m × 1,15 m.
b) Muodostetaan särmiön kokonaispinta-alan lauseke.
= 4ℎ
(5)
Lausekkeessa on termi ah, joten siihen jää väkisin termi, jossa on neliöjuuri, kun yhtälöstä (2) ratkaistaan
joku suure a tai h. Yhtälö menee kuitenkin derivoinnin kannalta helpompaan muotoon, kun ratkaistaan a
yhtälöstä (2). (Tämän voi todeta muodostamalla lausekkeet molemmilla tavoilla.)
= 8 − 2ℎଶ
(6)
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
Sijoitetaan (6) yhtälöön (5).
() = 48 − 2ℎଶ ∙ ℎ
= 48ℎଶ − 2ℎସ
missä 0 ≤ ℎ ≤ 2.
Huomataan, että A on positiivinen koko määrittelyjoukossaan. Näin ollen sen suurimman arvon
määrittämiseksi voidaan tutkia funktiota
= = 8ℎଶ − 2ℎସ .
4
ଶ
Etsitään f:n suurin arvon kohta derivaatan avulla.
ᇱ = 16ℎ − 8ℎଷ
ᇱ = 0
16ℎ − 8ℎଷ = 0 || ∶ 8
2 − ℎଶ ℎ = 0
2 − ℎଶ = 0 tai ℎ = 0
ℎଶ = 2
ℎ = ±√2
ℎ = 1,4142 …
ℎ ≈ 1,41 (m)
Lasketaan pinta-alan arvot derivaatan nollakohdissa ja välin päätepisteissä.
0 = 4 ∙ 8 ∙ 0ଶ − 2 ∙ 0ସ = 0
√2 = 8√2 = 11,3137 … ← SUURIN ARVO
2 = 0
Lasketaan h:n arvoa vastaava a:n arvo yhtälöstä (6).
= 8 − 2 ∙ √2
ଶ
=2
Vastaus: Särmiön mitat ovat 2,00 m × 2,00 m × 1,41 m.
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
A6. a) Tutkitaan mitä pisteen paikalle tapahtuu eri taitoksilla. Merkitään sitä varten nauhan pöytää vasten
olevaa pituutta tunnuksella ௜ ja pisteen A etäisyyttä origosta tunnuksella ௜ , missä i saa arvot 0, 1, 2, 3, …
Alkutilanne: Piste A on nauhan päässä. Nyt pisteen A etäisyys origosta on saman kuin nauhan pituus.
Äskeisillä merkinnöillä alkutilanteessa on ଴ = ja ଴ = .
1. taitos
Nauha taitetaan siten, että taitettu osa on puolet taittamattomasta. Näin ollen pöytää vasten olevan osan
pituus on
ja ଵ = ଷ .
ଶ
ଵ
ଵ
=ଷ
Huomataan jatkoa silmällä pitäen, että nauha on taitettu edellisellä kerralla, eli − 1:llä kerralla kohdasta,
joka on pöytää vasten olevan osan pituus taittokerran alussa. Piste A siirtyy, mikäli ௡ ≥ ௡ାଵ . Tämän voi
todeta alla olevasta kuvasta.
2. taitos,
=ଷ
= !ଷ" ∙
ଶ ଶ
ଶ
ଶ
ଵ
ସ
=ଽ .
Pöytää vasten olevan osan pituudet ovat muodostuvat selvästi geometrisen jonon jäsenistä. Näin ollen
voidaan yleistää, että
௡
2 ௡
= ∙ ,
3
ଵ =
1
4
<
=
3
9
ଶ,
Joten piste A ei siirry. Tämä on ensimmäinen kerta kun piste A ei siirry. Näin ollen etäisyys origosta pysyy
samana, eli
ଶ = ଵ =
1
.
3
3. taitos,
ଷ
= !ଷ" ∙
ଶ ଷ
= ଶ଻ , ଶ = ଷ = ଶ଻ > ଶ଻ =
଼
ଵ
ଽ
଼
ଷ,
Joten piste A siirtyy.
Johdetaan tässä vaiheessa rekursiokaava pisteen A etäisyydelle origosta sellaisen taitoksen jälkeen, jossa
piste siirtyy.
Mallivastaukset – DIA-matematiikan harjoituskoe E
Piste liikkuu siirtyessään aina origoa kohti etäisyyden Δ. Puolet tästä siirtymästä on erotus ௡ −
௡ାଵ,
1
Δ = ௡ − ௡ାଵ || ∙ 2
2
Δ = 2௡ − ௡ାଵ .
Siten paikka ௡ାଵ voidaan laskea
௡ାଵ = ௡ − Δ
= ௡ − 2௡ −
= 2 ௡ାଵ − ௡ .
௡ାଵ Kun muutetaan indeksejä, saadaan rekursiokaava muotoon
௡ = 2
௡ − ௡ିଵ || sij.
௡
2
௡ = 2 ∙ ∙ − ௡ିଵ .
3
௡
2 ௡
= ∙
3
Vastaus: Rekursiokaava on ௡ = 2 ∙ !ଷ" ∙ − ௡ିଵ .
ଶ ௡
b) Pisteen A etäisyys origosta on 3. taitoksen jälkeen
2 ଷ
1
7
ଷ = 2 ∙ ∙ −
=
.
3
3
27
Jatketaan siirtymien laskemista saadulla rekursiokaavalla kunnes löytyy seuraava taitos, jolla piste A ei
siirry.
4. taitos,
= !ଷ" ∙
ଶ ସ
ସ
= ଼ଵ , ଷ = ଶ଻ = ଼ଵ > ଼ଵ =
ଵ଺
଻
ଶଵ
ଵ଺
ସ,
joten piste A siirtyy. Tällöin ସ = 2 ∙ !ଷ" ∙ − ଶ଻ = ଼ଵ .
ଶ ସ
5. taitos,
= !ଷ" ∙
ଶ ହ
ହ
଻
ଵଵ
= ଶସଷ , ସ = ଼ଵ = ଶସଷ > ଶସଷ =
ଷଶ
ଵଵ
ଷଷ
ଷଶ
ହ,
joten piste A siirtyy. Tällöin ହ = 2 ∙ !ଷ" ∙ − ଼ଵ = ଶସଷ .
ଶ ହ
6. taitos,
଺
=! " ∙
ଶ ଺
ଷ
=
଺ସ
଻ଶଽ
, ହ =
ଷଵ
ଶସଷ
ଵଵ
=
ଽଷ
଻ଶଽ
ଷଵ
>
଺ସ
଻ଶଽ
=
଺,
joten piste A siirtyy. Tällöin ଺ = 2 ∙ !ଷ" ∙ − ଶସଷ = ଻ଶଽ .
ଶ ଺
7. taitos,
= !ଷ" ∙
ଶ ଻
଻
ଷଵ
ଷ଻
= ଶଵ଼଻ , ଺ = ଻ଶଽ = ଶଵ଼଻ < ଶଵ଼଻ =
ଵଶ଼
ଷ଻
ଵଵଵ
ଵଶ଼
joten piste A ei siirry.
Vastaus: Piste A on siirtymättä toisen kerran 7. taitoksella.
଻,
eli