MAA9.1 Koe ja vastaukset välivaiheineen (PDF

MAA9 – Koe 21.5.2013
Jussi Tyni
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!
1
. Ilmoita vastaus radiaaneina!
3
3
b) Määritä paljonko on cos . Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi!
4
c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania.
6p
1. a) Ratkaise yhtälö sin x  

2. a) Ratkaise yhtälö sin(5 x  )  0,3455 . Ilmoita vastaus radiaaneina!
6
b) Määritä lukujonon
1 1
, , 1, 2, 4 kolmaskymmenes jäsen
4 2
3. a) Geometrisessa jonossa a 4 = 25 ja a 7 = 3125. Määritä jonon kaksi
ensimmäistä jäsentä.

b) Ratkaise yhtälö sin( x  )  sin(3 x)
2
4. Määritä funktion f (x) =
6p
6p
x
+ cos x suurin ja pienin arvo suljetulla välillä
2
  
  2 , 2  . Ilmoita tarkka vastaus ja likiarvovastaus kolmen desimaalin
tarkkuudella.
6p
5. a) Jussi päättää juosta vuoden jokaisena päivänä . Jos hän juoksee
ensimmäisenä päivänä 2 km, ja joka päivä matkaa pidennetään 50 metrillä,
niin kuinka paljon Jussi juoksee vuoden aikana?
b) Geometrisen jonon 1, 2, 4, … summa on 4095, montako jäsentä jonossa
on?
6p
6. Tutki funktion f ( x)  2 x  cos 2 x kulkua. Ilmoita, onko sillä ääriarvokohtia ja
jos on, mitkä ne ovat. Ilmoita lisäksi miten funktio kulkee (kasvava ja vähenevä)
koordinaatistossa erilaisilla x-akselin väleillä
6p
7. Atlantin rannikolla veden korkeus muuttui erään vuorokauden aikana
9 3
 (t  2)
).
seuraavan funktion mukaisesti: h(t )   cos(
2 2
6
Funktiossa t on aika tunteina vuorokauden alusta lukien ja h on veden korkeus
metreinä. Ilmoita mihin vuorokauden aikaan vesi oli korkeimmillaan. Ilmoita
myös paljonko korkeus silloin oli!
6p
8. Puistossa on kaksi toisiaan vasten kohtisuorassa olevaa käytävää, käytävät A
ja B. Lisäksi puistossa on koirien suosima puu, jonka etäisyys käytävästä A on
60 m ja käytävästä B 100 m. Käytävien väliin on muodostunut lyhin
mahdollinen, luotisuora oikopolku, joka kulkee puun kautta. Minkä kulman
tämä polku muodostaa käytävän A kanssa? Vastaus asteina!
6p
MALLIKUVA teht. 8:
TRIGONOMETRISIIN TEHTÄVIIN YKSIKKÖYMPYRÄT JA MUISTIKOLMIOT
VASTAUKSEN PERUSTELUIKSI, MIKÄLI TARPEELLISTA!
Vastaukset:
1. a) sin x  
1
. Sini on negatiivinen, joten vastauskulmat III ja IV sektoreissa
3
(yksikköympyrä perusteluksi). Kyseessä ei ole muistikolmion kulma, joten käänteissini
puolittain:
1
sin 1  x1  0, 6155  2 n
3
tai x2    0, 6155  2 n  2,5261  2 n
sin x  
b)
Yksikköympyrän mukaan negatiivinen kosini, luetaan
45 asteen muistikolmiosta:
 cos
c)   180 :   1 rad 
180

3
1

4
2
2,5  2,5 rad 
180  2,5

 143, 24
2. a) Sini neg. => vastaukset III ja IV sektoreissa.
Käänteissini puolittain, niin saadaan:
5x 

 0,3528  2 n tai 5 x 
6


6

   0,3528  2 n
6
6
5 x  0,8764  2 n tai 5 x  3,3124  2 n : 5
5x  
 0,3528  2 n tai 5 x  
   0,3528  2 n
x1  0,1753 
2
2
n tai x2  0, 6625 
n
5
5
b) Lukujono on geometrinen ja sen suhdeluku q = 2
an = a1 q
n–1
3. a)
⟹
a30 =
1 29
· 2 =134217728
4
Ratkaisu
an = a1 q
n–1
3
a 1 q = 25
6
a 1 q = 3125
Jaetaan edellinen yhtälö jälkimmäisellä
3
q = 125 || 3
⟺
q= 5
Sijoitetaan q:n arvo ensimmäiseen yhtälöön
25
1
1
125 a 1 = 25 || : 125
⟺
a1 =
= ⟺ a2 = 5 · = 1
125 5
5
1
Vastaus: a 1 = , a 2 = 1
5
b)

sin( x  )  sin(3 x)
2
 x

2
 3 x  2 n tai x 
x  3x  
2 x  
x1 

4

2

2

2
   3 x  2 n
 2 n tai x  3x   
 2 n tai 4 x 
  n tai x2 

8



2
2
 2 n
n

2
 2 n
4. Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä derivaatan
nollakohdissa tai tarkasteluvälin päätepisteissä.
x
1
f (x) =
+ cos x ⟹
f ’(x) =
– sin x
2
2
3

1
1
– sin x = 0 ⟺ sin x =
⟺
x=
+n·2 ∨ x=
+n·2
4
4
2
2

Tarkasteluvälillä oleva derivaatan nollakohta: x =
4

 
f   = 
= –1,11072… ≈ –1,111, pienin
2 2
 2

1
 
f =
+
= 1,26246… ≈ 1,262, suurin
2
4 4 2

 
f =
= 1,11072… ≈ 1,111
2 2 2
Vastaus: Suurin arvo on 1,262 ja pienin arvo –1,111
5. a) Aritmeettinen jono ja aritmeettinen summa:
a1  2000m
d  50m
n  365  a365  2000  (365  1)  50  20200
Sn  365 
puuttuu
2000  20200
 4051500m  4051,5km
2
b)Jono on geometrinen ja peräkkäisten jäsenten osamäärä q = 2/1 = 4/2 = 2. Ensimmäinen
a (1  q n ) 1(1  2 n )
jäsen a1 =1 ja summa s = 4095. Geometrisen jonon summa s = 1
=
=
(1  q)
(1  2)
4095, josta saadaan yhtälö 1-2n =-4095, joka sievenee muotoon 2n = 4096. Ottamalla
lg 4096
puolittain logaritmit saadaan n =
= 12.
lg 2
Vastaus: Jonossa on 12 jäsentä.
'
6. f ( x)  2  2sin 2 x . Ääriarvot derivaatan nollakohdista, joten muodostetaan yhtälö:
2  2sin 2 x  0  2sin 2 x  2  sin 2 x  1  2 x 
x

4
n
Tutkitaan derivaatan arvoja nollakohdan molemmin puolin:
f ´(0)  2  2sin 0  2 posit.


f ´( )  2  2sin(2  )  2  2sin   2 posit.!!
2
2

2
 2 n
Eli derivaatalla on yksi nollakohta, mutta derivaatta saa sen molemmin puolin positiivisia
arvoja. Alkuperäinen funktio f(x) on siis kasvava kaikkialla ja x 

4
  n ei ole
ääriarvokohta, vaan terassikohta, joka toistuu x-akselilla piin välein.
7. h(t ) 
9 3
 (t  2) 9 3

2
 cos(
)   cos( t  )
2 2
6
2 2
6
6
3
 (t  2) 

 (t  2)
h´(t )   sin(
)    sin(
)
2
6
6
4
6
Ääriarvot derivaatan nollakohdista:


4
sin(
 (t  2)

)  0 :(  )
4
6
 (t  2)
sin(
)0
6
 (t  2)
 (t  2)

 0  2 n tai
   2 n 6
6
6
 (t  2)  0  12 n tai  (t  2)  6  12 n : 
t  2  0  12n tai t  2  6  12n
t  2  12n tai t  8  12n
t oli aika tunteina, joten tässä n täytyy ajatella tavallaan kellotaulun 12:sta tuntina, eli t=2+12n
voidaan ajatella, että se on klo 2:00 tai klo 14:00, eli 2 aamulla tai 2 iltapäivällä. Sama tietenkin
toiselle vastaukselle. Sijoitetaan nyt alkuperäiseen funktioon ja kokeillaan t=2 tai t=8 kumpi on
min ja kumpi max.
f(2)=6m, joka on suurempi arvo, eli vesi on korkeimmillaan klo 02:00 tai 14:00 ja korkeus on
silloin 6m.
8.
Nyt pikkukolmioista voidaan muodostaa, että polun
pituus S=a+b
Ratkaistaan a ja b kulman alfa avulla:
60
60
 sin   a 
a
sin 
100
100
 cos   b 
b
cos 
60
100
 S ( ) 

sin  cos 
 60(sin  ) 1  100(cos  ) 1
Ääriarvot, eli tässä tapauksessa polun pituuden min. ja max. löytyvät derivaatan
nollakohdista, joten ei muuta kuin derivoimaan:
S´( x)  60(sin  ) 2 cos   100(cos  ) 2 (  sin  )

60 cos  100sin 

sin 2 
cos 2 
Tästä nollakohdat:
60 cos  100sin 
100sin  60 cos 

0

2
2
sin 
cos 
cos 2 
sin 2 
3
 60 cos3   100sin 3  :100  cos3   sin 3 
5
3
3
3 sin 
3
cos   sin  : cos   3 
 3  tan  tan 1
5
5 cos 
5
  40,1
3
Heitellään derivaatalle kokeiluarvoja nollakohdan molemmin puolin, jotta nähdään
merkkikaaviotarkastelun avulla onko kyseessä polun pituuden S:n minimi vai
maksimikohta:
60 cos 30 100sin 30

 120  66, 666  53,33
sin 2 30
cos 2 30
60 cos 60 100sin 60
S´(60 ) 

 40  346, 41  306, 41
sin 2 60
cos 2 60
Merkkikaavio on siis mallia:
S´(30 ) 
40,1
S´(x)
S(x)
-
+
Ollaan siis löydetty polun pituuden minimikohta, kun polku leikkaa polun A 40,1 asteen
kulmassa.